Cote n° 55 · pages 1–17 · Lecture modernisée · Espaces analytiques : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1961]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Les notes manuscrites, à l'encre bleue, alternent feuillet à feuillet avec les tapuscrits et suivent un seul fil :

1. 1.Le dictionnaire sur un compact de Stein (pages 1 et 3).
2. 2.Le lemme A (page 5) : ce qu'il faut à un espace annelé pour que le dictionnaire tienne ; ses corollaires, exactitude, platitude, cohérence de \(A\).
3. 3.Les algèbres (page 7), et la question de pure algèbre commutative qui en sort.
4. 4.Les algèbres de polynômes (page 11, puis page 9) : passage à la limite sur les degrés. L'ordre des archivistes n'est pas ici celui de la rédaction, et on lit la page 11 avant la page 9.
5. 5.Le lemme B (page 13) : noethérianité de \(A\).

Les tapuscrits (pages 2, 4, 6, 10, 12, 14 et 8) sont lus à part, dans l'ordre de leur propre pagination, pour ce qu'il y a ajouté. Le tore (pages 16 et 17) est lu en dernier.

Conventions. Pour un espace annelé \(X\), on note \(\mathcal{O}_{X}\) son faisceau structural, \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})\), \(A_{X}\) le faisceau constant d'anneaux, et pour un \(A\)-module \(M\), \(\widetilde{M} = M \otimes_{A_{X}} \mathcal{O}_{X}\). Un compact de Stein est un compact \(K\) d'un espace analytique complexe qui admet un système fondamental de voisinages de Stein ; on le munit du faisceau \(\mathcal{O}_{K}\) des germes de fonctions holomorphes le long de \(K\). \(\mathcal{B}\) est une \(\mathcal{O}_{X}\)-algèbre, et, pour \(\mathcal{B} = \mathcal{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]\), \(\mathcal{B}_{m}\) est le sous-Module des polynômes de degré au plus \(m\), libre de rang fini sur \(\mathcal{O}_{X}\).

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : le corollaire 3 de la page 5, sur les idéaux maximaux, presque illisible ; la cohérence des idéaux tronqués \(J_{m}\) de la page 9, et avec elle l'engendrement par les sections pour les algèbres de présentation finie ; la démonstration du lemme B ; la réponse à la question de la page 7 au-delà du cas « classique ».

1–3

Le dictionnaire sur un compact de Stein (pages 1 et 3)

Soit \(K\) un compact de Stein et \(A = \Gamma(K, \mathcal{O}_{K})\).¹

Énoncé. Le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est une équivalence de la catégorie des \(A\)-modules de présentation finie sur celle des \(\mathcal{O}_{K}\)-Modules cohérents.²

Deux faits sur \(K\) servent, et ce sont les théorèmes de Cartan :

1. (A)tout \(\mathcal{O}_{K}\)-Module cohérent \(F\) est engendré par un nombre fini de sections globales : il existe une surjection \(\mathcal{O}_{K}^{q} \to F\) ;
2. (B)\(H^{1}(K, F) = 0\) pour tout \(F\) cohérent.

\(M \simeq \Gamma(\widetilde{M})\). Une présentation \(A^{p} \to A^{q} \to M \to 0\) donne, le produit tensoriel étant exact à droite, \(\mathcal{O}^{p} \to \mathcal{O}^{q} \to \widetilde{M} \to 0\). Par (B), appliqué au noyau et à l'image, qui sont cohérents, la suite des sections reste exacte ; comparant les deux suites, \(M \xrightarrow{\sim} \Gamma(\widetilde{M})\).

Pleine fidélité (page 3). Pour \(N\) un autre module de présentation finie, on a le diagramme commutatif à lignes exactes

\begin{tikzcd}
0 \arrow[r] & \mathrm{Hom}(M, N) \arrow[r] \arrow[d, "\alpha"] & N^{q} \arrow[r] \arrow[d, "\beta"] & N^{p} \arrow[d, "\gamma"] \\
0 \arrow[r] & \mathrm{Hom}(\widetilde{M}, \widetilde{N}) \arrow[r] & \Gamma(\widetilde{N})^{q} \arrow[r] & \Gamma(\widetilde{N})^{p}
\end{tikzcd}

obtenu en appliquant \(\mathrm{Hom}(-, N)\) et \(\mathrm{Hom}(-, \widetilde{N})\) aux deux présentations. \(\beta\) et \(\gamma\) sont bijectives par ce qui précède, donc \(\alpha\) l'est aussi.

Surjectivité essentielle. Si \(F\) est cohérent, (A) donne \(\mathcal{O}^{q} \to F \to 0\) ; le noyau \(R\) est cohérent, et (A) encore donne \(\mathcal{O}^{p} \to R \to 0\), d'où une présentation \[ \mathcal{O}^{p} \xrightarrow{u} \mathcal{O}^{q} \to F \to 0 . \] La matrice \(u\) est faite de sections globales, donc définit \(u : A^{p} \to A^{q}\), et pour \(M = \mathrm{Coker}\, u\) on a \(F \simeq \widetilde{M}\).

5–5

Le lemme A (page 5)

La page 5 abstrait ce qui vient d'être fait.

Lemme A. Soit \(X\) un espace annelé tel que

1. (i)\(X\) est quasi-compact ;
2. (ii)\(\mathcal{O}_{X}\) est un faisceau d'anneaux cohérent ;
3. (\(\alpha\))pour toute suite exacte \(\mathcal{O}_{X}^{p} \to \mathcal{O}_{X}^{q} \to F \to 0\), la suite des sections globales est exacte ;
4. (\(\beta\))tout \(\mathcal{O}_{X}\)-Module de présentation finie est engendré par ses sections globales.

Alors, avec \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})\), le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est une équivalence de la catégorie des \(A\)-modules de présentation finie sur celle des \(\mathcal{O}_{X}\)-Modules de présentation finie, qui sont les cohérents.

La démonstration est celle des pages 1 et 3, mot pour mot : (\(\alpha\)) donne \(M \simeq \Gamma(\widetilde{M})\) et la pleine fidélité, (\(\beta\)) et (i) la surjectivité essentielle.³ Une variante, écrite de bas en haut dans la marge gauche, remplace la quasi-compacité par un système fondamental de voisinages quasi-compacts et vise des présentations \(\mathcal{O}^{I} \to \mathcal{O}^{J}\) quelconques ; elle n'est pas achevée.

Corollaire 1. Le foncteur \(M \mapsto \widetilde{M}\) est exact. En particulier, pour tout \(x \in X\), \(\mathcal{O}_{X,x}\) est plat sur \(A\).

Corollaire 2. L'anneau \(A\) est cohérent : pour tout homomorphisme \(A^{n} \to A\), le noyau est de type fini.

On démontre le second d'abord. Le noyau \(\mathcal{K}\) de \(\mathcal{O}_{X}^{n} \to \mathcal{O}_{X}\) est cohérent, donc de la forme \(\widetilde{N}\) avec \(N\) de présentation finie, et \(N = \Gamma(\mathcal{K}) = \mathrm{Ker}(A^{n} \to A)\), \(\Gamma\) étant exact à gauche. Pour le premier : si \(M' \to M\) est injectif entre modules de présentation finie, le noyau de \(\widetilde{M'} \to \widetilde{M}\) est un \(\widetilde{N}\), et \(N = \Gamma(\widetilde{N}) = \mathrm{Ker}(M' \to M) = 0\). Comme \(\widetilde{M}_{x} = M \otimes_{A} \mathcal{O}_{X,x}\), la tensorisation par \(\mathcal{O}_{X,x}\) conserve l'injectivité \(I \to A\) pour tout idéal de type fini \(I\) — de présentation finie puisque \(A\) est cohérent —, et \(\mathcal{O}_{X,x}\) est plat.⁴

Corollaire 3. Il porte sur les idéaux maximaux de type fini de \(A\) et les idéaux maximaux des \(\mathcal{O}_{X,x}\), sous une hypothèse que \(X\) soit « pur ».⁵

7–7

Les algèbres, et une question d'algèbre commutative (page 7)

Du lemme A la page tire, pour les algèbres, deux conclusions :

• \(B \mapsto B \otimes_{A_{X}} \mathcal{O}_{X}\) est une équivalence de la catégorie des \(A\)-algèbres de présentation finie sur celle des \(\mathcal{O}_{X}\)-Algèbres de présentation « globale » finie ;
• pour une telle \(B\), d'Algèbre associée \(\mathcal{B}\), \(M \mapsto M \otimes_{B_{X}} \mathcal{B}\) est une équivalence des \(B\)-modules de présentation finie sur les \(\mathcal{B}\)-Modules de présentation « globale » finie.

Une \(\mathcal{O}_{X}\)-Algèbre est de présentation globale finie quand elle est quotient de \(\mathcal{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]\) par un Idéal engendré par un nombre fini de sections globales.⁶

Question. Pour une \(\mathcal{O}_{X}\)-Algèbre \(\mathcal{B}\) de présentation finie, le noyau \(\mathcal{J}\) de \(\mathcal{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}] \to \mathcal{B}\) est-il cohérent ? Il y voit une question « de pure algèbre commutative » : \(A\) étant un anneau cohérent et \(J\) un idéal de type fini de \(B = A[T]\), les \(J \cap B_{m}\) sont-ils des \(A\)-modules de type fini ? et, plus généralement, les sous-\(A\)-modules de type fini de \(B\) ont-ils cette propriété ?⁷ Une note au pied de la page répond pour un cas : « ok. dans le cas “classique” \(X\) polycylindre analytique ».

11–9

Les algèbres de polynômes (page 11, puis page 9)

Corollaire. Supposons que \(X\) satisfasse, en plus de (i),

1. (ii')les \(\mathcal{O}_{X,x}\) sont noethériens, et \(\mathcal{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]\) est un faisceau d'anneaux cohérent pour tout \(n\) ;
2. (iii')tout point a un système fondamental de voisinages quasi-compacts qui satisfont la condition (iii) de la page 5.

Alors la conclusion du lemme A reste valable pour \(\mathcal{B} = \mathcal{O}_{X}[T_{1}, \ldots, T_{n}]\), et plus généralement pour toute Algèbre de présentation finie.⁸

La condition (\(\alpha\)) pour \(\mathcal{B}\). Soit \[ \mathcal{B}^{p} \xrightarrow{u} \mathcal{B}^{q} \to \mathcal{M} \to 0 \] une suite exacte, et \(N\) un majorant des degrés des coefficients \(u_{ij}\). Elle est limite inductive des suites exactes de \(\mathcal{O}_{X}\)-Modules cohérents \[ \mathcal{B}_{m}^{p} \to \mathcal{B}_{m+N}^{q} \to \mathcal{M}_{m} \to 0 , \] \(\mathcal{M}_{m}\) désignant le conoyau. Chacune reste exacte sur les sections par (\(\alpha\)) pour \(\mathcal{O}_{X}\), et en passant à la limite \[ \Gamma(\mathcal{B}^{p}) \to \Gamma(\mathcal{B}^{q}) \to \Gamma(\mathcal{M}) \to 0 \] est exacte : c'est (\(\alpha\)) pour \(\mathcal{B}\).⁹

La démonstration continue en haut de la page 9.¹⁰ (\(\alpha\)) donne, comme au lemme A, la pleine fidélité de \(M \mapsto \widetilde{M}\) des \(\Gamma(\mathcal{B})\)-modules de présentation finie vers les \(\mathcal{B}\)-Modules de présentation finie. Reste (\(\beta\)) : qu'un \(\mathcal{B}\)-Module de présentation finie soit engendré par ses sections. On voudrait l'obtenir des Modules cohérents \(\mathcal{M}_{m}\) ; mais l'image de \(\mathcal{B}_{m+N}^{q}\) dans \(\mathcal{M}\) est le quotient de \(\mathcal{B}_{m+N}^{q}\) par son intersection avec l'image de \(u\), et la cohérence de ces intersections est la question de la page 7. Écrivant \(\mathcal{J} = \varinjlim_{m} \mathcal{J}_{m}\), il faut prouver que les \(\mathcal{J}_{m} = \mathcal{J} \cap \mathcal{B}_{m}\) sont cohérents.¹¹ Le dossier ne le prouve pas.

13–13

Le lemme B : noethérianité (page 13)

Lemme B. Supposons que \(X\) satisfasse (i), (ii), et

1. (iv)les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X,x}\) sont noethériens ;
2. (v)principe d'identité : pour tout Idéal cohérent \(\mathcal{J}\), posant \(Y = (\mathrm{Supp}\, \mathcal{O}_{X}/\mathcal{J}, \mathcal{O}_{X}/\mathcal{J})\), et pour tout \(y \in Y\) tel que \(\mathcal{O}_{Y,y}\) soit intègre, il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(y\) dans \(Y\) tel que toute section de \(\mathcal{O}_{Y}\) sur \(U\) nulle au voisinage de \(y\) soit nulle sur \(U\).

Alors, pour tout \(F\) cohérent, toute suite croissante de sous-Modules cohérents de \(F\) est stationnaire.

Corollaire. Sous (i) à (v), et sous les hypothèses du lemme A, \(A = \Gamma(X, \mathcal{O}_{X})\) est noethérien.

Une suite croissante d'idéaux de type fini \(I_{k}\) de \(A\) donne, par le Corollaire 1 de la page 5, une suite croissante de sous-Idéaux cohérents \(\widetilde{I_{k}}\) de \(\mathcal{O}_{X}\), stationnaire par le lemme B ; et \(I_{k} = \Gamma(\widetilde{I_{k}})\). La condition des chaînes ascendantes pour les idéaux de type fini suffit.¹²

Le cas visé. Ces conditions sont satisfaites si \(X\) est un polycylindre compact de \(\mathbb{C}^{n}\), muni des germes de fonctions holomorphes. En marge, entouré : « premier espoir ».¹³

Les feuillets dactylographiés

Sept feuillets de tapuscrits sont intercalés entre les notes, et n'ont rien à voir avec elles. Six appartiennent à un même chapitre sur la dimension et la codimension, dans les espaces topologiques puis dans les préschémas localement noethériens ; ils sont lus ici dans l'ordre de leur pagination propre. Le septième est d'un autre tapuscrit. On donne les énoncés et ce qu'il y a ajouté.¹⁴

10–10

Dimension des espaces topologiques (page 10, tapuscrit p. 101)

Proposition 1. (i) Si \(Y\) est une partie d'un espace topologique \(X\), \(\dim(Y) \leq \dim(X)\). (ii) Si \(X\) est réunion finie de parties fermées \(X_{i}\), \(\dim(X) = \sup_{i} \dim(X_{i})\). Corollaire. Si un voisinage \(U\) de \(x\) est réunion de parties fermées \(Y_{i}\) contenant \(x\), \(\dim_{x} X = \sup_{i} \dim_{x}(Y_{i})\).

Proposition 2. Soit \(\Phi\) l'ensemble des parties fermées irréductibles de \(X\). (i) \(\dim(X) = \sup_{Y \in \Phi} \mathrm{codim}_{X}(Y)\). (ii) \(\dim(X) = \sup_{x} \dim_{x}(X)\).¹⁵

12–12

Espaces noethériens (page 12, tapuscrit p. 102)

Soit \(X\) noethérien et \(T_{0}\). Corollaire 2. \(\dim(X)\) est le \(\sup\) des \(\dim_{x}(X)\) sur les points fermés. Corollaire 3. Pour \(Y\) fermé, \(\dim(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Y) \leq \dim(X)\). Corollaire 4. Pour \(Y \subset Z \subset T\) fermés irréductibles, \(\mathrm{codim}_{T}(Y) \geq \mathrm{codim}_{Z}(Y) + \mathrm{codim}_{T}(Z)\). Proposition 3. \(\dim(X) = 0\) si et seulement si \(X\) est fini et discret ; une partie fermée \(Y\) est de codimension nulle si et seulement si elle contient une composante irréductible de \(X\).

14–14

La condition des chaînes (page 14, tapuscrit p. 104)

C'est le feuillet où il est le plus intervenu. On dit que \(X\) est équidimensionnel si ses composantes irréductibles ont toutes la même dimension, équicodimensionnel si ses points fermés ont tous la même codimension, et qu'il satisfait la condition des chaînes — il est caténaire — si, pour \(Y \subset Z\) fermés irréductibles, toutes les chaînes saturées d'extrémités \(Y\) et \(Z\) ont même longueur.

Proposition 5. Soit \(X\) un espace noethérien, \(T_{0}\), de dimension finie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a)deux chaînes maximales de parties fermées irréductibles de \(X\) ont même longueur ;
2. c)\(X\) est équidimensionnel, et pour \(Y \subset Z\) fermés irréductibles, \(\dim(Z) = \dim(Y) + \mathrm{codim}_{Z}(Y)\) ;
3. d)\(X\) est équicodimensionnel, et pour \(Y \subset Z\) fermés irréductibles, \(\mathrm{codim}_{X}(Y) = \mathrm{codim}_{Z}(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Z)\).

Elles entraînent que \(X\) est équidimensionnel, équicodimensionnel et caténaire, mais cette dernière conjonction ne les entraîne pas. Sous ces conditions, \(\dim(Y) + \mathrm{codim}_{X}(Y) = \dim(X)\) pour toute partie fermée irréductible \(Y\) — formule qu'il entoure — et en particulier \(\dim(X) = \mathrm{codim}_{X}\{x\}\) pour tout point fermé \(x\), comme le dit un corollaire écrit de biais dans la marge.¹⁶

6–6

Préschémas algébriques sur un corps (page 6, tapuscrit p. 109)

Corollaire 2. Soit \(X\) un préschéma algébrique sur un corps \(k\) et \(x \in X\). Alors \(\dim_{x}(X) = \sup_{i} \dim(X_{i})\), les \(X_{i}\) parcourant les composantes irréductibles contenant \(x\), et \[ \dim_{x}(X) = \dim \mathcal{O}_{X,x} + \mathrm{deg.tr}_{k}\, k(x). \] La seconde formule est ajoutée de sa main, là où le tapuscrit ne l'énonçait que pour \(x\) fermé, et elle est juste en général.¹⁷

Corollaire 3. Pour un \(k\)-morphisme \(f : X \to Y\) de préschémas algébriques, \(\dim \overline{f(X)} \leq \dim X\).

4–4

Produits, et l'inégalité des dimensions (page 4, tapuscrit p. 110)

Le feuillet finit la démonstration de \(\dim(X \times_{k} Y) = \dim(X) + \dim(Y)\) pour des préschémas de type fini sur un corps, et écrit « en particulier, \(\dim(X \otimes_{k} K) = \dim(X)\) pour toute extension \(K\) de \(k\) ». Il souligne « en particulier » d'un trait ondulé et écrit en marge : « abusif ».¹⁸

Proposition 8. Soient \(X\), \(Y\) localement noethériens, \(f : X \to Y\) un morphisme, \(y \in Y\) et \(x\) le point générique d'une composante irréductible de \(f^{-1}(y)\). Alors \(\mathrm{codim}_{X}\overline{\{x\}} \leq \mathrm{codim}_{Y}\overline{\{y\}}\), c'est-à-dire \(\dim \mathcal{O}_{X,x} \leq \dim \mathcal{O}_{Y,y}\).

Il biffe l'hypothèse « de type fini » du tapuscrit, qui est en effet inutile, et note en marge de simplifier la preuve par l'inégalité \[ \dim \mathcal{O}_{X,x} \leq \dim \mathcal{O}_{Y,y} + \dim \mathcal{O}_{f^{-1}(y),x}, \] dont la proposition est le cas où le dernier terme est nul, puis : « donner le cas d'égalité par platitude ».¹⁹

2–2

Codimension et images réciproques (page 2, tapuscrit p. 111)

Corollaire 1. Soient \(X\), \(Y\) localement noethériens, \(f : X \to Y\), \(Y'\) fermé irréductible dans \(Y\), et \(X'\) une composante irréductible de \(f^{-1}(Y')\) dont l'image est dense dans \(Y'\). Alors \(\mathrm{codim}_{X}(X') \leq \mathrm{codim}_{Y}(Y')\).

Corollaire 2. Soit \(X\) localement noethérien et \(f\) une section de \(\mathcal{O}_{X}\) qui n'est identiquement nulle sur aucune composante irréductible. Toute composante irréductible du lieu \(Z_{f}\) des zéros de \(f\) est de codimension 1.

Les deux « localement noethérien » sont de sa main. En regard de la fin de la démonstration précédente, qui établit laborieusement une inégalité de rangs d'idéaux premiers, il écrit « propositions laborieuses inutiles », et en regard de la démonstration du corollaire 2, qui passe par le Hauptidealsatz de Krull, « affirmations inutiles, si on remarque que », la suite étant illisible.²⁰

8–8

Cycles premiers associés (page 8, un autre tapuscrit)

Un feuillet paginé « 8 », frappé sur une machine sans accents, sur les points associés d'un Module quasi-cohérent : \(\mathrm{Ass} \coprod F_{i} = \bigcup_{i} \mathrm{Ass}\, F_{i}\) ;

Proposition 6.7. Sur \(X\) localement noethérien, une section \(f \in \Gamma(\mathcal{O}_{X})\) définit une homothétie injective de \(F\) si et seulement si \(V(f) \cap \mathrm{Ass}\, F = \emptyset\) ;

Corollaire 6.8. Un Idéal cohérent \(I\) est non diviseur de zéro dans un Module cohérent \(F\) si et seulement si \(V(I) \cap \mathrm{Ass}\, F = \emptyset\) ;

Proposition 6.9. Soit \(U\) un ouvert dense de \(X\) localement noethérien. \(X\) est réduit si et seulement si \(U\) l'est et \(X\) n'a pas de cycles premiers immergés ; ou encore si et seulement si \(X\) n'a pas de cycles premiers immergés et \(\mathcal{O}_{X,x}\) est de longueur 1 aux points génériques des composantes.

En marge de la démonstration de 6.7, qui renvoie au cas affine « où c'est dans Bourbaki » : « démontrer directement ».²¹

16–17

Un tore complexe qui n'est pas une variété abélienne (pages 16 et 17)

Énoncé. Il existe un tore complexe \(T\) de dimension 2, contenant un sous-tore \(T_{0}\) de dimension 1, qui n'est pas une variété abélienne. Comme \(T \to T/T_{0}\) est un fibré analytique localement trivial de fibre \(T_{0}\) au dessus d'un tore de dimension 1, et que les tores de dimension 1 sont des courbes elliptiques, il s'ensuit qu'un fibré analytique dont la base et la fibre sont des variétés de Hodge n'est pas nécessairement une variété de Hodge.²²

Exemple. Soit \(k\) un réel irrationnel, et \(\Gamma \subset \mathbb{C}^{2}\) le sous-groupe engendré par \[ e_{1}, \quad ie_{1}, \quad e_{2}, \quad ke_{1} + ie_{2} . \] Ces quatre vecteurs sont \(\mathbb{R}\)-linéairement indépendants, \(\Gamma\) est un réseau, et \(T = \mathbb{C}^{2}/\Gamma\) est un tore. La droite \(V = \mathbb{C}e_{1}\) rencontre \(\Gamma\) en \(\mathbb{Z}e_{1} + \mathbb{Z}ie_{1}\), et \(T_{0} = V/(\Gamma \cap V) = \mathbb{C}/\mathbb{Z}[i]\) est un sous-tore.²³

Démonstration. Si \(T\) était une variété abélienne, le théorème de réductibilité de Poincaré fournirait un sous-tore complémentaire de \(T_{0}\), c'est-à-dire une droite complexe \(V'\) supplémentaire de \(V\) telle que \(\Gamma \cap V'\) soit un réseau de \(V'\).²⁴ Il existerait alors \(x \in \Gamma \cap V'\) non nul et un nombre complexe non réel \(c = c' + ic''\) tels que \(cx \in \Gamma\) : deux vecteurs \(\mathbb{R}\)-indépendants d'un réseau de la droite complexe \(V'\).

Écrivons \(x = \alpha e_{1} + \beta ie_{1} + \gamma e_{2} + \delta(ke_{1} + ie_{2})\) avec \(\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}\) : ses coordonnées sont \[ z_{1}(x) = (\alpha + k\delta) + i\beta, \qquad z_{2}(x) = \gamma + i\delta, \] et \((\gamma, \delta) \neq (0, 0)\) puisque \(x \notin V\). Les coordonnées de \(cx\) sont \[ z_{1}(cx) = c'(\alpha + k\delta) - c''\beta + i\bigl(c''(\alpha + k\delta) + c'\beta\bigr), \qquad z_{2}(cx) = c'\gamma - c''\delta + i(c''\gamma + c'\delta), \] et, \(cx\) étant dans \(\Gamma\), elles doivent s'écrire \((\alpha' + k\delta') + i\beta'\) et \(\gamma' + i\delta'\) avec des entiers.

1. 1.\(c'\gamma - c''\delta\) et \(c''\gamma + c'\delta\) sont entiers, et \(\gamma^{2} + \delta^{2} \neq 0\) : donc \(c'\) et \(c''\) sont rationnels.
2. 2.\(c''(\alpha + k\delta) + c'\beta\) est entier : donc \(c''k\delta\) est rationnel, et, \(k\) étant irrationnel et \(c'' \neq 0\), \(\delta = 0\).
3. 3.\(c'\alpha - c''\beta = \alpha' + k\delta'\) : donc \(k\delta'\) est rationnel, \(\delta' = 0\), et \(c''\gamma + c'\delta = c''\gamma = 0\), d'où \(\gamma = 0\).

Mais alors \(\gamma = \delta = 0\), et \(x\) est dans l'espace engendré par \(e_{1}\) et \(ie_{1}\), c'est-à-dire dans \(V\) : absurde.²⁵