Cote n° 54 · batch 1 · pages 1–7 · Transcription · Dualité en cohomologie des V. A [variétés abéliennes] : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1971]
Édition de démonstration

Dualité en Cohomologie de V.A.

titre de sa main, en haut à droite du feuillet de garde, qui ne porte rien d'autre ; c'est lui qui nomme la suite et il ne reçoit pas de numéro de page

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\(A\) V.A., \(B\) duale.

\[ H^{*}(A) \;=\; \underline{\underline{H}}{}^{*}\!\left(A,\ \underline{\underline{\Omega}}{}^{*}_{A}\right) \]

le \(H\) et le \(\Omega\) sont l'un et l'autre soulignés deux fois ; glosé à droite de la formule, sur la même ligne : « Coh. de Hodge–DeRham »

\[ t_B = H^1(A, \mathcal{O}_A), \qquad t_A = H^0(A, \Omega^1_A)^{\vee} \simeq H^n(A, \Omega^{n-1}_A) . \]

Autre interprétation : Considérons l'extension universelle de \(A\) par un groupe vectoriel [\(V\)], elle […] […] par \(\operatorname{Hom}\!\left(H^1(A,\mathcal{O}_A)^{\vee},\, V\right)\), […] l'extension universelle

la phrase est reprise deux fois : « \(V\) une telle extension est » est écrit en interligne au-dessus de « un groupe vectoriel », et la formule \(\operatorname{Hom}(H^1(A,\mathcal{O}_A)^{\vee}, V)\) est insérée au-dessus d'un \(V\) biffé, à la suite de \(H^1(A,\mathcal{O}_A)\). Les mots de liaison qui tenaient les deux états ensemble ne se laissent pas lire

\[ 0 \longrightarrow W(\check{t}_B) \longrightarrow E \longrightarrow A \longrightarrow 0 \]

le caron sur \(t_B\) est sa marque du dual ; il ne l'explique pas ici

et passant aux espaces tangents on trouve une extension

\[ 0 \longrightarrow \check{t}_B \longrightarrow t_E \longrightarrow t_A \longrightarrow 0 . \]

Je dis que cette extension n'est autre que \(S_B\), (ce qui donne en prenant \(t_E = H^1(B)\)) et que de plus elle est transposée de \(S_A\), ce qui donne

\(H^1(A)\) et \(H^1(B)\) sont duals l'un de l'autre

encadré sur la page. \(S_A\) et \(S_B\) ne sont pas définis dans ce qui précède ; il les suppose connus

Plus fin, il faut prouver que \(H^{*}(A)\) et \(H^{*}(B)\)

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feuillet d'un autre document, que le dossier a reçu comme support : un tapuscrit sur la platitude et la liberté, numéroté 4.1 et suivants, écrit à la première personne (« Je m'aperçois à l'instant d'une amélioration dans une autre direction de 4.1., dont je vais reprendre l'énoncé »). On n'en reprend ici que les énoncés sur lesquels sa plume travaille

Proposition 4.1. Soient \(A\) un anneau, \(I\) un idéal nilpotent de \(A\), \((A_i)_{i \in I}\) une famille de \(A\)-algèbres telle que l'intersection des noyaux des homomorphismes \(A \to A_i\) soit réduite à \(0\), \(M\) un \(A\)-module. On suppose \(M \otimes_A A/I\) libre sur \(A/I\) (resp. plat sur \(A/I\), et l'ensemble d'indices \(i\) fini), et pour tout \(i\), \(M \otimes_A A_i\) libre (resp. plat) sur \(A_i\). Alors [\(\forall n\),] \(M\) [\(\otimes_A (A/I^{n+1})\)] est plat sur \(A\) libre (resp. plat) sur \(A/I\)[\(^{n+1}\)].

c'est là toute l'intervention de sa main sur ce feuillet, et elle est mathématique : l'hypothèse de nilpotence tombe, et la conclusion, qui portait sur \(A\) lui-même, ne porte plus que sur les quotients \(A/I^{n+1}\), pour tout \(n\). Le tapuscrit demandait \(I\) nilpotent précisément pour passer de \(A/I\) à \(A\) ; la phrase suivante, restée telle quelle, s'appuie encore dessus

Corollaire. Supposons \(A\) anneau noethérien, […] \(\left(\bigcap I_i = 0\right)\), […] \(M\) […] \(A\)-module […]

brouillon écrit à la main au bas du feuillet, sous un grand crochet, et biffé ligne après ligne ; on n'en tire que les mots ci-dessus. On y relit \(M \otimes_A A/I_i\) et « \(M\) plat / \(A\) », mais l'énoncé ne se laisse pas reconstituer et n'est pas reconstitué ici

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sont duals l'un de l'autre, et que \(H^p(A, \Omega^q_A) \to\) soit le dual de \(H^q(B, \Omega^p_A)\).

l'indice du second \(\Omega\) est écrit \(A\) ; la symétrie de l'énoncé demande \(B\). La lecture est nette et n'est pas corrigée

(Ce dernier fait, […] : \(H^{*}(A,\Omega^{*}_A) = \bigwedge\left(H^{*}(A,\Omega^{*}_A)\right)^{(1)}\) est immédiate.) De plus, pour avoir une dualité entre \(H^{*}(A)\) et \(H^{*}(B)\), il suffirait […] structure commune de les définir entre \(H^{*}(A)\) et \(H^{*}(B)\), ce qui ne saurait offrir de difficultés…

\((1)\) marque la composante de degré \(1\) : l'anneau de cohomologie de Hodge d'une variété abélienne est l'algèbre extérieure sur cette composante. La phrase qui suit est reprise en cours de route et ses mots de liaison ne se lisent pas tous

Je […] bien […] de conjuguer ces extensions et dualités avec ce qui donne la dualité de Cartier. Considérons (le cas strict : \(p > 0\)) \({}_pA\) qui est dual au sens Cartier de \({}_pB\). On a (ainsi \(F^A = \operatorname{gr}(t_A) \subset {}_pA\)), de degrés respectifs \(p^{\,\struck{2d}\,d}\) et \(p^{2d}\), où \(d = \dim A\).

l'exposant du premier \(p\) est corrigé de \(2d\) en \(d\) : c'est le rang de \(F^A\), contre \(p^{2d}\) pour \({}_pA\) tout entier

\[ \left. \begin{array}{l} F^A \subset {}_pA \\[2pt] F^B \subset {}_pB \end{array} \right\} \quad \text{duals l'un de l'autre} \]

Je dis que \(F^A\) et \(F^B\) sont orthogonaux l'un de l'autre. Noter que \(F^B\) […]

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second feuillet du même tapuscrit ; même règle qu'au feuillet 3

[Proposition A] Corollaire 4.1. ter Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de présentation finie, avec \(Y\) affine [\(\neq \emptyset\)], \(F\) un Module de présentation finie sur \(X\). Alors, quitte à remplacer \(Y\) par un ouvert non vide convenable, on a ce qui suit : il existe un sous-schéma fermé \(Z\) de \(Y\), [de présentation finie sur \(Y\),] tel que pour tout changement de base \(Y' \to Y\), la condition nécessaire et suffisante pour que \(F'\) soit plat par rapport à \(Y'\) est que \(Y' \to Y\) se factorise en \(Y' \to Z \to Y\).

trois interventions de sa main, et la première est la plus lourde de conséquence : l'énoncé cesse d'être un corollaire de 4.1 pour devenir une proposition autonome, « Proposition A ». Le feuillet 3 se sert déjà de ce nom (« En vertu de Prop. A »), mais là c'est la machine qui l'a frappé, par-dessus une référence à 4.1 biffée au ruban ; le tapuscrit se citait donc sous un nom que son propre titre ne portait pas, et c'est la plume qui met le titre à jour. L'hypothèse « \(Y\) affine » tombe au profit de « \(Y \neq \emptyset\) », et \(Z\) reçoit d'être de présentation finie sur \(Y\)

De plus, (quitte à remplacer \(Y\) par un ouvert non vide plus petit), si \(Y\) est affine et \(X\) est réunion finie d'ouverts affines \(U_i\), alors on a ceci : si la condition précédente est vérifiée pour \(Y'\), et si \(Y'\) est d'anneau \(A'\) affine, alors pour tout \(i\), \(\Gamma(U_i, F')\) est un \(A'\)-module libre.

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[…] sur le diagramme de deux suites transposées l'une de l'autre

\begin{tikzcd}
A \arrow[r, "F"] & A^{(p)} \arrow[r, "V"] & A \\
B & B^{(p)} \arrow[l, "V"] & B \arrow[l, "F"]
\end{tikzcd}

le troisième sommet de la ligne du haut est tracé comme un \(V\) nu, sans barre ; on le lit \(A\) par la symétrie avec la ligne du bas, qui est complète, et la lecture reste douteuse

On a donc ainsi la suite exacte

\[ 0 \longrightarrow \operatorname{Gr}(t_A) \longrightarrow {}_pA \longrightarrow D\!\left(\operatorname{Gr}(t_B)\right) \longrightarrow 0 \]

extension canonique de \(D(F^B)\) par \(F^A\).

Mais d'ailleurs […] […] et correspond […] une extension […] les correspondances de \({}_pA\) ??

la fin du feuillet est un brouillon rapide, entrecoupé d'une insertion entourée d'un trait de plume que l'encre ne rend pas ; les formules portent, les phrases entre elles non. Les « ?? » sont de lui et ferment la page