Cote n° 54 · pages 1–7 · Lecture modernisée · Dualité en cohomologie des V. A [variétés abéliennes] : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1971]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–7

Le dossier, sa charpente et ses notations

Sept feuillets, dont un de garde. Le feuillet 1 ne porte que le titre, de sa main : Dualité en Cohomologie de V.A. Les feuillets 2, 4 et 6 portent la suite ainsi nommée. Les feuillets 3 et 5 sont deux pages d'un tapuscrit sur la platitude, sans rapport avec la dualité, qu'il a corrigé à la plume ; le feuillet 7 est un tapuscrit de Bourbaki sur les chambres et les cloisons, au dos du feuillet 6, qu'il n'a pas touché.¹

L'argument de la suite proprement dite tient en quatre stations :

• le cadre et les deux espaces tangents (feuillet 2, en tête) ;
• l'extension vectorielle universelle, et la dualité en degré 1 (feuillet 2, puis le haut du feuillet 4) ;
• le passage de ce degré à tous les autres, et ce qui reste à faire (feuillet 4) ;
• la même figure en caractéristique \(p\) (bas du feuillet 4, puis feuillet 6).

Les notations sont fixées ici pour tout ce qui suit. \(k\) est un corps, \(A\) une variété abélienne sur \(k\) de dimension \(d\),² et \(B = \widehat{A}\) sa duale, de même dimension. On pose \[ \omega_A = H^0(A, \Omega^1_A), \qquad t_A = \operatorname{Lie} A = \omega_A^{\vee}, \] et de même pour \(B\). On note \(D(-)\) le dual de Cartier d'un schéma en groupes fini, \(A[p]\) le noyau de la multiplication par \(p\),³ et \(H^{*}_{\mathrm{dR}}\) la cohomologie de de Rham, c'est-à-dire l'hypercohomologie du complexe \(\Omega^{\bullet}_A\).⁴

2–2

Le cadre : deux espaces tangents (feuillet 2)

Tout part d'un fait que le manuscrit pose sans le démontrer, et qui est la raison d'être de la duale : l'espace tangent de \(B\) à l'origine est un groupe de cohomologie de \(A\), \[ t_B \;=\; H^1(A, \mathcal{O}_A). \] Cela tient à ce que \(B\) est la composante neutre du schéma de Picard de \(A\) : déformer un fibré en droites au premier ordre, c'est exactement se donner une classe dans \(H^1(A, \mathcal{O}_A)\). La dualité entre \(A\) et \(B\) est donc, dès le départ, une affaire de cohomologie et non seulement de géométrie.

En face, l'espace tangent de \(A\) est le dual des différentielles invariantes, et la dualité de Serre le fait remonter en haut du tableau : \[ t_A \;=\; H^0(A, \Omega^1_A)^{\vee} \;\simeq\; H^d(A, \Omega^{d-1}_A). \] ⁵

Il vaut la peine de dire tout de suite ce qui rend le calcul de cohomologie d'une variété abélienne si maniable, car tout le feuillet 4 en dépend. Le fibré des \(1\)-formes y est trivial, \(\Omega^1_A \cong \mathcal{O}_A \otimes \omega_A\), donc \(\Omega^p_A \cong \mathcal{O}_A \otimes \Lambda^p \omega_A\) et \[ H^q(A, \Omega^p_A) \;\cong\; \Lambda^p \omega_A \otimes \Lambda^q t_B , \] puisque \(H^q(A, \mathcal{O}_A) = \Lambda^q H^1(A, \mathcal{O}_A) = \Lambda^q t_B\). Toute la cohomologie de Hodge est donc lue sur les deux espaces vectoriels \(\omega_A\) et \(t_B\), de dimension \(d\) chacun.

2–2

L'extension universelle, et la dualité en degré 1 (feuillet 2, feuillet 4 en tête)

Voici l'idée du dossier, et c'est la bonne.

Les extensions de \(A\) par le groupe additif sont classées par \(\operatorname{Ext}^1(A, \mathbb{G}_a) \cong H^1(A, \mathcal{O}_A) = t_B\). Pour un groupe vectoriel \(W(V)\) attaché à un espace vectoriel \(V\), on a donc \[ \operatorname{Ext}^1\!\left(A,\, W(V)\right) \;\cong\; t_B \otimes V \;\cong\; \operatorname{Hom}\!\left(t_B^{\vee},\, V\right). \] C'est la formule que porte le feuillet 2, insérée en interligne au-dessus d'une première rédaction biffée. Un tel groupe de classes étant un groupe de morphismes issus d'un objet fixe, il a un élément universel : celui qui correspond à l'identité, obtenu en prenant \(V = t_B^{\vee} = \omega_B\). D'où l'extension vectorielle universelle \[ 0 \longrightarrow W(\omega_B) \longrightarrow E(A) \longrightarrow A \longrightarrow 0 , \] qui est celle par laquelle toute extension de \(A\) par un groupe vectoriel se factorise, d'une seule manière.⁶

Passons aux espaces tangents. La suite reste exacte, le terme de gauche est son propre espace tangent, et l'on obtient \[ 0 \longrightarrow \omega_B \longrightarrow \operatorname{Lie} E(A) \longrightarrow t_A \longrightarrow 0 . \]

Le pas décisif tient en une observation d'identification. Puisque \(\widehat{B} = A\), la formule du cadre appliquée à \(B\) donne \(t_A = \operatorname{Lie} \widehat{B} = H^1(B, \mathcal{O}_B)\). La suite ci-dessus se relit donc entièrement sur \(B\) : \[ 0 \longrightarrow H^0(B, \Omega^1_B) \longrightarrow \operatorname{Lie} E(A) \longrightarrow H^1(B, \mathcal{O}_B) \longrightarrow 0 , \] et l'on reconnaît, terme pour terme, la filtration de Hodge de \(H^1_{\mathrm{dR}}(B)\) — que le manuscrit appelle \(S_B\).⁷ D'où sa conclusion, en une ligne : \[ \operatorname{Lie} E(A) \;=\; H^1_{\mathrm{dR}}(B). \] La cohomologie de de Rham de la duale n'est pas seulement isomorphe à un espace tangent : elle est l'espace tangent d'une variété que \(A\) détermine.

Reste la dualité elle-même, et elle est maintenant une transposition. Dualisons \(S_B\) : \[ 0 \longrightarrow t_A^{\vee} \longrightarrow H^1_{\mathrm{dR}}(B)^{\vee} \longrightarrow \omega_B^{\vee} \longrightarrow 0 , \] c'est-à-dire, en réécrivant \(t_A^{\vee} = \omega_A\) et \(\omega_B^{\vee} = t_B\), \[ 0 \longrightarrow \omega_A \longrightarrow H^1_{\mathrm{dR}}(B)^{\vee} \longrightarrow t_B \longrightarrow 0 , \] qui est \(S_A\). Les deux suites sont transposées l'une de l'autre, et par conséquent \[ H^1_{\mathrm{dR}}(A)^{\vee} \;\cong\; H^1_{\mathrm{dR}}(B). \] C'est l'encadré du feuillet 2 : « \(H^1(A)\) et \(H^1(B)\) sont duals l'un de l'autre ».⁸

4–4

De ce degré à tous les autres (feuillet 4)

Le feuillet 4 s'ouvre sur la suite de la phrase encadrée, et sur ce qu'il voudrait de mieux : que \(H^{*}(A)\) et \(H^{*}(B)\) soient duals en tous degrés, et non seulement au premier.

Il note aussitôt que ce n'est presque rien de plus, et il a raison. La cohomologie de Hodge d'une variété abélienne est l'algèbre extérieure sur sa composante de degré 1 : \[ H^{*}(A, \Omega^{*}_A) \;=\; \Lambda^{*}\!\left(\omega_A \oplus t_B\right), \] ce qu'il écrit \(H^{*}(A,\Omega^{*}_A) = \Lambda\!\left(H^{*}(A, \Omega^{*}_A)\right)^{(1)}\), l'exposant \((1)\) désignant la partie de degré \(1\).⁹ Une dualité entre les composantes de degré 1 se propage donc mécaniquement, et le calcul donne \[ H^q(A, \Omega^p_A)^{\vee} \;\cong\; H^p(B, \Omega^q_B), \] puisque le dual de \(\Lambda^p\omega_A \otimes \Lambda^q t_B\) est \(\Lambda^p t_A \otimes \Lambda^q \omega_B\), qui est la composante de bidegré \((q,p)\) de \(B\).¹⁰ Le même argument, la dégénérescence de la suite spectrale de Hodge vers de Rham étant acquise pour les variétés abéliennes, donne \(H^i_{\mathrm{dR}}(A)^{\vee} \cong H^i_{\mathrm{dR}}(B)\) en tous degrés.¹¹

Le feuillet dit alors ce qu'il voudrait à la place, et c'est la seule chose que le dossier annonce sans jamais la faire : disposer d'une « structure commune » qui définirait \(H^{*}(A)\) et \(H^{*}(B)\) d'un seul geste, la dualité n'étant plus alors qu'une lecture de cette structure. Il ajoute que « cela ne saurait offrir de difficultés » et passe à autre chose.¹²

4–6

La même figure en caractéristique \(p\) (feuillets 4 et 6)

Ici commence la seconde moitié, et elle s'ouvre sur une intention déclarée : conjuguer les extensions et dualités qui précèdent avec ce qui donne la dualité de Cartier. On se place donc en caractéristique \(p > 0\).

L'appariement de Weil, et la partie infinitésimale

Le point de départ est que la dualité entre \(A\) et \(B\) se voit sur les points d'ordre \(p\). Le schéma en groupes fini \(A[p]\) est de rang \(p^{2d}\), et l'appariement de Weil \[ A[p] \times B[p] \longrightarrow \mu_p \] est parfait : \(B[p] = D(A[p])\), dual de Cartier. C'est ce que le feuillet 4 énonce en disant que \(A[p]\) « est dual au sens Cartier » de \(B[p]\).

À l'intérieur de \(A[p]\) vit une partie purement infinitésimale, le noyau du Frobenius \(F : A \to A^{(p)}\). Elle est de rang \(p^d\) et son algèbre de Lie est \(t_A\) ; c'est elle que le manuscrit note \(F^A = \operatorname{gr}(t_A)\), le groupe qu'il attache ainsi à \(t_A\).¹³

L'orthogonalité, qui est le résultat du feuillet

L'affirmation du feuillet 4 est que \(\ker F_A\) et \(\ker F_B\) sont orthogonaux l'un de l'autre pour l'appariement de Weil. Elle est vraie, et exactement : chacun est l'annulateur de l'autre, et non seulement contenu dedans.

La vérification tient en deux lignes une fois posé le dictionnaire de la dualité de Cartier. Pour un sous-groupe \(H \subseteq A[p]\), l'orthogonal \(H^{\perp} \subseteq B[p] = D(A[p])\) est \(D(A[p]/H)\). Or l'isogénie \(p_A\) se factorise en \(A \xrightarrow{\;F\;} A^{(p)} \xrightarrow{\;V\;} A\), d'où \(A[p]/\ker F_A \cong \ker V_A\), et la dualité échange Frobenius et Verschiebung : \(D(\ker V_A) = \ker F_B\). Donc \[ (\ker F_A)^{\perp} \;=\; D\!\left(A[p]/\ker F_A\right) \;=\; D(\ker V_A) \;=\; \ker F_B . \] Les rangs concordent, \(p^d\) de part et d'autre dans un appariement parfait de rang \(p^{2d}\), ce qui était déjà le premier indice.

C'est ce dictionnaire que le feuillet 6 dessine, en portant les deux suites de Frobenius et de Verschiebung l'une au-dessus de l'autre, « deux suites transposées l'une de l'autre » :

\begin{tikzcd}[column sep=large]
A \arrow[r, "F"] & A^{(p)} \arrow[r, "V"] & A \\
B & B^{(p)} \arrow[l, "V"] & B \arrow[l, "F"]
\end{tikzcd}

¹⁴

L'extension canonique

De la factorisation \(p = VF\) et du dictionnaire ci-dessus, le feuillet 6 tire la suite exacte \[ 0 \longrightarrow \ker F_A \longrightarrow A[p] \longrightarrow D(\ker F_B) \longrightarrow 0 , \] qu'il décrit d'un mot : \(A[p]\) est l'extension canonique de \(D(F^B)\) par \(F^A\).

C'est là que la figure se referme, et c'est ce qui fait l'intérêt du dossier. Comparons avec le feuillet 2 : \[ 0 \to W(\omega_B) \to E(A) \to A \to 0 \qquad\text{et}\qquad 0 \to \ker F_A \to A[p] \to D(\ker F_B) \to 0 . \] Même forme : à gauche une pièce additive ou infinitésimale que \(B\) fournit, au milieu l'objet qui porte le « \(H^1\) », à droite un quotient dual de la pièce correspondante de \(B\). Dans le premier cas, prendre l'espace tangent donne \(H^1_{\mathrm{dR}}(B)\) et la filtration de Hodge. Dans le second, la théorie de Dieudonné joue le rôle de l'espace tangent, et le module qu'elle associe à \(A[p]\) se compare de la même façon à la cohomologie de de Rham, la filtration de Hodge répondant au noyau du Frobenius.¹⁵

Que ce soit là une seule figure et non deux qui se ressemblent, c'est précisément ce que le feuillet 4 demandait — « conjuguer ces extensions et dualités avec ce qui donne la dualité de Cartier » — et ce que le dossier ne démontre pas. Il s'arrête sur un brouillon rapide, une insertion entourée d'un trait de plume, et deux points d'interrogation de sa main.¹⁶

3–5

Un tapuscrit sur la platitude, corrigé au passage (feuillets 3 et 5)

Les feuillets 3 et 5 n'appartiennent pas à la suite qui précède. Ce sont deux pages d'un tapuscrit sur la platitude et la liberté des modules, numéroté 4.1 et suivants, écrit à la première personne — « je m'aperçois à l'instant d'une amélioration dans une autre direction de 4.1., dont je vais reprendre l'énoncé » — dont le dossier s'est servi comme papier. Sa plume y est passée, et ce qu'elle y fait n'est pas de la correction typographique.

Une hypothèse ôtée, et la conclusion qu'elle emportait

La Proposition 4.1 telle que la machine l'a frappée suppose \(I\) nilpotent et conclut que \(M\) est libre, ou plat, sur \(A\). Sa plume biffe « nilpotent » et récrit la conclusion : pour tout \(n\), c'est \(M \otimes_A A/I^{n+1}\) qui est libre, ou plat, sur \(A/I^{n+1}\).

L'affaiblissement n'est pas une prudence, c'est ce que la suppression de l'hypothèse impose exactement. Avec \(I\) nilpotent, \(I^{n+1} = 0\) pour \(n\) assez grand, donc \(A/I^{n+1} = A\) et la conclusion ancienne se retrouve telle quelle : la nouvelle contient l'ancienne. Sans nilpotence, l'argument ne franchit plus le passage de \(A/I\) à \(A\) et ne va pas au-delà des quotients \(I\)-adiques ; c'est précisément le pas que la nilpotence servait à faire. On tient donc, après sa main, l'énoncé suivant :

Soient \(A\) un anneau, \(I\) un idéal de \(A\), \((A_i)_{i \in I}\) une famille de \(A\)-algèbres telle que l'intersection des noyaux des \(A \to A_i\) soit nulle, et \(M\) un \(A\)-module. Si \(M \otimes_A A/I\) est libre sur \(A/I\) (resp. plat, la famille d'indices étant alors finie) et si \(M \otimes_A A_i\) est libre (resp. plat) sur \(A_i\) pour tout \(i\), alors pour tout \(n\), \(M \otimes_A A/I^{n+1}\) est libre (resp. plat) sur \(A/I^{n+1}\).

¹⁷

Au bas du feuillet 3 il commence à la main, sous un grand crochet, un corollaire de cet énoncé corrigé. Il le biffe ligne après ligne et le brouillon ne se laisse pas reconstituer ; on y relit un anneau, une condition d'intersection nulle des idéaux, et « \(M\) plat sur \(A\) ».

Un corollaire promu

Le feuillet 5 porte ce que l'on appellerait aujourd'hui le sous-schéma de platification, ou stratification aplatissante : étant donné un morphisme \(f : X \to Y\) de présentation finie et un Module \(F\) de présentation finie sur \(X\), il existe, quitte à rétrécir \(Y\) à un ouvert non vide, un sous-schéma fermé \(Z \subseteq Y\) tel qu'un changement de base \(Y' \to Y\) rende \(F'\) plat sur \(Y'\) si et seulement s'il se factorise par \(Z\).¹⁸

Trois interventions de sa main sur cet énoncé, et la première est la plus lourde : le titre « Corollaire 4.1. ter » est biffé et « Proposition A » écrit au-dessus. L'énoncé cesse d'être un corollaire pour devenir un résultat autonome. Ce n'est pas une décision prise à cet instant : le feuillet 3 se sert déjà du nom « Prop. A », mais là c'est la machine qui l'a frappé, par-dessus une référence à 4.1 biffée au ruban. Le tapuscrit se citait donc sous un nom que son propre titre ne portait pas, et la plume ne fait que fermer l'écart.

Les deux autres corrections sont des hypothèses. « \(Y\) affine » tombe au profit de « \(Y \neq \emptyset\) » — l'énoncé n'a pas besoin d'affinité, seulement de quelque chose à rétrécir. Et \(Z\) reçoit d'être de présentation finie sur \(Y\), sans quoi le sous-schéma obtenu ne serait pas un objet avec lequel on peut travailler dans la catégorie où l'énoncé se place.