Cote n° 53 · pages 1–33 · Lecture modernisée · Groupes algébriques : notes manuscrites (s.d.), lettre (1973) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1973
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier compte trente-trois pages : une chemise (page 1), quatorze pages de notes de sa main sur les groupes algébriques sur un corps (pages 2 à 15), une lettre d'une autre main (pages 16 à 20), et treize pages de notes de sa main sur les groupes affines sur un anneau (pages 21 à 33). Aucune page de notes n'est datée ni paginée par lui ; la date de l'inventaire, 1973, est celle de la lettre.

1. 1.Groupes et homogénéité (pages 2 à 5) : la multiplication est universellement ouverte, les ouverts \(U \cdot V\), les parties stables par la composante neutre, les composantes connexes ; un plan du cours (page 4) ; les homomorphismes, leur image fermée, les monomorphismes (page 5).
2. 2.Régularité et lissité (pages 6 à 8) : régularité géométrique, critère jacobien, lieu lisse ; un groupe géométriquement réduit est lisse ; composantes irréductibles et connexes d'un groupe.
3. 3.Schémas sur un corps (pages 9 à 14) : un critère d'irréductibilité géométrique, rectifié ; schémas étales et ensembles galoisiens ; le schéma \(\pi_{0}(X/k)\) des composantes connexes géométriques, traité deux fois (pages 9-10 et page 14) ; les quatre propriétés géométriques (pages 11 à 13).
4. 4.Dualité de Cartier (page 15).
5. 5.La lettre (pages 16 à 20).
6. 6.Distributions et comodules (pages 21 à 29) : l'algèbre des distributions, l'action d'un monoïde affine comme coaction, les foncteurs \(V\) et \(W\), comodules et \(\check{A}\)-modules topologiques, sous-modules stables, théorème de finitude.
7. 7.Groupes affines et matrices (pages 30 à 33) : un groupe affine sur un corps est limite projective de groupes de type fini, un monoïde affine de type fini se plonge dans \(\mathrm{M}_{n}\) ; exemples ; représentabilité de \(W(M)\) et de \(V(M)\).

Les deux moitiés ne se citent pas, mais elles se rejoignent en un point : l'énoncé de la page 30, dont la lettre conteste la partie b), et que la page 21 rectifie.

Conventions. Sur les pages 2 à 15, \(k\) est un corps, \(k_{s}\) une clôture séparable, \(\bar k\) une clôture algébrique, et \(\pi = \mathrm{Gal}(k_{s}/k)\) comme sur la page. \(G\) est un schéma en groupes sur \(k\), \(G^{0}\) sa composante neutre, \(G_{\mathrm{réd}}\) le sous-schéma réduit. L'action d'un groupe sur un schéma est notée \(a \colon G \times X \to X\) et la multiplication de \(G\) est notée \(\mu\).¹ Sur les pages 21 à 33, \(k\) est un anneau, \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{k}\) le foncteur \(k' \mapsto k'\) sur les \(k\)-algèbres, \(A\) l'algèbre affine, \(\Delta \colon A \to A \otimes_{k} A\) la comultiplication, \(\varepsilon\) la coünité, \(\sigma\) l'antipode, \(\rho_{M} \colon M \to M \otimes_{k} A\) une coaction,² et \[ V(M) \colon k' \longmapsto \mathrm{Hom}_{k}(M, k'), \qquad W(M) \colon k' \longmapsto M \otimes_{k} k' . \] Le premier est contravariant en \(M\), le second covariant ; c'est l'usage des pages 32 et 33, que l'on suit partout.³ On note \(\check{A} = \mathrm{Hom}_{k}(A, k) = V(A)(k)\) le dual de \(A\), et \(\delta\) le coproduit de \(\mathrm{Dist}(X)\), dual de la multiplication de \(A\).

Un même mot désigne deux choses dans le dossier : séparé (la diagonale est une immersion fermée) et séparable (géométriquement réduit) ; la page abrège les deux en « sép. », et on les distingue partout.

Annoncé et non établi : le théorème biffé de la page 6 sur le lieu de régularité géométrique ; la démonstration de b) \(\Rightarrow\) a) de la page 7, réduite à « Esquisse » ; les plans des pages 4, 5 et 15 ; l'extension de la dualité de Cartier à \(\mathbf{G}_{a}\) (« il faut… ») ; la dernière ligne de la page 33.

2–3

Groupes, pseudo-torseurs et ouverts \(U \cdot V\) (pages 2, 3 et 5)

Tout schéma en groupes sur un corps est séparé. En effet la section unité \(e \colon \mathrm{Spec}\, k \to G\) est une immersion fermée (un point rationnel d'un schéma sur un corps est fermé), et la diagonale de \(G\) s'en déduit par le changement de base \((x, y) \mapsto x y^{-1}\).⁴

La multiplication \(\mu \colon G \times G \to G\) est universellement ouverte. L'automorphisme \((g, h) \mapsto (gh, h)\) de \(G \times G\) la transforme en la première projection, et une projection \(X \times_{k} Y \to X\) est universellement ouverte pour des schémas sur un corps. Plus généralement, appelons pseudo-torseur sous \(G\) un \(k\)-schéma \(X\) muni d'une action \(a\) telle que \((g, x) \mapsto (gx, x)\) soit un isomorphisme \(G \times X \to X \times X\) ; alors \(a \colon G \times X \to X\) est universellement ouverte, par le même argument.

Proposition. Soient \(X\) un pseudo-torseur sous \(G\), \(U \subset G\) et \(V \subset X\) deux ouverts.

• a)\(U \cdot V\) est ouvert.
• b)\(U \cdot V\) est stable par translation par \(G^{0}\), donc par générisation.
• c)\(U \cdot V\) est stable par spécialisation.
• c')Si \(U \cdot V\) est quasi-compact (par exemple \(U\) et \(V\) quasi-compacts), ou si \(X\) est localement noethérien, \(U \cdot V\) est fermé.⁵

La démonstration de b), à la page 3, se ramène au cas où un point \(x = u_{0} v_{0}\) de \(U \cdot V\) est rationnel, avec \(u_{0} \in U(k)\) et \(v_{0} \in V(k)\), et montre que \(g x \in U \cdot V\) pour \(g \in G^{0}\) : il suffit de trouver \(u\) dans \(U \cap g W^{-1}\), où \(W\) est l'image réciproque de \(V\) par \(h \mapsto h x\). Or \(T = G^{0} u_{0}\) est irréductible et contient \(u_{0} \in U\) et \(g u_{0} \in g W^{-1}\) ; les deux ouverts \(U \cap T\) et \(g W^{-1} \cap T\) de \(T\) sont non vides, donc se rencontrent.⁶

Lemme. Soit \(G\) opérant sur \(X\), de sorte que les morphismes orbitaux \(g \mapsto g x\) soient générisants (c'est le cas pour un pseudo-torseur).

• 1)Une partie \(W\) de \(X\) stable par \(G^{0}\) est stable par générisation et par spécialisation ; si \(X\) est localement noethérien, elle est donc ouverte et fermée.
• 2)Réciproquement, une partie ouverte et fermée de \(X\) est stable par \(G^{0}\).

Pour 1) : si \(y \in W\) est rationnel et \(x\) générise \(y\), le morphisme orbital \(\varphi \colon G^{0} \to X\), \(g \mapsto g y\), est générisant et \(G^{0}\) est stable par générisation dans \(G\), donc \(x \in \varphi(G^{0}) \subset W\). Le complémentaire de \(W\) est stable par \(G^{0}\) lui aussi, donc par générisation, et \(W\) est stable par spécialisation. Dans un schéma localement noethérien, une partie stable dans les deux sens est réunion de composantes connexes, donc ouverte et fermée.⁷ Pour 2), qui est en tête de la page 5 : si \(W\) est ouverte et fermée, \(a^{-1}(W) \cap (G^{0} \times W)\) est ouverte et fermée dans \(G^{0} \times W\) et contient \(e \times W\) ; chaque fibre \(G^{0}_{k(w)}\) de \(G^{0} \times W \to W\) est connexe et rencontre \(e \times W\), donc \(a^{-1}(W)\) contient \(G^{0} \times W\). Cette moitié n'utilise pas l'hypothèse sur les morphismes orbitaux.⁸

Corollaire. Soit \(X\) un pseudo-torseur sous \(G\). Alors \(X\) est réunion disjointe de parties à la fois ouvertes, fermées et quasi-compactes, stables par \(G^{0}\) ; en particulier les composantes connexes de \(X\) sont quasi-compactes. Si de plus \(G\) est localement de type fini, les composantes connexes de \(X\) sont ses composantes irréductibles.⁹

En effet, pour \(U\) un voisinage ouvert affine de \(e\) et \(V\) un ouvert affine de \(X\), \(U \cdot V\) est ouvert, fermé et quasi-compact par a) et c'), et \(X\) est réunion de tels ouverts.

4–4

Un plan du cours (page 4)

La page 4, au crayon, esquisse la suite. Sur un corps parfait, un groupe algébrique se dévisse en \[ e \subset G^{0}_{\mathrm{réd}} \subset G^{0} \subset G , \] où \(G^{0}_{\mathrm{réd}}\) est un groupe lisse connexe, \(G^{0}/G^{0}_{\mathrm{réd}}\) un groupe radiciel (infinitésimal), et \(G/G^{0}\) un groupe étale — un groupe discret muni d'une action continue de \(\pi\) ; \(G\) est quasi-compact si et seulement si \(G/G^{0}\) est fini.¹⁰ La structure des groupes lisses connexes est « assez bien connue » : variétés abéliennes, groupes semi-simples, tores, groupes vectoriels \(\mathbf{G}_{a}^{s}\), avec des formes tordues ; celle des groupes radiciels se ramène, par dévissage, aux groupes de hauteur \(1\), décrits par leurs \(p\)-algèbres de Lie ; restent les groupes discrets. Dans le cas commutatif, la liste des briques est : variétés abéliennes, \(\mathbf{G}_{a}\), \(\mathbf{G}_{m}\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(\mu_{p}\), \(\alpha_{p}\).¹¹

5–5

Homomorphismes (page 5)

Soit \(u \colon G \to H\) un homomorphisme de schémas en groupes localement de type fini sur \(k\).

Corollaire. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(u\) est universellement générisant ; a') \(u\) est générisant en un point ;
• b)\(u(G) \supset H^{0}\) ;
• c)\(u(G)\) contient un point maximal de \(H\).

Sous ces conditions, \(u(G)\) est une partie ouverte et fermée de \(H\).

L'image d'un homomorphisme de groupes localement de type fini sur un corps est fermée — c'est le sous-groupe fermé quotient de \(G\) par le noyau. Si \(u\) est générisant en un point, son image contient le point générique d'une composante irréductible, d'où c) ; si \(u(G)\), fermé, contient un point maximal, il contient la composante correspondante, un translaté de \(H^{0}\), et donc \(H^{0}\) puisque c'est un sous-groupe, d'où b) ; et si \(u(G) \supset H^{0}\), \(u\) se factorise par l'ouvert \(u(G)\), réunion de translatés de \(H^{0}\), sur lequel il est fidèlement plat, donc universellement générisant.¹²

Corollaire. Si \(G\) est quasi-compact, l'image de \(u\) est fermée.

Proposition. Un monomorphisme \(u \colon G \to H\), avec \(G\) de type fini, est une immersion fermée.

C'est le théorème de SGA 3, VI\(_{B}\), 1.4.2 ; la page l'énonce sans démonstration, et une note de marge au crayon interroge la stabilité par spécialisation.

Suit un plan. D'un côté, les groupes étales et leurs limites : groupes discrets, profinis, localement compacts totalement discontinus, éventuellement tordus, équivalents aux groupes topologiques correspondants munis d'une action continue de \(\pi\). De l'autre, les groupes connexes : sur un corps parfait, un groupe lisse connexe est extension canonique d'une variété abélienne par un groupe lisse connexe affine, et un groupe quasi-compact est limite projective de groupes de type fini.¹³

6–7

Régularité géométrique et lissité (pages 6 et 7)

Proposition. Soient \(k\) un corps parfait, \(X\) un \(k\)-schéma régulier et \(k'\) une extension de \(k\) ; on suppose \(X\) localement de type fini sur \(k\), ou \(k'\) de type fini sur \(k\), de sorte que les anneaux locaux de \(X_{k'}\) soient noethériens. Alors \(X_{k'}\) est régulier.¹⁴

Proposition. Soit \(X\) un \(k\)-schéma localement essentiellement de type fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)pour tout \(k\)-schéma régulier \(Y\) (à anneaux locaux de \(X \times_{k} Y\) noethériens), \(X \times_{k} Y\) est régulier ;
• b)pour toute extension \(k'\) de \(k\), \(X_{k'}\) est régulier ;
• c)\(X_{\bar k}\) est régulier ;
• d)pour toute extension finie radicielle \(k'\) de \(k\), \(X_{k'}\) est régulier.

On dit alors que \(X\) est géométriquement régulier, ou lisse si \(X\) est localement de type fini.¹⁵ La page indique les trois arguments : b) \(\Rightarrow\) a) parce qu'un homomorphisme local plat d'anneaux locaux noethériens, à base et fibre régulières, a un but régulier ; c) \(\Rightarrow\) b) parce que la régularité descend par homomorphisme local fidèlement plat ; d) \(\Rightarrow\) c) par passage à la limite. Ce dernier pas est le plus profond : c'est le théorème d'EGA IV, 6.7.7, selon lequel la régularité géométrique se teste sur les extensions finies radicielles.

Un schéma géométriquement régulier est régulier ; la réciproque vaut pour tout \(X\) si et seulement si \(k\) est parfait — prendre \(X = \mathrm{Spec}\, k'\), \(k'\) extension finie radicielle non triviale, qui est régulier mais dont \(k' \otimes_{k} k'\) n'est pas réduit. La régularité géométrique est stable par extension du corps et par produit. Elle a aussi un sens en un point \(x\) : \(\mathcal{O}_{X,x}\) est géométriquement régulier ; et si \(k(x)\) est séparable sur \(k\), la régularité de \(\mathcal{O}_{X,x}\) entraîne sa régularité géométrique.¹⁶

Proposition (critère jacobien). Un \(k\)-schéma \(X\) localement de type fini est lisse en \(x\) si et seulement s'il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) et un morphisme \(f \colon U \to \mathbb{A}^{n}_{k}\) étale en \(x\), c'est-à-dire de présentation finie, plat et à fibres étales au voisinage de \(x\).¹⁷

Par conséquent le lieu lisse de \(X\) est ouvert. Il est dense si et seulement si, en tout point maximal \(x\) de \(X\), l'anneau artinien \(\mathcal{O}_{X,x}\) est réduit et \(k(x)\) est une extension séparable de \(k\) — pour une extension de type fini, cela revient à être une extension finie séparable d'une extension transcendante pure. En particulier, si \(k\) est parfait et \(X\) réduit, le lieu lisse est un ouvert dense.¹⁸

La normalité géométrique se traite de même, sans condition de finitude : pour \(X\) localement de type fini, le lieu où \(X\) est géométriquement normal est ouvert, et dense si \(k\) est parfait et \(X\) réduit ; une extension de corps est géométriquement normale si et seulement si elle est séparable.

7–8

Groupes lisses, composantes d'un groupe (pages 7 et 8)

Proposition. Soit \(G\) un schéma en groupes localement de type fini sur \(k\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(G\) est géométriquement réduit en un point ; a') \(G\) est géométriquement réduit ;
• b)\(G\) est géométriquement normal ;
• c)\(G\) est lisse sur \(k\).

On a c) \(\Rightarrow\) b) \(\Rightarrow\) a') \(\Rightarrow\) a). Pour a) \(\Rightarrow\) b) : \(G\) géométriquement réduit en un point l'est en un point maximal \(g\), où \(\mathcal{O}_{G,g} = k(g)\) est un corps séparable sur \(k\), donc géométriquement normal ; après extension du corps, on peut supposer que \(g\) et un autre point \(g'\) sont rationnels, et une translation les échange. C'est l'homogénéité qui fait tout. La même démonstration vaut pour un \(k\)-schéma \(X\) sur lequel \(G\) opère de façon que \(G \times X \to X \times X\) soit surjectif.¹⁹

Une note de marge demande : « Si \(G\) de t.f. sur \(k\), alors \(G\) réduit \(\Rightarrow\) \(G\) séparable ? » La réponse est non sur un corps imparfait : pour \(k = \mathbb{F}_{p}(t)\), le sous-groupe de \(\mathbf{G}_{a}^{2}\) d'équation \(y^{p} = t x^{p}\) est réduit (le polynôme \(y^{p} - t x^{p}\) est irréductible) mais n'est pas lisse, puisque sur \(\bar k\) il devient la droite \(y = t^{1/p} x\) comptée \(p\) fois.²⁰

Corollaire 1. Si \(k\) est parfait, \(G_{\mathrm{réd}}\) est un sous-groupe fermé de \(G\), géométriquement normal, et lisse si \(G\) est localement de type fini.

Corollaire 2. Les composantes irréductibles de \(G\) sont ses composantes connexes ; en particulier \(G^{0}\) est irréductible.

On peut supposer \(k\) parfait et \(G\) réduit, donc normal ; or un schéma normal localement noethérien a pour composantes connexes ses composantes irréductibles. Sans finitude, la page note que la composante irréductible de \(e\) est stable par générisation, donc contient le spectre de \(\mathcal{O}_{G,e}\).

Corollaire 3. Pour deux ouverts \(U\), \(V\) de \(G\), \(U \cdot V\) est stable par translation par \(G^{0}\) ; si \(G\) est localement de type fini, ou si \(U\) et \(V\) sont quasi-compacts, \(U \cdot V\) est ouvert et fermé.

Si \(U\) et \(V\) rencontrent \(G^{0}\), on a \(U V^{-1} \supset G^{0}\) : pour \(g \in G^{0}\), \(g V \cap G^{0}\) et \(U \cap G^{0}\) sont des ouverts non vides de \(G^{0}\), irréductible, donc se rencontrent. En général, pour \(u \in U\) et \(v \in V\), le même argument dans les translatés \(u G^{0}\) et \(G^{0} v\) montre que \(U \cdot V\) contient \(u v G^{0}\). L'ensemble \(U \cdot V\) est ouvert comme image de \(U \times V\) par \(\mu\), universellement ouverte ; il est stable par spécialisation, et fermé dès qu'il est rétrocompact, ce qui est le cas s'il est quasi-compact puisque \(G\) est séparé.²¹

9–10

Irréductibilité géométrique, schémas étales, le schéma \(\pi_{0}(X/k)\) (pages 9 et 10)

Critère d'irréductibilité géométrique, rectifié. Soient \(X\) un \(k\)-schéma irréductible et \(f \colon Z \to X\) un morphisme. On suppose

• a)\(Z\) géométriquement irréductible ;
• b)\(f(Z)\) non contenu dans le lieu des points par lesquels passent plusieurs composantes irréductibles de \(X_{\bar k}\) (par exemple, \(f(Z)\) contient un point où \(X_{\mathrm{réd}}\) est géométriquement normal).

Alors \(X\) est géométriquement irréductible.²²

Soient \(k'\) une extension finie galoisienne de \(k\), \(p \colon X' = X_{k'} \to X\), \(f' \colon Z' = Z_{k'} \to X'\), et \(X'_{i}\) une composante irréductible de \(X'\) contenant \(f'(Z')\), qui est irréductible. Les transformées de \(X'_{i}\) par \(\mathrm{Gal}(k'/k)\) contiennent \(f'(Z')\), qui est stable, donc sont égales à \(X'_{i}\) par b). Ainsi \(X'_{i}\) est l'image inverse de la partie fermée irréductible \(p(X'_{i})\), qui est \(X\) puisque \(p\) est ouvert et fermé ; donc \(X' = X'_{i}\) est irréductible. Une extension radicielle ne change pas la topologie, d'où la conclusion.

Sans b), l'énoncé tombe : \(X = \mathrm{Spec}\, \mathbb{R}[x,y]/(x^{2} + y^{2})\) est irréductible, \(Z = \mathrm{Spec}\, \mathbb{R}\) s'y envoie sur l'origine, mais \(X_{\mathbb{C}}\) est la réunion des deux droites \(x = \pm i y\), qui se coupent justement à l'origine.

Schémas étales. Le foncteur \(X \mapsto E = X(k_{s})\) est une équivalence entre la catégorie \(\mathrm{Et}(k)\) des \(k\)-schémas étales et celle des ensembles discrets munis d'une action continue de \(\pi\). Dans ce dictionnaire, \(X\) quasi-compact de degré \(n\) correspond à \(E\) fini d'ordre \(n\) ; \(X\) connexe (c'est-à-dire \(X = \mathrm{Spec}\, K\), \(K\) extension finie séparable) à une action transitive ; la décomposition en composantes connexes à la décomposition en orbites ; les limites projectives finies et les limites inductives aux mêmes limites de \(\pi\)-ensembles ; les monomorphismes et les épimorphismes aux injections et aux surjections ; et, pour \(\Gamma\) un groupe fini ordinaire, un \(\Gamma\)-torseur à un \(\pi\)-ensemble \(E\) muni d'une action à droite simplement transitive de \(\Gamma\) commutant à celle de \(\pi\), ce qui revient à la donnée d'un homomorphisme continu \(\pi \to \Gamma\), à conjugaison près.²³

Le schéma des composantes connexes. Supposons \(X_{k_{s}}\) localement connexe, à composantes connexes définies sur des extensions finies de \(k\) (par exemple \(X\) quasi-compact, ou localement de type fini). On veut un \(k\)-schéma \(\pi_{0}(X/k)\) dont les points correspondent aux composantes connexes de \(X\), le corps résiduel du point qui correspond à une composante \(X_{(x)}\) étant la plus grande sous-algèbre étale de \(\Gamma(X_{(x)}, \mathcal{O})\).²⁴

L'exemple \(X = \mathrm{Spec}\, k_{s}\) montre qu'il faut sortir des schémas étales : \(k_{s}\) est la réunion de ses sous-extensions finies galoisiennes \(k_{i}\), \(X\) est la limite des \(\mathrm{Spec}\, k_{i}\), et \(X_{k_{s}} = \varprojlim (\pi_{i})_{k_{s}}\) est le schéma « constant » de valeur l'ensemble profini \(\pi\) : \(\pi_{0}(X_{k_{s}}) = \pi\) comme espace topologique. D'où la catégorie des schémas proétales sur \(k\) (entiers et séparables), équivalente à celle des \(\pi\)-espaces profinis et à celle des \(k\)-algèbres séparables (réunions de sous-algèbres étales), et celle des schémas localement proétales, équivalente aux \(\pi\)-espaces localement compacts totalement discontinus.²⁵

Pour \(X\) quasi-compact, on construit \(\pi_{0}(X/k) = \mathrm{Spec}(A_{0})\) de deux façons :

• a)\(A_{0}\) est la plus grande sous-algèbre ind-étale de \(\Gamma(X, \mathcal{O}_{X})\), et \(X \to \mathrm{Spec}(A_{0})\) est le morphisme canonique ;
• b)\(\bar{A}\) est l'algèbre des fonctions localement constantes sur \(X_{k_{s}}\) à valeurs dans \(k_{s}\) (réunion des fonctions localement constantes sur les \(X_{k_{i}}\)), sur laquelle \(\pi\) agit par transport de structure, et \(A_{0} = \bar{A}^{\pi}\).

Alors \(\pi_{0}(X/k)\) est proétale, \(X \to \pi_{0}(X/k)\) est surjectif à fibres géométriquement connexes, et \(\pi_{0}(X/k)\) est fonctoriel en \(X\), commute aux produits et à l'extension du corps de base.²⁶ Plus généralement, \(\pi_{0}(X/k)\) se définit comme schéma localement proétale dès que tout point de \(X\) a un voisinage ouvert et fermé \(U\) tel que \(U_{\bar k}\) n'ait qu'un nombre fini de composantes connexes.

11–13

Quatre propriétés géométriques des schémas sur un corps (pages 11 à 13)

Les quatre propriétés suivent le même patron : une caractérisation des corps sur lesquels la propriété est stable par produit, puis la version géométrique de la propriété, avec quatre conditions équivalentes, puis la comparaison, la stabilité par extension du corps et par produit.

Séparabilité

Un corps \(k\) est parfait si et seulement si un produit tensoriel de \(k\)-algèbres réduites est réduit, si et seulement si \(k' \otimes_{k} k'\) est réduit pour toute extension finie \(k'\). Pour une \(k\)-algèbre \(A\), les conditions suivantes sont équivalentes : \(A \otimes_{k} k'\) réduit pour toute extension \(k'\) ; \(A \otimes_{k} B\) réduit pour toute \(k\)-algèbre réduite \(B\) ; \(A \otimes_{k} \bar k\) réduit ; \(A \otimes_{k} k'\) réduit pour toute extension finie radicielle \(k'\). On dit alors que \(A\) est séparable, ou géométriquement réduite ; pour un schéma, la condition se teste sur un recouvrement affine. Un schéma géométriquement réduit est réduit ; la réciproque vaut pour tous les \(k\)-schémas si et seulement si \(k\) est parfait.²⁷

Irréductibilité

Un corps \(k\) est séparablement clos si et seulement si, pour deux \(k\)-algèbres intègres \(A\) et \(B\), \((A \otimes_{k} B)/\mathrm{Nil}\) est intègre (de façon équivalente : un produit de \(k\)-schémas irréductibles est irréductible), si et seulement si, pour toute extension finie \(k'\), le noyau de la multiplication \(k' \otimes_{k} k' \to k'\) est nilpotent. Un \(k\)-schéma \(X\) est géométriquement irréductible s'il satisfait les conditions équivalentes : \(X \times_{k} Y\) irréductible pour tout \(Y\) irréductible ; \(X_{k'}\) irréductible pour toute extension \(k'\) ; \(X_{\bar k}\) irréductible ; \(X_{k'}\) irréductible pour toute extension finie \(k'\). Un schéma géométriquement irréductible est irréductible ; la réciproque vaut pour tous les schémas si et seulement si \(k\) est séparablement clos.²⁸

Connexité

Théorème. Sur un corps séparablement clos \(k\), le produit de deux \(k\)-schémas connexes non vides est connexe.

La page le démontre pour des schémas localement de type fini (le cas général demande la descente), en utilisant que \(X \times_{k} Y \to Y\) est ouvert et surjectif, de sorte que la topologie de \(Y\) est quotient. D'abord \(X_{k'}\) est connexe pour toute extension \(k'\), car les fibres de \(X_{k'} \to X\) sont les spectres des \(k(x) \otimes_{k} k'\), connexes et non vides ; ensuite les fibres de \(X \times_{k} Y \to Y\), qui sont des \(X_{k(y)}\), sont connexes et non vides au-dessus de \(Y\) connexe. Réciproquement, si \(X \times_{k} X\) est connexe pour tout \(k\)-schéma fini connexe \(X\), \(k\) est séparablement clos.

Un \(k\)-schéma \(X\) est géométriquement connexe s'il satisfait les conditions équivalentes : \(X \times_{k} Y\) connexe pour tout \(k\)-schéma connexe \(Y\) ; \(X_{k'}\) connexe pour toute extension \(k'\) ; \(X_{k_{s}}\) connexe ; \(X_{k'}\) connexe pour toute extension finie galoisienne \(k'\).²⁹ Géométriquement connexe entraîne connexe, avec réciproque si et seulement si \(k\) est séparablement clos ; pour une extension \(k'\), \(X_{k'}\) est géométriquement connexe sur \(k'\) si et seulement si \(X\) l'est sur \(k\).³⁰

Intégrité

Un corps \(k\) est algébriquement clos si et seulement si le produit tensoriel de deux \(k\)-algèbres intègres est intègre, si et seulement si \(k' \otimes_{k} k'\) est intègre pour toute extension finie \(k'\) (ce qui n'arrive que pour \(k' = k\)). Un \(k\)-schéma est géométriquement intègre si \(X \times_{k} Y\) est intègre pour tout \(Y\) intègre, ou de façon équivalente si \(X_{k'}\) l'est pour toute extension \(k'\), ou si \(X_{\bar k}\) l'est ; c'est la conjonction de géométriquement irréductible et géométriquement réduit. Géométriquement intègre entraîne intègre, avec réciproque si et seulement si \(k\) est algébriquement clos.

Un critère de connexité géométrique, et la composante neutre

Proposition. Soient \(X\) un \(k\)-schéma connexe et \(u \colon Z \to X\) un morphisme, \(Z\) géométriquement connexe et non vide (par exemple un point rationnel). Alors \(X\) est géométriquement connexe.

Soit \(k'\) une extension finie galoisienne, de groupe \(\pi'\) agissant sur \(X_{k'}\) et \(Z_{k'}\) de façon compatible à \(u_{k'}\). Soit \(U\) une partie ouverte et fermée non vide de \(X_{k'}\) ; quitte à la remplacer par son complémentaire, \(U\) contient \(u_{k'}(Z_{k'})\), connexe et stable par \(\pi'\). L'intersection des transformées de \(U\) par \(\pi'\) est ouverte, fermée, stable et non vide ; elle provient donc d'une partie ouverte et fermée non vide de \(X\), qui est \(X\) tout entier. Donc \(U = X_{k'}\), et \(X_{k'}\) est connexe ; on conclut par la dernière condition ci-dessus.

Exemples. La composante neutre \(G^{0}\) contient le point rationnel \(e\) : elle est donc géométriquement connexe, et sa formation commute à l'extension du corps. Elle est quasi-compacte : pour \(U\) un voisinage ouvert affine de \(e\), \(U U^{-1}\) est quasi-compact, ouvert et fermé (page 2), et contient donc la composante connexe \(G^{0}\), qui est fermée.³¹ Si \(k\) est parfait, \(G_{\mathrm{réd}}\) est un sous-groupe fermé de \(G\), car \(G_{\mathrm{réd}} \times G_{\mathrm{réd}}\) est réduit ; de même \(G^{0}_{\mathrm{réd}}\). Enfin, pour deux ouverts \(U\), \(V\) de \(G\) qui rencontrent \(G^{0}\), \(U V^{-1} \supset G^{0}\), et si \(U\) et \(V\) contiennent \(e\), \(U V \supset G^{0}\).³²

14–14

Le schéma des composantes connexes géométriques, seconde mouture (page 14)

La page 14 reprend la construction des pages 9 et 10 par la descente, au lieu des algèbres. On suppose \(X_{\bar k}\) localement connexe (par exemple localement noethérien, ce qui est le cas si \(X\) est localement de type fini). Alors \(I = \pi_{0}(X_{\bar k})\) est un ensemble discret, et le morphisme \(X_{\bar k} \to I_{\bar k}\) vers le schéma constant de valeur \(I\) est universel pour les morphismes de \(X_{\bar k}\) vers les schémas constants. Le groupe \(\pi\) agit sur \(I\) ; si l'action est continue — c'est le cas si les composantes connexes de \(X_{\bar k}\) sont définies sur des extensions finies de \(k\), par exemple si \(X\) est quasi-compact —, \(I_{\bar k}\) descend en un schéma étale \(T\) sur \(k\), et le morphisme descend en \[ f \colon X \longrightarrow T = \pi_{0}(X/k) , \] surjectif à fibres géométriquement connexes, propriété qui caractérise \(T\) ; c'est aussi le morphisme universel de \(X\) vers un \(k\)-schéma étale. Un point de \(T\) à valeurs dans un \(k\)-schéma \(S'\) définit une partie ouverte et fermée de \(X_{S'}\), la fibre de \(X_{S'} \to T_{S'}\) au-dessus de la section correspondante.³³

Pour \(X\) quasi-compact, ou somme de schémas quasi-compacts, sans hypothèse de continuité, on trouve un \(T\) affine proétale aux mêmes propriétés : c'est le \(\pi_{0}(X/k)\) des pages 9 et 10, dont le foncteur des points est « un peu plus subtil à décrire ».

15–15

Dualité de Cartier (page 15)

La page s'ouvre sur une question de plan : faut-il travailler sur une base \(S\) quelconque ou sur un corps ? Les groupes non affines sont admis. Pour un groupe diagonalisable \(D(M)\) (\(M\) un groupe abélien), les représentations linéaires s'écrivent comme des modules gradués par \(M\), et les homomorphismes \(D(M) \to \mathbf{G}_{m}\) forment le groupe constant \(M_{S}\) : \(M_{S}\) est réflexif vis-à-vis de \(\mathbf{G}_{m}\).

Le foncteur \(\underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_{m})\) est-il représentable ? Oui pour \(G\) diagonalisable, non en général, par exemple pour \(G = \mathbf{G}_{a}\).³⁴ Mais si \(G\) est fini localement libre sur \(S\), d'algèbre \(\mathcal{A}\), on a \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_{m}) \subset \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}\text{-alg}}(\mathcal{O}_{S}[T, T^{-1}], \mathcal{A}) \simeq W(\mathcal{A})^{\times}, \] le sous-foncteur des unités \(u\) de \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{O}_{S'}\) telles que \(\Delta(u) = u \otimes u\) et \(\varepsilon(u) = 1\) (les éléments de type groupe), puisqu'un homomorphisme de groupes vers \(\mathbf{G}_{m}\) est un homomorphisme de monoïdes vers les unités de \(\mathcal{O}\). Ce foncteur est représenté par \(\mathrm{Spec}(\check{\mathcal{A}})\), où \(\check{\mathcal{A}} = \mathrm{Dist}(G)_{S}\), dual de \(\mathcal{A}\), est une algèbre grâce à la cogèbre \(\mathcal{A}\) ; cette algèbre est commutative si \(G\) l'est (sinon, c'est son abélianisée qui représente le foncteur) ; et la structure de cogèbre de \(\check{\mathcal{A}}\), duale de la multiplication de \(\mathcal{A}\), provient de ce que le foncteur représenté est un foncteur en groupes.

Théorème. Tout schéma en groupes commutatif fini localement libre \(G\) est réflexif pour \(\mathbf{G}_{m}\) : son dual \(G^{*} = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{gr}}(G, \mathbf{G}_{m})\) est commutatif fini localement libre, et \(G \to G^{**}\) est un isomorphisme. D'où une involution \(G \mapsto G^{*}\) de la catégorie de ces groupes, qui correspond à la dualité des bigèbres bicommutatives finies localement libres sur \(S\).

Exemples : \(\mu_{n}\) et \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont duaux, \(\alpha_{p}\) est son propre dual, et plus généralement \(D(M)\) et \(M_{S}\) se correspondent. La dualité marche plus ou moins pour d'autres classes — groupes discrets, groupes diagonalisables, formes tordues —, mais inclure \(\mathbf{G}_{a}\) demande autre chose, que la page ne dit pas. Elle « domine la théorie des groupes algébriques (ou formels) commutatifs, affines ou non », à condition de la compléter par \(\underline{\mathrm{Ext}}^{1}(G, \mathbf{G}_{m})\).³⁵

16–20

La lettre de juin 1973 (pages 16 à 20)

Les pages 16 à 19 sont une lettre en anglais, datée du 15 juin 1973, d'un auditeur de son cours sur les groupes algébriques ; la page 20 en est le dernier feuillet, blanc à l'adresse près. Rien n'y est de sa main, et la transcription ne la reproduit pas ; on n'en dit ici que l'objection mathématique.³⁶ Elle porte sur la partie b) de « la dernière proposition du cours » : un monoïde affine de type fini sur un corps se plongerait comme sous-monoïde fermé de \(\mathrm{GL}(n)\). Or l'antipode de la cogèbre de \(\mathrm{GL}(n)\) passerait au quotient et ferait du monoïde un groupe. Le contre-exemple est le monoïde \(\{0, 1\}\) sous la multiplication, d'algèbre \(k \times k\) ; la lettre propose de remplacer \(\mathrm{GL}(n)\) par \(\mathrm{End}_{k}(M)\).

Cette proposition est celle de la page 30, dont le « \(\mathrm{M}\) » est écrit par-dessus un « \(\mathrm{GL}\) », et la page 21 s'ouvre sur la rectification : il faut \(\mathrm{M}_{n}\), et non \(\mathrm{GL}_{n}\).

21–22

L'algèbre des distributions (pages 21 et 22)

Rectification. Un monoïde affine de type fini sur un corps \(k\) admet une immersion fermée multiplicative dans \(\mathrm{M}_{n,k}\), et non dans \(\mathrm{GL}_{n,k}\). Un sous-monoïde fermé de \(\mathrm{GL}_{n}\) est en effet un groupe ; et plus généralement, un monoïde de présentation finie dont les translations sont des monomorphismes — par exemple un monoïde qui se plonge dans un groupe — est un groupe.³⁷

Soit \(X = \mathrm{Spec}\, A\) un schéma affine sur l'anneau \(k\). Ses distributions à valeurs dans \(k'\) sont les formes linéaires sur \(A\) : \[ \mathrm{Dist}(X)(k') = \mathrm{Hom}_{k}(A, k'), \qquad \mathrm{Dist}(X) = V(A) \text{ comme $\mathcal{O}$-Module}, \qquad \check{A} = \mathrm{Dist}(X)(k) . \]

• a)\(\mathrm{Dist}(X)\) est covariant en \(X\).
• b)L'application bilinéaire \(\mathrm{Dist}(X) \times \mathrm{Dist}(Y) \to \mathrm{Dist}(X \times Y)\) est universelle pour les applications bilinéaires vers un \(V(M)\) ; en posant \(V(A) \boxtimes V(B) = V(A \otimes_{k} B)\), elle donne \(\mathrm{Dist}(X) \boxtimes \mathrm{Dist}(Y) \simeq \mathrm{Dist}(X \times Y)\), et \(\boxtimes\) coïncide avec \(\otimes_{\mathcal{O}}\) si \(A\) ou \(B\) est projectif de type fini.
• c)Les distributions ponctuelles (masses de Dirac) \(\alpha_{X} \colon X \to \mathrm{Dist}(X)\) forment une transformation naturelle compatible aux produits : \(\alpha_{X \times Y}\) est le composé de \(\alpha_{X} \times \alpha_{Y}\) et de l'application bilinéaire de b).³⁸

On reconstruit \(X\) à partir de la cogèbre \(D = \mathrm{Dist}(X)\), munie du coproduit \(\delta \colon D \to D \boxtimes D\) dual de la multiplication de \(A\) — coassociatif, cocommutatif et coünitaire, de coünité \(D \to \mathcal{O}\) duale de l'unité —, comme l'ensemble des \(x \in D(k')\) tels que \[ \delta(x) = x \boxtimes x \qquad \text{et} \qquad x(1) = 1 ; \] ces conditions expriment que la forme linéaire \(A \to k'\) est un homomorphisme d'algèbres.³⁹

Si \(G\) est muni d'une loi de composition, \(\mathrm{Dist}(G)\) hérite de la loi de convolution, associative (commutative) si et seulement si celle de \(G\) l'est ; et \(G\) a une unité bilatère si et seulement si \(\mathrm{Dist}(G)\) a une unité \(e\) telle que \(\delta(e) = e \boxtimes e\). Faire opérer \(G\) sur un module \(M\), c'est faire opérer \(\mathrm{Dist}(G)\) à gauche, d'une façon qui étend l'action de \(G\).

Dans certains cas \(\mathrm{Dist}(X)\) se reconstitue à partir de \(\check{A} = \mathrm{Dist}(X)(k)\) seul : si \(A\) est projectif de type fini, ou somme de modules projectifs de type fini (par exemple si \(k\) est un corps), à condition de regarder \(\check{A}\) comme module topologique. En outre \(\mathrm{Dist}(G, k)\) contient toute l'information infinitésimale de \(G\) : l'algèbre de Lie de \(G\) s'y plonge, son crochet est le commutateur de l'algèbre, et en caractéristique \(p\) sa puissance \(p\)-ième est la puissance dans l'algèbre — de sorte que l'hyperalgèbre, c'est-à-dire la sous-algèbre des distributions portées par \(e\), se lit dans \(\check{A}\).⁴⁰

Exemples. Pour un groupe fini constant, \(\check{A}\) est l'algèbre du groupe. Pour un groupe diagonalisable \(D(M)\), \(A = k[M]\) est l'algèbre du groupe \(M\), de multiplication induite par la loi de \(M\) et de comultiplication induite par la diagonale \(m \mapsto (m, m)\) ; donc \[ \mathrm{Dist}(D(M))(k) = k^{M} \] avec la multiplication produit, terme à terme, qui ne dépend pas de la loi de groupe de \(M\).⁴¹

23–24

Une action est une coaction (pages 23 et 24)

Soient \(G = \mathrm{Spec}\, A\) un monoïde affine sur \(k\) et \(M\) un \(k\)-module. Une action de \(G\) sur \(M\) est un morphisme de monoïdes \(G \to \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}}(W(M))\), soumis à \(1 x = x\) et \(g(g' x) = (g g') x\). Une « opération sans axiomes » revient à un endomorphisme \(A\)-linéaire de \(M \otimes_{k} A\), ou encore à une application \(k\)-linéaire \[ \rho_{M} \colon M \longrightarrow M \otimes_{k} A . \] Un point \(g \in G(k')\), c'est-à-dire un homomorphisme \(g \colon A \to k'\), agit sur \(M \otimes_{k} k'\) par l'endomorphisme \(g_{M}\) déduit par changement de base, et \(g_{M}\) est déterminé par sa restriction \(g_{M}^{\circ} = (\mathrm{id}_{M} \otimes g) \circ \rho_{M} \colon M \to M \otimes_{k} k'\).

L'axiome d'unité, pour \(k' = k\) et \(g = \varepsilon\), devient \[ \text{(1')} \qquad (\mathrm{id}_{M} \otimes \varepsilon) \circ \rho_{M} = \mathrm{id}_{M} . \] Pour l'associativité, on prend le couple universel : \(k' = A \otimes A\), \(g(\lambda) = \lambda \otimes 1\), \(g'(\lambda) = 1 \otimes \lambda\) (les deux projections \(G \times G \to G\)), de sorte que \(g g'\) est la comultiplication \(\Delta\). D'une part \((g g')_{M}^{\circ} = (\mathrm{id}_{M} \otimes \Delta) \circ \rho_{M}\) ; d'autre part \(g'_{M}\) envoie \(x\) sur \(\sum y_{i} \otimes 1 \otimes \lambda_{i}\) si \(\rho_{M}(x) = \sum y_{i} \otimes \lambda_{i}\), et \(g_{M}\) envoie \(y \otimes 1 \otimes \lambda\) sur \(\rho_{M}(y) \otimes \lambda\), de sorte que \((g_{M} g'_{M})^{\circ} = (\rho_{M} \otimes \mathrm{id}_{A}) \circ \rho_{M}\). L'axiome 2) s'exprime donc par la commutativité de

\begin{tikzcd}
  M \arrow[r, "\rho_{M}"] \arrow[d, "\rho_{M}"'] & M \otimes A \arrow[d, "\mathrm{id}_{M} \otimes \Delta"] \\
  M \otimes A \arrow[r, "\rho_{M} \otimes \mathrm{id}_{A}"'] & M \otimes A \otimes A
\end{tikzcd}

C'est la définition d'un comodule sur la cogèbre \(A\).⁴²

25–27

Les foncteurs \(V\) et \(W\) ; comodules et \(\check{A}\)-modules (pages 25 à 27)

• a)Le foncteur \(M \mapsto V(M)\), de \(\mathrm{Mod}(k)^{\mathrm{op}}\) vers les \(\mathcal{O}\)-Modules, est pleinement fidèle : \(\mathrm{Hom}_{k}(M, N) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(N), V(M))\).
• b)L'accouplement \(V(M) \otimes_{\mathcal{O}} V(N) \to V(M \otimes_{k} N)\) n'est pas un isomorphisme en général, mais il induit une bijection \[ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M \otimes_{k} N), V(P)) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(V(M) \otimes_{\mathcal{O}} V(N), V(P)) , \] et le premier membre est \(\mathrm{Hom}_{k}(P, M \otimes_{k} N)\).

Il en résulte un dictionnaire. Une loi de composition \(\mathcal{O}\)-bilinéaire sur \(V(A)\) est une comultiplication \(\Delta \colon A \to A \otimes A\) ; une unité pour cette loi est une coünité \(\varepsilon \colon A \to k\) ; la loi est associative (commutative) si et seulement si \(\Delta\) est coassociative (cocommutative).⁴³ Un accouplement bilinéaire \(V(A) \times V(M) \to V(M)\) est une application \(M \to M \otimes A\) ; il est unitaire si et seulement si (1') commute, et associatif si et seulement si (2') commute. En marge : « on dit aussi : \(M\) comodule », ce qui signifie que \(V(A)\) opère à gauche sur \(W(M)\).

Soient donc \(A\) une cogèbre (coassociative, coünitaire) et \(M\) un comodule. Le dual \(\check{A} = V(A)(k)\), algèbre pour la convolution \(\xi * \eta = (\xi \otimes \eta) \circ \Delta\), opère à gauche sur \(M\) par \[ \xi \cdot x = (\mathrm{id}_{M} \otimes \xi)(\rho_{M}(x)) . \] Si \(A\) est projectif de type fini, \(M \otimes A \simeq \mathrm{Hom}_{k}(\check{A}, M)\), et une structure de comodule sur \(M\) équivaut à une structure de \(\check{A}\)-module ; de même une structure de cogèbre sur \(A\) équivaut à une structure d'algèbre sur \(\check{A}\).

Si \(A\) est somme directe de modules projectifs de type fini (par exemple si \(k\) est un corps), on munit \(\check{A}\) de la topologie de la convergence simple ; alors \(M \otimes_{k} A \simeq \mathrm{Hom\,cont}_{k}(\check{A}, M)\) pour \(M\) discret, et plus généralement \[ \mathrm{Hom}(N, M \otimes_{k} A) \simeq \mathrm{Hom\,cont}_{k}\bigl(\check{A}, \mathrm{Hom}_{k}(N, M)\bigr), \] \(\mathrm{Hom}_{k}(N, M)\) étant muni de la convergence simple. Une structure de comodule sur \(M\) revient donc à une structure de \(\check{A}\)-module telle que, pour tout \(x \in M\), \(\xi \mapsto \xi x\) soit continue, c'est-à-dire s'annule sur un idéal ouvert. Et une structure de cogèbre sur \(A\) revient à une structure d'algèbre continue sur \(\check{A}\), par le calcul suivant, où \(P = \varinjlim P_{\alpha}\), \(Q = \varinjlim Q_{\beta}\), \(R = \varinjlim R_{\gamma}\) sont des réunions filtrantes de sous-modules projectifs de type fini et \(\check{P} = \varprojlim \check{P}_{\alpha}\), etc. : \[\begin{align*} \mathrm{Bil\,cont}_{k}(\check{P}, \check{Q}; \check{R}) &\simeq \varprojlim_{\gamma} \varinjlim_{\alpha,\beta} \mathrm{Hom}_{k}(\check{P}_{\alpha} \otimes \check{Q}_{\beta}, \check{R}_{\gamma}) \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \varinjlim_{\alpha,\beta} \mathrm{Hom}_{k}(R_{\gamma}, P_{\alpha} \otimes Q_{\beta}) \\ &\simeq \varprojlim_{\gamma} \mathrm{Hom}_{k}(R_{\gamma}, P \otimes Q) \simeq \mathrm{Hom}_{k}(R, P \otimes Q) . \end{align*}\] On est dans ce cas, par exemple, si \(A\) est réunion filtrante dénombrable de sous-modules projectifs de type fini, les inclusions admettant des rétractions. Mais en général on ne peut pas oublier \(V(A)\) et ses opérations au profit du seul \(\check{A}\).⁴⁴

27–29

Sous-modules stables et finitude (pages 27 à 29)

Quotients. Soit \(M \to N\) un épimorphisme de \(A\)-comodules en puissance ; \(V(N) \subset V(M)\), et l'on dit que \(N\) est stable si \(V(N)\) est stable par l'action de \(V(A)\). Cela revient à l'existence d'un \(\rho_{N} \colon N \to N \otimes A\) rendant le carré évident commutatif ; il est alors unique et satisfait aux axiomes. Si \(A\) est l'algèbre d'un monoïde affine \(G\), cela signifie que \(G\) opère sur \(N\) de façon compatible, et l'opération est unique.⁴⁵

Sous-modules. Pour \(i \colon M' \hookrightarrow M\), il n'est plus vrai en général que \(V(M) \to V(M')\) soit surjectif, et l'opération « induite » n'est plus évidemment unique. Il s'agit de trouver \(\rho_{M'} \colon M' \to M' \otimes A\) avec \((i \otimes \mathrm{id}_{A}) \circ \rho_{M'} = \rho_{M} \circ i\) ; elle est unique si \(i \otimes \mathrm{id}_{A}\) est injectif, et satisfait alors aux axiomes si de plus \(i \otimes \mathrm{id}_{A \otimes A}\) est injectif. C'est le cas si \(A\) est plat (le cas courant), si \(M/M'\) est plat, ou si \(M'\) est facteur direct dans \(M\). Sous ces conditions, \(M'\) est stable si et seulement si \(M/M'\) l'est ; et si \(A\) est plat, une intersection finie de sous-modules stables est stable, comme une somme quelconque.⁴⁶

Proposition. Si \(A\) est somme de modules projectifs de type fini, un sous-\(k\)-module d'un \(A\)-comodule \(M\) est stable si et seulement si c'est un sous-\(\check{A}\)-module.

En effet, si \((a_{j})\) est une famille génératrice adaptée et \((\xi_{j})\) les formes coordonnées, \(\rho_{M}(x) = \sum_{j} (\xi_{j} \cdot x) \otimes a_{j}\).

Corollaire 1. Tout sous-module \(M'\) de \(M\) est contenu dans un plus petit sous-module stable \(M'^{S}\), le sous-\(\check{A}\)-module engendré ; si \(M'\) est de type fini, \(M'^{S}\) aussi.⁴⁷

Corollaire 2. Tout comodule \(M\) est réunion filtrante de ses sous-modules de type fini stables.

Corollaire 3. Regardons \(A\) comme comodule à gauche et à droite sur elle-même, par \(\Delta\). Tout sous-module \(B\) de \(A\) est contenu dans un plus petit sous-module \(B^{S}\) stable des deux côtés (le sous-\(\check{A}\)-bimodule engendré), de type fini si \(B\) l'est ; donc \(A\) est réunion filtrante de sous-modules de type fini stables des deux côtés.⁴⁸

Or la stabilité des deux côtés signifie que \(\Delta(B) \subset (B \otimes A) \cap (A \otimes B)\), et sur un corps cette intersection est \(B \otimes B\) : \(B\) est une sous-cogèbre.⁴⁹

Corollaire 4. Toute cogèbre \(A\) sur un corps est réunion filtrante de sous-cogèbres de dimension finie ; donc \(\check{A}\) est limite projective filtrante stricte d'algèbres de dimension finie.

C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème fondamental des cogèbres.⁵⁰

30–31

Groupes affines et matrices ; l'algèbre des distributions (pages 30 et 31)

Proposition. Soit \(G\) un groupe (resp. un monoïde) affine sur un corps \(k\).

• a)\(G\) est limite projective filtrante stricte de groupes (resp. monoïdes) affines de type fini sur \(k\).
• b)Si \(G\) est de type fini, il existe un entier \(n\) et une immersion fermée compatible aux multiplications \(G \to \mathrm{M}(n)_{k}\) (resp. \(G \to \mathrm{GL}(n)_{k}\) si \(G\) est un groupe).⁵¹

Pour a) : \(A\) est réunion filtrante de ses sous-cogèbres de dimension finie (corollaire 4), et la sous-algèbre engendrée par une sous-cogèbre est une sous-bigèbre, puisque \(\Delta\) est un homomorphisme d'algèbres. Si \(G\) est un groupe, d'antipode \(\sigma\), et \(M\) une sous-cogèbre, \(\sigma M\) en est une aussi — \(M\) est un sous-\(\check{A}\)-module à gauche (à droite) si et seulement si \(\sigma M\) en est un à droite (à gauche) — ; donc \(M + \sigma M\) est une sous-cogèbre stable par \(\sigma\), puisque \(\sigma^{2} = \mathrm{id}\) pour \(A\) commutative, et la sous-algèbre qu'elle engendre est une sous-algèbre de Hopf. Ainsi \(A\) est réunion filtrante de sous-algèbres de Hopf \(A_{i}\) de type fini, et \(G = \varprojlim G_{i}\) avec \(G_{i} = \mathrm{Spec}\, A_{i}\).⁵²

Pour b) : \(A\) est de type fini ; on choisit un sous-espace de dimension finie \(M\) qui engendre \(A\) comme algèbre, et on peut le supposer stable par la coaction \(\Delta\) (corollaire 2), de sorte que \(G\) opère sur \(M\) par translations. D'où un morphisme de monoïdes \(G \to \underline{\mathrm{End}}_{k}(M) \simeq \mathrm{M}(n)_{k}\), à valeurs dans \(\underline{\mathrm{Aut}}_{k}(M) \simeq \mathrm{GL}(n)_{k}\) si \(G\) est un groupe, avec \(n = \dim M\). Pour \(\varphi \in M\), la fonction coefficient \(g \mapsto \varepsilon(g \cdot \varphi) = (g \varphi)(1) = \varphi(g)\) est l'image d'une fonction coordonnée de \(\underline{\mathrm{End}}_{k}(M)\) ; ainsi \(M\) est contenu dans l'image de l'algèbre affine de \(\underline{\mathrm{End}}_{k}(M)\) dans \(A\), qui est donc surjective, et le morphisme est une immersion fermée.

L'algèbre des distributions. Si \(A\) est l'algèbre affine d'un monoïde affine \(G\) — une algèbre commutative munie d'une comultiplication qui est un homomorphisme d'algèbres — les éléments de \(V(A)(k') = \mathrm{Hom}_{k}(A, k')\) s'appellent les distributions de \(G\) à coefficients dans \(k'\) ; pour la convolution, elles forment une \(k'\)-algèbre \(\mathrm{Dist}(G)(k')\), « l'algèbre du monoïde \(G\) à coefficients dans \(k'\) », et l'on a un homomorphisme injectif de monoïdes \[ G(k') \hookrightarrow \mathrm{Dist}(G)(k') , \] à valeurs dans les éléments inversibles si \(G\) est un groupe, et « pratiquement jamais » bijectif.⁵³ L'antipode s'écrit par le diagramme \(g g^{-1} = 1\) : le composé \(G \xrightarrow{(\mathrm{id}, \sigma)} G \times G \xrightarrow{\mu} G\) est le composé \(G \to e \to G\) ; dualement, \(m \circ (\mathrm{id}_{A} \otimes \sigma) \circ \Delta = \eta \circ \varepsilon\), où \(m(x \otimes y) = x y\) et \(\eta \colon k \to A\) est l'unité.⁵⁴

32–33

Exemples ; les foncteurs vectoriels \(W(M)\) et \(V(M)\) (pages 32 et 33)

Exemples de groupes algébriques affines : \(\mathbf{G}_{m}\), \(\mathbf{G}_{a}\), \(\mathrm{GL}(n)\) et ses sous-groupes \(\mathrm{SL}(n)\), le groupe orthogonal \(O(Q)\), et plus généralement les stabilisateurs de tenseurs ; le groupe \(\mathrm{Tr}(n)\) des matrices triangulaires, son sous-groupe \(\mathrm{Tr}_{0}(n)\) ; le groupe diagonal \(\mathrm{Diag}(n)\) et son sous-groupe \(\mathrm{Diag}_{0}(n) \simeq \mathbf{G}_{m}\) ; l'immersion de \(\mathbf{G}_{a}\) dans \(\mathrm{GL}(2)\), \(x \mapsto \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\).⁵⁵

Proposition. Le foncteur \(W(M) \colon k' \mapsto M \otimes_{k} k'\), faisceau de \(\mathcal{O}\)-Modules, est représentable si et seulement si \(M\) est projectif de type fini.

S'il est représentable, il transforme injections d'algèbres en injections, donc \(M\) est plat ; et il transforme produits d'algèbres en produits, d'où \(M \otimes_{k} k^{I} \simeq M^{I}\) pour tout ensemble \(I\), ce qui entraîne que \(M\) est de type fini. Écrivant \(0 \to R \to L \to M \to 0\) avec \(L\) libre de type fini, la platitude de \(M\) garde la suite exacte après \(\otimes_{k} k^{I}\), d'où \(R \otimes k^{I} \simeq R^{I}\) et \(R\) de type fini ; \(M\) est donc plat de présentation finie, c'est-à-dire projectif de type fini.⁵⁶ Inversement, si \(M\) est facteur direct de \(L = k^{n}\), image d'un projecteur \(p\), alors \(W(M) = \mathrm{Ker}\bigl(1 - p \colon \mathbf{G}_{a}^{n} \to \mathbf{G}_{a}^{n}\bigr)\) est représentable.⁵⁷

En revanche \(V(M)\) est représentable pour tout \(M\), par l'algèbre symétrique \(\mathrm{Sym}^{*}_{k}(M) = \bigoplus_{n \geqslant 0} \mathrm{Sym}^{n}_{k}(M)\), puisque \(\mathrm{Hom}_{k}(M, k') = \mathrm{Hom}_{k\text{-alg}}(\mathrm{Sym}^{*}_{k} M, k')\). L'accouplement \(V(M) \times W(M) \to \mathcal{O} = W(k)\) donne un isomorphisme \[ V(M) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}}\bigl(W(M), \mathcal{O}\bigr), \] parce que \(M \mapsto W(M)\) est pleinement fidèle, et le reste après toute extension de la base ; symétriquement, \(V\) étant pleinement fidèle, \(W(M) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}}(V(M), \mathcal{O})\). On a donc une dualité parfaite entre \(V(M)\) et \(W(M)\), sans hypothèse de finitude sur \(M\).⁵⁸ Enfin \(\underline{\mathrm{Aut}}_{\mathcal{O}}(M) \subset \underline{\mathrm{End}}_{\mathcal{O}}(M)\) est représentable si \(M\) est projectif de type fini. La page s'arrête sur une ligne isolée, où se lisent un mot incertain et \(D(\Gamma)\) : sans doute l'annonce des groupes diagonalisables.