Cote n° 52, pages 1–13

Cote n° 52 · batch 1 · pages 1–13 · Transcription · Théorème de Torelli : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration

Th. de Torelli

titre de sa main, écrit au coin supérieur droit d'un feuillet de couverture qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit donc pas de page, conformément à l'usage suivi depuis le dossier 29 : le saut dans la numérotation est la trace qu'il a été passé. Le titre de l'inventaire, « Théorème de Torelli », est cette abréviation développée, et il est donc de lui

Th. 1 Soit \(C\) un schéma en courbes simple, propre, irréductible sur \(S\) loc. noeth., de genre \(g \geq 2\), \(J^{0}_{C/S} = \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{C/S}\) son schéma jacobien homogène.le dernier mot de l'énoncé n'est pas assuré : les traits se laissent lire « homogène » et rien d'autre ne s'y ajuste, mais l'adjectif surprend appliqué à \(\mathrm{Pic}^{0}\) lui-même Alors \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S})\) est injectif.

Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) induisant l'identité sur \(J^{0}_{C/S}\). Soit \(\bar{\sigma}\) l'automorphisme de \(J^{1}_{C/S}\) induit par \(\sigma\), il sera, donc, de la forme \(T_{s}\), translationle mot est abrégé et la lecture repose sur ce que dit la suite de la phrase, non sur l'encre : ce qui est associé à la section \(s\) ne peut être que la translation par \(s\) associé à une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\) (l'énoncé […] l'énoncé ensembliste). Il faut montrer que la section \(s\) est l'identité. À vrai dire, \(C\) étant projectif sur \(S\), l'énoncé est équivalent à

Corollaire 1 \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to \underline{\mathrm{Aut}}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S})\) est un monomorphisme (et \(=\) une immersion fermée, […] […] rappelle que \(\underline{\mathrm{Aut}}_{S}(C) \to\) […] projectif sur \(S\))

[…]

deux lignes insérées ici et biffées d'un trait continu ; elles ne se laissent pas lire

Comme les deux […] sont non ramifiés sur \(S\) [pas d'automorphismes infinitésimaux !] […] […] […]

Lemme Soit \(C\) une courbe alg. non sing. complète et irréd. de genre \(g \geq 2\) sur \(k\) alg. clos, \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) induisant l'identité sur \(J^{0}_{C/S}\). Alors \(\sigma\) est l'identité.

En effet, l'automorphisme de \(J^{1}_{C/S}\) induit par \(s\) est de la forme \(T_{a}\), où \(a\) est un pt de \(J^{0}\) rat. \(/k\), égal à \(\sigma x - x\) pour tt \(x \in C(k)\). (\(C\) étant considéré comme plongé dans \(J^{1}\).) Donc \(\sigma(x) = x + a\), donc […] […] en suivant […] \(\mathrm{Spec}(k)\).

Corollaire 2 Sous les conditions du Th., Toute Une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\) sur \(A\)la lettre est un \(A\) majuscule et non un \(S\) ; aucun \(A\) n'a été introduit à ce point du dossier, il ne le sera qu'à la page 4 telle que la translation \(T_{s}\) de \(J^{1}_{C/S}\) conserve \(C\) (plongée dans \(J^{1}_{C/S}\)) est l'identité section nulle.« section nulle » en interligne au-dessus de « l'identité » biffé

En effet, il résulte de la formule des traces que le « nb. de pts fixes » de \(\sigma\) est égal : […] \(-1 + 2g - 1 = 2(g-1) > 0\) (puisque \(\sigma\) opère trivialement dans la jacobienne \(J^{0}\), donc sa trace vaut \(2g\)] et si \(x\) est un tel pt, […] \(a = \sigma x - x = 0\).

la version biffée du calcul, écrite sous celle qui reste, n'aboutit pas au même nombre ; elle est trop chargée pour être lue

le haut de la page est un bloc encadré, puis annulé par deux longues diagonales. Il se lit en partie et est donné ici ; l'annulation n'est signalée qu'une fois

Utilisant le corollaire 2 lorsque \(S = \mathrm{Spec}(k(\varepsilon))\) pour \(S' = \mathrm{Spec}(\underline{D}(\underline{I}))\) : \(\underline{I}\) […] faisceau cohérent sur \(S\), \(\underline{D}(\underline{I}) = \underline{O}_{S} + \underline{I}\) [\(\underline{I}\) de carré nul] et […] […] […] \(C' = C \times_{S} \ill{}\) qui induisent l'identité sur […], on trouve

Prop.

Corollaire 3 Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\) satisfaisant les hyp. du th. Alors \[ \underline{\mathrm{Isom}}_{S}(C, C') \longrightarrow \underline{\mathrm{Isom}}_{S}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S}) \] est une immersion fermée.

Soit maintenant \(A\) un schéma abélien [de dim. relative \(g\)] polarisé sur \(S\) […] au sens strict : on se donne une section du schéma de Nér.-Sév.). Pour tout \(T\) sur \(S\), on désigne par \(F(T)\) l'ensemble des classes, à isom. près, de courbes \(C\) sur \(S_{T}\) \(= T\), satisfaisant aux conditions générales du Th., et munies d'un isom. de \(J^{0}_{C/T}\) sur \(A\), [compatible avec] […] les polarisations.

la page est écrite très vite et à demi recouverte de biffures ; ce qui suit est ce que le feuillet soutient

\(F'(T)\) l'ensemble analogue, mais où […] […] […] […] […] […] […] la donnée d'une rigidification par des éléments de \((\underline{\Omega}^{1}_{C/T})^{\otimes h}\) (\(h \geq 3\) […]).

Soit \(v = 2h(g-1) - (g-1) = (2h-1)(g-1)\).

rédiger proprement

Théorème Le foncteur […] \(F'(T)\) […] est représentable […] par un \(M'\) […] quasi-projectif sur \(S\), […] […] […]

[…] […] \(F'(T)\), […] : […] représentable […] […] […] application […] […] […] […] \(F'(T)\) \(\to F(T)\), le passage […]

[…] \(F' \times_{F} F' \rightrightarrows F'\) et […] d'ailleurs, […] \(M'\) […] […] \(M'\) […] par des opérations de […]

le bord gauche de la page porte, en biais, un second bloc plus rapide encore : on y lit « ex : […] courbes […] hyperelliptiques […] », et rien de plus ne s'en laisse tirer. Un petit cadre quadrillé, biffé, occupe le bas de la marge

page de même farine que la précédente : les articulations portent, la prose non

[…] […] […] […] par la théorie de Hilbert [car le […] […] […]]. […] […] condition […] […] […] plus petit […]

[…] […] […] […] que \(F'\), […] \(F\) […] […] proportionnels, dans \(F\) […] […] […] […] […] l'[…] […] difficile être […]. Pour le […] […] aux deux cas particuliers

(i) \(S = \mathrm{Spec}(k)\) […] […] […]

[…] [deux] […] […] de Torelli […] sous sa forme classique […]

[…] \(M\) ne peut avoir […] […] […] \(Z/2 \in A_{-g}(A)\) […] […] c'est […] le théorème […]

[…] \(M \to \mathrm{Spec}(k)\) […] […] [deux] le cas de \(M\) […] localisés […] […] identiques.

\(F'\) […] […] le th. 1 […], il opère sur […] […] donc le quotient […] […] […]

si \(F'\) est représentable […] par (\(M'\), dans […] \(A\) qui […] \(M'\), […] […] […] le th. 1, il […] […] […]. D'après […] […] […] \(F\) est représentable car \(M'/A\) existe « universellement » et alors \(M = M'/A\) représente \(F\). […] […] […] […] […] \(A\) est propre et plat sur \(S\).

Or \(F'(T)\) s'explicite comme […] sous-ensemble de \(\underline{\mathrm{Hilb}}_{A/S}(T)\), […] […] vérifie également […] \(C\) d'après dans \(A_{T}\), […] […] le […] jacobienne […] […] naturel \(J^{0}_{C/S} \longrightarrow A_{T}\) […] […] [[…] déduisant] Matsusaka, Par […] exiger […] […] […] plongement \(C \to A_{T}\), si \(C \to A_{T}\) soit […] \(C\) […] de dernière. D'après le théorème de Hilbert, […] \(\Theta\) […] absolument \(J^{0}_{C/S} \to A_{T}\) […]

[…]

[…] d'après ceci ? (Une déformation infinitésimale [du premier ordre] de \(C\) dans \(A\) [si \(C\) est […] […] positionnée dans \(A\)] [ne] […] translation infinitésimale de \(A\) (qui est bien déterminée d'ailleurs, puisque […] pas d'automorphismes [infinitésimaux]).

Or comme les déformations infinitésimales en question sont définies par un élément de \(H^{0}(C, \underline{N})\), où \(\underline{N}\) est le faisceau normal de \(C\) dans \(A\).

Considérant la suite exacte \[ 0 \longrightarrow \underline{T} \longrightarrow \underline{V} \longrightarrow \underline{N} \longrightarrow 0 \] où \(\underline{V}\) est induit par le faisceau tangent à \(A\) (un […] constant de rang \(g\), \(\check{\Omega}\)), \(\underline{T}\) est le faisceau tangent […] : \(C\) […] de degré \(2(1-g) < 0\), et […] \[ H^{0}(C, \underline{T}) = 0, \qquad H^{0}(C, \underline{V}) \simeq k^{g} \simeq H^{0}(A, \check{\Omega}_{A/k}), \] et la question […] donc […] \(H^{0}(C, \underline{V}) \to H^{0}(C, \underline{N})\) […] surjectif, i.e. \[ H^{1}(C, \underline{T}) \longrightarrow H^{1}(C, \underline{V}) \simeq \struck{\ill{}} H^{1}(A, \check{\Omega}_{A/k}) \] injectif, i.e.

Corollaire Toute déformation infinitésimale [du premier ordre] de la structure de \(C\) qui induit une déformation infinitésimale triviale de la structure de \(J^{0}_{C/S}\), est triviale.

Traduisant par dualité, on est ramené à la question si \[ H^{0}(C, \check{\underline{V}} \otimes \underline{\Omega}) = H^{0}(C, \underline{\Omega}) \otimes H^{0}(C, \underline{\Omega}) \longrightarrow H^{0}(C, \underline{\Omega}^{\otimes 2}) \] (où \(\Omega = \Omega^{1}_{C/k}\)) est surjectif. Or ce dernier fait est vrai ssi \(C\) est non hyperelliptique ; dans le cas […] hyperelliptique, on sait par […] […] […] […] […] […] \(H^{0}(\underline{V}) \to H^{0}(\underline{N})\) […] de dimension 1, donc […] […] \(S\)) la fibre de \(M\) en \(s\) […] \(\mathrm{Spec}\,k(s)\).

(ii) On voit […] que \(M \to S\) est […] […] […] […] […] relatif) […] […] […] […] :

Corollaire Supposons […] \(S = \mathrm{Spec}(k)\), \(\underline{V}\) […] […] relativement discrète, Soit \(y\) […] […] […] […] le […] \(M \to \underline{V}\) […] i.e. que le […] de \(A\) sur \(\underline{V}\) […] des jacobiennes. Alors Soit \(C_{0}\) une courbe sur […]

le bord gauche de la page porte, en biais, une note de sa main : on y lit « […] finalement […] », et rien de sûr au-delà

[…] (compatible […] […]), \[ J^{0}_{C_{0}/k(s)} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{s}. \] […] courbe \(C\) sur \(S\), \(C\) dans […] plus […] isom. de \(J^{0}_{C/S}\) […] \(A\).

[…], la courbe \(C_{0}\) […] sera évident […] […] par \(J^{0}_{C/S} \to A\) de façon unique […]

les deux tiers inférieurs de la page sont un bloc encadré puis annulé par une nappe de diagonales, par-dessus une écriture déjà serrée : il n'est pas lisible et n'est pas donné

Ceci utilisant […] le fait que \(A\) […] ([…] une jacobienne) nous dit que cette courbe \(C_{a}\) […] a bien une multiplicité 1, et que \(J^{0}_{C_{a}/k(a)}\) […] […] produit des jacobiennes […] des composantes de \(C_{a}\).] (« […] »)

Mais un résultat de Matsusaka nous apprend que si une […] […] \(A\) un diviseur irréductible [positif] \(\Theta_{a}\) […] […] tel que \[ \tfrac{1}{n!}\,\deg \Theta_{a}^{n} = 1, \qquad \Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, Z \] […] […] […] \(Z\) soit […] […] une courbe […] positif, alors […] […] irréductible, [et de plus […] […] […] […] \(A\) […] bien une […] […] : sa jacobienne] […] \(A\), […] \(\Theta\) définit […] l'immersion […] la polarisation […]

Que l'hypothèse […]

[…] \(\Theta_{y}\) […] correspondantes […] \(\Theta_{a}\), \(\Theta\), dire […] que \[ \deg(\Theta_{y}^{n})/n! = 1 \quad\text{et}\quad \deg(\Theta_{a}^{n}/n!) = 1, \] […] \(C_{a}\) était irréd. et \[ \Theta_{y}^{\,n-1} \equiv \struck{\ill{}}\ (n-1)!\, C_{y}, \qquad \Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{a}. \] irréductible, \(\Theta_{a}\) […]

la formule est écrite deux fois, la première biffée ; seule la seconde est donnée. La classe que l'énoncé général appelle \(Z\) est ici la courbe elle-même, \(C_{y}\) ou \(C_{a}\)

irréductible au sens du th. de Matsusaka.

[…] [[…]] […] […] \(A\) […] une jacobienne, […] […] […] […] de multiplicité […]

Matsusaka affirme qu'il […] […] mais […] […] dit. \(D\) positif […] il existe […] […] […] irréductible […] […]) une \(A\) […] […] : […] jacobiennes […]

le haut de la page est traversé de deux longues diagonales et le peu qui se lit est donné tel quel

[…] une […], et […] […] dans le cas de Matsusaka […] ; donc \(C_{a}\) est irréductible […] sur \(k\). Donc \(C\) […] et il […] […] sur \(S\), maintenant […]. […] donnent d'ailleurs ceci :

La démonstration des […]

Corollaire 1 Soit \(T \cdot \struck{\ill{}} = \overline{f(M)}\), où \(f\) […] le morphisme structural \(M \to S\). Pour que \(t \in T\) […] de \(f(M)\), il f. et s. que le diviseur […] […] la polarisation de \(A_{t}\) [[…] à translation près […] [nulle,]] \(\deg \Theta^{g}/g! = 1\)] soit irréductible.

Corollaire 2 Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\), munies d'isomorphismes […] relatives […] \(\varphi : J^{0}_{C/S} \to A\) et \(\varphi' : J^{0}_{C'/S} \to A\). Alors la […]

le premier bloc de la page est encadré puis annulé d'un long trait sinueux ; il est donné tel qu'il se lit

Corollaire 3 (i) Supposons que \(S\) soit [réduits, et] […] […] […] \(s \in S\) tel que \(A_{s}\) soit […] hyperelliptique [polarisé]. Pour que […] une jacobienne [polarisée], il f. et s. que \(A\) ait une […] […] […] soient ; […] […] que les composantes […] soient […] (composantes de \(S\)) […] le soient, et que les […] le diviseur de Matsusaka […] […] puissent être irréductibles.

(ii) Supposons que \(S\) soit réduit […] aux […] \(s \in S\) […] que \(A_{s}\) soit hyperelliptique. deux Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\), munies d'isom. de […] […] relations polarisées \[ \varphi : J^{0}_{C/S} \longrightarrow A, \qquad \varphi' : J^{0}_{C'/S} \longrightarrow A. \] Alors il existe un \(S\)-isom. […] \(u : C \to C'\) et un […] seul […] compatible […] avec \(\varphi\) et \(\varphi'\).

le feuillet s'arrête là, sur l'énoncé et sans démonstration