Cote n° 52 · pages 1–13 · Lecture modernisée · Théorème de Torelli : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Rigidité (pages 2 à 4). \(\mathrm{Aut}_{S}(C) \to \mathrm{Aut}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S})\) est une immersion fermée ; une translation de la jacobienne qui conserve la courbe est nulle ; les isomorphismes de courbes s'injectent dans ceux des jacobiennes.
2. 2.Le problème de modules (pages 4 à 7). Le foncteur \(F\) des courbes munies d'un isomorphisme de leur jacobienne polarisée sur \(A\) ; une variante rigidifiée \(F'\) représentable par un \(M'\) quasi-projectif sur lequel \(A\) opère ; \(M = M'/A\).
3. 3.Torelli infinitésimal (pages 8 et 9), réduit par dualité au théorème de Max Noether.
4. 4.Spécialisation et critère de Matsusaka (pages 10 à 13), et les corollaires qui en sortent sur l'image de \(M \to S\) et sur les isomorphismes de courbes au-dessus d'une base réduite.

Conventions. Une courbe sur \(S\) est un \(S\)-schéma lisse et propre à fibres géométriquement connexes de dimension 1, de genre \(g \geq 2\). \(J^{0}_{C/S} = \mathrm{Pic}^{0}_{C/S}\) est sa jacobienne, munie de sa polarisation principale canonique, et \(J^{1}_{C/S}\) le torseur sous \(J^{0}_{C/S}\) des classes de degré 1, dans lequel \(C\) se plonge par l'application d'Abel.¹ On note \(\omega = \Omega^{1}_{C/k}\) sur un corps, \(\theta\) ou \(\Theta\) le diviseur de polarisation, et \(n = g\) la dimension de \(A\) ; il écrit \(n\) aux pages 11 et 12 et \(g\) au corollaire de la page 12.

Deux rigidifications. La page 5 rigidifie par des différentielles \(h\)-uples, la page 7 par le plongement de la courbe dans \(A\), c'est-à-dire par un point du schéma de Hilbert de \(A\). Les feuillets ne disent pas comment elles s'articulent, et on les garde distinctes.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : la représentabilité de \(F'\), qu'une note marginale renvoie à plus tard (« rédiger proprement ») ; l'existence du quotient \(M'/A\) ; l'argument de la page 10, dont les deux tiers sont annulés ; les démonstrations des corollaires des pages 12 et 13.

2–2

Automorphismes de la courbe et de sa jacobienne (page 2)

Théorème 1. Soit \(S\) localement noethérien et \(C\) une courbe de genre \(g \geq 2\) sur \(S\). Alors le morphisme de foncteurs \[ \mathrm{Aut}_{S}(C) \longrightarrow \mathrm{Aut}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}) \] est injectif.

Principe. Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) qui induit l'identité sur \(J^{0}_{C/S}\). L'automorphisme \(\bar{\sigma}\) qu'il induit sur le torseur \(J^{1}_{C/S}\) commute alors à l'action de \(J^{0}\), donc est la translation \(T_{s}\) par une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\), et il faut voir que \(s = 0\). Le cas d'un corps algébriquement clos est le Lemme de la page 3 ; l'énoncé relatif s'en déduit parce que les deux foncteurs sont non ramifiés sur \(S\) — « pas d'automorphismes infinitésimaux ! ».

Corollaire 1. Le morphisme ci-dessus est un monomorphisme, et même une immersion fermée.

En effet, pour \(g \geq 2\), \(\mathrm{Aut}_{S}(C)\) est fini et non ramifié sur \(S\), puisque \(H^{0}(C_{s}, T_{C_{s}}) = 0\) en chaque point. Le noyau \(K\) du morphisme est un sous-groupe fermé de \(\mathrm{Aut}_{S}(C)\), fini et non ramifié sur \(S\), dont les fibres géométriques sont réduites à l'élément neutre par le Lemme ; un tel \(K\) est une immersion fermée dans \(S\) qui admet une section, donc \(K = S\). Un monomorphisme propre étant une immersion fermée, le corollaire suit.²

3–3

Le lemme des points fixes (page 3)

Lemme. Soit \(C\) une courbe projective lisse et connexe de genre \(g \geq 2\) sur un corps algébriquement clos \(k\), et \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) qui induit l'identité sur \(J^{0}_{C/k}\). Alors \(\sigma\) est l'identité.

Démonstration. L'automorphisme de \(J^{1}\) induit par \(\sigma\) est une translation \(T_{a}\), \(a \in J^{0}(k)\), et pour tout \(x \in C(k)\), vu dans \(J^{1}\), on a \(\sigma(x) = x + a\).³ Il suffit donc que \(\sigma\) ait un point fixe \(x\) : alors \(a = \sigma(x) - x = 0\). Or, pour \(\ell\) premier à la caractéristique, \(\sigma\) opère trivialement sur \(H^{1}(C, \mathbb{Q}_{\ell})\), dual du module de Tate de \(J^{0}\), de dimension \(2g\). Si \(\sigma \neq \mathrm{id}\), le graphe de \(\sigma\) et la diagonale de \(C \times C\) sont deux courbes distinctes, et leur nombre d'intersection est donné par la formule des traces de Lefschetz : \[ (\Gamma_{\sigma} \cdot \Delta) = \sum_{i=0}^{2} (-1)^{i}\, \mathrm{tr}\bigl(\sigma^{*} \mid H^{i}\bigr) = 1 - 2g + 1 = 2 - 2g \neq 0. \] Les deux courbes se rencontrent donc, \(\sigma\) a un point fixe, et \(a = 0\).⁴

Corollaire 2. Sous les hypothèses du Théorème 1, une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\) telle que la translation \(T_{s}\) de \(J^{1}_{C/S}\) conserve \(C\) est la section nulle.

Sur les fibres géométriques, \(T_{a}\) restreinte à \(C\) est un automorphisme dont le prolongement à \(J^{1}\) est une translation, donc qui opère trivialement sur \(J^{0}\) ; par le Lemme il est l'identité, et \(a = 0\). On conclut sur \(S\) comme au Corollaire 1.⁵

C'est ce corollaire qui servira à la page 7 : il dit que la translation par \(A\) opère librement sur les courbes tracées dans \(A\).

4–4

Isomorphismes, et le problème de modules (page 4)

Le haut de la page reprend le Corollaire 2 au-dessus des nombres duaux \(k[\varepsilon]\), puis d'une extension de carré nul \(\mathcal{O}_{S} \oplus \mathcal{I}\), pour en tirer la version infinitésimale ; le bloc est encadré puis annulé.⁶

Corollaire 3. Soient \(C\), \(C'\) deux courbes de genre \(g \geq 2\) sur \(S\). Alors \[ \mathrm{Isom}_{S}(C, C') \longrightarrow \mathrm{Isom}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S}) \] est une immersion fermée. C'est le Corollaire 1 transporté aux torseurs : là où \(\mathrm{Isom}_{S}(C, C')\) n'est pas vide, il est localement un torseur sous \(\mathrm{Aut}_{S}(C)\).

Le problème de modules. Soit \(A\) un schéma abélien de dimension relative \(g\) sur \(S\), polarisé au sens strict : on se donne une section du schéma de Néron-Severi.⁷ Pour tout \(S\)-schéma \(T\), soit \(F(T)\) l'ensemble des classes d'isomorphisme de couples \((C, \varphi)\), où \(C\) est une courbe de genre \(g\) sur \(T\) et \[ \varphi : J^{0}_{C/T} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{T} \] un isomorphisme compatible avec les polarisations.

Ce que dit le théorème classique. Sur un corps algébriquement clos, si \(A = J^{0}_{C_{0}}\), le théorème de Torelli dit que toute \(C\) de \(F(k)\) est isomorphe à \(C_{0}\), et \(F(k)\) s'identifie à \(\mathrm{Aut}(A, \theta)/\mathrm{Aut}(C_{0})\). Or \(\mathrm{Aut}(J^{0}_{C_{0}}, \theta) = \mathrm{Aut}(C_{0}) \times \{\pm 1\}\) si \(C_{0}\) n'est pas hyperelliptique, tandis que \(-1\) provient de l'involution hyperelliptique si elle l'est. Ainsi \(F(k)\) a deux points au-dessus d'une jacobienne non hyperelliptique, et un seul au-dessus d'une jacobienne hyperelliptique.⁸

5–7

Rigidification, schéma de Hilbert, quotient (pages 5 à 7)

Ces trois pages sont écrites très vite et largement biffées ; on n'en donne que les articulations qui se lisent.

Une première rigidification (page 5). \(F'(T)\) est l'ensemble analogue à \(F(T)\) où l'on ajoute une rigidification par des éléments de \(H^{0}(C, \omega^{\otimes h})\), \(h \geq 3\). Le nombre qui intervient est \[ v = 2h(g-1) - (g-1) = (2h-1)(g-1) = \dim H^{0}(C, \omega^{\otimes h}), \] par le théorème de Riemann-Roch, puisque \(\deg \omega^{\otimes h} = 2h(g-1)\) dépasse \(2g - 2\).⁹

Théorème (annoncé). Le foncteur \(F'\) est représentable par un \(M'\) quasi-projectif sur \(S\).¹⁰

Le cas d'un corps (page 6). Pour \(S = \mathrm{Spec}(k)\), la page renvoie à la théorie de Hilbert et au théorème de Torelli « sous sa forme classique », et parle d'un « \(\mathbb{Z}/2\) » ; le dénombrement de la section précédente dit ce qu'il peut être.¹¹

Le quotient (page 7). Le schéma abélien \(A\) opère sur \(F'\) par translation, et, d'après le Théorème 1 — en fait son Corollaire 2 —, il opère librement. Si \(F'\) est représentable par \(M'\), et si le quotient \(M'/A\) existe « universellement », alors \(M = M'/A\) représente \(F\) ; \(A\) est propre et plat sur \(S\).¹²

La seconde rigidification. \(F'(T)\) s'explicite comme une partie de \(\mathrm{Hilb}_{A/S}(T)\) : une courbe \(C\) tracée dans \(A_{T}\) par un plongement qui induit l'isomorphisme naturel \(J^{0}_{C/T} \to A_{T}\). La page invoque le théorème de Hilbert — la projectivité du schéma de Hilbert de \(A\), polarisé — et le nom de Matsusaka, pour savoir quels sous-schémas de \(A\) sont de telles courbes.¹³

8–9

Le théorème de Torelli infinitésimal (pages 8 et 9)

Soit \(C\) une courbe sur un corps algébriquement clos \(k\), plongée dans sa jacobienne \(A\). La question est : toute déformation du premier ordre de \(C\) dans \(A\) provient-elle d'une translation infinitésimale de \(A\) ? Une telle translation est d'ailleurs bien déterminée, puisque \(C\) n'a pas d'automorphismes infinitésimaux.

Les déformations de \(C\) dans \(A\) sont les éléments de \(H^{0}(C, N)\), où \(N\) est le faisceau normal. On a la suite exacte \[ 0 \longrightarrow T \longrightarrow V \longrightarrow N \longrightarrow 0, \] où \(T\) est le faisceau tangent de \(C\), de degré \(2 - 2g < 0\), et \(V = T_{A}|_{C} \simeq \mathcal{O}_{C}^{g}\) la restriction du faisceau tangent de \(A\), qui est libre. D'où \[ H^{0}(C, T) = 0, \qquad H^{0}(C, V) \simeq k^{g} \simeq H^{0}(A, T_{A}), \] et la suite longue \[ 0 \to H^{0}(C, V) \to H^{0}(C, N) \to H^{1}(C, T) \to H^{1}(C, V) \simeq H^{1}(A, T_{A}). \] Les translations sont l'image de \(H^{0}(C, V)\) ; la question est donc la surjectivité de \(H^{0}(C, V) \to H^{0}(C, N)\), c'est-à-dire l'injectivité de \[ H^{1}(C, T) \longrightarrow H^{1}(A, T_{A}). \] La source classe les déformations du premier ordre de \(C\), le but celles de \(A\), et la flèche envoie une déformation de la courbe sur celle qu'elle induit de sa jacobienne.¹⁴ D'où l'énoncé :

Corollaire. Si \(C\) n'est pas hyperelliptique, ou si \(g = 2\), toute déformation du premier ordre de \(C\) qui induit une déformation triviale de \(J^{0}_{C}\) est triviale.

Démonstration. Par la dualité de Serre, \(H^{1}(C, T)^{\vee} = H^{0}(C, \omega^{\otimes 2})\) et \(H^{1}(C, V)^{\vee} = H^{0}(C, V^{\vee} \otimes \omega) = H^{0}(C, \omega) \otimes H^{0}(C, \omega)\). L'injectivité cherchée équivaut donc à la surjectivité de la multiplication \[ H^{0}(C, \omega) \otimes H^{0}(C, \omega) \longrightarrow H^{0}(C, \omega^{\otimes 2}). \] Pour \(g \geq 3\), c'est le théorème de Max Noether : elle est surjective si et seulement si \(C\) n'est pas hyperelliptique. Pour \(g = 2\) elle est toujours surjective.¹⁵

Le cas hyperelliptique. Le noyau de \(H^{1}(C, T) \to H^{1}(A, T_{A})\) n'est alors pas nul, et la page en tire que la fibre de \(M\) au-dessus du point correspondant se réduit à \(\mathrm{Spec}\,k(s)\) : les deux points que \(M\) a au-dessus d'une jacobienne générale, \((C, \varphi)\) et \((C, -\varphi)\), s'y confondent, et \(M \to S\) y est ramifié.¹⁶

9–10

Relever une courbe (pages 9 et 10)

La fin de la page 9 et le haut de la page 10 tirent de ce qui précède un énoncé de relèvement : soit \(s \in S\), et \(C_{0}\) une courbe sur \(k(s)\) munie d'un isomorphisme compatible aux polarisations \[ J^{0}_{C_{0}/k(s)} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{s}. \] Il s'agit de prolonger \(C_{0}\) en une courbe \(C\) sur \(S\) munie d'un isomorphisme \(J^{0}_{C/S} \simeq A\), et de façon unique. C'est ce que donne un morphisme \(M \to S\) non ramifié au point considéré, par le Corollaire des pages 8 et 9.¹⁷

11–12

Le critère de Matsusaka (pages 11 et 12)

Il faut maintenant savoir ce qui arrive à la limite : quand une famille de courbes \(C_{y}\) tracées dans \(A\) se spécialise en un cycle \(C_{a}\), celui-ci est-il encore une courbe, et \(A_{a}\) encore une jacobienne ?

Critère de Matsusaka. Soit \(A\) une variété abélienne de dimension \(n\) sur un corps algébriquement clos, \(\Theta\) un diviseur positif définissant une polarisation principale, c'est-à-dire \(\deg(\Theta^{n})/n! = 1\), et \(Z\) un 1-cycle positif tel que \[ \Theta^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, Z . \] Alors \(Z\) est de multiplicité 1, et \((A, \Theta)\) est le produit, comme variété abélienne principalement polarisée, des jacobiennes des composantes de \(Z\) ; en particulier, si \(Z\) est irréductible, \((A, \Theta)\) est la jacobienne de la courbe \(Z\).¹⁸

Application. Dans la famille, les classes se conservent : \[ \frac{\deg \Theta_{y}^{n}}{n!} = \frac{\deg \Theta_{a}^{n}}{n!} = 1, \qquad \Theta_{y}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{y}, \qquad \Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{a}. \] Le cycle limite \(C_{a}\) satisfait donc aux hypothèses du critère : il est réduit, \((A_{a}, \Theta_{a})\) est un produit de jacobiennes, et c'est une jacobienne dès que \(C_{a}\) est irréductible, ce qui arrive exactement quand \(\Theta_{a}\) est irréductible.¹⁹

Corollaire 1. Soit \(f : M \to S\) le morphisme structural, et \(T = \overline{f(M)}\). Un point \(t \in T\) est dans \(f(M)\) si et seulement si le diviseur de la polarisation de \(A_{t}\) — défini à translation près, \(\deg \Theta^{g}/g! = 1\) — est irréductible.

Autrement dit : l'adhérence du lieu des jacobiennes est faite des produits de jacobiennes, et l'on reconnaît une jacobienne parmi eux à l'irréductibilité de son diviseur thêta.

13–13

Isomorphismes au-dessus d'une base réduite (page 13)

Un premier corollaire, qui comparait deux courbes \(C\), \(C'\) munies d'isomorphismes \(\varphi : J^{0}_{C/S} \to A\) et \(\varphi' : J^{0}_{C'/S} \to A\), est encadré puis annulé ; il est repris sous le numéro 3.

Corollaire 3. Soit \(S\) réduit.

1. (i)La page énonce une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit une jacobienne polarisée, portant sur ses fibres et sur l'irréductibilité des diviseurs de Matsusaka.²⁰
2. (ii)Supposons qu'en tout point \(s \in S\), \(A_{s}\) soit la jacobienne d'une courbe hyperelliptique. Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\) munies d'isomorphismes de jacobiennes polarisées \[ \varphi : J^{0}_{C/S} \longrightarrow A, \qquad \varphi' : J^{0}_{C'/S} \longrightarrow A. \] Alors il existe un \(S\)-isomorphisme \(u : C \to C'\) compatible avec \(\varphi\) et \(\varphi'\), et un seul.

L'hypothèse hyperelliptique est ce qui rend l'énoncé exact. Par le Corollaire 3 de la page 4, \(\mathrm{Isom}_{S}(C, C') \to \mathrm{Isom}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S})\) est une immersion fermée ; son image réciproque par la section \(\varphi'^{-1} \circ \varphi\) est donc un sous-schéma fermé \(Z\) de \(S\), qui représente les \(u\) compatibles, et qui en a au plus un. Un point \(s\) est dans \(Z\) dès qu'il existe, sur une clôture algébrique de \(k(s)\), un isomorphisme \(u_{s}\) avec \(\varphi'_{s} \circ J(u_{s}) = \varphi_{s}\). Le théorème de Torelli classique donne un \(u_{s}\) avec \(\varphi'_{s} \circ J(u_{s}) = \pm \varphi_{s}\), et quand \(-1\) est induit par l'involution hyperelliptique \(\iota\) on corrige le signe en remplaçant \(u_{s}\) par \(u_{s} \circ \iota\). Ainsi \(Z\) contient tous les points de \(S\), et \(Z = S\) puisque \(S\) est réduit.²¹