Cote n° 52 · pages 1–13 · Lecture modernisée · Théorème de Torelli : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d.

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.Rigidité (pages 2 à 4). \(\mathrm{Aut}_{S}(C) \to \mathrm{Aut}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S})\) est une immersion fermée ; une translation de la jacobienne qui conserve la courbe est nulle ; les isomorphismes de courbes s'injectent dans ceux des jacobiennes.
2. 2.Le problème de modules (pages 4 à 7). Le foncteur \(F\) des courbes munies d'un isomorphisme de leur jacobienne polarisée sur \(A\) ; une variante \(F'\), rigidifiée par une section de \(J^{1}\), c'est-à-dire par un plongement de la courbe dans \(A\), représentable par un ouvert \(M'\) du schéma de Hilbert de \(A\) sur lequel \(A\) opère librement ; \(M = M'/A\).
3. 3.Torelli infinitésimal (pages 8 et 9), réduit par dualité au théorème de Max Noether : c'est la non-ramification de \(M\).
4. 4.Bonne réduction et critère de Matsusaka (pages 9 à 13) : par le critère valuatif, une courbe de la fibre générique se prolonge dès que la fibre spéciale de \(A\) est une jacobienne ; puis les corollaires qui en sortent sur l'image de \(M \to S\) et sur les courbes au-dessus d'une base réduite.

Conventions. Une courbe sur \(S\) est un \(S\)-schéma lisse et propre à fibres géométriquement connexes de dimension 1, de genre \(g \geq 2\). \(J^{0}_{C/S} = \mathrm{Pic}^{0}_{C/S}\) est sa jacobienne, munie de sa polarisation principale canonique, et \(J^{1}_{C/S}\) le torseur sous \(J^{0}_{C/S}\) des classes de degré 1, dans lequel \(C\) se plonge par l'application d'Abel.¹ On note \(\omega = \Omega^{1}_{C/k}\) sur un corps, \(\theta\) ou \(\Theta\) le diviseur de polarisation, et \(n = g\) la dimension de \(A\) ; il écrit \(n\) aux pages 11 et 12 et \(g\) au corollaire de la page 12.

La rigidification. La page 5 essaie d'abord des différentielles \(h\)-uples, puis annule ce bloc et rigidifie par une section de \(J^{1}\) ; la page 7 décrit la même donnée comme un plongement de la courbe dans \(A\), c'est-à-dire un point du schéma de Hilbert de \(A\). Les deux descriptions donnent la même rigidification.

L'ordre des feuillets. Les phrases enjambent du bas de la page 7 au haut de la page 6, et du bas de la page 6 au haut de la page 8 : les feuillets 6 et 7 paraissent intervertis dans le film. On suit l'ordre de l'argument, 5, 7, 6, 8, et on cite les pages par leur numéro de facsimilé.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : le lemme selon lequel un automorphisme équivariant de \(J^{1}\) est une translation (page 2, « lemme à énoncer ») ; une rédaction de la représentabilité de \(F'\), esquissée page 6 mais renvoyée à plus tard (« rédiger proprement ») ; l'existence du quotient \(M'/A\) (« résultat général à démontrer ») ; la démonstration du Corollaire 3 de la page 13.

2–2

Automorphismes de la courbe et de sa jacobienne (page 2)

Théorème 1. Soit \(S\) localement noethérien et \(C\) une courbe de genre \(g \geq 2\) sur \(S\). Alors le morphisme de foncteurs \[ \mathrm{Aut}_{S}(C) \longrightarrow \mathrm{Aut}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}) \] est injectif.

Principe. Soit \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) qui induit l'identité sur \(J^{0}_{C/S}\). L'automorphisme \(\bar{\sigma}\) qu'il induit sur le torseur \(J^{1}_{C/S}\) commute alors à l'action de \(J^{0}\), donc est la translation \(T_{s}\) par une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\),² et il faut voir que \(s = 0\). Les deux membres étant non ramifiés sur \(S\) (« pas d'automorphismes infinitésimaux ! »), on est ramené, dit la page, à l'injectivité géométrique, sur les points à valeurs dans les corps algébriquement clos : c'est le Lemme de la page 3.

Corollaire 1. Le morphisme ci-dessus est un monomorphisme, et même une immersion fermée.

En effet, pour \(g \geq 2\), \(\mathrm{Aut}_{S}(C)\) est fini et non ramifié sur \(S\), puisque \(H^{0}(C_{s}, T_{C_{s}}) = 0\) en chaque point. Le noyau \(K\) du morphisme est un sous-groupe fermé de \(\mathrm{Aut}_{S}(C)\), fini et non ramifié sur \(S\), dont les fibres géométriques sont réduites à l'élément neutre par le Lemme ; un tel \(K\) est une immersion fermée dans \(S\) qui admet une section, donc \(K = S\). Un monomorphisme propre étant une immersion fermée, le corollaire suit.³

3–3

Le lemme des points fixes (page 3)

Lemme. Soit \(C\) une courbe projective lisse et connexe de genre \(g \geq 2\) sur un corps algébriquement clos \(k\), et \(\sigma\) un automorphisme de \(C\) qui induit l'identité sur \(J^{0}_{C/k}\). Alors \(\sigma\) est l'identité.

Démonstration. L'automorphisme de \(J^{1}\) induit par \(\sigma\) est une translation \(T_{a}\), \(a \in J^{0}(k)\), et pour tout \(x \in C(k)\), vu dans \(J^{1}\), on a \(\sigma(x) = x + a\).⁴ Il suffit donc que \(\sigma\) ait un point fixe \(x\) : alors \(a = \sigma(x) - x = 0\). Or, pour \(\ell\) premier à la caractéristique, \(\sigma\) opère trivialement sur \(H^{1}(C, \mathbb{Q}_{\ell})\), dual du module de Tate de \(J^{0}\), de dimension \(2g\). Si \(\sigma \neq \mathrm{id}\), le graphe de \(\sigma\) et la diagonale de \(C \times C\) sont deux courbes distinctes, et leur nombre d'intersection est donné par la formule des traces de Lefschetz : \[ (\Gamma_{\sigma} \cdot \Delta) = \sum_{i=0}^{2} (-1)^{i}\, \mathrm{tr}\bigl(\sigma^{*} \mid H^{i}\bigr) = 1 - 2g + 1 = 2 - 2g \neq 0. \] Les deux courbes se rencontrent donc, \(\sigma\) a un point fixe, et \(a = 0\).⁵

Corollaire 2. Sous les hypothèses du Théorème 1, une section \(s\) de \(J^{0}_{C/S}\) telle que la translation \(T_{s}\) de \(J^{1}_{C/S}\) conserve \(C\) est la section nulle.

Sur les fibres géométriques, \(T_{a}\) restreinte à \(C\) est un automorphisme dont le prolongement à \(J^{1}\) est une translation, donc qui opère trivialement sur \(J^{0}\) ; par le Lemme il est l'identité, et \(a = 0\). On conclut sur \(S\) comme au Corollaire 1.⁶

Ce corollaire servira à la page 7 : il dit que la translation par \(A\) opère librement sur les courbes tracées dans \(A\).

4–4

Isomorphismes, et le problème de modules (page 4)

Le haut de la page applique le Corollaire 2 à \(S' = \mathrm{Spec}(\mathcal{O}_{S} \oplus \mathcal{I})\), où \(\mathcal{I}\) est un faisceau cohérent de carré nul, pour en tirer les automorphismes de \(C' = C \times_{S} S'\) qui induisent l'identité sur \(C\), c'est-à-dire la version infinitésimale ; le bloc est encadré puis annulé, et s'arrête sur « on trouve ».⁷

Corollaire 3. Soient \(C\), \(C'\) deux courbes de genre \(g \geq 2\) sur \(S\). Alors \[ \mathrm{Isom}_{S}(C, C') \longrightarrow \mathrm{Isom}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S}) \] est une immersion fermée. C'est le Corollaire 1 transporté aux torseurs : là où \(\mathrm{Isom}_{S}(C, C')\) n'est pas vide, il est localement un torseur sous \(\mathrm{Aut}_{S}(C)\).

Le problème de modules. Soit \(A\) un schéma abélien de dimension relative \(g\) sur \(S\), polarisé au sens strict : on se donne une section du schéma de Néron-Severi.⁸ Pour tout \(S\)-schéma \(T\), soit \(F(T)\) l'ensemble des classes d'isomorphisme de couples \((C, \varphi)\), où \(C\) est une courbe de genre \(g\) sur \(T\) et \[ \varphi : J^{0}_{C/T} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{T} \] un isomorphisme compatible avec les polarisations.

Ce que dit le théorème classique. Sur un corps algébriquement clos, si \(A = J^{0}_{C_{0}}\), le théorème de Torelli dit que toute \(C\) de \(F(k)\) est isomorphe à \(C_{0}\), et \(F(k)\) s'identifie à \(\mathrm{Aut}(A, \theta)/\mathrm{Aut}(C_{0})\). Or \(\mathrm{Aut}(J^{0}_{C_{0}}, \theta) = \mathrm{Aut}(C_{0}) \times \{\pm 1\}\) si \(C_{0}\) n'est pas hyperelliptique, tandis que \(-1\) provient de l'involution hyperelliptique si elle l'est. Ainsi \(F(k)\) a deux points au-dessus d'une jacobienne non hyperelliptique, et un seul au-dessus d'une jacobienne hyperelliptique.⁹

5–7

Rigidification, schéma de Hilbert, quotient (pages 5 à 7)

Ces trois pages sont écrites vite et en partie biffées. On en suit l'argument dans l'ordre où il se lit, qui va de la page 5 à la page 7, puis à la page 6.¹⁰

La rigidification (page 5). Soit \(F'(T)\) l'ensemble des classes de triplets \((C, \varphi, e)\), où \((C, \varphi)\) est dans \(F(T)\) et \(e\) une section de \(J^{1}_{C/T}\) au-dessus de \(T\) (la « structure supplémentaire » de la page). Une telle section plonge \(C\) dans \(A_{T}\) par \(x \mapsto \varphi(x - e)\), l'application d'Abel translatée de \(e\), suivie de \(\varphi\).¹¹ Le schéma abélien \(A\) opère sur \(F'\) en changeant \(e\), c'est-à-dire par translation de la courbe plongée, et \(F' \to F\) est un torseur sous \(A\) : \(J^{1}_{C/T}\) a des sections localement pour la topologie étale, et deux sections diffèrent d'une unique section de \(J^{0}_{C/T} \simeq A_{T}\). D'où \(F' \times_{F} F' \simeq A \times F'\).¹²

Théorème. Le foncteur \(F'\) est représentable par un \(S\)-schéma \(M'\) quasi-projectif.¹³

La page annonce aussi ce qu'elle veut savoir du morphisme structural \(M \to S\) : qu'il soit « radiciel » et « non ramifié ». Ce qui est vrai est plus précis : les fibres géométriques de \(M \to S\) ont au plus deux points, échangés par \(-1 \in \mathrm{Aut}_{S}(A)\) (c'est la réserve « à conjugaison près par le groupe \(\mathbb{Z}/2\) » qu'ajoute la page 6), et \(M \to S\) est non ramifié aux points où la courbe n'est pas hyperelliptique, ou est de genre 2 (pages 8 et 9).¹⁴

Le quotient (page 7). Le schéma abélien \(A\) opère sur \(M'\) par translation, et, d'après le Théorème 1 (en fait son Corollaire 2), il opère sans point fixe. D'après un résultat général, que la page annonce « à démontrer », le quotient \(M'/A\) existe alors « universellement », et \(M = M'/A\) représente \(F\) ; il y sert que \(A\) est propre et plat sur \(S\).¹⁵

\(F'\) dans le schéma de Hilbert (pages 7 et 6). \(F'(T)\) s'identifie à une partie de \(\mathrm{Hilb}_{A/S}(T)\) : les courbes \(C\) plongées dans \(A_{T}\) telles que le morphisme \(J^{0}_{C/T} \to A_{T}\) déduit du plongement soit un isomorphisme de schémas abéliens polarisés. La polarisation induite sur \(C\) est de degré \(g\) (c'est \(\Theta \cdot C = g\), puisque \(C \equiv \Theta^{g-1}/(g-1)!\)), de sorte que le polynôme de Hilbert de \(C\) est fixé et que ces courbes vivent dans une partie quasi-projective du schéma de Hilbert ; la lissité de \(C\) y est une condition ouverte, et la seconde condition, que \(J^{0}_{C/T} \to A_{T}\) soit un isomorphisme compatible aux polarisations, en découpe un ouvert plus petit. Ainsi \(F'\) est représentable par un \(M'\) quasi-projectif, donc \(F\) aussi, le quotient étant admis.¹⁶

Deux cas particuliers (page 6). Pour la question principale, ce que vaut \(M \to S\), la page se ramène à deux cas. Le premier, (i), est celui d'un corps \(S = \mathrm{Spec}(k)\), algébriquement clos si l'on veut, et il a deux volets : a) \(M\) a au plus un point à conjugaison près par \(\mathbb{Z}/2\), c'est le théorème de Torelli sous sa forme classique, et le dénombrement de la page 4 dit ce qu'il en est ; b) \(M \to \mathrm{Spec}(k)\) est non ramifié, c'est-à-dire que deux points de \(M\) à valeurs dans \(k[t]/t^{2}\) localisés au même point de \(M\) sont égaux ; c'est l'objet des pages 8 et 9. Le second, (ii), est le critère valuatif de la page 9.¹⁷

8–9

Le théorème de Torelli infinitésimal (pages 8 et 9)

C'est le point b) de la page 6 : la non-ramification de \(M\) en un point. Soit \(C\) une courbe sur un corps algébriquement clos \(k\), plongée dans sa jacobienne \(A\). La question est : toute déformation du premier ordre de \(C\) dans \(A\) provient-elle d'une translation infinitésimale de \(A\) ? Une telle translation est d'ailleurs bien déterminée, puisque \(C\) n'a pas d'automorphismes infinitésimaux.

Les déformations de \(C\) dans \(A\) sont les éléments de \(H^{0}(C, N)\), où \(N\) est le faisceau normal. On a la suite exacte \[ 0 \longrightarrow T \longrightarrow V \longrightarrow N \longrightarrow 0, \] où \(T\) est le faisceau tangent de \(C\), de degré \(2 - 2g < 0\), et \(V = T_{A}|_{C} \simeq \mathcal{O}_{C}^{g}\) la restriction du faisceau tangent de \(A\), qui est libre. D'où \[ H^{0}(C, T) = 0, \qquad H^{0}(C, V) \simeq k^{g} \simeq H^{0}(A, T_{A}), \] et la suite longue \[ 0 \to H^{0}(C, V) \to H^{0}(C, N) \to H^{1}(C, T) \to H^{1}(C, V) \simeq H^{1}(A, T_{A}). \] Les translations sont l'image de \(H^{0}(C, V)\) ; la question est donc la surjectivité de \(H^{0}(C, V) \to H^{0}(C, N)\), c'est-à-dire l'injectivité de \[ H^{1}(C, T) \longrightarrow H^{1}(A, T_{A}). \] La source classe les déformations du premier ordre de \(C\), le but celles de \(A\), et la flèche envoie une déformation de la courbe sur celle qu'elle induit de sa jacobienne.¹⁸ D'où l'énoncé :

Corollaire. Si \(C\) n'est pas hyperelliptique, ou si \(g = 2\), toute déformation du premier ordre de \(C\) qui induit une déformation triviale de \(J^{0}_{C}\) est triviale.

Démonstration. Par la dualité de Serre, \(H^{1}(C, T)^{\vee} = H^{0}(C, \omega^{\otimes 2})\) et \(H^{1}(C, V)^{\vee} = H^{0}(C, V^{\vee} \otimes \omega) = H^{0}(C, \omega) \otimes H^{0}(C, \omega)\). L'injectivité cherchée équivaut donc à la surjectivité de la multiplication \[ H^{0}(C, \omega) \otimes H^{0}(C, \omega) \longrightarrow H^{0}(C, \omega^{\otimes 2}). \] Pour \(g \geq 3\), c'est le théorème de Max Noether : elle est surjective si et seulement si \(C\) n'est pas hyperelliptique. Pour \(g = 2\) elle est toujours surjective.¹⁹

Le cas hyperelliptique. Pour \(g \geq 3\) la multiplication n'est plus surjective : son conoyau est de dimension \((3g-3) - (2g-1) = g - 2\), et c'est, par dualité, le noyau de \(H^{1}(C, T) \to H^{1}(A, T_{A})\), c'est-à-dire le conoyau de \(H^{0}(C, V) \to H^{0}(C, N)\). Ce noyau est l'espace tangent de la fibre de \(M\) au point \((C, \varphi)\). Les deux points que \(M\) a au-dessus d'une jacobienne non hyperelliptique, \((C, \varphi)\) et \((C, -\varphi)\), se confondent ici en un seul point, non réduit, et \(M \to S\) y est ramifié. Pour \(g = 3\), la fibre de \(M\) en \(s\) est \(\mathrm{Spec}\, k[t]/t^{2}\), comme le dit la page.²⁰

9–10

Bonne réduction (pages 9 et 10)

Le second cas, (ii), est global : la page veut factoriser \(M \to S\) en un morphisme fini suivi d'une immersion, et se ramène par le critère valuatif à l'énoncé suivant.²¹

Corollaire (bonne réduction). Soit \(S = \mathrm{Spec}(V)\), où \(V\) est un anneau de valuation discrète, de point générique \(\eta\) et de point fermé \(a\), et supposons \(M \to S\) surjectif, c'est-à-dire que la fibre spéciale \(A_{a}\) soit elle aussi une jacobienne. Soit \(C_{\eta}\) une courbe sur \(k(\eta)\) munie d'un isomorphisme compatible aux polarisations \[ J^{0}_{C_{\eta}/k(\eta)} \xrightarrow{\;\sim\;} A_{\eta}. \] Alors il existe une courbe \(C\) sur \(S\), de fibre générique \(C_{\eta}\), et un isomorphisme \(J^{0}_{C/S} \simeq A\) qui induit l'isomorphisme donné sur la fibre générique ; il est unique.

En d'autres termes, dit la page, la courbe \(C_{\eta}\) « se réduit bien ».²²

Démonstration. On peut supposer \(V\) complet, et que \((C_{\eta}, \varphi_{\eta})\) provient d'un point de \(M'\) rationnel sur \(k(\eta)\), c'est-à-dire que \(J^{1}_{C_{\eta}}\) a un point rationnel ; \(C_{\eta}\) est alors plongée dans \(A_{\eta}\).²³ Soit \(C\) l'adhérence de \(C_{\eta}\) dans \(A\) : c'est un sous-schéma fermé de \(A\), plat sur \(S\), dont la fibre spéciale \(C_{a}\) a pour cycle la spécialisation de \(C_{\eta}\). Il s'agit de voir que \(C_{a}\) est une courbe lisse.²⁴

11–12

Le critère de Matsusaka (pages 11 et 12)

Critère de Matsusaka. Soit \(A\) une variété abélienne de dimension \(n\) sur un corps algébriquement clos, \(\Theta\) un diviseur positif irréductible tel que \(\deg(\Theta^{n})/n! = 1\) (c'est-à-dire que \(\Theta\) définit une polarisation principale), et \(Z\) un 1-cycle positif tel que \[ \Theta^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, Z \] (équivalence numérique). Alors \(Z\) est une courbe irréductible non singulière, de multiplicité 1 ; de plus \(A\) est isomorphe à la jacobienne de \(Z\) par l'immersion \(Z \to A\), et \(\Theta\) en définit la polarisation canonique.²⁵

Fin de la démonstration. Soit \(\Theta_{\eta}\) un diviseur de la polarisation de \(A_{\eta}\), \(\Theta\) son adhérence dans \(A\) et \(\Theta_{a}\) sa fibre spéciale. Les classes se conservent par spécialisation : \[ \frac{\deg \Theta_{\eta}^{n}}{n!} = 1, \quad \Theta_{\eta}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{\eta}, \qquad\text{donc}\qquad \frac{\deg \Theta_{a}^{n}}{n!} = 1, \quad \Theta_{a}^{\,n-1} \equiv (n-1)!\, C_{a}. \] Comme \(A_{a}\) est une jacobienne polarisée, un résultat d'unicité, que la page attribue lui aussi à Matsusaka, dit qu'il n'y a à translation près qu'un diviseur positif dans la classe de la polarisation : \(\Theta_{a}\) est un translaté du diviseur thêta de la jacobienne, et il est donc irréductible. Le critère s'applique à \((A_{a}, \Theta_{a}, C_{a})\) : \(C_{a}\) est une courbe irréductible et non singulière. Donc \(C\) est lisse sur \(S\), et « on achève maintenant facilement » : le morphisme de schémas abéliens \(J^{0}_{C/S} \to A\) déduit du plongement est un isomorphisme sur la fibre générique, donc un isomorphisme.²⁶

La démonstration donne aussi le corollaire suivant.

Corollaire 1. Soit \(f : M \to S\) le morphisme structural, et \(T = \overline{f(M)}\). Un point \(t \in T\) est dans \(f(M)\) si et seulement si le diviseur de la polarisation de \(A_{t}\) (défini à translation près, \(\deg \Theta^{g}/g! = 1\)) est vraiment irréductible.

En effet, une jacobienne a un diviseur thêta irréductible ; et si \(\Theta_{t}\) est irréductible, on spécialise vers \(t\), le long d'un trait, une courbe d'un point de \(f(M)\) : l'argument ci-dessus n'a utilisé de \(A_{a}\) que l'irréductibilité de \(\Theta_{a}\), et montre que \(A_{t}\) est la jacobienne de la courbe limite. Le lieu des jacobiennes est donc ouvert dans son adhérence, et on l'y reconnaît à l'irréductibilité du diviseur thêta.²⁷

13–13

Isomorphismes au-dessus d'une base réduite (page 13)

Un premier corollaire, qui comparait deux courbes \(C\), \(C'\) munies d'isomorphismes de schémas abéliens polarisés \(\varphi : J^{0}_{C/S} \to A\) et \(\varphi' : J^{0}_{C'/S} \to A\) au-dessus d'une base supposée réduite, est encadré puis annulé ; il est repris sous le numéro 3.

Corollaire 3.

1. (i)Si \(A\) est un schéma jacobien polarisé (s'il existe une courbe \(C\) sur \(S\) et un isomorphisme de schémas abéliens polarisés \(J^{0}_{C/S} \simeq A\)), ses fibres sont des jacobiennes polarisées et leurs diviseurs de polarisation sont irréductibles. Réciproquement, si \(S\) est normal, il suffit que les fibres génériques des composantes de \(S\) soient des jacobiennes polarisées et que les diviseurs de polarisation de toutes les fibres soient irréductibles.²⁸
2. (ii)Supposons \(S\) réduit, et qu'en tout point \(s \in S\), \(A_{s}\) soit la jacobienne d'une courbe hyperelliptique. Soient \(C\), \(C'\) deux courbes sur \(S\) munies d'isomorphismes de jacobiennes polarisées \[ \varphi : J^{0}_{C/S} \longrightarrow A, \qquad \varphi' : J^{0}_{C'/S} \longrightarrow A. \] Alors il existe un \(S\)-isomorphisme \(u : C \to C'\) compatible avec \(\varphi\) et \(\varphi'\), et un seul.²⁹

C'est l'hypothèse hyperelliptique qui rend l'énoncé exact. Par le Corollaire 3 de la page 4, \(\mathrm{Isom}_{S}(C, C') \to \mathrm{Isom}_{S\text{-gr}}(J^{0}_{C/S}, J^{0}_{C'/S})\) est une immersion fermée ; son image réciproque par la section \(\varphi'^{-1} \circ \varphi\) est donc un sous-schéma fermé \(Z\) de \(S\), qui représente les \(u\) compatibles, et qui en a au plus un. Un point \(s\) est dans \(Z\) dès qu'il existe, sur une clôture algébrique de \(k(s)\), un isomorphisme \(u_{s}\) avec \(\varphi'_{s} \circ J(u_{s}) = \varphi_{s}\). Le théorème de Torelli classique donne un \(u_{s}\) avec \(\varphi'_{s} \circ J(u_{s}) = \pm \varphi_{s}\), et quand \(-1\) est induit par l'involution hyperelliptique \(\iota\) on corrige le signe en remplaçant \(u_{s}\) par \(u_{s} \circ \iota\). Ainsi \(Z\) contient tous les points de \(S\), et \(Z = S\) puisque \(S\) est réduit.³⁰