Cote n° 51 · pages 1–22 · Lecture modernisée · « Bonne réduction » (Shimura-Koizumi) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Variétés abéliennes » (45 à 56) est daté 1961-1973
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

1. 1.L'adhérence schématique au-dessus d'un trait (pages 2 à 5) : quotients plats, sous-schémas fermés plats, sous-groupes fermés plats.
2. 2.Le schéma des sous-groupes (pages 6 et 7), fermé dans le schéma de Hilbert, et propre par morceaux grâce au point 1.
3. 3.Isogénies et théorème de Koizumi–Shimura (pages 8 à 11) : les isogénies se prolongent, la bonne réduction est un invariant d'isogénie, les quotients et les sous-variétés d'une variété à bonne réduction ont bonne réduction.
4. 4.Caractéristique \(p\) contre caractéristique nulle (pages 12 à 15) : un contre-exemple, puis le prolongement unique des sous-groupes en caractéristique nulle, une question, une remarque sur les \(\mathrm{Hom}\), et un lemme sur les sections rationnelles.
5. 5.Picard et Albanese (pages 16 et 17).
6. 6.La partie abélienne de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) (pages 18 à 21), démontrée en caractéristique nulle seulement.
7. 7.Schémas abéliens sur une base régulière (page 22).

Conventions. \(V\) est un anneau de valuation discrète, \(\pi\) une uniformisante, \(K\) son corps des fractions et \(k\) son corps résiduel. Pour un \(V\)-schéma \(X\), on note \(X_K\) la fibre générique, \(j \colon X_K \to X\) l'immersion ouverte, et \(X_k\) la fibre spéciale ; l'indice \(K\) ou le prime (\(F' = F_K\)) désignent indifféremment la restriction à \(X_K\), comme sur les pages. Un schéma abélien sur \(S\) est un \(S\)-schéma en groupes propre et lisse à fibres géométriquement connexes ; on dit que \(A_K\) a bonne réduction sur \(V\) s'il est la fibre générique d'un schéma abélien sur \(V\) — la page dit qu'il « se réduit bien ». Le mot multiabélien, qui est le sien et n'est pas usuel, désigne ici un \(S\)-schéma en groupes propre et lisse dont la composante neutre est un schéma abélien.¹ On écrit \(\mathrm{Hilb}\) et \(\mathrm{Pic}\) sans le double soulignement qu'il leur donne.

Ce que le dossier annonce et n'établit pas : le fait « connu » sur lequel repose la proposition 2 ; l'énoncé de la page 14 sans l'hypothèse de normalité, et sa note marginale, illisible ; le théorème sur les \(\mathrm{Hom}\) esquissé page 15 ; le théorème des pages 18 à 21 en caractéristique \(p\) ; les affirmations b) et d) de la page 22, et la question de pureté qui la clôt.

2–5

L'adhérence schématique au-dessus d'un trait (pages 2 à 5)

Proposition 1. Soient \(X\) un \(V\)-schéma et \(F\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent, \(F_K = j^{*}F\).

1. (i)Soit \(G' = F_K/J'\) un quotient quasi-cohérent de \(F_K\). Soit \(J^{*}\) le plus grand sous-module de \(F\) dont la restriction à \(X_K\) est contenue dans \(J'\), c'est-à-dire le noyau de \(F \to j_{*}G'\), et \(G = F/J^{*}\). Alors \(G\) est quasi-cohérent, plat sur \(V\), et \(G|_{X_K} = G'\). C'est le plus petit quotient de \(F\) qui induise sur \(X_K\) un quotient majorant \(G'\).
2. (ii)Réciproquement, si \(G = F/J\) est un quotient quasi-cohérent de \(F\) plat sur \(V\), alors \(J = J^{*}\) pour \(J' = J|_{X_K}\) : \(G\) est le plus petit quotient de \(F\) qui induise \(G|_{X_K}\).

Démonstration. L'immersion \(j\) est affine — localement, \(X_K = \mathrm{Spec}\, R[1/\pi]\) — donc \(j_{*}G'\) est quasi-cohérent, et \(J^{*}\) aussi, comme noyau d'un morphisme de modules quasi-cohérents.² Le module \(G\) s'identifie à l'image de \(F\) dans \(j_{*}G'\), sur lequel \(\pi\) est inversible ; \(\pi\) n'est donc pas diviseur de zéro dans \(G\), ce qui, sur un anneau de valuation discrète, est la platitude. Comme \(j^{*}\) est exact et \(j^{*}j_{*}G' = G'\), on a \(G|_{X_K} = G'\).³

Pour (ii), on a \(J \subset J^{*}\) puisque \(J|_{X_K} = J'\). Le quotient \(N = J^{*}/J\) est un sous-module de \(G\), donc sans \(\pi\)-torsion, et il est nul sur \(X_K\) : toute section locale de \(N\) est tuée par une puissance de \(\pi\). Donc \(N = 0\).⁴

Corollaire 1. L'application \(G \mapsto G|_{X_K}\) est une bijection de l'ensemble des quotients quasi-cohérents de \(F\) plats sur \(V\) sur l'ensemble des quotients quasi-cohérents de \(F_K\).

Corollaire 2. Soient \(X_1\), \(X_2\) deux \(V\)-schémas et \(F_1\), \(F_2\) des modules quasi-cohérents sur eux. La bijection du corollaire 1 est compatible au produit tensoriel externe : si \(G_i\) est le quotient plat de \(F_i\) qui correspond à \(G'_i\), le quotient plat de \(F_1 \boxtimes F_2\) sur \(X_1 \times_V X_2\) qui correspond à \(G'_1 \boxtimes G'_2\) est \(G_1 \boxtimes G_2\).⁵ En effet \(G_1 \boxtimes G_2\) est un quotient de \(F_1 \boxtimes F_2\), plat sur \(V\) comme produit tensoriel de modules plats, de restriction \(G'_1 \boxtimes G'_2\) ; on applique (ii).

Corollaire 3. Les sous-schémas fermés \(Y\) de \(X\) plats sur \(V\) correspondent bijectivement aux sous-schémas fermés \(Y'\) de \(X_K\), par \(Y \mapsto Y_K\) et \(Y' \mapsto \overline{Y'}\), l'adhérence schématique de \(Y'\) dans \(X\) : le plus petit sous-schéma fermé de \(X\) dont la restriction à \(X_K\) contient \(Y'\). Cette correspondance est compatible aux produits fibrés sur \(V\) : \(\overline{Y'_1 \times_K Y'_2} = \overline{Y'_1} \times_V \overline{Y'_2}\).

C'est le cas \(F = \mathcal{O}_X\) des corollaires 1 et 2. L'espace sous-jacent à \(\overline{Y'}\) est l'adhérence de \(Y'\) dans \(X\), d'où le nom.⁶

Corollaire 4. Soient \(G\) un \(V\)-schéma en groupes et \(H'\) un sous-schéma en groupes fermé de \(G_K\). Alors \(H = \overline{H'}\) est un sous-schéma en groupes fermé de \(G\), plat sur \(V\), de fibre générique \(H'\), et c'est le seul.

Démonstration. L'unicité est celle du corollaire 3. L'inversion de \(G\) est un automorphisme qui préserve \(H'\), donc son adhérence. Pour la multiplication \(m \colon G \times_V G \to G\), le sous-schéma fermé \(m^{-1}(H)\) contient \(H' \times_K H'\) sur la fibre générique, donc contient son adhérence, qui est \(H \times_V H\) par le corollaire 3. Enfin la section unité \(e \colon \mathrm{Spec}\, V \to G\) se factorise par \(H\) : \(e^{-1}(H)\) est un sous-schéma fermé de \(\mathrm{Spec}\, V\) qui contient le point générique, donc c'est \(\mathrm{Spec}\, V\).⁷

6–7

Le schéma des sous-groupes (pages 6 et 7)

Proposition 2. Soient \(S\) un schéma localement noethérien et \(G\) un \(S\)-schéma en groupes dont le schéma de Hilbert \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\) existe ; il paramètre les sous-schémas fermés de \(G\) propres et plats sur \(S\).⁸ Pour tout \(S' \to S\), soit \(\mathcal{M}(S')\) l'ensemble des sous-schémas fermés de \(G_{S'}\), propres et plats sur \(S'\), qui sont des sous-schémas en groupes.

1. (a)Le sous-foncteur \(\mathcal{M}\) de \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\) est représentable par un sous-schéma fermé de \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\).
2. (b)Si \(G\) est propre sur \(S\) et si \(\mathrm{Hilb}_{G/S}\) est réunion disjointe d'ouverts \(H_i\) de type fini sur \(S\), alors \(\mathcal{M}\) est réunion disjointe des \(\mathcal{M}_i = \mathcal{M} \cap H_i\), et chaque \(\mathcal{M}_i\) est propre sur \(S\).

Démonstration de (a). Soit \(H \subset G_{T}\) le sous-schéma universel au-dessus de \(T = \mathrm{Hilb}_{G/S}\). Il faut montrer que les \(T' \to T\) au-dessus desquels \(H_{T'}\) est un sous-groupe sont ceux qui se factorisent par un sous-schéma fermé de \(T\). Être un sous-groupe se dit par trois inclusions : la section unité \(e\) se factorise par \(H\) ; \(H\) est contenu dans son image \(\check{H}\) par l'inversion ; \(H \times_T H\) est contenu dans \(P = m^{-1}(H)\). Or si \(Z\) est un sous-schéma fermé propre et plat sur la base et \(W\) un sous-schéma fermé quelconque, les points de la base au-dessus desquels \(Z \subset W\) forment un sous-schéma fermé.⁹ Pour la section unité, c'est \(e^{-1}(H)\). On prend pour \(\mathcal{M}\) l'intersection des trois sous-schémas fermés ainsi obtenus.¹⁰

Démonstration de (b). Chaque \(H_i\), ouvert d'une réunion disjointe, est aussi fermé ; \(\mathcal{M}_i\) est donc fermé dans \(H_i\), de type fini et séparé sur \(S\). Reste le critère valuatif d'existence. Si \(\mathrm{Spec}\, V \to S\) est un trait et \(H'\) un sous-groupe fermé propre de \(G_K\), son adhérence schématique dans \(G_V\) est un sous-groupe fermé plat (corollaire 4 de la proposition 1), propre puisque \(G\) l'est : c'est un \(V\)-point de \(\mathcal{M}\) qui prolonge le \(K\)-point donné, et il reste dans \(\mathcal{M}_i\) puisque \(\mathrm{Spec}\, V\) est connexe. C'est pour cela que la proposition 1 est là.¹¹

Variantes. La page note encore que les sous-groupes finis, et de même les sous-groupes abéliens, forment des parties ouvertes de \(\mathcal{M}\), la première étant aussi fermée.¹²

8–11

Isogénies, et le théorème de Koizumi–Shimura (pages 8 à 11)

Proposition 3. Soient \(A\) un schéma abélien sur \(V\) et \(u' \colon A_K \to B'\) une isogénie vers une variété abélienne \(B'\) sur \(K\). Il existe un schéma abélien \(B\) sur \(V\), avec \(B_K \simeq B'\), et un homomorphisme \(u \colon A \to B\) qui induit \(u'\).

La page souligne que la démonstration n'utilise pas le théorème de prolongement de Weil, selon lequel un \(K\)-morphisme \(A_K \to B_K\) entre fibres génériques de schémas abéliens provient d'un morphisme \(A \to B\).

Démonstration. Le noyau \(H' = \operatorname{Ker} u'\) est un sous-groupe fini de \(A_K\). Son adhérence \(H = \overline{H'}\) est un sous-groupe fermé de \(A\), plat sur \(V\) (corollaire 4), propre, et quasi-fini. En effet chaque point de \(H'\) a un corps résiduel fini sur \(K\), et son adhérence dans \(H\) est de dimension au plus \(1\) ; elle ne rencontre donc la fibre spéciale qu'en un nombre fini de points. Ainsi \(H\) est fini et plat sur \(V\).¹³ Comme \(A\) est projectif sur \(V\), le quotient \(B = A/H\) existe. C'est un \(V\)-schéma en groupes, plat et propre, et \(A \to B\) a pour noyau \(H\).¹⁴ La formation de ce quotient commute au changement de base. Donc \(B_K = A_K/H' \simeq B'\) et \(B_k = A_k/H_k\), qui est une variété abélienne. Un schéma en groupes plat et propre dont les fibres sont des variétés abéliennes est un schéma abélien.¹⁵

Corollaire 1. Si \(A'\) et \(B'\) sont deux variétés abéliennes isogènes sur \(K\), \(A'\) a bonne réduction si et seulement si \(B'\) a bonne réduction, et alors les deux réductions sont isogènes.

En effet, toute isogénie \(u'\) admet une isogénie \(v'\) en sens inverse (avec \(v' u' = n\) pour un entier \(n\)), et on applique la proposition 3 dans les deux sens. Le prolongement \(u \colon A \to B\) a un noyau fini \(H\), et sa réduction \(u_k\) est surjective par égalité des dimensions : c'est une isogénie.

Conséquence. La bonne réduction est une propriété de la classe d'isogénie. Un produit de variétés à bonne réduction a bonne réduction. En particulier, si les facteurs simples de \(A'\) — au sens du théorème de complète réductibilité de Poincaré — ont bonne réduction, \(A'\) a bonne réduction. La réciproque est le théorème suivant.

Théorème (Koizumi–Shimura). Si \(A'\) a bonne réduction sur \(V\), tout quotient abélien de \(A'\) a bonne réduction, et de même toute sous-variété abélienne de \(A'\).¹⁶

Démonstration. Soit \(B'\) un quotient abélien de \(A'\). Par la complète réductibilité de Poincaré, \(A'\) est isogène à \(B' \times C'\) pour une variété abélienne \(C'\), et par le corollaire 1 on peut supposer \(A' = B' \times C'\). On peut donc supposer que le quotient est un facteur direct. Il y a alors des endomorphismes \(p'\), \(q'\) de \(A'\) tels que \[ p' + q' = \mathrm{id}, \qquad p'^{2} = p', \qquad q'^{2} = q'. \] Ils se prolongent en endomorphismes \(p\), \(q\) de \(A\), qui satisfont les mêmes identités, puisque \(\mathrm{End}(A) \to \mathrm{End}(A_K)\) est bijectif.¹⁷ On en déduit un isomorphisme de schémas en groupes \[ A \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker} p \times_V \operatorname{Ker} q = A_1 \times_V A_2, \qquad x \mapsto (q x,\ p x), \] d'inverse \((y, z) \mapsto y + z\). Chaque \(A_i\) est un rétracte de \(A\), donc lisse et propre sur \(V\). Comme \(A_k = (A_1)_k \times (A_2)_k\) est connexe, les deux facteurs le sont. Ce sont des schémas abéliens, et \(B'\) est la fibre générique de l'un d'eux.

Remarque (page 11). Soient \(A\) un schéma abélien sur \(V\) et \(B'\) une sous-variété abélienne de \(A_K\). D'après ce qui précède, \(B' = B_K\) pour un schéma abélien \(B\) sur \(V\), et l'inclusion \(B' \to A_K\) se prolonge en un homomorphisme \(v \colon B \to A\), par le théorème de Weil. L'image schématique de \(v\) est l'adhérence \(\overline{B'}\). En effet l'image induit \(B'\), donc contient \(\overline{B'}\). Inversement \(v^{-1}(\overline{B'})\) est un sous-schéma fermé de \(B\) qui contient \(B_K\), donc c'est \(B\) puisque \(B\) est plat. Ainsi \(\overline{B'}\) est un sous-groupe fermé de \(A\), plat sur \(V\). Les conditions suivantes sont alors équivalentes : \(\overline{B'}\) est un schéma abélien ; \(B \to \overline{B'}\) est un isomorphisme ; \(v\) est une immersion fermée ; le noyau de \(v\) est trivial.¹⁸

12–15

Caractéristique \(p\), caractéristique nulle (pages 12 à 15)

Le contre-exemple

Ces conditions peuvent être en défaut. Supposons \(k\) de caractéristique \(p > 0\) et \(K\) de caractéristique nulle. Soit \(B\) une courbe elliptique sur \(V\) dont la réduction \(B_k\) n'a pas de point d'ordre \(p\), c'est-à-dire est supersingulière. Alors \(B_k\) n'a qu'un sous-groupe d'ordre \(p\), le noyau du Frobenius. Quitte à remplacer \(K\) par une extension finie, \(B_K\) a deux sous-groupes distincts \(\Gamma'_1\), \(\Gamma'_2\) d'ordre \(p\). Leurs adhérences \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\) sont finies et plates d'ordre \(p\), et leurs fibres spéciales coïncident. Ainsi \(\Gamma'_1 \cap \Gamma'_2 = (e)\) mais \(\Gamma_1 \cap \Gamma_2 \neq (e)\). On pose \[ A = B/\Gamma_1 \times_V B/\Gamma_2 \] et on y envoie \(B\) diagonalement. Sur la fibre générique c'est une immersion fermée, de noyau \(\Gamma'_1 \cap \Gamma'_2\) ; sur la fibre spéciale, non. Par la remarque précédente, l'adhérence de \(B_K\) dans \(A\) est un sous-groupe plat qui n'est pas un schéma abélien : sa fibre spéciale n'est pas réduite.¹⁹

La caractéristique nulle

En caractéristique nulle, tout schéma en groupes de type fini sur un corps est lisse (théorème de Cartier). L'adhérence d'un sous-groupe fermé de \(A_K\), plate à fibres lisses, est donc lisse. Si le sous-groupe est une sous-variété abélienne, les fibres géométriques de l'adhérence restent connexes, puisque leur nombre de composantes est localement constant dans une famille propre et lisse. L'adhérence est alors un schéma abélien. Plus généralement, l'adhérence d'un sous-groupe quelconque de \(A_K\) est multiabélienne.²⁰

Soit maintenant \(S\) localement noethérien de caractéristique nulle et \(A\) un schéma abélien projectif sur \(S\), de sorte que \(\mathrm{Hilb}_{A/S}\) existe et est localement de type fini. Le schéma \(\mathcal{M}\) de la proposition 2 est alors localement propre sur \(S\) : c'est la proposition 2 (b), l'adhérence d'un sous-groupe restant, en caractéristique nulle, un sous-groupe lisse. De plus \(\mathcal{M}\) est non ramifié sur \(S\). Un sous-groupe fini est contenu dans un \(A[n]\), qui est fini étale, et ses sous-groupes forment un schéma fini étale. Une sous-variété abélienne ne se déforme pas comme sous-groupe.²¹

Théorème (page 14). Soient \(S\) un schéma localement noethérien, connexe et normal, de caractéristique nulle, de corps des fonctions \(K\), et \(A\) un schéma abélien sur \(S\) tel que \(\mathrm{Hilb}_{A/S}\) existe et soit localement de type fini (par exemple, \(A\) projectif sur \(S\)). Pour tout sous-schéma en groupes fermé \(B'\) de \(A_K\), il existe un unique sous-schéma en groupes fermé multiabélien \(B\) de \(A\) tel que \(B_K = B'\). Si \(B'\) est abélien, \(B\) l'est.

Démonstration. Les composantes \(\mathcal{M}_i\) de \(\mathcal{M}\) sont propres et non ramifiées sur \(S\), donc finies et non ramifiées. Le sous-groupe \(B'\) est une section rationnelle de l'une d'elles. Par le lemme ci-dessous, elle est partout définie, et la section obtenue \(S \to \mathcal{M}_i\) est le \(B\) cherché. L'unicité vient de ce que \(\mathcal{M}\) est séparé et \(S\) réduit.²²

Question (page 14). En caractéristique nulle, un \(S\)-schéma en groupes propre \(A\) a-t-il un plus grand sous-schéma abélien ?²³

Remarque (page 15). Pour \(A\), \(B\) multiabéliens sur \(S\), la situation est analogue pour \(\mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A, B)\), et cette fois sans hypothèse de caractéristique. Ce schéma, s'il existe et est localement de type fini, est non ramifié et localement propre sur \(S\). D'où un théorème de prolongement des homomorphismes analogue au précédent.²⁴

Lemme (page 15). Soit \(X\) un schéma localement noethérien, géométriquement unibranche, et soit \(f \colon X' \to X\) un morphisme fini et non ramifié. Toute section rationnelle de \(f\) est partout définie.

Démonstration. On se ramène à \(X = \mathrm{Spec}\, R\) intègre et à \(X'\) l'adhérence de l'image de la section. Alors \(X'\) est intègre, et \(f \colon X' \to X\) est fini, non ramifié et birationnel, défini par une \(R\)-algèbre \(R'\) contenue dans la clôture intégrale de \(R\) dans son corps des fractions. Comme \(X\) est géométriquement unibranche, les fibres de \(f\) ont un seul point géométrique. Un morphisme fini, non ramifié et radiciel est une immersion fermée. Birationnelle, elle est un isomorphisme.²⁵

16–17

Picard et Albanese (pages 16 et 17)

Proposition (page 16). Soient \(A_K\) une variété abélienne sur \(K\), \(X\) un schéma projectif et plat sur \(V\), à fibre générique géométriquement intègre, dont les fibres sont lisses en dehors d'une partie de codimension au moins \(2\). Soit \(u \colon X_K \dashrightarrow A_K\) une application rationnelle qui engendre \(A_K\), au sens où les différences \(u(x) - u(y)\) engendrent \(A_K\). Alors \(A_K\) a bonne réduction sur \(V\).

Démonstration. Quitte à faire une extension non ramifiée de \(V\), ce qui ne change pas la question,²⁶ on choisit une « courbe générique » \(C \subset X\), intersection complète d'hyperplans généraux. Elle évite le lieu singulier de \(X_k\), de codimension au moins \(2\) dans \(X_k\), et le lieu d'indétermination de \(u\). \(C\) est donc une courbe lisse et propre sur \(V\), à fibres géométriquement connexes, et \(C_K \to A_K\) est un morphisme qui engendre encore \(A_K\).²⁷ Par la propriété universelle de la jacobienne, on obtient un homomorphisme surjectif \(\mathrm{Pic}^{0}(C_K) \to A_K\). Or \(\mathrm{Pic}^{0}(C_K)\) a bonne réduction : c'est la fibre générique du schéma abélien \(\mathrm{Pic}^{0}_{C/V}\). Par le théorème de Koizumi–Shimura, \(A_K\) a bonne réduction.²⁸

Théorème (page 17). Soit \(X\) un schéma projectif et plat sur \(V\), dont les fibres sont lisses en dehors d'une partie de codimension au moins \(2\), et dont la fibre générique est géométriquement intègre et géométriquement normale. Alors la variété d'Albanese \(\mathrm{Alb}(X_K)\) et la variété de Picard \((\mathrm{Pic}^{0}_{X_K/K})_{\mathrm{red}}\) ont bonne réduction sur \(V\).²⁹

Démonstration. La page rappelle d'abord que, s'il existe dans \(\mathrm{Pic}^{0}(X_K)\) un sous-schéma abélien de même ensemble sous-jacent, \(\mathrm{Alb}(X_K)\) est défini comme son dual.³⁰ Quitte à faire une extension non ramifiée de \(V\), \(X\) a une section, qui passe par un point lisse de \(X_k\) (lemme de Hensel). Cette section donne un point rationnel de \(X_K\), et avec lui le morphisme d'Albanese \(X_K \to \mathrm{Alb}(X_K)\), qui engendre. Par la proposition précédente, \(\mathrm{Alb}(X_K)\) a bonne réduction, et son dual \((\mathrm{Pic}^{0})_{\mathrm{red}}\) aussi : le dual d'un schéma abélien est un schéma abélien.³¹

18–21

La partie abélienne du schéma de Picard (pages 18 à 21)

La page énonce : si \(f \colon X \to S\) est projectif, \(S\) localement noethérien et réduit, il existe un unique sous-schéma abélien \(A\) de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) dont l'ensemble sous-jacent soit la réunion \(P\) des composantes neutres des fibres de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\). Les hypothèses « plat, à fibres géométriques intègres et simples en codimension \(1\) » ont été écrites puis biffées. Deux notes marginales restreignent l'énoncé : « Prouvé seulement en car. \(0\) pour l'instant… » et, au bas de la page 20, « Attention, cela est-il vrai si \(f \colon X \to S\) n'est pas simple ?! ».³²

On énonce donc le théorème dans le cadre où chaque étape de l'argument tient, et que les marges désignent.

Théorème. Soit \(f \colon X \to S\) un morphisme projectif et lisse à fibres géométriquement connexes, \(S\) étant un schéma localement noethérien réduit de caractéristique nulle. Il existe un unique sous-schéma abélien \(A\) de \(\mathrm{Pic}_{X/S}\) dont l'ensemble sous-jacent est la réunion \(P\) des composantes neutres des fibres.³³

Démonstration. C'est un problème de modules. Les fibres de \(P\) sont propres, donc \(P\) est propre sur \(S\).³⁴ Pour \(S' \to S\), soit \(\mathcal{F}(S')\) l'ensemble des sous-schémas fermés de \(P_{S'}\), plats sur \(S'\), qui sont des sous-groupes de \(\mathrm{Pic}_{X_{S'}/S'}\), abéliens, et ensemblistement égaux à \(P_{S'}\). Ce foncteur est représentable par un \(S\)-schéma \(\mathcal{M}\). Sans la dernière condition, c'est un sous-schéma de \(\mathrm{Hilb}_{P/S}\) (proposition 2), où la condition « abélien » est ouverte. La condition ensembliste est elle aussi ouverte : elle est stable par changement de base, et, vraie en un point, elle l'est au voisinage par raison de dimension.

(i) Les fibres géométriques de \(\mathcal{M}\) sont réduites à un point réduit. Sur un corps algébriquement clos, la seule sous-variété abélienne de \(\mathrm{Pic}\) qui ait pour ensemble sous-jacent \((\mathrm{Pic}^{0})_{\mathrm{red}}\) est celle-ci, et une sous-variété abélienne est rigide. La page invoque « le th. de rigidité ». Donc \(\mathcal{M} \to S\) est radiciel et non ramifié : c'est un monomorphisme.

(ii) \(\mathcal{M} \to S\) est propre. Il est de type fini et séparé. Reste le critère valuatif. Soit \(S = \mathrm{Spec}\, V\) un trait, et donnons-nous une section rationnelle de \(\mathcal{M}\), c'est-à-dire la sous-variété abélienne \(A_K\) de \(\mathrm{Pic}^{0}(X_K)\) de même ensemble sous-jacent. Par le théorème de la page 17, \(A_K\) a bonne réduction : c'est la fibre générique d'un schéma abélien \(A\) sur \(V\).³⁵ L'inclusion \(A_K \to \mathrm{Pic}_{X_K}\) se prolonge en un morphisme \(u \colon A \to P\).³⁶ L'image de \(u\) est fermée, de dimension relative \(\dim A_K\). Or \(\dim A_K = \dim \mathrm{Pic}^{0}(X_K) = \dim \mathrm{Pic}^{0}(X_k)\), par la constance de la dimension des fibres du Picard, que la lissité de \(f\) garantit.³⁷ L'image de \(u\) est donc \(P\) (page 21).

Reste à voir que le noyau \(N\) de \(u\), fini sur \(S\), est trivial. Sa fibre spéciale \(N_0\) est un \(p\)-groupe, \(p\) étant l'exposant caractéristique de \(k\). En effet, pour \(n\) premier à \(p\), \(\mathrm{Pic}_{X/S}[n]\) est non ramifié sur \(S\) et \(A[n]\) est un revêtement étale de \(S\). Le noyau de \(A[n] \to \mathrm{Pic}[n]\) est donc ouvert et fermé dans \(A[n]\), de fibre générique triviale, donc trivial. Si \(k\) est de caractéristique nulle, \(p = 1\) et « on a fini » : \(u\) est un monomorphisme propre, donc une immersion fermée d'image \(P\), et c'est la section cherchée.³⁸ Sinon, écrit-il, « il faut regarder de plus près ».

(iii) Conclusion. Un monomorphisme propre est une immersion fermée. Elle est surjective, puisqu'au-dessus de chaque point de \(S\) — de corps résiduel parfait en caractéristique nulle — \((\mathrm{Pic}^{0})_{\mathrm{red}}\) est une sous-variété abélienne. Comme \(S\) est réduit, \(\mathcal{M} = S\), et l'objet universel au-dessus de \(\mathcal{M}\) est le \(A\) cherché. C'est là, et là seulement, que sert l'hypothèse « \(S\) réduit ».

Sous un trait horizontal, la page ouvre un programme : étudier noyaux et images d'homomorphismes de schémas abéliens et multiabéliens en caractéristique \(\neq 0\), notamment sur une base non réduite.³⁹

22–22

Schémas abéliens sur une base régulière (page 22)

Le titre est de sa main. \(S\) est un schéma régulier intègre, de corps des fonctions \(K\). Pour un diviseur premier \(D\) de \(S\), \(\mathcal{O}_D\) est l'anneau local de \(S\) au point générique de \(D\), un anneau de valuation discrète.

a) Un schéma abélien sur \(S\) est projectif sur \(S\), par un « raisonnement de Nakai- » dont le second nom est illisible.⁴⁰

b) Pour un tel \(P\), il existe un schéma abélien \(G\) « de translations », et \(P\) est un torseur isotrivial sous \(G\).⁴¹

c) Si \(G\) est un schéma abélien sur \(S\), l'application \[ H^{1}(S, G) \longrightarrow H^{1}(K, G) \] est injective. Un torseur \(P_K\) sous \(G_K\) provient d'un torseur sous \(G\) si et seulement s'il « se réduit bien ». Il y a un plus grand ouvert dense \(U\) de \(S\) au-dessus duquel \(P_K\) se prolonge.⁴²

d) Le fermé \(S - U\) est de codimension \(1\) : c'est ce que la marge rattache au « th. de pureté ».⁴³

Il en résulte une injection \[ H^{1}(K, G) / H^{1}(S, G) \;\hookrightarrow\; \bigoplus_{D} H^{1}(K, G) / H^{1}(\mathcal{O}_D, G), \] la somme portant sur les diviseurs premiers de \(S\). La somme est directe parce qu'un torseur sur \(K\) se prolonge au-dessus d'un ouvert dense, qui ne manque qu'un nombre fini de diviseurs. L'application est injective : une classe qui se prolonge en chaque \(D\) a un \(U\) qui contient tous les points de codimension \(1\), et d) force \(U = S\).⁴⁴

La page s'achève sur une question, prise dans une boucle : existe-t-il un analogue du théorème de pureté pour la bonne réduction des schémas abéliens ? Autrement dit, si \(A_K\) a bonne réduction en chaque diviseur premier d'une base régulière, a-t-il bonne réduction sur la base entière ?⁴⁵