Fonds Grothendieck, cote n° 50, pages 1–10

Sur bouquin Lang

titre de sa main, au crayon, dans l'angle supérieur droit du premier feuillet — une chemise grise qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit donc pas de page, conformément à l'usage suivi depuis le dossier 29 : le saut dans la numérotation est la trace qu'il a été passé. « bouquin Lang » est son mot pour le livre de Lang, Abelian Varieties ; en tête de la page 10 il écrit « livre de Lang / VA »

feuillet de travail sans ordre linéaire : les blocs sont posés en colonnes, et la transcription les suit de haut en bas. La moitié supérieure fixe les objets, la moitié inférieure énonce quatre conditions équivalentes et nomme les arguments qui les joignent

en tête, un départ abandonné — « Nérm( » — relié par un long trait à « A \longrightarrow » écrit au-dessus

\underline{\underline{\text{Nérm}}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(A, A^{*})

« Nérm » est la lecture littérale des quatre lettres ; il s'agit du foncteur de Néron–Severi, comme l'impose la flèche vers \underline{\underline{\mathrm{Hom}}}_{S\text{-}\mathrm{gr}}(A,A^{*}) — au dossier 49 il l'abrège « Nér.-Sév. ». Le double soulignement, ici et partout sur ce feuillet, marque le foncteur

\begin{tikzcd} A \times A \arrow[d, "\pi"] \\ A \end{tikzcd}

deux signes minuscules surmontent les deux facteurs de A \times A et ne se laissent pas lire ; à droite du diagramme, x \longmapsto x - s

À gauche du diagramme : (T_{s})_{*}(\xi) - \xi ; au-dessous, ~~A \longrightarrow \uncertain{D}^{*}~~, puis V, s \times A, s_{*}\xi - \xi.

\boxed{\ \pi^{*}(\xi) - \mathrm{pr}_{1}(\xi) - \mathrm{pr}_{2}(\xi)\ }

les deux projections sont écrites sans étoile, à la différence de \pi^{*} ; il en va de même à la ligne (i') ci-dessous

(i) \xi dans le noyau s^{*}\xi de \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\underline{\mathrm{Hom}}}(A, A^{*}), i.e. s\xi = \xi

(i') \pi^{*}(\xi) - \mathrm{pr}_{1}(\xi) - \mathrm{pr}_{2}(\xi) = 0

(ii) \xi \in \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau} \struck{\ill{}}(A/S)

(iii) \xi \in \mathrm{Im}\ \mathrm{Ext}^{1}_{\uncertain{S}}(A, \mathbb{G}_{m})

l'indice de \mathrm{Ext}^{1} est tracé comme son \xi ; c'est la base S que demande le sens

En marge de ces quatre lignes : s.D \sim D.

(i) \Longrightarrow (i') banal

(i') \Longleftrightarrow (iii) par le raisonnement giraudique (de Serre

(ii) \Longrightarrow (i) par la propriété additive de \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}

(i) \Longrightarrow (ii) c'est le th. de Barsotti–Cartier–Serre

le signe de la première ligne est petit et mis entre parenthèses sur la feuille ; il porte une pointe à droite, mais une équivalence n'est pas exclue. À la deuxième ligne, « giraudique » est écrit en interligne et relié par un trait à la parenthèse ouvrante de « (de Serre », qu'il ne referme pas

même feuillet de travail que la page 2, déchiré en haut ; les blocs y sont encore disposés en colonnes

En tête : \mathrm{N.S.}

additivité de \underline{\underline{\mathrm{Pic}}}^{\tau}, on spécial : dA = A

une première esquisse de la chaîne — « torsion », un « \equiv », « équivalence numérique » — occupe la colonne de gauche ; elle est reprise plus bas sous forme encadrée, et c'est la même chaîne écrite deux fois

[critère de Weil.–] variations pour les VA (bouquin Lang)

dû à M. Matsusaka

trois lignes de commentaire accompagnent une flèche montant vers « N.S. » ; seuls « [critère de Weil.– », « variations » et « pour les VA (bouquin Lang) » se laissent lire. La mention entourée « dû à M. » est une lecture douteuse : le nom, en neuf ou dix lettres, finit en « -aka »

\begin{tikzcd} \text{algébrique} \arrow[d, Rightarrow] \\ \text{torsion} \arrow[d, Rightarrow] \\ \text{numérique} \end{tikzcd}

encadré ; entre « torsion » et « numérique » il pose un « \equiv » et un trait

\dim A \;\leq\; \dim \mathrm{Pic}\,A \;\leq\; \dim H^{1}(A, \mathcal{O}_{A}) \;\leq\; \dim A

entouré d'un trait ; trois accolades le commentent — « théorie des diviseurs non dégénérés » sous la première inégalité, « déf. de Picard » sous la deuxième, « Hopf-Borel » sous la troisième. Au-dessus, une ligne en partie biffée : « définition de Picard ; »

A^{**} A . A^{*}

la ligne se poursuit par deux symboles plus petits qui ne se laissent pas lire

Th. Soit \xi \in N^{>}(A), considérons l'involution

\alpha \rightsquigarrow \alpha' = \struck{\ill{}}\ \varphi_{\xi}^{-1}\, {}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}

de \mathrm{Hom}(A,A)_{\mathbb{Q}}, alors

\mathrm{tr}(\alpha\beta') = \frac{r}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I(\xi, \ldots, \xi, D_{\xi}(\alpha\beta'))

d'où

\mathrm{tr}\,\alpha\alpha' = \frac{r}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I(\xi, \ldots, \xi, 2\alpha^{*}(\xi))

Corollaire

le corollaire n'est pas énoncé : le feuillet s'arrête sur le mot, souligné, et tout le reste de la page est blanc

après d)

écrit dans l'angle supérieur gauche, la feuille tournée d'un quart de tour : c'est son propre repère d'ordre, et il place ce feuillet après celui qui porte (d), c'est-à-dire après la page 8

(e) Pour tout A \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{A}, une forme r-fois linéaire

(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) \rightsquigarrow I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) \in \struck{\mathbb{Q}}\ \mathbb{Z}

en interligne, relié au corps du texte par un trait : « un entier r = \dim(A) »

2) On suppose I str. pos. sur N^{>}(A), i.e. \xi_{1}, \struck{\ill{}}\ \xi_{r} \in N^{+}(A) \Longrightarrow I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) > 0.

les deux abréviations se lisent « sh. po. » sur la feuille ; c'est le sens qui impose « strictement positive »

3) On pour u : A \longrightarrow B avec \dim(A) = \dim(B), il existe un entier \nu(u)

I(u^{*}(\xi_{1}), \ldots, u^{*}(\xi_{r})) = \nu(u)\, I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r})

\xi_{1}, \ldots, \xi_{r} [ce qui le détermine \mathbb{Q}-isomorphisme ]. en particulier \xi \in N(B) et I(\xi, \ldots, \xi) \neq 0 pour un certain \xi

\nu(\alpha) = \frac{1}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I(\alpha^{*}(\xi), \ldots, \alpha^{*}(\xi))

= forme de degré 2r en \alpha, à coefficients entiers [ si A = B], donc

\nu(\alpha + n\cdot 1_{A}) = n^{2r} + \sigma_{1}(\alpha)\,n^{2r-1} + \cdots + \sigma_{2r}(\alpha)

et on posera \sigma_{1}(\alpha) = \mathrm{tr}\,\alpha, tandis qu'on a \sigma_{2r}(\alpha) = \nu(\alpha), noté aussi \det \alpha.

de façon générale ~~\varphi_{\xi}(\alpha)~~ les \sigma_{i}(\alpha) sont des formes de degré 2i en \alpha, etc. en particulier,

\mathrm{tr}(\alpha) = \frac{r}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I(\xi, \ldots, \xi, D(\alpha))

ce paragraphe prolonge les dernières lignes de la page 7, où les \sigma_{i} viennent d'être introduits, alors que le même feuillet porte plus bas l'axiome (d), qui précède (e) : voir la note de la page 7. Les deux faits sont consignés là où ils se trouvent et la question n'est pas tranchée ici

(d) Pour tout A \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{A}, dans N(A) des parties

N^{+}(A),\quad N^{>}(A) \;\subset\; N(A)

dépendant fonctoriellement de A, et pour les ~~isomorphismes~~, vérifiant les propriétés suivantes :

l'exposant du premier N est repassé deux fois et se lit tour à tour \tau, + et \neq ; les lignes suivantes distinguent nettement N^{+} et N^{>}, et la transcription suit cette distinction

a) N^{+}(A) + N^{+}(A) \subset N^{+}(A), n > 0 \Longrightarrow n\,N^{+}(A) \ill{} ; kif kif pour N^{>}(A)

b) N^{>}(A) engendre N(A)

~~c) \xi \in N^{+}(A) \Longrightarrow I(\xi \ill{}) > 0 N^{+}(A)~~

~~i.e. \xi_{1}, \ldots, \xi_{r} \in N^{>}(A) \Longrightarrow I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) > 0~~

c) \xi \in N^{>}(A) \Longrightarrow \varphi_{\xi} soit un \mathbb{Q}-isom.

une note d'une dizaine de lignes court en diagonale au bas du feuillet, de la même encre et entre deux longs traits ; on y reconnaît N^{+}(A), n > 0, « diviseurs », « l'image » et N^{>}(B), sans que la suite se laisse lire à la définition que porte le film

qui d'ailleurs s'annule sur \mathrm{Im}\,N(A) + \mathrm{Im}\,N(B)

Propriétés fondamentales 1) On trouve ainsi un isom.

N(A\times B) \big/ N(A)\times N(B) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}(A, D(B))

purement formel

cette note marginale est au crayon, d'une autre pointe que le corps du feuillet

2) Pour tout A, il existe des \xi \in N(A) telles que \varphi_{\xi} : A \xrightarrow{\ \sim\ } D(A) \otimes \mathbb{Q}, i.e. \varphi_{\xi} : A \longrightarrow D(A) soit un \mathbb{Q}-isom.,

trois traits diagonaux barrent un « N.B. » entre crochets qui invoque « les th des var. ab. pour \mathbb{Q} » et ne se laisse pas lire davantage

Cela permet donc de définir une involution sur \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(A,A) par

s_{\xi}(\alpha) = \varphi_{\xi}^{-1}\,{}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}

C'est là une involution de l'anneau \mathrm{Hom}(A,A)

Posons pour \alpha, \beta \in \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}}(A,A) :

\text{(1)}\qquad D_{\xi}(\alpha,\beta) = (\alpha+\beta)^{*}(\xi) - \alpha^{*}(\xi) - \beta^{*}(\xi) \in N(A)

i.e.

\varphi_{D_{\xi}(\alpha,\beta)} = {}^{t}(\alpha+\beta)\,\varphi_{\xi}\, (\alpha+\beta) - {}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}\,\alpha - {}^{t}\beta\,\varphi_{\xi}\,\beta

i.e.

\text{(1$'$)}\qquad \varphi_{D_{\xi}(\alpha,\beta)} = {}^{t}\beta\,\varphi_{\xi}\,\alpha + {}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}\,\beta = \varphi_{\xi}(\alpha'\beta + \beta'\alpha)

dans (\alpha+\beta) le signe est tracé comme un petit anneau et non comme une croix, ici et à la ligne suivante ; c'est l'identité (1') qui impose la somme

(où on pose \alpha' = s_{\xi}(\alpha)) ; posons aussi

\text{(2)}\qquad D_{\xi}(\alpha) = D_{\xi}(\alpha, \mathrm{id}_{A}) = \varphi_{\xi}(\alpha' + \alpha)

d'où

\text{(3)}\qquad D_{\xi}(\alpha,\beta) = D_{\xi}(\alpha'\beta) = D_{\xi}(\beta'\alpha), \qquad D_{\xi}(\alpha) = D_{\xi}(\alpha')

livre de Lang / VA

au crayon, en tête du feuillet, d'une autre pointe que le corps du texte

(a) Catégorie additive \mathcal{A}

(b) Autodualité : D : \mathcal{A}^{\circ} \longrightarrow \mathcal{A} (munie d'un isomorphisme \kappa : \mathrm{id}_{\mathcal{A}} \longrightarrow D \circ D satisfaisant la condition de compatibilité habituelle).

Soit donc

B(A,B) = \mathrm{Hom}(A, D(B)) \;\xrightarrow[\ \simeq\ ]{s}\; \mathrm{Hom}(B, D(A))

c'est un bifoncteur contravariant en A, B. Le

trois mots suivent « Le » à la ligne suivante et ne se laissent pas lire

\boxed{\ N(A) \subset B(A,A)\ }

« antisymétrique » est écrit au-dessus de l'encadré

dépendant de A de façon contravariante.

[N.B. N n'est pas additif en A ]

Si \xi \in N(A), on \varphi_{\xi} : A \longrightarrow D(A) le morphisme qu'il définit.

Soit \xi \in N(A\times B), il définit

\varphi_{\xi} : A\times B \longrightarrow D(A)\times D(B)

qui est antisymétrique, donc nécessairement de la forme

\begin{pmatrix} \alpha_{\xi} & {}^{t}\lambda_{\xi} \\ -\lambda_{\xi} & \beta_{\xi} \end{pmatrix}, \qquad \lambda_{\xi} \in \mathrm{Hom}(A, D(B)) = B(A,B),\quad \alpha_{\xi} \in B(A,A),\quad \beta_{\xi} \in B(B,B)

on obtient ainsi une

\boxed{\ \xi \longmapsto \lambda_{\xi} : N(A\times B) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, D(B)) = B(A,B)\ }

la page 9 s'ouvre sur la relative qui prolonge cet encadré — « qui d'ailleurs s'annule sur \mathrm{Im}\,N(A) + \mathrm{Im}\,N(B) »