Cote n° 50 · pages 1–10 · Lecture modernisée · Sur bouquin Lang : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1965]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–10

Le dossier, ses deux moitiés, et l'ordre des feuillets

Dix feuillets. Le premier est une chemise grise portant, au crayon dans l'angle, quatre mots de sa main : Sur bouquin Lang. Les feuillets 3 et 5 sont le recto et le verso d'un tapuscrit Bourbaki sur les valuations, étranger aux notes ; ils ne comptent pas.¹ Restent huit feuillets, qui sont deux choses distinctes.

• Les feuillets 2 et 4 sont une même feuille de brouillon, au crayon et à l'encre noire, écrite en colonnes et non en lignes. Elle porte les quatre conditions équivalentes qui caractérisent les classes additives, les noms des arguments qui les joignent, la chaîne des trois équivalences entre classes de diviseurs, et l'encadrement de la dimension du Picard.
• Les feuillets 6 à 10 sont une suite continue à l'encre bleue, qui pose l'axiomatique, lettre par lettre, de (a) à (e), puis en tire le théorème de la trace.

L'ordre de la suite

Les feuillets 6 à 10 ne se lisent pas dans l'ordre où ils sont classés : ils y sont, pour l'essentiel, à l'envers. L'ordre de lecture est 10, 9, puis le feuillet 8 à partir de son milieu, puis 7, puis le haut du feuillet 8, puis enfin 6.²

Les notations, fixées ici pour tout ce qui suit

\(A\), \(B\) désignent des variétés abéliennes — ou, dans la moitié axiomatique, des objets d'une catégorie additive \(\mathcal{A}\). On écrit \(A^{\vee}\) pour la duale ; c'est le \(A^{*}\) du feuillet 2 et le \(D(A)\) des feuillets 6 à 10, et c'est le même objet.³ On écrit \(\mathrm{NS}\) pour le groupe de Néron–Severi ; le manuscrit l'abrège « Nérm » au feuillet 2 et « N.S. » au feuillet 4.⁴ La loi de groupe est notée \(m : A \times A \to A\) ; le feuillet 2 l'appelle \(\pi\). Enfin \(\xi\) est une classe, qu'il s'agisse d'un diviseur (feuillets 2 et 4) ou d'un élément du groupe abstrait \(N(A)\) (feuillets 6 à 10) : le dossier a précisément pour objet de montrer que c'est la même chose.

Deux notations demandent d'être distinguées, parce qu'elles ne diffèrent que par un exposant. \(N^{+}(A)\) est le cône faible et \(N^{>}(A)\) le cône fort ; en langage classique, \(N^{>}\) est le cône des classes amples et \(N^{+}\) celui des classes numériquement positives. C'est \(N^{>}\) qui porte la positivité stricte de la forme d'intersection et c'est de lui que sortent les polarisations.⁵

2–2

Les classes additives, et les quatre conditions (feuillet 2)

Le feuillet part de l'application qui donne son sens à tout le reste : \[ \mathrm{NS}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}_{S\text{-}gr}(A, A^{\vee}), \qquad \xi \longmapsto \varphi_{\xi}, \] où \(\varphi_{\xi}(s) = t_{s}^{*}\xi - \xi\), \(t_{s}\) étant la translation par \(s\). Dire que cette application est injective, c'est décrire son noyau au niveau de \(\mathrm{Pic}\) — et c'est exactement ce que font les quatre conditions du bas du feuillet.⁶

Les quatre conditions. Soit \(\xi\) une classe de fibré en droites sur \(A\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\xi\) est dans le noyau de \(\mathrm{Pic}_{A/S} \to \underline{\mathrm{Hom}}(A, A^{\vee})\), c'est-à-dire \(t_{s}^{*}\xi = \xi\) pour tout point \(s\) ;
2. \(m^{*}\xi - \mathrm{pr}_{1}^{*}\xi - \mathrm{pr}_{2}^{*}\xi = 0\) sur \(A \times A\) ;
3. \(\xi \in \mathrm{Pic}^{\tau}(A/S)\) ;
4. \(\xi\) est dans l'image de \(\mathrm{Ext}^{1}_{S}(A, \mathbb{G}_{m}) \to \mathrm{Pic}(A)\).

Le manuscrit les numérote (i), (i\('\)), (ii), (iii) — la seconde est une variante de la première, et le prime le dit.⁷

L'équivalence de (1) et (2) est ce que la feuille appelle « banal », et elle l'est : le membre de gauche de (2) est le fibré de Mumford \(\Lambda(\xi) = m^{*}\xi - \mathrm{pr}_{1}^{*}\xi - \mathrm{pr}_{2}^{*}\xi\), dont la restriction à \(\{s\} \times A\) est précisément \(t_{s}^{*}\xi - \xi\). Une classe additive est une classe invariante par translation, et réciproquement.

L'équivalence de (2) et (4) est la formule de Barsotti–Weil : \(\mathrm{Ext}^{1}(A, \mathbb{G}_{m}) \simeq A^{\vee}\). L'identité (2) est le cocycle : un fibré additif est un fibré en droites muni d'une loi de groupe au-dessus de celle de \(A\), c'est-à-dire une extension de \(A\) par \(\mathbb{G}_{m}\).⁸

L'équivalence de (1) et (3) est la seule qui demande un fait sur les variétés abéliennes et non sur les fibrés : \(\mathrm{Pic}^{\tau} = \mathrm{Pic}^{0}\), c'est-à-dire que le groupe de Néron–Severi d'une variété abélienne est sans torsion. Le feuillet 4 en donne la raison en trois symboles, et on la reprend là.⁹

En marge de ces quatre lignes il note \(t_{s}D \sim D\) : la même condition en langage de diviseurs, celle sous laquelle on la rencontre dans le livre de Lang.

4–4

Néron–Severi : trois équivalences, et l'encadrement de la dimension (feuillet 4)

Pourquoi la torsion disparaît

En haut de la colonne, trois symboles portent tout le poids : \(dA = A\). La multiplication par un entier \(d \neq 0\) est surjective sur une variété abélienne — c'est une isogénie. Il suit que \(\mathrm{Hom}(A, A^{\vee})\) est sans torsion : si \(d\lambda = 0\), alors \(\lambda\) s'annule sur \(dA = A\). Comme \(\mathrm{NS}(A)\) s'injecte dans ce groupe d'homomorphismes, il est sans torsion lui aussi, et \(\mathrm{Pic}^{\tau}\) se réduit à \(\mathrm{Pic}^{0}\).¹⁰

La chaîne des trois équivalences

Le feuillet dresse ensuite, deux fois — une esquisse dans la colonne de gauche, une version encadrée plus bas —, la chaîne des relations d'équivalence entre classes de diviseurs :

\begin{tikzcd}
\text{équivalence algébrique} \arrow[d, Rightarrow] \\
\text{équivalence } \tau \arrow[d, Rightarrow] \\
\text{équivalence numérique}
\end{tikzcd}

Sur une variété projective quelconque les deux implications sont strictes en général, et la seconde est un théorème : l'équivalence numérique et l'équivalence \(\tau\) coïncident.¹¹ Sur une variété abélienne, la torsion ayant disparu, les trois relations n'en font qu'une : c'est ce que le feuillet vient d'établir, et c'est pourquoi la chaîne est dessinée ici et pas ailleurs.

Une flèche montant vers « N.S. » porte trois lignes de commentaire dont il ne reste que « critère de Weil », « variations » et « pour les VA (bouquin Lang) ».¹²

L'encadrement de la dimension

Enfin, entouré d'un trait, l'encadrement qui donne la dimension de la duale : \[ \dim A \;\leq\; \dim \mathrm{Pic}\,A \;\leq\; \dim H^{1}(A, \mathcal{O}_{A}) \;\leq\; \dim A . \] Les trois inégalités portent chacune une justification en accolade, et la chaîne se referme sur elle-même : les trois dimensions sont égales.

• Théorie des diviseurs non dégénérés : un diviseur non dégénéré \(D\) donne un \(\varphi_{D} : A \to A^{\vee}\) de noyau fini, donc une isogénie sur son image ; la duale est au moins aussi grosse que \(A\).
• Définition de Picard : l'espace tangent à l'origine du foncteur de Picard est \(H^{1}(A, \mathcal{O}_{A})\), d'où la deuxième inégalité.
• Hopf–Borel : \(H^{*}(A, \mathcal{O}_{A})\) est une algèbre de Hopf graduée anticommutative, donc l'algèbre extérieure de son premier étage ; comme elle est nulle au-delà du degré \(\dim A\), on a \(\dim H^{1} \leq \dim A\).

C'est mot pour mot l'argument du dossier 49, où le même encadrement sert à démontrer que \(\mathrm{Pic}^{0}\) d'un schéma abélien projectif est un schéma abélien.¹³

Le feuillet se termine sur une ligne de trois symboles, \(A^{**}\), \(A\), \(A^{*}\), qui n'est pas développée : la biduale, l'objet, la duale.

10–10

L'axiomatique : une catégorie additive autoduale (feuillet 10)

Ici commence la seconde moitié du dossier, et le changement d'altitude est complet : il n'y a plus ni points, ni corps de base, ni diviseurs. En tête du feuillet, au crayon : « livre de Lang / VA ».

(a) Une catégorie additive \(\mathcal{A}\).

(b) Une autodualité : un foncteur additif \(D : \mathcal{A}^{\circ} \to \mathcal{A}\) muni d'un isomorphisme \(\kappa : \mathrm{id}_{\mathcal{A}} \xrightarrow{\ \sim\ } D \circ D\) satisfaisant la condition de compatibilité habituelle.¹⁴

On pose alors \[ B(A,B) = \mathrm{Hom}(A, D(B)) \xrightarrow{\ s\ } \mathrm{Hom}(B, D(A)) = B(B,A), \qquad s(u) = D(u) \circ \kappa_{B}, \] qui est un bifoncteur contravariant en \(A\) et en \(B\), et où \(s\) est un isomorphisme involutif. Sur \(B(A,A)\), \(s\) est donc une involution, et il y a un sens à parler d'éléments symétriques et antisymétriques. On écrira \({}^{t}u\) pour \(s(u)\).

(c) Pour tout objet \(A\), un sous-groupe \[ N(A) \subset B(A,A) \] formé d'éléments antisymétriques, dépendant de \(A\) de façon contravariante — et il note en regard : \(N\) n'est pas additif en \(A\).¹⁵

Pour \(\xi \in N(A)\), on note \(\varphi_{\xi} : A \to D(A)\) le morphisme correspondant.

La forme d'une classe sur un produit

Soit \(\xi \in N(A \times B)\). Il définit \(\varphi_{\xi} : A \times B \to D(A) \times D(B)\), qui est antisymétrique — donc, dit-il, nécessairement de la forme \[ \begin{pmatrix} \alpha_{\xi} & {}^{t}\lambda_{\xi} \\ -\lambda_{\xi} & \beta_{\xi} \end{pmatrix}, \qquad \alpha_{\xi} \in N(A), \quad \beta_{\xi} \in N(B), \quad \lambda_{\xi} \in \mathrm{Hom}(A, D(B)) = B(A,B). \] Le mot « nécessairement » porte tout : l'antisymétrie de la matrice force les deux blocs diagonaux à être antisymétriques et le bloc inférieur gauche à être l'opposé du transposé du bloc supérieur droit. Le seul paramètre libre est \(\lambda_{\xi}\), et l'on obtient ainsi \[ \xi \longmapsto \lambda_{\xi} : \; N(A \times B) \longrightarrow \mathrm{Hom}(A, D(B)) = B(A,B), \] que le manuscrit encadre.

9–9

Ce qui est purement formel (feuillet 9)

Cette application s'annule sur \(\mathrm{Im}\,N(A) + \mathrm{Im}\,N(B)\) — les classes venues d'un seul facteur n'ont pas de bloc hors-diagonale — et le feuillet énonce aussitôt :

Propriété fondamentale 1. L'application \(\xi \mapsto \lambda_{\xi}\) induit un isomorphisme \[ N(A \times B) \big/ \bigl(N(A) \times N(B)\bigr) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; \mathrm{Hom}(A, D(B)). \]

En marge, au crayon et d'une autre pointe : « purement formel ». Le jugement est exact — la décomposition matricielle donne l'énoncé sans autre ingrédient — et c'est le mot le plus important du dossier : il marque où s'arrête ce que la syntaxe fournit. Il éclaire aussi, rétrospectivement, le N.B. du feuillet 10 : si \(N\) n'est pas additif en \(A\), c'est de cette non-additivité-là qu'il s'agit, et \(\mathrm{Hom}(A, D(B))\) en est la mesure exacte.¹⁶

Propriété fondamentale 2. Pour tout \(A\) il existe des \(\xi \in N(A)\) telles que \(\varphi_{\xi} : A \to D(A)\) soit un \(\mathbb{Q}\)-isomorphisme.

C'est l'existence d'une polarisation, et ce n'est pas formel : c'est ici que la géométrie rentre, sous forme d'axiome.¹⁷

L'involution de Rosati

Une telle \(\xi\) étant fixée, on pose \[ s_{\xi}(\alpha) = \varphi_{\xi}^{-1} \, {}^{t}\alpha \, \varphi_{\xi}, \qquad \alpha \in \mathrm{Hom}(A,A)_{\mathbb{Q}}, \] et l'on écrit \(\alpha'\) pour \(s_{\xi}(\alpha)\). C'est une anti-involution de l'anneau \(\mathrm{Hom}(A,A)_{\mathbb{Q}}\) : \((\alpha\beta)' = \beta'\alpha'\), comme la définition le montre immédiatement.¹⁸

Il pose ensuite, pour \(\alpha, \beta \in \mathrm{Hom}(A,A)_{\mathbb{Q}}\), \[ D_{\xi}(\alpha,\beta) = (\alpha+\beta)^{*}\xi - \alpha^{*}\xi - \beta^{*}\xi \;\in\; N(A), \] c'est-à-dire, en termes de \(\varphi\), \[ \varphi_{D_{\xi}(\alpha,\beta)} = {}^{t}(\alpha+\beta)\,\varphi_{\xi}\,(\alpha+\beta) - {}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}\,\alpha - {}^{t}\beta\,\varphi_{\xi}\,\beta = {}^{t}\beta\,\varphi_{\xi}\,\alpha + {}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}\,\beta = \varphi_{\xi}\bigl(\alpha'\beta + \beta'\alpha\bigr). \] \(D_{\xi}\) est donc, transportée par \(\varphi_{\xi}\), la symétrisation du produit pour l'involution de Rosati.¹⁹ Trois conséquences suivent, qui servent au feuillet 6 : \[ D_{\xi}(\alpha) := D_{\xi}(\alpha, \mathrm{id}_{A}) = \varphi_{\xi}(\alpha' + \alpha), \] \[ D_{\xi}(\alpha,\beta) = D_{\xi}(\alpha'\beta) = D_{\xi}(\beta'\alpha), \qquad D_{\xi}(\alpha) = D_{\xi}(\alpha'). \]

8–8

La positivité, et les deux cônes (feuillet 8)

(d) Pour tout objet \(A\), on se donne dans \(N(A)\) deux parties \[ N^{+}(A), \quad N^{>}(A) \;\subset\; N(A), \] dépendant fonctoriellement de \(A\), et vérifiant :

1. \(N^{+}(A) + N^{+}(A) \subset N^{+}(A)\) et \(n\,N^{+}(A) \subset N^{+}(A)\) pour \(n > 0\) ; « kif kif » pour \(N^{>}(A)\) — ce sont deux cônes ;
2. \(N^{>}(A)\) engendre \(N(A)\) ;
3. \(\xi \in N^{>}(A) \Longrightarrow \varphi_{\xi}\) est un \(\mathbb{Q}\)-isomorphisme.

La troisième clause est écrite deux fois : une première version, biffée, la formulait à l'aide de la forme d'intersection — « \(\xi \in N^{+}(A) \Rightarrow I(\xi \ldots) > 0\) », puis « \(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r} \in N^{>}(A) \Rightarrow I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) > 0\) » — avant qu'il ne la remplace par la non-dégénérescence de \(\varphi_{\xi}\) et ne renvoie la positivité de \(I\) à l'axiome (e).²⁰ En langage classique : \(N^{>}\) est le cône ample, et (3) dit qu'une classe ample définit une isogénie \(A \to A^{\vee}\), c'est-à-dire une polarisation.

Une note d'une dizaine de lignes court en diagonale au bas du feuillet, entre deux longs traits. On y reconnaît \(N^{+}(A)\), \(n > 0\), le mot « diviseurs » et \(N^{>}(B)\) ; le reste ne se lit pas à la définition que porte le film.²¹

7–8

La forme d'intersection, le degré, la trace (feuillets 7 et 8)

(e) Pour tout objet \(A\) on se donne une forme \(r\)-fois linéaire \[ (\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) \longmapsto I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) \in \mathbb{Z}, \] l'entier \(r\) étant attaché à \(A\) : \(r = \dim(A)\).²² C'est le nombre d'intersection de \(r\) diviseurs sur une variété de dimension \(r\).

2) \(I\) est strictement positive sur \(N^{>}(A)\) : si \(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r} \in N^{>}(A)\), alors \(I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) > 0\).²³

3) Pour \(u : A \to B\) avec \(\dim(A) = \dim(B)\), il existe un entier \(\nu(u)\) tel que \[ I\bigl(u^{*}\xi_{1}, \ldots, u^{*}\xi_{r}\bigr) = \nu(u)\, I(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}) \] pour toutes classes \(\xi_{1}, \ldots, \xi_{r}\). C'est le degré de \(u\). Il est bien déterminé dès qu'il existe une classe \(\xi\) avec \(I(\xi, \ldots, \xi) \neq 0\), ce que la propriété 2) garantit.²⁴

En particulier, pour \(\alpha\) un endomorphisme de \(A\) : \[ \nu(\alpha) = \frac{1}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I\bigl(\alpha^{*}\xi, \ldots, \alpha^{*}\xi\bigr), \] qui est une forme de degré \(2r\) en \(\alpha\), à coefficients entiers.²⁵

Le polynôme caractéristique

De là, en développant : \[ \nu(\alpha + n \cdot 1_{A}) = n^{2r} + \sigma_{1}(\alpha)\,n^{2r-1} + \cdots + \sigma_{2r}(\alpha), \] avec \(\sigma_{1}(\alpha) = \mathrm{tr}\,\alpha\) et \(\sigma_{2r}(\alpha) = \nu(\alpha)\), noté aussi \(\det \alpha\). C'est, au signe des variables près, le polynôme caractéristique de \(\alpha\) agissant sur un espace de dimension \(2r\), et les \(\sigma_{i}\) sont les fonctions symétriques élémentaires de ses valeurs propres : \(\sigma_{i}\) est donc une forme de degré \(i\) en \(\alpha\).²⁶

La trace comme rapport de nombres d'intersection

Le haut du feuillet 8, qui prolonge ce qui précède, en tire la formule qui justifie tout l'appareil : \[ \mathrm{tr}(\alpha) = \frac{r}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I\bigl(\xi, \ldots, \xi, D_{\xi}(\alpha)\bigr), \] où le second membre a \(r-1\) arguments \(\xi\) et un argument \(D_{\xi}(\alpha) = \varphi_{\xi}(\alpha' + \alpha)\), tandis que le dénominateur en a \(r\). La trace, définie plus haut comme un coefficient d'un polynôme, se calcule donc par un rapport de nombres d'intersection.²⁷

6–6

Le théorème de la trace, et le corollaire qui manque (feuillet 6)

Le dernier feuillet énonce le théorème vers lequel les axiomes ont été taillés.

Théorème. Soit \(\xi \in N^{>}(A)\) et soit \(\alpha \mapsto \alpha' = \varphi_{\xi}^{-1}\,{}^{t}\alpha\,\varphi_{\xi}\) l'involution de Rosati de \(\mathrm{Hom}(A,A)_{\mathbb{Q}}\). Alors \[ \mathrm{tr}(\alpha\beta') = \frac{r}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I\bigl(\xi, \ldots, \xi, D_{\xi}(\alpha\beta')\bigr), \] d'où \[ \mathrm{tr}(\alpha\alpha') = \frac{r}{I(\xi, \ldots, \xi)}\, I\bigl(\xi, \ldots, \xi, 2\,\alpha^{*}\xi\bigr). \]

Le passage de la première formule à la seconde est l'identité (3) du feuillet 9 suivie d'un calcul d'une ligne : \(D_{\xi}(\alpha,\alpha) = (2\alpha)^{*}\xi - 2\,\alpha^{*}\xi = 2\,\alpha^{*}\xi\), puisque \(\xi\) est quadratique.

Puis, souligné, le mot Corollaire — et le feuillet s'arrête. Le reste de la page est blanc, et le dossier avec elle.

Ce que les deux formules donnent immédiatement, et ce que le corollaire ne peut guère être, est la positivité de l'involution de Rosati : pour tout \(\alpha \neq 0\), \[ \mathrm{tr}(\alpha\alpha') > 0 . \] En effet \(\alpha^{*}\xi\) appartient au cône positif dès que \(\xi\) y appartient, et l'axiome (e) 2) rend strictement positif le nombre d'intersection du second membre.²⁸

C'est là que le dossier s'interrompt, et l'endroit est parlant : tout ce qui précède avait pour objet de rendre cet énoncé démontrable sans géométrie, et il n'est pas écrit.