Cote n° 5 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Cristaux et cohomologie de De Rham : généralités, correspondances Deligne et Berthelot (1965-1969) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-1969
Édition de démonstration

Le § 1 s'ouvre en tête du feuillet 21 ; ce qui le précède dans le dossier n'est pas dans ce lot.

Pseudo-anneaux à puissances divisées

21§ 1. Pseudo-anneau \(=\) groupe abélien à loi de composition interne associative bilinéaire. Nous sous-entendrons par la suite la commutativité.

Pseudo-anneau \(J\) à puissances divisées. C'est un ps-anneau muni d'applications satisfaisant \[ \pi^{n} : x \mapsto x^{(n)} = \pi^{n}(x) \qquad n \in \mathbb{N}^{+} \] satisfaisant les conditions

1. 1.1.\(\pi^{1} = \mathrm{id}\) i.e. \(x^{(1)} = x\)
2. 1.2.\(\pi^{n}(x+y) = \struck{\ill{}}\; \pi^{n}(x) + \sum_{\substack{p,q \geqslant 1 \\ p+q = n}} \pi^{p}(x)\,\pi^{q}(y) + \pi^{n}(y)\)
3. 1.3.\(\pi^{n}(xy) = x^{n}\,\pi^{n}(y)\)
4. 1.4.\(\pi^{m}(\pi^{n}(x)) = \dfrac{(mn)!}{(n!)^{m}\, m!}\, \pi^{mn}(x)\)
5. 1.5.\(\pi^{m}(x)\,\pi^{n}(x) = \dfrac{(m+n)!}{m!\, n!}\, \pi^{m+n}(x)\)

en 1.2, un pâté d'encre après le signe \(=\) recouvre un premier terme biffé

Supposons que \(J\) soit un idéal d'un anneau \(A\), avec la structure de pseudo-anneau induite. Alors la relation 2. peut s'écrire \[ \pi^{n}(x+y) = \sum_{p+q=n} \pi^{p}(x)\,\pi^{q}(y) \qquad x, y \in J \] si on pose \(\pi^{0}x = 1\), \(\pi^{p}(x) = 0\) si \(p < 0\). Formule 5. itérée : \[ \text{(1.5.bis)}\qquad \pi^{p_{1}}(x)\,\pi^{p_{2}}(x) \cdots \pi^{p_{r}}(x) = \frac{(p_{1} + \cdots + p_{r})!}{p_{1}! \cdots p_{r}!}\; \pi^{p_{1} + \cdots + p_{r}}(x) \] en particulier \[ \text{1.5.ter}\qquad n!\; \pi^{n}(x) = \struck{\ill{}}\; x^{n} \] le numéro « 1.5.ter » est écrit par-dessus un premier numéro, et un exposant biffé suit \(\pi^{n}(x)\)

[…] \(A\) est un anneau (commutatif), une \(\uncertain{\Lambda}\)-algèbre

22à puissances divisées est un [pseudo-]anneau à puissances divisées, muni d'une structure de \(A\)-algèbre, satisfaisant « pseudo- » est ajouté en interligne au-dessus de « anneau » \[ \text{1.6.}\qquad \pi^{n}(\lambda x) = \lambda^{n}\, \pi^{n}(x) \qquad \lambda \in A,\ x \in \struck{A}. \] N.B. C'est tjs vérifié si \(A = \mathbb{Z}\)

Si \(J\) est un idéal de \(A\), c'est une \(A\)-algèbre, […] quelle structure : puissances divisées sur l'idéal, […] \(J\) une structure de puissances divisées sur […] [la] \(A\)-algèbre sous-jacente, i.e. une structure de p. div. sur le pseudo-anneau sous-jacent, satisfaisant 6. deux lignes biffées ; « quelle structure : puissances divisées sur » et « \(A\)-algèbre » sont en interligne

§ 2. Soit \(A\) un anneau, et \(M\) un \(A\)-module. Considérons [la \(A\)-algèbre] \[ \Gamma^{*}(M) = \coprod_{n \geqslant 0} \Gamma^{n}(M), \] […] les applications \(\pi^{n}_{(1)} : x \mapsto x^{(n)}\) de \(M\) dans \(\Gamma^{n}M\). On va les prolonger en des applications \[ \pi^{n} : \Gamma^{+}(M) \longrightarrow \Gamma^{+}(M) \qquad x \mapsto x^{(n)} \] induisant \[ \pi^{n}_{(p)} : \Gamma^{p}(M) \longrightarrow \Gamma^{np}(M) \qquad \struck{x \mapsto x^{(n)}} \] en notant que ceci revient à donner une « application polynomiale homogène » de degré \(\uncertain{np}\) \[ x \mapsto \pi^{n}_{(p)}(x^{(p)}) : \underline{M} \longrightarrow \underline{\Gamma^{np}(M)} \] les deux termes de la flèche sont soulignés d'un trait ondulé ; sous \(\pi^{n}_{(p)}(x^{(p)})\) il écrit « \(= (x^{(p)})^{(n)}\) » et […] pose \[ (x^{(p)})^{(n)} = x^{(pn)}\, \frac{(pn)!}{(p!)^{n}\, n!} \]

23On vérifie que les \(\pi^{n} : \Gamma^{+}(M) \to \Gamma^{+}M\) ainsi construits satisfont les conditions 1.1. à 1.6. (\(\Gamma^{+}(M)\) considéré comme un idéal de \(\Gamma(M)\), ou comme une \(A\)-algèbre).

\(\Gamma^{+}(M)\) devient ainsi une \(A\)-algèbre à puissances divisées. Elle est universelle muni d'un hom de \(A\)-modules \[ M \longrightarrow \Gamma^{+}(M) ; \] ce qui donne pour un tel […] un rôle universel.

§ 3. Soit \(A\) un anneau, et \(I\) un idéal de \(A\). On s'intéresse à un anneau \(B\), muni d'un idéal \(J\) à puissances divisées, et \(x\) un hom d'anneaux \(u : A \to B\) tel que \(u(I) \subset J\). On demande un tel système qui soit le fourni, universel. On peut l'[…] \(A\)-algèbre « \(A\)-algèbre » en interligne au-dessus d'un mot biffé \(\Gamma^{*}(A, I)\) engendré par des éléments \(\pi^{n}x\) \(n \in \mathbb{N}^{*}\) \(n \geqslant 2\), \(x \in I\) « \(n \geqslant 2\) » en interligne au-dessus du \(n \in \mathbb{N}^{*}\) biffé avec les relations 1.2. à 1.6. (où […] \(x, y \in I\), \(\lambda \in A\), et \(\pi^{1}(x)\) doit être lu \(x\)). Plus aisé : façon de le dire est celle-ci : \(I\) est un \(A\)-module, on construit \(\Gamma^{+}_{A}(\uncertain{I})\), et on la lettre dans \(\Gamma^{+}_{A}(\ )\) est surchargée, \(I\) ou \(J\)

24divise ce [pseudo-]anneau à puissances divisées par l'idéal engendré par les « pseudo- » ajouté en interligne \[ (x.y)^{(n)} - x^{n} * y^{(n)} \] où le signe \(*\) désigne provisoirement la multiplication de \(\Gamma^{+}_{A}(\uncertain{I})\), le \(.\) celle de \(\uncertain{J}\). On constate que les opérations \(\pi^{n}\) passent au quotient \(J'\) « \(J'\) » en interligne donnant une structure de \(A\)-algèbre à puissances divisées « de \(A\)-algèbre » en interligne sur \(J'\) [construction indépendante du fait que \(J\) est un idéal de \(A\)]. On considère maintenant l'extension de \(A\) par la \(A\)-algèbre \(J'\) « la \(A\)-algèbre » en interligne définie à l'aide de \(J \to J'\), i.e. le quotient \[ A \times J' / \alpha(\uncertain{J}) , \quad \text{où} \quad \alpha : \uncertain{J} \to A \times J' \] est donné par \[ \alpha(x) = (x, -x') \] où \(x \mapsto x'\) est l'application canonique \(J \to J'\). On vérifie […] \((a, \xi) \in A \times J'\) … \((a, \xi)(x, -x') = (ax, -\xi x')\) deux lignes biffées d'un trait, dont la fin — « \(= ax, -\xi x'\) » — se lit ; un mot les suit, peut-être « sauf »

N.B. Supposons que \(A\) soit une algèbre sur un anneau \(\Lambda\). Alors l'hom composé \(\Lambda \to A \to \Gamma(A, J)\) définit évidemment sur \(\Gamma(A, J)\) une structure de \(\Lambda\)-algèbre.

25Cas particulier : \(A = \operatorname{Sym}_{\Lambda}(M)\) où \(M\) est un \(\Lambda\)-module, Alors \(J = \operatorname{Sym}^{+}_{\Lambda}(M)\) l'idéal d'augmentation. Alors le pb universel est le même que celui d'envoyer \(M\) dans une \(\Lambda\)-algèbre à puissances divisées, on trouve \[ \Gamma\big(\operatorname{Sym}_{\Lambda}(M),\ \operatorname{Sym}^{+}_{\Lambda}(M)\big) \simeq \Gamma^{*}_{\Lambda}(M) \] Ainsi, on donne […] algèbre […] à puissances divisées \(\Gamma_{\Lambda}(M)\) définie comme foncteur […] les anneaux augmentés \(\operatorname{Sym}^{*}_{\Lambda}(M)\) … « \(\Gamma^{*}_{\Lambda}(M)\) » : l'étoile est surchargée sur un \(+\) ; deux mots sont biffés dans la ligne qui suit

Si \(A = A[T_{1}, \ldots, T_{n}]\)

[Soit \(A\) un […] anneau avec idéal \(J\) à puissances divisées, on considère des éléments \((x_{i})_{i \in I}\) de \(J\) et proposons-nous de trouver les hom \((A, J) \to (A', J')\) avec \(A'\) anneau à idéal \(J'\) à puissances divisées, « à puiss. div. » et « \(J'\) » en interligne, « \(A\)-alg » biffé qui annulent les \(x_{i}\). Foncteur […] \((A', J')\) représentable ? Oui, […] la question de \(A\) par […], il suffit de prendre les \(\pi^{n}(x_{i})\), \(i \in I\), \(n \geqslant 1\), et l'idéal \(K\) engendré par ces éléments, i.e. les expressions \(\sum \struck{\ill{}} \lambda_{n,i}\, \pi^{n}(x_{i})\) avec \(\lambda_{n,i} \in A\). On trouve ainsi le plus petit idéal \(K\) stable par les \(\pi^{n}\) (\(n \geqslant 1\)), plus bas […] si, aux conditions […] le début du crochet est un premier jet raturé : « \(A\) » surchargé, « algèbre » biffé et remplacé en interligne par « anneau » ; dans la somme, un premier indice est biffé

26contenant les \(x_{i}\), et pour un tel idéal \(K\) (et pour un tel sous-anneau), les \(\pi^{n}\) passent au quotient et définissent sur \((A/K, J/K)\) une structure d'anneau à idéal avec puiss. divisées]. « (et pour un tel …) » en interligne

Anneau avec idéal à puissances divisées nilpotentes : qui, satisfait \(x^{(n)}\) \(x^{(i)} = 0\) pour \(i \geqslant \uncertain{n}\), \(x \in J\), ce qui implique pour \(x \in J \Longrightarrow x^{\uncertain{n}} = 0\), pour un ensemble fini d'éléments ainsi des nilpotents, […] \(J^{N+1} = 0\) ]. Application […] à puissances divisées « nilpotentes » un pâté d'encre recouvre le \(n\) dans « \(i \geqslant n\) » ; l'exposant de \(x^{n}\) est surchargé

Si \(J\) est engendré par \(x_{1}, \ldots, x_{N}\), alors […] nilidéal [de façon précise […] Anneau « avec » nilidéal : \(\forall x\), \(\exists n\) \(\exists n\), tel que […] […] à puissances divisées nilpotentes. […] qu'il soit […] à puissances divisées « nilpotentes », \(\forall x\), \(\exists n\) tel que \(x^{(i)} = 0\) si \(i > n\). trois formulations superposées et biffées en partie ; les deux définitions — nilidéal, puissances divisées nilpotentes — sont celles que le texte retient

On a, pour un tel anneau, des isomorphismes inverses l'un de l'autre \[ 1 + J \;\rightleftarrows\; J, \qquad \log(1+x) = \sum_{n \geqslant 0} (-1)^{n}\,(n-1)!\; x^{(n)}, \qquad \exp x = \sum_{n \geqslant 0} x^{(n)} \] la somme de \(\log\) est écrite à partir de \(n \geqslant 0\) ainsi sur la page, avec \((n-1)!\) ; la borne devrait être \(n \geqslant 1\), et le signe attendu est \((-1)^{n-1}\) \[ 1 + J \subset A^{*} \]

Site de De Rham

27§ 4. Site de De Rham

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
U' \arrow[r] & U \arrow[r, hook] & X \arrow[d, "f"] \\
& & S
\end{tikzcd}

Schémas relatifs. Les objets du site de De Rham \((X/S)_{\mathrm{DR}}\) ou \(\mathrm{DR}(X/S)\) sont les systèmes triples \((U, U', i, \pi)\) \((U, \mathcal{A}, \varphi, \pi^{*})\), où \(U\) est un ouvert de \(X\), \(\mathcal{A}\) un faisceau […] \(i : U \to U'\) \(U'\) un \(S\)-préschéma, \(i : U \to U'\) une immersion nilpotente, et \(\pi\) une structure de puissances divisées topologiquement nilpotentes (pour ou quasi-nilpotentes) sur \(\mathcal{J} = \operatorname{Ker}(\mathcal{O}_{U'} \to \mathcal{O}_{U})\). Morphismes des sites évidents. plusieurs mots-cadre des systèmes sont biffés et réécrits : un premier quadruplet \((U, \mathcal{A}, \varphi, \pi^{*})\) et la phrase qui le glosait sont barrés d'un trait, le quadruplet \((U, U', i, \pi)\) est écrit au-dessus ; « topologiquement » est une lecture par le sens, le mot est abrégé

Topologie ita : la « topologie de Zariski ». Le site de De Rham (strictifié) est formé des objets au-dessus desquels […] localement […] \(U'\) il existe une rétraction de \(U'\) […] (N.B. cette rétraction ne fait pas partie de la structure). les deux lignes qui définissent le site strictifié sont d'une écriture rapide ; « site de De Rham » et « (strictifié) » sont en interligne au-dessus d'un mot biffé

Topos \((X/S)^{\sim}_{\mathrm{DR}}\) ; \((X/S)^{\sim}_{\mathrm{DR\,st}}\) ou […] \(\widetilde{\mathrm{DR}}(X/S)\), \(\widetilde{\mathrm{DR}}_{\mathrm{st}}(X/S)\) ; si une ambiguïté n'est pas à craindre, on laisse tomber le \(/S\).

Diagramme de morphismes de topos

28

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\widetilde{\mathrm{Zar}}(X) \arrow[r, dashed] & \widetilde{\mathrm{DR}}_{\mathrm{st}}(X) \arrow[r] \arrow[d] & \widetilde{\mathrm{Strat}}(X) \arrow[d] \\
& \widetilde{\mathrm{DR}}(X) \arrow[r] & \widetilde{\mathrm{Cris}}(X)
\end{tikzcd}

Si \(X\) est formellement lisse sur \(S\), alors les flèches verticales sont des équivalences de Topos.

Si \(X\) on est de car. 0, (p. ex. \(S\) de car. 0) alors les flèches horizontales sont des équivalences de Topos.

Dans les sites \(\mathrm{DR}(X)\) et \(\mathrm{DR}_{\mathrm{st}}(X)\), les produits fibrés (de deux objets sur un troisième) et les noyaux de couples existent. Mais il semble douteux que ce soit le cas pour ceux \(\mathrm{Cris}(X)\) et \(\mathrm{Strat}(X)\) … ? le point d'interrogation est dans la marge, en regard de la dernière ligne

Travaillons dans \(\mathrm{DR}_{\mathrm{st}}(X)\). Notons que l'objet \(\widetilde{X}\) de \(\widetilde{\mathrm{DR}}_{\mathrm{st}}\) associé à \(X\) comme l'objet final ([…] définition des objets de \(\mathrm{DR\,strat}\)). Donc on peut utiliser \(\mathrm{DR\,strat}\) \(\widetilde{X}\) pour écrire une suite spectrale de Leray : \[ H^{*}(X_{\mathrm{DR\,st}},\ \mathcal{O}) \Longleftarrow E_{2}^{p,q} = H^{p}\big(\nu \mapsto H^{q}(\widetilde{X}^{\nu+1}, \mathcal{O})\big) \] le nom de l'objet final est écrit \(\widetilde{X}\) avec tilde ; l'indice \(\nu\) de la suite spectrale est une lecture, la lettre est petite

29Or \(\widetilde{X}^{\nu+1}\) est ind-représentable de la façon suivante. On regarde les \(X^{(\nu)} = X^{\nu+1}\), les voisinages infinitésimaux \(\Delta^{(\nu)}_{X/S}(i)\) de la diagonale. Pour chacun, on regarde (qui à l'augmentation \(\mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(0)} = \mathcal{O}_{X}\)) le foncteur augmenté \(\mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)} \to \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(0)}\) qu'il définit, sont à puissances divisées […] c'est une notation d'ailleurs déjà l'usage […] \(\Delta^{(\nu)}_{X/S}(i)\) [[…] justifiée, i.e. admettre … déjà utilisé …], et on y introduit [pour \(\mathcal{J}\) le […] au […] divisées] \(\Delta^{(\nu)}_{X/S}(i)(j)\), de sorte que \[ \Delta^{(\nu)}_{X/S}(i) = \varinjlim_{j} \Delta^{(\nu)}_{X/S}(i, j) \] la ligne est écrite en deux fois, avec un premier \(\Delta^{(\nu)}_{X/S}(i)\) raturé ; les crochets sont de lui, et une partie des mots qu'ils contiennent est biffée ou illisible

[…] vue \(\Delta^{(\infty)}_{X/S}(i)\) souligné d'un trait ondulé faisceau De Rham \(\mathrm{DR}\)-stratifiant « […]puissances » pour \(\Delta^{(\nu)}_{X/S}(i)\) […] ainsi \(\Delta^{(\infty)}_{X/S}(i, \infty)\) ; […] \[ \widetilde{X}^{\nu+1} = \varinjlim_{i, j} \Delta^{(\nu)}_{X/S}(i, j). \] ce bloc est d'une écriture très rapide, avec plusieurs mots surchargés ; les deux formules sont sûres, la prose entre elles ne l'est pas

à vérifier On aura encore \[ H^{q}\big(\mathrm{DR}_{\mathrm{st}}/(U, U') ;\ \mathcal{O}\big) \simeq H^{q}(U', \mathcal{O}_{U'}) \] « \(\mathrm{DR}_{\mathrm{st}}\) » est surchargé sur un premier « DR » ; le « à vérifier » est écrit en marge, en regard de la formule

30pour tout objet \(U'\) du site \(\mathrm{DR}\)-stratifiant. D'où, si \(X \to\) Aff… « DR- » en interligne au-dessus de « stratifiant » ; le mot après \(X \to\) est biffé \[ \begin{cases} H^{q}(\widetilde{X}^{\nu+1}, \mathcal{O}) = 0 & \text{si } q > 0 \\ H^{0}(\widetilde{X}^{\nu+1}, \mathcal{O}) = \varprojlim_{i,j} H^{0}\big(\Delta^{(\nu)}_{X/S}(i, j),\ \mathcal{O}_{\Delta^{\nu}_{X/S}(i,j)}\big) \end{cases} \] et par suite \[ H^{n}(X_{\mathrm{DR\,strat}}, \mathcal{O}) \simeq H^{n}\big(\nu \mapsto H^{0}(\widetilde{X}^{\nu+1}_{/X})\big) \] le \(H^{0}\) de droite est surchargé d'un \(H^{p}\) ; l'indice \(/X\) est ainsi sur la page

Dans le cas général, \(X\) un anneau avec […] puissances divisées, sans […] considérer \(\mathcal{O}_{X}\) […] une […] \(\mathcal{E}^{*}\), et \[ H^{*}(X_{\mathrm{DR\,strat}}, \mathcal{O}) \simeq H^{*}(X_{\mathrm{Zar}}, \mathcal{E}^{*}) \] les deux lignes de prose qui introduisent \(\mathcal{E}^{*}\) sont d'une encre très pâle, presque effacée ; seul l'isomorphisme est sûr

L'algèbre universelle à puissances divisées sur un idéal

31Soit \(A\) un anneau, \(I\) idéal de \(A\), \((x_{i})_{i \in I}\) un syst. de gén. de \(I\). On cherche […] un \(B\) avec idéal \(J\) à puiss. divisées, et hom \(u : A \to B\) avec \(u(I) \subset J\), qui soit universel. On prend l'algèbre quotient \[ B = A\Big[\struck{\ill{}}\ \{\Gamma^{n}(x)\}_{\substack{x \in I \\ n \geqslant 2}}\Big] \Big/ \text{relations} \] le premier système de générateurs, entre le crochet ouvrant et l'accolade, est gribouillé jusqu'à l'illisible \[\begin{align*} \Gamma^{n}(x+y) &= \Gamma^{n}x + \Gamma^{n}y + \sum_{\substack{p, q \geqslant 1 \\ p+q = n}} \Gamma^{p}(x)\,\Gamma^{q}(y) \qquad (x, y \in I) \quad [\Gamma^{1}x = x \text{ par déf.}] \\ \Gamma^{n}(xy) &= x^{n}\,\Gamma^{n}(y) \qquad x \in I,\ y \in A \\ \struck{\Gamma^{m}(\Gamma^{n}(x))} &\struck{= \tfrac{(mn)!}{(n!)^{m}\, m!}\, \Gamma^{mn}(x)} \qquad x \in I \\ \Gamma^{m}(x)\,\Gamma^{n}(x) &= \frac{(m+n)!}{m!\, n!}\; \Gamma^{m+n}(x) \end{align*}\] les quatre relations sont accolées à gauche ; la troisième est gribouillée d'un trait épais et se lit sous les ratures ; « \(\Gamma^{1}x = x\) par déf. » est encadré d'un trait à droite de la première

\(J\) idéal engendré par les \(\Gamma^{n}(x)\) (\(n \geqslant 1\), \(x \in I\)). Supposons que […] À vérifier que c'est une solution du pb universel. Il faut introduire sur \(J\) des puiss. div. … […]

\(\Gamma_{A}\) […] \(\Gamma_{A}(\mathcal{J})\) […] \(A\)-algèbre […] le quotient […] \((xy)^{(n)} - x^{n} * y^{(n)}\) […] \(*\) est provisoire un bloc de quatre lignes, encadré et hachuré de traits croisés ; il reprenait la construction de la page 24 — \(\Gamma_{A}(J)\) divisé par les \((xy)^{(n)} - x^{n} * y^{(n)}\) — et n'en laisse lire que des bribes

Supposons qu'on est dans un cas où tout premier \(\ell \neq p\) est inversible dans \(A\), i.e. \(A\) une alg. sur \(\mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}}\) « i.e. \(A\) une alg. sur \(\mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}}\) » en interligne, au-dessus d'un mot biffé. On peut simplifier la construction de \(B\), en utilisant que si \(n\) est un entier, dont les chiffres \(p\)-adiques […] \[ n = a_{0} + a_{1} p + a_{2} p^{2} + \cdots + a_{\nu} p^{\nu}, \qquad 0 \leqslant a_{i} \leqslant p-1, \] alors on aura \[ v_{p}(n) = \sum a_{i}\, v_{p}(p^{\nu}) \qquad \Big[\text{N.B. } v_{p}(p^{\nu}) = \frac{p^{\nu}-1}{p-1}\Big] \] ainsi sur la page : \(v_{p}(n)\) et \(v_{p}(p^{\nu})\) sans factorielle, et l'indice \(\nu\) sous la somme où l'on attendrait \(i\) ; la formule que le N.B. donne est celle de \(v_{p}(p^{\nu}\,!)\), et la ligne signifie \(v_{p}(n!) = \sum a_{i}\, v_{p}(p^{i}\,!)\) d'où si \(C\) est une \(A\)-alg. avec idéal \(K\) à puiss. divisées, pour \(x \in K\) \[ \gamma^{n}(x) = c_{n}\; \gamma^{1}(x)^{a_{0}}\, \gamma^{p}(x)^{a_{1}} \cdots \big(\gamma^{p^{\nu}}(x)\big)^{a_{\nu}} \] le second membre est écrit par-dessus un premier quotient gribouillé ; « \(\gamma^{1}(x)^{a_{0}}\) » est surchargé où \(c_{n} \in \mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}}\) est donné par

32\[ c_{n} = \frac{\prod_{i} \big[(p^{i}\,!)/p^{\,v_{p}(p^{i}!)}\big]^{a_{i}}}{\big[n!/p^{\,v_{p}(n!)}\big]} = \text{partie première à } p \text{ de } \frac{\prod (p^{i}\,!)^{a_{i}}}{n!} \]

Par suite, \(B\) est aussi engendré par les éléments \(\Gamma^{p^{\nu}}(x)\), \(\nu \geqslant 1\), \(x \in I\), (quelles relations ?) qu'on va noter \([x, \nu]\).

Définissons les \(\Gamma^{n}(x)\) dans \(A\big[\{[x, \nu]\}_{\substack{x \in I \\ \nu \geqslant 1}}\big]\) (donc \(\Gamma^{p^{\nu}}(x) = [x, \nu]\)) par les formules ci-dessus, en donnant les relations […] \(\Gamma^{p^{\nu}}\) le signe \(\{\) devant le générateur est surchargé ; « relations » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; un \(\Gamma^{p^{\nu}}\) gribouillé précède la première formule \[\begin{align*} \Gamma^{p^{\nu}}(x+y) &= \Gamma^{p^{\nu}}x + \Gamma^{p^{\nu}}y + \sum_{\substack{\alpha, \beta \geqslant 1 \\ \alpha + \beta = p^{\nu}}} \struck{\ill{}}\ \Gamma^{\alpha}(x)\,\Gamma^{\beta}(y) \qquad \underbrace{\phantom{xxxxxxxxxxxxxx}}_{\text{expression en les } \Gamma^{p^{i}}(x),\ \Gamma^{p^{j}}(y),\ i, j < \nu} \\ \Gamma^{p^{\nu}}(xy) &= x^{p^{\nu}}\, \Gamma^{p^{\nu}}(y) \\ \Gamma^{p^{m}}(x)\,\Gamma^{p^{n}}(x) &= \frac{(p^{m} + p^{n})!}{p^{m}!\; p^{n}!}\; \Gamma^{p^{m}+p^{n}}(x) \qquad \ldots \end{align*}\] les trois relations sont accolées à gauche ; dans la première un coefficient est gribouillé avant \(\Gamma^{\alpha}(x)\Gamma^{\beta}(y)\), et l'accolade horizontale sous la somme porte la légende « expression en les \(\Gamma^{p^{i}}(x)\), \(\Gamma^{p^{j}}(y)\), \(i, j < \nu\) » ; dans la troisième les exposants \(m\) et \(n\) sont lourdement surchargés et la formule se termine par des points de suspension

ne faut-il pas prendre les \(\Gamma^{n}(x+y)\), toutes ?

il suffit de ? […] en fait pour certains […]. On a donc, si l'on veut : \(\Gamma^{p^{\nu}}(x)^{p} = \dfrac{(p^{\nu+1})!}{(p^{\nu}!)^{p}\; p!}\; \Gamma^{p^{\nu+1}}(x)\) cette note marginale est écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, séparée du texte par un trait courbe ; la formule est le cas \(m = p\), \(n = p^{\nu}\) de 1.4

Supposons maintenant que \(I\) soit engendré par un élément \(\lambda\). Alors \(B\) est aussi isomorphe au quotient de \(A\big[(\Gamma^{n}(\lambda))_{n \geqslant 2}\big]\) par les relations la phrase s'arrête là, en bas de la page ; sa suite n'est pas dans ce lot

34le haut de la page continue la phrase interrompue au bas de la page 32 : le quotient de \(A[(\Gamma^{n}(\lambda))_{n \geqslant 2}]\) par les relations qui suivent \[ \begin{cases} \Gamma^{m}(\lambda)\,\Gamma^{n}(\lambda) - \dfrac{(m+n)!}{m!\, n!}\; \Gamma^{m+n}(\lambda) \\[6pt] \struck{\ill{}} \quad (x^{n} - y^{n})\,\Gamma^{n}(\lambda) \qquad \text{pour } x, y \in A \text{ tels que } (x-y)\lambda = 0 . \end{cases} \] la seconde ligne de l'accolade commence par une expression gribouillée jusqu'à l'illisible ; « tels que » est en interligne

[N.B. Ces relations disent que \(\Gamma^{n}(\lambda x)\) doit être \(\equiv x^{n}\,\Gamma^{n}(\lambda)\), […] […] […] en \(\lambda x\) i.e. […] si \(\lambda x = \lambda y\) alors \(x^{n}\,\Gamma^{n}(\lambda) \equiv y^{n}\,\Gamma^{n}(\lambda)\) qui : \((**)\), les relations \(\Gamma^{n}(\lambda(x+y)) \equiv \cdots\) résulte alors de \((**)\), et \(\Gamma^{n}(xy) \equiv x^{n}\,\Gamma^{n}(y)\) est trivial, ainsi que \(\Gamma^{m}(\lambda x)\,\Gamma^{n}(\lambda y) = \cdots\) ] le N.B. est encadré de crochets sur la page ; « qui : \((**)\) » est écrit en marge à droite, cerclé, en regard de la relation \(x^{n}\Gamma^{n}(\lambda) \equiv y^{n}\Gamma^{n}(\lambda)\), et c'est le nom qu'il lui donne

Si maintenant tous les nombres premiers \(\neq p\) sont inversibles dans \(A\), on trouve aussi le quotient de \[ A\big[(\Gamma^{p^{\nu}}(\lambda))_{\nu \geqslant 1}\big] \] par les relations \[ \begin{cases} \Gamma^{m}(\lambda)\,\Gamma^{n}(\lambda) - \dfrac{(m+n)!}{m!\, n!}\; \Gamma^{m+n}(\lambda) \\[6pt] (x^{n} - y^{n})\,\Gamma^{n}(\lambda) \qquad \text{si } x, y \in A \text{ tels que } (x-y)\lambda = 0 \end{cases} \] où \(\Gamma^{n}(\lambda)\) se définit en termes des \(\Gamma^{p^{\nu}}(\lambda)\) comme plus haut. Les premières relations se réduisent à \[ \boxed{\ \Gamma^{p^{\nu}}(\lambda)^{\uncertain{e}} = \struck{\ill{}}\; \frac{(\uncertain{e}\,p^{\nu+1})!}{(p^{\nu}!)^{p}}\; \Gamma^{\uncertain{e}\,p^{\nu+1}}(\lambda)\ } \] pour \(p \leqslant e < 2p-1\), donc pour \(e = p + a\) (\(0 \leqslant a \leqslant p-1\)). la formule encadrée est lourdement surchargée : l'exposant de \(\Gamma^{p^{\nu}}(\lambda)\), d'abord \(p\) (comme dans la note marginale de la page 32), est réécrit en un signe plus épais, et une première fraction \((a+b)!/\ldots\) est gribouillée devant celle qui reste. Telle qu'elle se lit, la formule ne suit pas de 1.5 : pour l'exposant \(e\) on attendrait \((e p^{\nu})!/(p^{\nu}!)^{e}\; \Gamma^{e p^{\nu}}(\lambda)\). Elle est reproduite telle quelle

36Lemme de Poincaré vrai pour les \(k\)-algèbres suivantes (\(k\) corps de car. nulle) : \[ \begin{cases} k[[x]][Y] / (Y^{p} - x^{q}) \\ k[[x]][Y] / (Y^{2} + P(x)\,Y + Q(x)) \\ k[x_{1}, \ldots, x_{n}] / (x_{1}^{p_{1}}, x_{2}^{p_{2}}, \ldots, x_{n}^{p_{n}}) \qquad \text{p. ex. } k[x]/(x^{p}) \\ k[x, y] / \mathfrak{m}^{2} \\ k[x, y] / (x^{3}, y^{2}, x^{2}y) \\ k[x, y] / (x^{3}, y^{2}, xy) \end{cases} \] le \(Y\) de la première ligne est réécrit par-dessus un \(X\) ; dans la troisième, les exposants \(p_{i}\) sont ainsi sur la page, et ne sont pas le \(p\) des pages précédentes

Si \(A\) […] local sur \(k\), ext. résiduelle triviale, alors pour tout \(x \in \mathfrak{m}\) avec \(dx = 0\) dans \(\Omega\), … \(x \in \mathfrak{m}^{3}\). le mot biffé après \(A\) est réécrit en interligne « local » ; « dans \(\Omega\) » est sous le \(dx = 0\) ; le membre de droite se lit \(x \in \mathfrak{m}^{3}\), l'exposant est sûr

Ann. Éc. N. Sc. 65 ou 66, J. de Liouville la référence est de sa main, sans autre précision ; le « 65 ou 66 » est encadré

38Supposons que les cas. résiduelles de \(A\) soient parfaites : \(p > 0\) \((x^{(m)})^{(n)} =\) opérations de puiss. div. \((\pi_{m})_{m \geqslant 0}\) l'intitulé est souligné ; « \((x^{(m)})^{(n)} =\) » est gribouillé sous lui ; le « cas. » abrège sans doute « caractéristiques » ; les opérations sont notées ici \(\pi_{m}\) en indice, et non plus \(\pi^{m}\) en exposant comme aux pages 21–26

1. a)\(\pi_{m}(x)\,\pi_{n}(x) = \binom{m+n}{n}\, \pi_{m+n}(x)\) les indices de la formule a) sont lourdement surchargés : un premier \(\pi^{(m)}(x)\,\pi^{(n)}(x) = \ldots\, \pi^{(m+n)}(x)\) en exposants est réécrit avec les indices en bas Supposons que \(\begin{cases} m \equiv 0 \ (p) \\ 0 \leqslant n \leqslant p-1 \end{cases}\) alors […] \(\binom{m+n}{n} = \dfrac{(m+1)\cdots(m+n)}{n!}\) […] est inversible (p), donc \[ \boxed{\ \pi_{m+n}(x) = \binom{m+n}{n}^{-1}\, \pi_{m}(x)\,\pi_{n}(x)\ } \] la formule encadrée est surchargée elle aussi : les indices \(m+n\), \(m\), \(n\) sont réécrits par-dessus des exposants entre parenthèses
2. b)\(\pi_{m} \circ \pi_{n} = \dfrac{(mn)!}{(n!)^{m}\, m!}\; \pi_{mn}\) [Supposons \(m = p\), on trouve un coefficient \[ c_{n} = \frac{(pn)!}{(n!)^{p}\; p!} \] et on a, si \(n = a_{0} + a_{1} p + \cdots + a_{\nu} p^{\nu}\) : \[\begin{align*} v_{p}(c_{n}) &= v_{p}\big((pn)!\big) - p\, v_{p}(n!) - 1 \\ &= \frac{pn - \sum a_{i}}{p-1} - p\,\frac{n - \sum a_{i}}{p-1} - 1 \\ &= \struck{\ill{}}\ \Big(\sum a_{i}\Big) - 1 \end{align*}\] dans la dernière ligne un premier coefficient devant la somme est gribouillé ; le calcul utilise \(v_{p}(n!) = (n - \sum a_{i})/(p-1)\) Supposons \(n = p\), on trouve un coeff. \[ d_{m} = \frac{(pm)!}{(p!)^{m}\; m!} \] et, si \(m = b_{0} + b_{1} p + \cdots + b_{s} p^{s}\), \[\begin{align*} v_{p}(d_{m}) &= v_{p}\big((pm)!\big) - m\, v_{p}(p!) - v_{p}(m!) \\ &= \frac{pm - \sum b_{i}}{p-1} - m - \frac{m - \sum b_{i}}{p-1} \\ &= 0 \end{align*}\] donc \[ \pi_{pm} = \Big(\frac{(pm)!}{(p!)^{m}\, m!}\Big)^{-1}\, \pi_{m} \circ \pi_{p}\ ] \] le crochet ouvert avant « Supposons \(m = p\) » se ferme après cette formule ; devant \(m = b_{0} + \cdots\) un \(\sum\) est biffé

a) et b) ensemble montrent que les \(\pi_{n}\) sont connus quand on connaît \(\pi_{p}\) ainsi souligné

40\(\pi = \pi_{p}\) satisfait les conditions \[ \begin{cases} \pi(x+y) = \pi x + \pi y + \displaystyle\sum_{0 < i < p} \struck{\ill{}}\ \frac{1}{i!\,(p-i)!}\; x^{i} y^{p-i} \\[8pt] \pi(fx) = f^{p}\, \pi x \end{cases} \] un premier coefficient devant la somme est gribouillé ; l'exposant de \(\pi\) dans \(\pi(x+y)\) est surchargé ; le \(y^{p-i}\) se lit \(y^{i}\) avec un exposant corrigé

Si on a une opération satisfaisant ces conditions, peut-on en définir les \(\pi^{(n)}\) […] satisfaisant les conditions \((1.1)\) à \((1.5)\) […], avec \(\pi^{(p)} = \pi\) Par récurrence des puiss. div. les mots entre \(\pi^{(n)}\) et « satisfaisant » sont surchargés ; « des puiss. div. » est écrit sous « Par récurrence » biffé

On va construire les \(\pi_{N}\) par récurrence, en supposant les \(\pi_{i}\) construits pour \(i < N\) et façon à satisfaire \((1.1)\) à \((1.5)\) [ou \(1.\uncertain{4}\) pour \(mn < N\), dans \(1.5\) pour \(m+n < N\)]. Cas \(1\) : \(N \not\equiv 0\ (p)\), donc \(N = N' + s\), avec \(N' \equiv 0\ (p)\), \(0 < s \leqslant p-1\). On aura donc … tout ce paragraphe est barré de deux longs traits obliques et d'un trait courbe qui le contourne ; le « Cas 1 » et la décomposition \(N = N' + s\) se lisent sous les traits ; « \(0 < s \leqslant p-1\) » est en interligne sous « avec »

On va construire \[ \pi_{n}(x) = c_{n}\; x^{a_{0}}\, \pi(x)^{a_{1}}\, \pi^{2}(x)^{a_{2}} \cdots \pi^{r}(x)^{a_{r}} \] où \(n = a_{0} + a_{1} p + \cdots + a_{r} p^{r}\) est le développement \(p\)-adique de \(n\), et où \(c_{n} \in \struck{\mathbb{Z}_{p}\mathbb{Z}^{*}}\; \mathbb{Q} \cap \mathbb{Z}_{p}^{*}\) et un élément de \(\mathbb{Q}\) dont la valuation \(p\)-adique est nulle. [Il serait intéressant de connaître ce \(c_{n}\) mod \(p\), i.e. un élément de \(\mathbb{F}_{p}^{*}\). Est-ce tjs \(1\) ?] \(\pi^{2}(x)\), \(\pi^{r}(x)\) désignent ici les itérés \(\pi \circ \pi\), …, de \(\pi = \pi_{p}\) ; le premier « \(\mathbb{Z}_{p}\mathbb{Z}^{*}\) » est biffé et remplacé par \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{Z}_{p}^{*}\) ; la question finale est de lui. La suite de ce calcul n'est pas dans ce lot