Fonds Grothendieck, cote n° 5, pages 1–20

Les topos attachés à X

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & X_{\mathrm{zar}} \arrow[dll] \arrow[drr] & & \\ X_{\mathrm{conn}} \arrow[rrrr, dashed] \arrow[drr, "\text{équiv. en car. } 0"] \arrow[dd, "\text{équiv. si } X/S \text{ lisse}"'] & & & & X_{\mathbb{P}\mathrm{-conn}} \arrow[dll, dashed] \arrow[dd, "\text{équiv. si } X/p \text{ lisse}"] \\ & & X_{\mathrm{strat}} \arrow[dd] & & \\ X_{\mathrm{cris}} \arrow[rrrr, dashed] \arrow[drr] \arrow[ddrr] & & & & X_{\mathbb{P}\mathrm{-cris}} \arrow[dll, dashed] \arrow[ddll] \\ & & X_{\mathrm{inf}} \arrow[d] & & \\ & & X_{\mathrm{zar}} & & \end{tikzcd}

le diagramme occupe la moitié supérieure du feuillet ; les flèches en tirets sont en tirets sur la page. Une accolade à droite du diagramme porte : « morphismes de topos annelés [\dashrightarrow définis si X de torsion sur \mathbb{Z}] ». Le label de la flèche verticale de droite est lu « équiv. si X/p lisse », celui de gauche « équiv. si X/S lisse ». Un trait fin, sans pointe visible, descend en outre de X_{\mathrm{zar}} (en haut) vers X_{\mathrm{inf}} ; il n'est pas rendu comme flèche

NB S sous-entendu dans notations.

détermination des points de ces topos ?

Les flèches à valeurs dans X_{\mathrm{zar}} donnent lieu à des isomorphismes de localisation zariskienne, resp. des suites spectrales intéressantes.

Les flèches en provenance de X_{\mathrm{zar}} donnent lieu à une suite exacte \cdot \longrightarrow J \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}} \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}_0} \longrightarrow \cdot dire que \mathrm{Mod}(X_{\mathrm{zar}}) \xrightarrow{\;\approx\;} \mathrm{Mod}(\underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}_0})la note est reliée par un trait à la suite exacte

Pour un Module inversible \underline{L} sur X_{\mathrm{zar}}, on définit une classe de Chern c'(\underline{L})lu c' ; peut-être c^{1} dans H^2(X_{\mathrm{cris}}) et H^2(X_{\mathbb{P}\mathrm{-cris}}), qui sont compatibles si X de torsion. Sur X_{\mathrm{cris}}, son annulation est NS pour que \underline{L} provienne d'un Module inversible sur X_{\mathrm{cris}} [donc dans le cas relatif lisse, ~~d'un~~ qu'il admette une connexion intégrable].

L'algèbre artinienne universelle à puissances divisées \nu-nilpotentes

W vecteurs de Witt sur corps parfait k.

\nu \geq 1 entier.

On s'intéresse à la catégorie des ~~algèbres~~ anneaux artiniens ~~sur~~ ~~augmentés vers~~ de corps rés. k, à idéal maximal muni de puiss. divisées \nu-nilpotentes. On va construire un objet initial de cette catégorie.

Pour ceci, on note que les \Lambda sont des algèbres sur W (Cohen), et que l'élément \lambda_0 = p \in W s'envoie dans \mathfrak{r}\Lambdala lettre devant \Lambda est lue comme un \mathfrak{r}, le radical. Donc \Lambda reçoit W^{(\nu)} = W[\Lambda_0, \dots, \Lambda_\nu] \Big/ \Big(\Lambda_0^{p} - p!\,\Lambda_1,\; \Lambda_1^{p} - \frac{p^2!}{(p!)^{p}}\,\Lambda_2,\; \dots,\; \Lambda_{\nu-1}^{p} - \frac{p^{\nu}!}{(p^{\nu-1}!)^{p}}\,\Lambda_\nu,\; \Lambda_\nu^{p} \;;\; \Lambda_0 - \struck{p}\lambda_0\Big) [~~W-algèbre~~ avec idéal J = (\Lambda_0, \dots, \Lambda_\nu) à puiss. div. \nu-nilpotentes, universel pour les algèbres sur W, avec idéal à puiss divisées \nu-nilpotentes contenant l'image de \lambda_0]. NB. \Lambda_\nu = \gamma^{p^{\nu}}(\Lambda_0) ; on utilise le fait que dans W les nbs premiers \ell \neq p sont inversibles.

Or on voit tout de suite que W^{(\nu)} est artinien l'idéal maximal étant précisément Jajout interlinéaire de sa main de corps résiduel k, ~~(ceci est vrai avant d'ajouter la relation \Lambda_0 - \lambda_0),~~

On va calculer explicitement W^{(\nu)}. Pour ceci, on commence par l'anneau plus simple A^{(\nu)} = W[\Lambda_0, \dots, \Lambda_\nu] \big/ \big(\Lambda_0^{p} - p!\,\Lambda_1,\; \dots,\; \Lambda_\nu^{p}\big) (on oublie la relation \Lambda_0 - \lambda_0). On pose aussi \lambda_r = \frac{p^{p^{r}}}{p^{r}!} = \gamma^{p^{r}}_{\text{habituel}}(p) et on pose \Lambda_i = \lambda_i + \Theta_i \qquad 0 \leq i \leq \nu . Par abus de , on désigne par \Lambda_i, \Theta_i les images de \Lambda_i, \Theta_i dans A^{(\nu)}. Alors A^{(\nu)} a une

base sur W formée des \Theta_0^{a_0} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu}, \qquad 0 \leq a_i \leq p-1 \quad \text{pour } i = 0, \dots, \nu .

Il faut maintenant diviser par l'idéal I engendré par \Theta_0. On a le

Lemme Pour que \displaystyle\sum_{\substack{a = (a_0, \dots, a_\nu) \\ 0 \leq a_i \leq p-1}} w_a\, \Theta_0^{a_0} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu} soit dans l'idéal engendré par \Theta_0, il faut et il suffit que

a) pour tout a = (a_0, \dots, a_\nu), si a \neq 0 et siajout interlinéaire de sa main a_i est la première composante non nulle de a, on ait w_a \in p^{i} W

b) le coefficient w_0 de 1 soit dans p^{c(\nu)} W, où c(\nu) = \nu + p\,\big[\,p^{\nu} - (p^{\nu-1} + p^{\nu-2} + \dots + 1)\,\big]

Dém. Condition suffisante Résulte des relations \begin{cases} p^{i}\,\Theta_i \in I \\ p^{c(\nu)} \in I \end{cases} La première relation par récurrence sur i \geq 0. Si i = \nusic ; on attend i = 0 trivial, i.e. \Theta_0 \in I. Supposons p^{i}\Theta_i \in I (i \leq \nu - 1) on utilise (\Theta_i + \lambda_i)^{p} = \frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,(\Theta_{i+1} + \lambda_{i+1}) , \struck{\ill{}} \sum_{\alpha=1}^{p-1} C_p^{\alpha}\,\Theta_i^{\alpha}\lambda_i^{p-\alpha} = \Big( -\lambda_i^{p} + \frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\struck{\Theta_{i+1}} + \frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\Theta_{i+1} \Big) un trait diagonal barre une partie du membre de droite ; le terme barré est lu \Theta_{i+1} et devait être \lambda_{i+1} multipliant par p^{i}, p^{i}\Theta_i \in I donc p^{i}\Theta_i^{\alpha} = 0 si \alpha \geq 1 : p^{i}\,\frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\Theta_{i+1} = 0 or on constate que v_p\Big(\dfrac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\Big) = 1

donc les relations précédentes équivalent à p^{i+1}\,\Theta_{i+1} = 0 . On a donc prouvé les relations p^{i}\Theta_i = 0. Pour la dernière relation, on écrit (\lambda_\nu + \Theta_\nu)^{p} = 0 \quad \text{i.e.} \quad \lambda_\nu^{p} + \sum_{i=1}^{p} C_i^{p}\,\Theta_\nu^{i}\lambda_\nu^{p-i} = 0 Multiplions par p^{\nu} et utilisons que p^{\nu}\Theta_\nu \in I donc p^{\nu}\Theta_\nu^{\alpha} \in I si \alpha \geq 1, on trouve p^{\nu}\lambda_\nu^{p} \in I Or v_p(p^{\nu}\lambda_\nu^{p}) = \nu + p\,v_p(\lambda_\nu) = \nu + p\Big(p^{\nu} - \frac{p^{\nu}-1}{p-1}\Big) = c(\nu) sous \lambda_\nu il rappelle \lambda_\nu = p^{p^{\nu}}/p^{\nu}!

Pour prouver que la condition est nécessaire, il suffit de noter que l'ensemble I' formé des éléments satisfaisant les cond. a) b) données (qui satisfont I' \subset I, \Theta_0 \in I') est bien un idéal, i.e. (comme c'est un sous-W-module) est stable par multiplication par \Theta_0, \dots, \Theta_\nu. La vérification est facile et laissée au lecteur. !

Corollaire Soit, pour tout i, E_i un syst. de représentants de W/p^{i}W. Alors un élément de W^{(\nu)} s'écrit de façon unique sous la forme \sum w_{a_1, \dots, a_\nu}\, \dot{\Theta}_1^{a_1} \cdots \dot{\Theta}_\nu^{a_\nu} \qquad 0 \leq a_i \leq p-1 \quad (1 \leq i \leq \nu) avec \begin{cases} w_{a_1, \dots, a_\nu} \in E_i \quad \text{si $a_i$ est la première coordonnée non nulle de } (a_1, \dots, a_\nu) \\ w_0 \in E_{c(\nu)} \end{cases}

le feuillet reprend la seconde ligne de l'accolade, w_0 \in E_{c(\nu)}, qui clôt le corollaire de la page 6

Lemme Soit 1 \leq r \leq \nu, et soit W^{(\nu, r)} le quotient de W^{(\nu)} par \dot{\Theta}_1, \dots, \dot{\Theta}_r. ~~Alors les~~ Soit A I_{\nu, r} l'idéal de A^{(\nu)} engendré par \Theta_0, \dots, \Theta_r, de sorte que A^{(\nu)}/I_{\nu, r} \simeq W^{(\nu, r)}. Pour que \sum w_a\,\Theta_0^{a_0} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu} soit dans I_{\nu, r}, il f. et s. que

a) pour tout a = (a_0, \dots, a_\nu) \neq 0, ~~(\alpha,\ 1 \leq \alpha \leq \nu - r,\ \ill{})~~ si a_i est la première composante non nulle et si i > r, on ait w_a \in p^{i-r} W

b) on ait w_0 \in p^{c(\nu) - r} W

Cor. Forme normale d'un élément de W^{(\nu, r)} : \sum w_{a_{r+1}, \dots, a_\nu}\, \Theta_{r+1}^{a_{r+1}} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu} avec \begin{cases} w_{a_{r+1}, \dots, a_\nu} \in E_i\struck{\ill{}} \quad \text{si $a_{r+i}$ est le premier des $a_\alpha$ qui est } \neq 0 \\ w_0 \in E_{c(\nu) - r} \end{cases}

W vecteurs de Witt

\Lambda_0 \cdots \Lambda_\nu indéterminées, liées par \begin{cases} \Lambda_i^{p} = \dfrac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\Lambda_{i+1} & \text{si } 0 \leq i \leq \nu - 1 \\[6pt] \Lambda_\nu^{p} = 0 \end{cases} Ceci implique \Lambda_0^{a_0} \cdots \Lambda_\nu^{a_\nu} = 0 \quad \text{si} \quad \sum a_i p^{i} \geq p^{\nu+1} \qquad (a_i \geq 0)

~~Comme~~ Dém ~~Récurrence sur les~~ \sum a_i, si \sum a_i = 0 deux lignes biffées et surchargées ; seule leur armature se lit Si tous les a_i sont \leq p-1, c'est ok, car \sum a_i p^{i} \leq p^{\nu+1} . Supposons que a_i \geq p, donc la note est encadrée à droite, avec un renvoi vers le \sum a_i p^{i} \geq p^{\nu+1} de l'énoncé

Lemme \Lambda_0^{a_0}\Lambda_1^{a_1} \cdots \Lambda_\nu^{a_\nu} = c\,\Lambda_0^{b_0} \cdots \Lambda_{\nu-1}^{b_{\nu-1}}\Lambda_\nu^{b_\nu}, \qquad c \in W, avec 0 \leq b_i \leq p-1 pour 0 \leq i \leq \nu - 1, b_\nu ce qu'il faut, et \sum_0^{\nu} a_i p^{i} = \sum_0^{\nu} b_i p^{i} . Pour le voir, on procède par récurrence ~~transformer l'expression en une autre tous les a_\alpha \leq p-1 \alpha \leq i-1 (i \leq \nu - 1) \sum a_\alpha p^{\alpha}~~ ~~Donc~~ trois lignes biffées. Donc si a_i \geq p, on écrit a_i = p q_i + a'_i, d'où \Lambda_i^{a_i} = (\Lambda_i^{p})^{q_i}\,\Lambda_i^{a'_i} = (c_i\Lambda_{i+1})^{q_i}\,\Lambda_i^{a'_i} = c\,\Lambda_{i+1}^{q_i}\,\Lambda_i^{a'_i} les exposants de cette ligne sont écrits petit et se lisent mal ; ils sont restitués d'après a_i = pq_i + a'_i donc \Lambda_0^{a_0} \cdots \Lambda_\nu^{a_\nu} = c\,\Lambda_0^{a_0} \cdots \Lambda_i^{a'_i}\,\Lambda_{i+1}^{a_{i+1} + q_i}\,\Lambda_{i+2}^{a_{i+2}} \cdots , et évidemment on a \sum a_i p^{i} = \sum a'_i p^{i} , car ~~a'_i p^{i} +~~ a'_i p^{i} + (a_{i+1} + q_i)\,p^{i+1} = \underbrace{(a'_i + q_i p)}_{a_i}\,p^{i} + a_{i+1}\,p^{i+1} OK.les deux dernières lignes sont soulignées d'un double trait Or si \sum b_i p^{i} \geq p^{\nu+1}, alors cela donne b_\nu \geq p, donc \Lambda_\nu^{b_\nu} est un multiple de \Lambda_\nu^{p}, or \Lambda_\nu^{p} = 0. OK.

demi-feuillet écrit en travers ; il calcule v_p(n!) en base p. Il écrit v_p(p), v_p(p^{2}), … pour v_p(p!), v_p(p^{2}!), … dans la colonne de gauche ; la transcription garde sa graphie v_p(n!) = a_\nu\,v_p(p^{\nu}!) + \dots + a_{\mu+1}\,v_p(p^{\mu+1}!) - v_p(p^{\mu+1}!) + (\mu+1) + (p-1)\big[\,v_p(p^{\mu}!) + \dots + v_p(p)\,\big] le second membre est souligné d'une accolade portant un p^{\mu} biffé ; le lien entre les deux lignes n'est pas écrit

v_p(1) = 0 v_p(p) = 1 + (p-1)\cdot 0 = 1 v_p(p^{2}) = 2 + (p-1)\cdot 1 = p+1 v_p(p^{3}) = 3 + \struck{(p-1)}(p+2)\struck{+1} = p^{2} + p + 1 v_p(p^{4}) = 4 + (p-1)\big[p^{2} + 2p + 3\big] = 4 + p^{3} + 2p^{2} + 3p - p^{2} - 2p - 3 = \struck{1+}\,p^{3} + p^{2} + p + 1 v_p(p^{\nu}) = p^{\nu-1} + p^{\nu-2} + \dots + 1 = \frac{p^{\nu} - 1}{p - 1} v_p(p^{\nu+1}) = \nu + 1 + (p-1)\big[p^{\nu-1} + 2p^{\nu-2} + 3p^{\nu-3} + \dots + \nu p^{0}\big] = \nu + 1 + p^{\nu} + 2p^{\nu-1} + 3p^{\nu-2} + \dots + \nu p - p^{\nu-1} - 2p^{\nu-2} - \dots - (\nu-1)p - \nu = p^{\nu} + p^{\nu-1} + \dots + p + 1 \sum a_\nu\,(p^{\nu-1} + p^{\nu-2} + \dots + 1) a_1 + a_2(p+1) + a_3(p^{2} + p + 1) + a_4(p^{3} + p^{2} + p + 1) + \dots cette ligne est encadrée ; sous elle, a_1 + p a_2 \to + p^{2} a_3 et un p isolé v_p(n!)(p-1) = a_1(p-1) + a_2(p^{2}-1) + \dots + a_\nu(p^{\nu} - 1) = n - a_0 - a_1 - \dots - a_\nu \boxed{\;v_p(n!) = \frac{n - \sum a_i}{p - 1}\;} la formule est encadrée deux fois

v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \geq 0 \quad \text{pour tout } n \ \ill{} v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \to +\infty \quad \text{pour } n \to +\infty ~~(p-1)~~ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) = \struck{(p-1)}\; n\,v_p(\pi) - \frac{n - \mathrm{chif}(n)}{p-1} \geq 0 \Updownarrow \qquad v_p(\pi) \geq \frac{1 - \frac{\mathrm{chif}(n)}{n}}{p-1} ~~v_p(\pi)~~ \mathrm{chif}(n)/n \to 0 ~~\frac{\mathrm{chif}(n)}{n} fonction décroissante~~ \mathrm{chif}(n) \leq 1sic ; sans doute \mathrm{chif}(n)/n \leq 1

de n, tous \leq 1fin d'une ligne dont le début est perdu sous un trait n = a_0 + a_1 p + \dots + a_\nu p^{\nu} \mathrm{chif}(n) = a_0 + a_1 + \dots + a_\nu si a_\nu \neq 0, on a \mathrm{chif}(n) \leq (p-1)\nu\struck{\ill{}} n \geq p^{\nu} \frac{\mathrm{chif}(n)}{n} \leq \frac{(p-1)\nu}{p^{\nu}} \to 0

donc v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \geq 0 \ \text{pour tout } n \iff v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) > 0 \ \text{pour tout } n \iff v_p(\pi) \geq \frac{1}{p-1} \quad \text{i.e.} \quad \pi^{p-1} \in pV les deux membres extrêmes sont encadrés (p-1)\,v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) = n\big[(p-1)v_p(\pi) - 1\big] + \mathrm{chif}(n) si v_p(\pi) = \frac{1}{p-1}, c'est \mathrm{chif}(n), qui ne tend pas vers +\infty ; si v_p(\pi) > \frac{1}{p-1}, on trouve \underline{\alpha n + \mathrm{chif}(n)} \alpha > 0, qui tend vers \infty n\Big(\alpha + \frac{\mathrm{chif}(n)}{n}\Big) \sim \alpha n Donc ~~condition~~ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \to +\infty \iff v_p(\pi) > \frac{1}{p-1} \quad \text{i.e.} \quad p = \text{unit}\cdot\pi^{r}, \ \text{avec } r < p-1 les deux membres sont encadrés

Frobenius

le titre est de sa main, sur la chemise qui précède, page 14 ; la chemise elle-même ne porte rien d'autre

Général nonsens sur Frobenius

1) Soit

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "F_X"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "g"] \\ Y \arrow[r, "F_Y"] & Y \end{tikzcd}

un diagramme commutatif, de topos. Si E est un faisceau d'ens sur X, on a ~~(sous des conditions )~~ un homomorphisme de changement de base (1.1) \qquad c_E : F_Y^{*}(g_*(E)) \longrightarrow g_*(F_X^{*}(E)) Si donc on se donne un homomorphisme (1.2) \qquad F_E : F_X^{*}(E) \longrightarrow E on en conclut g_*(F_E) : g_* F_X^{*} E \longrightarrow g_*(E) d'où un homomorphisme composé (1.3) \qquad \struck{c_E}\; g_*(F_E) \circ c_E : F_Y^{*}(g_*(E)) \longrightarrow g_*(E) ~~En d'autres termes, on~~ Si E faisceau de et (1.2) hom. de tels, alors (1.3) aussi, car (1.1) l'est. Faits analogues pour F dans une catégorie .

De même, considérons un faisceau G sur Y, d'où un isom (1.4) \qquad c^{G} : F_X^{*}(g^{*}(G)) \xrightarrow{\;\sim\;} g^{*}(F_Y^{*}(G)) d'où, si on se donne un homomorphisme (1.5) \qquad F_G : F_Y^{*}(G) \longrightarrow G d'où g^{*}(F_G) : g^{*}F_Y^{*}(G) \longrightarrow g^{*}(G) , un homomorphisme composé (1.6) \qquad g^{*}(F_G) \circ c^{G} : F_X^{*}(g^{*}(G)) \longrightarrow g^{*}(G)

2) Soient \alpha, \beta : X' \rightrightarrows X deux morphismes de topos. ~~Alors~~ Considérons la catégorie \mathcal{Q}(\alpha, \beta) dont les objets sont les couples (E, F_E), ~~E \in \mathrm{Ob}\,X,~~ E \in \mathrm{Ob}\,X, \qquad F_E : \alpha^{*}(E) \longrightarrow \beta^{*}(E) [resp. F_E un isom]. X' On a un foncteur « oubli » \omega : \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \longrightarrow X, \omega(E, F_E) = E.

Prop. \mathcal{Q}(\alpha, \beta) est un topos, et \omega est le foncteur image inverse d'un morphisme de topos

\omega : X \longrightarrow \mathcal{Q}(\alpha, \beta)

Considérons les composés \omega\alpha, \omega\beta. Alors on a un homomorphisme canonique (resp. isom. can.] F : \omega\beta \longrightarrow \omega\alpha dans \underline{\mathrm{Homtop}}(X, \mathcal{Q}(\alpha, \beta))sic ; on attend X' à la place de X.

Pour tout topos Y, considérons la catégorie \underline{\mathrm{Homtop}}(X, \alpha, \beta ; Y) des ~~foncteurs~~ couples (\varphi, f) d'un morphisme de topos \varphi : X \to Y et d'un f : \varphi\beta \longrightarrow \varphi\alpha [qui se à l'aide de \underline{\mathrm{Hom}}\struck{\mathrm{top}}(X, Y) \rightrightarrows \underline{\mathrm{Homtop}}(X', Y)]le crochet est serré dans la marge droite ; le verbe entre « qui se » et « à l'aide de » ne se lit pas. Alors le foncteur évident g \longmapsto (g \circ \omega,\; g * F) \;:\; \underline{\mathrm{Homtop}}(\mathcal{Q}(\alpha, \beta), Y) \longrightarrow \underline{\mathrm{Homtop}}(X, \alpha, \beta ; Y)

Ce foncteur est une équivalence de catégories.

Pour prouver que \mathcal{Q} est un topos, le est on voit qu'il admet une petite famille génératrice (il est évident que \mathcal{Q} satisfait les conditions de Giraud a) b) c), et que exact et commute aux lim). Dans le cas resp., \mathcal{Q} s'interprète comme la catégorie des sections cartésiennes d'un topos fibré \mathbb{F} sur un topos il dessine ici deux points x', x avec deux flèches \alpha, \beta de x' vers x, \mathbb{F}_{x'} = X', \mathbb{F}_x = X, associés aux changements de base \alpha^{*}, \beta^{*}, et appliquer SGA 4 I 9.25. Dans le cas non resp., on considère ~~topos~~ catégorie fibrée \mathbb{F} sur un diagramme dans la marge : x' \to x par u, x' \to x'_1 par f, x'_1 \to x par v, avec la mention « associés aux changements de base u », le tout encadré ; « à vérifier » dans la marge de gauche que les arguments de SGA 4 I 9.21 et suivants donnent le résultat …

Prenons le cas où X' = X, \beta = \mathrm{id}, donc où \mathcal{Q}(\alpha, \beta) = \struck{\ill{}} la catégorie des couples (E, F_E), F_E : \alpha^{*}(E) \to E.le paragraphe est encadré

La ~~catégorie~~ topos \mathcal{Q}(\alpha, \beta) dépend « fonctoriellement » de \alpha, \beta : X' \rightrightarrows X, de façon précise, si on a un diagramme

\begin{tikzcd} X' \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "u_1"'] & X \arrow[d, "u_0"] \\ Y' \arrow[r, "\lambda"] & Y \end{tikzcd}

les deux flèches horizontales sont doubles sur la page, \alpha, \beta en haut et \lambda, \mu en bas ; le rendu n'en trace qu'une par ligne

commutatif à isom. près, on a (p. ex. : l'un des morphisme de topos ~~foncteurs~~ de caractérisations universelles de )une parenthèse interlinéaire, serrée, dont seuls ces mots se lisent \mathcal{Q}(u) : \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \longrightarrow \mathcal{Q}(\lambda, \mu) avec transitivités, rendant commutatif (à isom. can. près) le diagramme

\begin{tikzcd} X \arrow[r, "\omega_X"] \arrow[d, "u_0"'] & \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \arrow[d, "\mathcal{Q}(u) = v"] \\ Y \arrow[r, "\omega_Y"] & \mathcal{Q}(\lambda, \mu) \end{tikzcd}

d'ailleurs les foncteurs essentiellement comme interprète le cas \struck{\alpha'}\,X' = X, Y' = Y, \struck{\alpha}\,\beta = \mathrm{id}_X, \mu = \mathrm{id}_Y, \alpha = F_X, \lambda = F_Y, et on commutatif comme dessus …

Revenons au cas général. Si \mathbb{E} = (E, F_E) est un objet de \mathcal{Q}(\alpha, \beta), i.e. des « des chgt. de base », \mathcal{Q}(u_0)_* et \mathcal{Q}(u_0)^{*} s'explicitent comme au n° 1, les lignes interlinéaires qui suivent, entre « comme au n° 1 » et « Revenons », sont une variante serrée que le crayon ne laisse pas lire

Revenons au cas on de \mathcal{Q}(\alpha, \beta), i.e. \omega_X^{*}(R^{i}v_*(\mathbb{E})) \longrightarrow R^{i}u_{0*}(\omega_X^{*}(\mathbb{E})) = R^{i}u_{0*}(E) , et on aimerait savoir que ce sont des isoms, sachant que c'est le cas pour i = 0. On est obligé pratiquement d'établir que objetslu « objets » ; le mot est serré injectifs de \mathcal{Q}(\alpha, \beta) que si \mathbb{E} = (E, F_E) est un faisceau injectif de \mathcal{Q}(\alpha, \beta), alors E est un faisceau acyclique pour u_{0*} (SGA 4 V ). Il suffit pour ceci que \alpha et \beta commutent aux produits infinis (i.e. \alpha_!, \beta_! existent)

auquel cas il en est de même de \omega_X i.e. \omega_{X!} le feuillet ne porte que cette ligne, qui clôt la page 18 ; la fin de la ligne est perdue à la marge droite

la page 20 est une chemise de sa main qui nomme le dossier suivant, « Fil. de De Rham (à puissances divisées) » ; le dossier lui-même commence au lot 2