Cote n° 5, pages 1–20 — Transcription

Cote n° 5 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Cristaux et cohomologie de De Rham : généralités, correspondances Deligne et Berthelot (1965-1969) : notes manuscrites (s.d.), lettre (1965).
Datation de l’inventaire : 1965-1969
Édition de démonstration

Les topos attachés à $X$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & X_{\mathrm{zar}} \arrow[dll] \arrow[drr] & & \\
X_{\mathrm{conn}} \arrow[rrrr, dashed] \arrow[drr, "\text{équiv. en car. } 0"] \arrow[dd, "\text{équiv. si } X/S \text{ lisse}"'] & & & & X_{\mathbb{P}\mathrm{-conn}} \arrow[dll, dashed] \arrow[dd, "\text{équiv. si } X/p \text{ lisse}"] \\
 & & X_{\mathrm{strat}} \arrow[dd] & & \\
X_{\mathrm{cris}} \arrow[rrrr, dashed] \arrow[drr] \arrow[ddrr] & & & & X_{\mathbb{P}\mathrm{-cris}} \arrow[dll, dashed] \arrow[ddll] \\
 & & X_{\mathrm{inf}} \arrow[d] & & \\
 & & X_{\mathrm{zar}} & &
\end{tikzcd}

le diagramme occupe la moitié supérieure du feuillet ; les flèches en tirets sont en tirets sur la page. Une accolade à droite du diagramme porte : « morphismes de topos annelés [$\dashrightarrow$ définis si $X$ de torsion sur $\mathbb{Z}$] ». Le label de la flèche verticale de droite est lu « équiv. si $X/p$ lisse », celui de gauche « équiv. si $X/S$ lisse ». Un trait fin, sans pointe visible, descend en outre de $X_{\mathrm{zar}}$ (en haut) vers $X_{\mathrm{inf}}$ ; il n'est pas rendu comme flèche

NB $S$ sous-entendu dans notations.

détermination des points de ces topos ?

Les flèches à valeurs dans $X_{\mathrm{zar}}$ donnent lieu à des isomorphismes de localisation zariskienne, resp. des suites spectrales intéressantes.

Les flèches en provenance de $X_{\mathrm{zar}}$ donnent lieu à une suite exacte \[ \cdot \longrightarrow J \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}} \longrightarrow \underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}_0} \longrightarrow \cdot \] dire que $\mathrm{Mod}(X_{\mathrm{zar}}) \xrightarrow{\;\approx\;} \mathrm{Mod}(\underline{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}_0})$la note est reliée par un trait à la suite exacte

Pour un Module inversible $\underline{L}$ sur $X_{\mathrm{zar}}$, on définit une classe de Chern $c'(\underline{L})$lu $c'$ ; peut-être $c^{1}$ dans $H^2(X_{\mathrm{cris}})$ et $H^2(X_{\mathbb{P}\mathrm{-cris}})$, qui sont compatibles si $X$ de torsion. Sur $X_{\mathrm{cris}}$, son annulation est NS pour que $\underline{L}$ provienne d'un Module inversible sur $X_{\mathrm{cris}}$ [donc dans le cas relatif lisse, d'un qu'il admette une connexion intégrable].

L'algèbre artinienne universelle à puissances divisées $\nu$-nilpotentes

$W$ vecteurs de Witt sur corps parfait $k$.

$\nu \geq 1$ entier.

On s'intéresse à la catégorie des algèbres anneaux artiniens sur augmentés vers de corps rés. $k$, à idéal maximal muni de puiss. divisées $\nu$-nilpotentes. On va construire un objet initial de cette catégorie.

Pour ceci, on note que les $\Lambda$ sont des algèbres sur $W$ (Cohen), et que l'élément $\lambda_0 = p \in W$ s'envoie dans $\mathfrak{r}\Lambda$la lettre devant $\Lambda$ est lue comme un $\mathfrak{r}$, le radical. Donc $\Lambda$ reçoit \[ W^{(\nu)} = W[\Lambda_0, \dots, \Lambda_\nu] \Big/ \Big(\Lambda_0^{p} - p!\,\Lambda_1,\; \Lambda_1^{p} - \frac{p^2!}{(p!)^{p}}\,\Lambda_2,\; \dots,\; \Lambda_{\nu-1}^{p} - \frac{p^{\nu}!}{(p^{\nu-1}!)^{p}}\,\Lambda_\nu,\; \Lambda_\nu^{p} \;;\; \Lambda_0 - \struck{p}\lambda_0\Big) \] [$W$-algèbre […] avec idéal $J = (\Lambda_0, \dots, \Lambda_\nu)$ à puiss. div. $\nu$-nilpotentes, universel pour les algèbres sur $W$, avec idéal à puiss divisées $\nu$-nilpotentes contenant l'image de $\lambda_0$]. NB. $\Lambda_\nu = \gamma^{p^{\nu}}(\Lambda_0)$ ; on utilise le fait que dans $W$ les nbs premiers $\ell \neq p$ sont inversibles.

Or […] on voit tout de suite que $W^{(\nu)}$ est artinien [l'idéal maximal étant précisément $J$]ajout interlinéaire de sa main de corps résiduel $k$, (ceci est vrai avant d'ajouter la relation $\Lambda_0 - \lambda_0$), […]

On va calculer explicitement $W^{(\nu)}$. Pour ceci, […] on commence par l'anneau plus simple \[ A^{(\nu)} = W[\Lambda_0, \dots, \Lambda_\nu] \big/ \big(\Lambda_0^{p} - p!\,\Lambda_1,\; \dots,\; \Lambda_\nu^{p}\big) \] (on oublie la relation $\Lambda_0 - \lambda_0$). On pose aussi \[ \lambda_r = \frac{p^{p^{r}}}{p^{r}!} = \gamma^{p^{r}}_{\text{habituel}}(p) \] et on pose \[ \Lambda_i = \lambda_i + \Theta_i \qquad 0 \leq i \leq \nu . \] Par abus de […], on désigne […] par $\Lambda_i$, $\Theta_i$ les images de $\Lambda_i$, $\Theta_i$ dans $A^{(\nu)}$. Alors $A^{(\nu)}$ a une

base sur $W$ formée des \[ \Theta_0^{a_0} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu}, \qquad 0 \leq a_i \leq p-1 \quad \text{pour } i = 0, \dots, \nu . \]

Il faut maintenant diviser par l'idéal $I$ engendré par $\Theta_0$. On a le

Lemme Pour que $\displaystyle\sum_{\substack{a = (a_0, \dots, a_\nu) \\ 0 \leq a_i \leq p-1}} w_a\, \Theta_0^{a_0} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu}$ soit dans l'idéal engendré par $\Theta_0$, il faut et il suffit que

a) pour tout $a = (a_0, \dots, a_\nu)$, si [$a \neq 0$ et si]ajout interlinéaire de sa main $a_i$ est la première composante non nulle de $a$, on ait […] $w_a \in p^{i} W$

b) le coefficient $w_0$ de $1$ soit dans $p^{c(\nu)} W$, où \[ c(\nu) = \nu + p\,\big[\,p^{\nu} - (p^{\nu-1} + p^{\nu-2} + \dots + 1)\,\big] \]

Dém. Condition suffisante Résulte des relations \[ \begin{cases} p^{i}\,\Theta_i \in I \\ p^{c(\nu)} \in I \end{cases} \] La première relation par récurrence sur $i \geq 0$. Si $i = \nu$sic ; on attend $i = 0$ […] trivial, i.e. $\Theta_0 \in I$. Supposons […] $p^{i}\Theta_i \in I$ ($i \leq \nu - 1$) on utilise \[ (\Theta_i + \lambda_i)^{p} = \frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,(\Theta_{i+1} + \lambda_{i+1}) , \] […] \[ \struck{\ill{}} \sum_{\alpha=1}^{p-1} C_p^{\alpha}\,\Theta_i^{\alpha}\lambda_i^{p-\alpha} = \Big( -\lambda_i^{p} + \frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\struck{\Theta_{i+1}} + \frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\Theta_{i+1} \Big) \] un trait diagonal barre une partie du membre de droite ; le terme barré est lu $\Theta_{i+1}$ et devait être $\lambda_{i+1}$ multipliant par $p^{i}$, […] $p^{i}\Theta_i \in I$ donc $p^{i}\Theta_i^{\alpha} = 0$ si $\alpha \geq 1$ : \[ p^{i}\,\frac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\Theta_{i+1} = 0 \] or on constate que $v_p\Big(\dfrac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\Big) = 1$

donc les relations précédentes équivalent à \[ p^{i+1}\,\Theta_{i+1} = 0 . \] On a donc prouvé les relations $p^{i}\Theta_i = 0$. Pour la dernière relation, on écrit \[ (\lambda_\nu + \Theta_\nu)^{p} = 0 \quad \text{i.e.} \quad \lambda_\nu^{p} + \sum_{i=1}^{p} C_i^{p}\,\Theta_\nu^{i}\lambda_\nu^{p-i} = 0 \] Multiplions par $p^{\nu}$ et utilisons que $p^{\nu}\Theta_\nu \in I$ donc $p^{\nu}\Theta_\nu^{\alpha} \in I$ si $\alpha \geq 1$, on trouve \[ p^{\nu}\lambda_\nu^{p} \in I \] Or […] \[ v_p(p^{\nu}\lambda_\nu^{p}) = \nu + p\,v_p(\lambda_\nu) = \nu + p\Big(p^{\nu} - \frac{p^{\nu}-1}{p-1}\Big) = c(\nu) \] sous $\lambda_\nu$ il rappelle $\lambda_\nu = p^{p^{\nu}}/p^{\nu}!$

Pour prouver que la condition est nécessaire, il suffit de noter que l'ensemble $I'$ formé des éléments satisfaisant les cond. a) b) données (qui satisfont $I' \subset I$, $\Theta_0 \in I'$) est bien un idéal, i.e. […] (comme c'est un sous-$W$-module) est stable par multiplication par $\Theta_0, \dots, \Theta_\nu$. La vérification est facile et laissée au lecteur. !

Corollaire Soit, pour tout $i$, $E_i$ un syst. de représentants de $W/p^{i}W$. Alors un élément de $W^{(\nu)}$ s'écrit de façon unique sous la forme \[ \sum w_{a_1, \dots, a_\nu}\, \dot{\Theta}_1^{a_1} \cdots \dot{\Theta}_\nu^{a_\nu} \qquad 0 \leq a_i \leq p-1 \quad (1 \leq i \leq \nu) \] avec \[ \begin{cases} w_{a_1, \dots, a_\nu} \in E_i \quad \text{si $a_i$ est la première coordonnée non nulle de } (a_1, \dots, a_\nu) \\ w_0 \in E_{c(\nu)} \end{cases} \]

le feuillet reprend la seconde ligne de l'accolade, $w_0 \in E_{c(\nu)}$, qui clôt le corollaire de la page 6

Lemme Soit $1 \leq r \leq \nu$, et soit $W^{(\nu, r)}$ le quotient de $W^{(\nu)}$ par $\dot{\Theta}_1, \dots, \dot{\Theta}_r$. Alors les Soit $A$ $I_{\nu, r}$ l'idéal de $A^{(\nu)}$ engendré par $\Theta_0, \dots, \Theta_r$, de sorte que $A^{(\nu)}/I_{\nu, r} \simeq W^{(\nu, r)}$. Pour que $\sum w_a\,\Theta_0^{a_0} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu}$ soit dans $I_{\nu, r}$, il f. et s. que

a) pour tout $a = (a_0, \dots, a_\nu) \neq 0$, […] $(\alpha,\ 1 \leq \alpha \leq \nu - r,\ \ill{})$ si $a_i$ est la première composante non nulle et si $i > r$, on ait […] $w_a \in p^{i-r} W$

b) on ait $w_0 \in p^{c(\nu) - r} W$

Cor. Forme normale d'un élément de $W^{(\nu, r)}$ : \[ \sum w_{a_{r+1}, \dots, a_\nu}\, \Theta_{r+1}^{a_{r+1}} \cdots \Theta_\nu^{a_\nu} \] avec \[ \begin{cases} w_{a_{r+1}, \dots, a_\nu} \in E_i\struck{\ill{}} \quad \text{si $a_{r+i}$ est le premier des $a_\alpha$ qui est } \neq 0 \\ w_0 \in E_{c(\nu) - r} \end{cases} \]

$W$ vecteurs de Witt

$\Lambda_0 \cdots \Lambda_\nu$ indéterminées, liées par \[ \begin{cases} \Lambda_i^{p} = \dfrac{p^{i+1}!}{(p^{i}!)^{p}}\,\Lambda_{i+1} & \text{si } 0 \leq i \leq \nu - 1 \\[6pt] \Lambda_\nu^{p} = 0 \end{cases} \] Ceci implique \[ \Lambda_0^{a_0} \cdots \Lambda_\nu^{a_\nu} = 0 \quad \text{si} \quad \sum a_i p^{i} \geq p^{\nu+1} \qquad (a_i \geq 0) \]

Comme Dém Récurrence sur les $\sum a_i$, […] si $\sum a_i = 0$ […]deux lignes biffées et surchargées ; seule leur armature se lit Si tous les $a_i$ sont $\leq p-1$, c'est ok, car $\sum a_i p^{i} \leq p^{\nu+1}$ […]. Supposons que $a_i \geq p$, donc […]la note est encadrée à droite, avec un renvoi vers le $\sum a_i p^{i} \geq p^{\nu+1}$ de l'énoncé

Lemme \[ \Lambda_0^{a_0}\Lambda_1^{a_1} \cdots \Lambda_\nu^{a_\nu} = c\,\Lambda_0^{b_0} \cdots \Lambda_{\nu-1}^{b_{\nu-1}}\Lambda_\nu^{b_\nu}, \qquad c \in W, \] avec $0 \leq b_i \leq p-1$ pour $0 \leq i \leq \nu - 1$, $b_\nu$ ce qu'il faut, et \[ \sum_0^{\nu} a_i p^{i} = \sum_0^{\nu} b_i p^{i} . \] Pour le voir, on procède par récurrence […] transformer l'expression en une autre […] tous les $a_\alpha \leq p-1$ […] $\alpha \leq i-1$ ($i \leq \nu - 1$) […] $\sum a_\alpha p^{\alpha}$ […] Donc […]trois lignes biffées. Donc si […] $a_i \geq p$, on écrit $a_i = p q_i + a'_i$, d'où \[ \Lambda_i^{a_i} = (\Lambda_i^{p})^{q_i}\,\Lambda_i^{a'_i} = (c_i\Lambda_{i+1})^{q_i}\,\Lambda_i^{a'_i} = c\,\Lambda_{i+1}^{q_i}\,\Lambda_i^{a'_i} \] les exposants de cette ligne sont écrits petit et se lisent mal ; ils sont restitués d'après $a_i = pq_i + a'_i$ donc \[ \Lambda_0^{a_0} \cdots \Lambda_\nu^{a_\nu} = c\,\Lambda_0^{a_0} \cdots \Lambda_i^{a'_i}\,\Lambda_{i+1}^{a_{i+1} + q_i}\,\Lambda_{i+2}^{a_{i+2}} \cdots , \] et évidemment on a \[ \sum a_i p^{i} = \sum a'_i p^{i} , \] car $a'_i p^{i} +$ \[ a'_i p^{i} + (a_{i+1} + q_i)\,p^{i+1} = \underbrace{(a'_i + q_i p)}_{a_i}\,p^{i} + a_{i+1}\,p^{i+1} \] OK.les deux dernières lignes sont soulignées d'un double trait Or si $\sum b_i p^{i} \geq p^{\nu+1}$, alors […] cela donne $b_\nu \geq p$, donc $\Lambda_\nu^{b_\nu}$ est un multiple de $\Lambda_\nu^{p}$, or $\Lambda_\nu^{p} = 0$. OK.

demi-feuillet écrit en travers ; il calcule $v_p(n!)$ en base $p$. Il écrit $v_p(p)$, $v_p(p^{2})$, … pour $v_p(p!)$, $v_p(p^{2}!)$, … dans la colonne de gauche ; la transcription garde sa graphie \[ v_p(n!) = a_\nu\,v_p(p^{\nu}!) + \dots + a_{\mu+1}\,v_p(p^{\mu+1}!) \] \[ - v_p(p^{\mu+1}!) + (\mu+1) + (p-1)\big[\,v_p(p^{\mu}!) + \dots + v_p(p)\,\big] \] le second membre est souligné d'une accolade portant un $p^{\mu}$ biffé ; le lien entre les deux lignes n'est pas écrit

\[ v_p(1) = 0 \] \[ v_p(p) = 1 + (p-1)\cdot 0 = 1 \] \[ v_p(p^{2}) = 2 + (p-1)\cdot 1 = p+1 \] \[ v_p(p^{3}) = 3 + \struck{(p-1)}(p+2)\struck{+1} = p^{2} + p + 1 \] \[ v_p(p^{4}) = 4 + (p-1)\big[p^{2} + 2p + 3\big] = 4 + p^{3} + 2p^{2} + 3p - p^{2} - 2p - 3 = \struck{1+}\,p^{3} + p^{2} + p + 1 \] \[ v_p(p^{\nu}) = p^{\nu-1} + p^{\nu-2} + \dots + 1 = \frac{p^{\nu} - 1}{p - 1} \] \[ v_p(p^{\nu+1}) = \nu + 1 + (p-1)\big[p^{\nu-1} + 2p^{\nu-2} + 3p^{\nu-3} + \dots + \nu p^{0}\big] \] \[ = \nu + 1 + p^{\nu} + 2p^{\nu-1} + 3p^{\nu-2} + \dots + \nu p - p^{\nu-1} - 2p^{\nu-2} - \dots - (\nu-1)p - \nu \] \[ = p^{\nu} + p^{\nu-1} + \dots + p + 1 \] \[ \sum a_\nu\,(p^{\nu-1} + p^{\nu-2} + \dots + 1) \] \[ a_1 + a_2(p+1) + a_3(p^{2} + p + 1) + a_4(p^{3} + p^{2} + p + 1) + \dots \] cette ligne est encadrée ; sous elle, $a_1 + p a_2 \to + p^{2} a_3$ et un $p$ isolé \[ v_p(n!)(p-1) = a_1(p-1) + a_2(p^{2}-1) + \dots + a_\nu(p^{\nu} - 1) = n - a_0 - a_1 - \dots - a_\nu \] \[ \boxed{\;v_p(n!) = \frac{n - \sum a_i}{p - 1}\;} \] la formule est encadrée deux fois

\[ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \geq 0 \quad \text{pour tout } n \ \ill{} \] \[ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \to +\infty \quad \text{pour } n \to +\infty \] $(p-1)$ \[ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) = \struck{(p-1)}\; n\,v_p(\pi) - \frac{n - \mathrm{chif}(n)}{p-1} \geq 0 \] \[ \Updownarrow \qquad v_p(\pi) \geq \frac{1 - \frac{\mathrm{chif}(n)}{n}}{p-1} \] $v_p(\pi)$ $\mathrm{chif}(n)/n \to 0$ $\frac{\mathrm{chif}(n)}{n}$ fonction décroissante $\mathrm{chif}(n) \leq 1$sic ; sans doute $\mathrm{chif}(n)/n \leq 1$

de $n$, tous $\leq 1$fin d'une ligne dont le début est perdu sous un trait \[ n = a_0 + a_1 p + \dots + a_\nu p^{\nu} \] \[ \mathrm{chif}(n) = a_0 + a_1 + \dots + a_\nu \] si $a_\nu \neq 0$, on a […] \[ \mathrm{chif}(n) \leq (p-1)\nu\struck{\ill{}} \] \[ n \geq p^{\nu} \] \[ \frac{\mathrm{chif}(n)}{n} \leq \frac{(p-1)\nu}{p^{\nu}} \to 0 \]

donc \[ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \geq 0 \ \text{pour tout } n \iff v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) > 0 \ \text{pour tout } n \iff v_p(\pi) \geq \frac{1}{p-1} \quad \text{i.e.} \quad \pi^{p-1} \in pV \] les deux membres extrêmes sont encadrés \[ (p-1)\,v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) = n\big[(p-1)v_p(\pi) - 1\big] + \mathrm{chif}(n) \] si $v_p(\pi) = \frac{1}{p-1}$, c'est $\mathrm{chif}(n)$, qui ne tend pas vers $+\infty$ ; si $v_p(\pi) > \frac{1}{p-1}$, on trouve $\underline{\alpha n + \mathrm{chif}(n)}$ [$\alpha > 0$], qui tend vers $\infty$ \[ n\Big(\alpha + \frac{\mathrm{chif}(n)}{n}\Big) \sim \alpha n \] Donc condition \[ v_p\Big(\frac{\pi^{n}}{n!}\Big) \to +\infty \iff v_p(\pi) > \frac{1}{p-1} \quad \text{i.e.} \quad p = \text{unit}\cdot\pi^{r}, \ \text{avec } r < p-1 \] les deux membres sont encadrés

Frobenius

le titre est de sa main, sur la chemise qui précède, page 14 ; la chemise elle-même ne porte rien d'autre

Général nonsens sur Frobenius

1) Soit

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\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "F_X"] \arrow[d, "g"'] & X \arrow[d, "g"] \\
Y \arrow[r, "F_Y"] & Y
\end{tikzcd}

un diagramme commutatif, […] de topos. Si $E$ est un faisceau d'ens sur $X$, on a (sous des conditions […]) […] un homomorphisme de changement de base \[ (1.1) \qquad c_E : F_Y^{*}(g_*(E)) \longrightarrow g_*(F_X^{*}(E)) \] Si donc on se donne un homomorphisme \[ (1.2) \qquad F_E : F_X^{*}(E) \longrightarrow E \] on en conclut \[ g_*(F_E) : g_* F_X^{*} E \longrightarrow g_*(E) \] d'où un homomorphisme composé \[ (1.3) \qquad \struck{c_E}\; g_*(F_E) \circ c_E : F_Y^{*}(g_*(E)) \longrightarrow g_*(E) \] En d'autres termes, on […] Si $E$ faisceau de […] et (1.2) hom. de tels, alors (1.3) aussi, car (1.1) l'est. Faits analogues pour $F$ dans une catégorie […].

De même, considérons un faisceau $G$ sur $Y$, d'où un isom \[ (1.4) \qquad c^{G} : F_X^{*}(g^{*}(G)) \xrightarrow{\;\sim\;} g^{*}(F_Y^{*}(G)) \] d'où, si on se donne un homomorphisme \[ (1.5) \qquad F_G : F_Y^{*}(G) \longrightarrow G \] d'où \[ g^{*}(F_G) : g^{*}F_Y^{*}(G) \longrightarrow g^{*}(G) , \] un homomorphisme composé \[ (1.6) \qquad g^{*}(F_G) \circ c^{G} : F_X^{*}(g^{*}(G)) \longrightarrow g^{*}(G) \]

2) Soient \[ \alpha, \beta : X' \rightrightarrows X \] deux morphismes de topos. Alors Considérons la catégorie $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$ dont les objets sont les couples $(E, F_E)$, $E \in \mathrm{Ob}\,X$, \[ E \in \mathrm{Ob}\,X, \qquad F_E : \alpha^{*}(E) \longrightarrow \beta^{*}(E) \] [resp. $F_E$ un isom]. […] $X'$ […] On a un foncteur « oubli » $\omega : \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \longrightarrow X$, $\omega(E, F_E) = E$.

Prop. $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$ est un topos, et $\omega$ est le foncteur image inverse d'un morphisme de topos

\[ \omega : X \longrightarrow \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \]

Considérons les composés $\omega\alpha$, $\omega\beta$. Alors on a un homomorphisme canonique (resp. isom. can.] \[ F : \omega\beta \longrightarrow \omega\alpha \] [dans] $\underline{\mathrm{Homtop}}(X, \mathcal{Q}(\alpha, \beta))$sic ; on attend $X'$ à la place de $X$.

Pour tout topos $Y$, considérons la catégorie $\underline{\mathrm{Homtop}}(X, \alpha, \beta ; Y)$ des foncteurs couples $(\varphi, f)$ d'un morphisme de topos $\varphi : X \to Y$ et d'un \[ f : \varphi\beta \longrightarrow \varphi\alpha \] [qui se […] à l'aide de $\underline{\mathrm{Hom}}\struck{\mathrm{top}}(X, Y) \rightrightarrows \underline{\mathrm{Homtop}}(X', Y)$]le crochet est serré dans la marge droite ; le verbe entre « qui se » et « à l'aide de » ne se lit pas. Alors le foncteur évident \[ g \longmapsto (g \circ \omega,\; g * F) \;:\; \underline{\mathrm{Homtop}}(\mathcal{Q}(\alpha, \beta), Y) \longrightarrow \underline{\mathrm{Homtop}}(X, \alpha, \beta ; Y) \]

Ce foncteur est une équivalence de catégories.

Pour prouver que $\mathcal{Q}$ est un topos, le […] est […] on voit qu'il admet une petite famille génératrice (il est évident que $\mathcal{Q}$ satisfait les conditions de Giraud a) b) c), et que […] exact […] et commute aux lim). Dans le cas resp., $\mathcal{Q}$ s'interprète comme la catégorie des sections cartésiennes d'un topos fibré $\mathbb{F}$ […] sur un topos […]il dessine ici deux points $x'$, $x$ avec deux flèches $\alpha$, $\beta$ de $x'$ vers $x$, $\mathbb{F}_{x'} = X'$, $\mathbb{F}_x = X$, [associés aux] changements de base $\alpha^{*}$, $\beta^{*}$, et […] appliquer SGA 4 I 9.25. Dans le cas non resp., on considère topos […] catégorie fibrée $\mathbb{F}$ […] sur […]un diagramme dans la marge : $x' \to x$ par $u$, $x' \to x'_1$ par $f$, $x'_1 \to x$ par $v$, avec la mention « associés aux changements de base $u$ », le tout encadré ; « à vérifier » dans la marge de gauche que les arguments de SGA 4 I 9.21 et suivants donnent le résultat …

Prenons le cas où $X' = X$, $\beta = \mathrm{id}$, donc où $\mathcal{Q}(\alpha, \beta) = \struck{\ill{}}$ la catégorie des couples $(E, F_E)$, $F_E : \alpha^{*}(E) \to E$.le paragraphe est encadré

La catégorie topos $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$ dépend « fonctoriellement » de $\alpha, \beta : X' \rightrightarrows X$, de façon précise, si on a un diagramme

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\begin{tikzcd}
X' \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "u_1"'] & X \arrow[d, "u_0"] \\
Y' \arrow[r, "\lambda"] & Y
\end{tikzcd}

les deux flèches horizontales sont doubles sur la page, $\alpha, \beta$ en haut et $\lambda, \mu$ en bas ; le rendu n'en trace qu'une par ligne

commutatif à isom. près, on a […] (p. ex. : l'un des […] morphisme de topos foncteurs […] de […] caractérisations universelles de […])une parenthèse interlinéaire, serrée, dont seuls ces mots se lisent \[ \mathcal{Q}(u) : \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \longrightarrow \mathcal{Q}(\lambda, \mu) \] avec transitivités, […] rendant commutatif (à isom. can. près) le diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\omega_X"] \arrow[d, "u_0"'] & \mathcal{Q}(\alpha, \beta) \arrow[d, "\mathcal{Q}(u) = v"] \\
Y \arrow[r, "\omega_Y"] & \mathcal{Q}(\lambda, \mu)
\end{tikzcd}

d'ailleurs les foncteurs […] essentiellement […] comme […] interprète […] le cas […] $\struck{\alpha'}\,X' = X$, $Y' = Y$, $\struck{\alpha}\,\beta = \mathrm{id}_X$, $\mu = \mathrm{id}_Y$, $\alpha = F_X$, $\lambda = F_Y$, et on […] commutatif comme […] dessus …

Revenons au cas général. Si $\mathbb{E} = (E, F_E)$ est un objet de $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$, i.e. des « […] […] des chgt. de base », $\mathcal{Q}(u_0)_*$ et $\mathcal{Q}(u_0)^{*}$ s'explicitent comme au n° 1, […] […] […]les lignes interlinéaires qui suivent, entre « comme au n° 1 » et « Revenons », sont une variante serrée que le crayon ne laisse pas lire

Revenons au cas […] on […] de $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$, i.e. […] \[ \omega_X^{*}(R^{i}v_*(\mathbb{E})) \longrightarrow R^{i}u_{0*}(\omega_X^{*}(\mathbb{E})) = R^{i}u_{0*}(E) , \] et on aimerait savoir que ce sont des isoms, sachant que c'est le cas pour $i = 0$. On est obligé pratiquement d'établir que […] objetslu « objets » ; le mot est serré injectifs de $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$ […] que […] si $\mathbb{E} = (E, F_E)$ est un faisceau injectif de $\mathcal{Q}(\alpha, \beta)$, alors $E$ est un faisceau acyclique [pour] $u_{0*}$ (SGA 4 V […]). Il suffit pour ceci que $\alpha$ et $\beta$ commutent aux produits infinis (i.e. $\alpha_!$, $\beta_!$ existent)

auquel cas il en est de même de $\omega_X$ i.e. $\omega_{X!}$ […]le feuillet ne porte que cette ligne, qui clôt la page 18 ; la fin de la ligne est perdue à la marge droite

la page 20 est une chemise de sa main qui nomme le dossier suivant, « Fil. de De Rham (à puissances divisées) » ; le dossier lui-même commence au lot 2

Les topos attachés à \(X\)

L'algèbre artinienne universelle à puissances divisées \(\nu\)-nilpotentes

Frobenius