sur toute la suite il écrit A' pour le schéma abélien dual et A_{0}, A'_{0} pour les fibres en un point. Le foncteur de Picard est tantôt indicé A/S, tantôt X/S, sans qu'aucune distinction ne paraisse voulue : les deux lettres désignent le même schéma abélien et le X est laissé tel quel là où il paraît

Théorème Soit A un schéma abélien projectif sur S. Alors \mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S} \mathrm{Pic}^{0}_{A/S} est un schéma abélien sur S, ouvert et fermé dans \mathrm{Pic}_{A/S}, ayant même dimension relative sur S que A.

Comme A est simple sur S et que les fibres ont des Nér.-Sév. sans torsion, on sait que \mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S} est propre sur S, et fermé dans \mathrm{Pic}_{A/S}. Il est en tous cas ouvert dans \mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}. Il reste à montrer qu'il est simple sur S (on sait déjà que ses fibres sont universellement connexes), et la bonne dimension.

Soit donc L un Module ample sur A rel. S, il définit une section s de \mathrm{Pic}_{A/S} sur S, et un morphisme

P = s + \mathrm{Pic}^{0}_{A/S} \subset \mathrm{Pic}_{A/S}. Et un morphisme

deux lignes biffées d'un trait continu ; la seconde se laisse lire en partie, la première pas

\varphi_{s} : A \longrightarrow A'\struck{^{0}} = \mathrm{Pic}^{\tau}_{X/S}

l'exposant 0 de A' est biffé, et l'indice du foncteur de Picard est bien X/S et non A/S ; voir la note d'ouverture de la page

obtenu posant \varphi_{s}(t) = \text{classe de } \tau_{t}^{*}(L)\, L^{-1}

le t en indice de \tau est souligné, comme il le fait pour une section d'un T-point

[Comme \varphi_{s} transforme section unité en section unité, c'est un hom. de schémas en groupes (cf.).] Donc L'hom. A_{0} \to A'_{0} défini par \varphi est surjectif [car le noyau est fini d'après le critère d'amplitude de Weil, d'autre part \dim A'_{0} \;\leqslant\; \dim H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) \;\leqslant\; \dim A_{0}

sous la première majoration il écrit une accolade et, dessous, « de Pic » — les deux ou trois mots qui précèdent de Pic ne se laissent pas lire ; ce qu'ils justifient est que l'espace tangent de \mathrm{Pic} à l'origine est H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}). Sous la seconde, deux lignes qui se chevauchent : « th. de Hopf + nullité de H^{i}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) pour i > \dim A_{0} » — soit l'argument classique : H^{*} est une algèbre de Hopf, donc l'algèbre extérieure sur H^{1}, et l'annulation en degré > \dim A_{0} borne \dim H^{1}

Si on ne veut pas se servir du résultat de la torsion, on trouve que \mathrm{Pic}^{\tau}_{X/S} est simple sur S \mathrm{Pic}^{0}_{A/S}, voit donc qu'il est un surjectif, et de plus plat, donc , soit le \mathrm{Pic}^{0}_{A/S} est aussi dans \mathrm{Pic}_{A/S}, c'est donc un schéma abélien sur S par le changement

cette note court en diagonale, à environ 45^{\circ}, sur toute la marge gauche du feuillet, sur une vingtaine de lignes. Elle propose une seconde route vers le théorème, qui éviterait le résultat de torsion invoqué dans le corps du texte ; c'est la seule chose que l'on puisse en affirmer. Les mots donnés au-dessus sont ceux que le feuillet soutient ; l'écriture est ici plus rapide que partout ailleurs dans le dossier et l'essentiel de la liaison est perdu