Cote n° 49 · batch 1 · pages 1–9 · Transcription · Picard des schémas abéliens : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration

Picard des schémas abéliens

titre de sa main, souligné, seul objet du premier feuillet, qui ne porte rien d'autre. Le feuillet est une chemise et ne reçoit donc pas de page, conformément à l'usage suivi depuis le dossier 29 : le saut dans la numérotation est la trace qu'il a été passé

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sur toute la suite il écrit \(A'\) pour le schéma abélien dual et \(A_{0}\), \(A'_{0}\) pour les fibres en un point. Le foncteur de Picard est tantôt indicé \(A/S\), tantôt \(X/S\), sans qu'aucune distinction ne paraisse voulue : les deux lettres désignent le même schéma abélien et le \(X\) est laissé tel quel là où il paraît

Théorème Soit \(A\) un schéma abélien projectif sur \(S\). Alors \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}\) \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\) est un schéma abélien sur \(S\), ouvert et fermé dans \(\mathrm{Pic}_{A/S}\), ayant même dimension relative sur \(S\) que \(A\).

Comme \(A\) est simple sur \(S\) et que les fibres ont des Nér.-Sév. sans torsion, on sait que \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}\) est propre sur \(S\), et fermé dans \(\mathrm{Pic}_{A/S}\). Il est en tous cas ouvert dans \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}\). Il reste à montrer qu'il est simple sur \(S\) (on sait déjà que ses fibres sont universellement connexes), et la bonne dimension.

Soit donc \(L\) un Module ample sur \(A\) rel. \(S\), il définit une section \(s\) de \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) sur \(S\), et un morphisme

[…] \(P = s + \mathrm{Pic}^{0}_{A/S} \subset \mathrm{Pic}_{A/S}\). Et […] un morphisme

deux lignes biffées d'un trait continu ; la seconde se laisse lire en partie, la première pas

\[ \varphi_{s} : A \longrightarrow A'\struck{^{0}} = \mathrm{Pic}^{\tau}_{X/S} \]

l'exposant \(0\) de \(A'\) est biffé, et l'indice du foncteur de Picard est bien \(X/S\) et non \(A/S\) ; voir la note d'ouverture de la page

obtenu posant \[ \varphi_{s}(t) = \text{classe de } \tau_{t}^{*}(L)\, L^{-1} \]

le \(t\) en indice de \(\tau\) est souligné, comme il le fait pour une section d'un \(T\)-point

[Comme \(\varphi_{s}\) transforme section unité en section unité, c'est un hom. de schémas en groupes (cf.).] Donc L'hom. \(A_{0} \to A'_{0}\) défini par \(\varphi\) est surjectif [car le noyau est fini d'après le critère d'amplitude de Weil, d'autre part \[ \dim A'_{0} \;\leqslant\; \dim H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) \;\leqslant\; \dim A_{0} \]

sous la première majoration il écrit une accolade et, dessous, […] \guillemotleft{} de Pic \guillemotright{} — les deux ou trois mots qui précèdent de Pic ne se laissent pas lire ; ce qu'ils justifient est que l'espace tangent de \(\mathrm{Pic}\) à l'origine est \(H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}})\). Sous la seconde, deux lignes qui se chevauchent : \guillemotleft{} th. de Hopf \(+\) nullité de \(H^{i}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}})\) p[ou]r \(i > \dim A_{0}\) \guillemotright{} — soit l'argument classique : \(H^{*}\) est une algèbre de Hopf, donc l'algèbre extérieure sur \(H^{1}\), et l'annulation en degré \(> \dim A_{0}\) borne \(\dim H^{1}\)

Si on ne veut pas se servir du résultat de la torsion, on trouve que \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{X/S}\) […] est simple sur \(S\) […] \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\), […] […] voit donc […] qu'il est un […] surjectif, et de plus plat, donc […], soit le […] \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\) est aussi […] dans […] \(\mathrm{Pic}_{A/S}\), c'est donc […] un schéma abélien […] sur \(S\) par le changement […]

cette note court en diagonale, à environ \(45^{\circ}\), sur toute la marge gauche du feuillet, sur une vingtaine de lignes. Elle propose une seconde route vers le théorème, qui éviterait le résultat de torsion invoqué dans le corps du texte ; c'est la seule chose que l'on puisse en affirmer. Les mots donnés au-dessus sont ceux que le feuillet soutient ; l'écriture est ici plus rapide que partout ailleurs dans le dossier et l'essentiel de la liaison est perdu

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et comme \(\dim A_{0} \leqslant \dim A'_{0}\) […] un […] général, […] on a égalité partout ; on trouve en particulier que \(A'_{0}\) est simple, et aussi \[ \dim H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) = n , \] d'où la structure totale de \(H^{*}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}})\).

Comme on vient de voir que \(A'_{0}\) est simple, on voit que pour \(\forall\, x' \in A'_{0}\), \(\exists\, x \in A_{0}\) au dessus et un homomorphisme vicinaire \(\mathcal{O}_{A'_{0}, x'} \longrightarrow \mathcal{O}_{A_{0}, x}\) injectif.

le qualificatif de l'homomorphisme n'est pas sûr ; ce que l'énoncé demande est un morphisme d'anneaux locaux injectif

Or on a le

Lemme \(X\) et \(Y\) de type fini sur \(S\) loc. noeth., \(\varphi : X \to Y\) un \(S\)-morphisme, \(s \in S\), \(y \in Y\) au dessus au dessus de \(y\), on suppose :

interlinéaire au-dessus de la ligne : \guillemotleft{} (soient \(F\), \(G\) quasi-coh. sur \(X\), \(Y\) ; \(G \to F\) un \(\varphi\)-morphisme) \guillemotright

• a)\(G\) \(F\) est plat sur \(S_{y}\) la lettre est réécrite par-dessus une autre ;
• b/\(G\) coh. ;
• c)Soit \(\varphi_{s} : X_{s} \to Y_{s}\) induit par \(\varphi\). Alors tout élément de \(G_{s}\) dont l'image inverse en les \(x \in \varphi_{s}^{-1}(y)\) s'annule […] \(G_{s} \longrightarrow \varphi_{s*}(F_{s})\) est injectif […] \(y\).

Alors \(G\) est plat sur \(S\) en \(y\).

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Cor. Main 1 \(R^{i}f_{*}(\mathcal{O}_{A})\) […] Soit coh. \(A\) plat propre […], \(f\) le \(\varphi\) morphisme de projection morphisme de projection \(A \to S\). L'application Le morphisme d'Algèbres \[ R^{*}f_{*}(\mathcal{O}_{A}) \;\simeq\; \Lambda^{*}\!\left(R^{1}f_{*}(\mathcal{O}_{A})\right) \] est un isomorphisme, et \(R^{1}f_{*}(\mathcal{O}_{A})\) est loc. libre sur \(S\), de rang égal à la dimension relative de \(A\) sur \(S\).

Dém. On sait déjà que […] quand \(S\) […] le spectre d'un corps (cf. ci-dessus). D'autre part, il est connu que […] la section unité \(\varepsilon\) implique que \[ R^{1}f_{*}(\mathcal{O}_{A}) \;=\; \mathrm{Hom}\!\left(\struck{\varepsilon^{*}(\Omega^{1}_{A/S})}\; \Omega^{1}_{\varepsilon},\; \mathcal{O}_{S}\right) \] […] loc. libre sur \(S\), et de façon plus précise que \(\mathcal{O}_{A}\) est coh. plat pour \(f\) en dim. 1.

coh. plat est son abréviation pour cohomologiquement plat, qu'il n'écrit nulle part en toutes lettres dans le dossier

Considérons le […] [diagramme] canonique :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  \Lambda^{*}\!\left(R^{1}f_{*}(\mathcal{O}_{A})\right)_{y}
    \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "\text{surj}"]
  & R^{*}f_{*}(\mathcal{O}_{A})_{y} \arrow[d] \\
  \Lambda^{*}H^{1}(X_{y}, \mathcal{O}_{X_{y}})
    \arrow[r, "\simeq"]
  & H^{*}(X_{y}, \mathcal{O}_{X_{y}})
\end{tikzcd}

la flèche du bas porte, écrit au-dessus du signe \(\simeq\), \guillemotleft{} Hopf \guillemotright{} ; c'est le théorème de structure des algèbres de Hopf graduées qui la donne. Il écrit \(X_{y}\) pour la fibre de \(A\)

[…] est […] que \[ R^{*}f_{*}(\mathcal{O}_{A})_{y} \longrightarrow H^{*}(X_{y}, \mathcal{O}_{X_{y}}) \] est surjectif, d'où le fait que \(\mathcal{O}_{A}\) est coh. plat pour \(f\). Comme \(\alpha\) est un hom. de Modules […] gradués […] isom. […] la formule […]

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réduites, c'est un isomorphisme, cqfd.

Remarque J'ignore si le corollaire vaut sans supposer \(A\) projectif sur \(S\), et comme j'ignore si \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) existe dans ce cas, et s'il est […] sur \(S\) […].

c'est la seule ligne du dossier où il dit ce qu'il ne sait pas ; la fin de la phrase, sur deux mots, ne se laisse pas lire

Corollaire 2 Si \(L\) est très ample rel. à \(S\), alors (et non seulement ample) \(\varphi_{L} : A \longrightarrow A'\) est un morphisme surjectif, […] et [de plus] fidèlement plat ; son noyau est un gpe fini et plat sur \(S\).

Corollaire 3 \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}\) est ouvert et fermé [l'ouvert est toujours le cas ; le fermé est spécial aux schémas abéliens].

l'exposant de \(\mathrm{Pic}\) est tracé ici comme une croix, alors que le \(\tau\) des pages 2 et 6 est net

En effet, si \(\varphi_{L}\) […] induit un hom. surjectif […] sur \(S\), il induit un hom. surjectif […] […] pts sur \(\bar{S}\).

Corollaire 4 Existence de \(\text{Nér-Sév}_{A/S}\).

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Nous […] étudier de plus près le morphisme \[ (*) \qquad \mathrm{Pic}_{A/S} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A, A') \] i.e. \[ (**) \qquad \mathrm{Pic}_{A/S} \times_{S} A \longrightarrow A' \] défini par \[ (\xi, t) \;\rightsquigarrow\; t_{*}(\xi) - \xi . \]

à côté de \(\mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A,A')\) il porte, sur deux lignes reliées par une accolade, \guillemotleft{} hom. ponctuel \guillemotright{} et \guillemotleft{} hom. de groupes \guillemotright, avec une flèche de la seconde vers la première

Théorème L'hom. \((*)\) est un hom. de \(S\)-groupes ? (i.e. \((**)\) est un accouplement), et son noyau est exactement […] \(A'\) ; […] […] section de \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) […] \[ \pi^{*}(\xi) \;=\; \mathrm{pr}_{1}^{*}(\xi) + \mathrm{pr}_{2}^{*}(\xi) \]

à droite du cadre : \guillemotleft{} \(\pi : A \times_{S} A \to A\) […] la loi de composition […] i.e. \(\sigma\) \guillemotright. Le noyau est donc formé des classes primitives pour la loi de groupe, ce qui est la description usuelle de \(\mathrm{Pic}^{0}\)

\(\text{Nér-Sév}_{A/S} = \mathrm{Pic}_{A/S}/\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\) […] définition

note de sa main, entourée d'un trait, au bas du feuillet à gauche

Corollaire 6 […] \[ \text{Nér-Sév}_{A/S} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A, A') \] [compatible avec les structures de groupe.]

Démonstration […] du théorème. L'addition […] est […] au fait que […] \(A \times_{S} A \to A'\) […] par \(s\) […]. L'additivité […] est […] triviale. […] par \((**)\).

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[…] induit […] sur les […] \(A' \times_{S} e\) et \(e \times_{S} A\) qui sont triviaux. Donc il est trivial […] \(\xi\) […] un […] sur \(A \times A'\), qui […] un schéma abélien. Donc le […] ramené à prouver […]

ici on utilise que […] […] \(A'\)

[…] le noyau de \[ \text{Nér-Sév}_{A/S} \longrightarrow \mathrm{Hom}_{S\text{-gr}}(A, A') \] […] ensemblistement […]

Lemme \(A\) un […] sur […] \(S\) […] le spectre d'un […] : […] pour […] trivialisation. […] \(k\) alg. clos […] \(A\), […] Alors \(\xi\) est […] \(\simeq 0\). Cf. […] et sera prouvé plus bas …

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L'énoncé intrinsèque […]

On a […], […] \[ \varphi_{\xi} = 0 \quad \text{ssi} \quad \pi^{*}(\xi) - \mathrm{pr}_{1}^{*}(\xi) - \mathrm{pr}_{2}^{*}(\xi) = 0 . \] En effet, considérons le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  A & A \times A \arrow[l, "\mathrm{pr}_{2}"'] \arrow[r, "\pi"]
    \arrow[d, "\mathrm{pr}_{1}"] & A \\
  & A &
\end{tikzcd}

Dire que \(\varphi_{\xi} = 0\) signifie aussi […] bien […] que si \(S_{1} = A \to S\), \(A_{1} = A \times_{S} S_{1}\), et considérant la […] section \(t_{1}\) de \(A_{1}\) sur \(S_{1}\), \[ t_{1}^{*}(\xi_{1}) = \xi_{1} \qquad (\text{ici } \xi_{1} = \xi \times_{S} S_{1}) . \]

[…] \(t_{1}^{*}(\xi_{1}) = \xi_{1}\) […] par la section unité.

[…] \(\xi_{1}\) par \(\mathrm{pr}_{2}^{*}(L)\), on a \[ t_{1}^{*}\!\left(\mathrm{pr}_{2}^{*}(L)\right) = \left(\mathrm{pr}_{2} \circ \mathrm{transl}(t_{1})\right)^{*}(L) \] […] est […] […] et qui […] […] définit […] […]. Comme […] pour […] […], […] la section unité […] \[ i_{1}^{*}(\cdots) = (\pi i_{1})^{*}(L) - (\mathrm{pr}_{1} i_{1})^{*}(L) - (\mathrm{pr}_{2} i_{1})^{*}(L) \;=\; 0 \]

sous \(\pi i_{1}\) et sous \(\mathrm{pr}_{1} i_{1}\) il écrit \guillemotleft{} id \guillemotright, et sous \(\mathrm{pr}_{2} i_{1}\) \guillemotleft{} \(\varepsilon_{A/S}\) \guillemotright{} ; les trois accolades sont ce qui annule le membre de droite

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cette rigidité pour la […] […] quelque […] bien.

le feuillet ne porte que ces deux lignes, qui achèvent la démonstration commencée page 8 ; le reste de la page est blanc