Cote n° 49 · pages 1–9 · Lecture modernisée · Picard des schémas abéliens : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d.
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–9

Le dossier, sa charpente et ses notations

Neuf feuillets, dont un de garde. Le feuillet 1 ne porte que le titre, de sa main : Picard des schémas abéliens. Les feuillets 2 à 9 sont une seule suite, d'une seule écriture, et — fait rare dans ce fonds — aucun d'eux n'est le verso d'autre chose.¹

L'argument tient en deux théorèmes et se lit en cinq stations :

• l'énoncé, et l'encadrement de la dimension par \(\varphi_L\) d'un côté et par la cohomologie de l'autre (feuillet 2) ;
• la fermeture de l'encadrement, et le lemme de platitude qui donne la lissité (feuillet 3) ;
• l'algèbre extérieure de \(R^1f_*\mathcal{O}_A\), qui est ce qui borne la cohomologie (feuillets 4 et 5) ;
• les corollaires, et la seule phrase du dossier qui dise ce qu'il ne sait pas (feuillet 5) ;
• le second théorème : l'accouplement \(\mathrm{Pic} \times A \to A^{\vee}\), et la description de son noyau par l'identité d'additivité (feuillets 6 à 9).

Les notations sont fixées ici pour tout ce qui suit. \(S\) est un schéma localement noethérien, \(A \to S\) un schéma abélien de dimension relative \(n\), \(f : A \to S\) le morphisme structural et \(\varepsilon\) sa section unité. On écrit \(A^{\vee}\) pour le schéma abélien dual, c'est-à-dire \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\) — c'est le \(A'\) du manuscrit, et c'est aussi ce que le dossier a précisément pour but de construire. On écrit \(A_{0}\), \(A^{\vee}_{0}\) pour les fibres en un point de \(S\), \(\mathrm{NS}_{A/S}\) pour le faisceau de Néron–Severi relatif, et \(m : A \times_S A \to A\) pour la loi de groupe.

Deux mots du manuscrit demandent d'être traduits, et l'un des deux commande tout le premier théorème.

Simple veut dire lisse.² Un morphisme lisse est une famille sans à-coups : localement, elle ressemble à un produit. C'est exactement ce qu'il faut établir pour que la collection des duales mérite le nom de schéma abélien.

Nér.-Sév. est le groupe de Néron–Severi, \(\mathrm{Pic}/\mathrm{Pic}^{0}\) — les fibrés en droites comptés à déformation près. Sur une variété abélienne il est sans torsion, et c'est de cela que le feuillet 2 se sert dès sa troisième ligne.

Enfin, le manuscrit indice le foncteur de Picard tantôt par \(A/S\), tantôt par \(X/S\), et écrit \(X_{y}\) pour la fibre de \(A\) ; il n'y a qu'un seul schéma abélien dans le dossier et on écrit partout \(A\).³

2–2

Le théorème, et la première moitié de l'encadrement (feuillet 2)

Théorème. Soit \(A \to S\) un schéma abélien projectif. Alors \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\) est un schéma abélien sur \(S\), ouvert et fermé dans \(\mathrm{Pic}_{A/S}\), de même dimension relative que \(A\).

Le manuscrit écrit d'abord \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}\), le biffe et écrit \(\mathrm{Pic}^{0}_{A/S}\). Les deux coïncident ici, et c'est la première chose qu'il note : les fibres ont un groupe de Néron–Severi sans torsion, donc \(\mathrm{Pic}^{\tau}\), qui est par définition la partie de torsion modulo \(\mathrm{Pic}^{0}\), se réduit à \(\mathrm{Pic}^{0}\).⁴

De cela découlent, sans travail, la propreté sur \(S\) et la fermeture dans \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) ; l'ouverture, elle, est générale. Ce qui reste, et qui est tout, est la lissité sur \(S\) — les fibres étant déjà connues géométriquement connexes.

Voici l'instrument. On choisit \(L\) ample relativement à \(S\), ce qui donne une section \(s\) de \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) et l'homomorphisme \[ \varphi_{L} : A \longrightarrow A^{\vee}, \qquad \varphi_{L}(t) = \left[\, \tau_{t}^{*}L \otimes L^{-1} \,\right], \] où \(\tau_{t}\) est la translation par \(t\).⁵ C'est ce que l'on appelle aujourd'hui la polarisation associée à \(L\).

Sur une fibre, \(\varphi_{L}\) est surjectif. La raison qu'il donne est que son noyau est fini, par le critère d'amplitude de Weil ; un homomorphisme de variétés abéliennes à noyau fini est surjectif sur sa cible dès que les dimensions le permettent, d'où \[ \dim A_{0} \;\leqslant\; \dim A^{\vee}_{0}. \] Reste à borner l'autre côté. Il écrit la chaîne \[ \dim A^{\vee}_{0} \;\leqslant\; \dim H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) \;\leqslant\; \dim A_{0}, \] et annote chacune des deux inégalités d'une accolade.

La première tient à ce que l'espace tangent à l'origine de \(\mathrm{Pic}\) est \(H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}})\) : déformer un fibré en droites au premier ordre, c'est se donner une classe dans ce groupe, et une variété est de dimension au plus celle de son espace tangent.⁶

La seconde est la clé du dossier, et c'est un fait d'algèbre pure. Sur un objet où les points s'additionnent, la cohomologie du faisceau structural est une algèbre de Hopf graduée : la loi de groupe lui donne un coproduit. Le théorème de structure de ces algèbres force \[ H^{*}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) \;=\; \Lambda^{*} H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}), \] donc \(H^{i}\) est nul dès que \(i\) dépasse \(\dim H^{1}\) ; et comme \(H^{i}\) est aussi nul au-delà de \(\dim A_{0}\) pour des raisons de dimension, on obtient \(\dim H^{1} \leqslant \dim A_{0}\).⁷

Le bas du feuillet porte, en diagonale sur toute la marge gauche et sur une vingtaine de lignes, une seconde route vers le même théorème, qui se passerait du résultat de torsion invoqué en tête. Elle passe par la platitude de \(\varphi_{L}\) et par le fait que \(\mathrm{Pic}^{0}\) est ouvert et fermé dans \(\mathrm{Pic}\). Il n'en reste que la forme : l'écriture y est plus rapide que partout ailleurs dans le dossier et la liaison est perdue.⁸

3–3

La fermeture de l'encadrement, et la platitude (feuillet 3)

Les deux inégalités se referment : \(\dim A_{0} \leqslant \dim A^{\vee}_{0}\) et \(\dim A^{\vee}_{0} \leqslant \dim A_{0}\) donnent l'égalité partout. Il en tire trois choses d'un coup : \(A^{\vee}_{0}\) est lisse, sa dimension est celle de \(A_{0}\), et \[ \dim H^{1}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}}) \;=\; n, \] donc toute la structure de \(H^{*}(A_{0}, \mathcal{O}_{A_{0}})\) est connue.⁹

Reste à passer des fibres à la famille. La lissité de \(A^{\vee}\) sur \(S\) demande la platitude, et c'est pour l'obtenir qu'il énonce un lemme. Sa forme retenue est en partie illisible ; sa forme biffée, juste au-dessus, ne l'est pas, et c'est elle qu'on donne.¹⁰

Lemme. Soient \(X\) et \(Y\) de type fini sur \(S\) localement noethérien, \(\varphi : X \to Y\) un \(S\)-morphisme, \(F\) et \(G\) quasi-cohérents sur \(X\) et \(Y\), et \(G \to \varphi_{*}F\) un morphisme. Soient \(s \in S\) et \(y \in Y\) au-dessus de \(s\). On suppose : \(F\) plat sur \(S\) ; \(G\) cohérent ; et \(G_{s} \to \varphi_{s*}(F_{s})\) injectif au-dessus de \(y\). Alors \(G\) est plat sur \(S\) en \(y\).

C'est un critère de platitude par injection dans un objet plat : un faisceau cohérent qui se plonge fibre à fibre dans un plat est plat. Le manuscrit ne dit pas à quoi il l'applique — il l'énonce et passe au feuillet suivant. La seule application sous laquelle l'argument des feuillets 2 et 3 se referme est celle-ci : on prend \(X = A\), \(Y = A^{\vee}\), \(\varphi = \varphi_{L}\), \(F = \mathcal{O}_{A}\) et \(G = \mathcal{O}_{A^{\vee}}\).¹¹ L'hypothèse de platitude porte alors sur \(\mathcal{O}_{A}\), qui est plat sur \(S\) parce que \(A\) est un schéma abélien, et la conclusion est que \(\mathcal{O}_{A^{\vee}}\) l'est aussi.

Plat, de présentation finie, à fibres lisses : \(A^{\vee}\) est lisse sur \(S\). Le théorème est acquis.

4–5

L'algèbre extérieure en famille (feuillets 4 et 5)

Le feuillet 4 porte ce que le manuscrit appelle, en anglais dans le texte, Cor. Main 1, et qui est l'énoncé dont le second maillon de l'encadrement était le cas particulier sur une fibre.

Corollaire. Soit \(A \to S\) propre et plat, \(f\) le morphisme de projection. Alors le morphisme d'algèbres \[ \Lambda^{*}\!\left(R^{1}f_{*}\mathcal{O}_{A}\right) \;\xrightarrow{\ \sim\ }\; R^{*}f_{*}\mathcal{O}_{A} \] est un isomorphisme, et \(R^{1}f_{*}\mathcal{O}_{A}\) est localement libre sur \(S\), de rang égal à la dimension relative de \(A\) sur \(S\).

La démonstration a trois temps, et l'ordre en est instructif.

D'abord, le cas d'un corps est acquis — c'est le théorème de Hopf du feuillet 2. Ensuite, la section unité \(\varepsilon\) donne \[ R^{1}f_{*}\mathcal{O}_{A} \;=\; \mathcal{H}om\!\left(\Omega^{1}_{\varepsilon}, \mathcal{O}_{S}\right), \] donc un module localement libre, et — c'est la formulation qu'il retient — \(\mathcal{O}_{A}\) est cohomologiquement plat pour \(f\) en dimension \(1\).¹² La platitude cohomologique est ce qui permet de comparer la cohomologie de la famille à celle de chaque fibre.

Enfin le carré, qui est l'argument proprement dit :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  \Lambda^{*}\!\left(R^{1}f_{*}\mathcal{O}_{A}\right)_{y}
    \arrow[r, "\alpha"] \arrow[d, "\text{surj.}"']
  & \left(R^{*}f_{*}\mathcal{O}_{A}\right)_{y} \arrow[d] \\
  \Lambda^{*}H^{1}(A_{y}, \mathcal{O}_{A_{y}})
    \arrow[r, "\simeq"']
  & H^{*}(A_{y}, \mathcal{O}_{A_{y}})
\end{tikzcd}

La ligne du bas est l'isomorphisme de Hopf sur la fibre. La colonne de gauche est surjective par construction. La colonne de droite est le morphisme de changement de base, et la platitude cohomologique le rend bijectif. Il ne reste alors à \(\alpha\) qu'à être surjectif fibre à fibre, ce qui, pour un morphisme de modules gradués de même rang au-dessus d'un anneau local, suffit à en faire un isomorphisme. Le feuillet 5 le conclut d'une ligne : « c'est un isomorphisme, cqfd ».¹³

Trois corollaires suivent immédiatement, et une remarque qui vaut mieux qu'eux.

Corollaire 2. Si \(L\) est très ample relativement à \(S\), alors \(\varphi_{L} : A \to A^{\vee}\) est surjectif et fidèlement plat, et son noyau est un groupe fini et plat sur \(S\). C'est dire que \(\varphi_{L}\) est une isogénie, et que \(\ker \varphi_{L}\) — le groupe qu'on note aujourd'hui \(K(L)\) — est fini plat.¹⁴

Corollaire 3. \(\mathrm{Pic}^{\tau}_{A/S}\) est ouvert et fermé. Il ajoute, entre crochets, la seule chose qui compte : l'ouverture vaut toujours, la fermeture est propre aux schémas abéliens.¹⁵

Corollaire 4. Existence de \(\mathrm{NS}_{A/S}\). Il l'écrit ainsi, en trois mots, et c'est en effet immédiat : un quotient par un sous-groupe ouvert et fermé existe. C'est le corollaire 3 qui le porte.

5–5

Ce qu'il ignore (feuillet 5)

Entre la fin de la démonstration et les corollaires, une remarque :

J'ignore si le corollaire vaut sans supposer \(A\) projectif sur \(S\), et comme j'ignore si \(\mathrm{Pic}_{A/S}\) existe dans ce cas…

La phrase s'achève sur deux mots que la page ne soutient pas. Ce qu'elle dit est net : toute la construction repose sur la projectivité, qui sert deux fois — à disposer d'un \(L\) ample, et à savoir que le foncteur de Picard est représentable.

L'hypothèse n'est pas anodine, et c'est ce qui donne son prix à la remarque. Un schéma abélien n'est pas nécessairement projectif sur sa base ; et la construction du dual d'un schéma abélien quelconque, sans cette hypothèse, est aujourd'hui acquise.¹⁶

6–7

L'accouplement, et les classes additives (feuillets 6 et 7)

Le feuillet 6 ouvre le second mouvement, et il change de sujet : il ne s'agit plus de construire \(A^{\vee}\) mais de comprendre l'application qui va de tous les fibrés en droites vers les homomorphismes.

Elle s'écrit de deux façons, qu'il numérote : \[ (*) \qquad \mathrm{Pic}_{A/S} \longrightarrow \mathcal{H}om_{S\text{-gr}}(A, A^{\vee}), \] \[ (**) \qquad \mathrm{Pic}_{A/S} \times_{S} A \longrightarrow A^{\vee}, \qquad (\xi, t) \longmapsto \tau_{t}^{*}\xi - \xi . \] La seconde est la première « curryfiée » : au lieu d'envoyer \(\xi\) sur une application, on envoie le couple sur une valeur.¹⁷

Théorème. \((*)\) est un homomorphisme de \(S\)-groupes — c'est-à-dire que \((**)\) est un accouplement — et son noyau est exactement l'ensemble des sections \(\xi\) vérifiant \[ m^{*}\xi \;=\; \mathrm{pr}_{1}^{*}\xi + \mathrm{pr}_{2}^{*}\xi . \]

C'est le cœur de la seconde moitié. L'identité de droite dit que \(\xi\) est additive au sens le plus littéral : sa valeur en une somme est la somme de ses valeurs. En notation multiplicative, \(m^{*}L \cong \mathrm{pr}_{1}^{*}L \otimes \mathrm{pr}_{2}^{*}L\) ; c'est ce qu'on appelle aujourd'hui un fibré primitif, et c'est la caractérisation usuelle de \(\mathrm{Pic}^{0}\).¹⁸

Le corollaire qu'il en tire est celui pour lequel tout ce qui précède a été fait : Corollaire 6. \[ \mathrm{NS}_{A/S} \longrightarrow \mathcal{H}om_{S\text{-gr}}(A, A^{\vee}), \] compatible avec les structures de groupe. Puisque le noyau de \((*)\) est \(\mathrm{Pic}^{0}\), l'application descend au quotient et y devient injective : le groupe de Néron–Severi se plonge dans les homomorphismes de \(A\) vers son dual.¹⁹

Le feuillet 7 est la démonstration, et il est le plus abîmé du dossier. Ce qui s'en lit tient en une observation : l'objet construit est trivial sur \(A^{\vee} \times \varepsilon\) et sur \(\varepsilon \times A\), donc trivial sur le produit, qui est encore un schéma abélien. Il énonce ensuite un Lemme dont plus de la moitié est illisible, portant sur une trivialisation au-dessus d'un corps algébriquement clos, et le renvoie à plus bas : « Cf. … et sera prouvé plus bas ».²⁰

8–9

La descente à la base tautologique (feuillets 8 et 9)

Le feuillet 8 démontre l'équivalence annoncée, dans un sens, et par le procédé qui rend l'énoncé presque tautologique.

Le point de départ est \[ \varphi_{\xi} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m^{*}\xi - \mathrm{pr}_{1}^{*}\xi - \mathrm{pr}_{2}^{*}\xi = 0, \] lue sur le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
  A & A \times_{S} A \arrow[l, "\mathrm{pr}_{2}"'] \arrow[r, "m"]
    \arrow[d, "\mathrm{pr}_{1}"] & A \\
  & A &
\end{tikzcd}

L'idée est de changer de base pour le paramètre lui-même. On pose \(S_{1} = A\), \(A_{1} = A \times_{S} S_{1}\), et l'on dispose alors sur \(A_{1}\) d'une section tautologique \(t_{1}\) : au-dessus du point \(t\) de la base, elle vaut \(t\). Dire que \(\varphi_{\xi}\) est nul revient exactement à dire que cette section-là ne bouge pas \(\xi\) : \[ t_{1}^{*}(\xi_{1}) = \xi_{1}, \qquad \xi_{1} = \xi \times_{S} S_{1}. \] Le quantificateur « pour tout \(t\) » a disparu dans la base ; c'est tout le bénéfice de la manœuvre.²¹

Le calcul qui suit vérifie que la combinaison \(m^{*}L - \mathrm{pr}_{1}^{*}L - \mathrm{pr}_{2}^{*}L\) est triviale le long de la section unité. En restreignant par \(i_{1}\), \[ i_{1}^{*}\!\left(m^{*}L - \mathrm{pr}_{1}^{*}L - \mathrm{pr}_{2}^{*}L\right) = (m\,i_{1})^{*}L - (\mathrm{pr}_{1} i_{1})^{*}L - (\mathrm{pr}_{2} i_{1})^{*}L \;=\; 0, \] les deux premières composées étant l'identité et la troisième la section unité \(\varepsilon_{A/S}\) : le premier terme et le deuxième s'annulent l'un l'autre, et le troisième est trivial.²²

Ce que ce calcul donne est une moitié de l'énoncé : si \(\varphi_{\xi} = 0\), l'obstruction à l'additivité est triviale le long des deux sections. Pour conclure qu'elle est triviale tout court — et donc pour l'autre moitié de l'équivalence — il faut un argument de rigidité, et c'est là que le dossier s'arrête. Le feuillet 9 ne porte que deux lignes, où l'on lit « cette rigidité pour la … », et le reste de la page est blanc.²³