Cote n° 48 · batch 1 · pages 1–5 · Transcription · Plan EGA VII : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1967]
Édition de démonstration

1En haut à droite, à l'encre, le chiffre romain souligné et surligné : « Plan EGA VII ». Le reste de la page est vierge.

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EGA Chap. VI — Schémas en groupes et [torseurs] […]

le titre porté ici est « Chap. VI », alors que la chemise annonce « Plan EGA VII » : les deux numéros sont sur les pièces du même dossier et ne sont pas rendus concordants. Après « et », un mot ou deux ont été rayés au point d'être illisibles et « torseurs » écrit au-dessus

(A) Propriétés générales

une accolade tracée dans la marge de gauche réunit les §3 à §6, avec un mot en regard resté illisible

(B) Étude infinitésimale

(C) Groupes de […] ; propriétés de rigidité liées aux points d'ordre fini

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(D) Propriétés générales des schémas abéliens et polarisations

(E) Extensions des schémas abéliens par groupes finis (th. de […]…)

les deux lettres D et E sont reprises plus bas, une seconde fois et doublement cerclées, pour deux autres rubriques : la page compte donc deux D et deux E, et rien n'indique laquelle des deux séries l'emporte

(D) Groupes de […] Torseurs sous gr. classiques (n'importe où)

et théorème d'irréductibilité […] (P.)

(E) Modèles de Néron (?)

Un paragraphe de variantes, avec le « th. des carrés » […]

Réf.

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feuillet de tapuscrit, paginé (29) en haut à droite dans sa propre numérotation, repris à la main : les corrections portent presque toutes sur les lettres grecques et les accents circonflexes que la machine n'avait pas, et qui sont rétablis à la plume dans la marge et dans le corps. On donne ici l'énoncé qui porte le feuillet ; le corps du tapuscrit n'est pas re-composé

\[ (*) \qquad \underline{\mathrm{Pt}}(X)^{\circ} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pt}}(\widetilde{X_{\text{ét}}}) \]

Théorème 7.9. Soit \(X\) un préschéma. Le foncteur précédent \((*)\) est une anti-équivalence de la catégorie des points géométriques sur \(X\) (avec comme morphismes les flèches des spécialisation) avec la catégorie des foncteurs fibres sur le topos étale \(\widetilde{X_{\text{ét}}}\).

le « anti » de « anti-équivalence » est repassé à la main sur une frappe fautive

La démonstration se poursuit en a) Le foncteur envisagé est pleinement fidèle, où l'on pose, pour \(X \in \mathrm{Ob}\,X_{\text{ét}}\), \(\check{X} : \widetilde{X_{\text{ét}}} \to (\mathrm{Ens})\) défini par \(\check{X}(F) = \mathrm{Hom}(X, F) = F(X)\), et où le foncteur fibre \(\varepsilon_{\xi}\) s'écrit \(\varepsilon_{\xi} \simeq \varinjlim_{i} \check{X_{i}}\), les \(X_{i}\) étant des préschémas affines étales sur \(X\) indexés par une catégorie pseudo-filtrante.

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second feuillet du même tapuscrit, paginé (30), qui continue la démonstration : la comparaison de \((*)\) et \((**)\), puis b) Le foncteur envisagé est essentiellement surjectif, 7.9.1. Les reprises à la main y sont de même nature qu'au feuillet précédent — des lettres grecques rétablies — sauf une, portée dans la marge en regard de b) et qui se lit « … d'enfoncement »

les deux feuillets sont classés dans cet ordre par l'archiviste, 3 avant 5, alors que leur pagination propre les donne dans l'autre sens : (29) est la page 5 et (30) la page 3. Ils sont donnés ici dans l'ordre de leur démonstration