Cote n° 48 · pages 1–5 · Lecture modernisée · Plan EGA VII : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1967]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le plan d'un livre qui n'a pas été écrit.

Les Éléments de géométrie algébrique devaient compter treize chapitres. Quatre ont paru. Ce dossier contient le sommaire détaillé d'un des chapitres manquants : la liste de ses parties, la liste de ses paragraphes, et une courte bibliographie de ce qu'il faudrait avoir sous la main pour l'écrire.

Le sujet du chapitre est celui des schémas en groupes. L'idée qu'il recouvre est ancienne et simple : beaucoup d'objets géométriques portent une loi de composition. On peut additionner les points d'une courbe elliptique ; on peut multiplier les matrices inversibles. Quand la variété et la loi sont toutes deux algébriques, on tient un groupe algébrique, et l'on dispose alors de deux théories à la fois — la géométrie de l'objet et l'algèbre de sa loi — qui s'éclairent mutuellement.

Ce que le plan ajoute à cela est la relativité. Un schéma en groupes ne vit pas au-dessus d'un corps mais au-dessus d'une base quelconque : c'est une famille de groupes, qui peut dégénérer, changer de dimension, perdre sa lissité en certains points de la base. Tout le programme du chapitre consiste à savoir ce qui survit à cette variation. D'où sa progression : d'abord les propriétés générales, celles qui tiennent partout ; puis l'étude infinitésimale, celle qui regarde le groupe au voisinage immédiat de son élément neutre, là où il est le plus rigide ; puis, en dernier, les questions de rigidité liées aux points d'ordre fini, qui sont l'endroit où l'arithmétique entre.

Le dossier porte aussi, mêlées au plan, deux feuilles d'un autre document : un tapuscrit du séminaire de géométrie algébrique corrigé à la plume, sur les points d'un topos. La correction y porte presque uniquement sur les lettres grecques que la machine à écrire ne savait pas taper.

Keywords — group scheme, Cartier duality, hyperalgebra, Néron model, torsor, points of a topos

1–2

Une discordance de numérotation

La chemise porte, à l'encre, un titre encadré d'un trait au-dessus et d'un trait au-dessous : Plan EGA VII. La première page du plan lui-même porte, en tête : EGA Chap. VI.

Les deux sont lisibles et les deux sont de sa main. Rien dans le dossier ne les concilie, et cette lecture ne les concilie pas non plus.1

Le titre du chapitre, lui, est net : Schémas en groupes et torseurs — le dernier mot étant écrit par-dessus un ou deux autres, rayés au point d'être illisibles.

2–2

Partie A — Propriétés générales

Six paragraphes, qui traitent de ce qui est vrai d'un schéma en groupes sans hypothèse particulière.

Une accolade tracée dans la marge réunit les §3 à §6, avec en regard un mot resté illisible : ces quatre paragraphes formaient donc un bloc aux yeux de leur auteur, sans qu'on sache sous quel titre.

2–2

Partie B — Étude infinitésimale

C'est la partie la plus fournie du plan, et celle dont la logique est la plus claire.

L'idée directrice est la suivante. Un groupe algébrique en caractéristique nulle est presque entièrement déterminé par son algèbre de Lie, c'est-à-dire par ce qui se passe au premier ordre autour de l'élément neutre. En caractéristique \(p\) cela cesse d'être vrai — il existe des groupes non triviaux dont l'algèbre de Lie ne voit rien — et il faut donc regarder plus loin que le premier ordre. C'est ce que fait cette partie.

Un paragraphe supplémentaire suit, entièrement barré et illisible.

2–2

Partie C — Rigidité et points d'ordre fini

Une seule ligne, et un seul paragraphe. Le titre annonce des propriétés de rigidité liées aux points d'ordre fini ; le §12 renvoie, pour l'essentiel, aux exposés VIII, IX et X du séminaire sur les schémas en groupes.7

4–4

La suite du plan : D, E, et deux fois D et E

Le quatrième feuillet continue le plan, et il le continue deux fois. Quatre rubriques y sont écrites, cerclées, dont deux D et deux E — rien n'indiquant laquelle des deux séries l'emporte.8

La première série continue le chapitre du côté des schémas abéliens :

La seconde série change de sujet :

Puis une ligne isolée : un paragraphe de variantes, avec le « théorème des carrés ».11

Le point d'interrogation qui suit « Modèles de Néron » est le seul du plan, et il est instructif : à la date de ces pages, l'inclusion de ce sujet dans le chapitre n'était pas décidée.

Le feuillet se ferme sur quatre références, sans autre précision : SGAD ; BIBLE ; « Boulder » ; livre(s) de Mumford.12

5–3

Les deux feuillets de tapuscrit

Deux feuillets d'un tout autre document se sont glissés dans le dossier. Ils portent leur propre pagination — (29) et (30) — et sont classés par l'archiviste dans l'ordre inverse de celle-ci.13

Leur objet est le théorème 7.9 : la description des points d'un topos étale.

Soit \(X\) un préschéma. Le foncteur \(\underline{\mathrm{Pt}}(X)^{\circ} \to \underline{\mathrm{Pt}} (\widetilde{X_{\text{ét}}})\) est une anti-équivalence de la catégorie des points géométriques sur \(X\), munie des flèches de spécialisation, avec la catégorie des foncteurs fibres sur le topos étale.

L'énoncé mérite qu'on s'arrête sur ce qu'il fait. Un topos est une catégorie de faisceaux, objet dont on ne voit pas d'emblée qu'il ait des « points ». La définition abstraite est qu'un point est un foncteur fibre — une manière d'évaluer les faisceaux. Le théorème dit que dans le cas étale cette définition abstraite redonne exactement les points géométriques, c'est-à-dire les objets que la géométrie fournissait déjà.

Le renversement de sens — anti-équivalence — n'est pas un détail : les flèches de spécialisation entre points géométriques vont dans le sens inverse des transformations entre foncteurs fibres. C'est cette inversion que le tapuscrit signale en soulignant le préfixe, lequel a d'ailleurs été retapé à la main sur une frappe fautive.

La démonstration esquissée procède en deux temps — pleine fidélité, puis surjectivité essentielle — et repose sur l'écriture d'un foncteur fibre comme limite inductive \(\varepsilon_{\xi} \simeq \varinjlim_{i} \check{X_{i}}\), où les \(X_{i}\) sont des préschémas affines étales sur \(X\) indexés par une catégorie pseudo-filtrante.14

Notes

  1. Les hypothèses ne manquent pas — une renumérotation du programme entre le moment où la chemise a été étiquetée et celui où le plan a été écrit, ou l'inverse, ou un simple lapsus — mais aucune ne s'appuie sur quoi que ce soit dans le dossier, et l'inventaire de Montpellier a retenu VII sans dire pourquoi. On conserve le titre de l'inventaire dans les métadonnées de ce fichier, et l'on signale ici que le contenu dit autre chose. ↩
  2. Le paragraphe est écrit très vite et deux de ses mots sont illisibles ; la transcription les laisse en blanc. La ligne est la moins sûre de la partie A, et l'on n'en tire rien. ↩
  3. Une partie de la ligne est illisible. Le passage au quotient est, pour les schémas en groupes, la difficulté technique majeure : le quotient ensembliste n'est en général pas représentable, et il faut ou bien restreindre les hypothèses ou bien élargir la catégorie des objets. Le plan ne dit pas laquelle des deux voies il prend. ↩
  4. Le sigle du renvoi est écrit en capitales grasses de quatre lettres et n'est pas assuré ; la transcription le laisse en blanc. Le renvoi du §7, en revanche, se lit clairement SGAD — le séminaire sur les schémas en groupes —, ce qui suggère que celui-ci pourrait l'être aussi, sans qu'on puisse l'affirmer. ↩
  5. L'hyperalgèbre — ou algèbre des distributions — est exactement l'objet qui remplace l'algèbre de Lie quand celle-ci ne suffit plus : au lieu du seul premier ordre, elle retient tous les ordres à la fois. En caractéristique nulle elle ne dit rien de plus que l'algèbre enveloppante ; en caractéristique \(p\) elle dit strictement plus. Deux mots de la ligne sont illisibles. ↩
  6. La dualité de Cartier associe à un schéma en groupes fini et plat commutatif un autre schéma en groupes de même nature, en échangeant le rôle de la loi et celui de la structure d'anneau. Elle est le point d'arrivée naturel de la partie B, et sa position en fin de partie n'est probablement pas indifférente ; mais le plan ne le commente pas. ↩
  7. Le mot que le plan emploie est maximum, ce qui se lit le plus naturellement comme « au maximum » ou « tout au plus » : le paragraphe n'aurait donc rien à démontrer en propre. Cette lecture est la nôtre. ↩
  8. Les deux secondes sont doublement cerclées, ce qui pourrait marquer une reprise ; mais l'on ne construit pas une chronologie sur l'épaisseur d'un trait, et les quatre sont donc données dans l'ordre où elles figurent. ↩
  9. Le théorème auquel la ligne renvoie est nommé et son nom est illisible ; la transcription le signale. On ne le devine pas. ↩
  10. Un groupe de mots précède « torseurs » et est barré. Le « n'importe où » est vraisemblablement une indication de placement dans le chapitre plutôt qu'une hypothèse mathématique, mais la page ne le dit pas. ↩
  11. Le théorème des carrés, sous sa forme classique, est l'énoncé qui gouverne le comportement des faisceaux inversibles sur une variété abélienne sous les translations ; c'est lui qui rend le foncteur de Picard maniable. Le plan l'appelle par ce nom sans le développer. ↩
  12. Aucune n'est développée sur la page. « BIBLE » est écrit en capitales détachées et « Boulder » entre guillemets — ce dernier renvoyant vraisemblablement à des actes de congrès. On ne les identifie pas : cette édition ne complète pas des références que la page abrège. ↩
  13. La page 5 du dossier porte (29) et la page 3 porte (30). On les lit ici dans l'ordre de leur démonstration, ce qui explique que la marque de pagination de cette section aille de 5 à 3. ↩
  14. Les corrections manuscrites sur ces deux feuillets sont d'une autre nature que celles du plan : ce sont presque uniquement des lettres grecques et des accents circonflexes rétablis à la plume, que la machine ne pouvait pas taper. C'est une relecture d'épreuves, non un travail de composition. Une seule note de la marge y échappe, en regard du point b), et elle est incertaine. ↩