Fonds Grothendieck, cote n° 47, pages 1–10

Produit de convolution sur les VA et transformation de Fourier dans les VA

titre de sa main sur le premier feuillet, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit donc pas de page ; « VA » abrège variétés abéliennes. Les neuf feuillets qui suivent forment une suite continue

Proposition 1. Soient S un schéma, A un schéma abélien sur S, X un schéma sur S, L un faisceau inversible sur A \times_S X, ~~Considérons l'homomorphisme~~ trivial sur e_A \times_S X, et tel que ~~pour tout~~ pour tt x \in X, le faisceau L_x sur A_x = A_s \otimes_{k(s)} k(x) (où s est l'image de x) soit alg. équivalent à zéro. Considérons l'application \varphi_L \colon K^{\cdot}(A) \longrightarrow K^{\cdot}(X) définie par ~~l'application additive~~ le foncteur de catégories triangulées \Phi \colon D_{\mathrm{parf}}(A) \to D_{\mathrm{parf}}(X) \Phi_L(F) = \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{L}pr_1^{*}(F) \otimes L\bigr) Alors \varphi_L transforme produit de Pontrjagin * en produit ordinaire. Plus précisément, on a un isomorphisme de foncteurs de catégories triangulées \Phi_L\bigl(F \overset{L}{*} G\bigr) \;\simeq\; \Phi_L(F) \overset{L}{\otimes} \Phi_L(G) \qquad (F, G \in \mathrm{Ob}\, D_{\mathrm{parf}}(A)).

peut se généraliser au cas A un schéma en groupes, L sur A \times_S X satisfaisant à (\pi \times \mathrm{id}_X)^{*}(L) \simeq pr_{13}^{*}(L) \otimes pr_{23}^{*}(L), et F et G sur A \in \mathrm{Ob}\, D^{b}_{\mathrm{qcoh}}(A) ; on peut aussi généraliser au cas concernant des complexes sur des C-torseurs, P \times Q \to R, C \times Q \to C, et des faisceaux L, L', L'' sur R \times X, P \times X, Q \times X tels que (\pi \times \mathrm{id}_X)^{*}(L) \simeq pr_{13}^{*}(L')\, pr_{23}^{*}(L'')

la note marginale court en biais le long du bord gauche du feuillet, en deux blocs ; entre les deux, plusieurs lignes ne se laissent pas lire

Si le th. est démontré dans la situation donnée, il en résulte qu'il est vrai aussi dans la situation (A, X', L') qui s'en déduit par image inverse à l'aide d'un S-morphisme f \colon X' \to X, car \Phi_{L'} \simeq \mathbb{L}f^{*}(\Phi_L), et \mathbb{L}f^{*} commute à \overset{L}{\otimes}. Soient donc B le schéma abélien dual de A, et L_0 le faisceau de Weil sur A \times_S B. Alors l'hypothèse sur L implique que L est \simeq l'image inverse de L_0 par un morphisme X \to B. Donc on est ramené au cas X = B, L = L_0. On Or on a des isom. fonctoriels (*) \qquad F \overset{L}{*} G = \mathbb{R}\pi_{*}\bigl(F \overset{L}{\otimes}_S G\bigr) \quad \text{et}

\begin{tikzcd}[column sep=small] A \times A \arrow[d, "\pi"'] & A \times_S A \times_S B \arrow[l, "pr_{12}"'] \arrow[d, "\pi \times \mathrm{id}_B"] \arrow[dr, "pr_3"] & \\ A & A \times_S B \arrow[l, "pr_1"] \arrow[r, "pr_2"'] & B \end{tikzcd}

« cart » est inscrit dans le carré de gauche

\begin{tikzcd}[column sep=small] A \times_S A \times_S B \arrow[r, "pr_3"] \arrow[d, "f"'] \arrow[dd, bend right=70, "pr_{12}"'] & B \arrow[d, "\Delta_B"] \\ A \times_S A \times_S B \times_S B \arrow[r, "pr_{34}"] \arrow[d, "pr'_{12}"] & B \times_S B \\ A \times_S A & \end{tikzcd}

« cart » est inscrit dans le carré ; la flèche verticale f porte sur la page \mathrm{id}_{A \times A} \times \Delta_B = f

\begin{align*} \Phi\bigl(F \overset{L}{*} G\bigr) &\underset{\text{déf}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{L}pr_1^{*}(F \overset{L}{*} G) \otimes L\bigr) \underset{(*)}{=} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{L}pr_1^{*}(\pi_{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G)) \otimes L\bigr) \\ &\underset{\text{chgt. de base}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{R}(\pi \times \mathrm{id}_B)_{*}(\mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G)) \otimes L\bigr) \\ &\underset{\text{formule de proj.}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{R}(\pi \times \mathrm{id}_B)_{*}(\mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \\ &\hphantom{\underset{\text{formule de proj.}}{\simeq}\mathbb{R}pr_{2*}\bigl(} \otimes (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L))\bigr) \\ &\underset{\text{transit.}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{3*}\bigl(\mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L)\bigr) \end{align*}

le « \otimes L » de la première ligne est ajouté au-dessus, oublié d'abord

Or on a (th. des carrés) un isom. can. (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L) \simeq pr_{13}^{*}(L)\, pr_{23}^{*}(L) où pr_{13}, pr_{23} \colon A \times A \times B \to A \times B sont respectivement pr_1 \times \mathrm{id}_B et pr_2 \times \mathrm{id}_B. On en conclut \mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L) \;\simeq\; \mathbb{L}f^{*}\bigl(pr^{\prime *}_{12}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes pr^{\prime *}_{13}(L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(L)\bigr) où pr'_{13}, pr'_{24} sont les deux projections A \times_S A \times_S B \times_S B \to A \times_S B. On a d'ailleurs ~~on a~~ (ass. du \otimes) pr^{\prime *}_{12}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes pr^{\prime *}_{13}(L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(L) \;\simeq\; pr^{\prime *}_{13}(F \otimes L) \overset{L}{\otimes} pr^{\prime *}_{24}(G \otimes L) et on en conclut \begin{align*} \Phi\bigl(F \overset{L}{*} G\bigr) &\simeq \mathbb{R}pr_{3*}\bigl(\mathbb{L}f^{*}(\quad)\bigr) \underset{\text{chgt. de base}}{\simeq} \mathbb{L}\Delta_B^{*}\Bigl(\mathbb{R}pr_{34*}\bigl(pr^{\prime *}_{13}(F \otimes_S L) \overset{L}{\otimes} pr^{\prime *}_{24}(G \otimes_S L)\bigr)\Bigr) \\ &\underset{\text{Künneth}}{\simeq} \mathbb{L}\Delta_B^{*}\bigl(\mathbb{R}pr_{2*}(F \otimes L) \overset{L}{\otimes}_S \mathbb{R}pr_{2*}(G \otimes L)\bigr) \\ &\underset{\text{déf}}{\simeq} \mathbb{L}\Delta_B^{*}\bigl(\Phi(F) \overset{L}{\otimes}_S \Phi(G)\bigr) \simeq \Phi(F) \overset{L}{\otimes} \Phi(G) \end{align*} cqfd.

les parenthèses vides de \mathbb{L}f^{*}(\quad) sont sur la page : un trait les relie à l'expression soulignée deux lignes plus haut

Théorème ~~Proposition 2~~. Soient A, B deux schémas abéliens sur S, de dim relative n, L un Module inversible birigidifié sur A \times B, définissant une dualité entre A et B. ~~Considérons~~ Alors le composé ~~des trans~~ K(A) \xrightarrow{\;\varphi_L\;} K(B) \xrightarrow{\;\varphi_{{}^{s}L}\;} K(A) est (-1)^n s_A^{*} (où s_A est la symétrie de A) (donc, par exemple, \varphi_L et (-1)^n s_A^{*} \varphi_{{}^{s}L} sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre).

« de dim relative n » est ajouté en interligne ; {}^{s}L est le faisceau sur B \times A déduit de L par la symétrie des facteurs ; le (-1)^n de la dernière parenthèse est ajouté au-dessus de la ligne. La suite cite cet énoncé comme « prop. 2 »

Plus précisément, le foncteur composé D_{\mathrm{parf}}(A) \xrightarrow{\;\Phi_L\;} D_{\mathrm{parf}}(B) \xrightarrow{\;\Phi_{{}^{s}L}\;} D_{\mathrm{parf}}(A) est ~~isomorphe au foncteur~~ can. isomorphe au foncteur \mathbb{L}s_A^{*} \simeq \mathbb{R}s_{A*} suivi de \tau_A[-n], où \tau_A \simeq \hat\Lambda\, t_A \simeq \hat\Lambda\, t_B ~~respectivement~~. Donc \Phi_L et \mathbb{L}s_A^{*}\Phi_{{}^{s}L} (= \mathbb{R}s_{A*}\Phi_{{}^{s}L}) sont des équivalences des catégories triangulées de D_{\mathrm{parf}}(A) et D_{\mathrm{parf}}(B).

\hat\Lambda : le \Lambda porte un accent, remplacé plus bas (p. 6) par un n ; c'est la puissance extérieure maximale. t_A est le faisceau tangent de A le long de la section nulle, cf. p. 6

inutile de se borner aux complexes parfaits, prendre p. ex. dans D^{b}_{\mathrm{qcoh}}

un mot encerclé et biffé, en haut à droite, ne se lit pas

Corollaire 2. \Phi_L transforme produit ordinaire en produit de convolution : \Phi_L\bigl(F \overset{L}{\otimes} G\bigr) \otimes \omega_A[n] \;\simeq\; \bigl[\Phi_L(F) \otimes \omega_A[n]\bigr] * \bigl[\Phi_L(G) \otimes \omega_A[n]\bigr] i.e. \Phi_L\bigl(F \overset{L}{\otimes} G\bigr) \;\simeq\; \bigl[\Phi_L(F) * \Phi_L(G)\bigr] \otimes \omega_A[n].

le début de l'énoncé est remanié et largement biffé ; on lit encore, biffés, « \Phi_L^{\omega_A[n]} », « \overset{L}{\otimes} en \overset{L}{*} » et « x \mapsto (-1)^n\, \mathrm{cl}\,\omega_A\, \varphi_L(x) », et, non biffé, en interligne au-dessus, « F \mapsto \Phi_L(F \otimes \omega_A[n]) \simeq \Phi_L(F) \otimes \omega_A[n] transforme »

Prouvons la prop. 2. Il suffit de définir un isom. \Phi_{{}^{s}L} \cdot \Phi_L = \mathrm{id}_{D_{\mathrm{parf}}(A)}. Or le composé des foncteurs est de la forme F \mapsto \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}(F) \overset{L}{\otimes} M\bigr), où M \in D_{\mathrm{parf}}(A) est donné par M = \mathbb{R}pr_{13*}\bigl(pr_{12}^{*}(L)\, pr_{23}^{*}({}^{s}L)\bigr)

A \times B \times A

« D_{\mathrm{parf}}(A) » est ce qui est écrit ; le noyau M vit sur A \times A. La note marginale nomme l'espace des projections

Il faut donc calculer ce \mathbb{R}pr_{13*}, et pour ceci, posons C = A \times A, et considérons l'isom. A \times B \times A \simeq C \times B. Le module inversible N = pr_{12}^{*}(L)\, pr_{23}^{*}({}^{s}L) sur C \times B est birigidifié de façon canonique, et correspond à un homomorphisme C \xrightarrow{\;\Psi\;} B^{*}, qui n'est autre que l'hom. de A \times A dans B^{*} dont les deux composantes sont égales à \varphi \colon A \to B (l'hom. de A dans B^{*} défini par L).

« deux » est ajouté en interligne

\begin{tikzcd} C \times_S B \arrow[r, "\Psi \times \mathrm{id}_B"] \arrow[d, "pr_1"'] & B^{*} \times_S B \arrow[d, "pr'_1"] \\ C \arrow[r, "\Psi"] & B^{*} \end{tikzcd}

« cart » dans le carré ; le second facteur du coin supérieur droit porte un astérisque biffé

Ceci dit, on aura ~~\mathbb{R}pr_{2*}(N)~~ N \simeq (\Psi \times \mathrm{id}_B)^{*}(W_B) (W_B le Module de Weil sur B \times_S B^{*}), d'où \mathbb{R}pr_{2*}(N) \simeq \mathbb{R}pr_{2*}(\Psi \times \mathrm{id}_B)^{*}(W_B) \underset{\text{chgt de base}}{\simeq} \mathbb{L}\Psi^{*}\bigl(\mathbb{R}pr'_{2*}(W_B)\bigr).

la ligne écrit pr_2, pr'_2 là où le diagramme et le corollaire ci-dessous ont pr_1, pr'_1

Lemme 1. Soient B un schéma abélien sur S, de dim. relative n, W le faisceau de Weil sur B^{*} \times_S B, p \colon B^{*} \times_S B \to B^{*} la projection. Alors \mathbb{R}p_{*}(W) \simeq e_{*}\bigl(\struck{\ill{}}\; \tau_{B^{*}}[-n]\bigr) (\tau_{B^{*}} = \hat\Lambda^{n}\, t_{B^{*}}, t_{B^{*}} le faisceau tangent à B^{*} le long de la section 0) (isom. canonique).

« de dim. relative n » est ajouté en interligne, relié par une accolade ; les astérisques des deux B de l'énoncé sont retouchés, un ajouté, un biffé, et la lecture B^{*} \times_S B suit le diagramme

\simeq e_{*}(\omega^{-1}) où \omega = \uncertain{\det{}^{*}}(\Omega^{1}_{B^{*}/S})

On en conclut

Corollaire. Soient C, B schémas abéliens sur S, N un Module inversible birigidifié sur C \times_S B, \Psi \colon C \to B^{*} l'hom. correspondant. Alors on a \mathbb{R}pr_{1*}(N) \simeq \mathbb{L}\Psi^{*}\bigl(\uncertain{e_{*}\tau_{B^{*}}}[-n]\bigr)

les symboles entre la parenthèse et [-n] sont surchargés et ne se lisent qu'avec doute

En particulier, si \Psi est un épimorphisme, ~~donc~~ plat, et si K = \operatorname{Ker}\Psi, donc K est un sous-schéma en groupes de C plat et de prés. finie sur S donc ~~défini~~ ~~\mathcal{O}_K~~ parfait sur C, et on a \mathbb{R}pr_{1*}(N) \simeq \mathcal{O}_K[-n] \otimes_S \tau_{B^{*}}

Dans le cas qui nous occupe, C = A \times A, , \varphi \colon A \simeq \uncertain{C^{*}}, et par suite K est l'antidiagonale de A \times_S A, noyau de \pi_A \colon A \times_S A \to A, qui est le graphe de la symétrie s_A de A. Donc modulo dém. du Lemme 1.

la lettre lue C^{*} est nette ; l'argument demande B^{*}

Démonstration du Lemme 1. Il sera une conséquence du

Lemme 2 (Mumford). Soit B schéma abélien sur un corps (alg. clos) k, et L un Module inv. sur B alg. équivalent à zéro, ~~Alors~~ et non isomorphe à \mathcal{O}_B. Alors on a H^{i}(X, L) = 0 \quad \text{pour tout } i

« X » est ce qui est écrit, pour B. Suit un encadré entièrement biffé, où l'on distingue H^{0}(X, L) = 0, k, L \simeq \mathcal{O}

~~Démonstration du Lemme 2. L'assertion sur les H^{0} est triviale, et il reste à prouver que H^{i}(X, L) = 0~~

Nous allons ici admettre le lemme 2, et nous montrons comment on ~~conclut~~ déduit le lemme 1. Nous voyons déjà grâce au lemme 2 que \mathbb{R}p_{*}(W) est concentré sur la section unité de B^{*}. Nous allons définir un homomorphisme canonique (on écrit e_{B^{*}} = e) \mathbb{R}p_{*}(W) \longrightarrow \struck{\ill{}}\; e_{*}(\mathcal{O}_S) \otimes_{\mathcal{O}_S} \tau_{B^{*}}[-n] (comme , R^{i}p_{*}(W) = 0 si i > n) ou, ce qui revient au même, un homomorphisme canonique R^{n}p_{*}(W) \longrightarrow \struck{\otimes_S}\; \tau_{B^{*}} ou encore un hom. \struck{e_{B}}\; e^{*}\bigl(R^{n}p_{*}(W)\bigr) \longrightarrow \struck{\otimes_S}\; \tau_{B^{*}}

\begin{tikzcd} B^{*} \times_S B \arrow[d, "p"'] & B \arrow[l, "e'"'] \arrow[d, "g"] \\ B^{*} & S \arrow[l, "e"] \end{tikzcd}

Or on a (formule de changement de base, comme e^{\prime *}(W) \simeq \mathcal{O}_B, et ) définissant un hom. R^{n}g_{*}(\mathcal{O}_B) \longrightarrow \struck{\otimes_S}\; \tau_{B^{*}} Or on sait que l'on a un isom canonique R^{n}g_{*}(\mathcal{O}_B) \simeq \hat\Lambda\, R^{1}g_{*}(\mathcal{O}_B) \simeq \hat\Lambda^{n}\, t_{B^{*}} où t_{B^{*}} est le faisceau tangent de B^{*} le long de e. On prend alors l'hom identique \hat\Lambda^{n}\, t_{B^{*}} \simeq \tau_{B^{*}}.

Ceci posé, je dis que l'homomorphisme précédent \mathbb{R}p_{*}(W) \longrightarrow e_{*}(\mathcal{O}_S) \otimes \tau_{B^{*}}[-n] est un isomorphisme. Il suffit pour ceci de prouver que l'homomorphisme induit ~~pour les~~ en tout point x b \in B^{*} par \mathbb{L}i_b^{*} est un isomorphisme (histoire de -cylindres …). En les points b \in B^{*} - e(S), ce n'est autre que le lemme 2. En un point ~~b \in e~~ b de e(S), on est ramené au cas où S est le spectre d'un corps algébriquement clos, à faire une vérification de compatibilité ……

Remarques 1) a) \Phi_L transforme e_A en 1_B, e_s (s section de A/S) en L_s (faisceau inv. alg. \simeq 0 sur B rel /S), donc e_s * F en L_s \otimes \Phi_L(F).

b) \Phi_L transforme ~~\omega_A[n] en , \omega_A[n]~~ L_t (t section de B sur S) en \tau[-n]\, e_{-t}, i.e. L_t\, \omega[n] en e_{-t}, ~~donc~~ F \otimes L_t en \bigl[\Phi_L(F) * e_{-t}\bigr] .

la lettre lue B est formée comme un D, ici comme p. 5 dans W_B ; e_A, e_s, e_{-t} sont les faisceaux structuraux des sections correspondantes

c) \varepsilon_B(\Phi_L(F)) = \chi_A(F), \chi_B(\Phi_L(F)) = (-1)^n\, \varepsilon_A(F).

\varepsilon = ; égalité dans H^{0}(S, \mathbf{Z})

2) \det{}^{*} \circ \Phi_L définit un homomorphisme \varphi \colon \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} qui, pour toute section \delta de \underline{NS}_{A/S}, définit un \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta'}_{B/S} compatible avec -(-\tilde\delta{}') = \tilde\delta{}'

si \delta' \in \underline{NS}_{B/S}(S) été défini comme constitué par ailleurs, par \tilde\delta{}'\, \tilde\delta = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A ……

On peut se proposer, pour une section \lambda de \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}, définissant L faisceau inv. sur A, de « calculer » la classe dans K(B) de \varphi_L(\struck{\ill{}}\, \mathrm{cl}(L)) en termes des invariants de la section \varphi(\lambda) de \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}, définissant un faisceau inversible L'^{-1} sur B (de classe -\delta' dans NS(B/S) si \delta est la classe de \lambda dans NS(A/S)). Heuristiquement, devrait avoir (pour \chi(\delta) \neq 0 partout sur S) \varphi_L(\mathrm{cl}(L)) = \chi\; \struck{\ill{}}\; L'^{-1/\chi} \qquad \text{où } \chi = \chi(\delta) \in H^{0}(S, \mathbf{Z}).

indépendant des résultats de Mumford

« devrait avoir » est ajouté au-dessus de la ligne, relié à la place d'un mot biffé ; l'exposant -1/\chi est entre guillemets sur la page

Au niveau du \mathrm{ch}_B, ceci s'écrit \mathrm{ch}\, \varphi_L(\uncertain{\mathrm{cl}(L)}) = \chi \exp\Bigl(-\frac{D'}{\chi}\Bigr) = \chi - D' + \frac{1}{2\chi} D'^{2} - \frac{1}{3!\,\chi^{2}} D'^{3} \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!\,\chi^{n-1}} D'^{n}, et au niveau des classes de Chern \begin{align*} c(\varphi_L(\uncertain{\mathrm{cl}(L)})) &= \Bigl(1 - \frac{D'}{\chi}\Bigr)^{\chi} = 1 - D' + \frac{\chi(\chi-1)}{2\chi} D'^{2} - \frac{\chi(\chi-1)(\chi-2)}{3!\,\chi^{2}} D'^{3} + \cdots \\ &\qquad + (-1)^n \frac{\chi(\chi-1)\cdots(\chi-n+1)}{n!\,\chi^{n-1}} D'^{n}. \end{align*}

D' \in \uncertain{\mathrm{Cw}^{1}} défini par L'

« Cw » est la lecture des glyphes, ici et pp. 9-10 : un C, une lettre basse à deux jambages, un point en exposant et l'indice \mathbf{Q} ; c'est la place de l'anneau de Chow, que la p. 10 oppose à une « théorie cohomologique ». L'argument de \varphi_L dans les deux formules est surchargé

? Ces formules sont-elles bien vraies mod torsion ? Elles sont vraies au moins sur un corps alg. clos, mod équivalence homologique (donc le \neq car. h). Ceci donnerait des propriétés de divisibilité intéressantes de \delta' : à savoir \struck{\ill{}}\; \frac{\chi(\chi-1)\cdots(\chi-k+1)}{k!\,\chi^{k-2}}\, \delta'^{k} est « entier », i.e. provient d'un cycle à coeff. entiers.

le point d'interrogation ouvrant le paragraphe est le sien, en marge ; « équivalence homologique » est souligné deux fois ; la dernière parenthèse ne se lit qu'avec doute

3) On vérifie (par R.R. pour A \times A \xrightarrow{\;\pi_A\;} A) que l'on a sur A (*) \qquad \mathrm{ch}(x * y) = \mathrm{ch}(x) * \mathrm{ch}(y)\; \mathrm{Todd}(t_A) (donc, : \mathrm{ch}(x * y) = \mathrm{ch}(x) * \mathrm{ch}(y) si \mathrm{Todd}\, t_A = 1, p. ex. si t_A est trivial, p. ex. S local).

Considérons d'autre part l'élément D de \mathrm{Cw}^{1}(A \times A) défini par L, et considérons le \exp D, d'où \Psi_D = \varphi_{\exp D} \colon \mathrm{Cw}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}} \longrightarrow \mathrm{Cw}^{\cdot}(B)_{\mathbf{Q}}.

« \exp D » est écrit au-dessus de « l'élément », relié par un trait

Alors On a donc, par prop. 1 : \Psi_D(xy) = \Psi_D(x)\Psi_D(y). On veut utiliser prop. 2 pour calculer \Psi_D(a * b). On a, si a = \mathrm{ch}\, x, b = \mathrm{ch}\, y : x * y = \mathrm{ch}\, a * \mathrm{ch}\, b = \mathrm{ch}(a * b)\, T^{-1} (T = \mathrm{Todd}(t_A)), d'où \Psi_D(x * y) = \Psi_D(\mathrm{ch}(a * b)\, T^{-1})

tout le bloc est encadré d'un trait à gauche et barré d'une diagonale ; c'est une première rédaction, reprise ci-dessous

~~Si on a~~ , par RR pour A \times_S B \to B : \mathrm{ch}(\varphi_L(x)) = \Psi_D(\mathrm{ch}(x))\, T \qquad (T = \mathrm{Todd}\, t_A) ~~Supposons~~ Posons a = \mathrm{ch}\, x, b = \mathrm{ch}\, y, et transformons \varphi_L(x * y) = \varphi_L(x)\, \varphi_L(y) \qquad \text{(prop 1)} par \mathrm{ch}, on trouve \Psi_D(\mathrm{ch}(x * y))\, T = \Psi_D(\mathrm{ch}\, x)\, T\; \Psi_D(\mathrm{ch}\, y)\, T d'où, grâce à (*) : \Psi_D(\struck{\ill{}}\; \mathrm{ch}\, x * \mathrm{ch}\, y)\, T\, \struck{T^{2}} = \Psi_D(\mathrm{ch}\, x)\, \Psi_D(\mathrm{ch}\, y)\, T^{2} i.e. \Psi_D(a * b) = \Psi_D(a)\, \Psi_D(b)

la dernière formule est encadrée ; « (*) » est écrit au-dessus du facteur biffé de la précédente

De même, on a (prop. 2, cor.) \varphi_L(xy) = \bigl(\varphi_L(x) * \varphi_L(y)\bigr)\; \struck{\ill{}}\; (-1)^n \omega_A d'où en appliquant \mathrm{ch} et (*) \Psi_D(\mathrm{ch}(xy)) = \struck{\ill{}}\; \Psi_D(\mathrm{ch}\, x) * \Psi_D(\mathrm{ch}\, y)\bigr)\, T\, (-1)^n\, \struck{\exp}\; \mathrm{ch}\, \omega_A donc comme \mathrm{ch}(xy) = \mathrm{ch}\, x\; \mathrm{ch}\, y \Psi_D(ab) = \Psi_D(a) * \Psi_D(b)\, (-1)^n\, T\, \mathrm{ch}\, \omega_A \qquad \begin{cases} T = \mathrm{Todd}(t_A) \\ \omega_A = \hat\Lambda\, t_A^{\vee} \end{cases}

la formule est encadrée ; la parenthèse ouvrante manque à la ligne précédente, comme sur la page

a, b \in \mathrm{Cw}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}} ; les formules dès que

Ce sont les formules ( affirmations) par Kleiman dans « 10 Exposés … », sur un corps alg. clos et en travaillant avec une théorie cohomologique plutôt qu'avec \mathrm{Cw}_{\mathbf{Q}}, — à cela près que Kleiman n'a pas tenu compte des facteurs (-1)^n !

4) Il résulte de (th. de dualité pour A \times_S B \to B) qu'on a un isom. fonctoriel \Phi_L\bigl(\check F \otimes \omega_A[n]\bigr) \simeq \Phi_L(F)^{\vee} i.e. \Phi_L(F)^{\vee} \simeq \Phi_L\bigl(\check F \otimes \omega_A[n]\bigr) Donc pour les virtuels, ceci s'écrit \varphi_L(x)^{\vee} = (-1)^n\, \omega_A\, \varphi_L(\check x)

la seconde formule est encadrée

5) Bien sûr, si u est un automorphisme de A et u' l'automorphisme contragrédient de B, on a par transport de structure un isom. canonique \Phi_L(u.F) \simeq u'.\Phi_L(F) En particulier, \Phi_L commute à la symétrie s_A. Kif-kif pour \varphi_L.