Cote n° 47 · batch 1 · pages 1–10 · Transcription · Produit de convolution sur les VA et transformation de Fourier dans les VA : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Variétés abéliennes » (45 à 56) est daté 1961-1973
Édition de démonstration

Produit de convolution sur les VA et transformation de Fourier dans les VA

titre de sa main sur le premier feuillet, qui ne porte rien d'autre et ne reçoit donc pas de page ; « VA » abrège variétés abéliennes. Les neuf feuillets qui suivent forment une suite continue

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Proposition 1. Soient \(S\) un schéma, \(A\) un schéma abélien sur \(S\), \(X\) un schéma sur \(S\), \(L\) un […] faisceau inversible sur […] \(A \times_S X\), Considérons l'homomorphisme trivial sur \(e_A \times_S X\), et tel que pour tout […] pour tt \(x \in X\), le faisceau \(L_x\) sur \(A_x = A_s \otimes_{k(s)} k(x)\) (où \(s\) est l'image de \(x\)) soit alg. équivalent à zéro. Considérons l'application \[ \varphi_L \colon K^{\cdot}(A) \longrightarrow K^{\cdot}(X) \] définie par l'application additive le foncteur de catégories triangulées \(\Phi \colon D_{\mathrm{parf}}(A) \to D_{\mathrm{parf}}(X)\) \[ \Phi_L(F) = \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{L}pr_1^{*}(F) \otimes L\bigr) \] Alors \(\varphi_L\) transforme produit de Pontrjagin \(*\) en produit ordinaire. Plus précisément, on a un isomorphisme de foncteurs de catégories triangulées \[ \Phi_L\bigl(F \overset{L}{*} G\bigr) \;\simeq\; \Phi_L(F) \overset{L}{\otimes} \Phi_L(G) \qquad (F, G \in \mathrm{Ob}\, D_{\mathrm{parf}}(A)). \]

peut se généraliser au cas \(A\) un schéma en groupes, \(L\) sur \(A \times_S X\) satisfaisant à \((\pi \times \mathrm{id}_X)^{*}(L) \simeq pr_{13}^{*}(L) \otimes pr_{23}^{*}(L)\), et \(F\) et \(G\) sur \(A\) […] \(\in \mathrm{Ob}\, D^{b}_{\mathrm{qcoh}}(A)\) […] ; on peut aussi généraliser au cas […] concernant des complexes sur des \(C\)-torseurs, \(P \times Q \to R\), \(C \times Q \to C\), […] et des faisceaux \(L\), \(L'\), \(L''\) sur \(R \times X\), \(P \times X\), \(Q \times X\) […] tels que \((\pi \times \mathrm{id}_X)^{*}(L) \simeq pr_{13}^{*}(L')\, pr_{23}^{*}(L'')\)

la note marginale court en biais le long du bord gauche du feuillet, en deux blocs ; entre les deux, plusieurs lignes ne se laissent pas lire

Si le th. est démontré dans la situation donnée, il en résulte qu'il est vrai aussi dans la situation \((A, X', L')\) qui s'en déduit par image inverse à l'aide d'un \(S\)-morphisme \(f \colon X' \to X\), car \(\Phi_{L'} \simeq \mathbb{L}f^{*}(\Phi_L)\), et \(\mathbb{L}f^{*}\) commute à \(\overset{L}{\otimes}\). Soient donc \(B\) le schéma abélien dual de \(A\), et \(L_0\) le faisceau de Weil sur \(A \times_S B\). Alors l'hypothèse sur \(L\) implique que \(L\) est \(\simeq\) l'image inverse de \(L_0\) par un morphisme \(X \to B\). Donc on est ramené au cas \(X = B\), \(L = L_0\). On Or on a des isom. fonctoriels \[ (*) \qquad F \overset{L}{*} G = \mathbb{R}\pi_{*}\bigl(F \overset{L}{\otimes}_S G\bigr) \quad \text{et} \]

3

\begin{tikzcd}[column sep=small]
A \times A \arrow[d, "\pi"'] & A \times_S A \times_S B \arrow[l, "pr_{12}"'] \arrow[d, "\pi \times \mathrm{id}_B"] \arrow[dr, "pr_3"] & \\
A & A \times_S B \arrow[l, "pr_1"] \arrow[r, "pr_2"'] & B
\end{tikzcd}

« cart » est inscrit dans le carré de gauche

\begin{tikzcd}[column sep=small]
A \times_S A \times_S B \arrow[r, "pr_3"] \arrow[d, "f"'] \arrow[dd, bend right=70, "pr_{12}"'] & B \arrow[d, "\Delta_B"] \\
A \times_S A \times_S B \times_S B \arrow[r, "pr_{34}"] \arrow[d, "pr'_{12}"] & B \times_S B \\
A \times_S A &
\end{tikzcd}

« cart » est inscrit dans le carré ; la flèche verticale \(f\) porte sur la page \(\mathrm{id}_{A \times A} \times \Delta_B = f\)

\[\begin{align*} \Phi\bigl(F \overset{L}{*} G\bigr) &\underset{\text{déf}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{L}pr_1^{*}(F \overset{L}{*} G) \otimes L\bigr) \underset{(*)}{=} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{L}pr_1^{*}(\pi_{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G)) \otimes L\bigr) \\ &\underset{\text{chgt. de base}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{R}(\pi \times \mathrm{id}_B)_{*}(\mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G)) \otimes L\bigr) \\ &\underset{\text{formule de proj.}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(\mathbb{R}(\pi \times \mathrm{id}_B)_{*}(\mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \\ &\hphantom{\underset{\text{formule de proj.}}{\simeq}\mathbb{R}pr_{2*}\bigl(} \otimes (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L))\bigr) \\ &\underset{\text{transit.}}{\simeq} \mathbb{R}pr_{3*}\bigl(\mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L)\bigr) \end{align*}\]

le « \(\otimes L\) » de la première ligne est ajouté au-dessus, oublié d'abord

Or on a (th. des carrés) un isom. can. \[ (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L) \simeq pr_{13}^{*}(L)\, pr_{23}^{*}(L) \] où \(pr_{13}, pr_{23} \colon A \times A \times B \to A \times B\) sont respectivement \(pr_1 \times \mathrm{id}_B\) et \(pr_2 \times \mathrm{id}_B\). On en conclut \[ \mathbb{L}pr_{12}^{*}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes (\pi \times \mathrm{id}_B)^{*}(L) \;\simeq\; \mathbb{L}f^{*}\bigl(pr^{\prime *}_{12}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes pr^{\prime *}_{13}(L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(L)\bigr) \] où \(pr'_{13}\), \(pr'_{24}\) sont les deux projections \(A \times_S A \times_S B \times_S B \to A \times_S B\). On a d'ailleurs on a (ass. du \(\otimes\)) \[ pr^{\prime *}_{12}(F \overset{L}{\otimes}_S G) \otimes pr^{\prime *}_{13}(L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(L) \;\simeq\; pr^{\prime *}_{13}(F \otimes L) \overset{L}{\otimes} pr^{\prime *}_{24}(G \otimes L) \] et on en conclut \[\begin{align*} \Phi\bigl(F \overset{L}{*} G\bigr) &\simeq \mathbb{R}pr_{3*}\bigl(\mathbb{L}f^{*}(\quad)\bigr) \underset{\text{chgt. de base}}{\simeq} \mathbb{L}\Delta_B^{*}\Bigl(\mathbb{R}pr_{34*}\bigl(pr^{\prime *}_{13}(F \otimes_S L) \overset{L}{\otimes} pr^{\prime *}_{24}(G \otimes_S L)\bigr)\Bigr) \\ &\underset{\text{Künneth}}{\simeq} \mathbb{L}\Delta_B^{*}\bigl(\mathbb{R}pr_{2*}(F \otimes L) \overset{L}{\otimes}_S \mathbb{R}pr_{2*}(G \otimes L)\bigr) \\ &\underset{\text{déf}}{\simeq} \mathbb{L}\Delta_B^{*}\bigl(\Phi(F) \overset{L}{\otimes}_S \Phi(G)\bigr) \simeq \Phi(F) \overset{L}{\otimes} \Phi(G) \end{align*}\] cqfd.

les parenthèses vides de \(\mathbb{L}f^{*}(\quad)\) sont sur la page : un trait les relie à l'expression soulignée deux lignes plus haut

Théorème Proposition 2. Soient \(A\), \(B\) deux schémas abéliens sur \(S\), de dim relative \(n\), \(L\) un Module inversible birigidifié sur \(A \times B\), définissant une dualité entre \(A\) et \(B\). Considérons Alors le composé des trans[…] \[ K(A) \xrightarrow{\;\varphi_L\;} K(B) \xrightarrow{\;\varphi_{{}^{s}L}\;} K(A) \] est \((-1)^n s_A^{*}\) (où \(s_A\) est la symétrie de \(A\)) (donc, par exemple, \(\varphi_L\) et \((-1)^n s_A^{*} \varphi_{{}^{s}L}\) sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre).

« de dim relative \(n\) » est ajouté en interligne ; \({}^{s}L\) est le faisceau sur \(B \times A\) déduit de \(L\) par la symétrie des facteurs ; le \((-1)^n\) de la dernière parenthèse est ajouté au-dessus de la ligne. La suite cite cet énoncé comme « prop. 2 »

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Plus précisément, le foncteur composé \[ D_{\mathrm{parf}}(A) \xrightarrow{\;\Phi_L\;} D_{\mathrm{parf}}(B) \xrightarrow{\;\Phi_{{}^{s}L}\;} D_{\mathrm{parf}}(A) \] est isomorphe au foncteur can. isomorphe au foncteur \(\mathbb{L}s_A^{*} \simeq \mathbb{R}s_{A*}\) suivi de \(\tau_A[-n]\), […] où \(\tau_A \simeq \hat\Lambda\, t_A \simeq \hat\Lambda\, t_B\) respectivement. Donc \(\Phi_L\) et \(\mathbb{L}s_A^{*}\Phi_{{}^{s}L}\) (\(= \mathbb{R}s_{A*}\Phi_{{}^{s}L}\)) […] sont des équivalences des catégories triangulées de \(D_{\mathrm{parf}}(A)\) et \(D_{\mathrm{parf}}(B)\).

\(\hat\Lambda\) : le \(\Lambda\) porte un accent, remplacé plus bas (p. 6) par un \(n\) ; c'est la puissance extérieure maximale. \(t_A\) est le faisceau tangent de \(A\) le long de la section nulle, cf. p. 6

inutile de se borner aux complexes parfaits, prendre […] p. ex. dans \(D^{b}_{\mathrm{qcoh}}\) […]

[…]

un mot encerclé et biffé, en haut à droite, ne se lit pas

Corollaire 2. […] \(\Phi_L\) transforme produit ordinaire en produit de convolution : \[ \Phi_L\bigl(F \overset{L}{\otimes} G\bigr) \otimes \omega_A[n] \;\simeq\; \bigl[\Phi_L(F) \otimes \omega_A[n]\bigr] * \bigl[\Phi_L(G) \otimes \omega_A[n]\bigr] \] i.e. \[ \Phi_L\bigl(F \overset{L}{\otimes} G\bigr) \;\simeq\; \bigl[\Phi_L(F) * \Phi_L(G)\bigr] \otimes \omega_A[n]. \]

le début de l'énoncé est remanié et largement biffé ; on lit encore, biffés, « \(\Phi_L^{\omega_A[n]}\) », « \(\overset{L}{\otimes}\) en \(\overset{L}{*}\) » et « \(x \mapsto (-1)^n\, \mathrm{cl}\,\omega_A\, \varphi_L(x)\) », et, non biffé, en interligne au-dessus, « \(F \mapsto \Phi_L(F \otimes \omega_A[n]) \simeq \Phi_L(F) \otimes \omega_A[n]\) transforme »

Prouvons la prop. 2. Il suffit de définir un isom. \(\Phi_{{}^{s}L} \cdot \Phi_L = \mathrm{id}_{D_{\mathrm{parf}}(A)}\). Or le composé des foncteurs est de la forme \(F \mapsto \mathbb{R}pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}(F) \overset{L}{\otimes} M\bigr)\), où \(M \in D_{\mathrm{parf}}(A)\) est donné par \[ M = \mathbb{R}pr_{13*}\bigl(pr_{12}^{*}(L)\, pr_{23}^{*}({}^{s}L)\bigr) \]

\(A \times B \times A\)

« \(D_{\mathrm{parf}}(A)\) » est ce qui est écrit ; le noyau \(M\) vit sur \(A \times A\). La note marginale nomme l'espace des projections

Il faut donc calculer ce \(\mathbb{R}pr_{13*}\), et pour ceci, posons \(C = A \times A\), et considérons l'isom. \(A \times B \times A \simeq\) […] \(C \times B\). Le module inversible \(N = pr_{12}^{*}(L)\, pr_{23}^{*}({}^{s}L)\) sur \(C \times B\) est […] birigidifié de façon canonique, et correspond à un homomorphisme \(C \xrightarrow{\;\Psi\;} B^{*}\), qui n'est autre que l'hom. de \(A \times A\) dans \(B^{*}\) dont les deux composantes sont égales à \(\varphi \colon A \to B\) (l'hom. de \(A\) dans \(B^{*}\) défini par \(L\)).

« deux » est ajouté en interligne

5

\begin{tikzcd}
C \times_S B \arrow[r, "\Psi \times \mathrm{id}_B"] \arrow[d, "pr_1"'] & B^{*} \times_S B \arrow[d, "pr'_1"] \\
C \arrow[r, "\Psi"] & B^{*}
\end{tikzcd}

« cart » dans le carré ; le second facteur du coin supérieur droit porte un astérisque biffé

Ceci dit, on aura \(\mathbb{R}pr_{2*}(N)\) \(N \simeq (\Psi \times \mathrm{id}_B)^{*}(W_B)\) (\(W_B\) le Module de Weil sur \(B \times_S B^{*}\)), d'où \[ \mathbb{R}pr_{2*}(N) \simeq \mathbb{R}pr_{2*}(\Psi \times \mathrm{id}_B)^{*}(W_B) \underset{\text{chgt de base}}{\simeq} \mathbb{L}\Psi^{*}\bigl(\mathbb{R}pr'_{2*}(W_B)\bigr). \]

la ligne écrit \(pr_2\), \(pr'_2\) là où le diagramme et le corollaire ci-dessous ont \(pr_1\), \(pr'_1\)

Lemme 1. Soient \(B\) un schéma abélien sur \(S\), de dim. relative \(n\), \(W\) le faisceau de Weil sur \(B^{*} \times_S B\), \(p \colon B^{*} \times_S B \to B^{*}\) la projection. Alors \[ \mathbb{R}p_{*}(W) \simeq e_{*}\bigl(\struck{\ill{}}\; \tau_{B^{*}}[-n]\bigr) \] (\(\tau_{B^{*}} = \hat\Lambda^{n}\, t_{B^{*}}\), \(t_{B^{*}}\) le faisceau tangent à \(B^{*}\) le long de la section \(0\)) (isom. canonique).

« de dim. relative \(n\) » est ajouté en interligne, relié par une accolade ; les astérisques des deux \(B\) de l'énoncé sont retouchés, un ajouté, un biffé, et la lecture \(B^{*} \times_S B\) suit le diagramme

\(\simeq e_{*}(\omega^{-1})\) où \(\omega = \uncertain{\det{}^{*}}(\Omega^{1}_{B^{*}/S})\)

On en conclut

Corollaire. Soient \(C\), \(B\) schémas abéliens sur \(S\), \(N\) un Module inversible birigidifié sur \(C \times_S B\), \(\Psi \colon C \to B^{*}\) l'hom. correspondant. Alors on a \[ \mathbb{R}pr_{1*}(N) \simeq \mathbb{L}\Psi^{*}\bigl(\uncertain{e_{*}\tau_{B^{*}}}[-n]\bigr) \]

les symboles entre la parenthèse et \([-n]\) sont surchargés et ne se lisent qu'avec doute

En particulier, si \(\Psi\) est un épimorphisme, donc plat, et si \(K = \operatorname{Ker}\Psi\), donc \(K\) est un sous-schéma en groupes de \(C\) plat et de prés. finie sur \(S\) donc défini \(\mathcal{O}_K\) […] parfait sur \(C\), et on a \[ \mathbb{R}pr_{1*}(N) \simeq \mathcal{O}_K[-n] \otimes_S \tau_{B^{*}} \]

Dans le cas qui nous occupe, \(C = A \times A\), […], \(\varphi \colon A \simeq \uncertain{C^{*}}\), et […] par suite \(K\) est l'antidiagonale de \(A \times_S A\), noyau de \(\pi_A \colon A \times_S A \to A\), qui est le graphe de la symétrie \(s_A\) de \(A\). Donc […] modulo dém. du Lemme 1.

la lettre lue \(C^{*}\) est nette ; l'argument demande \(B^{*}\)

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Démonstration du Lemme 1. Il sera une conséquence du

Lemme 2 (Mumford). Soit \(B\) schéma abélien sur un corps (alg. clos) \(k\), et \(L\) un Module inv. sur \(B\) alg. équivalent à zéro, Alors et non isomorphe à \(\mathcal{O}_B\). Alors on a \[ H^{i}(X, L) = 0 \quad \text{pour tout } i \]

« \(X\) » est ce qui est écrit, pour \(B\). Suit un encadré entièrement biffé, où l'on distingue \(H^{0}(X, L) = 0\), \(k\), \(L \simeq \mathcal{O}\)

Démonstration du Lemme 2. L'assertion sur les \(H^{0}\) est triviale, et il reste à prouver que \(H^{i}(X, L) = 0\) […]

Nous allons ici admettre le lemme 2, et nous montrons comment on conclut déduit le lemme 1. Nous voyons déjà grâce au lemme 2 que \(\mathbb{R}p_{*}(W)\) est concentré sur la section unité de \(B^{*}\). Nous allons définir un homomorphisme canonique (on écrit \(e_{B^{*}} = e\)) \[ \mathbb{R}p_{*}(W) \longrightarrow \struck{\ill{}}\; e_{*}(\mathcal{O}_S) \otimes_{\mathcal{O}_S} \tau_{B^{*}}[-n] \] (comme […], […] \(R^{i}p_{*}(W) = 0\) si \(i > n\)) ou, ce qui revient au même, un homomorphisme canonique \[ R^{n}p_{*}(W) \longrightarrow \struck{\otimes_S}\; \tau_{B^{*}} \] ou encore un hom. \[ \struck{e_{B}}\; e^{*}\bigl(R^{n}p_{*}(W)\bigr) \longrightarrow \struck{\otimes_S}\; \tau_{B^{*}} \]

\begin{tikzcd}
B^{*} \times_S B \arrow[d, "p"'] & B \arrow[l, "e'"'] \arrow[d, "g"] \\
B^{*} & S \arrow[l, "e"]
\end{tikzcd}

Or on a […] (formule de changement de base, comme \(e^{\prime *}(W) \simeq \mathcal{O}_B\), et […]) définissant un hom. \[ R^{n}g_{*}(\mathcal{O}_B) \longrightarrow \struck{\otimes_S}\; \tau_{B^{*}} \] Or on sait que l'on a un isom canonique \[ R^{n}g_{*}(\mathcal{O}_B) \simeq \hat\Lambda\, R^{1}g_{*}(\mathcal{O}_B) \simeq \hat\Lambda^{n}\, t_{B^{*}} \] où \(t_{B^{*}}\) est le faisceau tangent de \(B^{*}\) le long de \(e\). On prend alors […] l'hom identique \(\hat\Lambda^{n}\, t_{B^{*}} \simeq \tau_{B^{*}}\).

7

Ceci posé, je dis que l'homomorphisme précédent \[ \mathbb{R}p_{*}(W) \longrightarrow e_{*}(\mathcal{O}_S) \otimes \tau_{B^{*}}[-n] \] est un isomorphisme. Il suffit pour ceci de prouver que l'homomorphisme induit pour les en tout point \(x\) \(b \in B^{*}\) par \(\mathbb{L}i_b^{*}\) est un isomorphisme (histoire de […]-cylindres …). En les points \(b \in B^{*} - e(S)\), ce n'est autre que le lemme 2. En un point \(b \in e\) \(b\) de \(e(S)\), on est ramené au cas où \(S\) est le spectre d'un corps algébriquement clos, à faire une vérification de compatibilité ……

Remarques 1) a) \(\Phi_L\) transforme \(e_A\) en \(1_B\), \(e_s\) (\(s\) section de \(A/S\)) en \(L_s\) (faisceau inv. alg. \(\simeq 0\) sur \(B\) rel \(/S\)), donc \(e_s * F\) en \(L_s \otimes \Phi_L(F)\).

b) \(\Phi_L\) transforme \(\omega_A[n]\) en […], \(\omega_A[n]\) \(L_t\) (\(t\) section de \(B\) sur \(S\)) en \(\tau[-n]\, e_{-t}\), i.e. \(L_t\, \omega[n]\) en \(e_{-t}\), donc \(F \otimes L_t\) […] en \(\bigl[\Phi_L(F) * e_{-t}\bigr]\) […].

la lettre lue \(B\) est formée comme un \(D\), ici comme p. 5 dans \(W_B\) ; \(e_A\), \(e_s\), \(e_{-t}\) sont les faisceaux structuraux des sections correspondantes

c) \(\varepsilon_B(\Phi_L(F)) = \chi_A(F)\), \(\chi_B(\Phi_L(F)) = (-1)^n\, \varepsilon_A(F)\).

\(\varepsilon = \) […] ; égalité dans \(H^{0}(S, \mathbf{Z})\)

2) \(\det{}^{*} \circ \Phi_L\) définit un homomorphisme \[ \varphi \colon \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S} \] qui, pour toute section […] \(\delta\) de \(\underline{NS}_{A/S}\), définit un […] \[ \underline{\mathrm{Pic}}^{\delta}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}^{-\delta'}_{B/S} \] compatible avec \(-(-\tilde\delta{}') = \tilde\delta{}'\)

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si \(\delta' \in \underline{NS}_{B/S}(S)\) été défini comme […] constitué par ailleurs, par \[ \tilde\delta{}'\, \tilde\delta = -\chi(\delta)\, \mathrm{id}_A \] ……

On peut se proposer, pour une section \(\lambda\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}\), définissant \(L\) faisceau inv. sur \(A\), de « calculer » la classe dans \(K(B)\) de \(\varphi_L(\struck{\ill{}}\, \mathrm{cl}(L))\) en termes des invariants de la section \(\varphi(\lambda)\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}\), définissant un faisceau inversible \(L'^{-1}\) sur \(B\) (de classe \(-\delta'\) dans \(NS(B/S)\) si \(\delta\) est la classe de \(\lambda\) dans \(NS(A/S)\)). Heuristiquement, […] devrait avoir (pour \(\chi(\delta) \neq 0\) partout sur \(S\)) \[ \varphi_L(\mathrm{cl}(L)) = \chi\; \struck{\ill{}}\; L'^{-1/\chi} \qquad \text{où } \chi = \chi(\delta) \in H^{0}(S, \mathbf{Z}). \]

indépendant des résultats de Mumford

« devrait avoir » est ajouté au-dessus de la ligne, relié à la place d'un mot biffé ; l'exposant \(-1/\chi\) est entre guillemets sur la page

Au niveau du \(\mathrm{ch}_B\), ceci s'écrit \[ \mathrm{ch}\, \varphi_L(\uncertain{\mathrm{cl}(L)}) = \chi \exp\Bigl(-\frac{D'}{\chi}\Bigr) = \chi - D' + \frac{1}{2\chi} D'^{2} - \frac{1}{3!\,\chi^{2}} D'^{3} \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!\,\chi^{n-1}} D'^{n}, \] et au niveau des classes de Chern […] \[\begin{align*} c(\varphi_L(\uncertain{\mathrm{cl}(L)})) &= \Bigl(1 - \frac{D'}{\chi}\Bigr)^{\chi} = 1 - D' + \frac{\chi(\chi-1)}{2\chi} D'^{2} - \frac{\chi(\chi-1)(\chi-2)}{3!\,\chi^{2}} D'^{3} + \cdots \\ &\qquad + (-1)^n \frac{\chi(\chi-1)\cdots(\chi-n+1)}{n!\,\chi^{n-1}} D'^{n}. \end{align*}\]

\(D' \in \uncertain{\mathrm{Cw}^{1}}\) défini par \(L'\)

« Cw » est la lecture des glyphes, ici et pp. 9-10 : un \(C\), une lettre basse à deux jambages, un point en exposant et l'indice \(\mathbf{Q}\) ; c'est la place de l'anneau de Chow, que la p. 10 oppose à une « théorie cohomologique ». L'argument de \(\varphi_L\) dans les deux formules est surchargé

? Ces formules sont-elles bien vraies mod torsion ? Elles sont vraies au moins sur un corps alg. clos, mod équivalence homologique (donc le \(\neq\) car. \(h\)). Ceci donnerait des propriétés de divisibilité intéressantes de \(\delta'\) : à savoir \[ \struck{\ill{}}\; \frac{\chi(\chi-1)\cdots(\chi-k+1)}{k!\,\chi^{k-2}}\, \delta'^{k} \] est « entier », i.e. provient d'un cycle à coeff. entiers.

le point d'interrogation ouvrant le paragraphe est le sien, en marge ; « équivalence homologique » est souligné deux fois ; la dernière parenthèse ne se lit qu'avec doute

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3) On vérifie (par R.R. pour \(A \times A \xrightarrow{\;\pi_A\;} A\)) que l'on a sur \(A\) \[ (*) \qquad \mathrm{ch}(x * y) = \mathrm{ch}(x) * \mathrm{ch}(y)\; \mathrm{Todd}(t_A) \] (donc, […] : \(\mathrm{ch}(x * y) = \mathrm{ch}(x) * \mathrm{ch}(y)\) si \(\mathrm{Todd}\, t_A = 1\), p. ex. si \(t_A\) est trivial, p. ex. \(S\) local).

Considérons d'autre part l'élément \(D\) de \(\mathrm{Cw}^{1}(A \times A)\) défini par \(L\), et considérons le \(\exp D\), d'où \[ \Psi_D = \varphi_{\exp D} \colon \mathrm{Cw}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}} \longrightarrow \mathrm{Cw}^{\cdot}(B)_{\mathbf{Q}}. \]

« \(\exp D\) » est écrit au-dessus de « l'élément », relié par un trait

Alors […] On a donc, par prop. 1 : \(\Psi_D(xy) = \Psi_D(x)\Psi_D(y)\). On veut utiliser prop. 2 pour calculer \(\Psi_D(a * b)\). On a, si \(a = \mathrm{ch}\, x\), \(b = \mathrm{ch}\, y\) : \(x * y = \mathrm{ch}\, a * \mathrm{ch}\, b = \mathrm{ch}(a * b)\, T^{-1}\) (\(T = \mathrm{Todd}(t_A)\)), d'où \(\Psi_D(x * y) = \Psi_D(\mathrm{ch}(a * b)\, T^{-1})\)

tout le bloc est encadré d'un trait à gauche et barré d'une diagonale ; c'est une première rédaction, reprise ci-dessous

Si on a […], par RR pour \(A \times_S B \to B\) : \[ \mathrm{ch}(\varphi_L(x)) = \Psi_D(\mathrm{ch}(x))\, T \qquad (T = \mathrm{Todd}\, t_A) \] Supposons […] Posons \(a = \mathrm{ch}\, x\), \(b = \mathrm{ch}\, y\), et transformons […] \[ \varphi_L(x * y) = \varphi_L(x)\, \varphi_L(y) \qquad \text{(prop 1)} \] par \(\mathrm{ch}\), on trouve \[ \Psi_D(\mathrm{ch}(x * y))\, T = \Psi_D(\mathrm{ch}\, x)\, T\; \Psi_D(\mathrm{ch}\, y)\, T \] d'où, […] grâce à \((*)\) : \[ \Psi_D(\struck{\ill{}}\; \mathrm{ch}\, x * \mathrm{ch}\, y)\, T\, \struck{T^{2}} = \Psi_D(\mathrm{ch}\, x)\, \Psi_D(\mathrm{ch}\, y)\, T^{2} \] i.e. \[ \Psi_D(a * b) = \Psi_D(a)\, \Psi_D(b) \]

la dernière formule est encadrée ; « \((*)\) » est écrit au-dessus du facteur biffé de la précédente

10

De même, on a (prop. 2, cor.) \[ \varphi_L(xy) = \bigl(\varphi_L(x) * \varphi_L(y)\bigr)\; \struck{\ill{}}\; (-1)^n \omega_A \] d'où en appliquant \(\mathrm{ch}\) et \((*)\) \[ \Psi_D(\mathrm{ch}(xy)) = \struck{\ill{}}\; \Psi_D(\mathrm{ch}\, x) * \Psi_D(\mathrm{ch}\, y)\bigr)\, T\, (-1)^n\, \struck{\exp}\; \mathrm{ch}\, \omega_A \] donc comme \(\mathrm{ch}(xy) = \mathrm{ch}\, x\; \mathrm{ch}\, y\) \[ \Psi_D(ab) = \Psi_D(a) * \Psi_D(b)\, (-1)^n\, T\, \mathrm{ch}\, \omega_A \qquad \begin{cases} T = \mathrm{Todd}(t_A) \\ \omega_A = \hat\Lambda\, t_A^{\vee} \end{cases} \]

la formule est encadrée ; la parenthèse ouvrante manque à la ligne précédente, comme sur la page

\(a, b \in \mathrm{Cw}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}}\) ; les formules […] dès que […]

Ce sont les formules ([…] […] affirmations) par Kleiman dans « 10 Exposés … », sur un corps alg. clos et en travaillant avec une théorie cohomologique plutôt qu'avec \(\mathrm{Cw}_{\mathbf{Q}}\), — à cela près que Kleiman n'a pas tenu compte des facteurs \((-1)^n\) !

4) Il résulte de (th. de dualité pour \(A \times_S B \to B\)) qu'on a un isom. fonctoriel \[ \Phi_L\bigl(\check F \otimes \omega_A[n]\bigr) \simeq \Phi_L(F)^{\vee} \] i.e. \[ \Phi_L(F)^{\vee} \simeq \Phi_L\bigl(\check F \otimes \omega_A[n]\bigr) \] Donc pour les […] virtuels, ceci s'écrit \[ \varphi_L(x)^{\vee} = (-1)^n\, \omega_A\, \varphi_L(\check x) \]

la seconde formule est encadrée

5) Bien sûr, si \(u\) est un automorphisme de \(A\) et \(u'\) l'automorphisme contragrédient de \(B\), on a par transport de structure un isom. canonique \[ \Phi_L(u.F) \simeq u'.\Phi_L(F) \] En particulier, \(\Phi_L\) commute à la symétrie \(s_A\). Kif-kif pour \(\varphi_L\).