Cote n° 47 · pages 1–10 · Lecture modernisée · Produit de convolution sur les VA et transformation de Fourier dans les VA : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : s.d. — le groupe « Variétés abéliennes » (45 à 56) est daté 1961-1973
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Ces neuf feuillets construisent une transformation de Fourier pour les variétés abéliennes, et démontrent qu'elle s'inverse.

La transformation de Fourier ordinaire prend une fonction sur la droite réelle et la décompose en ondes : à chaque fréquence \(\xi\) elle associe l'intégrale de \(f(x)e^{-ix\xi}\). Elle doit ses vertus à deux faits. Le premier est qu'elle échange deux opérations de nature différente : le produit de convolution \(f * g\), qui mélange deux fonctions en déplaçant l'une le long de l'autre, devient le produit ordinaire \(\hat f \cdot \hat g\). Le second est qu'elle s'inverse : appliquée deux fois elle rend la fonction de départ, retournée, \(f(-x)\), à une constante près.

Une variété abélienne est un espace algébrique compact muni d'une addition — la généralisation en toute dimension d'une courbe elliptique, dont on sait additionner les points. Elle a une duale \(B\), qui paramètre ses fibrés en droites de degré zéro : un point \(b\) de \(B\) est un fibré \(L_b\) sur \(A\), et l'ensemble de ces fibrés forme un fibré en droites universel \(L\) sur le produit \(A \times B\), le faisceau de Weil, aujourd'hui le fibré de Poincaré. C'est lui qui tient le rôle de l'exponentielle \(e^{-ix\xi}\) : un « point » \(b\) de la duale est une fréquence, et \(L_b\) l'onde correspondante. Les « fonctions » à transformer ne sont pas des fonctions mais des faisceaux, ou plus exactement des complexes de faisceaux ; et l'intégrale est remplacée par la cohomologie le long des fibres. La transformation est donc \(\Phi_L(F) = pr_{2*}(pr_1^{*}F \otimes L)\) : on tire \(F\) sur \(A \times B\), on le multiplie par l'onde universelle, on intègre le long de \(A\).

Les deux vertus subsistent, et ce sont les deux résultats du dossier. La proposition 1 dit que \(\Phi_L\) transforme le produit de convolution des faisceaux — le produit de Pontrjagin, obtenu en poussant \(F \boxtimes G\) le long de l'addition \(A \times A \to A\) — en produit tensoriel. Le théorème dit que, si l'on transforme de \(A\) vers \(B\) puis de \(B\) vers \(A\) avec le même noyau, on retrouve le faisceau de départ retourné par la symétrie \(a \mapsto -a\), décalé de \(n\) degrés et tordu par un fibré en droites canonique sur la base : le déterminant de l'algèbre de Lie. En particulier \(\Phi_L\) est une équivalence de catégories. La preuve ramène tout à un calcul, la cohomologie du fibré de Poincaré le long de l'une des projections, qui se concentre en un point : le lemme d'annulation de Mumford — un fibré de degré zéro non trivial n'a aucune cohomologie — est admis, et le reste se déduit.

Les remarques qui suivent tirent les conséquences. Le rang et la caractéristique d'Euler s'échangent ; les faisceaux ponctuels deviennent des fibrés en droites, et les fibrés en droites de degré zéro des faisceaux ponctuels. La transformée d'un fibré en droites de caractéristique \(\chi\) se comporte, heuristiquement, comme \(\chi\) copies d'une racine \(\chi\)-ième d'un fibré sur la duale, ce dont il tire une formule pour ses classes de Chern et une conjecture de divisibilité. Enfin, en passant aux classes de cycles par le théorème de Riemann–Roch, il obtient une transformation de Fourier sur l'anneau de Chow rationnel, échangeant encore convolution et produit — au signe \((-1)^n\) près, dont il note que les formules publiées par Kleiman l'ont omis.

Tout est écrit sur une base quelconque, pour des schémas abéliens, c'est-à-dire des familles de variétés abéliennes ; c'est ce qui fait apparaître la torsion par le déterminant de l'algèbre de Lie et les classes de Todd des remarques finales, qui disparaissent sur un corps. Ce qui reste alors est, à la lettre, le théorème d'inversion de Mukai (1981) et la transformation de Fourier de Beauville sur l'anneau de Chow (1983). Le dossier, non daté, cite les Dix exposés sur la cohomologie des schémas de 1968 ; il leur est donc postérieur, et antérieur d'une dizaine d'années au moins à ces deux articles, qu'il ne cite évidemment pas.

Keywords — Fourier-Mukai transform, abelian scheme, dual abelian scheme, Poincaré bundle, Pontrjagin product, derived category of perfect complexes, Mukai inversion theorem, Mumford vanishing theorem, theorem of the square, Künneth formula, composition of kernels, Grothendieck-Riemann-Roch, Todd class, Chern character, Fourier transform on Chow groups, Néron-Severi group, polarisation, determinant of cohomology, Grothendieck duality, contragredient automorphism

1–10

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier tient en dix feuillets. Le premier est une chemise qui porte, de sa main, le titre que l'inventaire reproduit : « Produit de convolution sur les VA et transformation de Fourier dans les VA », où VA abrège variétés abéliennes. Les neuf autres sont une suite continue à l'encre bleue, paginée 2 à 10 par les archivistes, sans un feuillet blanc ni une page sautée. Le fil est celui-ci :

Les conventions, fixées ici pour tout ce qui suit

\(S\) est un schéma quelconque, \(A\) et \(B\) des schémas abéliens sur \(S\) de dimension relative \(n\), \(g_A \colon A \to S\) le morphisme structural, \(e_A \colon S \to A\) la section nulle, \(m_A \colon A \times_S A \to A\) l'addition (le manuscrit écrit \(\pi\) ou \(\pi_A\)), \(s_A \colon A \to A\) la symétrie \(a \mapsto -a\). Tous les produits sont pris sur \(S\), et l'indice est omis quand il n'y a pas d'ambiguïté.

\(D_{\mathrm{parf}}(A)\) est la catégorie dérivée des complexes parfaits sur \(A\). Tous les foncteurs \(f^{*}\), \(f_{*}\), \(\otimes\) sont dérivés ; le manuscrit les affuble d'un \(\mathbb{R}\) ou d'un \(\mathbb{L}\) et d'un \(L\) sur le signe \(\otimes\) et sur le signe \(*\), que la lecture omet, l'usage ayant changé.1 Pour \(F\) sur \(A\) et \(G\) sur \(A'\), le produit tensoriel externe est \(F \boxtimes G = pr_1^{*}F \otimes pr_2^{*}G\) sur \(A \times A'\) ; le manuscrit l'écrit \(F \otimes_S G\).

Le produit de Pontrjagin de \(F, G \in D_{\mathrm{parf}}(A)\) est \[ F * G = m_{A*}(F \boxtimes G). \] Il est associatif et commutatif à isomorphisme canonique près, et le faisceau \(e_{A*}\mathcal{O}_S\) — écrit \(e_A\) — en est l'unité ; pour une section \(s\) de \(A\), le faisceau \(e_s = s_{*}\mathcal{O}_S\) vérifie \(e_s * F = t_{s*}F\), translaté de \(F\) par \(s\).

Le schéma abélien dual de \(A\) est \(A^{*}\) ; le faisceau de Weil sur \(A \times A^{*}\) — aujourd'hui le fibré de Poincaré — est le module inversible universel, trivialisé le long de \(e_A \times A^{*}\) et de \(A \times e_{A^{*}}\) (birigidifié), dont la restriction à \(A \times \{b\}\) est le fibré algébriquement équivalent à zéro que le point \(b\) représente. Un module inversible birigidifié \(L\) sur \(A \times B\) définit une dualité entre \(A\) et \(B\) si l'homomorphisme \(\varphi \colon A \to B^{*}\) qu'il induit est un isomorphisme ; \(L\) est alors le faisceau de Weil transporté par \(\varphi\), et le dossier écrit indifféremment \(L\) ou \(W\). Le module sur \(B \times A\) déduit de \(L\) par l'échange des facteurs est \({}^{s}L\).

Le noyau \(L\) étant fixé, la transformation de Fourier du dossier est \[ \Phi_L \colon D_{\mathrm{parf}}(A) \longrightarrow D_{\mathrm{parf}}(B), \qquad \Phi_L(F) = pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}F \otimes L\bigr), \] et \(\varphi_L \colon K(A) \to K(B)\) l'application qu'elle induit sur les groupes de Grothendieck des complexes parfaits. C'est ce que la littérature appelle depuis 1981 la transformation de Fourier–Mukai de noyau \(L\).2

Enfin \(t_A = e_A^{*}T_{A/S}\) est l'algèbre de Lie de \(A\), un module localement libre de rang \(n\) sur \(S\) — le manuscrit dit « faisceau tangent le long de la section nulle » —, \(\tau_A = \Lambda^{n}t_A\) son déterminant et \(\omega_A = \Lambda^{n}t_A^{\vee} = \tau_A^{-1}\).3 L'anneau de Chow rationnel est \(\mathrm{CH}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}}\).4

Ce que le dossier annonce et n'établit pas

Le lemme 2, d'annulation, est attribué à Mumford et admis. La démonstration du lemme 1 s'arrête, à la page 7, sur une « vérification de compatibilité » en pointillé. La note marginale de la page 2 esquisse deux généralisations de la proposition 1 — aux schémas en groupes munis d'un module \(L\) multiplicatif, et aux torseurs — sans les poursuivre. La question de la page 8, si les formules de classes de Chern valent modulo torsion, porte son point d'interrogation. Enfin, l'affirmation que Kleiman « n'a pas tenu compte des facteurs \((-1)^n\) » est la sienne, et la lecture la rapporte sans l'avoir vérifiée sur le texte de Kleiman.

2–3

La transformation échange convolution et produit tensoriel (pages 2 et 3)

L'énoncé

La proposition 1 est énoncée dans une généralité plus grande que celle du théorème : le noyau n'est pas encore le faisceau de Weil, mais une famille quelconque de fibrés de degré zéro.

Proposition 1. Soient \(S\) un schéma, \(A\) un schéma abélien sur \(S\), \(X\) un \(S\)-schéma, et \(L\) un module inversible sur \(A \times_S X\), trivial le long de \(e_A \times_S X\), et tel que pour tout point \(x\) de \(X\), d'image \(s\) dans \(S\), le fibré \(L_x\) sur la fibre \(A_x = A_s \otimes_{k(s)} k(x)\) soit algébriquement équivalent à zéro. Alors le foncteur \[ \Phi_L \colon D_{\mathrm{parf}}(A) \longrightarrow D_{\mathrm{parf}}(X), \qquad \Phi_L(F) = pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}F \otimes L\bigr) \] transforme le produit de Pontrjagin en produit tensoriel : on a un isomorphisme de foncteurs triangulés \[ \Phi_L(F * G) \;\simeq\; \Phi_L(F) \otimes \Phi_L(G) \qquad (F, G \in D_{\mathrm{parf}}(A)), \] et par suite \(\varphi_L \colon K(A) \to K(X)\) est un homomorphisme d'anneaux de \((K(A), *)\) vers \((K(X), \cdot)\).5

La réduction au faisceau de Weil

Le noyau se transporte par changement de base : pour un \(S\)-morphisme \(f \colon X' \to X\) et \(L' = (\mathrm{id}_A \times f)^{*}L\), on a \(\Phi_{L'} \simeq f^{*} \circ \Phi_L\), puisque \(pr_2 \colon A \times X \to X\) est propre et plat et que l'image directe dérivée commute alors à tout changement de base ; comme \(f^{*}\) commute au produit tensoriel, l'énoncé pour \((A, X, L)\) entraîne l'énoncé pour \((A, X', L')\).

Or l'hypothèse faite sur \(L\) — trivial le long de la section nulle, algébriquement équivalent à zéro fibre par fibre — dit exactement que \(L\) est l'image réciproque du faisceau de Weil \(L_0\) sur \(A \times B\), \(B = A^{*}\), par un unique \(S\)-morphisme \(X \to B\) : c'est la propriété universelle du schéma abélien dual.6 On est donc ramené au cas \(X = B\), \(L = L_0\), et c'est dans ce cas que la démonstration est écrite.

La démonstration

Elle repose sur quatre outils, tous formels sauf le troisième : le changement de base pour les images directes le long d'un carré cartésien dont une flèche est plate, la formule de projection, le théorème du carré, et la formule de Künneth. Les deux diagrammes de la page 3 fixent les noms : \[ \begin{tikzcd}[column sep=small] A \times A \arrow[d, "m"'] & A \times A \times B \arrow[l, "pr_{12}"'] \arrow[d, "m \times \mathrm{id}_B"] \arrow[dr, "pr_3"] & \\ A & A \times B \arrow[l, "pr_1"] \arrow[r, "pr_2"'] & B \end{tikzcd} \qquad \begin{tikzcd}[column sep=small] A \times A \times B \arrow[r, "pr_3"] \arrow[d, "f"'] & B \arrow[d, "\Delta_B"] \\ A \times A \times B \times B \arrow[r, "pr_{34}"] & B \times B \end{tikzcd} \] où le carré de gauche du premier diagramme est cartésien, et \(f = \mathrm{id}_{A \times A} \times \Delta_B\) rend le second cartésien.7 Les projections \(pr'_{12}, pr'_{13}, pr'_{24}\) sont celles de \(A \times A \times B \times B\), et \(pr_{13} = pr_1 \times \mathrm{id}_B\), \(pr_{23} = pr_2 \times \mathrm{id}_B\) celles de \(A \times A \times B\) vers \(A \times B\).

Le théorème du carré, sous la forme où il sert ici, dit que le faisceau de Weil est multiplicatif dans la variable \(A\) : \[ (m \times \mathrm{id}_B)^{*}L \;\simeq\; pr_{13}^{*}L \otimes pr_{23}^{*}L \quad \text{sur } A \times A \times B. \] Restreint à \(A \times A \times \{b\}\) c'est l'énoncé \(m^{*}L_b \simeq pr_1^{*}L_b \otimes pr_2^{*}L_b\) qui caractérise les fibrés algébriquement équivalents à zéro ; l'isomorphisme est fixé, et global, par la birigidification.8

Soient alors \(F, G \in D_{\mathrm{parf}}(A)\). Par définition, puis par changement de base le long du carré cartésien de gauche, formule de projection et transitivité \(pr_2 \circ (m \times \mathrm{id}_B) = pr_3\) : \[\begin{align*} \Phi_L(F * G) &= pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}\, m_{*}(F \boxtimes G) \otimes L\bigr) \\ &\simeq pr_{2*}\bigl((m \times \mathrm{id}_B)_{*}\, pr_{12}^{*}(F \boxtimes G) \otimes L\bigr) \\ &\simeq pr_{2*}(m \times \mathrm{id}_B)_{*}\bigl(pr_{12}^{*}(F \boxtimes G) \otimes (m \times \mathrm{id}_B)^{*}L\bigr) \\ &\simeq pr_{3*}\bigl(pr_{12}^{*}(F \boxtimes G) \otimes (m \times \mathrm{id}_B)^{*}L\bigr). \end{align*}\] Le théorème du carré remplace le dernier facteur par \(pr_{13}^{*}L \otimes pr_{23}^{*}L\), et l'on réorganise les quatre facteurs sur \(A \times A \times B \times B\) : le complexe \(pr_{12}^{*}(F \boxtimes G) \otimes pr_{13}^{*}L \otimes pr_{23}^{*}L\) est l'image réciproque par \(f\) de \[ pr^{\prime *}_{12}(F \boxtimes G) \otimes pr^{\prime *}_{13}L \otimes pr^{\prime *}_{24}L \;\simeq\; pr^{\prime *}_{13}(pr_1^{*}F \otimes L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(pr_1^{*}G \otimes L), \] la seconde égalité n'étant qu'une réassociation du produit tensoriel : le premier facteur ne dépend que des coordonnées \(1\) et \(3\), le second que des coordonnées \(2\) et \(4\). Le changement de base le long du second carré, puis Künneth, donnent \[\begin{align*} \Phi_L(F * G) &\simeq pr_{3*}\, f^{*}\bigl(pr^{\prime *}_{13}(pr_1^{*}F \otimes L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(pr_1^{*}G \otimes L)\bigr) \\ &\simeq \Delta_B^{*}\, pr_{34*}\bigl(pr^{\prime *}_{13}(pr_1^{*}F \otimes L) \otimes pr^{\prime *}_{24}(pr_1^{*}G \otimes L)\bigr) \\ &\simeq \Delta_B^{*}\bigl(pr_{2*}(pr_1^{*}F \otimes L) \boxtimes pr_{2*}(pr_1^{*}G \otimes L)\bigr) \\ &= \Delta_B^{*}\bigl(\Phi_L(F) \boxtimes \Phi_L(G)\bigr) \;\simeq\; \Phi_L(F) \otimes \Phi_L(G), \end{align*}\] ce qui est la proposition.9

3–4

Le théorème d'inversion (pages 3 et 4)

L'énoncé

Le noyau est désormais un module inversible définissant une dualité entre \(A\) et \(B\) ; on transforme de \(A\) vers \(B\) avec \(L\), puis de \(B\) vers \(A\) avec \({}^{s}L\).

Théorème. Soient \(A\), \(B\) deux schémas abéliens sur \(S\) de dimension relative \(n\) et \(L\) un module inversible birigidifié sur \(A \times B\) définissant une dualité entre \(A\) et \(B\). Le foncteur composé \[ D_{\mathrm{parf}}(A) \xrightarrow{\;\Phi_L\;} D_{\mathrm{parf}}(B) \xrightarrow{\;\Phi_{{}^{s}L}\;} D_{\mathrm{parf}}(A) \] est canoniquement isomorphe à \[ F \longmapsto s_A^{*}F \otimes \tau_A\,[-n], \] où \(s_A^{*} \simeq s_{A*}\) est la symétrie et \(\tau_A = \Lambda^{n}t_A\) le déterminant de l'algèbre de Lie de \(A\), tiré de \(S\) ; et l'on a un isomorphisme canonique \(\tau_A \simeq \tau_B\). En particulier \(\Phi_L\) et \(s_A^{*}\Phi_{{}^{s}L}\) sont des équivalences de catégories triangulées, et sur les groupes de Grothendieck le composé \(K(A) \xrightarrow{\varphi_L} K(B) \xrightarrow{\varphi_{{}^{s}L}} K(A)\) est \((-1)^n\, \tau_A \cdot s_A^{*}\), de sorte que \(\varphi_L\) et \((-1)^n\,\omega_A \cdot s_A^{*}\varphi_{{}^{s}L}\) sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre.10

Le corollaire : le produit tensoriel devient une convolution

Appliquons la proposition 1 au noyau \({}^{s}L\) et aux complexes \(\Phi_L(F)\), \(\Phi_L(G)\) sur \(B\), puis le théorème deux fois : \[ \Phi_{{}^{s}L}\bigl(\Phi_L(F) * \Phi_L(G)\bigr) \simeq \Phi_{{}^{s}L}\Phi_L(F) \otimes \Phi_{{}^{s}L}\Phi_L(G) \simeq s_A^{*}(F \otimes G) \otimes \tau_A^{2}\,[-2n] \simeq \Phi_{{}^{s}L}\Phi_L(F \otimes G) \otimes \tau_A\,[-n]. \] Comme \(\Phi_{{}^{s}L}\) est une équivalence et commute au produit tensoriel par un module tiré de \(S\) et aux décalages, il vient :

Corollaire. Sous les hypothèses du théorème, \[ \Phi_L(F \otimes G) \;\simeq\; \bigl(\Phi_L(F) * \Phi_L(G)\bigr) \otimes \omega_A\,[n], \] ou, ce qui revient au même, le foncteur \(F \mapsto \Phi_L(F \otimes \omega_A[n]) \simeq \Phi_L(F) \otimes \omega_A[n]\) transforme le produit tensoriel en produit de Pontrjagin. Sur les groupes de Grothendieck : \(\varphi_L(xy) = (-1)^n\,\omega_A\,\bigl(\varphi_L(x) * \varphi_L(y)\bigr)\).11

4–5

La démonstration du théorème : le noyau du composé (pages 4 et 5)

Le composé de deux transformations à noyau

Le composé de deux foncteurs à noyau est un foncteur à noyau, et son noyau s'obtient en composant les noyaux. Ici \(\Phi_{{}^{s}L} \circ \Phi_L\) est de la forme \(F \mapsto pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}F \otimes M\bigr)\) avec \[ M = pr_{13*}\bigl(pr_{12}^{*}L \otimes pr_{23}^{*}\,{}^{s}L\bigr) \;\in\; D_{\mathrm{parf}}(A \times A), \] les projections étant celles de \(A \times B \times A\).12 Il s'agit donc de calculer \(M\), et l'on va voir que c'est le faisceau structural du graphe de la symétrie, décalé et tordu.

Le noyau comme image réciproque du faisceau de Weil

Posons \(C = A \times A\) et identifions \(A \times B \times A\) à \(C \times B\). Le module inversible \(N = pr_{12}^{*}L \otimes pr_{23}^{*}\,{}^{s}L\) sur \(C \times B\) a pour fibre en \(((a, a'), b)\) le produit \(L_{(a,b)} \otimes L_{(a',b)}\) ; il est birigidifié de façon canonique et correspond donc à un homomorphisme \(\Psi \colon C \to B^{*}\), à savoir \[ \Psi = \varphi \circ m_A \colon A \times A \longrightarrow A \longrightarrow B^{*}, \] où \(\varphi \colon A \xrightarrow{\;\sim\;} B^{*}\) est l'isomorphisme défini par \(L\) : \(\Psi\) est l'homomorphisme dont les deux composantes sont \(\varphi\).13 Le carré \[ \begin{tikzcd} C \times B \arrow[r, "\Psi \times \mathrm{id}_B"] \arrow[d, "pr_1"'] & B^{*} \times B \arrow[d, "pr'_1"] \\ C \arrow[r, "\Psi"] & B^{*} \end{tikzcd} \] est cartésien, et \(N \simeq (\Psi \times \mathrm{id}_B)^{*}W_B\), où \(W_B\) est le faisceau de Weil sur \(B^{*} \times B\) ; par changement de base, \[ M = pr_{1*}(N) \;\simeq\; \Psi^{*}\bigl(pr'_{1*}W_B\bigr). \] La projection est ici celle sur le premier facteur.14 Tout est ainsi ramené à un calcul universel, la cohomologie du faisceau de Weil le long d'une projection, qui fait l'objet du lemme 1.

Le lemme 1 et son corollaire

Lemme 1. Soient \(B\) un schéma abélien sur \(S\) de dimension relative \(n\), \(W\) le faisceau de Weil sur \(B^{*} \times_S B\), \(p \colon B^{*} \times_S B \to B^{*}\) la première projection et \(e \colon S \to B^{*}\) la section nulle. On a un isomorphisme canonique \[ p_{*}W \;\simeq\; e_{*}\bigl(\tau_{B^{*}}\bigr)[-n], \qquad \tau_{B^{*}} = \Lambda^{n}t_{B^{*}}, \] c'est-à-dire \(p_{*}W \simeq e_{*}(\omega_{B^{*}}^{-1})[-n]\).15

Corollaire. Soient \(C\), \(B\) des schémas abéliens sur \(S\), \(N\) un module inversible birigidifié sur \(C \times_S B\) et \(\Psi \colon C \to B^{*}\) l'homomorphisme correspondant. Alors \[ pr_{1*}N \;\simeq\; \Psi^{*}\bigl(e_{*}\tau_{B^{*}}\bigr)[-n]. \] En particulier, si \(\Psi\) est un épimorphisme, donc plat, et si \(K = \operatorname{Ker}\Psi\), le sous-schéma en groupes \(K\) de \(C\) est plat et de présentation finie sur \(S\), son faisceau structural est un module parfait sur \(C\), et \[ pr_{1*}N \;\simeq\; \mathcal{O}_K \otimes \tau_{B^{*}}\,[-n]. \] C'est le lemme 1 tiré en arrière par \(\Psi\).16

Fin de la démonstration

Dans le cas du théorème, \(C = A \times A\) et \(\Psi = \varphi \circ m_A\) avec \(\varphi\) un isomorphisme ; \(\Psi\) est donc un épimorphisme plat, et son noyau \(K\) est le noyau de l'addition \(m_A \colon A \times A \to A\), l'antidiagonale \(\{(a, -a)\}\), c'est-à-dire le graphe de la symétrie \(s_A\). Le corollaire donne \[ M \;\simeq\; \mathcal{O}_{\Gamma_{s_A}} \otimes \tau_{B^{*}}\,[-n], \] et un foncteur à noyau \(\mathcal{O}_{\Gamma_u}\), graphe d'un automorphisme \(u\), est \(u_{*}\) ; ici \(s_{A*} = s_A^{*}\). Enfin \(\tau_{B^{*}} \simeq \tau_A\) par l'isomorphisme \(\varphi\). Le théorème est donc démontré modulo le lemme 1.17

6–7

Le lemme d'annulation de Mumford et la cohomologie du faisceau de Weil (pages 6 et 7)

Le lemme admis

Lemme 2 (Mumford). Soient \(B\) une variété abélienne sur un corps algébriquement clos \(k\) et \(L\) un module inversible sur \(B\) algébriquement équivalent à zéro et non isomorphe à \(\mathcal{O}_B\). Alors \(H^{i}(B, L) = 0\) pour tout \(i\).18

« Nous allons ici admettre le lemme 2 », écrit-il, et montrer comment on en déduit le lemme 1. L'énoncé est sur un corps ; il s'applique fibre à fibre, et c'est ce qui permet de localiser.

La déduction du lemme 1

On revient à \(p \colon B^{*} \times_S B \to B^{*}\) et au faisceau de Weil \(W\). On écrit \(e\) pour \(e_{B^{*}}\), \(g \colon B \to S\) pour le morphisme structural et \(e' = e \times \mathrm{id}_B \colon B \to B^{*} \times B\) ; le carré \[ \begin{tikzcd} B^{*} \times_S B \arrow[d, "p"'] & B \arrow[l, "e'"'] \arrow[d, "g"] \\ B^{*} & S \arrow[l, "e"] \end{tikzcd} \] est cartésien, et \(e^{\prime *}W \simeq \mathcal{O}_B\) par la rigidification.

Le support. Pour un point \(b\) de \(B^{*}\) hors de la section nulle, la restriction de \(W\) à la fibre \(B_b\) est un fibré algébriquement équivalent à zéro et non trivial ; par le lemme 2, appliqué après extension à une clôture algébrique, toute sa cohomologie est nulle, et comme \(p\) est propre et plat la restriction dérivée de \(p_{*}W\) en \(b\) est nulle. Le complexe parfait \(p_{*}W\) est donc concentré sur la section nulle \(e(S)\).

L'homomorphisme. Comme \(p\) a des fibres de dimension \(n\), les \(R^{i}p_{*}W\) sont nuls pour \(i > n\), et \(p_{*}W\) s'envoie canoniquement sur son dernier faisceau de cohomologie, \(R^{n}p_{*}W\,[-n]\). Définir un homomorphisme \[ p_{*}W \longrightarrow e_{*}(\mathcal{O}_S) \otimes_{\mathcal{O}_S} \tau_{B^{*}}\,[-n] \] revient donc à définir \(R^{n}p_{*}W \to e_{*}\tau_{B^{*}}\), c'est-à-dire, par adjonction, \(e^{*}R^{n}p_{*}W \to \tau_{B^{*}}\). Or, par changement de base le long du carré ci-dessus et parce que \(e^{\prime *}W \simeq \mathcal{O}_B\), \[ e^{*}R^{n}p_{*}W \;\simeq\; R^{n}g_{*}(\mathcal{O}_B), \] et l'on sait que \[ R^{n}g_{*}(\mathcal{O}_B) \;\simeq\; \Lambda^{n}R^{1}g_{*}(\mathcal{O}_B) \;\simeq\; \Lambda^{n}t_{B^{*}} = \tau_{B^{*}}, \] puisque \(R^{1}g_{*}\mathcal{O}_B\) est l'algèbre de Lie du schéma abélien dual \(B^{*}\) et que la cohomologie de \(\mathcal{O}_B\) est l'algèbre extérieure sur son \(H^{1}\).19 On prend pour \(e^{*}R^{n}p_{*}W \to \tau_{B^{*}}\) l'isomorphisme identique ainsi obtenu.

L'isomorphisme. « Je dis que l'homomorphisme précédent est un isomorphisme. » Il suffit de le vérifier après restriction dérivée \(i_b^{*}\) en tout point \(b\) de \(B^{*}\) — un morphisme de complexes parfaits qui est un isomorphisme en chaque point l'est.20 Aux points hors de \(e(S)\), les deux membres sont nuls par le lemme 2. En un point de \(e(S)\), on se ramène par changement de base au cas où \(S\) est le spectre d'un corps algébriquement clos, et il reste « une vérification de compatibilité », que la page laisse en pointillé.21

7–8

Remarques 1 et 2 : les images élémentaires, et la transformée d'un faisceau inversible (pages 7 et 8)

Remarque 1 : faisceaux ponctuels, fibrés de degré zéro, rang et caractéristique d'Euler

Les hypothèses sont celles du théorème. Pour une section \(s\) de \(A\) on écrit \(e_s = s_{*}\mathcal{O}_S\), et \(L_s = L|_{s \times B}\) le fibré algébriquement équivalent à zéro sur \(B\) que \(s\) représente ; de même \(L_t = L|_{A \times t}\) pour une section \(t\) de \(B\).

a) \(\Phi_L(e_A) \simeq \mathcal{O}_B\) et \(\Phi_L(e_s) \simeq L_s\) : c'est la définition, puisque \(pr_1^{*}e_s \otimes L\) est \(L\) restreint à \(s \times B\). Comme \(e_s * F\) est le translaté \(t_{s*}F\), la proposition 1 donne \[ \Phi_L(t_{s*}F) \;\simeq\; L_s \otimes \Phi_L(F) : \] la translation devient la multiplication par un fibré de degré zéro.

b) \(\Phi_L(L_t) \simeq e_{-t} \otimes \tau_A\,[-n]\), ou encore \(\Phi_L(L_t \otimes \omega_A[n]) \simeq e_{-t}\) : la multiplication par un fibré de degré zéro devient une translation, et le fibré trivial va sur le faisceau ponctuel de l'origine. En effet, par le théorème du carré dans la variable \(B\), \(pr_1^{*}L_t \otimes L \simeq (\mathrm{id}_A \times t_t)^{*}L\) où \(t_t\) est la translation par \(t\), de sorte que \(\Phi_L(L_t) \simeq t_t^{*}\,pr_{2*}L\), et \(pr_{2*}L \simeq e_{B*}(\tau_B)[-n]\) par le lemme 1 ; le translaté par \(t\) du faisceau ponctuel de l'origine est celui de \(-t\). De même, \[ \Phi_L(F \otimes L_t) \;\simeq\; \Phi_L(F) * e_{-t}. \] La page hésite sur l'énoncé.22

c) Notons \(\varepsilon_A(F)\) le rang de la restriction dérivée \(e_A^{*}F\) à l'origine et \(\chi_A(F)\) le rang de \(g_{A*}F\), tous deux dans \(H^{0}(S, \mathbf{Z})\). Alors \[ \varepsilon_B(\Phi_L(F)) = \chi_A(F), \qquad \chi_B(\Phi_L(F)) = (-1)^n\,\varepsilon_A(F) : \] le rang à l'origine de la transformée est la caractéristique d'Euler, et la caractéristique d'Euler de la transformée est le rang à l'origine, au signe \((-1)^n\) près. La première égalité est le changement de base \(e_B^{*}pr_{2*} \simeq g_{A*}(\mathrm{id} \times e_B)^{*}\) et la rigidification ; la seconde est \(g_{B*}\Phi_L(F) \simeq g_{A*}(F \otimes pr_{1*}L) \simeq g_{A*}(F \otimes e_{A*}\tau_A)[-n] \simeq e_A^{*}F \otimes \tau_A[-n]\), par le lemme 1.23

Remarque 2 : le déterminant de la transformée, et l'heuristique de la racine \(\chi\)-ième

Le composé \(\det \circ \Phi_L\) — le déterminant du complexe parfait \(\Phi_L(M)\) pour \(M\) inversible sur \(A\) — commute au changement de base et définit donc un homomorphisme de foncteurs de Picard \[ \varphi \colon \underline{\mathrm{Pic}}_{A/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{B/S}. \] Soit \(\lambda\) une section de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{A/S}\), de classe \(\delta\) dans le groupe de Néron–Severi \(\underline{NS}_{A/S}\), définissant un faisceau inversible que l'on notera encore \(L\) sur \(A\) ; soit \(\chi = \chi(\delta) \in H^{0}(S, \mathbf{Z})\) sa caractéristique d'Euler, supposée partout non nulle. Alors \(\varphi(\lambda)\) définit un faisceau inversible \(L'^{-1}\) sur \(B\), de classe \(-\delta'\) dans \(NS(B/S)\), où \(\delta'\) est déterminée par \(\delta\) par la relation \[ \tilde\delta' \circ \tilde\delta = \chi(\delta)\,\mathrm{id}_A, \] \(\tilde\delta \colon A \to B\) et \(\tilde\delta' \colon B \to A\) désignant les homomorphismes associés aux polarisations.24

On peut se proposer de « calculer » la classe \(\varphi_L(\mathrm{cl}\,L)\) dans \(K(B)\) en fonction des invariants de \(\varphi(\lambda)\). Heuristiquement, \[ \varphi_L(\mathrm{cl}\,L) \;=\; \chi \cdot \text{« } L'^{-1/\chi} \text{ »} : \] la transformée d'un faisceau inversible de caractéristique \(\chi\) se comporte comme \(\chi\) copies d'une racine \(\chi\)-ième de \(L'^{-1}\). L'exposant est entre guillemets sur la page, et l'heuristique est devenue un théorème : \(\Phi_L(L)\) est, à un décalage près, un fibré vectoriel de rang \(|\chi|\) dont l'image réciproque par \(\tilde\delta\) est \(\chi\) copies de \(L^{-1}\), et \(\tilde\delta^{*}L' \simeq L^{\chi}\).25

Au niveau du caractère de Chern, l'heuristique s'écrit \[ \mathrm{ch}\,\varphi_L(\mathrm{cl}\,L) = \chi \exp\Bigl(-\frac{D'}{\chi}\Bigr) = \chi - D' + \frac{1}{2\chi}D'^{2} - \frac{1}{3!\,\chi^{2}}D'^{3} + \cdots + (-1)^n\frac{1}{n!\,\chi^{n-1}}D'^{n}, \] où \(D' \in \mathrm{CH}^{1}(B)_{\mathbf{Q}}\) est la classe de \(L'\), et au niveau de la classe de Chern totale \[ c\bigl(\varphi_L(\mathrm{cl}\,L)\bigr) = \Bigl(1 - \frac{D'}{\chi}\Bigr)^{\chi} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\binom{\chi}{k}\frac{D'^{k}}{\chi^{k}} = 1 - D' + \frac{\chi(\chi-1)}{2\,\chi^{2}}D'^{2} - \cdots, \] la puissance \(\chi\)-ième étant développée par la formule du binôme.26

« Ces formules sont-elles bien vraies mod torsion ? » demande la page, avec un point d'interrogation en marge. Elles sont vraies au moins sur un corps algébriquement clos modulo équivalence homologique, où elles se lisent dans la cohomologie. Elles donneraient alors des propriétés de divisibilité de \(\delta'\) : pour tout \(k\), \[ \binom{\chi}{k}\frac{\delta'^{k}}{\chi^{k}} = \frac{\chi(\chi-1)\cdots(\chi-k+1)}{k!\,\chi^{k}}\,\delta'^{k} \] est « entier », c'est-à-dire provient d'un cycle à coefficients entiers.27

9–10

Remarque 3 : la transformation de Fourier sur l'anneau de Chow (pages 9 et 10)

On passe des complexes aux cycles par le théorème de Riemann–Roch de Grothendieck, appliqué aux morphismes \(m_A \colon A \times A \to A\) et \(pr_2 \colon A \times B \to B\). Ces deux morphismes sont lisses, et leur fibré tangent relatif est tiré de \(S\) : c'est \(t_A\), l'algèbre de Lie. Leur classe de Todd relative est donc la même classe \[ T = \mathrm{Todd}(t_A) \in \mathrm{CH}^{\cdot}(S)_{\mathbf{Q}}, \] tirée sur \(A\) ou sur \(B\), et elle vaut \(1\) dès que \(t_A\) est trivial, par exemple si \(S\) est local — ou un corps.28

Le produit de Pontrjagin et le caractère de Chern. Pour \(x, y \in K(A)\), Riemann–Roch pour \(m_A\) donne \[ (*) \qquad \mathrm{ch}(x * y) = \bigl(\mathrm{ch}(x) * \mathrm{ch}(y)\bigr)\,T, \] où le produit de Pontrjagin des classes de cycles est \(a * b = m_{A*}(a \boxtimes b)\) ; en particulier \(\mathrm{ch}\) est multiplicatif pour \(*\) si \(T = 1\).

La transformation de Fourier des cycles. Soit \(D \in \mathrm{CH}^{1}(A \times B)\) la classe de \(L\), et \[ \Psi_D = \varphi_{\exp D} \colon \mathrm{CH}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}} \longrightarrow \mathrm{CH}^{\cdot}(B)_{\mathbf{Q}}, \qquad \Psi_D(a) = pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}a \cdot \exp D\bigr). \] Riemann–Roch pour \(pr_2\) donne alors, pour tout \(x \in K(A)\), \[ \mathrm{ch}\,\varphi_L(x) = \Psi_D(\mathrm{ch}\,x)\,T . \] C'est la transformation de Fourier de l'anneau de Chow d'une variété abélienne, telle que Beauville l'a définie et étudiée en 1983 à la suite de Mukai ; la version cohomologique est de Lieberman (1968), et c'est elle que Kleiman expose dans les Dix exposés.29

Les deux formules. Posons \(a = \mathrm{ch}\,x\), \(b = \mathrm{ch}\,y\). En appliquant \(\mathrm{ch}\) à la proposition 1, \(\varphi_L(x * y) = \varphi_L(x)\,\varphi_L(y)\), on trouve \(\Psi_D(\mathrm{ch}(x * y))\,T = \Psi_D(a)\,T\cdot\Psi_D(b)\,T\), puis, par \((*)\) et parce que \(\Psi_D\) est linéaire sur \(\mathrm{CH}^{\cdot}(S)_{\mathbf{Q}}\), \(\Psi_D(a * b)\,T^{2} = \Psi_D(a)\,\Psi_D(b)\,T^{2}\) ; \(T\) étant inversible, \[ \Psi_D(a * b) = \Psi_D(a)\,\Psi_D(b), \] sur toute base.30 De même, en appliquant \(\mathrm{ch}\) au corollaire du théorème, \(\varphi_L(xy) = (-1)^n\,\omega_A\,(\varphi_L(x) * \varphi_L(y))\), et \((*)\) cette fois sur \(B\) : \[ \Psi_D(ab) = (-1)^n\,\bigl(\Psi_D(a) * \Psi_D(b)\bigr)\; \mathrm{Todd}(t_A)\,\mathrm{Todd}(t_B)\,\mathrm{ch}(\omega_A). \] C'est ici que la lecture s'écarte de la page.31 Sur un corps, les deux formules se réduisent à \[ \Psi_D(a * b) = \Psi_D(a)\,\Psi_D(b), \qquad \Psi_D(ab) = (-1)^n\,\Psi_D(a) * \Psi_D(b) : \] « ce sont les formules affirmées par Kleiman dans Dix exposés, sur un corps algébriquement clos et en travaillant avec une théorie cohomologique plutôt qu'avec \(\mathrm{CH}_{\mathbf{Q}}\) — à cela près que Kleiman n'a pas tenu compte des facteurs \((-1)^n\) ! »32

Remarques 4 et 5 : dualité et transport de structure (page 10)

Remarque 4 : la transformée du dual

Le morphisme \(pr_2 \colon A \times B \to B\) est propre et lisse de dimension relative \(n\), de faisceau dualisant relatif \(pr_1^{*}\omega_A[n]\) ; le théorème de dualité donne donc, pour \(F \in D_{\mathrm{parf}}(A)\) et \(F^{\vee}\) son dual, \[ \Phi_L(F)^{\vee} \;\simeq\; pr_{2*}\bigl(pr_1^{*}F^{\vee} \otimes L^{-1} \otimes pr_1^{*}\omega_A[n]\bigr) = \Phi_{L^{-1}}\bigl(F^{\vee} \otimes \omega_A[n]\bigr), \] et comme \(L^{-1} \simeq (s_A \times \mathrm{id}_B)^{*}L\), \[ \Phi_L(F)^{\vee} \;\simeq\; \Phi_L\bigl(s_A^{*}F^{\vee} \otimes \omega_A[n]\bigr) \;\simeq\; s_B^{*}\,\Phi_L\bigl(F^{\vee} \otimes \omega_A[n]\bigr). \] Sur les groupes de Grothendieck : \(\varphi_L(x)^{\vee} = (-1)^n\,\omega_A\,\varphi_L(s_A^{*}x^{\vee})\).33

Remarque 5 : transport de structure

Soit \(u\) un automorphisme du schéma abélien \(A\), et \(u'\) l'automorphisme contragrédient de \(B\), c'est-à-dire l'inverse du transposé de \(u\), caractérisé par \((u \times u')^{*}L \simeq L\). Par transport de structure, \[ \Phi_L(u_{*}F) \;\simeq\; u'_{*}\,\Phi_L(F), \] puisque \(pr_1^{*}u_{*}F \otimes L \simeq (u \times \mathrm{id}_B)_{*} \bigl(pr_1^{*}F \otimes (\mathrm{id}_A \times u'^{-1})^{*}L\bigr)\). En particulier, \(u = s_A\) ayant pour contragrédient \(s_B\), la transformation commute à la symétrie : \(\Phi_L(s_A^{*}F) \simeq s_B^{*}\Phi_L(F)\). « Kif-kif pour \(\varphi_L\). »34

Notes

  1. Une note marginale de la page 4 dit qu'il est « inutile de se borner aux complexes parfaits » et propose \(D^{b}_{\mathrm{qcoh}}\) ; la lecture reste dans \(D_{\mathrm{parf}}\), où tous les foncteurs employés (images directes par des morphismes propres et lisses, images réciproques, produits tensoriels) préservent la perfection sans hypothèse supplémentaire. ↩
  2. S. Mukai, Duality between \(D(X)\) and \(D(\hat X)\) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J. 81 (1981), sur un corps ; la version sur une base quelconque, avec la torsion par le déterminant de l'algèbre de Lie qu'on trouvera au théorème, est celle des traitements relatifs ultérieurs, par exemple G. Laumon, Transformation de Fourier généralisée (1996). Le dossier ne pouvait citer ni l'un ni l'autre ; ce qu'il cite, ce sont les Dix exposés de 1968 et « les résultats de Mumford », c'est-à-dire les Abelian varieties de 1970 ou le cours qui les a précédées. ↩
  3. Le manuscrit note la puissance extérieure maximale \(\hat\Lambda\), avec un accent, puis \(\hat\Lambda^{n}\) ; il pose \(\tau_A \simeq \hat\Lambda\, t_A\) et \(\omega_A = \hat\Lambda\, t_A^{\vee}\). Ces modules sur \(S\) sont tirés sur \(A\) ou sur \(B\) sans changement de notation. ↩
  4. Le manuscrit écrit un groupe « Cw » — un \(C\), une lettre basse, un point en exposant et l'indice \(\mathbf{Q}\) — que la transcription rend par les glyphes lus. La page 10 l'oppose à une « théorie cohomologique », et les formules qui l'emploient sont celles de l'anneau de Chow à coefficients rationnels ; c'est ainsi que la lecture l'écrit. ↩
  5. La page énonce d'abord la version en \(K\)-théorie — « \(\varphi_L\) transforme produit de Pontrjagin en produit ordinaire » — puis « plus précisément » l'isomorphisme de foncteurs. La première rédaction, biffée, parlait d'une « application additive » avant que le foncteur ne soit nommé. Une note marginale, écrite en biais et partiellement illisible, indique deux généralisations : à un schéma en groupes \(A\) quelconque muni d'un \(L\) multiplicatif, c'est-à-dire tel que \((m \times \mathrm{id}_X)^{*}L \simeq pr_{13}^{*}L \otimes pr_{23}^{*}L\) — c'est la seule propriété de \(L\) que la démonstration utilise —, et à des complexes sur des torseurs \(P\), \(Q\), \(R\) sous \(A\) munis d'une loi \(P \times Q \to R\), avec trois noyaux \(L\), \(L'\), \(L''\) liés par la relation analogue. Ni l'une ni l'autre n'est développée. ↩
  6. La page dit « l'hypothèse sur \(L\) implique que \(L\) est \(\simeq\) l'image inverse de \(L_0\) par un morphisme \(X \to B\) ». La trivialisation le long de \(e_A \times X\) est ce qui fixe l'isomorphisme et non seulement la classe ; c'est pourquoi elle figure dans l'hypothèse. ↩
  7. Le second diagramme de la page porte aussi une flèche \(pr'_{12}\) de \(A \times A \times B \times B\) vers \(A \times A\) et une flèche courbe \(pr_{12}\) ; elles servent à nommer les projections de la formule ci-dessous et sont omises du dessin. ↩
  8. La page écrit « th. des carrés ». C'est le théorème du carré de Weil, dans la forme que lui donne Mumford (Abelian varieties, § 6 et § 8) : \(L\) est dans \(\mathrm{Pic}^{0}\) si et seulement si \(m^{*}L \simeq L \boxtimes L\). Dans le langage d'aujourd'hui, la formule dit que le fibré de Poincaré est une biextension de \((A, B)\) par \(\mathbf{G}_m\) ; le mot est de SGA 7, postérieur à Weil et peut-être à ces pages. ↩
  9. Sur la page, le « \(\otimes L\) » de la première ligne a d'abord été oublié et ajouté au-dessus, et l'avant-dernière formule contient une parenthèse vide, \(\mathbb{L}f^{*}(\quad)\), qu'un trait relie à l'expression soulignée deux lignes plus haut ; la lecture l'a remplie. La formule de Künneth utilisée est celle des complexes parfaits sur un produit fibré de morphismes propres et plats, \(pr_{34*}(P \boxtimes Q) \simeq pr_{2*}P \boxtimes pr_{2*}Q\), qui résulte elle-même du changement de base et de la formule de projection. ↩
  10. L'énoncé s'appelait « Proposition 2 » et le mot est biffé pour « Théorème » ; la suite du dossier continue de dire « prop. 2 », et la lecture dit « le théorème ». La page énonce d'abord la version en \(K\)-théorie, « le composé est \((-1)^n s_A^{*}\) », où la classe de \(\tau_A\) est sous-entendue — sur \(S\) local, ou dès que \(\tau_A\) est trivial, elle vaut \(1\) — puis, « plus précisément », le foncteur, avec la torsion. La lecture met la torsion dans les deux. Sur un corps, \(\tau_A\) est trivial et l'énoncé est le théorème d'inversion de Mukai : \(\Phi_{\hat P} \circ \Phi_P \simeq (-1)^{*}[-g]\). L'isomorphisme \(\tau_A \simeq \tau_B\) — le déterminant de l'algèbre de Lie d'un schéma abélien est celui de son dual — est affirmé sur la page sous la forme \(\tau_A \simeq \hat\Lambda\, t_A \simeq \hat\Lambda\, t_B\) ; il résulte du lemme 1 ci-dessous, appliqué aux deux projections du faisceau de Weil, voir la note à ce lemme. ↩
  11. Le début de l'énoncé est largement remanié sur la page ; on y lit encore, biffés, un \(\Phi_L^{\omega_A[n]}\), « \(\overset{L}{\otimes}\) en \(\overset{L}{*}\) » et « \(x \mapsto (-1)^n\,\mathrm{cl}\,\omega_A\, \varphi_L(x)\) », et, non biffé, la formulation par \(F \mapsto \Phi_L(F \otimes \omega_A[n])\) que la lecture reprend. La page n'écrit pas la déduction ; celle donnée ici est la seule que les deux énoncés précédents permettent, et c'est aussi celle de Mukai (1981, 3.7). Dans la numérotation de la page ce corollaire est « Corollaire 2 », le chiffre étant douteux. ↩
  12. La page écrit « \(M \in D_{\mathrm{parf}}(A)\) » et nomme en marge l'espace \(A \times B \times A\) ; le noyau vit sur \(A \times A\). Elle dit aussi qu'il « suffit de définir un isomorphisme \(\Phi_{{}^{s}L}\Phi_L = \mathrm{id}_{D_{\mathrm{parf}}(A)}\) » ; c'est un raccourci pour le foncteur annoncé, \(s_A^{*}(-) \otimes \tau_A[-n]\), qui est ce que le calcul produit. ↩
  13. « deux » est ajouté en interligne sur la page. Que \(N\) corresponde à \(\varphi \circ m_A\) est le théorème du carré de la section précédente lu dans l'autre variable : \(L_{(a,b)} \otimes L_{(a',b)} \simeq L_{(a+a',\,b)}\). ↩
  14. La ligne de la page écrit \(pr_2\), \(pr'_2\) là où le diagramme, le lemme et le corollaire qui suivent ont \(pr_1\), \(pr'_1\) : c'est la projection sur le premier facteur qui est en cause, et la lecture la nomme ainsi partout. ↩
  15. La seconde forme est la note marginale de la page : « \(\simeq e_{*}(\omega^{-1})\) où \(\omega = \det(\Omega^{1}_{B^{*}/S})\) », le \(\det\) étant douteux. Sur un corps c'est le lemme central de Mukai (1981, § 2) : \(p_{*}P \simeq k(\hat 0)[-g]\). Le même calcul fait le long de la seconde projection donne \(e_{B*}(\tau_B)[-n]\) sur \(B\), et les cohomologies totales \(R\Gamma(B^{*} \times B, W)\) calculées des deux façons sont \(\tau_{B^{*}}[-n]\) et \(\tau_B[-n]\) : d'où \(\tau_{B^{*}} \simeq \tau_B\), l'isomorphisme que le théorème affirme. La démonstration du lemme est aux pages 6 et 7. ↩
  16. Les symboles entre la parenthèse et le \([-n]\) de la première formule sont surchargés sur la page et lus avec doute ; le lemme 1 ne laisse qu'une lecture possible. Pour la seconde : \(\Psi\) étant plat, \(\Psi^{*}e_{*} \mathcal{O}_S\) est le faisceau structural de la fibre de \(\Psi\) au-dessus de la section nulle, qui est \(K\), et \(\Psi^{*}\) d'un module tiré de \(S\) est ce module. Que \(\mathcal{O}_K\) soit parfait sur \(C\) tient à ce que \(K\) est plat sur \(S\) et \(C\) lisse sur \(S\) ; la page hésite — « défini », puis « \(\mathcal{O}_K\) », biffés — avant d'écrire « parfait », lu avec doute. ↩
  17. La page écrit « \(\varphi \colon A \simeq C^{*}\) », la lettre étant nette ; l'argument demande \(B^{*}\), et c'est ce que la lecture écrit. La conclusion est marquée « modulo dém. du Lemme 1 », lu avec doute. ↩
  18. La page écrit \(H^{i}(X, L)\), la lettre \(X\) pour \(B\). Un encadré entièrement biffé et le début d'une démonstration, biffé aussi — « l'assertion sur les \(H^{0}\) est triviale, et il reste à prouver que \(H^{i}(X, L) = 0\) » — précèdent la décision d'admettre le lemme. C'est le théorème d'annulation de Mumford, Abelian varieties (1970), § 8, dont la démonstration est en quelques lignes : si \(H^{i}(L) \neq 0\) pour un \(i\) minimal, la factorisation \(m^{*}L \simeq L \boxtimes L\) et Künneth donnent \(H^{i}(L) \simeq H^{0}(L) \otimes H^{i}(L)\), donc \(H^{0}(L) \neq 0\), ce qui force \(L \simeq \mathcal{O}_B\) pour un fibré de degré zéro. ↩
  19. Ce sont deux résultats de la théorie du schéma de Picard : \(\mathrm{Lie}(B^{*}) = R^{1}g_{*}\mathcal{O}_B\), et \(R^{\cdot} g_{*}\mathcal{O}_B \simeq \Lambda^{\cdot}R^{1}g_{*}\mathcal{O}_B\), qui pour un schéma abélien vaut sur toute base (Mumford, § 13, ou Berthelot–Breen–Messing pour la version relative). La page dit « on sait que l'on a un isom canonique » et ne cite rien. Les deux \(\otimes_S\) qui précèdent \(\tau_{B^{*}}\) dans les formules de la page sont biffés. ↩
  20. La page invoque une « histoire de …-cylindres », le premier mot illisible : le cône du morphisme est un complexe parfait dont toutes les restrictions ponctuelles sont nulles, donc nul, par le lemme de Nakayama appliqué à son dernier faisceau de cohomologie non nul. ↩
  21. Le manuscrit s'arrête ici : « …… ». Ce qu'il reste à voir est que le morphisme \(p_{*}W \to k(0)[-n]\), sur une variété abélienne, est un isomorphisme — autrement dit que \(R^{n}p_{*}W\) est de longueur \(1\) en \(0\) et non seulement supporté en \(0\). C'est le contenu du lemme de Mukai (1981, § 2), qui l'obtient par dualité de Grothendieck et par le calcul de la caractéristique d'Euler de \(W\) sur \(B^{*} \times B\) ; la lecture ne comble pas le pointillé et se contente de dire que l'énoncé est vrai. ↩
  22. La page écrit d'abord « \(\omega_A[n]\) en … », biffé, avant de fixer l'énoncé ; la lettre qui désigne le schéma dont \(t\) est une section est formée comme un \(D\) et lue \(B\). Ce sont les formules (3.1) de Mukai. ↩
  23. La définition de \(\varepsilon\) est en marge et illisible, sauf la mention « égalité dans \(H^{0}(S, \mathbf{Z})\) » ; celle donnée ici est la seule qui rende les deux égalités vraies, et elle est la nôtre. ↩
  24. La page écrit \(\tilde\delta'\tilde\delta = -\chi(\delta)\,\mathrm{id}_A\), et à côté une ligne lue avec doute, « compatible avec \(-(-\tilde\delta') = \tilde\delta'\) », qui suggère qu'il hésite sur le signe. Le signe dépend de la façon dont \(A\) est identifié au dual de \(B\) par \(L\). Dans la normalisation de Mukai, où \(\varphi_L(a) = t_a^{*}L \otimes L^{-1}\) et où le fibré de Poincaré \(P\) a pour restriction à \(A \times \{\alpha\}\) le fibré \(P_\alpha\), sa proposition 3.11 donne \(\varphi_L^{*}\det\Phi(L) \simeq L^{-\chi}\), d'où, \(\varphi_L\) étant symétrique, \(\varphi_{L'} \circ \varphi_L = \chi\,\mathrm{id}_A\) pour \(L' = \det\Phi(L)^{-1}\) : c'est la relation écrite ici, avec le signe \(+\). La lecture ne prétend pas que la page ait tort, seulement qu'elle a un autre signe dans une autre convention, non explicitée. ↩
  25. Mukai (1981), 3.11 : pour \(L\) non dégénéré d'indice \(i\), \(\Phi(L)\) est concentré en degré \(i\), et \(\varphi_L^{*}\Phi(L) \simeq H^{i}(A, L) \otimes L^{-1}\). Une note marginale de la page dit « indépendant des résultats de Mumford » ; on comprend que l'heuristique ne dépend pas du lemme 2 admis. ↩
  26. La page développe \((1 - D'/\chi)^{\chi}\) avec \(\chi^{k-1}\) au dénominateur du terme de degré \(k\) — « \(\frac{\chi(\chi-1)} {2\chi}D'^{2}\) », « \(\frac{\chi(\chi-1)(\chi-2)}{3!\,\chi^{2}}D'^{3}\) » —, ce qui n'est pas le développement de ce qu'elle écrit à gauche, et ce qui contredit la ligne du caractère de Chern : avec \(c_1 = -D'\) et \(c_2 = \frac{\chi-1}{2}D'^{2}\) on aurait \(\mathrm{ch}_2 = \frac{2-\chi}{2}D'^{2}\) au lieu de \(\frac{1}{2\chi}D'^{2}\). La lecture prend \(\chi^{k}\), qui est ce que la ligne du \(\mathrm{ch}\) et l'heuristique de la racine \(\chi\)-ième imposent toutes deux. L'argument de \(\varphi_L\) est surchargé sur la page dans les deux formules. ↩
  27. La page écrit \(\chi^{k-2}\) au dénominateur, exposant qui hérite du glissement de la formule précédente et s'en écarte encore d'un cran ; la lecture écrit ce que l'intégralité des classes de Chern de \(\Phi_L(L)\) donne. La question « mod torsion » a aujourd'hui une réponse positive sur un corps algébriquement clos : \(\Phi_L(L)\) est un fibré, sa classe de Chern totale est entière, son image réciproque par \(\tilde\delta\) est \((1 - D)^{\chi}\) par le théorème de Mukai cité plus haut, et l'image réciproque par une isogénie est injective sur l'anneau de Chow rationnel ; l'égalité \(c(\Phi_L(L)) = (1 - D'/\chi)^{\chi}\) vaut donc dans \(\mathrm{CH}^{\cdot}(B)_{\mathbf{Q}}\), et la divisibilité avec elle. Une parenthèse de la page, « donc le \(\neq\) car. \(h\) », est lue avec doute et n'est pas interprétée. ↩
  28. La page dit « \(\mathrm{Todd} \,t_A = 1\), p. ex. si \(t_A\) est trivial, p. ex. \(S\) local ». Sur \(A \times A\) le fibré tangent est \(pr_1^{*}T_A \oplus pr_2^{*}T_A\), chaque terme tiré de \(t_A\) ; le noyau de \(dm_A\) est isomorphe à \(t_A\) tiré de \(S\). ↩
  29. A. Beauville, Quelques remarques sur la transformation de Fourier dans l'anneau de Chow d'une variété abélienne, 1983 ; D. Lieberman, Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds, 1968 ; S. Kleiman, Algebraic cycles and the Weil conjectures, dans Dix exposés sur la cohomologie des schémas, 1968. La page écrit « 10 Exposés … ». Le dossier, qui cite ce volume, lui est postérieur ; le nom \(\Psi_D\) et la définition par \(\exp D\) sont les siens. ↩
  30. Une première rédaction de ce calcul, encadrée et barrée d'une diagonale sur la page 9, part de \(x * y = \mathrm{ch}(a * b) T^{-1}\) et confond un instant \(x\) et \(\mathrm{ch}\,x\) ; la seconde, reprise au-dessous, est celle donnée ici. ↩
  31. La page écrit un seul facteur \(T\), avec « \(T = \mathrm{Todd}(t_A)\), \(\omega_A = \hat\Lambda\,t_A^{\vee}\) » en accolade. Le calcul qu'elle fait emploie \((*)\) pour le produit de Pontrjagin sur \(B\), dont la classe de Todd est \(\mathrm{Todd}(t_B)\) ; il reste, après simplification par un \(T\), \(\mathrm{Todd}(t_A)\,\mathrm{Todd}(t_B)\,\mathrm{ch}(\omega_A)\). Le terme de degré \(1\) de ce produit est \(\frac{1}{2}c_1(t_A) + \frac{1}{2}c_1(t_B) - c_1(t_A) = 0\), puisque \(\tau_A \simeq \tau_B\) ; le produit vaut \(1\) dès que \(S\) est local. Une note marginale, partiellement illisible, dit que \(a, b \in \mathrm{CH}^{\cdot}(A)_{\mathbf{Q}}\) et que « les formules … dès que … ». ↩
  32. Le point d'exclamation est le sien. Les formules avec le signe sont celles de Beauville (1983), proposition 3 : \(\mathcal{F}(x * y) = \mathcal{F}(x)\cdot\mathcal{F}(y)\) et \(\mathcal{F}(x \cdot y) = (-1)^g\,\mathcal{F}(x) * \mathcal{F}(y)\). Que Kleiman ait omis le signe est l'affirmation de la page ; la lecture ne l'a pas vérifiée. ↩
  33. La page écrit \(\Phi_L(\check F \otimes \omega_A[n]) \simeq \Phi_L(F)^{\vee}\) et \(\varphi_L(x)^{\vee} = (-1)^n\,\omega_A\, \varphi_L(\check x)\), sans la symétrie. Telle quelle la formule est fausse : pour \(F = e_s\), on a \(\Phi_L(e_s)^{\vee} = L_s^{-1} = L_{-s}\), tandis que \(e_s^{\vee} \otimes \omega_A[n] \simeq e_s\) a pour transformée \(L_s\). Le dualisant de \(L\) étant \(L^{-1}\) et non \(L\), la symétrie est nécessaire ; par la remarque 5 elle peut être portée sur \(A\) ou sur \(B\). C'est la formule (3.8) de Mukai, \(\Phi(F^{\vee}) \simeq (-1)^{*}\Phi(F)^{\vee}[g]\). La lecture corrige et signale. ↩
  34. La page écrit \(\Phi_L(u.F) \simeq u'.\Phi_L(F)\), le point désignant l'action ; elle ne dit pas lequel de \(u^{*}\) ou \(u_{*}\), qui sont inverses l'un de l'autre, et la lecture a choisi \(u_{*}\), ce qui fixe \(u'\) comme l'inverse du transposé. Avec \(u^{*}\) des deux côtés la formule vaut également, pour le même \(u'\). ↩