Fonds Grothendieck, cote n° 46, pages 61–80

suite de la démonstration commencée au bas de la page 60 est exacte, donc, comme \mathcal{O}_X est plat sur Y, il s'ensuit () que \mathcal{O}_{X'} est plat sur Y, et que \mathcal{O}_{X'} \otimes k(z) est un quotient divisoriel par \mathcal{O}_X \otimes k(z).

Suffisancele mot est encadré ; au-dessus, « Faisons z = y » Suite exacte 0 \to \underline{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0, d'où, puisque \mathcal{O}_{X'} est Y-plat en x, la suite exacte 0 \to \underline{I} \otimes k(y) \to \mathcal{O}_X \otimes k(y) \to \mathcal{O}_{X'} \otimes k(y) \to 0 , d'autre part \mathcal{O}_{X'} \otimes k(y) est divisoriel en x, il s'ensuit que (\underline{I} \otimes k(y))_x est monogène, donc (Nakayama) \underline{I} est monogène au voisinage de x, soit \underline{I} = \varphi \mathcal{O}_X [on rapetisse X]. Comme \varphi dans \mathcal{O}_X \otimes k(y) est un générateur de \underline{I} \otimes k(y), il n'est pas diviseur de 0 dans \mathcal{O}_X \otimes k(y), i.e. la suite 0 \to \mathcal{O}_X \otimes k(y) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \otimes k(y) \to \mathcal{O}_{X'} \otimes k(y) \to 0 la suite 0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0 est exacte. Je dis que \varphi : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X est injectif en x : soit I le noyau, on aura alors les suites exactes 0 \to I \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ \varphi\ } \ill{} \to 0, 0 \to \underline{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0, où \underline{I} est plat (car \mathcal{O}_X et \mathcal{O}_{X'} le sont) donc on a les suites exactes 0 \to I \otimes k \to \mathcal{O}_X \otimes k \to \underline{I} \otimes k \to 0, d'où I \otimes k = 0 d'où I = 0 (Nakayama). le terme illisible de la première suite est couvert d'une tache d'encre

Cor Stabilité par extension de la base.

Groupe de Brauer global.

Pour avoir des fondements solides et bien connus, nous nous plaçons en Géométrie ~~Algébrique~~ analytique [sur le corps \mathbb{C} des complexes]. Les groupes de cohomologie seront pris p.r. à la topologie usuelle.

Des diagrammes de suites exactes

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] e \arrow[r] & \mathbb{C}^{*} \arrow[r] & \mathrm{Gl}(n) \arrow[r] & \mathrm{GP}(n-1) \arrow[r] & e \\ e \arrow[r] & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[u, hook] & \mathrm{Sl}(n) \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{GP}(n-1) \arrow[r] \arrow[u, no head] & e \end{tikzcd}

on tire (pour un bon X) la « suite exacte »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \cdots \arrow[r] & H^1(X, \underline{\mathbb{C}}^{*}) \arrow[r] & H^1(X, \underline{\mathrm{Gl}}(n)) \arrow[r] & H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) \arrow[r] & H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*}) \\ \cdots \arrow[r] & H^1(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \underline{\mathrm{Sl}}(n)) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) \arrow[r] \arrow[u, no head] & H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \arrow[u] \end{tikzcd}

dans les deux diagrammes, la flèche verticale sous \mathrm{GP}(n-1) est un double trait (égalité)

considérons, pour un fibré donné \gamma \in H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)), l'élément \partial(\gamma) \in H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) obstruction à remonter le groupe structural à \underline{\mathrm{Sl}}(n). Alors l'obstruction à remonter le groupe structural à \mathrm{Gl}(n) est l'image de \partial(\gamma) dans H^2(X, \mathbb{C}^{*}) ; elle est donc d'ordre n [l'ensemble des éléments d'ordre n de H^2(X, \mathbb{C}^{*}) étant exactement l'image de H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})].

Les classes de fibrés sur X, de groupe \mathrm{GP}(n-1), ne sont autres que les classes de fibrés en algèbres de rang n^2 ; celles qui proviennent de \mathrm{Gl}(n) sont les fibrés en algèbres qui

sont de la forme L(E, E), où E est un fibré vectoriel de dim. n.

Si \mathcal{A}, \mathcal{B} sont deux fibrés en algèbres de rang m^2, n^2, alors \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} est un fibré en algèbres de rang m^2 n^2 = (mn)^2, donc définit un élément de H^1(X, \mathrm{GP}(mn-1)). Cela est associé à une représentation de groupes \mathrm{GP}(m-1) \times \mathrm{GP}(n-1) \longrightarrow \mathrm{GP}(mn-1) déduite de \mathrm{Gl}(m) \times \mathrm{Gl}(n) \longrightarrow \mathrm{Gl}(mn) par passage au quotient. Ainsi l'ens. \mathbb{B}(X) = \coprod_{n \geqslant 1} H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) est un monoïde commut., associatif, dont l'élément unité est l'unique élément de degré 1. On introduit dans ce monoïde une relation d'équivalence : deux a, b sont équivalents, si on peut trouver c, c étant « trivial » — i.e. provenant d'un fibré vectoriel — t.q. ac = bc. Si a \sim b et a' \sim b', alors aa' \sim bb', donc le monoïde quotient, noté \mathrm{Br}(X), est un monoïde (ass., comm., avec 1). C'est même un groupe, car si le « n \geqslant 1 » sous le coproduit est surchargé : le « 1 » est écrit sur un autre chiffre

a \in \mathbb{B}(X), soit a^{\circ} la classe « opposée » (en remplaçant une algèbre par l'algèbre opposée) alors aa^{\circ} est trivial. En effet, on a canoniquement \mathcal{A} \otimes \mathcal{A}^{\circ} \simeq L(\mathcal{A}, \mathcal{A}) : D'où la définition du groupe de Brauer, noté \mathrm{Br}(X).

On voit que \delta(ab) = i_m\,\delta(a) + i_n\,\delta(b) \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}, d'où résulte qu'on a un homomorphisme de ~~groupes~~ monoïdes \mathbb{B}(X) \longrightarrow H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) le \mathbb{B} est entouré et surcharge un « Br » cet homomorphisme définit, par composition \mathbb{B}(X) \to H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*}), d'où formé des classes « triviales ». D'où un homom. naturel injectif \boxed{\mathrm{Br}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*})} dont l'image est contenue dans \operatorname{Im} H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), donc dans le sous-groupe de Torsion.

Question 1 Tout élément de torsion de H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*}) provient-il d'un élément de \mathrm{Br}(X) ? ? question suivante plus précise :

Question 2 Tout élément de H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) est-il de la forme \partial a, avec a \in H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) ???

[Il faudrait d'abord résoudre cette question du point de vue topologique. Ce qui revient d'abord au cas de la classe canonique dans H^2(Z, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) : est-elle de la forme \delta(a), avec a \in H^1(Z, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathrm{GP}(n-1)) ? le premier argument est une lettre isolée, lue Z, avec un indice ou une virgule peu nets ; ce qui suit le premier « H^1( » est surchargé faisceau des sections à note cerclée dans la marge droite, reliée par une flèche au \mathrm{GP}(n-1) souligné Sinon, on aurait à : H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), tout élément est-il l'obstruction d'un élément de H^1(X, \underline{\mathrm{GP}(n-1)}) pour n convenable ??

Puis on se ramener à voir si les éléments de torsion de H^3(X, \mathbb{Z}) ~~\simeq H^2(X, \ill{})~~ [i.e. les éléments de \partial(H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}))] est l'obstruction d'un élément de H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)), avec n convenable [N.B. H^3(X, \mathbb{Z}) \simeq H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*})] — c'est la question 1 topologique —]

On peut introduire le revêtement universel \widetilde{X} de X, de groupe de Galois \pi, et on a alors 0 \to H^2(\pi, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to H^2(\widetilde{X}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\pi} \to \cdots et on peut essayer de montrer que du moins les éléments de H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) qui proviennent de H^2(\pi, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) sont dans \operatorname{Im} H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) ; ~~ainsi donc~~ il suffit pour cela de prouver que H^1(\pi, \mathrm{GP}(n-1)) \to H^2(\pi, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) est surjectif — ~~prenant X = K(1, \pi)~~ Du moins, est-il vrai que tout élément de H^2(\pi, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) est dans \operatorname{Im} H^1(\pi, \mathrm{GP}(n-1)) pour n convenable ? après « surjectif », une ligne et demie est annulée par un gribouillis en boucles ; on y lit seulement « X = K(1, \pi) »

Et si ceci aussi est faux, est-il donc vrai au moins que tout élément de H^2(\pi, \mathbb{C}^{*}) est dans \operatorname{Im} \struck{\ill{}} H^1(\pi, \mathrm{GP}(n-1)) pour n convenable ??

— ] le crochet fermant, isolé en bas à droite de la page, clôt celui qui ouvre la page 65

« Restriction des scalaires » dans les groupes algébriques et leurs espaces principaux homogènes…

inscrit et souligné, avec les guillemets, en haut à droite d'une chemise (page 67), qui ne reçoit pas de numéro de page

k corps, k' extension finie de k, S = \operatorname{Spec} k, S' = \operatorname{Spec} k'

N.B. : voir dans la question…

a) X' préschéma sur k', X_1 = \prod_{S'/S} X'/S'

(i) \boxed{H^0(k, X_1) \simeq H^0(k', X')}

(ii) Si X' est un schéma en groupes, noté G', sur k, on a

\boxed{H^1(k, G_1) \simeq H^1(k', G')} (classes de fibrés principaux homogènes —-)

(iii) Si G' est un schéma en groupe commut., noté M', on a

\boxed{H^i(k, M_1) \simeq H^i(k', M')} pour tout i (Cohomologie galoisienne…)

(i) Est vrai par définition (on n'a pas besoin de corps),

(ii) Soit P' fibré principal homogène sous G', alors P_1 = \prod_{S'/S} P' est un schéma sur k, sur lequel G' opère. On voit que P_1 est formellement fibré princ. homog. sous G_1, d'autre part ~~il est \neq \emptyset~~ pour utiliser la simplicité de G'/k', on voit que P_1 \neq \emptyset, ~~donc c'est un fibré principal homogène~~. La fonction P' \mapsto P_1 est pleinement fidèle. i.e. P_1 catégories On montre que c'est une équivalence de catégories, un argument de descente montre P_1 est trivial —- Contre-exemple si G' ?? G' k' ?? la note marginale, en quatre lignes obliques, est écrite en travers de la marge gauche en regard de (ii) ; l'addition « i.e.… catégories » est entourée

(iii) Soit T'/S ~~fini étale~~ galoisien, . C^{*}(T/S, M_1) \simeq C^{*}(T'/S', M') d'où H^{*}(T/S, M_1) \simeq H^{*}(T'/S', M') , d'où, si T parcourt certains S-préschémas, \varinjlim_{T} H^{*}(T/S, M_1) \simeq \varinjlim_{T} H^{*}(T'/S', M') , Or, si T parcourt les rev. étales complets (ou les produits finis sur S) les T'/S' sont cofinaux dans les catégories rel. à S' ! D'où la conclusion. au bas de la page, à gauche : « TSVP »

Supposons que k'/k est radiciel, prenons M' = \mathbb{G}_{m,k'}, alors on a une suite exacte e \to \mathbb{G}_m \to (\mathbb{G}_m)_1 \to U \to e , \qquad (\mathbb{G}_m)_1 = \underline{\mathrm{Hom}}_S(S', \mathbb{G}_m) l'égalité est écrite verticalement sous (\mathbb{G}_m)_1 ; la lecture « \underline{\mathrm{Hom}} » est douteuse où U est unipotent connexe, de sur k [en car. 2, on peut trouver U de dim. 1, par ex. si [k':k] = 2]. La suite exacte de cohomologie galoisienne sur k donne alors, compte tenu de H^i(k, (\mathbb{G}_m)_1) \simeq H^i(k', \mathbb{G}_m), l'isom. H^1(k, U) \simeq \operatorname{Ker}\bigl(H^2(k, \mathbb{G}_m) \to H^2(k', \mathbb{G}_m)\bigr) Prenons p. ex. k = k_0((t)), k' = k_0((t^{1/p})), où k_0 est un corps fini de car. p , on trouve par la du corps de classes local H^1(k, U) \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \neq 0 les parenthèses doubles de k_0((t)) se lisent aussi bien comme des crochets [bien que, pour p = 2, U soit une forme de \mathbb{G}_a ; bien sûr, cette forme n'est pas isomorphe à \mathbb{G}_a]. N.B. On sait que pU = 0 ( par k'^{p} \subset k)

Notons aussi que l'ext. de U par \mathbb{G}_m [qui splitte sur \bar{k}] n'est pas triviale, car autrement on aurait H^1(k, (\mathbb{G}_m)_1) \simeq H^1(k, \mathbb{G}_m) \times H^1(k, U) d'où H^1(k, U) = 0. sous H^1(k, (\mathbb{G}_m)_1) et H^1(k, \mathbb{G}_m), il note « = 0 » verticalement Donc « la multiplicative de (\mathbb{G}_m)_1 n'est pas définie sur k »

Regardons maintenant l'hom. et soit V son noyau e \to V \to (\mathbb{G}_m)_1 \to \mathbb{G}_m \to e Mais V n'est pas lisse sur k, dans le cas particulier envisagé où H^1(k, U) \neq 0 ~~Mais [dans le cas où ]~~ que V_{\mathrm{réd}} [est exactement le radical unipotent de \mathbb{G}_m]. D'ailleurs, dans le cas où [k':k] = p, on voit facilement que V est réduit. D'ailleurs, dans le cas où k'^{p} \subset k, on voit facilement que V est aussi le noyau de la puissance p-ième dans \mathbb{G}_m, donc on a un isom. V \simeq \prod_{S'/S} (\mu_p)_{S'} . précisions … le paragraphe « D'ailleurs… isom. » est marqué d'un double trait vertical à gauche, la note marginale écrite de biais ~~En tous cas~~, on une suite exacte 0 \to \mu_p \to V \to U \to 0 (extension non triviale —). Notons maintenant que si G' est un groupe alg. sur k' ayant un centre isomorphe à (\mu_p)_{k'} [p. ex. \mathrm{Sl}(p)_{k'}] alors le centre de G_1 est Z_1 = V donc (Z_1)_{\mathrm{réd}} n'est pas définissable sur k.

Petits fourbis cohomologiques

inscrit et souligné en haut à droite d'une chemise (page 71), qui ne reçoit pas de numéro de page ; la lecture « fourbis » est douteuse. Les mêmes mots sont répétés au crayon, de biais, dans la marge gauche de la page 72

Proposition Soit k un corps commutatif, L une extension galoisienne de k de groupe de Galois \Gamma, \underline{A} une algèbre avec 1 de dimension finie sur k, \underline{A}^{L} l'algèbre sur L obtenue par extension des scalaires à L, \underline{A}^{L} est considérée comme munie du groupe d'automorphismes défini par \Gamma. Soit G = \underline{A}^{L*} le groupe des éléments inversibles de \underline{A}^{L}, G ~~\underline{A}^{L}~~ un \Gamma-groupe. H^1(\Gamma, G) est réduit à l'élément unité, ainsi que H^1(\Gamma, G^{\psi}) si \psi est un hom. croisé de \Gamma dans G \mathrm{Aut}\,\underline{A}. H^1(\Gamma, \mathrm{Gl}(n, L)) est réduit à l'élément unité. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

Démonstration \Gamma opère dans G^{\psi} = G par \sigma(\gamma)g = \psi(\gamma).g^{\gamma}. Soit \varphi \in Z^1(\Gamma, G^{\psi}) x = \sum_{\gamma \in \Gamma} \varphi(\gamma)\, \sigma(\gamma).A \qquad (A \in \underline{A}^{L}) ~~, \sigma(\gamma)~~ dans cette formule et la suivante, une parenthèse biffée et illisible suit le signe somme \sigma(\gamma)x = \sum_{\gamma' \in \Gamma} \sigma(\gamma)\varphi(\gamma')\,\sigma(\gamma\gamma').A ~~= \sum_{\gamma' \in \Gamma} (\sigma(\gamma')A)\, \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}\gamma')~~ \begin{align*} &= \sum_{\gamma' \in \Gamma} \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}\gamma')\, \sigma(\gamma').A \\ &= \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}) \sum_{\gamma' \in \Gamma} \varphi(\gamma')\,\sigma(\gamma').A = \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1})x \end{align*} x = \varphi(\gamma^{-1})\,\sigma(\gamma)^{-1}x \qquad x = \varphi(\gamma)\,\sigma(\gamma)x ~~\varphi(\gamma) =~~ D'où, si x inversible, la formule \varphi(\gamma) = x\,(\sigma(\gamma)x)^{-1} Il reste à prouver donc que l'on peut trouver A de telle façon que \sum \varphi(\gamma)\,\sigma(\gamma).A soit

inversible. Or, \sigma(\gamma)A = \psi(\gamma).A^{\gamma}, où \psi(\gamma) est une transformation linéaire de \underline{A}^{L}, si x n'était pas inversible, on aurait (P étant la fonction polynôme P(A) = \struck{\det(\ill{})} déterminant de f_A, de la transformation B \mapsto AB ou B \mapsto BA) P\Bigl(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma)\bigl(\psi(\gamma).A^{\gamma}\bigr)\Bigr) = 0 ~~= 0, i.e. \sum_{\gamma} A.~~ Considérons la fonction sur (\underline{A}^{L})^{\Gamma} définie par ~~\bar{P}((A_\gamma)) = P(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma) \ldots~~ \bar{P}((A_\gamma)) = P\Bigl(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma)\bigl(\psi(\gamma). A_{\gamma}^{\gamma}\bigr)\Bigr) Elle est nulle en faisant la substitution (A_\gamma = A^{\gamma} (A \in \underline{A}^{L})) d'où on conclut qu'elle est identiquement nulle (du moins si le corps k est infini). argument d'un corps !!! On aurait donc, en prenant A_\gamma = 0 si \gamma \neq 1, A_1 = 1 \in \underline{A}^{L} : P(1) = 0, ce qui est absurde.

Il reste : l'égalité le cas fini. Dans ce cas, ~~fini ; \mathbb{G}_m cyclique \Gamma~~ , et prouvons H^1(\Gamma, G^{\psi}) = e si \psi est \varphi est \varphi(u) = a \begin{gather*} \varphi(u^0) = 1 \\ \varphi(u) = a \\ \varphi(u^2) = a\,\sigma(u)a \\ \varphi(u^3) = a\,\sigma(u)a\,\sigma(u)^2 a \\ \ldots \\ \varphi(u^{n-1}) = a\,\sigma(u)a \cdots \sigma(u)^{n-2}a \end{gather*} un hom. croisé de \Gamma dans \mathrm{Aut}\,G^{L} ; \Gamma engendré par u, u\lambda = \lambda^{q} (q = [k]) la fin de la page est très raturée : deux lignes barrées, un mot entouré, et la note marginale, de biais, reliée par une flèche au début de la ligne « \varphi est… »

Proposition Soit G un groupe algébrique connexe sur un corps fini k, L une extension finie de k, de groupe de Galois \Gamma, G^{L} le groupe obtenu à partir de G par extension des scalaires à L (il est encore connexe sur L), \Gamma opère dans G^{L} comme groupe d'automorphismes. ~~Soit~~ . Alors H^1(\Gamma, G^{L}) = \lbrace e \rbrace. Plus généralement, soit \mathrm{Aut}\,G^{L} le groupe des automorphismes du groupe algébrique G^{L} sur L, et soit \psi un hom. croisé de \Gamma dans \mathrm{Aut}\,G^{L}, soit G^{L\psi} le groupe G^{L} muni de \Gamma opérant par \sigma(\gamma).g = \psi(\gamma).g^{\gamma} ; alors, on a encore H^1(\Gamma, G^{L\psi}) = \lbrace e \rbrace à voir ! l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche, la note marginale en regard

Démonstration Soit q = nb d'éléments de k, et n = [L:k]. \Gamma est le groupe cyclique engendré par l'automorphisme f\lambda = \lambda^{q}, on désigne par u l'automorphisme correspondant de G^{L}. Soit \Omega une clôture algébrique de L, on désigne par \tilde{u} l'automorphisme de G^{\Omega} défini par l'automorphisme \lambda \mapsto \lambda^{q} de \Omega (on a donc u^{n} = 1, mais \tilde{u}^{n} \neq 1 ; l'ensemble des invariants de \tilde{u}^{n} dans \Omega — resp. G^{\Omega} — est L — resp. G^{L} —). On désigne par \tilde{v} l'automorphisme x \mapsto \psi(f)x^{\tilde{u}} de G^{\Omega}, induisant un automorphisme v de G, qui n'est autre que \sigma(f). On a, puisque \psi(\gamma) est un ~~\psi\,\psi^{\tilde{u}} \cdots \psi^{\tilde{u}}~~ hom. croisé de \Gamma dans \mathrm{Aut}\,G^{L} la définition de \tilde{u} a été reprise trois fois : on y voit, biffés, « f : \lambda \mapsto \lambda^{q} de \Omega », « x \mapsto x^{\tilde{u}} » et, en surcharge, « x \mapsto x^{q} »

\psi^{(u)}\psi^{(u^2)} \cdots \psi^{(u^{n-1})} = 1 (où \psi^{(u^k)} = u^{k}\psi u^{k-1}), d'autre part, en désignant par \tilde{\psi} le prolongement de \psi à G^{\Omega}, et notant que les \psi^{(u^k)} sont encore des automorphismes du groupe algébrique G^{L} sur L, induisant des automorphismes \tilde{\psi}^{(\tilde{u}^k)} de G^{\Omega} : (*) \qquad \tilde{\psi}^{\tilde{u}}\,\tilde{\psi}^{\tilde{u}^2} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{n-1}} = 1 Soit \varphi \in Z^1(\Gamma, G^{L\psi}), donnée par \varphi(u) = a \in G^{L\psi}, avec (**) \qquad a\,a^{v}a^{v^2} \cdots a^{v^{n-1}} = 1 On cherche b \in G^{L} tel que a = b(b^{v})^{-1} ; on va voir qu'il suffit de trouver b \in G^{\Omega} tel que a = b(b^{\tilde{v}})^{-1} : on va voir qu'alors automatiquement b \in G^{L}.

Pour ceci, on ~~a = b(b^{\tilde{v}})^{-1}~~ : écrivons (**) suit un bloc annulé par un grand trait sinueux, où l'on lit « a^{v^k} = a^{\tilde{v}^k} », « \tilde{v}^{k} = (\tilde{\psi}\tilde{u})^{k} = \tilde{\psi} \tilde{\psi}^{\tilde{u}}\tilde{\psi}^{\tilde{u}^2} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}}\tilde{u}^{k} (évidemment …) » et « a^{v^k} = a^{\tilde{v}^k} = (\tilde{\psi} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}})\,b\,b^{v} \ldots b\,b^{\tilde{v}^{-1}} » on constate que a^{v^k} = a^{\tilde{v}^k} = b^{\tilde{v}^k}\bigl(b^{\tilde{v}^{k+1}}\bigr)^{-1} d'où on tire b\bigl(b^{\tilde{v}^n}\bigr)^{-1} = 1 \qquad \text{soit} \qquad b^{\tilde{v}^n} = b Or on a \tilde{v}^{k} = (\tilde{\psi}\tilde{u})^{k} = \tilde{\psi} \tilde{\psi}^{\tilde{u}} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}}\tilde{u}^{k} (récurrence sur k) d'où \tilde{v}^{n} = \bigl(\tilde{\psi}\tilde{\psi}^{\tilde{u}} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{n-1}}\bigr)\tilde{u}^{n} = \tilde{u}^{n} en vertu de (*), on a donc b^{\tilde{u}^n} = b, i.e. b \in G^{L}.

On est maintenant ramené au théorème géométrique suivant :

Lemme 1 Soit G un groupe algébrique connexe sur le corps algébriquement clos \Omega de car. p \neq 0, « défini » sur le corps \mathbb{F}_q à q éléments, soit ~~soit~~ q une puissance \psi un automorphisme du groupe algébrique , considérons ~~l'automorphisme \sigma du groupe G défini défini par~~ l'application de G dans G donnée par x \longmapsto x\,\bigl(\psi x^{(q)}\bigr)^{-1} où x^{(q)} est le transformé de x par l'automorphisme qui correspond à \lambda \mapsto \lambda^{(q)} dans \Omega (dont le corps des invariants est \mathbb{F}_q) ; cette application est alors surjective. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

~~On l'~~ Considérons la différentielle de cette application à l'élément neutre : par un calcul presque formel, on trouve que c'est l'identité (car la différentielle de x \mapsto \psi x^{(q)} est la composée de d\psi(e) avec la différentielle de x^{(q)}, laquelle est nulle).

Donc l'application envisagée a pour image un voisinage de e. C'est d'ailleurs un hom. croisé (quand G opère sur lui-même par automorphismes intérieurs par \psi x^{(q)} : \theta(xy) = \theta(x)\, \mathrm{int}(\psi x^{(q)})\,\theta(y)).

Si G est abélien, l'image \theta(G) est donc un sous-groupe, qui est : G puisque G est connexe.

Dans le cas général, on

Soit G un groupe où opère \mathbb{Z}, T^{1} = T, , soit G_n l'ens. des éléments de G tels que T^{n}x = x. On suppose que G = \bigcup G_n (les G_n forment une suite croissante). Alors G_n est un \mathbb{Z}_n-groupe, et on peut considérer sa cohomologie , pour G commutatif, : \begin{align*} H^0(\mathbb{Z}_n, G_n) &= G_1 \quad \text{ens.\ des éléments de $G$ invariants par $\mathbb{Z}$} \\ H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) &= \text{ens.\ des éléments $\alpha$ de $G_n$ tels que} \\ &\qquad \alpha\,T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1 , \end{align*} mod la relation d'équivalence définie par \beta \simeq \alpha si et seulement si il existe u \in G_n tel que \beta = u^{-1}\alpha\,Tu.

D'ailleurs supposons que n \mid m, alors \mathbb{Z}_n est un quotient de \mathbb{Z}_m, par un sous-groupe N_{n,m}, et on a \boxed{G_n = G_m^{N_{n,m}}}. On a donc fonctoriellement une suite exacte e \to H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) \xrightarrow{\ \mathrm{inf}\ } H^1(\mathbb{Z}_m, G_m) \to H^1(N_{n,m}, G_m)^{\mathbb{Z}_m} , \qquad N_{n,m} \simeq \mathbb{Z}_{m/n} [Si G est abélien, on a aussi \mathbb{Z}_{m/n} H^i(\mathbb{Z}_n, G_n), et on a des homom. H^i(\mathbb{Z}_n, G_n) \to H^i(\mathbb{Z}_m, G_m) d'ailleurs, on sait à partir de i = 1, une périodicité de période 2 dans les H^i(\mathbb{Z}_n, G_n), donc i > 1 n'importe pas grand chose].

Lemme 1 Soit \alpha \in G tel que \alpha\,T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1, alors \alpha \in G_n. Supposons \alpha, \beta \in G satisfaisant aux conditions précédentes et \beta = u^{-1}\alpha\,Tu (u \in G), alors u \in G_n. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

En effet, dans le premier cas, appliquons T : T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha\,T^{n}\alpha = 1 i.e. T^{n}\alpha est un inverse de T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha, comme \alpha, T^{n}\alpha = \alpha. Dans le second, écrivons \beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = 1, et y remplaçons \beta par u^{-1}\alpha\,Tu, on trouve

en tête de page, deux lignes de sa main, barrées ensemble d'un long trait ondulé : « F. Peterson Functional Cohomology operations. Some non-embedding Problems. » et « Moore The double suspension and p-primary components of homotopy groups of spheres » u^{-1}\alpha\,Tu\;Tu^{-1}\,T\alpha\,T^{2}u\;T^{2}u^{-1}\,T^{2}\alpha\,T^{3}u \cdots T^{n-1}u^{-1}\,T^{n-1}\alpha\,T^{n}u = 1 les facteurs qui se simplifient sont barrés de petits traits obliques i.e. u^{-1}(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha)\,T^{n}u = 1 d'où, comme (\ \ ) = 1, u^{-1}T^{n}u = 1 soit T^{n}u = u.

Lemme 2 Si un élément de H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) est représenté par un \alpha \in G_n tel que \alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1, alors son image dans H^1(\mathbb{Z}_m, G_m) (si n \mid m) est aussi représentée par \alpha \in G_n \subset G_m. Trivial l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

Posons H^1(T, G) = \varinjlim H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) sous la limite, deux lignes : « l'indice » et « filtrant multiplicativement »

On voit donc que H^1(T, G) est l'ens. des classes d'objets \alpha \in G tels qu'il existe un n avec \alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1, et on écrivant \beta \sim \alpha s'il existe u \in G tel que \beta = u^{-1}\alpha\,Tu.

Lemme 3 Si Pour l'application x \mapsto x^{-1}Tx de G dans G surjective, on a H^1(T, G) = \lbrace e \rbrace

résulte des lemmes 1 et 2

Lemme 4 Soit e \to G' \to G \to G'' \to e une suite exacte de \mathbb{Z}-groupes (T opère dans G et normalise G'). Supposons que pour tout l'application x \mapsto x^{-1}\alpha\,Tx ~~de G' dans G' soit surjective~~ contienne G'. Alors H^1(T, G) \to H^1(T, G'') \quad \text{est \emph{injectif}} la ligne sous « l'application » est biffée et surchargée, avec « intérieur » et « G' » en interligne ; lecture de l'hypothèse incertaine

Soient en effet \alpha, \beta \in G, tels que \alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1 et de même \beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = 1, et

supposons qu'il existe u \in G tel que \beta \equiv u^{-1}\alpha\,Tu (G'). On veut prouver que \beta \sim \alpha. Remplaçant \alpha par u^{-1}\alpha\,Tu, on peut supposer déjà que \beta \equiv \alpha (G') i.e. \beta = t\alpha (t \in G'). On cherche v \in G' tel que \beta = v^{-1}\alpha\,Tv i.e. t\alpha = v^{-1}\alpha\,Tv i.e. t = v^{-1}\alpha\,Tv\,\alpha^{-1} ou encore, (\sigma désignant l'aut. de G' induit par l'aut. intérieur défini par \alpha) t = v^{-1}\sigma T(v). Un tel v existe par hypothèse.

On cherche maintenant des conditions moyennant lesquelles H^1(T, G) \to H^1(T, G'') est surjectif. Soit donc \alpha \in G tel que \alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha \equiv 1 (G'), on veut montrer que l'on peut trouver t \in G' tel que \beta = t\alpha satisfasse à \beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = 1. Or le premier membre est (t\alpha\,T(t)T(\alpha) \cdots T^{n-1}(t)T^{n-1}(\alpha)) \begin{align*} &= t\,\bigl(\alpha\,T(t)\,\alpha^{-1}\bigr) \bigl(\alpha\,T\alpha\,T^{2}(t)\,T(\alpha)^{-1}\alpha^{-1}\bigr) \cdots \\ &\qquad \bigl(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-2}\alpha\,T^{n-1}(t)\,T^{n-2}\alpha^{-1} \cdots T\alpha^{-1}\alpha^{-1}\bigr)\,\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha \end{align*} chaque parenthèse est soulignée d'une accolade Le dernier facteur est 1, d'où on trouve t\,\sigma_1 T(t)\,\sigma_2 T^{2}(t) \cdots \sigma_{n-1}T^{n-1}(t) où \sigma_i est l'automorphisme intérieur défini par \alpha\,T\alpha \cdots T^{i-1}\alpha. D'où le

Lemme 5 Soit e \to G' \to G \to G'' \to e une suite exacte de \mathbb{Z}-groupes, supposons que pour toute suite d'automorphismes \sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1} de G', induits par des automorphismes intérieurs de G, l'application x \longmapsto x\,\sigma_1 Tx \cdots \sigma_{n-1}T^{n-1}x de G dans G est surjective. Alors H^1(X, G) \to H^1(X, G'') la page s'arrête ici ; « X » est tel qu'écrit, là où l'on attend T

Soit \Gamma un groupe, G un \Gamma-groupe, M un \Gamma-~~groupe~~ ensemble. Supposons que G opère sur M, et qu'on ait \gamma(gm) = (\gamma g)(\gamma m) Soit alors f un 1-cocycle de \Gamma à valeurs dans G f(\gamma\gamma') = f(\gamma).\gamma f(\gamma') La donnée de f permet de « tordre » M, de façon précise de définir une autre façon d'opérer de \Gamma sur M, savoir \gamma_f\, m = f(\gamma).\gamma.m il écrit \gamma_f avec une petite flèche au-dessus du \gamma et le f en dessous \begin{align*} [\text{car} \quad \gamma_f(\gamma'_f m) &= f(\gamma)\gamma\bigl(f(\gamma') \gamma' m\bigr) = f(\gamma)\,\gamma f(\gamma')\,\gamma\gamma' m \\ &= f(\gamma\gamma')\,\gamma\gamma' m = (\gamma\gamma')_f\, m \\ e_f\, m &= f(e).e.m = m \ ] \end{align*} On désigne par M_f le nouveau \Gamma-ensemble ainsi construit ; en fait, on ne s'est pas servi de la loi de groupe de M ; en particulier, faisant opérer G sur lui-même par automorphismes intérieurs, on ~~trouve sur G_f une~~ note que \gamma(\sigma(g).g') = \sigma(\gamma g)\,\gamma g' car le premier membre est \gamma(gg'g^{-1}) = \gamma g\, \gamma g'\,(\gamma g)^{-1}, c'est à dire le second membre. Ainsi, posant \gamma_f\, g = f(\gamma)\,\gamma g\, f(\gamma)^{-1} on obtient sur G une nouvelle loi de \Gamma-groupe.

Notons aussi \gamma_f(gm) = \gamma_f(g)\,\gamma_f(m) car le ~~deuxième~~ premier membre est f(\gamma)\,\gamma(gm) = f(\gamma)\,\gamma g\,\gamma(m) et le deuxième f(\gamma)\,\gamma g\, f(\gamma)^{-1} f(\gamma)\,\gamma(m) i.e. pareil.