Cote n° 46, pages 61–80

Cote n° 46 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1966-vers 1972]
Édition de démonstration

suite de la démonstration commencée au bas de la page 60 est exacte, donc, comme $\mathcal{O}_X$ est plat sur $Y$, il s'ensuit ([…]) que $\mathcal{O}_{X'}$ est plat sur $Y$, et que $\mathcal{O}_{X'} \otimes k(z)$ est [un quotient] divisoriel par $\mathcal{O}_X \otimes k(z)$.

Suffisancele mot est encadré ; au-dessus, « Faisons […] $z = y$ » Suite exacte $0 \to \underline{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0$, d'où, puisque $\mathcal{O}_{X'}$ est $Y$-plat en $x$, la suite exacte \[ 0 \to \underline{I} \otimes k(y) \to \mathcal{O}_X \otimes k(y) \to \mathcal{O}_{X'} \otimes k(y) \to 0 , \] d'autre part $\mathcal{O}_{X'} \otimes k(y)$ est divisoriel [en $x$], il s'ensuit que $(\underline{I} \otimes k(y))_x$ est monogène, donc (Nakayama) $\underline{I}$ […] est […] […] […] [monogène] au voisinage de $x$, soit $\underline{I} = \varphi \mathcal{O}_X$ [on rapetisse $X$]. Comme $\varphi$ dans $\mathcal{O}_X \otimes k(y)$ est un générateur de $\underline{I} \otimes k(y)$, il n'est pas diviseur de $0$ dans $\mathcal{O}_X \otimes k(y)$, i.e. la suite \[ 0 \to \mathcal{O}_X \otimes k(y) \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \otimes k(y) \to \mathcal{O}_{X'} \otimes k(y) \to 0 \] […] […] la suite $0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ \varphi\ } \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0$ est exacte. Je dis que $\varphi : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$ est injectif en $x$ : soit $I$ le noyau, on aura alors les suites exactes $0 \to I \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\ \varphi\ } \ill{} \to 0$, $0 \to \underline{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0$, où $\underline{I}$ est plat (car $\mathcal{O}_X$ et $\mathcal{O}_{X'}$ le sont) donc on a les suites exactes $0 \to I \otimes k \to \mathcal{O}_X \otimes k \to \underline{I} \otimes k \to 0$, d'où $I \otimes k = 0$ d'où $I = 0$ (Nakayama). le terme illisible de la première suite est couvert d'une tache d'encre

[…] […] Cor Stabilité par extension de la base.

Groupe de Brauer global.

Pour avoir des fondements solides et bien connus, nous nous plaçons en Géométrie Algébrique [analytique] [sur le corps $\mathbb{C}$ des complexes]. Les groupes de cohomologie seront pris p.r. à la topologie usuelle.

Des […] [diagrammes de] suites exactes

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
e \arrow[r] & \mathbb{C}^{*} \arrow[r] & \mathrm{Gl}(n) \arrow[r] & \mathrm{GP}(n-1) \arrow[r] & e \\
e \arrow[r] & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \arrow[r] \arrow[u, hook] & \mathrm{Sl}(n) \arrow[r] \arrow[u] & \mathrm{GP}(n-1) \arrow[r] \arrow[u, no head] & e
\end{tikzcd}

on tire (pour un bon $X$) la « suite exacte »

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\cdots \arrow[r] & H^1(X, \underline{\mathbb{C}}^{*}) \arrow[r] & H^1(X, \underline{\mathrm{Gl}}(n)) \arrow[r] & H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) \arrow[r] & H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*}) \\
\cdots \arrow[r] & H^1(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \underline{\mathrm{Sl}}(n)) \arrow[r] \arrow[u] & H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) \arrow[r] \arrow[u, no head] & H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \arrow[u]
\end{tikzcd}

dans les deux diagrammes, la flèche verticale sous $\mathrm{GP}(n-1)$ est un double trait (égalité)

considérons, pour un fibré donné $\gamma \in H^1(X, \mathrm{GP}(n-1))$, l'élément \[ \partial(\gamma) \in H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \] obstruction à remonter le groupe structural à $\underline{\mathrm{Sl}}(n)$. Alors l'obstruction à remonter le groupe structural à $\mathrm{Gl}(n)$ est l'image de $\partial(\gamma)$ dans $H^2(X, \mathbb{C}^{*})$ ; elle est donc d'ordre $n$ [l'ensemble des éléments d'ordre $n$ de $H^2(X, \mathbb{C}^{*})$ étant exactement l'image de $H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$].

Les classes de fibrés sur $X$, de groupe $\mathrm{GP}(n-1)$, ne sont autres que les classes de fibrés en algèbres […] de […] [rang] $n^2$ ; celles qui proviennent de $\mathrm{Gl}(n)$ sont les fibrés en algèbres qui

sont de la forme $L(E, E)$, où $E$ est un fibré vectoriel de dim. $n$.

Si $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ sont deux fibrés en algèbres de […] [rang] $m^2$, $n^2$, alors $\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}$ est un fibré en algèbres de rang $m^2 n^2 = (mn)^2$, donc définit un élément de $H^1(X, \mathrm{GP}(mn-1))$. Cela est associé à une représentation de groupes \[ \mathrm{GP}(m-1) \times \mathrm{GP}(n-1) \longrightarrow \mathrm{GP}(mn-1) \] déduite de $\mathrm{Gl}(m) \times \mathrm{Gl}(n) \longrightarrow \mathrm{Gl}(mn)$ par passage au quotient. Ainsi l'ens. \[ \mathbb{B}(X) = \coprod_{n \geqslant 1} H^1(X, \mathrm{GP}(n-1)) \] est un […] monoïde [commut., associatif], dont l'élément unité est l'unique élément de degré $1$. On […] introduit dans ce monoïde une relation d'équivalence : deux […] […] $a$, $b$ sont équivalents, si on peut trouver $c$, $c$ étant « trivial » — i.e. provenant d'un fibré vectoriel — t.q. $ac = bc$. Si $a \sim b$ et $a' \sim b'$, alors $aa' \sim bb'$, donc le monoïde quotient, noté $\mathrm{Br}(X)$, est un monoïde […] (ass., comm., avec $1$). C'est même un groupe, car si le « $n \geqslant 1$ » sous le coproduit est surchargé : le « $1$ » est écrit sur un autre chiffre

$a \in \mathbb{B}(X)$, soit $a^{\circ}$ la classe « opposée » (en remplaçant une algèbre par l'algèbre opposée) alors $aa^{\circ}$ est trivial. En effet, on a canoniquement \[ \mathcal{A} \otimes \mathcal{A}^{\circ} \simeq L(\mathcal{A}, \mathcal{A}) : \] D'où la définition du groupe de Brauer, noté $\mathrm{Br}(X)$.

On voit que \[ \delta(ab) = i_m\,\delta(a) + i_n\,\delta(b) \] […] […] […] $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$, d'où résulte qu'on a un homomorphisme de groupes [monoïdes] \[ \mathbb{B}(X) \longrightarrow H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \] le $\mathbb{B}$ est entouré et surcharge un « Br » cet homomorphisme définit, par composition $\mathbb{B}(X) \to H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*})$, d'où […] […] […] […] […] […] […] [formé des] classes « triviales ». […] D'où un homom. naturel injectif \[ \boxed{\mathrm{Br}(X) \xrightarrow{\ \varphi\ } H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*})} \] dont l'image est contenue dans $\operatorname{Im} H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, donc dans le sous-groupe de Torsion.

Question 1 Tout élément de torsion de $H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*})$ provient-il d'un élément de $\mathrm{Br}(X)$ ? […] […] […] […] ? question suivante plus précise :

Question 2 Tout élément de $H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est-il de la forme $\partial a$, avec $a \in H^1(X, \mathrm{GP}(n-1))$ ???

[Il faudrait d'abord résoudre cette question du point de vue topologique. Ce qui revient d'abord au cas de la classe canonique dans $H^2(Z, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ : est-elle de la forme $\delta(a)$, avec $a \in H^1(Z, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathrm{GP}(n-1))$ ? le premier argument est une lettre isolée, lue $Z$, avec un indice ou une virgule peu nets ; ce qui suit le premier « $H^1($ » est surchargé faisceau des sections à […] note cerclée dans la marge droite, reliée par une flèche au $\mathrm{GP}(n-1)$ souligné Sinon, on aurait […] […] […] […] à : $H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, tout élément est-il l'obstruction d'un élément de $H^1(X, \underline{\mathrm{GP}(n-1)})$ pour $n$ convenable ??

Puis on […] […] […] […] se ramener à voir si les éléments de torsion de $H^3(X, \mathbb{Z})$ $\simeq H^2(X, \ill{})$ [i.e. les éléments de $\partial(H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}))$] est l'obstruction d'un élément de $H^1(X, \mathrm{GP}(n-1))$, avec $n$ convenable [N.B. $H^3(X, \mathbb{Z}) \simeq H^2(X, \underline{\mathbb{C}}^{*})$] — c'est la question 1 topologique —]

On peut introduire le revêtement universel $\widetilde{X}$ de $X$, de groupe de Galois $\pi$, et on a alors \[ 0 \to H^2(\pi, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to H^2(\widetilde{X}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\pi} \to \cdots \] et on peut essayer de montrer que du moins les éléments de $H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ qui proviennent de $H^2(\pi, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ sont dans $\operatorname{Im} H^1(X, \mathrm{GP}(n-1))$ ; ainsi donc il suffit pour cela de prouver que $H^1(\pi, \mathrm{GP}(n-1)) \to H^2(\pi, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est surjectif — […] […] […] prenant $X = K(1, \pi)$ […] Du moins, est-il vrai que tout élément de $H^2(\pi, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ est dans $\operatorname{Im} H^1(\pi, \mathrm{GP}(n-1))$ pour $n$ convenable ? après « surjectif », une ligne et demie est annulée par un gribouillis en boucles ; on y lit seulement « $X = K(1, \pi)$ »

Et si ceci aussi est faux, est-il donc vrai au moins que tout élément de $H^2(\pi, \mathbb{C}^{*})$ est dans $\operatorname{Im} \struck{\ill{}} H^1(\pi, \mathrm{GP}(n-1))$ pour $n$ convenable ??

— ] le crochet fermant, isolé en bas à droite de la page, clôt celui qui ouvre la page 65

« Restriction des scalaires » dans les groupes algébriques et leurs espaces principaux homogènes…

inscrit et souligné, avec les guillemets, en haut à droite d'une chemise (page 67), qui ne reçoit pas de numéro de page

$k$ corps, $k'$ extension finie de $k$, $S = \operatorname{Spec} k$, $S' = \operatorname{Spec} k'$

N.B. […] […] […] […] : voir dans la question…

a) $X'$ préschéma sur $k'$, $X_1 = \prod_{S'/S} X'/S'$

(i) $\boxed{H^0(k, X_1) \simeq H^0(k', X')}$

(ii) Si $X'$ est un schéma en groupes, noté $G'$, […] sur $k$, on a

$\boxed{H^1(k, G_1) \simeq H^1(k', G')}$ (classes de fibrés principaux homogènes —-)

(iii) Si $G'$ est un schéma en groupe commut., noté $M'$, on a

$\boxed{H^i(k, M_1) \simeq H^i(k', M')}$ pour tout $i$ (Cohomologie galoisienne…)

(i) Est vrai par définition (on n'a pas besoin de corps),

(ii) Soit $P'$ fibré principal homogène sous $G'$, alors $P_1 = \prod_{S'/S} P'$ est un schéma sur $k$, sur lequel $G'$ opère. On voit que $P_1$ est formellement fibré princ. homog. sous $G_1$, d'autre part il est $\neq \emptyset$ pour utiliser la simplicité de $G'/k'$, on voit que $P_1 \neq \emptyset$, donc c'est un fibré principal homogène. La fonction $P' \mapsto P_1$ est pleinement fidèle. [i.e. […] […] $P_1$ […] […] […] catégories] On montre que c'est une équivalence de catégories, un argument de descente montre […] […] […] […] $P_1$ est trivial —- Contre-exemple […] si $G'$ […] […] […] ?? […] […] $G'$ […] […] $k'$ ?? la note marginale, en quatre lignes obliques, est écrite en travers de la marge gauche en regard de (ii) ; l'addition « i.e.… catégories » est entourée

(iii) Soit $T'/S$ fini étale galoisien, […] […]. \[ C^{*}(T/S, M_1) \simeq C^{*}(T'/S', M') \] d'où \[ H^{*}(T/S, M_1) \simeq H^{*}(T'/S', M') , \] d'où, si $T$ parcourt certains $S$-préschémas, \[ \varinjlim_{T} H^{*}(T/S, M_1) \simeq \varinjlim_{T} H^{*}(T'/S', M') , \] Or, si $T$ parcourt les rev. étales complets (ou les produits […] […] finis sur $S$) les $T'/S'$ sont cofinaux dans les [catégories] […] […] rel. à $S'$ ! D'où la conclusion. au bas de la page, à gauche : « TSVP »

Supposons que $k'/k$ est radiciel, prenons $M' = \mathbb{G}_{m,k'}$, alors on a une suite exacte \[ e \to \mathbb{G}_m \to (\mathbb{G}_m)_1 \to U \to e , \qquad (\mathbb{G}_m)_1 = \underline{\mathrm{Hom}}_S(S', \mathbb{G}_m) \] l'égalité est écrite verticalement sous $(\mathbb{G}_m)_1$ ; la lecture « $\underline{\mathrm{Hom}}$ » est douteuse où $U$ est unipotent connexe, de […] […] sur $k$ [en car. $2$, on peut trouver $U$ de dim. $1$, […] par ex. si $[k':k] = 2$]. La suite exacte de cohomologie galoisienne sur $k$ donne alors, compte tenu de $H^i(k, (\mathbb{G}_m)_1) \simeq H^i(k', \mathbb{G}_m)$, l'isom. \[ H^1(k, U) \simeq \operatorname{Ker}\bigl(H^2(k, \mathbb{G}_m) \to H^2(k', \mathbb{G}_m)\bigr) \] Prenons p. ex. $k = k_0((t))$, $k' = k_0((t^{1/p}))$, où $k_0$ est un corps fini de car. $p$ […] […], on trouve par la […] du corps de classes local \[ H^1(k, U) \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \neq 0 \] les parenthèses doubles de $k_0((t))$ se lisent aussi bien comme des crochets [bien que, pour $p = 2$, $U$ soit une forme de $\mathbb{G}_a$ ; bien sûr, cette forme n'est pas isomorphe à $\mathbb{G}_a$]. N.B. On sait […] que $pU = 0$ ([…] […] […] par $k'^{p} \subset k$)

Notons aussi que l'ext. de $U$ par $\mathbb{G}_m$ [qui splitte sur $\bar{k}$] n'est pas triviale, car autrement on aurait \[ H^1(k, (\mathbb{G}_m)_1) \simeq H^1(k, \mathbb{G}_m) \times H^1(k, U) \] d'où $H^1(k, U) = 0$. sous $H^1(k, (\mathbb{G}_m)_1)$ et $H^1(k, \mathbb{G}_m)$, il note « $= 0$ » verticalement Donc « la […] [multiplicative] de $(\mathbb{G}_m)_1$ n'est pas définie sur $k$ »

Regardons maintenant l'hom. […] et soit $V$ son noyau \[ e \to V \to (\mathbb{G}_m)_1 \to \mathbb{G}_m \to e \] Mais $V$ n'est pas lisse sur $k$, […] […] dans le cas particulier envisagé où $H^1(k, U) \neq 0$ Mais [dans le cas où […] […]] […] […] que $V_{\mathrm{réd}}$ [est exactement le radical [unipotent] de $\mathbb{G}_m$]. D'ailleurs, dans le cas où $[k':k] = p$, on voit facilement que $V$ est réduit. D'ailleurs, dans le cas où $k'^{p} \subset k$, on voit facilement que $V$ est aussi le noyau de la puissance $p$-ième dans $\mathbb{G}_m$, donc on a un isom. \[ V \simeq \prod_{S'/S} (\mu_p)_{S'} . \] précisions […] […]… le paragraphe « D'ailleurs… isom. » est marqué d'un double trait vertical à gauche, la note marginale écrite de biais En tous cas, on […] […] […] […] […] une suite exacte \[ 0 \to \mu_p \to V \to U \to 0 \] (extension non triviale —). Notons maintenant que si $G'$ est un groupe alg. sur $k'$ [[…] […]] […] ayant un centre isomorphe à $(\mu_p)_{k'}$ [p. ex. $\mathrm{Sl}(p)_{k'}$] alors le centre de $G_1$ est \[ Z_1 = V \] donc $(Z_1)_{\mathrm{réd}}$ n'est pas définissable sur $k$.

Petits fourbis cohomologiques

inscrit et souligné en haut à droite d'une chemise (page 71), qui ne reçoit pas de numéro de page ; la lecture « fourbis » est douteuse. Les mêmes mots sont répétés au crayon, de biais, dans la marge gauche de la page 72

Proposition Soit $k$ un corps commutatif, $L$ une extension galoisienne de $k$ de groupe de Galois $\Gamma$, $\underline{A}$ une algèbre avec $1$ de dimension finie sur $k$, $\underline{A}^{L}$ l'algèbre sur $L$ obtenue par extension des scalaires à $L$, $\underline{A}^{L}$ est considérée comme munie du groupe d'automorphismes défini par $\Gamma$. Soit $G = \underline{A}^{L*}$ le groupe des éléments inversibles de $\underline{A}^{L}$, $G$ $\underline{A}^{L}$ un $\Gamma$-groupe. $H^1(\Gamma, G)$ est réduit à l'élément unité, ainsi que $H^1(\Gamma, G^{\psi})$ si $\psi$ est un hom. croisé de $\Gamma$ dans […] $G$ [$\mathrm{Aut}\,\underline{A}$]. […] $H^1(\Gamma, \mathrm{Gl}(n, L))$ est réduit à l'élément unité. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

Démonstration $\Gamma$ opère dans $G^{\psi} = G$ par $\sigma(\gamma)g = \psi(\gamma).g^{\gamma}$. Soit $\varphi \in Z^1(\Gamma, G^{\psi})$ […] […] \[ x = \sum_{\gamma \in \Gamma} \varphi(\gamma)\, \sigma(\gamma).A \qquad (A \in \underline{A}^{L}) \] […] […] […], $\sigma(\gamma)$ […] […] […] […] dans cette formule et la suivante, une parenthèse biffée et illisible suit le signe somme \[ \sigma(\gamma)x = \sum_{\gamma' \in \Gamma} \sigma(\gamma)\varphi(\gamma')\,\sigma(\gamma\gamma').A \] $= \sum_{\gamma' \in \Gamma} (\sigma(\gamma')A)\, \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}\gamma')$ \[\begin{align*} &= \sum_{\gamma' \in \Gamma} \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}\gamma')\, \sigma(\gamma').A \\ &= \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1}) \sum_{\gamma' \in \Gamma} \varphi(\gamma')\,\sigma(\gamma').A = \sigma(\gamma)\varphi(\gamma^{-1})x \end{align*}\] \[ x = \varphi(\gamma^{-1})\,\sigma(\gamma)^{-1}x \qquad x = \varphi(\gamma)\,\sigma(\gamma)x \] $\varphi(\gamma) =$ D'où, si $x$ inversible, la formule \[ \varphi(\gamma) = x\,(\sigma(\gamma)x)^{-1} \] Il reste à prouver donc que l'on peut trouver $A$ de telle façon que $\sum \varphi(\gamma)\,\sigma(\gamma).A$ soit

inversible. Or, $\sigma(\gamma)A = \psi(\gamma).A^{\gamma}$, où $\psi(\gamma)$ est une transformation linéaire de $\underline{A}^{L}$, si $x$ n'était pas inversible, on aurait ($P$ étant la fonction [polynôme] $P(A) = \struck{\det(\ill{})}$ [déterminant de] $f_A$, […] de la transformation $B \mapsto AB$ ou $B \mapsto BA$) \[ P\Bigl(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma)\bigl(\psi(\gamma).A^{\gamma}\bigr)\Bigr) = 0 \] […] […] […] […] […] […] $= 0$, i.e. […] $\sum_{\gamma}$ […] […] $A$. Considérons la fonction sur $(\underline{A}^{L})^{\Gamma}$ définie par $\bar{P}((A_\gamma)) = P(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma) \ldots$ \[ \bar{P}((A_\gamma)) = P\Bigl(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma)\bigl(\psi(\gamma). A_{\gamma}^{\gamma}\bigr)\Bigr) \] Elle est nulle […] [en faisant la substitution] ($A_\gamma = A^{\gamma}$ ($A \in \underline{A}^{L}$)) d'où on conclut qu'elle est identiquement nulle (du moins si le corps $k$ est infini). argument […] […] […] […] d'un corps !!! On aurait donc, en prenant $A_\gamma = 0$ si $\gamma \neq 1$, $A_1 = 1 \in \underline{A}^{L}$ : $P(1) = 0$, ce qui est absurde.

Il reste : l'égalité […] […] […] le cas fini. Dans ce cas, […] […] […] […] […] fini ; $\mathbb{G}_m$ […] […] […] cyclique […] […] $\Gamma$ […] […], et prouvons $H^1(\Gamma, G^{\psi}) = e$ si $\psi$ est […] $\varphi$ est […] […] […] […] $\varphi(u) = a$ \[\begin{gather*} \varphi(u^0) = 1 \\ \varphi(u) = a \\ \varphi(u^2) = a\,\sigma(u)a \\ \varphi(u^3) = a\,\sigma(u)a\,\sigma(u)^2 a \\ \ldots \\ \varphi(u^{n-1}) = a\,\sigma(u)a \cdots \sigma(u)^{n-2}a \end{gather*}\] […] […] […] […] un hom. croisé de $\Gamma$ dans $\mathrm{Aut}\,G^{L}$ […] ; $\Gamma$ engendré par $u$, $u\lambda = \lambda^{q}$ ($q = [k]$) […] […] la fin de la page est très raturée : deux lignes barrées, un mot entouré, et la note marginale, de biais, reliée par une flèche au début de la ligne « $\varphi$ est… »

Proposition Soit $G$ un groupe algébrique connexe sur un corps fini $k$, $L$ une extension finie de $k$, de groupe de Galois $\Gamma$, $G^{L}$ le groupe obtenu à partir de $G$ par extension des scalaires à $L$ (il est encore connexe sur $L$), $\Gamma$ opère dans $G^{L}$ comme groupe d'automorphismes. Soit […]. Alors $H^1(\Gamma, G^{L}) = \lbrace e \rbrace$. Plus généralement, soit $\mathrm{Aut}\,G^{L}$ le groupe des automorphismes du groupe algébrique $G^{L}$ sur $L$, et soit $\psi$ un […] [hom.] croisé de $\Gamma$ dans $\mathrm{Aut}\,G^{L}$, soit $G^{L\psi}$ le groupe $G^{L}$ muni de $\Gamma$ opérant par $\sigma(\gamma).g = \psi(\gamma).g^{\gamma}$ ; alors, on a encore \[ H^1(\Gamma, G^{L\psi}) = \lbrace e \rbrace \] à voir ! l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche, la note marginale en regard

Démonstration Soit $q$ = nb d'éléments de $k$, et $n = [L:k]$. $\Gamma$ est le groupe cyclique engendré par l'automorphisme $f\lambda = \lambda^{q}$, on désigne par $u$ l'automorphisme correspondant de $G^{L}$. Soit $\Omega$ une clôture algébrique de $L$, on désigne par $\tilde{u}$ l'automorphisme […] de $G^{\Omega}$ défini [par l'automorphisme $\lambda \mapsto \lambda^{q}$ de $\Omega$] (on a donc $u^{n} = 1$, mais $\tilde{u}^{n} \neq 1$ ; l'ensemble des invariants de $\tilde{u}^{n}$ dans $\Omega$ — resp. $G^{\Omega}$ — est $L$ — resp. $G^{L}$ —). On désigne par $\tilde{v}$ l'automorphisme $x \mapsto \psi(f)x^{\tilde{u}}$ de $G^{\Omega}$, induisant un automorphisme $v$ de $G$, qui n'est autre que $\sigma(f)$. On a, puisque $\psi(\gamma)$ est un $\psi\,\psi^{\tilde{u}} \cdots \psi^{\tilde{u}}$ hom. croisé de $\Gamma$ dans $\mathrm{Aut}\,G^{L}$ la définition de $\tilde{u}$ a été reprise trois fois : on y voit, biffés, « $f : \lambda \mapsto \lambda^{q}$ de $\Omega$ », « $x \mapsto x^{\tilde{u}}$ » et, en surcharge, « $x \mapsto x^{q}$ »

\[ \psi^{(u)}\psi^{(u^2)} \cdots \psi^{(u^{n-1})} = 1 \] (où $\psi^{(u^k)} = u^{k}\psi u^{k-1}$), d'autre part, en désignant par $\tilde{\psi}$ le prolongement de $\psi$ à $G^{\Omega}$, et notant que les $\psi^{(u^k)}$ sont encore des […] automorphismes [du groupe algébrique] $G^{L}$ sur $L$, […] [induisant] des automorphismes $\tilde{\psi}^{(\tilde{u}^k)}$ de $G^{\Omega}$ : \[ (*) \qquad \tilde{\psi}^{\tilde{u}}\,\tilde{\psi}^{\tilde{u}^2} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{n-1}} = 1 \] Soit $\varphi \in Z^1(\Gamma, G^{L\psi})$, donnée par $\varphi(u) = a \in G^{L\psi}$, avec \[ (**) \qquad a\,a^{v}a^{v^2} \cdots a^{v^{n-1}} = 1 \] On cherche $b \in G^{L}$ tel que $a = b(b^{v})^{-1}$ ; on va voir qu'il suffit de trouver $b \in G^{\Omega}$ tel que $a = b(b^{\tilde{v}})^{-1}$ : on va voir qu'alors automatiquement $b \in G^{L}$.

Pour ceci, on […] […] $a = b(b^{\tilde{v}})^{-1}$ : écrivons $(**)$ suit un bloc annulé par un grand trait sinueux, où l'on lit « $a^{v^k} = a^{\tilde{v}^k}$ », « $\tilde{v}^{k} = (\tilde{\psi}\tilde{u})^{k} = \tilde{\psi} \tilde{\psi}^{\tilde{u}}\tilde{\psi}^{\tilde{u}^2} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}}\tilde{u}^{k}$ (évidemment …) » et « $a^{v^k} = a^{\tilde{v}^k} = (\tilde{\psi} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}})\,b\,b^{v} \ldots b\,b^{\tilde{v}^{-1}}$ » on constate que \[ a^{v^k} = a^{\tilde{v}^k} = b^{\tilde{v}^k}\bigl(b^{\tilde{v}^{k+1}}\bigr)^{-1} \] d'où on tire \[ b\bigl(b^{\tilde{v}^n}\bigr)^{-1} = 1 \qquad \text{soit} \qquad b^{\tilde{v}^n} = b \] Or on a $\tilde{v}^{k} = (\tilde{\psi}\tilde{u})^{k} = \tilde{\psi} \tilde{\psi}^{\tilde{u}} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}}\tilde{u}^{k}$ (récurrence sur $k$) d'où \[ \tilde{v}^{n} = \bigl(\tilde{\psi}\tilde{\psi}^{\tilde{u}} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{n-1}}\bigr)\tilde{u}^{n} = \tilde{u}^{n} \] en vertu de $(*)$, on a donc $b^{\tilde{u}^n} = b$, i.e. $b \in G^{L}$.

On est maintenant ramené au théorème géométrique suivant :

Lemme 1 Soit $G$ un groupe algébrique connexe sur le corps algébriquement clos $\Omega$ de car. $p \neq 0$, [« défini » sur le corps $\mathbb{F}_q$ à $q$ éléments, soit] soit $q$ une puissance […] $\psi$ un [automorphisme du groupe algébrique] […], considérons l'automorphisme $\sigma$ du groupe $G$ [défini] défini par l'application de $G$ dans $G$ donnée par \[ x \longmapsto x\,\bigl(\psi x^{(q)}\bigr)^{-1} \] où $x^{(q)}$ est le transformé de $x$ par l'automorphisme qui correspond à $\lambda \mapsto \lambda^{(q)}$ dans $\Omega$ (dont le corps des invariants est $\mathbb{F}_q$) ; cette application est alors surjective. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

On […] […] l'[…] […] […] Considérons la différentielle de cette application à l'élément neutre : par un calcul presque formel, on trouve que c'est l'identité (car la différentielle de $x \mapsto \psi x^{(q)}$ est la […] [composée] de $d\psi(e)$ avec la différentielle de $x^{(q)}$, laquelle est nulle).

Donc l'application envisagée a pour image un voisinage de $e$. C'est d'ailleurs un hom. croisé (quand $G$ opère sur lui-même par automorphismes intérieurs par $\psi x^{(q)}$ : $\theta(xy) = \theta(x)\, \mathrm{int}(\psi x^{(q)})\,\theta(y)$).

Si $G$ est abélien, l'image $\theta(G)$ est donc un sous-groupe, qui est [[…] […]] […] : $G$ puisque $G$ est connexe.

Dans le cas général, on […]

Soit $G$ un groupe où opère $\mathbb{Z}$, [$T^{1} = T$], […] […] […], soit $G_n$ l'ens. des éléments de $G$ tels que $T^{n}x = x$. On suppose que $G = \bigcup G_n$ (les $G_n$ forment une suite croissante). Alors $G_n$ est un $\mathbb{Z}_n$-groupe, et on peut considérer sa cohomologie [[…]] […], pour $G$ commutatif, […] […] : \[\begin{align*} H^0(\mathbb{Z}_n, G_n) &= G_1 \quad \text{ens.\ des éléments de $G$ invariants par $\mathbb{Z}$} \\ H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) &= \text{ens.\ des éléments $\alpha$ de $G_n$ tels que} \\ &\qquad \alpha\,T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1 , \end{align*}\] mod la relation d'équivalence définie par $\beta \simeq \alpha$ si et seulement si il existe $u \in G_n$ tel que $\beta = u^{-1}\alpha\,Tu$.

D'ailleurs supposons que $n \mid m$, alors $\mathbb{Z}_n$ est un quotient de $\mathbb{Z}_m$, […] par un sous-groupe $N_{n,m}$, et on a $\boxed{G_n = G_m^{N_{n,m}}}$. On a donc fonctoriellement une suite exacte \[ e \to H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) \xrightarrow{\ \mathrm{inf}\ } H^1(\mathbb{Z}_m, G_m) \to H^1(N_{n,m}, G_m)^{\mathbb{Z}_m} , \qquad N_{n,m} \simeq \mathbb{Z}_{m/n} \] [Si $G$ est abélien, on a aussi […] […] $\mathbb{Z}_{m/n}$ […] $H^i(\mathbb{Z}_n, G_n)$, et on a des [homom.] \[ H^i(\mathbb{Z}_n, G_n) \to H^i(\mathbb{Z}_m, G_m) \] d'ailleurs, on sait à partir de $i = 1$, une périodicité de période $2$ dans les $H^i(\mathbb{Z}_n, G_n)$, […] donc $i > 1$ n'importe pas grand chose].

Lemme 1 Soit $\alpha \in G$ tel que $\alpha\,T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1$, alors $\alpha \in G_n$. Supposons $\alpha, \beta \in G$ satisfaisant aux conditions précédentes et $\beta = u^{-1}\alpha\,Tu$ ($u \in G$), alors $u \in G_n$. l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

En effet, dans le premier cas, appliquons $T$ : $T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha\,T^{n}\alpha = 1$ i.e. $T^{n}\alpha$ est un inverse de $T\alpha\,T^{2}\alpha \cdots T^{n-1}\alpha$, comme […] […] […] […] $\alpha$, […] $T^{n}\alpha = \alpha$. Dans le second, écrivons $\beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = 1$, et y remplaçons $\beta$ par $u^{-1}\alpha\,Tu$, on trouve

en tête de page, deux lignes de sa main, barrées ensemble d'un long trait ondulé : « F. Peterson Functional Cohomology operations. Some non-embedding Problems. » et « Moore The double suspension and $p$-primary components of homotopy groups of spheres » \[ u^{-1}\alpha\,Tu\;Tu^{-1}\,T\alpha\,T^{2}u\;T^{2}u^{-1}\,T^{2}\alpha\,T^{3}u \cdots T^{n-1}u^{-1}\,T^{n-1}\alpha\,T^{n}u = 1 \] les facteurs qui se simplifient sont barrés de petits traits obliques i.e. $u^{-1}(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha)\,T^{n}u = 1$ d'où, comme $(\ \ ) = 1$, $u^{-1}T^{n}u = 1$ soit $T^{n}u = u$.

Lemme 2 Si un élément de $H^1(\mathbb{Z}_n, G_n)$ est représenté par un $\alpha \in G_n$ tel que $\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1$, alors son image dans $H^1(\mathbb{Z}_m, G_m)$ (si $n \mid m$) est aussi représentée par $\alpha \in G_n \subset G_m$. [Trivial] l'énoncé est marqué d'un trait vertical à gauche

Posons \[ H^1(T, G) = \varinjlim H^1(\mathbb{Z}_n, G_n) \] sous la limite, deux lignes : « […] l'indice » et « filtrant multiplicativement »

On voit donc que $H^1(T, G)$ est l'ens. des classes d'objets $\alpha \in G$ tels qu'il existe un $n$ avec $\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1$, et on écrivant $\beta \sim \alpha$ s'il existe $u \in G$ tel que $\beta = u^{-1}\alpha\,Tu$.

Lemme 3 Si Pour […] l'application $x \mapsto x^{-1}Tx$ de $G$ dans $G$ surjective, on a $H^1(T, G) = \lbrace e \rbrace$

résulte des lemmes 1 et 2

Lemme 4 Soit $e \to G' \to G \to G'' \to e$ une suite exacte de $\mathbb{Z}$-groupes ($T$ opère dans $G$ et normalise $G'$). Supposons que pour tout […] l'application […] […] […] […] […] $x \mapsto x^{-1}\alpha\,Tx$ de $G'$ dans $G'$ soit surjective [contienne $G'$]. Alors \[ H^1(T, G) \to H^1(T, G'') \quad \text{est \emph{injectif}} \] la ligne sous « l'application » est biffée et surchargée, avec « intérieur » et « $G'$ » en interligne ; lecture de l'hypothèse incertaine

Soient en effet $\alpha, \beta \in G$, tels que $\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1$ et de même $\beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = 1$, et

supposons qu'il existe $u \in G$ tel que $\beta \equiv u^{-1}\alpha\,Tu$ ($G'$). On veut prouver que $\beta \sim \alpha$. Remplaçant $\alpha$ par $u^{-1}\alpha\,Tu$, on peut supposer déjà que $\beta \equiv \alpha$ ($G'$) i.e. $\beta = t\alpha$ ($t \in G'$). On cherche $v \in G'$ tel que $\beta = v^{-1}\alpha\,Tv$ i.e. $t\alpha = v^{-1}\alpha\,Tv$ i.e. $t = v^{-1}\alpha\,Tv\,\alpha^{-1}$ ou encore, ($\sigma$ désignant l'aut. de $G'$ induit par l'aut. intérieur défini par $\alpha$) $t = v^{-1}\sigma T(v)$. Un tel $v$ existe par hypothèse.

On cherche maintenant des conditions moyennant lesquelles $H^1(T, G) \to H^1(T, G'')$ est surjectif. Soit donc $\alpha \in G$ tel que $\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha \equiv 1$ ($G'$), on veut montrer que l'on peut trouver $t \in G'$ tel que $\beta = t\alpha$ satisfasse à $\beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = 1$. Or le premier membre est $(t\alpha\,T(t)T(\alpha) \cdots T^{n-1}(t)T^{n-1}(\alpha))$ \[\begin{align*} &= t\,\bigl(\alpha\,T(t)\,\alpha^{-1}\bigr) \bigl(\alpha\,T\alpha\,T^{2}(t)\,T(\alpha)^{-1}\alpha^{-1}\bigr) \cdots \\ &\qquad \bigl(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-2}\alpha\,T^{n-1}(t)\,T^{n-2}\alpha^{-1} \cdots T\alpha^{-1}\alpha^{-1}\bigr)\,\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha \end{align*}\] chaque parenthèse est soulignée d'une accolade Le dernier facteur est $1$, d'où on trouve \[ t\,\sigma_1 T(t)\,\sigma_2 T^{2}(t) \cdots \sigma_{n-1}T^{n-1}(t) \] où $\sigma_i$ est l'automorphisme intérieur défini par $\alpha\,T\alpha \cdots T^{i-1}\alpha$. D'où le […]

Lemme 5 Soit $e \to G' \to G \to G'' \to e$ une suite exacte de $\mathbb{Z}$-groupes, supposons que pour toute suite d'automorphismes $\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}$ de $G'$, induits par des automorphismes intérieurs de $G$, l'application \[ x \longmapsto x\,\sigma_1 Tx \cdots \sigma_{n-1}T^{n-1}x \] de $G$ dans $G$ est surjective. Alors \[ H^1(X, G) \to H^1(X, G'') \] la page s'arrête ici ; « $X$ » est tel qu'écrit, là où l'on attend $T$

Soit $\Gamma$ un groupe, $G$ un $\Gamma$-groupe, $M$ un $\Gamma$-groupe […] [ensemble]. Supposons que $G$ opère sur $M$, et qu'on ait \[ \gamma(gm) = (\gamma g)(\gamma m) \] Soit alors $f$ un $1$-cocycle de $\Gamma$ à valeurs dans $G$ \[ f(\gamma\gamma') = f(\gamma).\gamma f(\gamma') \] La donnée de $f$ permet de « tordre » $M$, de façon précise de définir une autre façon d'opérer de $\Gamma$ sur $M$, savoir \[ \gamma_f\, m = f(\gamma).\gamma.m \] il écrit $\gamma_f$ avec une petite flèche au-dessus du $\gamma$ et le $f$ en dessous \[\begin{align*} [\text{car} \quad \gamma_f(\gamma'_f m) &= f(\gamma)\gamma\bigl(f(\gamma') \gamma' m\bigr) = f(\gamma)\,\gamma f(\gamma')\,\gamma\gamma' m \\ &= f(\gamma\gamma')\,\gamma\gamma' m = (\gamma\gamma')_f\, m \\ e_f\, m &= f(e).e.m = m \ ] \end{align*}\] On désigne par $M_f$ le nouveau […] [$\Gamma$-ensemble] ainsi construit ; en fait, on ne s'est pas servi de la loi de groupe de $M$ ; en particulier, faisant opérer $G$ sur lui-même par automorphismes intérieurs, on trouve sur $G_f$ une […] note que \[ \gamma(\sigma(g).g') = \sigma(\gamma g)\,\gamma g' \] car le […] [premier] membre est $\gamma(gg'g^{-1}) = \gamma g\, \gamma g'\,(\gamma g)^{-1}$, c'est à dire le second membre. Ainsi, posant \[ \gamma_f\, g = f(\gamma)\,\gamma g\, f(\gamma)^{-1} \] on obtient sur $G$ une nouvelle loi de $\Gamma$-groupe.

Notons aussi […] […] \[ \gamma_f(gm) = \gamma_f(g)\,\gamma_f(m) \] car le deuxième [premier] membre est \[ f(\gamma)\,\gamma(gm) = f(\gamma)\,\gamma g\,\gamma(m) \] et le deuxième \[ f(\gamma)\,\gamma g\, f(\gamma)^{-1} f(\gamma)\,\gamma(m) \] i.e. pareil.