Fonds Grothendieck, cote n° 46, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
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est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)46
Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 1 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[vers 1966-vers 1972]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/46.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
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sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
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la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Schémas en groupes et fibrés principaux (Divers)
inscrit à l'encre en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte
rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page
Groupe fondamentalen haut à droite, sous la
déchirure du feuillet, barré de traits obliques ; lecture de « fondamental »
incertaine
Langage des schémasÉtude élémentaire de quelques classes de morphismesCohomologie des faisceaux cohérents.Étude locale des morphismesÉtude globale élémentaire des quelques morphismes.Procédés de construction. d[N.B. y inclure propriétés de descente pour morph. étales]Schémas en groupes, fibrés principaux [définition du gp
fondamental]Étude cohomologique des faisceaux en
jours ( ; )Et Picard et V.A.« Et Picard et V.A. » est écrit à l'encre
bleue au-dessus de la ligne barrée, dont la lecture est très douteuseGroupe fondamental/K pour
la top. étale…Torseurs et cotorseurs, dualitéThéorie d'intersection. RR.Topologie : , (Cohomologie
étale et groupe fondamental)Jacobiennes et variétés, etc.Résolution des singularités ?Théorie des cycles algébriques ??
plan de chapitres, écrit à l'encre noire et repris à l'encre bleue :
les numéros ont été récrits (VIII sur VIII barré, IX et X barrés puis
réattribués, XI récrit, XII et XIII récrits) ; une accolade réunit IX et X
avec en regard « intersectivité » , et dans la marge gauche
« intersectiviste » avec des flèches déplaçant les chapitres IX à
XI ; un crochet et un « ? » entourent XII et XIII. L'ordre et la numérotation
sont donnés dans leur dernier état lisible
p-structures sur fibrés vectoriels et sur torseurs
inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 3), qui
ne reçoit pas de numéro de page
p-structures .
1) Soit \underline{S} un site, G un faisceau de groupes sur
\underline{S},
\mathfrak{f} : G \longrightarrow G
un endomorphisme. On s'intéresse à la structure suivante (où, pour un
torseur P sous G, P^{\mathfrak{f}} désigne le torseur déduit par
extension du groupe par \mathfrak{f}) : donnée d'un torseur P sous G,
et d'un isom.P \simeq P^{\mathfrak{f}}, ou ce qui revient au même,
d'un hom. de faisceaux
\varphi : P \longrightarrow P
satisfaisant
\varphi(xg) = \varphi(x)\,\mathfrak{f}(g) .
Ces objets (ou encore d'objets de S)
sur un groupoïde, avec une action(G, \mathfrak{f})
forment un champl'insertion interlinéaire est reliée au texte par un
trait ; lecture douteuse. On se donne des conditions moyennant lesquelles ce
champ est une gerbe. Notons que loc. un tel P est trivial comme
simple torseur, donc peut s'identifier à G pris comme torseur trivial. La
structure \varphi est alors déterminée par la connaissance de
\varphi(1) = a, par la formule
\varphi_a(g) = a\,\mathfrak{f}(g)
et a peut être pris arbitrairement. On voit déjà que le champ envisagé est
connexe, et il revient à voir la condition
moyennant laquelle deux objets sont loc. isom., i.e. moyennant laquelle,
pour deux éléments a, b \in G(S) (S \in \underline{S}), \varphi_a et
\varphi_b définissent des objets loc. isom. Pour ceci, notons que les hom.
de (G, \varphi_a) dans (G, \varphi_b) s'identifient aux u \in G(S) tels
que
\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "\varphi_a"] \arrow[d, "\rho_u"'] & G \arrow[d, "\rho_u"] \\
G \arrow[r, "\varphi_b"'] & G
\end{tikzcd}
commute, i.e. (où \rho_u(g) = ug) tels que
u\,a\,\mathfrak{f}(g) = b\,\mathfrak{f}(ug) \qquad \forall g \in G(S'),\
S' \text{ sur } S,
ce qui s'écrit aussi simplement
b^{-1}a = \mathfrak{f}(u)\,u^{-1} .la formule est telle qu'écrite ; de ua = b\,\mathfrak{f}(u) on tire
b^{-1}ua = \mathfrak{f}(u), qui ne se réduit à la forme écrite que si u
commute à a. La lettre notée ici \rho_u est une lettre peu lisible sur les
flèches verticales
Donc on trouve que \Sigmaest une gerbe ssi l'hom. de faisceaux
d'ensemblesu \longmapsto \mathfrak{f}(u)\,u^{-1} : G \longrightarrow Gest un épimorphisme. Alors l'objet de \Sigma est loc. isom. à
(G, \varphi_e = \mathfrak{f}) lui-même, dont le faisceau des autom. est
formé des du faisceau des u de G tels que
\mathfrak{f}(u)u^{-1} = 1\cdot 1^{-1} = 1,
donc le faisceau N = \operatorname{Ker}(\mathfrak{f}, \mathrm{id}) des
coïncidences de \mathfrak{f} et de \mathrm{id}_G. Donc \Sigmaéquivaut à la gerbe des N-torseurs.
(2)le numéro est cerclé Soit G un schéma en groupes lisse
connexe sur le corps fini \mathbb{F}_q, q = p^n. Soit
\mathfrak{f} = \mathrm{Frob}^n_{G/k} : G \to G.
Théorème (Lang). Le morphisme u \mapsto \mathfrak{f}(u)u^{-1}
de G dans G est étale, et de plus surjectif (donc couvrant
pour la top. étale) si G est connexe.
Le fait que le morphisme soit étale provient du critère
infinitésimal d'étalité, grâce au fait que \mathrm{Lie}(\mathfrak{f}) = 0 et grâce au fait que G est lisse (i.e.
). [De cette façon]
[De cette façon, N = \operatorname{Ker}(\mathfrak{f}, \mathrm{id}_G) est un
gr. étale fini sur k, et
G/N \xrightarrow[\ \varphi\ ]{\text{isom}} G
induit par \mathfrak{f}(u)u^{-1}.]
Le morphisme \varphi est Kif-kif pour
\boxed{\varphi(gx) = \mathfrak{f}(g)\,\varphi(x)\,g^{-1}}
morphismes u \mapsto \mathfrak{f}(u)u^{-1}. On termine, si G est connexe,
comme dans Serre Gr. alg. et corps de classes, p. 119.
NB Axiomatisation : G lisse sur S, \mathfrak{f} endom. tel que
\mathrm{Lie}(\mathfrak{f}) = 0. Alors u \mapsto \mathfrak{f}(u)u^{-1} est
étale, et si G est à fibres connexes, il est surjectif.
l'axiomatisation est ajoutée en bas de page, d'une écriture plus
serrée ; une insertion interlinéaire au-dessus de « Serre », « un
gpe », n'est pas lue
Corollaire Soit S sur \mathbb{F}_q. La catégorie des torseurs P
sur S sous G_S, munis de P \simeq P^{\mathfrak{f}}, i.e. de
\varphi : P \to P satisfaisant
\varphi(xg) = \varphi(x)\,\mathfrak{f}(g), équivaut à celle des
revêtements étales galoisiens de S, de groupeG(\mathbb{F}_q).
la ligne « revêtements … de groupe » est barrée d'un trait
plein puis soulignée d'un pointillé, qui paraît la rétablir ; « étales » est
écrit au-dessus
En effet, N est le groupe discret constant () défini par
G(\mathbb{F}_q), et on applique le n° 1.
(3)numéro cerclé Soit S préschéma de car. p, et E un Module
(qu. coh. !) sur S. Une p-structure sur E est un hom.
\varphi : E^{(p)} \longrightarrow E
[où E^{(p)} = E \otimes_{\mathcal{O}_S} (\mathcal{O}_S, \mathfrak{f})]. La
p-structure est dite si \varphi est un isom. On veut
classifier les p-structures sur S, avec E loc. libre de rang
n. Or ce sont les structures de G-torseur avec
\mathfrak{f}-, où G = \mathrm{GL}(n)_S, et
\mathfrak{f} : G \to G le Frobenius. Comme G provient de G_0 sur
\mathbb{F}_p, on peut appliquer 2° ; on trouve que
la catégorie en question est celle des torseurs sous
\mathrm{GL}(n, \mathbb{F}_p), ou ce qui revient au même, celle des
faisceaux (ét) en groupes vectoriels sur \mathbb{F}_p, qui sont
loc. libres de rang n. Si \Phi est un tel faisceau, le Module E qui lui
correspond est simplement
E = \Phi \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S
[ici on note que les faisceaux qu. coh. (Zariski) et les faisceaux qu.
coh. étales, c'est pareil…].
On peut se demander dans quelle mesure les hypothèses de loc. liberté et de
type fini sont nécessaires dans cet énoncé.
Frobenius
inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 9), qui
ne reçoit pas de numéro de page
diagramme en haut à gauche, les flèches de Frobenius dirigées vers la
gauche ; sous le X de gauche : « de car. p ». Le trait qui descend de
X'^{(p/X)} vers le X de droite est fin et sans tête nette
PropositionSupposonsp loc. de prés. finie.
1°) Conditions équivalentes
p non ramifié\mathrm{Fr}_{X'/X} non ramifié\mathrm{Fr}_{X'/X} un monomorphisme
2°) Conditions équivalentes
p étale\mathrm{Fr}_{X'/X} étale\mathrm{Fr}_{X'/X} un isomorphisme
Dém 1°) (ii) \Longleftrightarrow (ii bis) car monomorphisme =
radiciel non ramifié (17.4.10).
(i) \Longleftrightarrow (ii) car
\underline{\Omega}^1_{X'/X} \simeq \underline{\Omega}^1_{X'/X'^{(p/X)}}.
2°) (ii) \Longleftrightarrow (ii bis) car isom = radiciel surjectif
étale.
(i) \Longrightarrow (ii) car si X' étale sur X, X'^{(p/X)} itou, et
tout X-morphisme X' \to X'^{(p/X)} itou.
(ii bis) \Longrightarrow (i). Grâce à 1°) on sait déjà que X'/X est
non ramifié, donc localement (ét) au-dessus de X c'est une immersion. Donc on est ramené à ceci : si
X' \to X est une immersion de prés. finie telle que X' \to X'^{(p/X)}
est un isom., alors c'est une imm. ouverte. On peut supposer que c'est une
imm. fermée définie par Idéal \mathcal{J} de type fini, alors X'^{(p/X)}
est défini par l'Idéal \mathcal{J}^{p}, l'hyp. s'écrit
\mathcal{J} = \mathcal{J}^{p}, ce qui implique que X' \to X est une immersion ouverte (16.1.8), O.K.
Frobeniuseries.
\mathrm{Fr}_Xcerclé dans la marge gauche
On désigne par (\mathrm{Sch})_p\bigl[= (\mathrm{Sch})_{/\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}\bigr]
la sous-catégorie pleine de (\mathrm{Sch}), formée des préschémas
de car. p, et tous les préschémas envisagés sont de car. p.
On définit un endom. fonctoriel de X\mathrm{Frob}(X) : X \longrightarrow X
[Frobenius absolu] par la condition d'être l'identité sur les espaces
topologiques, et f \mapsto f^p sur les fonctions.
Soit S fixé. Pour tout X sur S, on a donc un carré commutatif
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\mathrm{Frob}(X)"] \arrow[d, "f"'] & X \arrow[d, "f"] \\
S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}
X \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{X/S}\ } X^{(p/S)}
(où f est le morphisme structural). Ainsi, Posons
P_S(X) = X \times_S (S, \mathrm{Frob}(S)) \qquad
P_S : (\mathrm{Sch})_{/S} \longrightarrow (\mathrm{Sch})_{/S}P_S(X) est un foncteur, qui étant un foncteur de changement de
base, a toutes les propriétés [commute aux lim, aux sommes,
transforme type fini
X^{(p/S)} ou X^{(p/f)} ou X^{(p)}, \;= (X/S)^{(p)}dans la marge gauche, entouré d'un ovale, avec au-dessus, de biais,
« Changer flèches direction », et au-dessous,
de biais et en partie barré, « dire que X \to P_S(X) est un
homéomorphisme universel »
resp. affine resp. … en type fini resp. affine resp.…].
\mathrm{Fr}_{X/S}cerclé dans la marge gauche, avec le
diagramme suivant
\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \arrow[r, "\mathrm{Frob}_S(X)"] \arrow[rr, bend left=30, "\mathrm{Frob}(X)"] & P_S(X) \arrow[r, "\mathrm{pr}_1"] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
& S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}
Le carré précédent nous donne un S-morphisme fonctoriel en X\mathrm{Frob}_S(X) : X \longrightarrow P_S(X)
[et \mathrm{Ver}_S(X) : P_S(X) \to X compatible avec \mathrm{Frob}(S)].
Définitions analogues pour un Module E sur X, on pose
P_S(E) = E \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{P_S(X)}
= E \otimes_{\mathcal{O}_S} (\mathcal{O}_S, \mathrm{Frob}(S)) ,= E. En particulier pour X = S, on trouve
P_S(E) = E \otimes_{\mathcal{O}_S} (\mathcal{O}_S, \mathrm{Frob}(S)) .
C'est un foncteur en le \mathcal{O}_X-Module E.
\mathrm{Frob}_S(E) : P_S(E) \to E Il
commute aussi S, et . Il des propriétés générales des
P_S(\mathcal{A}), qu. coh. et type fini, qu. coh. et présentation
finie, ) il en est de même de P_S(E). E \mapsto P_S(E), \otimes, mais : .
la prose de la seconde moitié de la page est très rapide ; seuls les
éléments donnés se lisent. Un passage (« C'est un foncteur … Module E
… ») est encadré d'une accolade à gauche
marge gauche, écrit de biais : « Rôle universel de
F^{*}(p) = P_S(E) » et « canoniquement\mathrm{Frob}_S(X)^{*}(P_S(E)) \simeq p(E) »
Si E = \mathcal{A} est une Algèbre qu. coh. (resp. et gr.
), il en est de même de P_S(\mathcal{A}), et on a aussi :
\begin{cases}
P_S(\operatorname{Spec}(\mathcal{A})) = \operatorname{Spec}(P_S(\mathcal{A})) \\
P_S(\operatorname{Proj}(\mathcal{A})) = \operatorname{Proj}(P_S(\mathcal{A}))
\end{cases}
et le morphisme \mathrm{Frob}_S(X) pour X = \operatorname{Spec}(\mathcal{A}),
resp. X = \operatorname{Proj}(\mathcal{A}), est induit par
\mathrm{Frob}_S(\mathcal{A}) : P_S(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}, qui
: puissance p-ième ().
dans la marge gauche, un diagramme :
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
& P_S(X') \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\
X \arrow[r] \arrow[dr, "f"'] & P_S(X) \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d, "f"] \\
& S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}
Corollaire :
Exemples : E = \underline{\mathcal{O}}\begin{cases}
P_S(\underline{V}(E)) = \underline{V}(P_S(E)) \\
P_S(\underline{P}(E)) = \underline{P}(P_S(E))
\end{cases}
Les morphismes de Frobenius pour les préschémas sont ceux associés à
P_S(E)\mathrm{Frob}_S(E) :P_S(E) \to E.
l'homE^{(p)} \longrightarrow \mathrm{Symm}^{p}(E) \subset \mathrm{Symm}(E)induisant l'élévation à la puissance p-ième.
[N.B. La structure vectorielle de \underline{V}(E) n'est pas
conservée, mais bien entendu la structure de
conservée. Notons que dans l'hom. de Frobenius,
\underline{P}(E) \to P_S(\underline{P}(E)) = \underline{P}(P_S(E)), comme
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X' \arrow[r, "\mathrm{Frob}_X(X')"] \arrow[rr, bend left=30, "\mathrm{Frob}_S(X')"] \arrow[dr, "g"'] & P_X(X') \arrow[r, "r"] \arrow[d] & P_S(X') \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d, "g"] \\
& X \arrow[r, "\mathrm{Frob}_S(X)"] \arrow[rr, dashed, bend right=30, "\mathrm{Frob}(X)"'] \arrow[dr, "f"'] & P_S(X) \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d, "f"] \\
& & S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}
diagramme en bas à gauche de la page, entouré d'une accolade, avec la
légende « trois carrés cartésiens » ; la flèche \mathrm{Frob}(X) est tracée
en tirets
un hom. de l'Algèbre graduée
\mathrm{Symm}\,E \longrightarrow (\mathrm{Symm}\,E)_{(p)}
\qquad (\text{degrés multiples de } p)
le faisceau inversible de
\underline{\mathcal{O}}_{\underline{P}(P_S(E))}(1)\underline{\mathcal{O}}_{\underline{P}(E)}(p). particulièrement,
Si L est un Module inversible, on a un isom. canoniquep(L) \simeq L^{\otimes p} .
dans la marge gauche, écrit verticalement : « Exemple :
E = \mathcal{O}_S^n, d'où P_S(E) \simeq \mathcal{O}_S^n, donc
P_S(S[t_1, \ldots, t_n]) \simeq S[t_1, \ldots, t_n], l'hom. étant
donné par t_i \mapsto t_i^p. Si de E défini
par des équations, affine.
Analogue pour des » ; au début, un
P_S(\underline{V}(E)) est barré
Changement de base dans Frobenius
[cf. diagramme]
1°) (Cf. diagramme)
P_X(X') \simeq P_S(X') \times_{P_S(X)} (X, \mathrm{Frob}_S(X)) ,
et identification, \mathrm{Frob}_X(X') est
défini à partir de\mathrm{Frob}_S(X') et \mathrm{Frob}_S(X)g.
2°) Si on a un changement de base S' \to S, on a
P_S(X) \times_S S' \simeq P_{S'}(X \times_S S')
Cet isom. est fonctoriel en X, \mathrm{Frob}_S(X) en
\mathrm{Frob}_{S'}(X \times_S S').
Frobenius itérés, notations P^{\nu}_S(X), \mathrm{Frob}^{\nu}_S(X). Les
développements précédents s'étendent, en remplaçant partout les puissances
p-ièmes par les puissances p^{\nu}-ièmes.
Cas d'un préschéma de base parfait. On dit que S est parfait
si \mathcal{O}_S \xrightarrow{\mathrm{Frob}(S)^{*}} \mathcal{O}_S est un
isomorphisme. Le cas le plus important est celui où S est le
spectre d'un corps, i.e. le corps considéré est alors parfait.
Dans ce cas, le préschéma P^{\nu}_S(X) est isomorphe au préschéma X
par \mathrm{pr}_1, mais on se rappellera que ce n'est pas un S-isom.
En particulier, P^{\nu}_S(X) n'est pas S-isom. à X.
Cas d'un corps de base fini, à q = p^{\nu} éléments.
Alors \mathrm{Frob}^{k\nu}_S(S) : S \to S est l'identité. Donc pour de
tels\nu, P^{\nu}(X) \to X est un
S-isom. Donc on peut considérer \mathrm{Frob}^{k\nu}_S(X) comme un
endomorphisme
« \mathrm{Frob}^{k\nu}_S(S) » : l'exposant est surchargé, et
l'insertion au-dessus de « q = p^{\nu} » (« éléments,
») est en partie raturée
de X, qui n'est d'ailleurs autre que
\bigl(\mathrm{Frob}^{\nu}_S(X)\bigr)^{k} ,
comme on le constate aussitôt.
D'ailleurs, dans le cas où \nu = 1, i.e. sur la base absolue
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, on trouve pour
\mathrm{Frob}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(X) le Frobenius absolu du début.
Corollaire Si S est sur \mathbb{F}_q, et si X provient d'un
préschéma X_0X_0 sur \mathbb{F}_q par extension de la
base…la phrase s'arrête ; « X_0 sur \mathbb{F}_q par extension
de la base » est souligné d'un trait ondulé
Cas des groupes. Si G est muni d'une structure algébrique finie sur
S, il en est de même de P_S(G), et \mathrm{Frob}_S(X)\mathrm{Frob}^{\nu}_S(G) : G \longrightarrow P^{\nu}_S(G)
est un morphisme pour les structures en question. Considérons, en
particulier,
U_{\nu}(G) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Frob}^{\nu}_S(G)\bigr) .
Proposition Si G est de présentation finie sur S, alors
U_{\nu}(G) est de présentation finie et fini (surjectif) radiciel sur S.la proposition est barrée de traits obliques ; « surjectif » est une
insertion interlinéaire
dans la marge gauche, écrit de biais et relié par un trait à
« Proposition » : « QuidU_{\nu}\mathrm{Frob}^{\nu}fini »
Lemme 1Un morphisme radiciel surjectifde
présentation finief : T \to S qui est un homéomorphisme
universel est affine.
En effet, un homéomorphisme, il estsuit une démonstration d'une douzaine de lignes, barrée de grands traits
obliques et encadrée : on y lit notamment « f_*(\mathcal{O}_T) = \mathcal{A} », « T = \bigcup T_i », « T_i = \bigcup_j T_{ij}, où
T_{ij} = f^{-1}(S_j) = f_i^{-1}(S_j) », « T = \bigcup_{ij} f^{-1}(S_j) »,
et, en marge de la reprise, « T est quasi-compact, on
S affine »
Soit s \in S, f^{-1}(s) est réduit à un pt, donc
voisinage affine U, lequel voisinage de
s, il contient un voisinage affine V de s. Alors f^{-1}(V) = f'^{-1}(V)
où f' : U \to S est induit par f. Comme c'est un morphisme de
schémas affines, et V affine, f'^{-1}(V) affine, O.K.
Proposition 2Soit G un schéma en groupes sur S. Pour
qu'il soit d'échelon infinitésimal \nu, i.e. U_{\nu}(G) = G, il faut et
il suffit que G soit affine sur S, et défini par une Algèbre
augmentée \mathcal{A}]dont
l'Idéal \mathcal{I} d'augmentationettel que
x \in \mathcal{I} \Rightarrow x^{p^{\nu}} = 0a puissances
p^{\nu}-ièmes nulles.
D'autre part, pour G quelconque, U_{\nu}(G) est
canoniquement isomorphel'unique plus voisinage infinitésimal d'ordre p^{\nu}
de la section unité.
« échelon » est une lecture douteuse ; la ligne barrée sous
« augmentée \mathcal{A} » commence par « morphisme » ; l'insertion au-dessus
de la fin de phrase est en partie illisible
N.B. N' pas voisinagesectionGdans la marge gauche, de biais
Détermination de {}_p\mathrm{Pic}(X), X propre normal sur k
parfait de car. p.
On aura
{}_p\mathrm{Pic}(X) = {}_pH^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*})
Comme X est réduit, on a une suite exacte
0 \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*} \xrightarrow{\ x \mapsto x^p\ }
\underline{\mathcal{O}}_X^{*} \to
\underline{\mathcal{O}}_X^{*} / \underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \to 0
d'où par la suite exacte de cohomologie, posant A = H^0(X, \mathcal{O}_X)0 \to A^{*} \xrightarrow{\ x \mapsto x^p\ } A^{*} \to
\Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p})
\to {}_pH^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \to 0
et comme X est réduit et propre sur k, donc A réduite finie
et séparable sur k, et k parfait, on a aussi
A^{*} \simeq A^{*p}, d'où (X réduit et propre sur k parfait)
{}_p\mathrm{Pic}(X) \simeq
\Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p})
Considérons l'hom. de dérivation logarithmique
\underline{\mathcal{O}}_X^{*} \longrightarrow \underline{\Omega}^1_{X/k}
\qquad f \longmapsto \frac{df}{f}
elle est nulle sur \underline{\mathcal{O}}_X^{*p}, donc on a un hom.
\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}
\longrightarrow \underbrace{Z\underline{\Omega}^1_{X/k}}_{\text{formes fermées}}
Cet hom. est-il injectif ? Notons que si K est l'anneau des fonctions
rationnelles sur X, alors f \in K, df = 0\Longrightarrowf \in K^p [car ramène au cas où K est un
corps, et K. p-base sur
K^p \supset k…]. Or X étant normal, si
f \in \mathcal{O}_X est
tel que df = 0, donc f \in K^{*p} on a f \in \mathcal{O}_X^{p}[\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \to
\underline{R}_X^{*}/\underline{R}_X^{*p} est injectif], donc X étant
normal, on a un hom. injectif0 \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}
\longrightarrow Z\underline{\Omega}^1_{X/k}
D'après Cartier, on sait que l'image est formée des \omega tels
que
C\omega = \omega
[C l'opération de Cartier], et dans le cas birationnel la réciproque est
vraie : si \omega est une 1-forme fermée telle que C\omega = \omega,
alors \omega = \dfrac{df}{f}, où f est une fonction rationnelle
qui est déterminée modD'ailleurs, [sur chaque
composante de X] K^{*p}. Comme
\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \to
\underline{R}_X^{*}/\underline{R}_X^{*p} est injectif, pour montrer que
\omega provient d'une section de
\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}, la question
est locale, donc il faut prouver que si
f \in (K = \text{anneau des fonctions de } \mathcal{O})^{*}, telle que
\dfrac{df}{f}régulière, alors f = g^p h, avec
h \in \mathcal{O}^{*}, i.e. on divise l'hom.
\underline{R}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*} \longrightarrow
\underline{\Omega}^1(\underline{K})/\underline{\Omega}^1(\underline{\mathcal{O}}_X)
est injectif. X étant normal, on se
ramène au cas où X est régulier…
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