Cote n° 46 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1966-vers 1972]
Édition de démonstration

Schémas en groupes et fibrés principaux (Divers)

inscrit à l'encre en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

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Groupe fondamentalen haut à droite, sous la déchirure du feuillet, barré de traits obliques ; lecture de « fondamental » incertaine

plan de chapitres, écrit à l'encre noire et repris à l'encre bleue : les numéros ont été récrits (VIII sur VIII barré, IX et X barrés puis réattribués, XI récrit, XII et XIII récrits) ; une accolade réunit IX et X avec en regard « intersectivité » , et dans la marge gauche « intersectiviste » avec des flèches déplaçant les chapitres IX à XI ; un crochet et un « ? » entourent XII et XIII. L'ordre et la numérotation sont donnés dans leur dernier état lisible

p-structures sur fibrés vectoriels et sur torseurs

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 3), qui ne reçoit pas de numéro de page

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p-structures […] […].

1) Soit \(\underline{S}\) un site, \(G\) un faisceau de groupes sur \(\underline{S}\), \[ \mathfrak{f} : G \longrightarrow G \] un endomorphisme. On s'intéresse à la structure suivante (où, pour un torseur \(P\) sous \(G\), \(P^{\mathfrak{f}}\) désigne le torseur déduit par extension du groupe par \(\mathfrak{f}\)) : donnée d'un torseur \(P\) sous \(G\), et d'un isom. \(P \simeq P^{\mathfrak{f}}\), ou ce qui revient au même, d'un hom. de faisceaux \[ \varphi : P \longrightarrow P \] satisfaisant \[ \varphi(xg) = \varphi(x)\,\mathfrak{f}(g) . \] Ces objets (ou encore d'objets […] de \(S\)) [sur un groupoïde, avec une action […] \((G, \mathfrak{f})\)] forment un champl'insertion interlinéaire est reliée au texte par un trait ; lecture douteuse. On se donne des conditions moyennant lesquelles ce champ est une gerbe. Notons que loc. un tel \(P\) est trivial comme simple torseur, donc peut s'identifier à \(G\) pris comme torseur trivial. La structure \(\varphi\) est alors déterminée par la connaissance de \(\varphi(1) = a\), par la formule \[ \varphi_a(g) = a\,\mathfrak{f}(g) \]

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et \(a\) peut être pris arbitrairement. On voit déjà que le champ envisagé est connexe, et il revient à […] [voir] la condition moyennant laquelle deux objets sont loc. isom., i.e. moyennant laquelle, pour deux éléments \(a, b \in G(S)\) (\(S \in \underline{S}\)), \(\varphi_a\) et \(\varphi_b\) définissent des objets loc. isom. Pour ceci, notons que les hom. de \((G, \varphi_a)\) dans \((G, \varphi_b)\) s'identifient aux \(u \in G(S)\) tels que

LaTeX source
\begin{tikzcd}
G \arrow[r, "\varphi_a"] \arrow[d, "\rho_u"'] & G \arrow[d, "\rho_u"] \\
G \arrow[r, "\varphi_b"'] & G
\end{tikzcd}

commute, i.e. (où \(\rho_u(g) = ug\)) tels que \[ u\,a\,\mathfrak{f}(g) = b\,\mathfrak{f}(ug) \qquad \forall g \in G(S'),\ S' \text{ sur } S, \] ce qui s'écrit aussi simplement \[ b^{-1}a = \mathfrak{f}(u)\,u^{-1} . \] la formule est telle qu'écrite ; de \(ua = b\,\mathfrak{f}(u)\) on tire \(b^{-1}ua = \mathfrak{f}(u)\), qui ne se réduit à la forme écrite que si \(u\) commute à \(a\). La lettre notée ici \(\rho_u\) est une lettre peu lisible sur les flèches verticales

Donc on trouve que \(\Sigma\) est une gerbe ssi l'hom. de faisceaux d'ensembles \[ u \longmapsto \mathfrak{f}(u)\,u^{-1} : G \longrightarrow G \] est un épimorphisme. Alors l'objet de \(\Sigma\) est loc. isom. à \((G, \varphi_e = \mathfrak{f})\) lui-même, dont le faisceau des autom. est formé des du faisceau des \(u\) de \(G\) tels que \(\mathfrak{f}(u)u^{-1} = 1\cdot 1^{-1} = 1\),

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donc le faisceau \(N = \operatorname{Ker}(\mathfrak{f}, \mathrm{id})\) des coïncidences de \(\mathfrak{f}\) et de \(\mathrm{id}_G\). Donc \(\Sigma\) équivaut à la gerbe des \(N\)-torseurs.

(2)le numéro est cerclé Soit \(G\) un schéma en groupes lisse connexe sur le corps fini \(\mathbb{F}_q\), \(q = p^n\). Soit \(\mathfrak{f} = \mathrm{Frob}^n_{G/k} : G \to G\).

Théorème (Lang). Le morphisme \(u \mapsto \mathfrak{f}(u)u^{-1}\) de \(G\) dans \(G\) est étale, et de plus surjectif (donc couvrant pour la top. étale) si \(G\) est connexe.

Le fait que le morphisme soit étale provient du critère infinitésimal d'étalité, grâce au fait que […] \(\mathrm{Lie}(\mathfrak{f}) = 0\) et grâce au fait que \(G\) est lisse (i.e. […] […] […]). [De cette façon] [De cette façon, \(N = \operatorname{Ker}(\mathfrak{f}, \mathrm{id}_G)\) est un gr. étale [fini] sur \(k\), et \[ G/N \xrightarrow[\ \varphi\ ]{\text{isom}} G \] induit par \(\mathfrak{f}(u)u^{-1}\).] Le morphisme \(\varphi\) est […] Kif-kif pour \[ \boxed{\varphi(gx) = \mathfrak{f}(g)\,\varphi(x)\,g^{-1}} \] morphismes \(u \mapsto \mathfrak{f}(u)u^{-1}\). On termine, si \(G\) est connexe, comme dans Serre Gr. alg. et corps de classes, p. 119.

NB Axiomatisation : \(G\) lisse sur \(S\), \(\mathfrak{f}\) endom. tel que \(\mathrm{Lie}(\mathfrak{f}) = 0\). Alors \(u \mapsto \mathfrak{f}(u)u^{-1}\) est étale, et si \(G\) est à fibres connexes, il est surjectif. l'axiomatisation est ajoutée en bas de page, d'une écriture plus serrée ; une insertion interlinéaire au-dessus de « Serre », « […] un gpe », n'est pas lue

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Corollaire Soit \(S\) sur \(\mathbb{F}_q\). La catégorie des torseurs \(P\) sur \(S\) sous \(G_S\), munis de \(P \simeq P^{\mathfrak{f}}\), i.e. de \(\varphi : P \to P\) satisfaisant \(\varphi(xg) = \varphi(x)\,\mathfrak{f}(g)\), équivaut à celle des revêtements [étales] galoisiens de \(S\), de groupe \(G(\mathbb{F}_q)\). la ligne « revêtements … de groupe » est barrée d'un trait plein puis soulignée d'un pointillé, qui paraît la rétablir ; « étales » est écrit au-dessus

En effet, \(N\) est le groupe discret [constant] ([…] […]) défini par \(G(\mathbb{F}_q)\), et on applique le n° 1.

(3)numéro cerclé Soit \(S\) préschéma de car. \(p\), et \(E\) un Module (qu. coh. !) sur \(S\). Une \(p\)-structure sur \(E\) est un hom. \[ \varphi : E^{(p)} \longrightarrow E \] [où \(E^{(p)} = E \otimes_{\mathcal{O}_S} (\mathcal{O}_S, \mathfrak{f})\)]. La \(p\)-structure est dite […] si \(\varphi\) est un isom. On veut classifier les \(p\)-structures […] sur \(S\), avec \(E\) loc. libre de rang \(n\). Or ce sont les structures de \(G\)-torseur avec \(\mathfrak{f}\)-[…], où \(G = \mathrm{GL}(n)_S\), et \(\mathfrak{f} : G \to G\) le Frobenius. Comme \(G\) provient de \(G_0\) sur \(\mathbb{F}_p\), on peut appliquer 2° ; on trouve que

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la catégorie en question est celle des torseurs sous \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{F}_p)\), ou ce qui revient au même, celle des faisceaux (ét) en groupes vectoriels sur \(\mathbb{F}_p\), qui sont loc. libres de rang \(n\). Si \(\Phi\) est un tel faisceau, le Module \(E\) qui lui correspond est simplement \[ E = \Phi \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S \] [ici on note que les faisceaux qu. coh. (Zariski) et les faisceaux qu. coh. étales, c'est pareil…].

On peut se demander dans quelle mesure les hypothèses de loc. liberté et de type fini sont nécessaires dans cet énoncé.

Frobenius

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 9), qui ne reçoit pas de numéro de page

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LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & X'^{(p/X)} \arrow[dl] \arrow[ddr] & \\
X' \arrow[d, "p"'] & & X' \arrow[ll, "\mathrm{Fr}_{X'}"'] \arrow[ul, "\mathrm{Fr}_{X'/X}"'] \arrow[d, "p"] \\
X & & X \arrow[ll, "\mathrm{Fr}_X"]
\end{tikzcd}

diagramme en haut à gauche, les flèches de Frobenius dirigées vers la gauche ; sous le \(X\) de gauche : « de car. \(p\) ». Le trait qui descend de \(X'^{(p/X)}\) vers le \(X\) de droite est fin et sans tête nette

Proposition Supposons \(p\) loc. de prés. finie.

1°) Conditions équivalentes

2°) Conditions équivalentes

Dém 1°) (ii) \(\Longleftrightarrow\) (ii bis) car monomorphisme \(=\) radiciel non ramifié (17.4.10).

(i) \(\Longleftrightarrow\) (ii) car \(\underline{\Omega}^1_{X'/X} \simeq \underline{\Omega}^1_{X'/X'^{(p/X)}}\).

2°) (ii) \(\Longleftrightarrow\) (ii bis) car isom \(=\) radiciel surjectif étale.

(i) \(\Longrightarrow\) (ii) car si \(X'\) étale sur \(X\), \(X'^{(p/X)}\) itou, et tout \(X\)-morphisme \(X' \to X'^{(p/X)}\) itou.

(ii bis) \(\Longrightarrow\) (i). Grâce à 1°) on sait déjà que \(X'/X\) est non ramifié, donc localement [(ét)] au-dessus de \(X\) […] c'est une immersion. Donc on est ramené à ceci : si \(X' \to X\) est une immersion de prés. finie telle que \(X' \to X'^{(p/X)}\) est un isom., alors c'est une imm. ouverte. On peut supposer que c'est une imm. fermée définie par Idéal \(\mathcal{J}\) de type fini, alors \(X'^{(p/X)}\) est défini par l'Idéal \(\mathcal{J}^{p}\), l'hyp. s'écrit \(\mathcal{J} = \mathcal{J}^{p}\), ce qui implique que […] \(X' \to X\) est une immersion ouverte (16.1.8), O.K.

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Frobeniuseries.

\(\mathrm{Fr}_X\)cerclé dans la marge gauche

On désigne par \((\mathrm{Sch})_p\) \(\bigl[= (\mathrm{Sch})_{/\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}\bigr]\) la sous-catégorie pleine de \((\mathrm{Sch})\), formée des préschémas de car. \(p\), et tous les préschémas envisagés sont de car. \(p\).

On définit un endom. fonctoriel de \(X\) \[ \mathrm{Frob}(X) : X \longrightarrow X \] [Frobenius absolu] par la condition d'être l'identité sur les espaces topologiques, et \(f \mapsto f^p\) sur les fonctions.

Soit \(S\) fixé. Pour tout \(X\) sur \(S\), on a donc un carré commutatif

LaTeX source
\begin{tikzcd}
X \arrow[r, "\mathrm{Frob}(X)"] \arrow[d, "f"'] & X \arrow[d, "f"] \\
S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}

\(X \xrightarrow{\ \mathrm{Fr}_{X/S}\ } X^{(p/S)}\)

(où \(f\) est le morphisme structural). Ainsi, Posons \[ P_S(X) = X \times_S (S, \mathrm{Frob}(S)) \qquad P_S : (\mathrm{Sch})_{/S} \longrightarrow (\mathrm{Sch})_{/S} \] \(P_S(X)\) est un foncteur, qui étant un foncteur de changement de base, a toutes les propriétés [commute aux lim, aux sommes, transforme type fini

\(X^{(p/S)}\) ou \(X^{(p/f)}\) ou \(X^{(p)}\), \(\;= (X/S)^{(p)}\) dans la marge gauche, entouré d'un ovale, avec au-dessus, de biais, « Changer […] […] flèches […] direction », et au-dessous, de biais et en partie barré, « dire que \(X \to P_S(X)\) est un homéomorphisme universel »

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resp. affine resp. … en type fini resp. affine resp.…].

\(\mathrm{Fr}_{X/S}\)cerclé dans la marge gauche, avec le diagramme suivant

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=large]
X \arrow[r, "\mathrm{Frob}_S(X)"] \arrow[rr, bend left=30, "\mathrm{Frob}(X)"] & P_S(X) \arrow[r, "\mathrm{pr}_1"] \arrow[d] & X \arrow[d] \\
 & S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}

Le carré précédent nous donne un \(S\)-morphisme fonctoriel en \(X\) \[ \mathrm{Frob}_S(X) : X \longrightarrow P_S(X) \] [et \(\mathrm{Ver}_S(X) : P_S(X) \to X\) compatible avec \(\mathrm{Frob}(S)\)].

Définitions analogues pour un Module \(E\) sur \(X\), on pose \[ P_S(E) = E \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{P_S(X)} = E \otimes_{\mathcal{O}_S} (\mathcal{O}_S, \mathrm{Frob}(S)) , \] \(= E\). En particulier pour \(X = S\), on trouve \[ P_S(E) = E \otimes_{\mathcal{O}_S} (\mathcal{O}_S, \mathrm{Frob}(S)) . \] C'est un foncteur […] en le \(\mathcal{O}_X\)-Module \(E\). \(\mathrm{Frob}_S(E) : P_S(E) \to E\) […] Il commute aussi […] […] \(S\) […] […] […], et […] […] […]. Il […] […] des propriétés générales des […] […] […] […] […] \(P_S(\mathcal{A})\) […], […] […] qu. coh. et type fini, qu. coh. et présentation finie, […] […]) il en est de même de \(P_S(E)\). […] […] \(E \mapsto P_S(E)\) […] […] […], […] […] […] \(\otimes\), mais […] […] […] […] […] : […] […] […] […] […] […]. la prose de la seconde moitié de la page est très rapide ; seuls les éléments donnés se lisent. Un passage (« C'est un foncteur … Module \(E\) … ») est encadré d'une accolade à gauche

marge gauche, écrit de biais : « Rôle universel de \(F^{*}(p) = P_S(E)\) […] » et « […] canoniquement […] […] \(\mathrm{Frob}_S(X)^{*}(P_S(E)) \simeq p(E)\) »

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Si \(E = \mathcal{A}\) est une Algèbre qu. coh. [(resp. et gr. […])], il en est de même de \(P_S(\mathcal{A})\), et on a aussi : \[ \begin{cases} P_S(\operatorname{Spec}(\mathcal{A})) = \operatorname{Spec}(P_S(\mathcal{A})) \\ P_S(\operatorname{Proj}(\mathcal{A})) = \operatorname{Proj}(P_S(\mathcal{A})) \end{cases} \] et le morphisme \(\mathrm{Frob}_S(X)\) pour \(X = \operatorname{Spec}(\mathcal{A})\), resp. \(X = \operatorname{Proj}(\mathcal{A})\), est induit par \(\mathrm{Frob}_S(\mathcal{A}) : P_S(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}\), qui […] : […] puissance \(p\)-ième ([…]).

dans la marge gauche, un diagramme :

LaTeX source
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & P_S(X') \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d] \\
X \arrow[r] \arrow[dr, "f"'] & P_S(X) \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d, "f"] \\
 & S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}

Corollaire : Exemples : \(E = \underline{\mathcal{O}}\) \[ \begin{cases} P_S(\underline{V}(E)) = \underline{V}(P_S(E)) \\ P_S(\underline{P}(E)) = \underline{P}(P_S(E)) \end{cases} \] Les morphismes de Frobenius pour les préschémas sont ceux associés à \(P_S(E)\) \(\mathrm{Frob}_S(E)\) : \(P_S(E) \to E\). […] […] […] [l'hom] \[ E^{(p)} \longrightarrow \mathrm{Symm}^{p}(E) \subset \mathrm{Symm}(E) \] induisant […] l'élévation à la puissance \(p\)-ième.

[N.B. La structure vectorielle de \(\underline{V}(E)\) n'est pas conservée, mais bien entendu la structure de […] […] conservée. Notons que dans l'hom. de Frobenius, \(\underline{P}(E) \to P_S(\underline{P}(E)) = \underline{P}(P_S(E))\), comme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
X' \arrow[r, "\mathrm{Frob}_X(X')"] \arrow[rr, bend left=30, "\mathrm{Frob}_S(X')"] \arrow[dr, "g"'] & P_X(X') \arrow[r, "r"] \arrow[d] & P_S(X') \arrow[r] \arrow[d] & X' \arrow[d, "g"] \\
 & X \arrow[r, "\mathrm{Frob}_S(X)"] \arrow[rr, dashed, bend right=30, "\mathrm{Frob}(X)"'] \arrow[dr, "f"'] & P_S(X) \arrow[r] \arrow[d] & X \arrow[d, "f"] \\
 & & S \arrow[r, "\mathrm{Frob}(S)"'] & S
\end{tikzcd}

diagramme en bas à gauche de la page, entouré d'une accolade, avec la légende « trois carrés cartésiens » ; la flèche \(\mathrm{Frob}(X)\) est tracée en tirets

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un hom. de l'Algèbre graduée \[ \mathrm{Symm}\,E \longrightarrow (\mathrm{Symm}\,E)_{(p)} \qquad (\text{degrés multiples de } p) \] le faisceau inversible […] […] de \(\underline{\mathcal{O}}_{\underline{P}(P_S(E))}(1)\) […] \(\underline{\mathcal{O}}_{\underline{P}(E)}(p)\). […] […] […] particulièrement,

Si \(L\) est un Module inversible, on a un isom. canonique \[ p(L) \simeq L^{\otimes p} . \]

dans la marge gauche, écrit verticalement : « Exemple : \(E = \mathcal{O}_S^n\), d'où \(P_S(E) \simeq \mathcal{O}_S^n\), donc \(P_S(S[t_1, \ldots, t_n]) \simeq S[t_1, \ldots, t_n]\), l'hom. […] étant donné par \(t_i \mapsto t_i^p\). Si […] […] […] […] de \(E\) défini par des équations, […] […] affine […] […] […] […]. Analogue pour des […] […] […] […] […] » ; au début, un \(P_S(\underline{V}(E))\) est barré

Changement de base dans Frobenius

[cf. diagramme]

1°) (Cf. diagramme) \[ P_X(X') \simeq P_S(X') \times_{P_S(X)} (X, \mathrm{Frob}_S(X)) , \] et […] […] […] identification, \(\mathrm{Frob}_X(X')\) est défini […] […] […] […] à partir de \(\mathrm{Frob}_S(X')\) et \(\mathrm{Frob}_S(X)g\).

2°) Si on a un changement de base \(S' \to S\), on a \[ P_S(X) \times_S S' \simeq P_{S'}(X \times_S S') \] Cet isom. est fonctoriel en \(X\), […] […] […] […] […] […] […] \(\mathrm{Frob}_S(X)\) en \(\mathrm{Frob}_{S'}(X \times_S S')\).

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Frobenius itérés, notations \(P^{\nu}_S(X)\), \(\mathrm{Frob}^{\nu}_S(X)\). Les développements précédents s'étendent, en remplaçant partout les puissances \(p\)-ièmes par les puissances \(p^{\nu}\)-ièmes.

Cas d'un préschéma de base parfait. On dit que \(S\) est parfait si […] \(\mathcal{O}_S \xrightarrow{\mathrm{Frob}(S)^{*}} \mathcal{O}_S\) est un isomorphisme. Le cas le plus important est celui où \(S\) est le spectre d'un corps, i.e. le corps considéré est alors parfait.

Dans ce cas, le préschéma \(P^{\nu}_S(X)\) est isomorphe au préschéma \(X\) par \(\mathrm{pr}_1\), mais on se rappellera que ce n'est pas un \(S\)-isom. En particulier, \(P^{\nu}_S(X)\) n'est pas \(S\)-isom. à \(X\).

Cas d'un corps de base fini, à \(q = p^{\nu}\) […] éléments. Alors \(\mathrm{Frob}^{k\nu}_S(S) : S \to S\) est l'identité. Donc pour de tels \(\nu\), […] […] \(P^{\nu}(X) \to X\) est un \(S\)-isom. Donc on peut considérer \(\mathrm{Frob}^{k\nu}_S(X)\) comme un endomorphisme

« \(\mathrm{Frob}^{k\nu}_S(S)\) » : l'exposant est surchargé, et l'insertion au-dessus de « \(q = p^{\nu}\) » (« éléments, […] […] ») est en partie raturée

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de \(X\), qui n'est d'ailleurs autre que \[ \bigl(\mathrm{Frob}^{\nu}_S(X)\bigr)^{k} , \] comme on le constate aussitôt.

D'ailleurs, dans le cas où \(\nu = 1\), i.e. sur la base absolue \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), on trouve pour \(\mathrm{Frob}_{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}(X)\) le Frobenius absolu du début.

Corollaire Si \(S\) est sur \(\mathbb{F}_q\), et si \(X\) provient d'un préschéma \(X_0\) [\(X_0\)] sur \(\mathbb{F}_q\) par extension de la base…la phrase s'arrête ; « \(X_0\) sur \(\mathbb{F}_q\) par extension de la base » est souligné d'un trait ondulé

Cas des groupes. Si \(G\) est muni d'une structure algébrique finie sur \(S\), il en est de même de \(P_S(G)\), et \(\mathrm{Frob}_S(X)\) \[ \mathrm{Frob}^{\nu}_S(G) : G \longrightarrow P^{\nu}_S(G) \] est un morphisme pour les structures en question. Considérons, en particulier, \[ U_{\nu}(G) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathrm{Frob}^{\nu}_S(G)\bigr) . \]

Proposition Si \(G\) est de présentation finie sur \(S\), alors \(U_{\nu}(G)\) est de présentation finie et fini (surjectif) radiciel sur \(S\). la proposition est barrée de traits obliques ; « surjectif » est une insertion interlinéaire

dans la marge gauche, écrit de biais et relié par un trait à « Proposition » : « Quid […] […] […] […] […] […] \(U_{\nu}\) […] […] […] \(\mathrm{Frob}^{\nu}\) […] fini »

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Lemme 1 Un morphisme radiciel surjectif [de présentation finie] \(f : T \to S\) qui est un homéomorphisme universel est affine.

En effet, […] […] un homéomorphisme, il est […] suit une démonstration d'une douzaine de lignes, barrée de grands traits obliques et encadrée : on y lit notamment « \(f_*(\mathcal{O}_T) = \mathcal{A}\) […] », « \(T = \bigcup T_i\) », « \(T_i = \bigcup_j T_{ij}\), où \(T_{ij} = f^{-1}(S_j) = f_i^{-1}(S_j)\) », « \(T = \bigcup_{ij} f^{-1}(S_j)\) », et, en marge de la reprise, « […] \(T\) est quasi-compact, on […] […] \(S\) affine »

Soit \(s \in S\), \(f^{-1}(s)\) est réduit à un pt, donc […] […] […] voisinage affine \(U\), lequel […] […] […] […] […] voisinage de \(s\), il contient un voisinage affine \(V\) de \(s\). Alors […] […] \[ f^{-1}(V) = f'^{-1}(V) \] où \(f' : U \to S\) est induit par \(f\). Comme c'est un morphisme de schémas affines, et \(V\) affine, \(f'^{-1}(V)\) affine, O.K.

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Proposition 2 Soit \(G\) un schéma en groupes sur \(S\). Pour qu'il soit d'échelon infinitésimal \(\nu\), i.e. \(U_{\nu}(G) = G\), il faut et il suffit que \(G\) soit affine sur \(S\), et défini par une Algèbre augmentée \(\mathcal{A}\) […] […] […]] dont l'Idéal \(\mathcal{I}\) d'augmentation et tel que \(x \in \mathcal{I} \Rightarrow x^{p^{\nu}} = 0\) [a puissances \(p^{\nu}\)-ièmes nulles].

D'autre part, pour \(G\) quelconque, \(U_{\nu}(G)\) est canoniquement isomorphe [l'unique plus] […] […] […] […] […] voisinage infinitésimal d'ordre \(p^{\nu}\) de la section unité. « échelon » est une lecture douteuse ; la ligne barrée sous « augmentée \(\mathcal{A}\) » commence par « morphisme » ; l'insertion au-dessus de la fin de phrase est en partie illisible

N.B. N'[…] pas […] […] […] voisinage […] […] […] section […] […] \(G\) […] […] […]dans la marge gauche, de biais

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Détermination de \({}_p\mathrm{Pic}(X)\), \(X\) propre normal sur \(k\) parfait de car. \(p\).

On aura \[ {}_p\mathrm{Pic}(X) = {}_pH^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \] Comme \(X\) est réduit, on a une suite exacte \[ 0 \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*} \xrightarrow{\ x \mapsto x^p\ } \underline{\mathcal{O}}_X^{*} \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*} / \underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \to 0 \] d'où par la suite exacte de cohomologie, posant \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) \[ 0 \to A^{*} \xrightarrow{\ x \mapsto x^p\ } A^{*} \to \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}) \to {}_pH^1(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}) \to 0 \] et comme \(X\) est réduit et propre sur \(k\), donc \(A\) réduite finie et séparable sur \(k\), et \(k\) parfait, on a aussi \(A^{*} \simeq A^{*p}\), d'où (\(X\) réduit et propre sur \(k\) parfait) \[ {}_p\mathrm{Pic}(X) \simeq \Gamma(X, \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}) \] Considérons l'hom. de dérivation logarithmique \[ \underline{\mathcal{O}}_X^{*} \longrightarrow \underline{\Omega}^1_{X/k} \qquad f \longmapsto \frac{df}{f} \] elle est nulle sur \(\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}\), donc on a un hom. \[ \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \longrightarrow \underbrace{Z\underline{\Omega}^1_{X/k}}_{\text{formes fermées}} \] Cet hom. est-il injectif ? Notons que si \(K\) est l'anneau des fonctions rationnelles sur \(X\), alors \(f \in K\), \(df = 0\) \(\Longrightarrow\) \(f \in K^p\) [car […] […] […] ramène au cas où \(K\) est un corps, et \(K\) […] […]. […] […] \(p\)-base sur \(K^p \supset k\)…]. Or \(X\) étant normal, si \(f \in \mathcal{O}_X\) est

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tel que \(df = 0\), [donc \(f \in K^{*p}\)] on a \(f \in \mathcal{O}_X^{p}\) [\([\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \to \underline{R}_X^{*}/\underline{R}_X^{*p}\) est injectif\(]\)], donc \(X\) étant normal, on a un hom. injectif \[ 0 \to \underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \longrightarrow Z\underline{\Omega}^1_{X/k} \] D'après Cartier, on sait que l'image est formée des \(\omega\) tels que \[ C\omega = \omega \] [\(C\) l'opération de Cartier], et dans le cas birationnel la réciproque est vraie : si \(\omega\) est une \(1\)-forme fermée telle que \(C\omega = \omega\), alors \(\omega = \dfrac{df}{f}\), où \(f\) est une fonction rationnelle qui est [déterminée mod] D'ailleurs, […] [sur chaque composante de \(X\)] \(K^{*p}\). Comme \(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p} \to \underline{R}_X^{*}/\underline{R}_X^{*p}\) est injectif, pour montrer que \(\omega\) provient d'une section de \(\underline{\mathcal{O}}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*p}\), la question est locale, donc il faut prouver que si \(f \in (K = \text{anneau des fonctions de } \mathcal{O})^{*}\), telle que \(\dfrac{df}{f}\) régulière, alors \(f = g^p h\), avec \(h \in \mathcal{O}^{*}\), i.e. on divise l'hom. \[ \underline{R}_X^{*}/\underline{\mathcal{O}}_X^{*} \longrightarrow \underline{\Omega}^1(\underline{K})/\underline{\Omega}^1(\underline{\mathcal{O}}_X) \] est injectif. \(X\) étant normal, […] […] […] on se ramène au cas où \(X\) est […] régulier… la page s'arrête ici