Cote n° 46 · pages 1–94 · Lecture modernisée · Schémas en groupes et fibrés principau[x] (Divers) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [vers 1966-vers 1972]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier ne porte aucune pagination de sa main. Il se compose de liasses séparées par des chemises titrées, dans l'ordre de reliure suivant, qu'on garde.

• Page 2 : un plan des Éléments, en treize chapitres.
• Pages 3 à 8 : « \(p\)-structures sur fibrés vectoriels et sur torseurs » — gerbes de torseurs munis d'un isomorphisme \(P \simeq P^{f}\), théorème de Lang, fibrés vectoriels à Frobenius inversible.
• Pages 9 à 20 : « Frobenius » — Frobenius relatif et morphismes étales, « Frobeniuseries » (formulaire du Frobenius absolu et relatif), noyau du Frobenius d'un schéma en groupes, \(p\)-torsion du groupe de Picard.
• Pages 21 à 26 : un problème sur l'opération de Cartier et la Verschiebung, et le tapuscrit d'un correspondant, « Définition du morphisme Verschiebung ».
• Pages 27 à 35 : « Frobeniuseries pour faisceaux étales » — l'isomorphisme \(F_X^{*}\mathcal{F} \simeq \mathcal{F}\) et la trivialité cohomologique du Frobenius absolu. Une chemise biffée (page 37) et son dos (page 38, le seul mot « Steinberg ») suivent.
• Pages 39 à 48 : « Brauer-Severi. Dans Chap VI » — première mouture : définition, critères de trivialité, systèmes linéaires paramétrés par un schéma de Brauer–Severi.
• Pages 50 à 53 : « Progroupes et groupes algébriques quasi-compacts ».
• Pages 55 à 66 : « Schémas de Brauer-Severi » — seconde mouture : plan d'une théorie globale, schéma des \(n\)-formes, diviseurs transversaux ; puis « Groupe de Brauer global » dans le cadre analytique complexe.
• Pages 67 à 70 : « “Restriction des scalaires” dans les groupes algébriques et leurs espaces principaux homogènes ».
• Pages 71 à 92 : « Petits fourbis cohomologiques » — théorème 90 tordu, théorème de Lang en cohomologie galoisienne, cohomologie d'un groupe muni d'un automorphisme, torsion des cocycles, version semi-locale.
• Pages 93 et 94 : « Contre-exemples à passage au quotient ».

Le fil. Ce n'est pas un dossier à argument unique, et on ne lui en prête pas. Deux constructions reviennent pourtant d'une liasse à l'autre, et on les nomme une fois. La première est l'application de Lang \(L_f(u) = f(u)\,u^{-1}\) d'un groupe dans lui-même, pour un endomorphisme \(f\) à différentielle nulle : sa surjectivité est l'énoncé des pages 6, 74 à 76 et 83, et son interprétation cohomologique celle des pages 5 et 77 à 79. La seconde est la torsion d'un objet par un torseur ou un cocycle : un torseur tordu par \(f\) aux pages 4 à 7, un schéma de Brauer–Severi comme forme tordue d'un espace projectif aux pages 40 à 61, un \(\Gamma\)-ensemble tordu par un cocycle aux pages 80 à 92. Les deux moutures sur les schémas de Brauer–Severi (pages 39 à 48, pages 55 à 61) se recouvrent en partie et on les garde distinctes : la seconde reprend la première comme plan, puis va plus loin sur les diviseurs.

Conventions. La caractéristique est \(p > 0\) des pages 4 à 35. On note \(F_X\) le Frobenius absolu d'un schéma \(X\) (identité sur l'espace, \(a \mapsto a^{p}\) sur les fonctions), \(X^{(p/S)} = X \times_{S, F_S} S\) le tordu de Frobenius d'un \(S\)-schéma (son \(P_S(X)\)), \(F_{X/S} : X \to X^{(p/S)}\) le Frobenius relatif, et \(\mathrm{pr} : X^{(p/S)} \to X\) la projection (son \(\mathrm{Ver}_S(X)\), qui n'a rien à voir avec la Verschiebung) ; les itérés sont \(F^{\nu}\), \(X^{(p^{\nu}/S)}\). Les faisceaux étales sont notés \(\mathcal{F}\), pour garder la lettre \(F\) au Frobenius. Les groupes linéaires sont \(\mathrm{GL}_n\), \(\mathrm{SL}_n\), \(\mathrm{PGL}_n\) (ses \(\mathrm{Gl}(n)\), \(\mathrm{Sl}(n)\), \(\mathrm{GP}(n-1)\)). Pour un module localement libre \(E\), \(\mathbb{P}(E) = \mathrm{Proj}\,\mathrm{Sym}\,E\), de sorte que les sections de \(\mathcal{O}(n)\) sont \(S^{n}E\) ; on s'y tient des pages 40 à 61, où la page mêle parfois l'autre convention. Un \(1\)-cocycle \(f\) tord une action \(\gamma \mapsto \gamma\) en \(\gamma_f\), comme aux pages 80 à 92.

Ce qui est annoncé et non établi. La question de la page 8 (les hypothèses de liberté locale sont-elles nécessaires ?) reste posée ; le corollaire de la page 16 s'arrête au milieu de sa phrase ; la question locale de la page 20 n'est pas résolue ; les deux problèmes de la page 21 sont des demandes ; la réciproque de la page 35 est un « Peut-être » ; les questions de descente des pages 46 à 48 sont indiquées ; la pleine fidélité et l'équivalence de la page 51 sont, la seconde, marquées « douteux » ; les questions 1 et 2 des pages 64 à 66 restent ouvertes sur la page ; le contre-exemple de la page 68 est une question ; le cas d'un corps fini à la page 73 et le cas général du lemme de la page 76 ne sont pas écrits ; le lemme 5 de la page 79 et la conclusion de la page 94 s'arrêtent avant leur conclusion.

2–2

Un plan des Éléments (page 2)

La page 2, un feuillet déchiré, porte un plan de chapitres repris à deux encres, dont on donne le dernier état lisible : I. Langage des schémas ; II. Étude élémentaire de quelques classes de morphismes ; III. Cohomologie des faisceaux cohérents ; IV. Étude locale des morphismes ; V. Étude globale élémentaire des morphismes ; VI. Procédés de construction (avec, en marge, « y inclure propriétés de descente pour morphismes étales ») ; VII. Schémas en groupes, fibrés principaux (« définition du groupe fondamental ») ; VIII. Picard et variétés abéliennes ; IX. Torseurs et cotorseurs, dualité ; X. Théorie d'intersection, Riemann–Roch ; XI. Cohomologie étale et groupe fondamental ; XII. Jacobiennes et variétés [abéliennes ?] ; XIII. Résolution des singularités ? ; et, sans numéro, « Théorie des cycles algébriques ?? ».¹

C'est à rapprocher du plan annoncé dans l'introduction d'EGA I (1960), dont il garde les quatre premiers chapitres et le chapitre VII « Schémas en groupes, espaces fibrés principaux » — qui est aussi le titre de la chemise du présent dossier. Il en diffère par un chapitre sur torseurs, cotorseurs et dualité, par le rapprochement du schéma de Picard et des variétés abéliennes, et par les deux chapitres finaux, qui portent chacun un point d'interrogation. La chemise « Brauer-Severi » de la page 39 porte « Dans Chap VI », ce qui la range sous les procédés de construction et la descente.

4–8

\(p\)-structures sur fibrés vectoriels et sur torseurs (pages 3 à 8)

4–6

Torseurs tordus par un endomorphisme : quand forment-ils une gerbe ? (pages 4 à 6)

Soit \(\underline{S}\) un site, \(G\) un faisceau de groupes sur \(\underline{S}\) et \(f : G \to G\) un endomorphisme. Pour un \(G\)-torseur (à droite) \(P\), notons \(P^{f} = P \wedge^{G, f} G\) le torseur obtenu par extension du groupe structural le long de \(f\). On considère les couples \((P, \varphi)\) formés d'un \(G\)-torseur et d'un isomorphisme \(P \simeq P^{f}\), ou, ce qui revient au même, d'un morphisme de faisceaux \(\varphi : P \to P\) tel que \[ \varphi(xg) = \varphi(x)\,f(g). \] Ces couples forment un champ \(\Sigma\) sur \(\underline{S}\).² La question est : quand est-ce une gerbe ?

Localement, \(P\) est trivial et s'identifie à \(G\) ; la structure \(\varphi\) est alors déterminée par \(a = \varphi(1) \in G(S)\), sous la forme \(\varphi_a(g) = a\,f(g)\), et \(a\) est arbitraire. Le champ est donc localement non vide, et tout revient à savoir quand deux objets \((G, \varphi_a)\), \((G, \varphi_b)\) sont localement isomorphes. Un morphisme de l'un vers l'autre est une translation à gauche \(g \mapsto ug\), \(u \in G(S)\), qui entrelace \(\varphi_a\) et \(\varphi_b\), c'est-à-dire \(u\,a\,f(g) = b\,f(ug)\) pour tout \(g\), soit \[ b = u\,a\,f(u)^{-1}. \] Les classes d'isomorphisme locales sont donc les orbites de \(G\) agissant sur lui-même par \(f\)-conjugaison \(u \cdot a = u\,a\,f(u)^{-1}\).³ Il en résulte :

Proposition (page 5). Le champ \(\Sigma\) est une gerbe si et seulement si l'application de Lang \[ L_f : G \longrightarrow G, \qquad u \longmapsto f(u)\,u^{-1}, \] est un épimorphisme de faisceaux d'ensembles. Dans ce cas tout objet est localement isomorphe à \((G, \varphi_1 = f)\), dont le faisceau des automorphismes est formé des \(u\) tels que \(f(u) = u\), c'est-à-dire le faisceau des coïncidences \(N = \mathrm{Ker}(f, \mathrm{id}_G)\) ; et \(\Sigma\) est équivalente à la gerbe des \(N\)-torseurs, un \(N\)-torseur \(Q\) allant sur \((Q \wedge^{N} G, \varphi)\) avec \(\varphi\) induit par \(f\).

6–6

Le théorème de Lang (page 6)

Soit \(G\) un schéma en groupes lisse sur le corps fini \(\mathbb{F}_q\), \(q = p^{n}\), et \(f = F^{n}_{G/\mathbb{F}_q} : G \to G\) son Frobenius relatif à \(\mathbb{F}_q\) (puisque \(G\) est défini sur \(\mathbb{F}_q\), \(G^{(q)} = G\)).

Théorème (Lang). L'application \(L_f(u) = f(u)\,u^{-1}\) de \(G\) dans \(G\) est étale ; elle est de plus surjective, donc couvrante pour la topologie étale, si \(G\) est connexe.

L'étalité vient du critère infinitésimal : \(G\) est lisse et la différentielle de \(f\) est nulle (\(\mathrm{Lie}(f) = 0\), donc \(df = 0\) en tout point par translation), si bien que la différentielle de \(L_f\) en tout point est, au signe et aux translations près, l'identité. Le même calcul vaut pour l'application d'orbite \(u \mapsto f(u)\,a\,u^{-1}\) de la \(f\)-conjugaison tordue, qui est équivariante : \[ L_f(gx) = f(g)\,L_f(x)\,g^{-1}. \] Toutes les orbites de cette action sont donc ouvertes ; \(G\) connexe (donc irréductible) n'en a qu'une, et \(L_f\) est surjective. C'est la preuve à laquelle la page renvoie : Serre, Groupes algébriques et corps de classes, p. 119.⁴

Axiomatisation (pied de la page 6). Soit \(G\) un schéma en groupes lisse sur une base \(S\) et \(f\) un endomorphisme de \(G\) avec \(\mathrm{Lie}(f) = 0\). Alors \(L_f\) est étale, et surjective si \(G\) est à fibres connexes. C'est exact : \(L_f\) est un \(S\)-morphisme entre \(S\)-schémas lisses, étale dès qu'il l'est fibre à fibre, et sur chaque fibre l'argument des orbites s'applique sur une clôture algébrique. C'est le germe de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Lang–Steinberg (Steinberg, 1968), où \(f\) est un endomorphisme quelconque à différentielle nilpotente ; on le retrouve aux pages 74 à 76.

7–8

Torseurs à Frobenius près, et fibrés vectoriels à Frobenius inversible (pages 7 et 8)

Corollaire (page 7). Soit \(G\) un schéma en groupes lisse et connexe sur \(\mathbb{F}_q\), \(S\) un schéma sur \(\mathbb{F}_q\) et \(f\) le Frobenius de \(G\) relatif à \(\mathbb{F}_q\), étendu à \(G_S\). La catégorie des \(G_S\)-torseurs \(P\) munis d'un isomorphisme \(P \simeq P^{f}\) est équivalente à celle des torseurs sous le groupe constant fini \(G(\mathbb{F}_q)\), c'est-à-dire des revêtements étales galoisiens de \(S\) (non nécessairement connexes) de groupe \(G(\mathbb{F}_q)\).⁵ En effet \(N = \mathrm{Ker}(f, \mathrm{id})\) est le groupe constant défini par \(G(\mathbb{F}_q)\), et l'on applique la proposition de la page 5.

Application aux \(p\)-structures (pages 7 et 8). Soit \(S\) un schéma de caractéristique \(p\) et \(E\) un \(\mathcal{O}_S\)-module quasi-cohérent. Une \(p\)-structure sur \(E\) est un homomorphisme \[ \varphi : E^{(p)} = F_S^{*}E = E \otimes_{\mathcal{O}_S, F_S} \mathcal{O}_S \longrightarrow E ; \] on la dit inversible si \(\varphi\) est un isomorphisme.⁶ Si \(E\) est localement libre de rang \(n\), le torseur des repères \(P = \underline{\mathrm{Isom}}(\mathcal{O}_S^{n}, E)\) est un \(\mathrm{GL}_n\)-torseur, \(E^{(p)}\) correspond à \(P^{f}\) pour \(f\) le Frobenius de \(\mathrm{GL}_n\) (défini sur \(\mathbb{F}_p\)), et une \(p\)-structure inversible est un isomorphisme \(P^{f} \simeq P\). Comme \(\mathrm{GL}_n\) est lisse et connexe sur \(\mathbb{F}_p\), le corollaire donne :

Proposition (page 8). La catégorie des \(\mathcal{O}_S\)-modules localement libres de rang \(n\) munis d'une \(p\)-structure inversible est équivalente à celle des \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)\)-torseurs, c'est-à-dire des faisceaux étales d'espaces vectoriels sur \(\mathbb{F}_p\) localement libres de rang \(n\). À un tel faisceau \(\Phi\) correspond \[ E = \Phi \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_S, \qquad \varphi = \mathrm{id}_{\Phi} \otimes F_S. \] On utilise au passage que les modules quasi-cohérents pour la topologie de Zariski et pour la topologie étale sont les mêmes (descente fidèlement plate). La page se demande pour finir dans quelle mesure les hypothèses de liberté locale et de type fini sont nécessaires, et ne répond pas.⁷

10–20

Frobenius (pages 9 à 20)

10–10

Frobenius relatif, morphismes non ramifiés et étales (page 10)

Soit \(p : X' \to X\) un morphisme localement de présentation finie de schémas de caractéristique \(p\), et \(F_{X'/X} : X' \to X'^{(p/X)}\) son Frobenius relatif, qui fait commuter le diagramme où les deux carrés de gauche sont le tordu et le Frobenius absolu.

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=normal]
X' \arrow[r, "F_{X'/X}"] \arrow[dr, "p"'] & X'^{(p/X)} \arrow[r, "\mathrm{pr}"] \arrow[d] & X' \arrow[d, "p"] \\
 & X \arrow[r, "F_X"'] & X
\end{tikzcd}

Proposition. 1° Sont équivalents : (i) \(p\) est non ramifié ; (ii) \(F_{X'/X}\) est non ramifié ; (ii bis) \(F_{X'/X}\) est un monomorphisme. 2° Sont équivalents : (i) \(p\) est étale ; (ii) \(F_{X'/X}\) est étale ; (ii bis) \(F_{X'/X}\) est un isomorphisme.

Démonstration. Le Frobenius relatif est un homéomorphisme universel, donc radiciel et surjectif, et il est localement de présentation finie puisque \(X'\) et \(X'^{(p/X)}\) le sont sur \(X\). 1° (ii) \(\Leftrightarrow\) (ii bis) parce qu'un morphisme localement de présentation finie est un monomorphisme si et seulement s'il est radiciel et non ramifié⁸ ; (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) parce que \(\Omega^1_{X'/X} \simeq \Omega^1_{X'/X'^{(p/X)}}\), la flèche \(F_{X'/X}^{*}\Omega^1_{X'^{(p/X)}/X} \to \Omega^1_{X'/X}\) étant nulle (la différentielle d'une puissance \(p\)-ième est nulle). 2° (ii) \(\Leftrightarrow\) (ii bis) parce qu'un morphisme étale, radiciel et surjectif est un isomorphisme ; (i) \(\Rightarrow\) (ii) parce que si \(X'\) est étale sur \(X\), \(X'^{(p/X)}\) l'est aussi, et tout \(X\)-morphisme entre \(X\)-schémas étales est étale. (ii bis) \(\Rightarrow\) (i) : par 1°, \(p\) est non ramifié, donc, localement sur \(X'\) et après une extension étale de \(X\), une immersion fermée (EGA IV, 18.4.7) ; le Frobenius relatif commute aux changements de base, et l'on est ramené au cas d'une immersion fermée \(X' = V(\mathcal{J})\), \(\mathcal{J}\) de type fini, dont le Frobenius relatif est un isomorphisme. Or \(X'^{(p/X)}\) est le sous-schéma fermé défini par l'idéal \(\mathcal{J}^{[p]}\) engendré par les puissances \(p\)-ièmes des sections de \(\mathcal{J}\), et \(F_{X'/X}\) est l'inclusion \(V(\mathcal{J}) \subset V(\mathcal{J}^{[p]})\).⁹ L'hypothèse s'écrit \(\mathcal{J} = \mathcal{J}^{[p]}\), d'où \(\mathcal{J} = \mathcal{J}^{2}\) ; un idéal de type fini idempotent est localement engendré par un idempotent, et \(X'\) est ouvert (et fermé) dans \(X\).¹⁰

11–16

« Frobeniuseries » : le formulaire (pages 11 à 16)

Les pages 11 à 16 fixent un formulaire, dans la catégorie des schémas de caractéristique \(p\) (ses « préschémas » sur \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)).

Frobenius absolu et relatif. Le Frobenius absolu \(F_X : X \to X\) est l'identité sur l'espace et \(a \mapsto a^{p}\) sur les fonctions ; il est fonctoriel en \(X\). Pour \(X\) au-dessus de \(S\), le carré \(f \circ F_X = F_S \circ f\) fournit le \(S\)-morphisme fonctoriel \(F_{X/S} : X \to X^{(p/S)} = X \times_{S, F_S} S\), et \(F_X = \mathrm{pr} \circ F_{X/S}\).¹¹ Le foncteur \(X \mapsto X^{(p/S)}\) est un changement de base : il commute aux limites projectives et aux sommes, et préserve type fini, affine, propre, etc.

Modules et algèbres. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module \(E\) on pose \(E^{(p/S)} = \mathrm{pr}^{*}E = E \otimes_{\mathcal{O}_S, F_S} \mathcal{O}_S\) ; on a \(F_{X/S}^{*}(E^{(p/S)}) = F_X^{*}E\), et pour \(L\) inversible un isomorphisme canonique \[ F_X^{*}L \simeq L^{\otimes p}, \qquad s \otimes 1 \mapsto s^{\otimes p}. \] Pour une algèbre quasi-cohérente \(\mathcal{A}\) (graduée), le tordu commute à \(\mathrm{Spec}\) et à \(\mathrm{Proj}\), et le Frobenius relatif de \(X = \mathrm{Spec}\,\mathcal{A}\) (resp. \(\mathrm{Proj}\,\mathcal{A}\)) est induit par \(\mathcal{A}^{(p/S)} \to \mathcal{A}\), \(a \otimes \lambda \mapsto \lambda a^{p}\). D'où, pour \(\mathbb{V}(E) = \mathrm{Spec}\,\mathrm{Sym}\,E\) et \(\mathbb{P}(E)\), \(\mathbb{V}(E)^{(p/S)} = \mathbb{V}(E^{(p/S)})\) et \(\mathbb{P}(E)^{(p/S)} = \mathbb{P}(E^{(p/S)})\), les Frobenius étant donnés par \(E^{(p/S)} \to S^{p}E\), \(x \otimes \lambda \mapsto \lambda x^{p}\). Le Frobenius de \(\mathbb{V}(E)\) respecte l'addition mais tord la multiplication par les scalaires par \(\lambda \mapsto \lambda^{p}\)¹² ; celui de \(\mathbb{P}(E)\) correspond à l'homomorphisme d'algèbres graduées \(\mathrm{Sym}(E^{(p/S)}) \to (\mathrm{Sym}\,E)_{(p)}\) (degrés multiples de \(p\)), et ramène \(\mathcal{O}(1)\) sur \(\mathcal{O}(p)\). Exemple (marge de la page 14) : pour \(E = \mathcal{O}_S^{n}\), le Frobenius de l'espace affine \(\mathbb{A}^{n}_S\) est \(t_i \mapsto t_i^{p}\).

Changement de base. 1° Pour \(X' \to X \to S\), \[ X'^{(p/X)} \simeq X'^{(p/S)} \times_{X^{(p/S)}, F_{X/S}} X, \] et \(F_{X'/X}\) est le morphisme de composantes \(F_{X'/S}\) et le morphisme structural \(X' \to X\) — « trois carrés cartésiens », dit le diagramme de la page 13. 2° Pour \(S' \to S\), \(X^{(p/S)} \times_S S' \simeq (X \times_S S')^{(p/S')}\), isomorphisme qui transforme \(F_{X/S}\) en \(F_{X_{S'}/S'}\). Les deux se vérifient en écrivant les produits fibrés.

Itérés, base parfaite, base finie. On définit \(X^{(p^{\nu}/S)}\) et \(F^{\nu}_{X/S}\) en remplaçant partout \(p\) par \(p^{\nu}\). Si \(S\) est parfait (\(F_S\) un isomorphisme, par exemple le spectre d'un corps parfait), \(\mathrm{pr} : X^{(p^{\nu}/S)} \to X\) est un isomorphisme de schémas, qui n'est pas un \(S\)-isomorphisme. Si \(S\) est un \(\mathbb{F}_q\)-schéma, \(q = p^{\nu}\), et \(S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_q\), alors \(F_S^{\nu} = \mathrm{id}\), donc \(X^{(q/S)} = X\) comme \(S\)-schéma et \(F^{k\nu}_{X/S}\) est un \(S\)-endomorphisme de \(X\), égal à \((F^{\nu}_{X/S})^{k}\) ; pour \(\nu = 1\) on retrouve le Frobenius absolu.¹³

Groupes. Si \(G\) est un \(S\)-schéma en groupes (ou porte une structure algébrique finie quelconque), \(G^{(p^{\nu}/S)}\) en hérite et \(F^{\nu}_{G/S}\) est un homomorphisme. On pose \[ U_{\nu}(G) = \mathrm{Ker}\bigl(F^{\nu}_{G/S}\bigr), \] le \(\nu\)-ième noyau de Frobenius, noté souvent \(G_{(\nu)}\) aujourd'hui. Une proposition barrée affirmait que si \(G\) est de présentation finie, \(U_{\nu}(G)\) est fini, radiciel, surjectif et de présentation finie sur \(S\). L'énoncé est exact : un homéomorphisme universel est entier (EGA IV, 18.12.11), de sorte que \(F^{\nu}_{G/S}\), de type fini, est fini, et \(U_{\nu}(G)\) est son image réciproque par la section unité.¹⁴

17–18

Un lemme d'affinité, et les groupes infinitésimaux (pages 17 et 18)

Lemme 1 (page 17). Un morphisme \(f : T \to S\) qui est un homéomorphisme est affine.¹⁵

Démonstration. Soit \(s \in S\) et \(t\) l'unique point de \(f^{-1}(s)\). Choisissons un ouvert affine \(V \ni s\), puis un ouvert affine \(U \ni t\) contenu dans \(f^{-1}(V)\). Comme \(f\) est un homéomorphisme, \(f(U)\) est un ouvert de \(V\) contenant \(s\) ; soit \(h \in \Gamma(V, \mathcal{O})\) avec \(s \in D(h) \subset f(U)\). Par bijectivité \(f^{-1}(D(h)) \subset U\), et \(f^{-1}(D(h)) = U_{f^{*}h}\) est un ouvert principal de l'affine \(U\), donc affine.¹⁶

Proposition 2 (page 18). Soit \(G\) un \(S\)-schéma en groupes. Pour que \(G\) soit de hauteur \(\le \nu\), c'est-à-dire \(U_{\nu}(G) = G\), il faut et il suffit que \(G\) soit affine sur \(S\), défini par une algèbre augmentée \(\mathcal{A}\) dont l'idéal d'augmentation \(\mathcal{I}\) est à puissances \(p^{\nu}\)-ièmes nulles (\(x \in \mathcal{I} \Rightarrow x^{p^{\nu}} = 0\)).¹⁷

En effet, si \(F^{\nu}_{G/S}\) se factorise par la section unité, \(G \to S\) est un homéomorphisme (le Frobenius en est un), donc \(G\) est affine par le lemme 1, et la factorisation de \(\mathcal{A}^{(p^{\nu}/S)} \to \mathcal{A}\), \(a \otimes \lambda \mapsto \lambda a^{p^{\nu}}\), par l'augmentation dit exactement que \(x^{p^{\nu}} = 0\) pour \(x \in \mathcal{I}\) ; la réciproque est immédiate.

Pour \(G\) quelconque, \(U_{\nu}(G)\) est le plus grand sous-schéma fermé de \(G\) contenant la section unité dans lequel les sections de l'idéal de cette section ont des puissances \(p^{\nu}\)-ièmes nulles : localement il est défini par l'idéal \(\mathcal{I}^{[p^{\nu}]}\). Il contient le voisinage infinitésimal d'ordre \(p^{\nu} - 1\) de la section unité (défini par \(\mathcal{I}^{p^{\nu}}\)), mais en diffère en général : pour \(G\) lisse de dimension relative \(d\), \(U_1(G)\) est de rang \(p^{d}\), ce voisinage de rang \(\binom{d + p - 1}{d}\).¹⁸

19–20

La \(p\)-torsion du groupe de Picard (pages 19 et 20)

Soit \(X\) propre et normal sur un corps parfait \(k\) de caractéristique \(p\), et \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\). Comme \(X\) est réduit, la suite de faisceaux (pour la topologie de Zariski) \[ 0 \to \mathcal{O}_X^{*} \xrightarrow{\ x \mapsto x^{p}\ } \mathcal{O}_X^{*} \to \mathcal{O}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*p} \to 0 \] est exacte à gauche, et la suite de cohomologie donne \[ 0 \to A^{*}/A^{*p} \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*p}) \to {}_p\mathrm{Pic}(X) \to 0 . \] Comme \(A\) est une \(k\)-algèbre finie réduite et \(k\) parfait, \(A\) est un produit de corps parfaits et \(A^{*} = A^{*p}\) ; d'où \[ {}_p\mathrm{Pic}(X) \simeq \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*p}). \]

La dérivée logarithmique \(f \mapsto df/f\) s'annule sur \(\mathcal{O}_X^{*p}\) et induit \(\mathcal{O}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*p} \to Z\Omega^1_{X/k}\), faisceau des \(1\)-formes fermées. Elle est injective : si \(K\) est l'anneau des fonctions rationnelles, \(df = 0\) entraîne \(f \in K^{p}\) (théorie des \(p\)-bases : \(k \subset K^{p}\) puisque \(k\) est parfait, et le noyau de \(d : K \to \Omega^1_{K/K^{p}}\) est \(K^{p}\)) ; si \(f = g^{p}\) avec \(f \in \mathcal{O}_{X,x}^{*}\), \(g\) est entier sur \(\mathcal{O}_{X,x}\), donc dans \(\mathcal{O}_{X,x}\) par normalité. Autrement dit \(\mathcal{O}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*p} \to \mathcal{R}_X^{*}/\mathcal{R}_X^{*p}\) est injectif, \(\mathcal{R}_X\) désignant le faisceau des fonctions rationnelles.

D'après Cartier, une \(1\)-forme rationnelle fermée \(\omega\) est une dérivée logarithmique \(df/f\), \(f \in K^{*}\) déterminé modulo \(K^{*p}\) sur chaque composante, si et seulement si \(C\omega = \omega\), où \(C\) est l'opérateur de Cartier. Pour montrer qu'une forme régulière fermée \(\omega\) avec \(C\omega = \omega\) provient d'une section de \(\mathcal{O}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*p}\), la question est donc locale : si \(f \in K^{*}\) et \(df/f\) est régulière, a-t-on \(f = g^{p}h\) avec \(h \in \mathcal{O}^{*}\) ? Autrement dit, l'application \[ \mathcal{R}_X^{*}/\mathcal{O}_X^{*}\mathcal{R}_X^{*p} \longrightarrow \Omega^1_{K}/\Omega^1_{\mathcal{O}_X}, \qquad f \mapsto df/f, \] est-elle injective ?¹⁹ La page dit qu'on se ramène au cas où \(X\) est régulier, et s'arrête.

Dans le cas régulier la réponse est oui : en un point de codimension \(1\), d'anneau de valuation discrète d'uniformisante \(t\), \(f = ut^{n}\) et \(df/f = du/u + n\,dt/t\) est régulière si et seulement si \(p \mid n\) (\(dt/t\) a un pôle, \(dt\) étant non nul dans \(\Omega^1 \otimes \kappa\)) ; le diviseur de \(f\) est donc \(p\) fois un diviseur, localement principal puisque \(X\) est localement factoriel. Pour \(X\) seulement normal, la réduction annoncée ne va pas de soi : en un point non factoriel, un diviseur de Weil \(D\) avec \(pD\) principal n'est pas nécessairement de Cartier, et la page ne dit pas comment l'éviter. Pour \(X\) lisse et propre sur \(k\) parfait, on obtient \[ {}_p\mathrm{Pic}(X) \simeq \lbrace \omega \in H^0(X, Z\Omega^1_{X/k}) : C\omega = \omega \rbrace, \] le groupe des formes logarithmiques globales ; c'est l'énoncé classique qu'on trouve par exemple chez Milne, Étale cohomology, chap. III, §4.

21–26

Un problème sur l'opération de Cartier, et la Verschiebung (pages 21 à 26)

21–21

Le problème (page 21)

La page 21, écrite vite au verso d'une feuille ronéotypée, pose un problème en deux parties pour \(X\) sur \(S\) de caractéristique \(p\), dont la moitié des mots de liaison ne se lit pas.²⁰

a) Définir une opération « de Cartier », \(p\)-linéaire, sur \(\Omega^1_{X/S}\), qui soit dans un sens convenable la transposée de l'opération \(\partial \mapsto \partial^{p}\) sur les \(S\)-dérivations (en caractéristique \(p\), la puissance \(p\)-ième d'une dérivation est une dérivation), et compatible aux changements de base. La page envisage comme but le tordu \((\Omega^1_{X/S})^{(p)}\) ou la puissance symétrique \(\mathrm{Sym}^{p}(\Omega^1_{X/S})\), et nomme le résultat « l'opération de Cartier ».

b) Décrire de même des objets infinitésimaux d'ordre \(1\) sur \(S\) par un module quasi-cohérent \(\Omega\) sur \(S\) muni de deux opérations \[ C : \Omega \to \mathrm{Sym}^{p}_{\mathcal{O}_S}(\Omega), \qquad d_1 : \Omega \to {\textstyle\bigwedge}^{2}_{\mathcal{O}_S}\Omega . \] C'est la description duale d'une algèbre de Lie restreinte : \(d_1\) est la transposée du crochet, \(C\) celle de l'application \(x \mapsto x^{[p]}\), qui n'est pas additive mais polynomiale de degré \(p\) — d'où la puissance symétrique. La correspondance entre groupes infinitésimaux de hauteur \(1\) et \(p\)-algèbres de Lie est celle de SGA 3, exposé VII\(_{\mathrm{A}}\) (Gabriel), et de Demazure–Gabriel, II, §7.²¹ Une note marginale, presque effacée, parle de « structures analogues », de l'identification du cas \(d_1 = 0\), et demande une « Verschiebung » \(V_S(X) : G^{(p/S)} \to G\) pour un groupe commutatif \(G\) sur \(S\).

23–26

Le tapuscrit « Définition du morphisme Verschiebung » (pages 23 à 26)

Les pages 23 à 26 sont un tapuscrit de quatre pages, d'une autre main, adressé à Grothendieck au tutoiement par un correspondant qui n'est pas nommé : il répond à une demande de définir la Verschiebung, comme celle de la marge de la page 21, en disant reprendre un texte de l'année précédente que Grothendieck dit avoir perdu. Les symboles sont ajoutés à l'encre bleue dans les blancs de la frappe ; aucune annotation n'est de la main de Grothendieck. On le résume page à page.

Page 23 : la base est le spectre d'un corps \(k\) de caractéristique \(p\) ; pour un \(k\)-groupe commutatif affine \(G = \mathrm{Spec}\,A\), notations \(A^{(p)}\), \(F : A^{(p)} \to A\), \(G^{(p)}\), \(\otimes^{p}A\), \(\Delta^{p}\), \(m^{p}\). Page 24 : les tenseurs symétriques \(\Sigma^{p}A\), l'image \(S^{p}A\) dans l'algèbre symétrique, et les applications \(\Sigma^{p}A \to \otimes^{p}A \to S^{p}A \to A\), \(r : \Sigma^{p}A \to A^{(p)}\), \(j : A^{(p)} \to S^{p}A\), calculées sur une base. Page 25 : la relation \(q \circ i = j \circ r\), avec renvoi à Serre, Groupes algébriques et corps de classes ; la Verschiebung \(V\) est définie par \(F \circ V = p\) ; \(F\) et \(V\) s'échangent dans la dualité de Cartier. Page 26 : par la diagonale et la symétrisation \(G \to \Sigma^{p}G \to G^{(p)}\), la construction vaut pour tout groupe algébrique commutatif, affine ou non, et l'on a \(V \circ F = p\).

C'est la construction devenue standard de la Verschiebung par les tenseurs symétriques (SGA 3, exposé VII\(_{\mathrm{A}}\), §4).

28–35

Frobeniuseries pour faisceaux étales (pages 27 à 35)

La chemise (page 27) porte ce titre ; son dos (page 28) quatre lignes barrées, illisibles, avec un « XV » souligné.

29–32

L'isomorphisme de Frobenius d'un faisceau étale (pages 29 à 32)

Soit \(X\) un schéma sur \(\mathbb{F}_p\). Le Frobenius absolu \(F_X\) est un homéomorphisme universel ; par l'invariance topologique du site étale (SGA 1, exposé IX, 4.10), \(F_X^{*}\) et \(F_{X*}\) sont des équivalences quasi inverses du topos étale de \(X\), et la donnée d'un morphisme \(\mathcal{G} \to F_X^{*}\mathcal{F}\) équivaut à celle d'un morphisme \(F_{X*}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\).

Pour \(U\) étale sur \(X\) on a \(F_{X*}\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}(U \times_{X, F_X} X) = \mathcal{F}(U^{(p/X)})\), et le Frobenius relatif \(F_{U/X} : U \to U^{(p/X)}\) est un isomorphisme, puisque \(U\) est étale (proposition de la page 10). D'où un isomorphisme fonctoriel en \(U\), \(\mathcal{F}(U^{(p/X)}) \xrightarrow{\sim} \mathcal{F}(U)\), c'est-à-dire un isomorphisme \[ F_{X*}\mathcal{F} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{F}, \] et, par adjonction, un isomorphisme canonique \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X} : F_X^{*}\mathcal{F} \xrightarrow{\sim} \mathcal{F}\).²²

Proposition (pages 30 et 31). 1) Les isomorphismes \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X}\) sont fonctoriels en \(\mathcal{F}\) et compatibles aux changements de base quelconques \(g : X' \to X\) (via \(g^{*}F_X^{*} \simeq F_{X'}^{*}g^{*}\), le Frobenius absolu commutant à tout morphisme) ; pour un faisceau constant \(I_X\), \(F_X^{*}I_X \simeq I_X\) et \(\mathrm{Fr}_{I_X/X} = \mathrm{id}\). 2) Ces conditions, pour \(X\) et \(\mathcal{F}\) variables, caractérisent les \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X}\).

Pour 2), tout \(\mathcal{F}\) est quotient d'une somme de représentables, et la fonctorialité ramène au cas \(\mathcal{F}\) représentable par \(X'\) étale sur \(X\) ; la compatibilité au changement de base permet de localiser sur \(\mathcal{F}\) et sur \(X\) — après le changement de base \(X' \to X\) le faisceau acquiert une section, et l'on se ramène à une immersion ouverte, puis à l'objet final, qui est un faisceau constant. D'où l'autre caractérisation de la page 32 : pour \(X\) fixé, \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X}\) est fonctoriel en \(\mathcal{F}\) et, pour \(\mathcal{F}\) représentable par \(X'\) étale sur \(X\), c'est le Frobenius relatif \(F_{X'/X}\).

Le cas \(F_X = \mathrm{id}\). Si \(F_X = \mathrm{id}\), par exemple \(X = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_p\), alors \(F_X^{*}\mathcal{F} = \mathcal{F}\) et \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X}\) est un automorphisme de \(\mathcal{F}\). Ce n'est pas l'identité en général : sur \(X = \mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_p\), un faisceau étale est un ensemble muni d'une action continue de \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p)\), et pour \(\mathcal{F}\) représenté par \(\mathrm{Spec}\,\mathbb{F}_{p^{n}}\), \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X}\) est induit par le Frobenius de \(\mathbb{F}_{p^{n}}\), qui est un générateur du groupe de Galois ; en général \(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X}\) est l'action de l'élément de Frobenius sur la fibre. Il est l'identité sur les faisceaux constants et sur les sections globales, ce qui est l'énoncé suivant.²³

Théorème de trivialité cohomologique du Frobenius absolu (page 32). Pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) sur le site étale de \(X\), le composé \[ H^0(X, \mathcal{F}) \simeq H^0(X, F_{X*}\mathcal{F}) \xrightarrow{\ H^0(\mathrm{Fr}_{\mathcal{F}/X})\ } H^0(X, \mathcal{F}) \] est l'identité. En effet \(H^0(X, F_{X*}\mathcal{F}) = \mathcal{F}(X^{(p/X)}) = \mathcal{F}(X)\) et le Frobenius relatif de \(X\) sur lui-même est l'identité.

Corollaire 1. Pour \(\mathcal{F}\) un faisceau en groupes, l'application analogue sur \(H^1(X, \mathcal{F})\) (classes de torseurs) est l'identité. Corollaire 2. Pour un complexe \(\mathcal{F}^{\bullet}\) de faisceaux de \(A\)-modules (\(A\) un anneau), le composé analogue \(R\Gamma_X(\mathcal{F}^{\bullet}) \to R\Gamma_X(\mathcal{F}^{\bullet})\) est l'identité dans la catégorie dérivée \(D(A)\) ; en particulier \(F_X\) agit trivialement sur tous les \(H^{i}(X, \mathcal{F})\). Les corollaires résultent du théorème par dérivation, \(F_{X*}\) étant exact.²⁴

33–35

Une version axiomatique (pages 33 et 35)

La page 33 dégage l'argument de son cadre. Soit \(\mathbb{S}\) une catégorie à produits fibrés, \(\mathcal{M}\) une classe de morphismes stable par changement de base (les « étales »), qui définit pour chaque \(X\) un site \(X_{\text{ét}}\) et des foncteurs \(f^{*} : Y_{\text{ét}} \to X_{\text{ét}}\) ; soit \(\mathbf{F}\) un endomorphisme du foncteur identique de \(\mathbb{S}\), à la manière du Frobenius absolu. On considère :

a) pour tout \(X\), \(\mathbf{F}_X^{*}\) est une équivalence du topos \(\widetilde{X}_{\text{ét}}\), et pour tout \(p : X' \to X\) dans \(\mathcal{M}\) le carré \[ \begin{array}{ccc} X' & \xrightarrow{\ \mathbf{F}_{X'}\ } & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \xrightarrow{\ \mathbf{F}_{X}\ } & X \end{array} \] est cartésien, autrement dit le « Frobenius relatif » \(X' \to X' \times_{X, \mathbf{F}_X} X\) est un isomorphisme ;

b) le foncteur \(\mathbf{F}_X^{*} : X_{\text{ét}} \to X_{\text{ét}}\) est isomorphe au foncteur identique.²⁵

La démonstration établit que les isomorphismes cartésiens de a) rendent \(\mathbf{F}_X^{*}\) isomorphe à l'identité sur \(X_{\text{ét}}\), donc sur le topos, l'isomorphisme étant donné sur les représentables par les \(\mathbf{F}_{-/X}\) ; en marge, « de Topos ». La page 35 se demande si a) n'impliquerait pas aussi b) en renforçant a) par une compatibilité de \(\mathbf{F}_X\) à tout changement de base, et reprend la définition de \(\mathbf{F}_{\mathcal{F}/X}\), la condition sur les faisceaux constants, la caractérisation et la conclusion : « il implique l'identité sur les \(H^0\), les \(H^{i}\), \(R\Gamma_X\) ». Le haut de la page est raturé et la prose ne se lit qu'en partie. Les pages 34 et 36, versos dactylographiés sur les applications de restriction en cohomologie des faisceaux de torsion, sont du papier de brouillon.

La chemise suivante (page 37) porte un titre biffé, puis « Variances… / \(G\)-… » sous un quadrillage de ratures ; son dos (page 38), le seul mot « Steinberg », à l'envers.

40–48

Schémas de Brauer–Severi, première mouture (pages 39 à 48)

La chemise (page 39) porte « Brauer-Severi. Dans Chap VI ».

40–40

Définition et premiers énoncés (page 40)

Définition. Un schéma de Brauer–Severi sur \(S\) est un \(S\)-schéma \(P\) qui devient isomorphe à un espace projectif \(\mathbb{P}^{r}\) localement pour la topologie fidèlement plate de présentation finie.²⁶

Proposition 1. Un tel \(P\) est projectif et lisse sur \(S\), et le faisceau anticanonique \(\omega_{P/S}^{-1}\) est ample relativement à \(S\). En effet \(\omega^{-1} = \mathcal{O}(r+1)\) sur \(\mathbb{P}^{r}\) est très ample et, étant canonique, descend ; il plonge \(P\) dans le fibré projectif associé à \(f_{*}\omega^{-1}_{P/S}\).

Proposition 2. Pour que \(P\) soit un fibré projectif \(\mathbb{P}(E)\), il faut et il suffit qu'il existe un faisceau inversible \(L\) sur \(P\) de degré \(1\) sur chaque fibre. Sur \(\mathbb{P}^{r}\), \(\omega = \mathcal{O}(-r-1)\), de sorte que \(L^{\otimes(r+1)} \otimes \omega_{P/S}\) est de degré \(0\) sur les fibres, donc localement sur \(S\) l'image réciproque d'un inversible de \(S\) ; et si \(L\) existe, \(E = f_{*}L\) est localement libre de rang \(r+1\) et \(P \simeq \mathbb{P}(E)\).²⁷

Proposition. Si \(P\) admet une section sur \(S\), c'est un fibré projectif : « utiliser le théorème de descente (et dualité des projectifs) ». C'est exact sur toute base : la section réduit le groupe structural au stabilisateur d'un point dans \(\mathrm{PGL}_{r+1}\), qui se relève dans \(\mathrm{GL}_{r+1}\) (normaliser à \(1\) le coefficient du point fixé), et le torseur provient donc d'un fibré vectoriel. La page ajoute, et barre, une remarque pour le cas où tout module localement libre sur \(S\) est libre (\(S\) local).

42–42

Critères de trivialité (page 42)

Corollaire. \(P\) est un fibré projectif si et seulement s'il admet localement (pour Zariski) des sections, c'est-à-dire est localement trivial, et si une certaine obstruction dans \(H^2(S, \mathcal{O}_S^{*})\) est nulle. C'est l'obstruction à relever en \(\mathrm{GL}_{r+1}\)-torseur un \(\mathrm{PGL}_{r+1}\)-torseur localement trivial pour Zariski, par la suite \(1 \to \mathbb{G}_m \to \mathrm{GL}_{r+1} \to \mathrm{PGL}_{r+1} \to 1\), exacte pour Zariski puisque \(\mathrm{PGL}_{r+1}(R) = \mathrm{GL}_{r+1}(R)/R^{*}\) pour \(R\) local.

Corollaire. Si \(S\) est régulier (et intègre), \(P\) est un fibré projectif si et seulement s'il est localement trivial, ou encore si et seulement si sa fibre générique l'est. La première équivalence vient de ce que \(H^2_{\mathrm{Zar}}(S, \mathcal{O}_S^{*}) = 0\) pour \(S\) localement factoriel (la suite \(0 \to \mathcal{O}^{*} \to K^{*} \to \mathrm{Div} \to 0\) est une résolution flasque) ; la seconde, de l'injectivité de \(\mathrm{Br}(S) \to \mathrm{Br}(K)\) pour \(S\) régulier intègre (Grothendieck, « Le groupe de Brauer II », §1).²⁸

Corollaire. Isotrivialité locale (sans plus).

42–48

Systèmes linéaires paramétrés par un schéma de Brauer–Severi (pages 42 à 48)

Un item numéroté (6), dont les items 1 à 5 manquent dans le dossier, définit un système linéaire de diviseurs sur \(X/S\) (\(X \to S\) fidèlement plat et localement de présentation finie) paramétré par un schéma \(\check{P}/S\) : localement pour fppf, un système linéaire de diviseurs paramétré par un fibré projectif. Le reste de la page est une suite de notes courtes — « dualité pour \(X/S\) et un schéma de Brauer–Severi », « système linéaire (cas complet) », « classe d'équivalence » — dont l'ordre de lecture est incertain. La page 44 en fait un programme :

a) relation entre morphismes \(X \to P\) vers un schéma de Brauer–Severi et systèmes linéaires de diviseurs paramétrés par le dual \(\check{P}\) (les images réciproques des hyperplans) ;

b) systèmes linéaires « stricts », pour lesquels un morphisme \(X \to P\) demande une petite propriété supplémentaire de nature locale, inutile si \(X\) est régulier ou strictement localement factoriel ;

c) le morphisme naturel \[ \lambda : \underline{\mathrm{SystLin}}_{X/S} \longrightarrow \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, \] qui a une section canonique.²⁹ Si \(X/S\) est propre à fibres géométriquement intègres, \(\lambda\) est relativement représentable : au-dessus d'un point \(\xi\) de \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), défini par un inversible \(L\) seulement localement pour fppf sur \(S\), les systèmes linéaires sont les sous-espaces de \(f_{*}L\), et la fibre est la « grassmannienne complète » (réunion sur tous les rangs) d'une forme tordue d'un fibré projectif construit sur un module qui n'est pas localement libre — ce que la page appelle un « schéma de Brauer–Severi généralisé », avec la réserve qu'il faut vérifier l'effectivité des données de descente. Si l'on suppose seulement \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement, on trouve encore un ouvert d'un tel schéma.

D'où (page 46) : \(\underline{\mathrm{SystLin}}_{X/S}\) est représentable si et seulement si \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) l'est — dans un sens par la représentabilité relative de \(\lambda\), dans l'autre parce que \(\underline{\mathrm{Pic}}\) est alors un rétracte, par la section, d'un foncteur représentable.

Énoncé (pages 46 et 48). Soit \(f : X \to S\) propre avec \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\) universellement, et un système linéaire paramétré par un schéma de Brauer–Severi \(\check{P}/S\), donné localement par un inversible \(L\) sur \(X\) et un inversible \(L \otimes \mathcal{O}_{\check{P}}(1) \otimes N\) sur \(X \times_S \check{P}\) ; soit \(\xi \in \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}(S)\) la section correspondante. Alors \(\xi\) est représentée par un faisceau inversible sur \(X\) si et seulement si \(\check{P}\) est un fibré projectif. La page esquisse la nécessité par descente (un épimorphisme \(\check{P} \to \mathbb{P}(Q)\) avec \(Q\) de présentation finie identifie \(\check{P}\) à \(\mathbb{P}(E)\), \(E\) quotient localement libre de \(Q\)) et, page 48, la remarque qui sert à la suffisance : un inversible \(\mathcal{M}\) sur \(X \times_S \check{P}\) trivial sur les fibres de \(X\) provient localement sur \(S\), et de façon canonique puisque \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), d'un inversible sur \(\check{P}\).³⁰

En termes d'aujourd'hui : pour \(f\) propre avec \(f_{*}\mathbb{G}_m = \mathbb{G}_m\) universellement, la suite de Leray donne \[ 0 \to \mathrm{Pic}(S) \to \mathrm{Pic}(X) \to \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}(S) \xrightarrow{\ \delta\ } \mathrm{Br}(S), \] et l'énoncé dit que l'obstruction \(\delta(\xi)\) est (au signe près) la classe de Brauer de \(\check{P}\).

51–53

Progroupes et groupes algébriques quasi-compacts (pages 50 à 53)

Soit \(k\) un corps, \(C'_0\) la catégorie des \(k\)-schémas de présentation finie, \(C' \subset \mathrm{Pro}(C'_0)\) la sous-catégorie pleine des pro-objets essentiellement affines (isomorphes à un système projectif à morphismes de transition affines), et \(C\) celle des \(k\)-schémas quasi-compacts et quasi-séparés ; le passage à la limite donne une équivalence \(C' \simeq C\) (EGA IV, §8).³¹ La page 51 dessine les foncteurs \[ \mathrm{Progr}^{!}(C'_0) \xrightarrow{\ \alpha\ } \mathrm{Gr}(C) \xrightarrow[\ \simeq\ ]{\ \beta\ } \mathrm{Gr}(C') \xrightarrow{\ \sigma\ } \mathrm{Gr}_{\mathrm{qc}}(\mathrm{Sch}/k), \] avec les inclusions pleinement fidèles \(i : \mathrm{Progr}^{!}(C'_0) \subset \mathrm{Progr}(C'_0)\), \(j : \mathrm{Gr}(C') \subset \mathrm{Gr}\,\mathrm{Pro}(C'_0)\) et le foncteur \(k : \mathrm{Progr}(C'_0) \to \mathrm{Gr}\,\mathrm{Pro}(C'_0)\) des progroupes vers les groupes dans les pro-schémas. Il observe : \(\beta\) est une équivalence, \(\sigma\) est trivialement pleinement fidèle, \(i\) et \(j\) aussi ; donc si \(k\) est pleinement fidèle, \(\alpha\) et \(\sigma\alpha\) le sont. L'équivalence de \(\sigma\alpha\) équivaut à ce que tout schéma en groupes quasi-compact sur \(k\) soit limite projective de schémas en groupes de type fini à transitions affines ; que \(k\) soit une équivalence est marqué « douteux ».

C'est le théorème d'approximation établi par D. Perrin, « Approximation des schémas en groupes, quasi compacts sur un corps » (1976) : tout schéma en groupes quasi-compact sur un corps est limite projective de schémas en groupes de type fini, à morphismes de transition affines.

Pleine fidélité de \(k\) (page 52). Tout progroupe de type fini provient d'un système projectif strict, à transitions fidèlement plates : les images des transitions se stabilisent, par la condition de chaîne descendante sur les sous-groupes fermés d'un groupe de type fini. Pour deux tels systèmes \((G_i)\), \((H_j)\), l'application \[ \varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(G_i, H_j) \longrightarrow \Bigl(\varprojlim_j \varinjlim_i \mathrm{Hom}(G_i, H_j)\Bigr)_{\mathrm{mult}} \] est bijective : injective parce que chaque \(\mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}} \to \mathrm{Hom}\) l'est ; surjective parce qu'un morphisme de schémas \(u : G_i \to H\) qui devient multiplicatif après composition avec \(G_{i'} \times G_{i'} \to G_i \times G_i\) pour \(i'\) grand l'était déjà, ce morphisme étant fidèlement plat, donc un épimorphisme.

Lemme (page 53). Un progroupe \((G_i)\) dont le pro-schéma sous-jacent est essentiellement affine est essentiellement affine comme progroupe.

On peut supposer le système strict, et il est isomorphe comme pro-schéma à un système \((X_j)\) à transitions affines. Pour \(i_1 \ge i_0\), la limite \(X = \varprojlim G_i \to G_{i_0}\) se factorise par un \(X_{j}\) et est affine, et \(X \to G_{i_1}\) est fidèlement plat. Il en résulte que \(G_{i_1} \to G_{i_0}\) est affine : son noyau \(K\) est quotient fidèlement plat du noyau de \(X \to G_{i_0}\), qui est affine, donc \(K\) est affine, et un homomorphisme de groupes de type fini à noyau affine est affine (il se factorise en un \(K\)-torseur suivi d'une immersion fermée).³²

Au dos de la chemise (page 54), barré : « “Revêtements” étales de groupes infinis ».

56–66

Schémas de Brauer–Severi, seconde mouture, et groupe de Brauer global (pages 55 à 66)

56–56

Le plan d'une théorie globale (page 56)

Sous la chemise bleue « Schémas de Brauer-Severi » (page 55), la page 56 trace le plan d'une « théorie des Brauer-Severi-Châtelet globale ».

1. Définition d'un schéma de Brauer–Severi sur \(Y\) : localement isomorphe à \(\mathbb{P}^{r}_Y\) pour la topologie étale³³ , à distinguer d'un schéma de Châtelet : propre et plat sur \(Y\), à fibres des variétés de Brauer–Severi. Descente, propriétés, isotrivialité locale.

2. Fibré projectif \(=\) schéma de Châtelet muni d'un inversible \(L\) induisant \(\mathcal{O}(1)\) sur chaque fibre. Corollaire 1 : sur \(Y\) spectre d'un anneau local complet, Châtelet \(=\) Brauer–Severi. Corollaire 2 : sur \(Y\) régulier, Brauer–Severi localement trivial \(=\) fibré projectif \(=\) Châtelet localement trivial.

3. Fibré dual, dont les sections s'interprètent comme diviseurs localement principaux « hyperplans » sur \(X\). Corollaire 1 : si \(X\) admet une section, c'est un fibré projectif (\(Y\) noethérien), « deux façons de le prouver », dont l'une par un faisceau localement libre de rang \(r\) et un sous-faisceau localement facteur direct de rang \(r-1\).³⁴ Corollaire 2 : critère de trivialité locale par l'existence de sections locales. 3 bis (ajouté) : fibré des \(n\)-formes, dont les sections sur \(Y\) sont les diviseurs localement principaux dont la trace sur chaque fibre est de degré \(n\).

4. Soit \(X\) propre et plat sur \(Y\) ; si \(f^{-1}(y)\) est une variété de Brauer–Severi, il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(y\) tel que \(X|U\) soit un schéma de Brauer–Severi. Corollaire : Châtelet \(=\) Brauer–Severi. On prouve d'abord que \(X|U\) est de Châtelet, puis Châtelet \(\Rightarrow\) Brauer–Severi en considérant \(\underline{\mathrm{Isom}}_Y(\mathbb{P}^{r}_Y, X)\), qui est un \(\mathrm{PGL}_{r+1}\)-torseur lisse et a donc des sections localement pour la topologie étale.

Enfin, entre accolades : relations avec les faisceaux d'algèbres simples centrales (algèbres d'Azumaya), groupe de Brauer global, « consulter le cours de Serre ». L'équivalence Châtelet \(=\) Brauer–Severi est le théorème qu'on lit dans « Le groupe de Brauer I » ; le nom de Châtelet est celui de ses travaux de 1944 sur les variétés de Brauer–Severi.

57–59

Le schéma des \(n\)-formes (pages 57 à 59)

Soit \(E\) localement libre de rang \(r+1\) sur \(Y\). Le groupe \(\mathrm{PGL}(E)\) agit sur \(\mathbb{P}((S^{n}E)^{\vee})\) — l'espace des droites de \(S^{n}E\), c'est-à-dire des hypersurfaces de degré \(n\) de \(\mathbb{P}(E)\) — via \(\mathrm{GL}(E) \to \mathrm{GL}(S^{n}E)\), les homothéties agissant par \(\lambda^{n}\) ; et \(\mathbb{P}((S^{n}E)^{\vee})\) ne dépend que de \(\mathbb{P}(E)\), puisque remplacer \(E\) par \(E \otimes M\) remplace \(S^{n}E\) par \(S^{n}E \otimes M^{\otimes n}\). Pour \(E = \mathcal{O}_Y^{r+1}\), \(\mathrm{PGL}_{r+1,Y}\) agit sur \(\mathbb{P}((S^{n}\mathcal{O}_Y^{r+1})^{\vee})\). Un schéma de Brauer–Severi \(X\) de dimension relative \(r\) est le tordu de \(\mathbb{P}^{r}_Y\) par un \(\mathrm{PGL}_{r+1}\)-torseur \(T\) ; le tordu de \(\mathbb{P}((S^{n}\mathcal{O}^{r+1})^{\vee})\) par le même torseur est un schéma de Brauer–Severi, trivial (localement trivial) si \(X\) l'est. On l'appelle le schéma des \(n\)-formes de \(X\) et on le note \(\Phi^{n}(X)\) ; il est compatible aux images réciproques.

Pour \(X = \mathbb{P}(E)\), on a canoniquement \(\Phi^{n}(X) \simeq \mathbb{P}((S^{n}E)^{\vee})\).³⁵ Une section de \(\Phi^{n}(X)\) sur \(Y\) est donc un sous-module inversible de \(S^{n}E\), localement facteur direct, c'est-à-dire localement une section \(s\) de \(S^{n}E\) qui ne s'annule en aucun point de \(Y\), modulo \(\mathcal{O}_Y^{*}\) : une section du faisceau \((S^{n}E)^{\circ}/\mathcal{O}_Y^{*}\), où \((S^{n}E)^{\circ}\) désigne le faisceau des germes de sections partout non nulles. Or \(s\) est une section de \(\mathcal{O}_X(n)\) sur \(X = \mathbb{P}(E)\), et définit un diviseur positif \(\mathrm{div}(s)\) ; que \(s\) ne s'annule en aucun point de \(Y\) signifie que ce diviseur induit un diviseur sur chaque fibre. De plus \(\mathrm{div}(s) = \mathrm{div}(t)\) si et seulement si \(t = \rho s\) avec \(\rho \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X^{*}) = \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y^{*})\), puisque \(f_{*}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y\). Appelons diviseurs transversaux de degré \(n\) les diviseurs localement principaux positifs sur \(X\) qui induisent sur chaque fibre un diviseur de degré \(n\) — ce sont les diviseurs de Cartier effectifs relatifs. On a donc une injection de \(\Phi^{n}(X)(Y)\) dans l'ensemble \(\mathcal{D}^{(n)}(X/Y)\) de ces diviseurs, compatible à la localisation.

Elle est surjective : si \(D\) est transversal de degré \(n\), la question étant locale sur \(Y\), \(\mathcal{O}_X(D) \simeq \mathcal{O}_X(k)\) pour un \(k\) (\(\mathrm{Pic}\,\mathbb{P}(E) = \mathrm{Pic}\,Y \times \mathbb{Z}\)), et \(k = n\) par le degré sur une fibre ; \(D\) est donc le diviseur d'une section de \(\mathcal{O}_X(n)\). D'où un isomorphisme fonctoriel, compatible aux images réciproques, \[ \Phi^{n}(\mathbb{P}(E)) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{D}^{(n)}(\mathbb{P}(E)/Y). \] La notion de diviseur transversal est compatible à la descente — c'est la donnée d'un fibré inversible et d'une section régulière qui reste régulière sur chaque fibre —, et le degré d'un diviseur sur une variété de Brauer–Severi a un sens, invariant par extension du corps de base. D'où, par descente :

Théorème (page 59). Pour \(X\) un schéma de Brauer–Severi sur \(Y\), les sections de \(\Phi^{n}(X)\) sont les diviseurs positifs transversaux de degré \(n\) de \(X/Y\) ; autrement dit \(\Phi^{n}(X)\) représente le foncteur des diviseurs de Cartier effectifs relatifs de degré \(n\). Pour \(n = 1\), c'est le schéma de Brauer–Severi dual \(\check{X} = \underline{\mathrm{Div}}^{1}_{X/Y}\) annoncé à la page 40.

60–61

Un critère de transversalité (pages 60 et 61)

Soit \(X\) sur \(Y\) et \(\mathcal{R}_0(X)\) le faisceau des fractions totales de \(\mathcal{O}_X\) ; les sections de \(\mathcal{R}_0(X)^{*}/\mathcal{O}_X^{*}\) sont les idéaux fractionnaires divisoriels localement principaux, c'est-à-dire les diviseurs de Cartier. Un idéal positif \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) définit un sous-schéma fermé \(X'\).

Proposition. Soit \(X\) plat sur \(Y\), \(X\) et \(Y\) localement noethériens, \(X' \subset X\) un sous-schéma fermé, \(x \in X'\) d'image \(y\). Pour que \(X'\) soit divisoriel (localement défini par un non-diviseur de zéro) et \(Y\)-transversal en \(x\), il faut et il suffit que (i) \(X'\) soit \(Y\)-plat en \(x\) et (ii) \(X' \otimes k(y)\) soit divisoriel en \(x\) dans \(X \otimes k(y)\).

Démonstration. Nécessité : localement \(\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X/\varphi\mathcal{O}_X\), avec \(\varphi\) non diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_X\) et dans les fibres ; les suites \(0 \to \mathcal{O}_X \xrightarrow{\varphi} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0\) et leurs réductions modulo \(k(z)\) sont exactes, et le critère local de platitude donne la platitude de \(\mathcal{O}_{X'}\). Suffisance : de \(0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_{X'} \to 0\) et de la platitude de \(X'\) en \(x\), la suite reste exacte après \(\otimes k(y)\) ; comme \(\mathcal{O}_{X'} \otimes k(y)\) est divisoriel en \(x\), \((\mathcal{I} \otimes k(y))_x\) est monogène, donc (Nakayama) \(\mathcal{I} = \varphi\mathcal{O}_X\) au voisinage de \(x\), et \(\varphi\) n'est pas diviseur de zéro dans \(\mathcal{O}_X \otimes k(y)\). Soit \(I\) le noyau de \(\varphi : \mathcal{O}_X \to \mathcal{I}\) ; \(\mathcal{I}\) est plat (comme \(\mathcal{O}_X\) et \(\mathcal{O}_{X'}\)), donc \(0 \to I \otimes k \to \mathcal{O}_X \otimes k \to \mathcal{I} \otimes k \to 0\) est exacte, et l'injectivité de \(\varphi\) sur \(\mathcal{O}_X \otimes k\) donne \(I \otimes k = 0\), d'où \(I = 0\) près de \(x\) (Nakayama).³⁶

Corollaire. Stabilité par extension de la base. C'est le critère de platitude par fibres (EGA IV, 11.3.8) appliqué aux diviseurs de Cartier relatifs.

62–66

Le groupe de Brauer global (pages 62 à 66)

« Pour avoir des fondements solides et bien connus », la page se place en géométrie analytique complexe, la cohomologie étant prise pour la topologie usuelle, à coefficients dans des faisceaux de germes d'applications holomorphes ; on note \(\mathcal{O}_X^{*}\) le faisceau des germes de fonctions holomorphes inversibles.³⁷ Des suites exactes centrales \[ 1 \to \mathcal{O}_X^{*} \to \underline{\mathrm{GL}}_n \to \underline{\mathrm{PGL}}_n \to 1, \qquad 1 \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \underline{\mathrm{SL}}_n \to \underline{\mathrm{PGL}}_n \to 1, \] on tire, pour un fibré \(\gamma \in H^1(X, \underline{\mathrm{PGL}}_n)\), l'obstruction \(\partial\gamma \in H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) à relever le groupe structural à \(\mathrm{SL}_n\) ; l'obstruction à le relever à \(\mathrm{GL}_n\) est son image dans \(H^2(X, \mathcal{O}_X^{*})\), donc annulée par \(n\). Et l'image de \(H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) est exactement la \(n\)-torsion de \(H^2(X, \mathcal{O}_X^{*})\), par la suite de Kummer \(1 \to \mathbb{Z}/n \to \mathcal{O}^{*} \xrightarrow{n} \mathcal{O}^{*} \to 1\), exacte pour la topologie usuelle.

Les classes de \(\mathrm{PGL}_n\)-fibrés sont les classes de fibrés en algèbres de rang \(n^2\) localement isomorphes à \(M_n\) ; celles qui proviennent de \(\mathrm{GL}_n\) sont les \(\underline{\mathrm{End}}(E)\), \(E\) fibré vectoriel de rang \(n\). Le produit tensoriel fait de \[ \mathbb{B}(X) = \coprod_{n \ge 1} H^1(X, \underline{\mathrm{PGL}}_n) \] un monoïde commutatif, via \(\mathrm{PGL}_m \times \mathrm{PGL}_n \to \mathrm{PGL}_{mn}\) déduit de \(\mathrm{GL}_m \times \mathrm{GL}_n \to \mathrm{GL}_{mn}\). On déclare \(a \sim b\) s'il existe des classes triviales \(c\), \(d\) (provenant de fibrés vectoriels) avec \(ac = bd\)³⁸ ; c'est compatible au produit, et le quotient \(\mathrm{Br}(X)\) est un groupe, l'inverse de la classe d'une algèbre \(\mathcal{A}\) étant celle de l'algèbre opposée, car \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}^{\circ} \simeq \underline{\mathrm{End}}(\mathcal{A})\).

Pour \(a\) de rang \(m\) et \(b\) de rang \(n\), \(\partial(ab) = \iota_m \partial a + \iota_n \partial b\) dans \(H^2(X, \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})\), où \(\iota_m : \mathbb{Z}/m \to \mathbb{Z}/mn\) est l'inclusion (\(1 \mapsto n\)), puisque le produit de Kronecker envoie \(\mu_m \times \mu_n\) dans \(\mu_{mn}\) par \((\zeta, \xi) \mapsto \zeta\xi\). Via \(\mathbb{Z}/m \subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), on obtient un homomorphisme de monoïdes \(\mathbb{B}(X) \to H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), puis, par \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to \mathcal{O}^{*}\), \(x \mapsto e^{2i\pi x}\), vers \(H^2(X, \mathcal{O}_X^{*})\), qui tue les classes triviales. D'où un homomorphisme injectif \[ \mathrm{Br}(X) \hookrightarrow H^2(X, \mathcal{O}_X^{*}) \] d'image contenue dans l'image de \(H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), donc dans la torsion : si \(a\) a une image nulle, le fibré se relève à \(\mathrm{GL}_n\) et \(a\) est trivial.

Question 1. Tout élément de torsion de \(H^2(X, \mathcal{O}_X^{*})\) provient-il de \(\mathrm{Br}(X)\) ? Question 2, plus précise : tout élément de \(H^2(X, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) est-il de la forme \(\partial a\), \(a \in H^1(X, \underline{\mathrm{PGL}}_n)\) ?

La page 65 propose de les résoudre d'abord du point de vue topologique, avec le faisceau des germes continus, pour lequel \(H^2(X, \mathbb{C}^{*}_{\mathrm{cont}}) \simeq H^3(X, \mathbb{Z})\) : la classe canonique d'un espace d'Eilenberg–MacLane \(K(\mathbb{Z}/n, 2)\) est-elle de la forme \(\partial a\) ? sinon, tout élément de \(H^2(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) est-il l'obstruction d'un \(\mathrm{PGL}_n\)-fibré pour \(n\) convenable ? les éléments de torsion de \(H^3(X, \mathbb{Z})\) le sont-ils (« question 1 topologique ») ?³⁹ Puis il introduit le revêtement universel \(\widetilde{X}\), de groupe \(\pi\) ; comme \(H^1(\widetilde{X}, \mathbb{Z}/n) = 0\), la suite spectrale de Cartan–Leray donne \[ 0 \to H^2(\pi, \mathbb{Z}/n) \to H^2(X, \mathbb{Z}/n) \to H^2(\widetilde{X}, \mathbb{Z}/n)^{\pi} \to H^3(\pi, \mathbb{Z}/n), \] et pour les classes venant de \(H^2(\pi, \mathbb{Z}/n)\) il suffirait que \(H^1(\pi, \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})) \to H^2(\pi, \mathbb{Z}/n)\) soit surjectif — c'est-à-dire que toute classe soit l'obstruction d'une représentation projective de \(\pi\), qui donne un fibré plat \(\widetilde{X} \times^{\pi} \mathbb{P}^{n-1}\). À défaut, le soit-elle pour \(n\) convenable dans \(H^2(\pi, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), ou au moins dans \(H^2(\pi, \mathbb{C}^{*})\) ? La page 66 ferme le crochet ouvert page 65 sans conclure.⁴⁰

68–70

Restriction des scalaires (pages 67 à 70)

Soit \(k'/k\) une extension finie, \(S = \mathrm{Spec}\,k\), \(S' = \mathrm{Spec}\,k'\), et, pour un \(k'\)-schéma \(X'\) (quasi-projectif, pour que la restriction existe), \(X_1 = R_{k'/k}X' = \prod_{S'/S} X'\) sa restriction de Weil.

(i) \(X_1(k) = X'(k')\), par définition, sur toute base.

(ii) Pour un \(k'\)-schéma en groupes \(G'\) (lisse), \(H^1(k, G_1) \simeq H^1(k', G')\) : un torseur \(P'\) sous \(G'\) donne \(P_1 = \prod_{S'/S} P'\), formellement principal homogène sous \(G_1\), et non vide ; le foncteur \(P' \mapsto P_1\) est pleinement fidèle, et un argument de descente en fait une équivalence de catégories.⁴¹

(iii) Pour \(G' = M'\) commutatif, \(H^{i}(k, M_1) \simeq H^{i}(k', M')\) pour tout \(i\) (cohomologie galoisienne) : par les cochaînes de Čech, \(C^{*}(T/S, M_1) \simeq C^{*}(T'/S', M')\) pour \(T/S\) galoisien et \(T' = T \times_S S'\), et les \(T'\) sont cofinaux parmi les revêtements de \(S'\). C'est encore Shapiro : \(M_1(k_s) = M'(k' \otimes_k k_s)\) est un module induit, et, pour \(k'/k\) radiciel, \(k' \otimes_k k_s\) est une clôture séparable de \(k'\).

Le cas radiciel (page 69). Soit \(k'/k\) radiciel et \(M' = \mathbb{G}_{m,k'}\). On a une suite exacte \[ 1 \to \mathbb{G}_m \to R_{k'/k}\mathbb{G}_m \to U \to 1, \] avec \(U\) unipotent connexe de dimension \([k':k] - 1\) (de dimension \(1\) si \([k':k] = 2\), en caractéristique \(2\)). Comme \(H^{i}(k, R_{k'/k}\mathbb{G}_m) = H^{i}(k', \mathbb{G}_m)\) et \(H^1(k', \mathbb{G}_m) = 0\), la suite de cohomologie donne \[ H^1(k, U) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Br}(k) \to \mathrm{Br}(k')\bigr). \] Pour \(k = k_0((t))\), \(k' = k_0((t^{1/p}))\), \(k_0\) fini de caractéristique \(p\), la théorie du corps de classes local donne \(\mathrm{Br}(k) = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) et la restriction multiplie l'invariant par \(p\), d'où \(H^1(k, U) \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \neq 0\) — bien que, pour \(p = 2\), \(U\) soit une forme de \(\mathbb{G}_a\) : une forme non triviale, puisque \(H^1(k, \mathbb{G}_a) = 0\). Si \(k'^{p} \subset k\), on a \(pU = 0\) (la puissance \(p\)-ième envoie \(R_{k'/k}\mathbb{G}_m\) dans \(\mathbb{G}_m\)).

L'extension de \(U\) par \(\mathbb{G}_m\), qui se scinde sur \(\bar{k}\), n'est pas triviale sur \(k\) : sinon \(H^1(k, R_{k'/k}\mathbb{G}_m) = H^1(k, \mathbb{G}_m) \times H^1(k, U)\), et les deux premiers sont nuls. Autrement dit la décomposition de \(R_{k'/k}\mathbb{G}_m \otimes \bar{k}\) en partie multiplicative et partie unipotente n'est pas définie sur \(k\) : le radical unipotent géométrique ne descend pas, ce qui scinderait l'extension. C'est l'exemple type de ce qu'on appelle un groupe pseudo-réductif, réductif sur \(\bar{k}\) à son radical unipotent près sans l'être sur \(k\) (Borel–Tits ; voir Conrad, Gabber et Prasad, Pseudo-reductive groups, 2010).⁴²

La norme (page 70). Soit \(V\) le noyau de la norme \(N_{k'/k} : R_{k'/k}\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m\), et \(p^{e} = [k':k]\). Sur \(\bar{k}\), \(R_{k'/k}\mathbb{G}_m = \mathbb{G}_m \times U_0\), la norme vaut \(\lambda \mapsto \lambda^{p^{e}}\) sur \(\mathbb{G}_m\) et est triviale sur \(U_0\) ; donc \(V \otimes \bar{k} = \mu_{p^{e}} \times U_0\). Ainsi \(V\) n'est jamais lisse, et \((V \otimes \bar{k})_{\mathrm{réd}} = U_0\) est le radical unipotent ; on a une suite exacte \[ 0 \to \mu_{p^{e}} \to V \to U \to 0, \] non scindée. Si \([k':k] = p\), la norme est la puissance \(p\)-ième, \(V\) est réduit (sans être géométriquement réduit) et \[ V \simeq R_{k'/k}(\mu_p). \] ⁴³ Enfin, si \(G'\) est un groupe algébrique sur \(k'\) de centre \((\mu_p)_{k'}\), par exemple \(\mathrm{SL}_{p,k'}\), le centre de \(G_1 = R_{k'/k}G'\) est \(Z_1 = R_{k'/k}(\mu_p) = V\) (pour \([k':k] = p\)), et le sous-groupe réduit de \(Z_1 \otimes \bar{k}\) n'est pas défini sur \(k\).

72–92

Petits fourbis cohomologiques (pages 71 à 92)

La chemise (page 71) porte ce titre, de lecture douteuse pour « fourbis » ; il est répété au crayon dans la marge de la page 72.

72–73

Le théorème 90 tordu (pages 72 et 73)

Proposition. Soit \(k\) un corps, \(L/k\) une extension galoisienne finie de groupe \(\Gamma\)⁴⁴ , \(A\) une \(k\)-algèbre de dimension finie avec unité, \(A^{L} = A \otimes_k L\) munie de l'action de \(\Gamma\), et \(G = (A^{L})^{*}\). Alors \(H^1(\Gamma, G) = \lbrace 1\rbrace\), ainsi que \(H^1(\Gamma, G^{\psi})\) si \(\psi\) est un homomorphisme croisé de \(\Gamma\) dans le groupe des automorphismes de la \(L\)-algèbre \(A^{L}\), \(G^{\psi}\) désignant \(G\) muni de l'action tordue \(\sigma(\gamma)g = \psi(\gamma)(\gamma g)\). En particulier \(H^1(\Gamma, \mathrm{GL}_n(L)) = \lbrace 1\rbrace\).

Démonstration. Soit \(\varphi \in Z^1(\Gamma, G^{\psi})\) et, pour \(a \in A^{L}\), \[ x = \sum_{\gamma \in \Gamma} \varphi(\gamma)\,\sigma(\gamma)a . \] Le calcul de la page donne \(\sigma(\gamma)x = \varphi(\gamma)^{-1}x\), d'où, si \(x\) est inversible, \(\varphi(\gamma) = x\,(\sigma(\gamma)x)^{-1}\) : \(\varphi\) est un cobord. Il reste à trouver \(a\) avec \(x\) inversible. Soit \(P\) la fonction polynôme « norme réduite » sur \(A^{L}\), \(P(b) = \det(c \mapsto bc)\), qui ne s'annule pas exactement sur \(G\), et \[ \bar{P}\bigl((b_{\gamma})_{\gamma}\bigr) = P\Bigl(\sum_{\gamma} \varphi(\gamma)\, \psi(\gamma)(b_{\gamma})\Bigr), \] fonction polynôme sur \((A^{L})^{\Gamma}\) (produit indexé par \(\Gamma\)). Si \(x\) n'était jamais inversible, \(\bar{P}\) s'annulerait aux points \(b_{\gamma} = \gamma(a)\), \(a \in A^{L}\). Si \(k\) est infini, ces points sont denses pour la topologie de Zariski — ce sont les \(k\)-points d'une \(k\)-forme de l'espace \((A^{L})^{\Gamma}\), puisque \(L \otimes_k L \simeq L^{\Gamma}\) —, donc \(\bar{P}\) est identiquement nulle ; avec \(b_1 = 1\) et \(b_{\gamma} = 0\) pour \(\gamma \neq 1\), on trouve \(P(1) = 0\), absurde.⁴⁵

Reste le cas d'un corps fini, que la page commence pour \(\Gamma\) cyclique engendré par \(u\), \(u\lambda = \lambda^{q}\), avec \(\varphi(u^{k}) = a\,\sigma(u)a \cdots \sigma(u)^{k-1}a\), et abandonne sous des ratures. Il est couvert par le théorème de Lang de la page suivante, \((A^{L})^{*}\) étant le groupe des points d'un groupe algébrique connexe (un ouvert d'un espace affine).

74–76

Le théorème de Lang en cohomologie galoisienne (pages 74 à 76)

Proposition (Lang). Soit \(G\) un groupe algébrique connexe sur un corps fini \(k\), \(L/k\) une extension finie de groupe \(\Gamma\). Alors \(H^1(\Gamma, G(L)) = \lbrace e\rbrace\). Plus généralement, pour \(\psi\) un homomorphisme croisé de \(\Gamma\) dans \(\mathrm{Aut}(G_L)\) (automorphismes du groupe algébrique sur \(L\)), et \(G^{L\psi}\) le groupe \(G(L)\) muni de l'action \(\sigma(\gamma)g = \psi(\gamma)(g^{\gamma})\), on a encore \(H^1(\Gamma, G^{L\psi}) = \lbrace e\rbrace\).⁴⁶

Démonstration. Soit \(q = |k|\), \(n = [L:k]\) ; \(\Gamma\) est cyclique, engendré par \(f : \lambda \mapsto \lambda^{q}\), et l'on note \(u\) l'automorphisme correspondant de \(G(L)\). Soit \(\Omega\) une clôture algébrique de \(L\), \(\tilde{u}\) l'automorphisme de \(G(\Omega)\) défini par \(\lambda \mapsto \lambda^{q}\) — c'est le Frobenius \(F\) de \(G\), défini sur \(k\) — ; on a \(u^{n} = 1\) mais \(\tilde{u}^{n} \neq 1\), et les invariants de \(\tilde{u}^{n}\) dans \(G(\Omega)\) sont \(G(L)\). Soit \(\tilde{\psi}\) l'automorphisme de \(G_{\Omega}\) prolongeant \(\psi(f)\), et \(\tilde{v} = \tilde{\psi} \circ \tilde{u}\), qui induit \(v = \sigma(f)\) sur \(G(L)\). La relation de cocycle de \(\psi\) donne \((*)\) \(\tilde{\psi}\,\tilde{\psi}^{\tilde{u}} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{n-1}} = 1\), d'où \(\tilde{v}^{n} = \tilde{u}^{n}\) (par récurrence, \(\tilde{v}^{k} = \tilde{\psi}\,\tilde{\psi}^{\tilde{u}} \cdots \tilde{\psi}^{\tilde{u}^{k-1}} \tilde{u}^{k}\)).⁴⁷

Un cocycle \(\varphi \in Z^1(\Gamma, G^{L\psi})\) est donné par \(a = \varphi(u) \in G(L)\) avec \((**)\) \(a\,a^{v}a^{v^{2}} \cdots a^{v^{n-1}} = 1\). On cherche \(b \in G(L)\) avec \(a = b\,(b^{v})^{-1}\). Il suffit de trouver \(b \in G(\Omega)\) avec \(a = b\,(b^{\tilde{v}})^{-1}\) : alors \(a^{v^{k}} = b^{\tilde{v}^{k}}(b^{\tilde{v}^{k+1}})^{-1}\), et le produit télescopique \((**)\) donne \(b = b^{\tilde{v}^{n}} = b^{\tilde{u}^{n}}\), donc \(b \in G(L)\). On est ramené au théorème géométrique suivant.

Lemme (page 76). Soit \(G\) un groupe algébrique connexe sur un corps algébriquement clos \(\Omega\) de caractéristique \(p\), défini sur \(\mathbb{F}_q\), et \(\psi\) un automorphisme du groupe algébrique \(G\). Alors l'application \[ \theta : G \to G, \qquad x \longmapsto x\,\bigl(\psi\,x^{(q)}\bigr)^{-1}, \] où \(x^{(q)}\) est l'image de \(x\) par le Frobenius (l'automorphisme de \(G(\Omega)\) induit par \(\lambda \mapsto \lambda^{q}\)), est surjective.

La page calcule la différentielle de \(\theta\) en \(e\) : c'est l'identité, puisque celle de \(x \mapsto \psi x^{(q)}\) est \(d\psi(e)\) composée avec celle du Frobenius, qui est nulle. L'image de \(\theta\) contient donc un voisinage de \(e\). De plus \(\theta\) est un homomorphisme croisé, \(\theta(xy) = \theta(x)\,\mathrm{int}(\psi x^{(q)})\,\theta(y)\). Si \(G\) est commutatif, \(\theta\) est un homomorphisme, son image est un sous-groupe contenant un ouvert dense, donc ouvert et fermé, donc égal à \(G\) connexe. « Dans le cas général, on… » : la page s'arrête.

Le cas général se conclut par l'argument des orbites de la page 6 : \(G\) agit sur lui-même par \(g \cdot y = g\,y\,(\psi g^{(q)})^{-1}\), l'application d'orbite en chaque \(y\) a une différentielle bijective (même calcul), donc toutes les orbites sont ouvertes ; \(G\) étant irréductible, il n'y en a qu'une, et c'est l'orbite de \(e\), qui est l'image de \(\theta\).⁴⁸

77–79

Cohomologie d'un groupe muni d'un automorphisme (pages 77 à 79)

Les pages 77 à 79 donnent le langage où le lemme précédent devient la nullité d'une cohomologie : celui d'un groupe muni d'un automorphisme \(T\), modèle de \(G(\overline{\mathbb{F}}_q)\) muni du Frobenius.

Soit \(G\) un groupe sur lequel \(\mathbb{Z}\) opère par \(T\), et \(G_n\) le sous-groupe des \(x\) tels que \(T^{n}x = x\). On suppose \(G = \bigcup_n G_n\) (réunion filtrante pour la divisibilité : \(G_n \subset G_m\) si \(n \mid m\)).⁴⁹ Alors \(G_n\) est un \(\mathbb{Z}/n\)-groupe ; \(H^0(\mathbb{Z}/n, G_n) = G_1\), et \(H^1(\mathbb{Z}/n, G_n)\) est l'ensemble des \(\alpha \in G_n\) tels que \(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1\), modulo \(\beta \sim \alpha\) s'il existe \(u \in G_n\) avec \(\beta = u^{-1}\alpha\,Tu\). Pour \(n \mid m\), \(G_n = G_m^{N_{n,m}}\) avec \(N_{n,m} \simeq \mathbb{Z}/(m/n)\), et la suite d'inflation-restriction \[ 1 \to H^1(\mathbb{Z}/n, G_n) \xrightarrow{\ \mathrm{inf}\ } H^1(\mathbb{Z}/m, G_m) \to H^1(N_{n,m}, G_m)^{\mathbb{Z}/m} \] est exacte ; pour \(G\) commutatif, la périodicité de la cohomologie des groupes cycliques rend les \(H^{i}\), \(i > 1\), de peu d'intérêt.

Lemme 1. Si \(\alpha \in G\) vérifie \(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1\), alors \(\alpha \in G_n\) ; et si \(\alpha\), \(\beta\) vérifient cette condition et \(\beta = u^{-1}\alpha\,Tu\) avec \(u \in G\), alors \(u \in G_n\). (Appliquer \(T\) : \(\alpha\) et \(T^{n}\alpha\) sont tous deux l'inverse de \(T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha\) ; pour le second point, le produit télescope en \(u^{-1}T^{n}u = 1\).)

Lemme 2. L'image dans \(H^1(\mathbb{Z}/m, G_m)\), \(n \mid m\), de la classe de \(\alpha\) est représentée par le même \(\alpha\). (Trivial.)

On pose \(H^1(T, G) = \varinjlim_n H^1(\mathbb{Z}/n, G_n)\) ; par les lemmes 1 et 2, c'est l'ensemble des \(\alpha \in G\) tels que \(\alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha = 1\) pour un \(n\), modulo \(\beta \sim \alpha\) s'il existe \(u \in G\) avec \(\beta = u^{-1}\alpha\,Tu\). Pour \(G = G(\overline{\mathbb{F}}_q)\) et \(T\) le Frobenius, c'est la cohomologie galoisienne \(H^1(\mathbb{F}_q, G)\).

Lemme 3. Si \(x \mapsto x^{-1}Tx\) est surjective de \(G\) dans \(G\), alors \(H^1(T, G) = \lbrace e\rbrace\). (Lemmes 1 et 2.) Avec le lemme de la page 76, c'est le théorème de Lang : \(H^1(\mathbb{F}_q, G) = 1\) pour \(G\) connexe.

Lemme 4. Soit \(1 \to G' \to G \to G'' \to 1\) une suite exacte de \(\mathbb{Z}\)-groupes (\(T\) stabilise \(G'\)). Supposons que, pour tout \(\alpha \in G\) représentant une classe, l'application \(v \mapsto v^{-1}\,\alpha\,T(v)\, \alpha^{-1}\) de \(G'\) dans \(G'\) soit surjective. Alors \(H^1(T, G) \to H^1(T, G'')\) est injectif.⁵⁰ En effet, si \(\beta\) et \(\alpha\) ont même image, on se ramène à \(\beta = t\alpha\), \(t \in G'\), et l'on cherche \(v \in G'\) avec \(t\alpha = v^{-1}\alpha\,Tv\), soit \(t = v^{-1}\sigma T(v)\), \(\sigma = \mathrm{int}(\alpha)\).

Surjectivité. Soit \(\alpha \in G\) dont l'image dans \(G''\) est un cocycle, \(c = \alpha\,T\alpha \cdots T^{n-1}\alpha \in G'\). On cherche \(t \in G'\) tel que \(\beta = t\alpha\) soit un cocycle. Le développement de la page donne \[ \beta\,T\beta \cdots T^{n-1}\beta = t\,\sigma_1T(t)\,\sigma_2T^{2}(t) \cdots \sigma_{n-1}T^{n-1}(t)\cdot c, \] où \(\sigma_i\) est l'automorphisme intérieur défini par \(\alpha\,T\alpha \cdots T^{i-1}\alpha\), qui stabilise \(G'\).⁵¹ D'où :

Lemme 5. Supposons que, pour toute suite \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}\) d'automorphismes de \(G'\) induits par des automorphismes intérieurs de \(G\), l'application \(x \mapsto x\,\sigma_1T(x) \cdots \sigma_{n-1}T^{n-1}(x)\) de \(G'\) dans \(G'\) soit surjective. Alors \(H^1(T, G) \to H^1(T, G'')\) est surjectif.⁵²

80–83

Torsion par un cocycle, éléments automorphes (pages 80 à 83)

Soit \(\Gamma\) un groupe, \(G\) un \(\Gamma\)-groupe, \(M\) un \(\Gamma\)-ensemble sur lequel \(G\) opère de façon compatible, \(\gamma(gm) = (\gamma g)(\gamma m)\), et \(f\) un \(1\)-cocycle, \(f(\gamma\gamma') = f(\gamma)\,\gamma f(\gamma')\). Alors \[ \gamma_f\,m = f(\gamma)\,\gamma m \] est une nouvelle action de \(\Gamma\) sur \(M\) (le calcul de la page le vérifie), et l'on note \(M_f\) le \(\Gamma\)-ensemble tordu ; la loi de groupe de \(G\) ne sert qu'à travers son action. Pour \(G\) opérant sur lui-même par automorphismes intérieurs, \(\gamma_f\,g = f(\gamma)\,\gamma g\,f(\gamma)^{-1}\) est une nouvelle structure de \(\Gamma\)-groupe \(G_f\), et \(\gamma_f(gm) = \gamma_f(g)\,\gamma_f(m)\) : \(M_f\) est un \(G_f\)-\(\Gamma\)-ensemble. C'est la torsion de la cohomologie non abélienne (Serre, Cohomologie galoisienne, I, §5).

Les invariants \(M_f^{\Gamma}\) sont les \(m\) tels que \(\gamma m = f(\gamma)^{-1}m\) pour tout \(\gamma\) — des « éléments \(f\)-automorphes ». Si \(M\) porte des structures invariantes par \(\Gamma\) et \(G\), \(M_f\) les garde ; pour \(M\) abélien on peut considérer les \(H^{i}(\Gamma, M_f)\). Si \(f'(\gamma) = a^{-1}f(\gamma)\,\gamma a\), l'application \(u_a : m \mapsto am\) est un isomorphisme \(M_{f'} \to M_f\).⁵³ Réciproquement, en prenant \(M = G\) opérant par translations à gauche, un isomorphisme \(M_{f'} \simeq M_f\) compatible aux translations à droite est une translation à gauche par un \(c\), et force \(f'(\gamma) = c^{-1}f(\gamma)\,\gamma c\).⁵⁴

Moyennes (page 82). Pour \(\Gamma\) fini et \(M\) abélien, \(N_f\,m = \sum_{\gamma} f(\gamma)\,\gamma m\) est dans \(M_f^{\Gamma}\). Pour \(G = A^{*}\), \(A\) un anneau, et \(u \in A\), si \(x = N_f u\) est inversible, alors \(f(\gamma) = x\,\gamma(x)^{-1}\) et \(f\) est un cobord. Pour \(\Gamma\) infini, on essaie des moyennes infinies : « c'est la construction des fonctions zéta-fuchsiennes de Poincaré ». Le rapprochement est juste : les séries de Poincaré (1884) fabriquent des fonctions automorphes vectorielles pour un facteur d'automorphie à valeurs matricielles, qui est un \(1\)-cocycle d'un groupe fuchsien, par exactement cette moyenne.

Exemple (pages 82 et 83). Soit \(\Gamma\) fini opérant fidèlement sur un corps \(K\), et \(A\) une \(K\)-algèbre de dimension finie munie d'une action semi-linéaire de \(\Gamma\). Alors \(H^1(\Gamma, A^{*}) = \lbrace 1\rbrace\). On montre d'abord que \(A\) a une base d'éléments invariants — lemme de descente galoisienne (de Speiser), qui ne sert pas la structure d'algèbre ni la dimension finie — ; dans cette base, la condition que \(\sum f(\gamma)\,\gamma a\) soit inversible s'écrit \(P \neq 0\) pour un polynôme \(P\), et \(P(\sum f(\gamma)\,\gamma(a_{\gamma}))\) est un polynôme \(R\) en les \(n|\Gamma|\) quantités \(\gamma(a^{i}_{\gamma})\). Si \(K\) est infini et que \(P\) s'annule pour tous les \(a\), le théorème d'indépendance algébrique des automorphismes rend \(R\) identiquement nul ; avec \(a_{\gamma_0} = 1\) et \(a_{\gamma} = 0\) ailleurs, \(P(f(\gamma_0)) = 0\), absurde puisque \(f(\gamma_0)\) est inversible. Si \(K\) est fini, on utilise Lang. Cas particulier : \(H^1(\Gamma, K^{*}) = 0\) (Hilbert 90), où l'indépendance linéaire des automorphismes (Dedekind) suffit.

84–89

Une version semi-locale (pages 84 à 89)

Énoncé (page 84). Soit \(\mathcal{O}\) un anneau semi-local noethérien, \(\Gamma\) un groupe fini opérant fidèlement sur \(\mathcal{O}\) et transitivement sur ses idéaux maximaux, \(\Gamma_d\) le groupe de décomposition d'un idéal maximal \(\mathfrak{m}\), qui opère sur \(k = \mathcal{O}/\mathfrak{m}\), et \(\Gamma_i \subset \Gamma_d\) le groupe d'inertie, noyau de cette action. Soit \(A\) une \(\mathcal{O}\)-algèbre finie⁵⁵ munie d'une action de \(\Gamma\) semi-linéaire, \(\gamma(\lambda a) = (\gamma\lambda)(\gamma a)\). Alors les applications \[ H^1(\Gamma, A^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma_d, A_{\mathfrak{m}}^{*}) \longrightarrow H^1(\Gamma_i, A_{\mathfrak{m}}^{*}) \] sont injectives. Dans le cas le plus important, \(\Gamma_i\) opère trivialement sur \(A/\mathfrak{m}A\) et \(H^1(\Gamma_i, (A/\mathfrak{m}A)^{*})\) est formé de classes d'homomorphismes.

La première flèche (pages 85 et 86). Les complétés \(\hat{\mathcal{O}} = \prod_i \hat{\mathcal{O}}_{\mathfrak{m}_i}\) et \(\hat{A} = \prod_i B_i\), \(B_i = \hat{A}_{\mathfrak{m}_i}\), portent l'action de \(\Gamma\) ; \(\Gamma_d\) stabilise \(B_0\) et \(\Gamma\) permute les \(B_i\) transitivement, de stabilisateur \(\Gamma_d\), de sorte que \(\hat{A}^{*}\) est induit et, par le lemme de Shapiro (non commutatif), \[ H^1(\Gamma, \hat{A}^{*}) \simeq H^1(\Gamma_d, \hat{A}_{\mathfrak{m}}^{*}). \] ⁵⁶ Il suffit donc de voir que \(H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma, \hat{A}^{*})\) est injective. Soient \(f\), \(g\) deux cocycles de même image : il existe \(u \in \hat{A}^{*}\) avec \(u\,g(\gamma) = f(\gamma)\,\gamma(u)\). Considérons l'application \[ \varphi : A \longrightarrow \prod_{\gamma \in \Gamma} A, \qquad u \longmapsto \bigl(u\,g(\gamma) - f(\gamma)\,\gamma(u)\bigr)_{\gamma}, \] linéaire sur \(\mathcal{O}^{\Gamma}\). Comme \(\mathcal{O}^{\Gamma}\) est semi-local noethérien et \(\mathcal{O}\), donc \(A\), de type fini sur lui, la topologie \(\mathfrak{m}\)-adique de \(A\) est la même pour \(\mathcal{O}\) et pour \(\mathcal{O}^{\Gamma}\), et le noyau \(\hat{N}\) de \(\hat{\varphi}\) est l'adhérence de \(N = \mathrm{Ker}\,\varphi\) (platitude de la complétion, ou Artin–Rees). L'élément \(u \in \hat{N}\) est donc approché par \(v \in N\), \(v \equiv u\) modulo \(\mathfrak{m}^{r}\hat{A}\) ; \(v\) est inversible dans \(\hat{A}\), donc dans \(A\) (descente fidèlement plate), et \(g(\gamma) = v^{-1}f(\gamma)\,\gamma(v)\). La même diagonale donne l'injectivité de \(H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma_d, A^{*}_{\mathfrak{m}})\).⁵⁷

La seconde flèche (pages 86 à 89). On suppose \(\mathcal{O}\) local (\(\Gamma = \Gamma_d\)). Une tentative par le carré des réductions modulo \(\mathfrak{m}\) est barrée (bas de la page 86, haut de la page 87). Ce qui reste est l'argument suivant. Par torsion, l'injectivité se ramène à la trivialité du noyau : si \(g = u^{-1}f\,\gamma(u)\) sur \(\Gamma_i\), on tord l'action de \(\Gamma\) sur \(A\) par \(f\), \(\gamma_f(x) = f(\gamma)\,\gamma x\, f(\gamma)^{-1}\), ce qui fait de \(A_f\) une \((\mathcal{O}, \Gamma)\)-algèbre de même nature, et \(h(\gamma) = g(\gamma)f(\gamma)^{-1}\) est un cocycle à valeurs dans \(A_f^{*}\), trivial sur \(\Gamma_i\) ; il s'agit de voir qu'il est trivial sur \(\Gamma\). La suite d'inflation-restriction \[ 1 \to H^1(\Gamma/\Gamma_i, G^{\Gamma_i}) \to H^1(\Gamma, G) \to H^1(\Gamma_i, G) \] ramène à \(H^1(\Gamma', A'^{*}) = \lbrace 1\rbrace\), où \(\Gamma' = \Gamma/\Gamma_i\), \(A' = A^{\Gamma_i}\), \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}^{\Gamma_i}\) : \(\mathcal{O}'\) est local noethérien, \(\mathcal{O}\) et \(A\) sont de type fini sur lui, et \(\Gamma'\) opère fidèlement sur son corps résiduel.⁵⁸

On est ramené au cas \(\Gamma_i = \lbrace e\rbrace\). Alors \(H^1(\Gamma, (A/\mathfrak{m}A)^{*}) = 1\) par l'exemple des pages 82 et 83 (indépendance algébrique des automorphismes, ou Lang si \(k\) est fini). Par récurrence sur \(n\), la suite exacte de \(\Gamma\)-groupes \[ 1 \to N_n \to (A/\mathfrak{m}^{n+1}A)^{*} \to (A/\mathfrak{m}^{n}A)^{*} \to 1, \qquad N_n = 1 + \mathfrak{m}^{n}A/\mathfrak{m}^{n+1}A \simeq \mathfrak{m}^{n}A/\mathfrak{m}^{n+1}A, \] où \(N_n\) est un \(k\)-espace vectoriel à action semi-linéaire, donc isomorphe à une somme de copies de \(k\) (Speiser), avec \(H^1(\Gamma, k) = 0\), donne \(H^1(\Gamma, (A/\mathfrak{m}^{n}A)^{*}) = 1\) pour tout \(n\). On en conclut \(H^1(\Gamma, A^{*}) = 1\) : si \(f\) est trivial modulo chaque \(\mathfrak{m}^{n}A\), il y a des \(u_n \in A^{*}\) avec \(\varphi(u_n) \in \mathfrak{m}^{n}\prod A\) (pour \(g = 1\)), et, par Artin–Rees appliqué à l'application \(\varphi\) de la page 85, un élément de \(N\) congru à \(u_n\) modulo \(\mathfrak{m}^{n-c}A\), inversible pour \(n\) grand.⁵⁹

90–92

Le cas d'une action triviale sur le corps résiduel (pages 90 à 92)

Soit \(\mathcal{O}\) local, \(\Gamma\) opérant trivialement sur \(k = \mathcal{O}/\mathfrak{m}\), \(A\) une \((\mathcal{O}, \Gamma)\)-algèbre finie, et supposons que \(A^{\Gamma} \to A/\mathfrak{m}A\) soit surjectif.⁶⁰ Soit \(p\) la caractéristique de \(k\) et \(\Lambda\) un \(p\)-sous-groupe de Sylow de \(\Gamma\) (\(\Lambda = \lbrace e\rbrace\) en caractéristique nulle). Alors un élément de \(H^1(\Gamma, A^{*})\) dont les images dans \(H^1(\Gamma, (A/\mathfrak{m}A)^{*})\) et dans \(H^1(\Lambda, A^{*})\) sont triviales est trivial ; en particulier, si \(p\) ne divise pas \(|\Gamma|\), le noyau de \(H^1(\Gamma, A^{*}) \to H^1(\Gamma, (A/\mathfrak{m}A)^{*})\) est trivial.⁶¹

Démonstration. Soit \(\varepsilon : A \to A/\mathfrak{m}A\) la réduction. On montre par récurrence sur \(n\) que \(f\) est trivial modulo \(\mathfrak{m}^{n}A\) ; on conclut par Artin–Rees comme plus haut. Supposons-le modulo \(\mathfrak{m}^{n}A\) ; on peut supposer \(\mathfrak{m}^{n+1}A = 0\) et, quitte à remplacer \(f\) par un cocycle cohomologue, \(f(\gamma) = 1 + g(\gamma)\) avec \(g(\gamma) \in \mathfrak{m}^{n}A\) et \(g(\gamma\gamma') = g(\gamma) + \gamma g(\gamma')\). L'hypothèse sur \(\Lambda\) donne \(u \in A^{*}\) avec \(1 + g(\gamma) = u^{-1}\gamma(u)\), soit \(\gamma(u) - u = u\,g(\gamma) = \varepsilon(u)\,g(\gamma)\) pour \(\gamma \in \Lambda\), \(\mathfrak{m}^{n}A\) étant un \(A/\mathfrak{m}A\)-module. Soit \(v \in A^{\Gamma}\) avec \(\varepsilon(v) = \varepsilon(u)\) ; alors \(g(\gamma) = \gamma(v^{-1}u) - v^{-1}u\) sur \(\Lambda\) : \(g\) est un cobord dans \(H^1(\Lambda, A)\) (cohomologie additive). Comme \(\nu = [\Gamma : \Lambda]\) est premier à \(p\), la multiplication par \(\nu\) est bijective sur \(A\) (elle l'est sur chaque \(\mathfrak{m}^{i}A/\mathfrak{m}^{i+1}A\), espace vectoriel sur \(k\)), et la restriction \(H^1(\Gamma, A) \to H^1(\Lambda, A)\) est injective (corestriction). Il existe donc \(w \in A\) avec \(g(\gamma) = \gamma(w) - w\) pour tout \(\gamma \in \Gamma\) ; en modifiant \(w\) par un élément de \(A^{\Gamma}\), on peut supposer \(\varepsilon(w) = 1\), donc \(w \in A^{*}\), et alors \(g(\gamma) = w^{-1}g(\gamma) = w^{-1}\gamma(w) - 1\), c'est-à-dire \(1 + g(\gamma) = w^{-1}\gamma(w)\) : \(f\) est trivial modulo \(\mathfrak{m}^{n+1}A\).⁶²

94–94

Contre-exemples à passage au quotient (pages 93 et 94)

Sous une chemise grise (page 93), la page 94, intitulée en marge « Impossibilité des passages aux quotients », esquisse un argument. Soit \(k\) un corps, \(S = \mathrm{Spec}\,k\), et un groupe \(G\) opérant sur \(\mathbb{P}^{N}_S\) à travers \(\mathrm{PGL}_{N+1}\), sans caractère non trivial ; soit \(V\) un ouvert invariant sur lequel \(G\) opère librement, et supposons que le quotient \(W = V/G\) existe « effectivement », \(V \to W\) étant un \(G\)-torseur. Alors le faisceau anticanonique \(L = \mathcal{O}(N+1) \simeq (\Omega^{N}_{\mathbb{P}^N/S})^{-1}\), canoniquement \(G\)-linéarisé, descend à \(W\), et le faisceau descendu est ample : tout ouvert affine de \(\mathbb{P}^N\) est le complémentaire d'une hypersurface, donc le lieu de non-annulation d'une section de \(L^{\otimes m}\), \(m > 0\) ; pour un ouvert affine \(G\)-stable, cette section est semi-invariante, donc invariante puisque \(G\) n'a pas de caractère non trivial, et descend. A fortiori \(W\) est quasi-projectif. La conclusion, « donc si \(G\) opère librement dans \(V\) [cinq mots illisibles] ; \(V/G\) n'existe pas », suppose une situation où un tel \(W\) ne peut pas être quasi-projectif, que la page ne précise pas.⁶³

Au bas de la page, quelques lignes en anglais, barrées et plusieurs fois corrigées, parlent de libérer la création du poids des concepts et des outils techniques ; elles ne se rattachent à rien d'autre du dossier.