Cote n° 45, pages 61–79

Cote n° 45 · batch 4 · pages 61–79 · Transcription · Groupes semi-simples : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (1961)
Datation de l’inventaire : 1961-[vers 1970]
Édition de démonstration

la page porte deux fois le même schéma de flèches entre catégories de formes. Le premier, en haut, est barré de grands traits courbes et de hachures ; on en donne les éléments lisibles : un cadre « Spéc Bil typ \(\to\) Spéc. Bil unimod », puis « Bil typ. », « Bil unimod », « Bil », « Quad unimod », « Quad typ. » (ce dernier mot surchargé), « Quad », avec \(\text{Bil} \rightleftarrows \text{Quad}\), et « Mod » au bas, où aboutissent trois flèches, dont une venant d'un « Alt » biffé ; « Spéc Bil typ / Spéc Bil unimod », hachuré ; « Alt \(\leftarrow\) Spéc. Alt » ; « N.B. ». Le second, en bas, est propre ; on le redonne ci-dessous

\[ (ax - by)^2 + (cx + dy)^2 = x^2 + y^2 \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} a^2 + c^2 = 1 \\ b^2 + d^2 = 1 \\ 2(-ab + cd) = 0 \end{array} \right. \] en haut à droite, dans la partie barrée ; la fin du second membre est surchargée, la lecture \(x^2 + y^2\) est douteuse, de même que le signe de la dernière ligne ; le second membre commençait par « \(ax^2 + \ldots\) », biffé ; à côté, un mot souligné deux fois, non lu ([…])

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\text{Spéc Bil typ.} \arrow[r] \arrow[d] & \text{Bil typ} \arrow[d] & \text{Quad unim.} \arrow[dl] \arrow[d] & \text{Alt} \arrow[ddd] & \text{Spéc Alt} \arrow[l] \arrow[ddd] \\
\text{Spéc Bil unim.} & \text{Bil unim.} \arrow[d] & \text{Quad typ.} \arrow[d] & & \\
 & \text{Bil} \arrow[r, bend left=15] & \text{Quad} \arrow[l, bend left=15] & & \\
 & & \text{Mod} & \text{Mod unim.} \arrow[l] & \text{Spéc Mod unim.} \arrow[l]
\end{tikzcd}

schéma redessiné. « Spéc Bil typ. / Spéc Bil unim. » et « Bil typ / Bil unim. / Bil » sont chacun entre crochets. Plusieurs traits n'ont pas de pointe visible ; on les a orientés vers le bas, comme ceux qui en ont une. Les deux traits partant de « Alt » et de « Spéc Alt » descendent en biais ; on les fait aboutir à « Mod unim. » et à « Spéc Mod unim. », au début desquels ils s'arrêtent. Isolés au bas de la page : « M. » et « N »

\[ e \to SO(2m) \to O(2m) \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to e \] sous \(SO(2m)\), « centre \(\mu_2\) », puis, sous une accolade, « centre \(\mu_2\) » (la première écriture surchargée) ; de \(O(2m)\) part un trait pointillé vers « produit semi-direct » ; sous \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), une flèche verticale, et « dét \(\to\) » vers un \(\mathbb{G}_m\) noirci \[ e \to SO(2m+1) \to O(2m+1) \to \mu_2 \to e \] même disposition : « centre \(\mu_2\) » (la première fois surchargé), « prod. semi-direct », et sous \(\mu_2\) une flèche verticale vers \(\mathbb{G}_m\), marquée « dét »

Pour tout entier \(m\), on a

LaTeX source

\begin{tikzcd}
e \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] & \mathrm{Pin}(m) \arrow[r] & O(m) \arrow[r] & e \\
e \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & \mathrm{Spin}(m) \arrow[r] \arrow[u] & SO(m) \arrow[r] \arrow[u, hook] & e
\end{tikzcd}

à côté de la flèche verticale du milieu, le mot « Spinoriel », biffé ; l'égalité de gauche est deux traits verticaux

\(x\), \(x'\) […] car. \(2\) \(\lambda\) en haut à droite ; à gauche des formules suivantes, un petit carré dessiné \[\begin{gather*} (x, y) \longmapsto (\lambda x + u(y),\ y) \\ (\lambda(x) + u(y))^2 + Q_0(y) \\ \lambda^2 x^2 + u(y)^2 = x^2 \\ u(y)^2 = 0 \\ \lambda^2 = 1 \\ u(y)^2 = \\ \underline{\lambda^2 = 1} \qquad \mu_2 \\ (\mu_2\ \ \alpha_2\ \ \alpha_2\ \ \ldots\ \ \alpha_2) \end{gather*}\] la première formule est surchargée (\(\lambda\) et \(u(y)\) écrits par-dessus d'autres signes) ; le « \(Q_0\) » est lu sur un signe peu formé. La dernière ligne est entre grandes parenthèses

\(\lambda\ \ldots\) \[\begin{gather*} (\xi, y) \longmapsto (\lambda \xi + u(y),\ y) \\ \lambda^2 = 1 \qquad u(y)^2 = 0 \\ \lambda' \lambda \xi + \lambda' u(y) + u'(y) \\ (\lambda', u')(\lambda, u) = (\lambda' \lambda,\ \lambda' u + u') \\ \mu_2 . \end{gather*}\]

Formes bilinéaires sym. forment un anneau

Les formes alternées sur modules sur cet anneau

Les formes quadratiques également les deux lignes sont réunies par une accolade ; « alternées » et « modules » sont d'une lecture douteuse

F […] […]

\(H^1(S, \mu_2)\) le \(H^1\) surcharge un autre signe ; une flèche en part vers la ligne suivante

Bil \(\lambda\)-anneau […] Alt Module Quad Module

les deux dernières lignes sont réunies par un crochet marqué « \(\pi\) », d'où part une flèche vers la première ; à gauche, un signe hachuré et un petit schéma biffé portant \(\alpha\) et \(\beta\)

Bil \(+\) Alt \(\lambda\)-module gradué par \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)

muni d'un élément privilégié d'augm. \(2\)

muni d'un élément privilégié d'augm. \(1\) « Bil \(+\) Alt » est séparé du reste par un trait vertical ; les deux dernières lignes sont en face de « Alt Module » et « Quad Module » ; « privilégié » est surchargé la première fois

\(A\) \(M\) \(f(xy)z = x f(yz)\)

\(\lambda\)-anneau \(Q(x \wedge y) =\) \(f \leadsto Q\) \((Q \otimes f') \, (\Sigma x_i\) la dernière formule est inachevée et son \(\Sigma\) surchargé ; au-dessus, un signe isolé, peut-être \(\mathfrak{g}^2\)

\[ f(x \wedge y, x \wedge y) = \begin{vmatrix} f(x, x) & f(x, y) \\ f(y, x) & f(y, y) \end{vmatrix} = Q(x, x) Q(y, y) - f(x, y)^2 \] \[ Q(x \wedge y) = Q(x, x) Q(y, y) - f(x, y)^2 \] la matrice est écrite entre grandes parenthèses

\(\alpha(Q \otimes\) \(\alpha(f \otimes f') =\) \(\alpha(f) = f \otimes \alpha(1)\) \(\beta(\)

le tiers droit de la page est écrit la feuille tournée d'un quart de tour ; on le donne remis droit, de haut en bas \[\begin{gather*} e_1 e_2 = e_1^2 = 0 \\ (x e_1 + y e_2)(x' e_1 + y' e_2) = y y' \\ (e_1 + e_2)(e_1 + e_2) \qquad e_1 + e_2 - \ldots + e_n \qquad \Sigma x_i^2 \\ e_1\ \ \underbrace{e_2\ e_3 - \ldots}\ \ e_1 - e_2 \\ e_1,\ e_1 - e_2,\ e_1 - e_3,\ \ldots,\ e_1 - e_n \\ e'_i e'_j = 0 \quad i, j \neq 1 \\ a_{11} x_1 x'_1 + \sum_{1 \leq i < j} a_{ij} (x_i x'_j + x_j x'_i) \qquad (e_1 - e_i)(e_1 - e_j) = 1 \\ a_{11} x_1 x'_1 \end{gather*}\] en tête, « \(x\,x^2\) » biffé ; à côté, un petit dessin d'axes marqué « ad \(t\) ». Les lignes \((x e_1 + \ldots) = y y'\) et \((e_1 + e_2)(e_1 + e_2)\) paraissent barrées ; les indices de la somme sont surchargés (\(i \neq j\) corrigé en \(1 \leq i < j\)). Sous \(e_2 e_3 - \ldots\), une accolade avec deux mots non lus, et à gauche « […] » ; « \(i, j \neq 1\) » est d'une lecture douteuse

\[ 0 \longrightarrow \Sigma^2(\check E) \longrightarrow \mathrm{Symm}^2(E) \longrightarrow \Sigma^2(\check E) \longrightarrow \mathrm{Symm}^2(E) \] au-dessus des deux premiers termes, les rangs \(\frac{n(n+1)}{2}\) ; sous chaque flèche du milieu, un triangle passant par \(\check E^{(2)}\), la descente marquée « surj », la montée « inj » ; au bout, \(\times \otimes x\) biffé

\[ \textstyle\sum a_{ij} x_i x_j \leadsto \sum a_{ij} x_i \otimes x_j \] \[ 0 \to \mathrm{Alt}^2(\check E) \to \Sigma^2(\check E) \to \mathrm{Symm}^2(\check E) \to \mathrm{Alt}^2(\check E) \to 0 \] sous la flèche du milieu, un triangle passant par \(\check E^{(2)}\) \[ 0 \to \check E^{(2)} \to \mathrm{Symm}^2(\check E) \to \Sigma^2(\check E) \to \check E^{(2)} \to 0 \] sous la flèche du milieu, un triangle passant par \(\mathrm{Alt}^2(\check E)\)

\[ \boxed{\mathrm{Im} = \mathrm{Ker} = \mathrm{Alt}^2(\check E) \qquad \Sigma^2(\check E) \rightleftarrows \mathrm{Symm}^2(\check E) \qquad \mathrm{Im} = \mathrm{Noyau} = \check E^{(2)}} \] dans un cadre ; les deux flèches entre \(\Sigma^2\) et \(\mathrm{Symm}^2\) sont deux arcs

\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{C} = \mathbb{R}[i]\) \(K = \mathbb{R}[i, j, k] = \mathbb{C} \mathbin{\bar\otimes} \mathbb{C}\) \(M_2(\mathbb{C})\) \(M_2(K)\) colonne en haut à droite, séparée du reste par un trait ; le signe au-dessus du \(\otimes\) est peu formé

[…] \(+\) Alternée […] \(+\) bilin. […]. \(\Sigma X_i\) \(f \otimes f'(x \otimes x', y \otimes y') = f(x, y)\, f'(x', y')\) le premier \(\otimes\) de la formule surcharge un autre signe

Alt Forme quadratique

Forme bilinéaire symétr.

Forme symplectique alternée les deux premières lignes sont réunies par une accolade, la troisième en a une à elle seule ; « alternée » est écrit au-dessus de « symplectique » biffé

Forme symplectique alternée \(\otimes\) Forme symplectique alternée \(\to\) forme symplectique bilinéaire bilin. sym. forme bilinéaire \(\otimes\) forme bil. \(\to\) forme altern. forme bil \(\otimes\) forme bil \(\to\) forme bil. Forme quadratique \(\otimes\) forme bil. \(\to\) forme quadr. forme quadratique \(\otimes\) forme alternée \(\to\) forme alternée Forme quadratique \(\otimes\) forme quadratique ?!..?

les trois premières lignes sont réunies par une accolade à gauche ; les corrections de la première sont écrites au-dessus des mots biffés, et la dernière est d'une lecture douteuse ; le mot biffé de la deuxième ligne n'est pas sûr

\(E^{2n}(S) = {}\) ens. des classes de couples \((E, F)\), \(E\) et \(F\) formes quadratiques admissibles de rangs […] pairs tels que \(\operatorname{rang} E - \operatorname{rang} F = {}\) « de rangs » est surchargé et « pairs » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; la ligne s'arrête sur le signe \(=\) ; l'exposant \(2n\) est d'une lecture douteuse

\[ x_1^2 + \cdots + x_n^2 + \struck{x_1 x_2}\ y_1 y_2 + y_3 y_4 + \cdots + y_{2m-1} y_{2m} \]

\(E^{n,m} = {}\) ens. des classes d'isom. de formes quadratiques régulières de type \((n, m)\)

\[ \coprod_{n, m \geq 0} E^{n,m}(S) = \bar E(S) \] est muni d'une structure de monoïde bigradué

Soit [N.B. Si \(2 \to\) […], alors \(E^{n,m} \simeq E^{n+2m, 0}\)

si \(2 = 0\), A […] alors \(E^{n,m} \simeq E^{1,m}\)

[…] […] […], […] […] […] […] […] […]

[…] […] \(E^{\alpha, 0}\) ou \(E^{1, \beta}\), ou \(E^{0, \gamma}\) … ] « \(2 \to\) […] » est peut-être « 2 inversible » ; l'exposant \(n+2m\) est d'une lecture douteuse ; sous le second \(E^{1,m}\), un petit signe

\(E(S)\) groupe associé au monoïde \[ E(S) \xrightarrow{\ \varepsilon_1 \times \varepsilon_2\ } \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \] à gauche, une formule barrée d'un grand trait oblique, « \(\coprod E^{n,m}(S) / n + \ldots\) » ; au-dessus, un signe \(=\) vertical la rattache à \(E(S)\)

\(E^{n,}\) inachevé

Commentaires sur l'article de A. Delzant sur les formes quadratiques

22.7.961 date de sa main, en haut à droite, à l'encre ; le deuxième chiffre surcharge un autre. Pages 71 à 74 : texte dactylographié, avec ses corrections à l'encre. Les lettres grecques (\(\varphi\), \(\xi\), \(\lambda\), \(\mu\)) et le \(\wp\) de la page 74 sont ajoutés à l'encre dans les blancs laissés par la machine

Du point de vue rédaction;

a) Il est très confusant de faire semblant de traiter en même temps la carc. \(\neq 2\) et la car. \(2\). Pour l'instant, même les structures qui entrent en jeu sont d'espèce différente, et le traitement des deux cas est vraiment différent. Si donc tu n'arrives pas à une théorie commune satisfaisante, laisse tomber la car. \(2\), ou mets dans un numéro à part ce que tu sais en dire.

b) Contrairement à ce que suggère la lecture de l'article, le rôle des \(\lambda\)-structures dans la théorie est pratiquement nul, dû au fait sans doute que la filtration naturelle de l'anneau des classes de formes quadratiques n'est autre que celle définie par les puissances de l'idéal d'augmentation. On récupère trivialement la \(\lambda\)-structure sur la forme explicite dudit anneau, et il suffit de le faire à la fin.

Du point de vue math., je suggère comme programme minimum raisonnable le suivant, qui est à portée immédiate:

1) Structure de l'anneau \(Q(A)\) des classes de formes quadratiques sur \(A\), ou pour l'instant \(A\) va être un corps de caractéristique \(\neq 2\). Pour \(a \in A^{*}\), soit \(\varphi_a\) la classe de la forme quadratique \(a\xi^2\), elle ne dépend que de \(a \bmod A^{*2}\), d'où un homomorphisme de \[ D(A) = A^{*}/A^{*2} = H^1(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \] dans \(Q(A)^{*}\), notée aussi \(a \to \varphi_a\), d'où un homomorphisme (*) \[ \varphi : \mathbb{Z}(D) \longrightarrow Q(A) \] où \(\mathbb{Z}(D)\) est l'algèbre du groupe \(D = D(A)\), à coéfficients dans \(\mathbb{Z}\). On prouvera alors le théorème suivant: « \(Q(A)^{*}\) » : un exposant tapé est surfrappé ; « (*) » et « \(\varphi :\) » sont ajoutés à l'encre

L'homomorphisme précédent est surjectif, son noyau est le sous-groupe engendré par les \(e_a + e_b - e_{a'} - e_{b'}\), pour \(a, b, a', b' \in D\) tels que \(\varphi_a + \varphi_b = \varphi_{a'} + \varphi_{b'}\). D'après un théorème de Witt, cette dernière relation équivaut aussi à dire que les formes des deux membres ont mêmes invariants, ce qui s'écrit plus simplement \[ a + b = a' + b' \quad , \quad a.b = a'.b' \] où \(D\) est écrit additivement, et où le produit \(a.b\) est le cup-produit, à valeurs dans \[ B = H^2(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \] ? un trait vertical au crayon dans la marge gauche, avec un point d'interrogation, en face de « relation équivaut aussi à dire » jusqu'à « à valeurs dans »

considéré comme sous-groupe du groupe de Brauer formé des éléments annulés par 2. Donc la struuture de \(Q(A)\) est connue quand on connait les groupes \(H^i(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\) pour \(i = 1, 2\), soient \(D\) et \(B\), et le cup-produit \(D \times D \to B\). L'énoncé précédent montre en effet même que le noyau de l'homomorphisme surjectif (*) est aussi le sous-groupe engendré par les éléments \[ e_{a+u+v} - e_{a+u} - e_{a+v} + e_a \] pour les éléments \(a, u, v\), dans \(D\) tels que \(uv = 0\). « même » est écrit à l'encre au-dessus de « en effet » biffé

On en conclut en particulier que le gradué associé à \(Q(A)\) est isomorphe au quotient de l'algèbre symétrique de \(D\) sur \(\mathbb{Z}\), par l'idéal engendré par les éléments d'ordre 2 de la forme \(ab - a'b'\), où \(a, b, a', b'\), sont comme ci-dessus, ou ce qui revient au, même, engendré par les éléments \(uv\) de \(\mathrm{Symm}^2(D)\) pour \(u, v\) \(D\) tels que \(u.v = 0\) dans \(B\) (N.B. il faudrait éclaircir si \(\mathrm{grad}^2 Q(A) \to B\) est tjs injectif, en d'autres termes si le noyau de \(\mathrm{Symm}^2(D)\) \(B\) est engendré par des éléments de la forme \(uv\)). le mot devant « injectif » est tapé puis surchargé, peut-être à l'encre ; lecture douteuse

On conclut du théorème de structure que si \(H^{\cdot}\) est un anneau gradué à degrés positifs, alors la donnée d'un homomorphisme additif d'anneaux augmentés de \(Q(A)\) dans \(\mathbb{Z} \times (1 + \hat H^{+})\) équivaut à la donnée d'un homomorphisme \[ W^1 : D \longrightarrow H^1 \] tel que \(W^1(a) W^1(b) = W^1(a') W^1(b')\) lorsque \(a, b, a', b'\) sont comme ci-dessus ou ce qui revient au même, tel que \(W^1(u) W^1(v) = 0\) si \(u.v = 0\) dans \(B\); d'ailleurs \(\mathrm{grad}\, Q(A)\) joue un rôle universel pour ces propriétés, i.e. la donnée de \(W\) équivaut aussi à la donnée d'un homomorphisme d'anneaux gradués \[ \mathrm{grad}\, Q(A) \to H^{\cdot} . \] « d'anneaux augmentés » est écrit à l'encre au-dessus de « additif » biffé ; « \(\mathbb{Z} \times (\) » et « \()\) » sont ajoutés à l'encre autour de « \(1 + \hat H^{+}\) »

Le choix le plus naturel pour \(H^{\cdot}\), du point de vue "topologique", semble \[ H^{\cdot}_{1} = H^{\cdot}(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) , \] muni du cup-produit, ce qui nous donne des classes de Stiefel-Whitney \[ W^i : Q(A) \to H^i(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) . \] Serre suggère de considérer aussi une définition plus fine des classes de Stiefel-Whitney, en remplaçant l'extension séparable algébrique maximale de \(A\) par la sous-extension réunion des sous-extensions finies de rang une puissance de 2; cela donnerait déjà un \(H^2\) "plus fin", i.e. s'envoyant dans le \(H^2\) habituel … l'indice de \(H^{\cdot}_{1}\) est surfrappé

Bien entendu, \(Q(A)\) est un \(\lambda\)-anneau, et sa \(\lambda\)-structure se lit sur la structure d'anneau, puisqu'on aura \[ \lambda_t(\varphi_a) = 1 + \varphi_a t , \] D'autre part, un homomorphisme d'anneaux augmentés \(Q(A) \to \mathbb{Z} \times (1 + \hat A^{+})\) est automatiquement un \(\lambda\)-homomorphisme. Je ne crois pas qu'il y ait lieu de dire plus des \(\lambda\)-structures (sauf peut-être en remarque que la filtration mise sur \(Q(A)\) est celle déduite de sa \(\lambda\)-structure).

2) Cas où \(A\) est un anneau local, de corps résiduel \(k\) tel que car \(k \neq 2\). Il semble bien que tout ce qui précède marche dans ce cas; bien entendu, \(H^{\cdot}(A)\) désigne la cohomologie du "groupe fondamental" de \(\mathrm{Spec}(A)\), au sens de mon séminaire. Il faudrait alors tout rédiger dans le cadre: formes quadratiques sur un anneau local. N.B. une telle forme est dite non dégénérée si la réduite est non dégénérée; en principe, il devrait être possible de façon assez triviale de relever les constructions habituelles sur \(k\), en des constructions sur \(A\).

Bien entendu, il serait très agréable de dépasser le programme minimum et d'arriver à une théorie des classes de Stiefel-Whitney pour des Modules quadratiques sur un (pré)schéma quelconque \(S\), en supposant au besoin que les caractéristiques résiduelles sont \(\neq 2\). A titre de test, on peut toujours essayer de prouver l'invariance de la définition triviale relative à un Module quadratique qui splitte en modules quadratiques de rang 1. « (pré) » devant « schéma », et « quadratique », « quadratiques » après « Module » et « modules », sont ajoutés à l'encre ; un trait d'encre passe sur « qui splitte » et sur « de rang », sans qu'on puisse dire s'il les biffe

Comme prime au lecteur, on peut en tous cas donner la compatibilité de la définition purement algébrique des classes de Stiefel-Whitney, et de la définition topologique, lorsque \(A\) est l'anneau local d'un point \(s\) d'un schéma de type fini \(S\) sur \(\mathbb{C}\). Un module quadratique sur \(A\) définit un module quadratique sur un voisinage de \(S\), donc \(S\) si on veut, i.e. un fibré prinnipal homogène algébrique sous le schéma en groupes orthogonal. Par Gaga il lui correspond un fibré principal analytique, donc topologique, d'où des classes de Stiefel-Whitney topologiques dans \(H^{\cdot}(S_{\mathrm{top}}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\). Or on a un homomorphisme canonique, que tu définiras: \[ H^{\cdot}(S_{\mathrm{top}}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{\cdot}(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) , \] et on voit aussitôt que les images des classes caractéristiques topologiques sont les classes caractéristiques algébriques, (car il suffit de le vérifier en rang 1). « d'un point \(s\) » est écrit à l'encre au-dessus de « local d'un », et « \(S\) » après « de type fini »

3) Essayer de trouver des définitions raisonnables en car. 2, ou de préférence indépendantes de la caractéristique. Une théorie vraiment satisfaisante devrait marcher sur tout préschéma \(S\), et réciproquement. Je suis loin d'avoir des idées claires sur la question, et me borne à des remarques vagues:

a) Lorsqu'on est sur un corps de caractéristique 2, on est quelconque, sans doute obligé de tenir compte des formes quadratiques dégénérées, et de définir un anneau \(Q'(k)\) comme défini par les classes de formes quadratiques, dégénérées ou non. [Dans le cas d'un corps de caractéristique \(\neq 2\), ce serait \(Q(k) + \mathbb{Z}\), où la multiplication est donnée par \((f, m).(g, n) = (fg,\ \deg(f) n + \deg(g) m + mn)\), le facteur en rabiot \(\mathbb{Z}\) correspondant aux formes nulles, sur des vectoriels de rang quelconque]. « quelconque » est écrit à l'encre au-dessus de « 2, on est » biffé ; les crochets sont à l'encre

b) En caractéristique quelconque, garder à l'esprit la distinction entre le shhéma en groupes \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S\) et le shhéma en groupes \((\mu_2)_S\) sur \(S\), le dernier étant le noyau de la puissance deuxième dans le groupe multiplicatif \(\mathbb{G}_{m\,S}\). Si \(S\) est local d'anneau \(A\), alors la suite exacte de cohomologie donne \(H^1(S, \mu_2) = A^{*}/A^{*2}\), \(H^2(S, \mu_2) = {}_2H^2(A, \mathbb{G}_m)\), éléments annulés par 2 dans le groupe de Brauer, par contre \(H^1(S, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = A/\wp A\) lorsque \(2A = 0\). Il faut donc s'attendre à trouver des classes de Stiefel-Whitney de type mixte, faisant à la fois intervenir les deux groupes voisins de coéfficients. Cette remarque se précise quand on regarde les schémas en groupes orthogonaux, sur \(\mathbb{Z}\) disons: en dimension paire, c'est l'extensions de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par un schéma en groupes à fibres connexes (le schéma spécial-orthogonal), par exemple en dim 2 c'est le produit semi-direct de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \(\mathbb{G}_m\) sur lequel il opère par symétrie; en dimension impaire, c'est une extension de \(\mu_2\) par le groupe spécial-orthogonal, par exemple en dimension 1, c'est \(\mu_2\). D'où suivant la parité, comme premier invariant "discret" d'un fibré principal orthogonal, une 1-classe de groupe \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), ou \(\mu_2\). le \(\wp\) de \(A/\wp A\) est ajouté à l'encre

Formes quadratiques (Exposés de Kneser à l'IHES)

titre de sa main en tête de la page 75

(1) Généralités le numéro 1 est entouré

\(A\) anneau commutatif

\(E(A)\) anneau des formes quadratiques "non dégénérées"

[i.e. à discriminant non diviseur de \(0\)] sur modules projectifs de type fini

\(F(A)\) anneau des formes quadratiques "unimodulaires"

[i.e. : discriminant inversible]

Si \(A\) est un corps, \(E(A) = F(A)\)

Invariants pour \(F(A)\)

1°)Rang \(\varepsilon : F(A) \longrightarrow \mathbb{Z}\) hom d'anneaux
2°)Discriminant \(d : F(A) \longrightarrow A^{*}/A^{*2}\) hom de groupes
3°)Classe de Clifford \(c : F(A) \longrightarrow {}_2\mathrm{Br}(A)\) application

La définition de \(c\) par Kneser se fait via la définition d'abord pour les modules quadratiques [en distinguant le cas pair, où on prend \(Cl(E)\), et impair, où on prend \(Cl^{+}(E)\)], puis on note que si \(E\) et \(E'\) ont un rang discriminant unités dans […] \(c(E + E') = c(E) + c(E')\), donc on peut définir \(c\) au moins sur les sous-groupe \(F^2(A)\) noyau de \(\varepsilon, d\) … les mots de liaison de ce paragraphe sont d'une écriture rapide ; « via », « d'abord », « distinguant », « impair » sont des lectures probables, non sûres

[N.B. Lorsque \(A\) est local de car. rés. \(\neq 2\), on peut donner une définition des \(w_i\) de Stiefel-Whitney, redonnant \(d\) et \(c\) …

\(\varepsilon, d, c\) donnent une filtration de \(F(A)\) \[ \left. \begin{array}{l} F(A)/F_1(A) \simeq \mathbb{Z} \\ F_1(A)/F_2(A) \simeq A^{*}/A^{*2} \\ F_2(A)/F_3(A) \subset {}_2\mathrm{Br}(A) \end{array} \right\rbrace \] dans le cas \(A\) un corps de car. \(\neq 2\) une flèche va de \({}_2\mathrm{Br}(A)\) à « sous-groupe des éléments décomposables »

\(F_1\) A-t-on en tout cas pour tout corps de car. arbitraire \[ \left\lbrace \begin{array}{l} F_1(A)/F_2(A) \simeq H^1(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \\ F_2(A)/F_3(A) \simeq H^2(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \end{array} \right. \] le reste du feuillet ne porte que la transparence de la page 75

(2) numéro entouré

Exemples élémentaires (des corps) (tous ces corps de car \(\neq 2\)) « des corps » est écrit dans une bulle au-dessus de la ligne

a)corps alg. clos \(k\) \(F(k) \simeq \mathbb{Z}\) [On a \(F_1(k) = 0\)]
b)Corps fini \(k\) \(F(k) \simeq \mathbb{Z} + \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) [On a \(F_2(k) = 0\)]
c)Corps \(p\)-adique \(k\) \(F(k) \simeq \mathbb{Z}\) […] un p. gr. fini annulé par 4 [On a \(F_3(k) = 0\)]
d)Corps \(\mathbb{R}\) \(F_1(k) \simeq \mathbb{Z}\) qui […] \(F_2(k) = 2\mathbb{Z}\) \(F_3(k) = 4\mathbb{Z}\) \(F\)
e)Corps valué complet à corps résiduel alg. clos […] \(F_1(k) \simeq \mathbb{Z} + \underbrace{k^{*}/k^{*2}}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\) si car. résiduelle est \(\neq 2\), grâce […] … [On a \(F_2(k) = 0\)]

« b) » surcharge « a) » ; l'indice de \(F_1\) en e) est peu formé

(3) numéro entouré ; devant le titre, un signe noirci

Corps de nombres

Th. de Hasse \(F(K) \longrightarrow \sum_{p} F(K_p)\) injectif « injectif » est souligné deux fois \(F_1(K)/F_2(K) \longrightarrow \sum_p K_p^{*}/K_p^{*2}\) injectif [grâce à Hasse […]]

\(F_2(K)/F_3(K) \longrightarrow \sum_p \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) injectif [car \(\mathrm{Br}(K) \subset \sum_p \mathrm{Br}(K_p)\)]

\(F_3(K) \subset \sum_{p} F_3(K_p) \subset \mathbb{Z}^r\) (\(p\) infini réel) \(r\) nb de places réelles une flèche relie « sous-groupe des familles d'éléments de somme nulle » à \(F_2(K)/F_3(K)\) ; « nulle » est douteux

Le sous-groupe de torsion de \(F(K)\) est le noyau de \(F_1(K) \xrightarrow[\text{aux places réelles}]{\text{indices}} \mathbb{Z}^r\), il est annulé par 4. les mots au-dessus et au-dessous de la flèche sont d'une lecture douteuse

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & E'(A) \arrow[r] \arrow[d, "2"] & E(A) \arrow[r] \arrow[d, no head] & E(K) \arrow[r] \arrow[d, no head] & 0 \\
0 \arrow[r] & \sum E'(\hat A_p) \arrow[r] & \sum E(\hat A_p) \arrow[r] & \sum E(K_p) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

les deux dernières verticales sont de simples traits ; le « 2 » de la première est un exposant, lecture douteuse

\[ \mathrm{Pic}(A)/2\,\mathrm{Pic}(A) \subset H^2(A, \mu_2) \] écrit au-dessus de \(F'(A)\), auquel le relie un signe \(\simeq\) vertical ; au-dessus de \(F(K)\), « \(E(K)\) » avec un signe \(=\)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 \arrow[r] & F'(A) \arrow[r] & F(A) \arrow[r] \arrow[d] & F(K) \arrow[d] & \\
 & 0 \arrow[r] & \sum F(\hat A_p) \arrow[r, "\text{inj}"'] & \sum F(K_p) &
\end{tikzcd}

la première ligne se termine par un trait noirci

\(A\) anneau […] […] […] … en haut à droite, un petit dessin barré portant « \(x^2 = a\) », « \(x^2 - a + y^2 = 0\) » et « \(x/t\) »

\[ H^1(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to \sum_p H^1(K_p, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \qquad H^1(K, \mathbb{G}_m) \to \] à gauche, « \(\mathbb{Z}\)\(/2\mathbb{Z}\) » ; tout ce qui suit, jusqu'au trait horizontal, est pris dans de grandes courbes qui le barrent

\(0 \to T \to J_T \to J/T \to 0\)

\(K\) : \(0 \to L^{*} \to J_L \to C_L \to 0\)

\(0 \to L^{*} \otimes X \to J \otimes X \to C \otimes X \to 0\)

\(\sum_p H^1(G_p, L_p^{*} \otimes X) \to\)

\(H^1\) \(H^2(G, \ldots) \to H^2(\)

\(H^2(G, K^{*}) \to H^2(\ ,J)\) lecture très incertaine des indices ; les quatre suites sont dans un grand cadre courbe, à droite

anneau complet de val. discrète

\(E'(V)\) est […] : […] […] […] d'une […] […] de \(E(k)\), avec \(k\) le corps résiduel « anneau complet de val. discrète » est au-dessus, relié par une flèche courbe à \(V\)