Cote n° 45 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Groupes semi-simples : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (1961)
Datation de l’inventaire : 1961-[vers 1970]
Édition de démonstration

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\[ X \quad Y \quad H \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} [X, H] = \lambda(H) X \\ {[Y, H]} = -\lambda(H) Y \\ {[X, Y]} = H \end{array} \right. \qquad T \longrightarrow T' \] en haut à droite, sous une flèche verticale, « \(T \to T'\) » suivi d'un signe noirci suivi d'un indice \(2\), non lu ; le \(H\) de \([X,Y] = H\) surcharge une autre lettre

\([X, H]\) \(\mathcal{U} \subset\)

\(Sl(2)\) souligné deux fois ; la lecture \(Sl(2)\) est douteuse

Groupe […] […] […] = […] […] […] […].

\(X \quad H \quad Y\) [\(X\) et \(H\) réunis par une accolade] \([X, Y] = 0\)

Algèbre de Lie de \(Sl(2, k)\) car. \(2\). \([X, H] = \lambda \ldots\) \[ \left\lbrace \begin{array}{l} [H, X] = 0 \\ {[H, Y]} = 0 \\ {[X, Y]} = H \end{array} \right. \qquad \mathcal{U} \] les seconds membres des deux premières lignes sont d'abord écrits puis noircis, et remplacés par \(0\) ; « car. 2 » est une lecture douteuse

Normalisateur de \(k.Y = \mathcal{U}\) … \(k.Y + k.H = \mathfrak{L}\)

Normalisateur de \(k.H = \mathfrak{h}\) … \(\mathfrak{g}\) tt […] le \(Y\) de \(k.Y\) surcharge un \(H\) noirci ; les deux « … » tiennent lieu d'une courte flèche

Algèbre de Lie de \(Spl(2, k)\) « \(Spl\) » surcharge un autre mot ; lecture douteuse \[ \left\lbrace \begin{array}{l} [H', X] = X \\ {[H', Y]} = -Y \\ {[X, Y]} = 0 \end{array} \right. \] Normalisateur de […] \(k.Y\) … \(\mathfrak{g}\)

Normalisateur de […] la page s'arrête sur cette ligne inachevée

\(H^1\)

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 43), de sa main ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

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Forme […] type

titre souligné ; le mot central, qui revient trois fois plus bas (« forme […] type »), n'est pas lu

\(G_0\) un groupe réductif type (sur \(\mathbb{Z}\)), \(\Gamma_0 = \underline{\mathrm{Aut}}_{\mathbb{Z}}(G_0)\), […], … \(E_0\) le groupe […], \(T_0 \subset B_0\), \(S\) schéma de base. \(E_0 = \underline{\mathrm{Ext}}(G_0)\), \(\Pi_0 = \mathrm{ad}(G_0)\) \(\Gamma_0 \simeq E_0 \cdot \Pi_0\) en haut à droite, dans un cadre ; la dernière formule est écrite en travers d'un passage noirci

\(G\) forme de \(G_0\) sur \(S\), correspondant à un principal homogène […] sous \(\Gamma_S\), […] le principal homogène associé sous \(E\), qui […] par […] de \(\rho\) […] l'élément correspondant de \(H^1(S, E_0)\) [par […] […], […] \(\rho = \ill{}\)], […] au-dessus de « le principal », une surcharge noircie portant \(P_0\) et \(P\) ; un « \(P_0\) » et un « \(\Gamma_S\) » isolés au-dessus de la ligne

\(G_1 = G_0^{\rho}\) déduit de \(G_0\) […] dépendant de \(\rho\) : une telle […] forme […] dite forme […] type associée à \(\rho\).

[On dit que \(G\) est une forme […] type s'il […] isom. à \(G_1^{\rho}\), […] […] […] \(\rho \simeq \rho_G\)]

Si on part de \(\rho\), [sans \(G\)], la donnée d'une \(G\) forme […] \(\rho \xrightarrow[\sim]{\ \varphi\ } \rho_G\) « équivalente à la » donnée d'un fibré principal homogène sous \(\Pi_1 = \Pi_0^{\rho}\), […] les deux « … » soulignés le sont d'un trait ondulé ; le \(\Pi_1 = \Pi_0^{\rho}\) surcharge une première écriture

Classification des objets \(G\) à isom. près [[…] […] […] \((G, \varphi)\) et \((G', \varphi')\) étant […] […] un isom. \(\psi : G \to G'\) tel que l'isom. \(\rho_G \xrightarrow{\sim} \rho_{G'}\) […] compatible […] […] \(\rho_G\) et \(\rho_{G'}\) […] \(\rho\) ; […] […] […] […] dits intérieurs] vérifiant […] […] […] donnés par \(H^1(S, \Pi_1)\). On […] […] \[ H^1(S, \Pi_1) \longrightarrow H^1(S, \Gamma) = \text{\uncertain{ens.}\ des classes d'\uncertain{isom.}} \] vues des formes de \(G\) sur \(S\) ; son ensemble […] : isom. près de « formes intérieures relatives à \(\rho\) ». le \(\Pi_1\) de ces deux \(H^1\) surcharge un premier symbole noirci ; la fin de la phrase, écrite sous la formule, est d'une lecture très incertaine

Distinguer […] […] […] […] […] \(G_0\) et \(\Pi_0\), \(G\) et \(\Pi_1\) … Réalisation […] la notion d'isom. intérieur […] deux notes écrites en biais dans la marge gauche ; lecture très incomplète

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La fibration […] […] […] […] \(\rho\) […] […] […] groupes sur \(S\) \[ e \longrightarrow \Pi_1^{\rho} \longrightarrow \Gamma_1^{\rho} \longrightarrow E_1^{\rho} \longrightarrow e \qquad \Gamma_1^{\rho} \simeq E_1^{\rho} \cdot \Pi_1^{\rho} \] qui fournit d'ailleurs \[ H^0(S, E_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, \Pi_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) \longrightarrow H^1(S, E^{\rho}) \] \[ H^1(S, \Gamma_1^{\rho}) \simeq H^1(S, \Gamma) \] les \(\Pi\) sont des signes noircis et repassés ; les exposants \(\rho\) sont lus sur un signe peu formé

On voit A priori, l'application canonique n'est pas injective. […] Deux éléments […] de \(H^1(S, \Pi_1^{\rho})\) qui donnent l'élément neutre de \(H^1(S, \Gamma_1^{\rho})\) […] […] […] […] en correspondance biunivoque […] \(H^0(S, E^{\rho}) / H^0(S, \Gamma^{\rho})\), et triviale puisque \(\Gamma_1^{\rho}\) […] […] produit semi-direct. « Deux » est écrit au-dessus d'un mot biffé en fin de ligne

Mais si \(\xi \in H^1(S, \Gamma_1^{\rho})\), […] peut utiliser \(\xi\) pour tordre […] […] la situation, […] trouve \[ e \longrightarrow (\Pi_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow (\Gamma_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow (E_1^{\rho})^{\xi} \longrightarrow e \] \[ e \longrightarrow \mathrm{Ad}(G) \longrightarrow \mathrm{Aut}(G) \longrightarrow \mathrm{Ext}(G) \longrightarrow e \] les deux suites sont reliées par des signes \(\simeq\) verticaux ; le dernier exposant de la première est noirci

[…] […] […] […] […] la question si tout automorphisme ext. de \(G\) provient d'un automorphisme […]. C'est vrai pour tout […] évidemment quand \(G\) […] […] est une forme […] type, [i.e. […] […] possède un sous-groupe de Borel \(\supset\) Tore maximal].

exemple […] […] […] corps \(\mathbb{R}\) ? Faux sur \(\mathbb{R}\) avec les formes réelles (cf. ci-dessous) : deux formes hermitiennes donnant […] […] […] \(\mathbb{R}\) […] mais non isom. écrit en biais en bas à gauche ; la première ligne est entourée

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la page s'ouvre sur un tableau à trois colonnes, que l'on donne ligne par ligne

Schéma des tores maximaux de \(G\) … \(P/N_1 \simeq Q/N'_1 = \mathcal{C}(G)\)

— Borel — \(P/B_1 \simeq Q/B'_1 \simeq \mathcal{D}(G)\)

— couples de Killing — \(P/T_1 \simeq Q/T'_1 \simeq \mathcal{C}'(G)\)

— \(\lbrace\)tores maximaux munis de \(G\) ; « » immersions intérieures \(T_1 \to G\rbrace\) \(\simeq P/T_1\) le nombre \(21\) est écrit à gauche de cette dernière ligne ; les deux lignes entre accolades sont l'une sous l'autre, reliées par des guillemets de répétition. Une flèche courbe monte de \(\mathcal{C}'(G)\) vers \(\mathcal{C}(G)\), une flèche droite de \(\mathcal{C}'(G)\) vers \(\mathcal{D}(G)\)

fibré principal sous \(W_1\) / fibré […] en fibrés principaux sous \(B_1/T_1\) \(= \mathcal{C}(B_1)\) associé au fibré principal homogène […] de groupe \(B_1\) à droite du tableau, en face des deux flèches

N.B. Soit \(T\) un tore [maximal de \(G\)] ; il y a correspondance biunivoque (fonctorielle en \(S'/S\)) entre les ensembles suivants

\(\rbrace\ P/T_1 \simeq P'/T'_1\) \(P\) […] quelconque […] De plus, […] […] […] […] considérons le sous-ensemble suivant de b) : il existe […] application

[…] […] […] Il existe […] projection de b') sur b). \(\rbrace\ P'/T_1\) \(W_1\) et \(W\) […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(\neq \rho\)] la dernière note est écrite en biais dans la marge gauche

De plus, les conditions suivantes sur \(T\) sont équivalentes

On dit alors que \(T\) est un « Tore de Killing ». Pour qu'il existe, il faut et il suffit que \(G\) soit isomorphe à une forme […] type. « Killing » surcharge un autre mot

L'image inverse de \(\xi \in H^1(S, G_1)\) dans \(H^1(S, B_1)\) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des sous-groupes de Borel de \(G\), modulo automorphismes intérieurs. [Je ne vois pas d'ailleurs] [i.e. on peut restreindre le groupe structural à \(B_1\)] ssi il existe un sous-groupe de Borel, dans […] cas, il […] revient au même de dire que ces deux sous-groupes de Borel de \(G\) sont toujours conjugués. […] […]

[…] […] […] mais […] forme \(G_1\) sur un type extérieur […] mais seulement quand il y a deux (\(?\)) fois un Borel écrit en biais dans la marge gauche

[Conjecture 3 […] Contre-exemple […] […] […] […] […] […] ? si \(S\) est local ?] dans un cadre, marqué d'un double trait à gauche et d'une croix à droite ; un mot entouré, au-dessus, est relié par un trait au « Contre-exemple »

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L'image inverse de \(\xi\) dans \(H^1(S, N_1)\) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des Tores maximaux de \(G\), modulo automorphismes intérieurs. En particulier, […] i.e. on peut restreindre le groupe structural à \(N_1\), ssi il existe un tore maximal ; \(\xi\) s'il en est ainsi, alors il […] identité […] […] tous les tores maximaux sont conjugués, [[…] qui […] […] […] exceptionnel […] […] […] « arithmétiques »]. un trait relie « intérieurs » à « restreindre », par-dessus un mot biffé. Le \(\xi\) en début de proposition est surchargé

vaut […], […] \(W\) \(G_1\) […] \(W\) […] […] […] maximal. Il semble que […] soit […] […] fois que […] \(S\) […] … ? deux notes en marge gauche, la seconde dans un cadre, reliée par une croix au début de la ligne « tore maximal »

[…] Si \(S\) local, […], \(N_1\) produit semi-direct de \(W_1\) et \(T_1\), on a \(H^1(S, N_1) \twoheadrightarrow H^1(S, W_0)\). […] […] […] […] […] […] […] […] … un élément de \(H^1(S, W_0)\) […] […] … passage ajouté dans l'interligne, en plus petit, pris dans une accolade à gauche ; très raturé, lecture très incomplète. Au-dessus de \(W_1\) est écrit « \(= W_0\) », sous la flèche « sur ». Une bulle à gauche, reliée à l'accolade, porte « fibrés […] […] […] \(H^1\) des \(T_1\) tordus »

L'image inverse de \(\xi\) dans \(H^1(S, \bar N_1)\) est en correspondance biunivoque avec l'ens. des couples \((T \subset B)\) de Killing de \(G\), modulo autom. extérieurs. Donc il est non vide ssi il existe un tel couple, i.e. ssi il existe un Tore privilégié de Chevalley, ou encore un Borel de Chevalley ; [chose exceptionnelle […] […] et […] […] arithmétique] ; et […] […], s'il en est ainsi, alors l'on a […] identité à un élément ssi tous les couples de Killing de \(G\) sont conjugués [et il est possible que cette condition soit vérifiée si \(S\) est local], i.e. […] le cas où […] […] […] \(T_1\) déployé, i.e. \(\rho = e\)], […] […] […] de […] …] « Chevalley » est lu deux fois ; le signe de \(\rho = e\) est un \(e\) entouré

Question équivalente […] 2 […] […] vérifiée ; […] sur Borel […] […] Dans tout maximal de Borel \(B\) […] tous conjugués dans \(B\) en bas à gauche, en biais, dans un cadre ouvert, reliée par une flèche à la ligne « doit vérifier » ; lecture très incomplète

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Th. Conditions équivalentes sur \(\xi \in H^1(S, H_1)\), définissant \(G = G_1^{\xi}\).

les numéros (i), (ii), (iii) et (iii') sont entourés ; (iii) est en outre marqué d'un crochet et de traits, et une ligne biffée au-dessus de lui commençait « Tore » ; « immersion » et « extensible » sont soulignés, ce dernier deux fois ; « immersion intérieure » est souligné d'un trait ondulé

De plus, si \(T\) est un Tore maximal, conditions équivalentes. a) \(\exists\) Borel \(\supset T\) b) \(\exists\) isom. \(T_1 \to T\) extensible a) \(\Rightarrow\) c) \(\exists\) isom. \(T_1 \to T\) intérieur écrit à droite, en face de (ii) et (iii) ; « extensible » est au dessus de « intérieur », comme une variante

Démonstration. \[ (iii') \Longleftrightarrow (i) \Longrightarrow (i') \Longleftrightarrow (ii) \qquad (iii) \Longleftrightarrow (i'') \] schéma d'implications sur deux rangées, que l'on résume : en haut « (iii') \(\Leftrightarrow\) (i) \(\Rightarrow\) (i') \(\Leftrightarrow\) (ii) », suivi d'un « \(\Leftrightarrow\) (iii') » biffé ; en bas « (iii) \(\Leftrightarrow\) (i'') ». Entre les deux rangées, des flèches obliques dont plusieurs sont barrées en zigzag, deux portant « triviale » et une « inutile » ; une grande courbe « triviale » joint (iii') à (iii). Des traits obliques renvoient aux lignes de droite : « […] que ce ne sont pas des conditions […] », « […] des […] du nuage ? » et, biffé, « réalisations de \(T_1\) en \(\Gamma_1\) et \(T_1\) »

N.B. Supposons que \(T_1\) soit \(\simeq \mathbb{G}_m^r\) (cas déployé). Alors tout tore \(T \subset G\) qui est […] […] […] […] […] contenu dans un Borel, […] i.e. il existe une isom. intérieure de \(T_1\) avec \(T\). Le […] bien plus, c'est local le schéma des isom. intérieurs de \(T_1\) dans \(T\) pour un tel schéma de \(\underline{\mathrm{Isom}}_S(T_1, T) \simeq (\mathbb{Z}^{r^2})_S\), qui est fini étale sur \(S\) de groupe \(W\), donc l'est aussi diagonalisable …. Cor. Donc, si on a \(\mathrm{Pic}(S) = e\), il existe un […] de […] \(G_0\) sur \(G\), transformant \(T_0\) en \(T\). « tout » est souligné ; « cas déployé » est souligné d'un trait ondulé ; « \(\mathrm{Pic}(S) = e\) » est précédé d'un signe « \(\Xi\) » ou d'un « Et » surchargé. La dernière ligne, écrite serrée au bas du feuillet, est d'une lecture incertaine

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Question 1. Supposons que \(G\) soit un \(T\) […] \(\simeq T_1\), dans \(G\) tore maximal contenu dans un Borel, i.e. […] […] qu'il existe un isom. intérieur \(T_1 \to T\) ?? J'en doute.

Question 2. Supposons que […] isom. à \(G\) […] tout tore maximal \(T\) soit contenu dans un Borel. S'ensuit-il que \(G \simeq G_1\) ? […] […] […] […] (p. ex. \(S\) local) […] C'est le cas si \(\mathrm{Pic}(S) = 0\) et si \(\rho = e\) est trivial. Est-ce […] vrai pour un corps \(k\) (\(\rho\) non trivial) ?? Pour exemple \(k = \mathbb{R}\), groupes unitaires (C'est évident si \(k\) est un corps de Tate [\(H^1(k, T) = 0\) pour tout tore sur \(k\)]. On a […] si \(k = \mathbb{R}\), […] \(G_1\) […] groupe unitaire correspondant à une forme non anisotrope : deux variables ??? « de Tate » est souligné ; « unitaire », entouré, est relié par un trait à « correspondant »

\(\rho\) […], on notera que les normalisateurs de \(\Gamma_0\) et \((B_0, T_0)\) dans \(\Gamma_0\) […] \(T_0\) … mais […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] … Dans ce cas […] « \(\xi\) » deux notes en biais dans la marge gauche, la première en partie encadrée et barrée d'un long trait oblique, reliée par un trait à la ligne « Question 2 » ; lecture très incomplète

Question 3. Supposons que […] il existe un sous-groupe de Borel \(B\) de \(G\) [i.e. que l'on peut restreindre le groupe structural de \(G_1\) à \(B_1\)]. Alors peut-on restreindre le groupe structural à celui de \(G_1\) à \(T_1\), et a-t-on […] […] l'on peut trouver un […] sous-groupe la page s'arrête sur cette ligne ; au-dessus de « Question 3 », un signe noirci

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\(H^1(S, T_1)\) \(H^1(S, T) \to H^1(S, B)\) deux formules isolées dans la marge gauche, en face de la première ligne et du milieu de la page

classification des formes intérieures munies d'un couple de Killing.

[N.B. Si \(G\) est une forme intérieure, deux couples \((T, B)\), \((T', B')\) de Killing dans \(G\) définissant le même élément de \(H^1(S, T_1)\) sont conjugués par un automorphisme intérieur. Cela signifie donc que deux éléments distincts dans \(H^1(S, \bar B)\) mod \(B\) […] […] \(T = T'\), c'est-à-dire le donné de \(\sigma \in W(T)\) qui transforme \(B\) en \(B'\), si \(B'\) est l'opposé de \(B\) rel. à \(T\), dans la question est […] si un […] élément nul dans \(H^1(S, T)\).] « \((T, B)\), \((T', B')\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; « mod \(B\) » de même ; un mot biffé et une insertion en chevron sur la ligne de « question »

La question des deux couples de Killing dans un même \(G\) sont toujours conjugués, équivaut donc à celle de savoir si \(H^1(S, T_1) \to H^1(S, G_1)\) est toujours injective. Par un contre-exemple, il semble donc que \(H^1(S, T_1) \to H^1(S, N_1)\) n'est pas toujours injective. On devrait étudier si \(H^1(S, T_1) \to{}\) […] […] \(=\) image dans \(H^1(S, N_1)\) des éléments conjugués par \(H^0(S, W_1)\) opérant de façon évidente. Je prendrai le cas où \(G_0 = GL(2)\), donc \(E = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(W_0 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) est […] […], donc \(W_0 \ldots W_0\) […] \(E\) y opère trivialement (il […] que […] !) et \(W_0 = W_1\), qui opère par symétrie sur \(T_1\). « \(GL(2)\) » surcharge une autre écriture ; la page s'arrête ici

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la page est une colonne d'énoncés reliés par des doubles flèches verticales, groupés par trois accolades à droite, chacune suivie d'un commentaire ; on la donne de haut en bas

\(H^1(S, G_1) \to H^1(S, \Gamma_1)\) injectif ?

\(H^1\) \(\Updownarrow\)

\(\underline{\mathrm{Aut}}(G) \to \underline{\mathrm{Ext}}(G)\) admet toujours une section

\(\Updownarrow\)

\(\mathrm{Aut}(G) \to \mathrm{Ext}(G)\) toujours surjectif

forme extérieure \(G_1\) donnée à gauche de la première accolade

Non : faux en général sur un corps, vrai pour les formes intérieures (\(\xi = e\)) et pour les extérieures de Tits ? commentaire à droite de la première accolade, précédé d'un grand signe tracé à la plume ; la première ligne est d'une lecture très incertaine

\(H^1(S, B_1) \to H^1(S, G_1)\) injectif

\(\Updownarrow\)

Deux sous-groupes de Borel [dans un \(G\)] sont toujours conjugués « dans un \(G\) » est entouré au-dessus de la ligne

\(\Updownarrow\)

Pour tt \(G\) et \(B\), le groupe […] \(H^1(S, B) \to H^1(S, G)\) est injectif

\(\Updownarrow\)

Pour tt \(G\), et \(B\), […] […] \(H^1(S, B) \to H^1(S, G)\) est bijectif « tt » est souligné deux fois dans la première de ces deux lignes

vrai pour les formes intérieures (\(\xi = e\)) et pour les […] de Tits. commentaire à droite de la deuxième accolade

Si \(\ldots\) de \(\ldots\) […] extérieur […] […] si […] […] équivalent […] […] […] \(G \to G/B\) […] triviale longue note en biais dans la marge gauche, en face de la deuxième accolade ; lecture très incomplète

\(H^1(S, N_1) \to H^1(S, G_1)\) injectif

\(\Updownarrow\)

Deux sous-groupes de Cartan dans un \(G\) toujours conjugués

\(\Updownarrow\)

Pour tt \(G\) et \(T\), le morphisme de \(H^1(S, N(T)) \to H^1(S, G)\) injectif

\(\Updownarrow\) […] injectif la dernière ligne est inachevée : un trait, puis « injectif »

Semble faux même dans le corps non algébrique : deux distinct. possible, même pour les formes […] intérieures … commentaire à droite de la troisième accolade

Formes quadratiques, bilinéaires symétriques, etc

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 60), de sa main, sur trois lignes ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. La suite qu'il annonce commence avec le lot suivant