Fonds Grothendieck, cote n° 45, pages 21–40

la page ne poursuit pas la phrase sur laquelle s'arrête la page 20 ; elle s'ouvre sur un point numéroté 3)

3) G schéma en groupes réductif sur S, B sous-schéma en groupes lisse/S invariant tel que ses fibres soient des Borel. Est-ce que B est un Borel ?? / Oui, on se ramène au cas semi-simple adjoint …

En effet, on peut supposer que déployé B contient un tore maximal de G. Mais \mathfrak{L} = \mathfrak{t} + \sum_{\alpha \in S} \mathfrak{g}_\alpha, P « racines positives ». Donc il contient un Borel B' ayant même \mathfrak{L}. ce passage est pris dans un cadre et barré de trois longs traits obliques ; le mot entouré en fin de première ligne, relié à « G », n'est pas lu. Sur la dernière ligne, un « Borel » biffé précède « B' »

Laissons tomber l'hypothèse G réductif, ~~deux tels B, B'~~ loc. de type fini propre qu.-cpt. Cela se ramène aux fibres géométriques : la question H^1(B, \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) = 0 \quad ?? du point de vue infinitésimal.

On peut supposer que B et B' contiennent un même tore T, et [en se ramenant au voisinage d'un point s \in S] que B_s = B'_s.

la page est barrée de trois longs traits obliques ; le texte est bordé à gauche d'un trait vertical

Théorème (?) G groupe algébrique lisse connexe/k. Soit \bar k la clôture algébrique, \bar G = G_{\bar k}, \bar T un tore maximal de \bar G, ~~supposons~~ \bar R le radical de \bar G, ~~considérons~~ \bar{\mathfrak{r}} \subset \mathfrak{g} les algèbres de Lie, , supposons que les « racines » nulles (de \bar T) intervenant dans \mathfrak{g}/\bar{\mathfrak{r}} \bar{\mathfrak{r}} [p. ex. que \bar T opère trivialement sur \bar{\mathfrak{r}}] ~~[p. ex. que ]~~ Alors \bar R est défini sur k. les lettres surlignées sont lues \bar G, \bar T, \bar R et \bar{\mathfrak{r}} ; le \bar{\mathfrak{r}} gothique est une lecture douteuse

feuillet de croquis écrit en tous sens (la page se lit tournée d'un quart de tour), couvert de flèches, de cadres et de traits de renvoi, en partie barré. On n'en donne que les fragments lisibles, dans l'ordre du haut vers le bas

Radical étale défini sur k, pour tt sous-corps k

\Uparrow

Une variété infinitésimale des Borel est triviale (i.e. G)

\Updownarrow

Une telle variété, avec un tore maximal fixé, G constante. « est triviale » et « avec un tore maximal » sont soulignés ; une insertion entourée au-dessus de la première ligne n'est pas lue

H^1(\mathfrak{R}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L})^{B/R} = 0 (R radical unipotent) H^1(B', \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) \longrightarrow H^1(B, \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) \longrightarrow H^1(\,\cdot\,, \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) le premier argument du dernier terme n'est pas lu (\mathfrak{g}/[\mathfrak{u},\mathfrak{u}])^T = 0, \qquad \mathfrak{L}_1 = \mathfrak{L}, \qquad B = B', \qquad B_0 = B'_0 ces formules sont éparses sur la feuille, reliées par des flèches ; une flèche verticale G \to G' en gros traits est dessinée deux fois, avec un « H^1(B,\mathfrak{g}/\mathfrak{L}) » à côté ; en marge un signe dièse suivi de « 2,3,5 »

il suffit que les conditions T racines sur \mathfrak{g}/\mathfrak{L} intervenant dans un cadre en bas à gauche

Cela diffère G.\mathfrak{g} ~~sl(2).gl(2)~~ pour G = Sl(2) (car. quelconque).

la page est barrée d'une grande croix. Au-dessus du titre, une ligne entourée : « G connexe » ; elle reprend le Théorème de la page 20

Théorème (Soit H un sous-groupe de G, lisse/S et à fibres connexes, ayant un rang réductif au rang réductif de G, ~~Alors~~ ~~H est le~~ \mathfrak{h} = \mathrm{Lie}(H) \subset \mathfrak{g} = \mathrm{Lie}(G). Alors H est le normalisateur connexe de \mathfrak{h} dans G ~~(pour )~~ opérant sur \mathfrak{g} par la représentation adjointe). le G de « dans G » est repassé

En effet, ~~Demazure~~ Demazure a montré qu'il suffit de prouver que les fibres géométriques, le normalisateur de \mathfrak{h} dans \mathfrak{g} est égal à \mathfrak{h}. On peut supposer S spectre d'un corps alg. clos, et la hypothèse signifie alors que H contient un sous-groupe de Cartan C de G, ou T un tore maximal.

Théorème. G schéma en groupes affine connexe sur k, B Borel, \mathfrak{L} \subset \mathfrak{g} alg. de Lie. Alors

a)B = \mathrm{Norm}_G(B) b)B \to \mathrm{Norm}_G(\mathfrak{L}) est surjectif, donc \mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) injectif (pts à valeurs ) c)Conditions équivalentes

un « ? » en marge, relié par un trait à b) ; un signe biffé en marge devant c) \text{i) } B = \mathrm{Norm}_G(\mathfrak{L}) \qquad \text{ii) } \mathfrak{L} = \mathrm{Norm}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L}) iii) \mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) monomorphisme dans « B = \mathrm{Norm}_G(\mathfrak{L}) » le signe = est surchargé ; « \mathrm{Drap} » de iii) est souligné

On peut supposer k alg. clos.

a)Réduction au cas semi-simple … b) Réduction au cas semi-simple .

~~Soit U = B_u~~ « semi- » est écrit avec le signe ½

la page est barrée de quatre longs traits verticaux ; elle commence au milieu d'un argument

D'autre part, le degré de K_s (s \in S) étant fonction constructible, on peut supposer ce degré fini et constant, sauf à un multiple commun. Considérons K \xrightarrow{\;u_n = n.\mathrm{id}_K\;} K . ~~C'est l'image N~~ Mais {}_nK = \mathrm{Ker}\, u_n, on la section unité de K est un immersion ouverte dans {}_nK est un sous-schéma ouvert et fermé de K. Comme il contient les fibres de K par construction, il est égal à K , K schématiquement.

NB. La condition « être » fini sur à base ex. schémas de Picard sur S. Une application intéressante : supposons que X/S plat propre, \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} existant, supposons que défini en un pt s, \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X_s/k(s)} soit lisse, alors \underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} existe au voisinage de s, et \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S}/\underline{\mathrm{Pic}}^{0}_{X/S} existe, et fini sur S sur S. Donc [si \underline{\mathrm{Pic}}^{\tau}_{X/S} est propre sur S] on a la constance de la torsion de NS. « Une application intéressante » est encadrée ; les indices des \underline{\mathrm{Pic}} sont lus X/S et X_s/k(s)

Groupes radiciels et Hyperalgèbres des groupes diagonalisables

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 27), de sa main ; « radiciels » est écrit au-dessus de « diagonalisables » biffé. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Hyperalgèbre du groupe additif \left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{U} = A\{X\} \quad \text{puissances divisées} \\ \Delta \gamma^n X = \displaystyle\sum_{p+q=n} \gamma^p X \otimes \gamma^q X \end{array} \right. entre les deux lignes, une première version biffée : « \Delta X^{(n)} = \sum X^{\ldots} » ; dans la somme, un premier terme est biffé avant \gamma^p X \otimes \gamma^q X i.e. \Delta \exp X = \exp X \otimes \exp Y i.e. \exp X \in \widehat{\mathcal{U}} est un élément multiplicatif.

\lambda \mapsto \exp \lambda X est une représentation de A dans G(\widehat{\mathcal{U}}). « \exp Y » est lu tel quel ; le G de G(\widehat{\mathcal{U}}) surcharge une autre lettre

Hyperalgèbre d'un ~~module localement~~ fibré vectoriel V(\underline{E}) = \mathrm{Spec}\, \mathrm{S}_{\mathcal{O}_S}(\underline{E}) (\underline{E} loc. libre …) \left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{U}(\underline{E}) = \mathcal{O}_S\{\check{\underline{E}}\} \quad \text{puissances divisées sur } \check{\underline{E}} \\ \Delta \gamma^n X = \displaystyle\sum_{p+q=n} \gamma^p X \otimes \gamma^q Y \end{array} \right. i.e. X \mapsto \exp X de \underline{E} dans \widehat{\mathcal{U}(\underline{E})} \underline{E} dans G\widehat{\mathcal{U}(\underline{E})} [c'est un homom. de faisceaux en groupes]. « puissances divisées sur \check{\underline{E}} » est souligné ; un mot est noirci après \mathcal{O}_S\{\check{\underline{E}}\}

Hyperalgèbre du groupe multiplicatif souligné ; le reste de la page est blanc

~~\Delta X_n, s~~ \langle \Delta X_n, s^p \otimes s^q \rangle = \langle X_n, s^{p+q} \rangle = \delta_{n,p+q} \qquad \langle X_p . X_q, s^n \rangle = \langle X_p \otimes X_q, (\Delta s)^n \rangle \Delta s = s \otimes 1 + 1 \otimes s + s \otimes s en haut à droite. Le membre de droite de la seconde formule est entouré ; une flèche en part vers le calcul qui suit = \sum_{\alpha+\beta+\gamma = n} \frac{n!}{\alpha!\,\beta!\,\gamma!}\, s^{\alpha+\gamma} \otimes s^{\beta+\gamma}, \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha + \gamma = p \\ \beta + \gamma = q \end{array} \right. \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } n \notin [\sup(p,q), p+q] \\[4pt] \dfrac{n!}{(n-p)!\,(n-q)!\,(p+q-n)!} & \text{sinon} \end{array} \right. \alpha + \beta + 2\gamma = p + q, \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \gamma = p + q - n \\ \alpha = n - q \\ \beta = n - p \end{array} \right. \sup(p,q) \leq n \leq p + q la première ligne de l'accolade surcharge un premier essai ; « sinon » est une lecture douteuse

\boxed{ \begin{array}{l} \Delta X_n = \displaystyle\sum_{p+q=n} X_p \otimes X_q \\[10pt] X_p X_q = \displaystyle\sum_{\sup(p,q) \leq n \leq p+q} \frac{n!}{(n-p)!\,(n-q)!\,(p+q-n)!}\, X_n \end{array}} encadré de sa main

\delta X_n = \sum_{\substack{p+q=n \\ p,q>0}} X_p \otimes X_q = X_n \otimes X_1 + X_{n-1} \otimes X_2 + \cdots + X_2 \otimes X_{n-1} + X_1 \otimes X_n le premier terme de la somme développée est surchargé

\mathcal{U}_n, \delta X_n, X_2 X_1^2 = 2X_2 + X_1, \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} 2X_2 = X_1^2 - X_1 \\ \delta X_2 = X_1 \otimes X_1 \end{array} \right. \qquad ? \quad 2\delta X_2 = \delta(X_1^2 - X_1) ~~2\delta(X_1~~ 2X_1 \otimes X_1 = \delta(X_1^2 - X_1) \delta(X_1) = X_1 \otimes 1 + 1 \otimes X_1, \qquad \delta(X_1^2) = X_1^2 \otimes 1 + 1 \otimes X_1^2 + 2 X_1 \otimes X_1 les signes de ces deux dernières formules sont mal formés ; on les lit +

~~\delta : \mathcal{U} \to \mathcal{U} \otimes \mathcal{U} \to \mathcal{U}~~ A \longleftarrow A \otimes A \longleftarrow A, \qquad G \xrightarrow{\ \text{diag.}\ } G \times G \xrightarrow{\ \text{mult.}\ } G les étiquettes « diag. » et « mult. » sont écrites sous les flèches

X_n(t^m) = \binom{m}{n} t^m \qquad \langle X_n, t^m \rangle = \binom{m}{n} X_n X_{n'}(t^m) = \binom{m}{n}\binom{m}{n'} \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}\;\frac{m(m-1)\cdots(m-n'+1)}{n'!} \qquad \text{\uncertain{nul} si} ~~X_n, s^{i+c}~~ t = 1 + s, \quad s = t - 1 \langle X_n, s^m \rangle = \langle X_n, (t-1)^m \rangle = \binom{m}{n} - \binom{m}{1}\binom{m-1}{n} + \binom{m}{2}\binom{m-2}{n} + \cdots + (-1)^k \binom{m}{k}\binom{m-k}{n} + \cdots au milieu de la page, isolés : un grand X, « \Delta X_n », « \Delta X - » \langle X_1, (t-1)^m \rangle = t\,m\,(t-1)^{m-1}\big|_{t=1} = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } m \neq 1 \\ 1 & \text{si } m = 1 \end{array} \right. \langle X_2, (t-1)^m \rangle = \Big\langle \frac{X_1^2}{2} - \frac{X_1}{2} \Big\rangle ~~t-1~~ \frac{m(m-1)}{2!} - \frac{m}{\ \ } le premier \langle de la dernière ligne est biffé et réécrit ~~X_n, s^m~~ X_2(t-1) = X_2(t) = \binom{1}{2} \qquad X_n = \binom{X}{n} X_n(t^m) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } m < n \\ t^m & \text{si } m = n \\ \ldots & \end{array} \right. \ (m \geq 0) \qquad X_n((t-1)^m) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } 0 \leq m < n \\ t^n & \text{si } m = n \\ 0 & \text{si } \ldots \end{array} \right. (t-1)^r \qquad \langle X_n, s^m \rangle \qquad \langle X_n, s^m \rangle = \delta_{nm} « m \geq 0 » est écrit sous l'accolade, précédé d'une flèche biffée ; la condition « 0 \leq m < n » est soulignée

Soit G un schéma en groupe affine sur A, A-simple \begin{align*} &\mathrm{Aff}_A(G) \quad \text{son algèbre affine} \\ &\mathcal{U}_A(G) \quad \text{son hyperalgèbre} \end{align*} « simple » est ici, comme dans le lot précédent, sa lecture du mot qui qualifie le schéma sur A ; « schéma en » est ajouté au-dessus de la ligne

Donc \mathrm{Aff}_A(G) est une A-algèbre commutative augmentée, munie d'un homom. diagonal multiplicatif, associatif, compatible avec les augmentations.

\mathcal{U}_A(G) est une A-algèbre en général non commutative, munie d'un homom. diagonal multiplicatif, associatif, commutatif avec les augmentations. « homom. » est une lecture douteuse dans les deux phrases

Il y a un produit scalaire \langle f, X \rangle = \langle X, f \rangle entre \mathrm{Aff}_A(G) et \mathcal{U}_A(G), ce dernier s'identifiant aux formes A-linéaires sur \mathrm{Aff}_A(G) qui s'annulent sur une puissance de l'idéal d'augmentation.

\mathcal{U}_A(G) opère à gauche et à droite sur \mathrm{Aff}_A(G) [qui est un bimodule sur \mathcal{U}_A(G)] \left\lbrace \begin{array}{l} \langle Y, X * f \rangle = \langle Y * X, f \rangle = \langle f, Y * X \rangle = \langle f * Y, X \rangle \\ \langle \varepsilon, X * f \rangle = \langle \varepsilon, f * X \rangle = \langle X, f \rangle \end{array} \right.

\mathrm{Aff}_A(G) opère ~~à gauche et à droite~~ sur \mathcal{U}_A(G) ; la formule est ~~transposée~~ analogue \langle g, f \lrcorner X \rangle = \langle gf, X \rangle \qquad \text{en particulier } \langle f, X \rangle = \varepsilon(f \lrcorner X)

Supposons maintenant que A \subset B, alors \mathrm{Aff}_B(G) = \mathrm{Aff}_A(G) \otimes_A B \supset \mathrm{Aff}_A(G) [on a une inclusion, car \mathrm{Aff}_A(G) plat sur A] \mathcal{U}_B(G) = \mathcal{U}_A(G) \otimes_A B \supset \mathcal{U}_A(G) [raison analogue ; la première égalité est due au fait que G est A-simple]

Proposition 1. Soit X \in \mathcal{U}_B(G). Conditions équivalentes

i)X \in \mathcal{U}_A(G) ii)X * \mathrm{Aff}_A(G) \subset \mathrm{Aff}_A(G) ii bis) \mathrm{Aff}_A(G) * X \subset \mathrm{Aff}_A(G) iii)\langle X, \mathrm{Aff}_A(G) \rangle \subset A

En effet, i) \Rightarrow ii) \Rightarrow iii) et i) \Rightarrow ii bis) \Rightarrow iii) triviaux. iii) implique que X X X est une forme A-linéaire sur \mathrm{Aff}_A(G) nulle sur une puissance de l'idéal d'augmentation, donc un élément X_0 de \mathcal{U}_A(G), qui induit évidemment défini par X. « i) \Rightarrow ii bis) \Rightarrow iii) » est écrit au-dessus de la ligne, avec des flèches doubles ; la phrase s'arrête au bas du feuillet

Proposition 2. Soit f \in \mathrm{Aff}_B(G) Supposons G A-connexe. Conditions équivalentes

i)f \in \mathrm{Aff}_A(G) ii)f \lrcorner\, \mathcal{U}_A(G) \subset \mathcal{U}_A(G) iii)\langle f, \mathcal{U}_A(G) \rangle \subset A

« Supposons G A-connexe » est ajouté au-dessus de la ligne, et remplace un mot biffé

Évidemment i) \Rightarrow ii) \Rightarrow iii) [et iii) \Rightarrow ii), car si X \in \mathcal{U}_A(G), pour prouver f \lrcorner X \in \mathcal{U}_A(G), il suffit (prop. 1) de vérifier que \langle g, f \lrcorner X \rangle \in A pour g \in \mathrm{Aff}_A(G), or \langle g, f \lrcorner X \rangle = \langle gf, X \rangle = \langle f, g \lrcorner X \rangle \in \langle f, \mathcal{U}_A(G) \rangle \subset A \ ]. Prouvons iii) \Rightarrow i), en utilisant que G est A-connexe. Soit C = \mathrm{Aff}_A(G), considérons le diagramme

\begin{tikzcd} C \arrow[r] \arrow[d] & C_B \arrow[d] \\ \widehat{C} = \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, A) \arrow[r] & \widehat{C}_B = \mathrm{Hom}_B(\mathcal{U}_B, B) \end{tikzcd}

où {}^\wedge désigne le séparé complété pour l'idéal d'augmentation. le C de « Soit C » surcharge un B noirci

Cohomologie de l'algèbre de Lie et cohom. des groupes …

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 36), de sa main ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Soit G un schéma en groupes simple sur S = \mathrm{Spec}\, A, A Artinien local. \mathfrak{g} = L_S(G)

(1) Si H^0(\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_0) = 0, \Longrightarrow G \to \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{g}) est un monomorphisme [donc si G_0 n'a pas de sous-groupe ~~distingué~~ non trivial, alors c'est une immersion fermée] le « (1) » n'est pas écrit ; la ligne commence par « Si », et la suite de la page renvoie à « (1) et (2) »

(2) « (1) et » H^1(\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_0) = 0 \Longleftrightarrow G \to \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{g}) est étale, [donc sous l'hypothèse dite plus haut, c'est une immersion ouverte, donc G \simeq \underline{\mathrm{Aut}}^0_S(\mathfrak{g}) si G à fibres connexes] la flèche de (1) est une flèche double surchargée, celle de (2) une flèche double réécrite ; dans (2), « (1) et » est ajouté au-dessus d'un mot biffé

(1) ~~(1) et (2)~~ \Longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{g}) \simeq \underline{\mathrm{Aut}}_S(G) si G connexe … suffirait si Tohoku , Tohoku vrai sur \mathbb{Z} … Utilisant contre-ex. … note écrite en biais dans la marge gauche, en face de (2) ; lecture incomplète. « Tohoku » est lu deux fois

Supposons non plus donné un schéma en groupes G, mais seulement une \mathfrak{g}, considérons H = \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{g}). ~~Alors~~ C'est un schéma en groupes sur S, et \mathrm{Lie}_k(H_0) = \mathfrak{h}_0 est isomorphe à l'algèbre de Lie des dérivations de \mathfrak{g}_0, d'où \mathfrak{g}_0 \to \mathfrak{h}_0, qui est un isom. si (1) et (2) sont satisfaites. S'il en est ainsi, on ne peut pas affirmer toutefois que H est simple sur S, suivante, ~~Mais dans~~ , si … (3) \quad H^2(\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_0) = 0 qui signifie aucune infinitésimale, qu'il n'y a pas de variation de structure non triviale de \mathfrak{g}_0, et implique que \underline{\mathrm{Aut}}_S(\mathfrak{g}) est simple sur S.

De plus, (1) (2) (3) [implique , inversement, si on G sur S donnant \mathfrak{g}] provient aussi [par G connexe] de G … de variations infinitésimales non triviales (Gerstenhaber),

Question de relations de la structure G, équivalente à la question de relations de la structure \mathfrak{g}. On trouve une interprétation des H^3(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}). le H^3 est lu sur un signe qui ressemble à « HB » ; la lecture de l'exposant est douteuse, de même dans le point (3) qui suit

(3) Si H^3(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}) = 0, alors peut relever groupe unique \mathfrak{g}, G équivalente. un « H^3 » isolé est écrit dans la marge en face de (3)

Question. Définir H^*(G, \mathfrak{g}) \longrightarrow H^*(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}) [plus généralement, si une représentation linéaire de G …]. Suite spectrale reliant H^*(G, \ ) et H^*(\mathfrak{g}, \ ) ?? Cela exprimerait la « différence » entre le global et l'infinitésimal.

Supposons G semi-simple adjoint. A-t-on alors H^*(G, \mathfrak{g}) = H^*(\mathfrak{g}, \mathfrak{g}) = 0 \quad ?? « Question » est souligné