Cote n° 45 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Groupes semi-simples : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (1961)
Datation de l’inventaire : 1961-[vers 1970]
Édition de démonstration

Groupes semi-simples

« Groupes semi-simples », inscrit à l'encre brune en haut à droite de la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

Application des s.-alg. de Cartan aux corps de dim. 1

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 2), de sa main ; ce feuillet de garde ne reçoit pas de numéro de page

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Lemme 1. Soit \(k\) un corps, et supposons que les conditions suivantes soient vérifiées (\(K\) commutatif) :

[…] On a \(H^2(k,K)=0\) dans les cas suivants

le signe qui ouvre la ligne « On a … » est un numéro surchargé, peut-être un chiffre entouré ; il n'est pas lu. Les \(K\) des quatre cas sont repassés

Alors pour toute […] [suite] exacte de schémas en groupes alg. \[ e \to K \to G \to G' \to e \] […] commutatifs) tels que \(K\) [\(G\), \(G'\)] simples\(/k\), […], \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) surjectif. « \(G\), \(G'\) » est ajouté au-dessus de la ligne, avec une accolade

Inutile de supposer […] […] algébrique […] note écrite en biais dans la marge gauche, en bas du premier tiers ; lecture très incomplète

Principe de démonstration. On prend un tore maximal \(T\) de \(K\) défini sur \(k\), et utilisant le th. de conjugaison, on voit que \(N_G(T) \to G'\) est injectif [épim.], donc on a \[ e \to N_K(T) \to N_G(T) \to G' \to e \] […] on peut supposer \(T\) invariant dans \(G\), […] fonction dans \(K\). On se ramène aux deux cas 1) \(K\) est un tore 1') \(K\) est […] [de dim.] nilpotent. Par dévissage, on se ramène au cas évident : 2) \(K\) est fini étale\(/k\) 1'') \(K\) […], et quotient […] d'une VA […] unipotent. Par dévissage avec les commutateurs successifs, […] […]

[…] \(K\) […] ??? […] dévissage […] fini […] commutatifs […] longue note en biais dans la marge gauche de la moitié inférieure, en plusieurs lignes ; seuls quelques mots se lisent

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dans 1'') au-dessus de la première ligne, avec un trait qui renvoie au cas 1'') de la page 3 au cas d'un groupe commutatif, et par dévissage encore au cas où ce groupe […], soit \(pK = K\), soit \(pK = 0\), i.e. les cas 3) \(K\) une VA. 4) \(K\) unipotent comm. connexe annulé par \(p\).

Reste le cas 2), i.e. \(K\) fini étale sur \(k\), pas néc. commutatif, on note que l'on a une suite exacte (où \(\bar k\) est la clôture algébrique séparable de \(k\)) \[ e \to K(\bar k) \to G(\bar k) \to G'(\bar k) \to e \] et on conclut de l'argument de […]-Serre, […] \(H^1(\pi, G(\bar k)) \to H^1(\pi, G'(\bar k))\) surjectif si \(H^2(\pi,A)=0\) pour tt tt \(\pi\)-module fini \(A\). Or cette hypothèse signifie \(H^2(k,K)\) [\(=0\)] pour tt \(K\) fini étale sur \(k\), et […] un […] \(G\) […] simple sur \(k\), […] \[ H^i(k,G) \simeq H^i(\pi, G(\bar k)) \] pour tt \(i\), en particulier […] encadré à droite de la formule, qui est soulignée d'un trait ondulé […] le lemme.

Corollaire. Supposons que \(H^2(k,K)=0\) pour tt \(K\) fini sur \(k\) (pas néc. étale\(/k\)). Alors les conditions hyp. du lemme 1 sont vérifiées, donc aussi la conclusion.

Notons d'abord que si \(G\) simple sur \(k\), alors les \(H^i(k,G)\) sont de torsion pour \(i>0\) [car \(= H^i(\pi, G(\bar k))\)] donc […] tt \(\xi \in\)

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\(H^i(k,G)\) provient d'un \(H^i(k, {}_nG)\). Or si \(G\) est une VA ou un tore, \({}_nG\) est fini sur \(k\). Cela montre que les conditions du lemme 1 sont vérifiées pour a) b) c). Reste à vérifier d). Pour ceci, on ne suppose utilise […] le fait que \(H^2(k,U)\) devient nul sur une extension de \(k\) de la forme \(k^{p^{-n}}\), [car \(U\) splitte sur une telle extension en groupes additifs] et on va prouver le

Lemme 2. Pour tt schéma en groupes \(G\) sur \(k\), le noyau de \(H^i(k,G) \to H^i(k^{p^{-n}},G)\) est égal à celui de \(H^i(k,G) \xrightarrow{F^n} H^i(k, G^{(p^n)})\) défini par \(F^n\) (\(F = \) Frob). Plus précisément, on a commutativité dans le diagramme

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\begin{tikzcd}
H^i(k,G) \arrow[r] \arrow[dr, "F^n"'] & H^i(k^{p^{-n}}, G) \arrow[d, "\wr"] \\
 & H^i(k, G^{(p^n)})
\end{tikzcd}

à la suite de \(H^i(k^{p^{-n}},G)\), sur la même ligne, un « \(\simeq H^i(k, G^{(p^n)})\) » biffé, remplacé par la flèche verticale

[Pour le voir, on est ramené au cas des \(H^0\), où c'est trivial […]. On n'a pas besoin que \(G\) soit représentable …].

Pour […] utiliser […] […] […] cas […] groupe […] ??? F.N.B. note en biais dans la marge gauche, en face de l'énoncé du lemme 2, séparée du texte par un trait vertical ; lecture très incomplète. En dessous, dans la même marge, le diagramme suivant

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\begin{tikzcd}
G \arrow[d, "p"'] & G^{(p^n)} \arrow[l, "p^n"'] \arrow[d] & G \arrow[l, "F^n"'] \arrow[dl, "p"] \\
S & S \arrow[l, "\varphi_S"] &
\end{tikzcd}

dessiné dans la marge : un arc \(\varphi_G\) va de la dernière colonne à la première au-dessus du rang supérieur ; « cart. » est écrit dans le carré de gauche ; sous les deux \(S\) : « \(= \mathrm{Spec}(k)\) » et « \(\lambda \mapsto \lambda^{p^n}\) ». L'étiquette de la flèche du haut à gauche est douteuse

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Corollaire. Ledit noyau est aussi égal à l'image de \(H^i(k, \mathrm{Ker}(F_G^n))\), \(F_G^n : G \to G^{(p^n)}\) le Frobenius itéré.

Or si \(G\) est simple\(/k\), alors \(F_G^n\) est radiciel, donc son noyau est radiciel\(/k\), […] fini. Cela achève de prouver le Corollaire du lemme 1.

Lemme 3. Pour que \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) soit surjectif pour tt épim. \(G \to G'\) de schémas en groupes algébriques, il suffit qu'il en soit ainsi dans les deux cas suivants :

Dém. Dans le cas général, il existe un plus grand sous-groupe radiciel [\(I\)] de \(G\) [noyau d'un Frobenius itéré convenable] tel que \(G/I\) […] et \(K/I \cap K\) sont simples\(/k\). Considérons

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\begin{tikzcd}
e \arrow[r] & K \arrow[r] \arrow[d] & G \arrow[r, "d"] \arrow[d, "u"] & G/K \arrow[r] \arrow[d, "v"] & e \\
e \arrow[r] & K/K \cap I \arrow[r] & G/I \arrow[r, "d'"] & G/KI \arrow[r] & e
\end{tikzcd}

Notons d'[…]

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\begin{tikzcd}
H^1(k,I) \arrow[r] \arrow[d] & H^1(k, I/I \cap K) \arrow[d] \\
H^1(k,G) \arrow[r, "d_1"] \arrow[d, "u_1"'] & H^1(k, G/K) \arrow[d, "v_1"] \\
H^1(k, G/I) \arrow[r, "d_1'"] & H^1(k, G/KI)
\end{tikzcd}

Par l'hypothèse [a)], \(u_1\) et \(d_1'\) sont surjectifs, et \(d_1' u_1 = v_1 d_1\). Soit, donc, \(\xi' \in H^1(k, G/K)\), il existe \(\xi \in H^1(k,G)\) tel que \(\xi'\) et \(d_1(\xi)\) aient même image dans \(H^1(k, G/KI)\). Compte tenu […] formes tordues, on peut supposer \(\xi' = 0\) [?], donc que \(v_1(\xi) = 0\), donc […] […] […] provient d'un \(\eta \in H^1(k, KI/K) = H^1(k, I/I \cap K)\). Or par hypothèse b), […] \(\eta\) est dans l'image de \(H^1(k,I)\), et […] […]. la lecture « \(\xi' = 0\) » est douteuse ; les lettres grecques de ce passage se distinguent mal de celles de la ligne précédente

Lemme 4. Supposons que […] […]

c) \(H^2(k,K) = 0\) si \(K\) groupe [(commutatif)] fini radiciel sur \(k\). « (commutatif) » est ajouté au-dessus de la ligne, dans une accolade

Alors pour toute […] suite exacte de groupes algébriques \[ e \to K \to G \to G' \to e \] avec \(K\) radiciel [pas nécessairement commutatif !], […] \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) surjectif.

Par dévissage, on peut supposer \(K\) « de hauteur 1 ». Soit \(\mathfrak{k}\) son algèbre de

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Lie, donc \(G\) opère sur \(\mathfrak{k}\). Soit \(\mathfrak{h}\) une sous-algèbre de Cartan [existe toujours], et considérons \(N_G(\mathfrak{h})\), alors l'argument déjà utilisé montre que \(N_G(\mathfrak{h}) . K = G\), donc […] […] . […] suite exacte \[ e \to N_K(\mathfrak{h}) \to N_G(\mathfrak{h}) \to G' \to e \] et […] peut donc supposer que \(G\) normalise \(\mathfrak{h}\). Mais alors \(K\) normalise \(\mathfrak{h}\), donc \(\mathfrak{k}\) […], donc \(\mathfrak{h} = \mathfrak{k}\), donc \(\mathfrak{k}\) est nilpotente. […] \(\mathfrak{k}\) se divise […] […], donc [[…] […] […] […]] \(K\) aussi se divise en groupes commutatifs [NB. \([\mathfrak{h},\mathfrak{h}]\) est un […] de Lie […] correspondant […] […]]. […] […] \(K\) commutatif, OK. \(\mathfrak{h}\) et \(\mathfrak{k}\) sont écrits en gothique ; le \(K\) de \(N_K(\mathfrak{h})\) est repassé en noir sur un premier indice

puisque […] […] conjugaison […] sous-algèbres de Cartan note de la marge gauche, en face de la suite exacte, en cinq lignes soulignées ; elle se rattache par un trait à la phrase biffée

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Lemme 5. Supposons que pour tte extension [radicielle] […] [finie] \(k'\) de \(k\), on ait \(\mathrm{Br}(k') = 0\). Alors […] \(H^i(k,K) = 0\) pour \(i \geq 2\), \(K\) groupe commutatif fini […] \(k\). le \(K\) de « \(H^i(k,K)\) » et le mot « Br » sont repassés ; « Br » surcharge une autre lettre

En effet, […] […] extension […] \(\mathrm{Br}(K') = 0\). […] […] […] […] […] fini, […] que \(K\) […] […], […] […] […] dévissage, […]. […] […] […] […] deux lignes au moins sont biffées ici, dont une interlinéaire ; elles ne sont pas lues

\(K\) […] […] […] […] […] soit […] de t.m. […] \(k\), soit […] […] […] […] […] isomorphes : ex. […] […] […] […] […] \(\ldots\) […] […]. […] […] […] \[ e \to K \to G \to G' \to e \] […] \(G\), \(G'\) […] tores, et […] […] Tate–Nakayama \[ H^i(k,G) = H^i(k,G') = 0 \quad \text{pour } i > 0 \] [NB. […] […] […] = cohomologie galoisienne […]]. On en conclut \(H^i(k,K) = 0\) pour \(i \geq 2\).

D'où le cas […] […] \(\alpha_p\) : il est bien connu […] \(H^i(k, \alpha_p) = 0\) tt \(i\).

[…] […] […] \(H^i(k,\mathcal{U}) = 0\) […] \(i \geq 2\) […] \(\mathcal{U}\) […] […] […] […] […] […] longue note en biais dans la marge gauche, reliée par une flèche au bas de l'énoncé du lemme 5 ; le \(\mathcal{U}\) est ronde

Théorème. Soit \(k\) un corps […] […] \(\mathrm{cd}(k) \leq 1\). […] […] \(e \to K \to G \to G'\) [Alors […] épim. \(G \to G'\) de] […] \(k\). \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) […] […] épimorphisme. « \(G \to G'\) de » est écrit au-dessus d'une ligne biffée qui portait une suite exacte

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Soit \(k\) un corps […] […] au-dessus de l'énoncé, relié à lui par un trait

Théorème. Soit \(K\) un groupe algébrique sur \(k\), et \(K'\) une forme sur \(k\), localement isomorphe […] \(K\). Alors \[ H^2(k,K') = H^2(k,K')' = \{\ill{}\} \ \text{\uncertain{universellement}}. \] l'élément de l'ensemble entre accolades est surchargé

En effet, \(K'\) provient d'un élément de \(H^1(k, \mathrm{Aut\,Ext}(K))\), qui […] […] précisément (localement […] fini […]) \(\ldots\) \(\mathrm{Aut}(K)\) […] […] […] […] […] algébrique […]) \(\mathrm{Aut\,Ext}\) est souligné, avec « Aut » biffé puis réécrit ; le second « Aut(K) » est souligné provient d'un […] de \(H^1(k, \mathrm{Aut}(K))\), […] prouve que la […] \(K'\) […] […] […] […] \(K\), [[…] […] : \(K\)], […] […] \(H^2(k,K')' \neq \emptyset\). \(H^2(k,\) […] \(H^2(k,K') \neq \emptyset\) […] […] […] principal […] \(H^2(k,\mathfrak{Z})\), \(\mathfrak{Z}\) le centre de \(K'\) ; […] […] \(K\), […] […] […] […] \(H^2(k,\mathfrak{Z}) = 0\). […] \(H^2(k,K')\) […] : […] […], […] \(H^2(k,K')'\) […] [[…] […] […] […] […] […]]. le \(\mathfrak{Z}\) du centre est une lettre gothique en forme de 3, transcrite une fois pour toutes ainsi

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Noyau \(K\) sur le site \(X\). Question : \(K\) provient-il d'un faisceau en groupes, i.e. \(c(K) \in H^2(X, \Pi(K))\) est-il un […] \(H^2(X,\Pi(K))'\) ???

Supposons que l'on puisse […] […] […]

À un noyau \(K\), est associé le faisceau \(\mathcal{V}(K)\) des classes de sous-groupes de \(K\). Supposons […] […] […] \(\mathcal{V}(K) \to \mathcal{V}(K)\), […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] \(\mathcal{V}(K)\). Alors on peut […] […] […] […] […] \(\mathcal{V}(K)\), un passage de trois lignes est biffé, avec des boucles de renvoi ; au-dessus, une insertion elle aussi biffée porte « \(\mathcal{V}(\varphi)\) » Chaque fois qu'on a un […] de noyaux \(K_0 \to K\) […] « injectif », il définit une section de \(\mathcal{V}(K)\) [noyau image …]

D'ailleurs Mais une section de \(\mathcal{V}(K)\) ne provient en général pas d'un sous-noyau de \(K\), sauf celles qui sont stables par l'opération \(\mathrm{Nor}\) [« Normalisateur »]. Plus généralement, si \(\varphi\) est une section de \(\mathcal{V}(K)\), alors \(\mathrm{Nor}(\varphi)\) provient d'un sous-noyau de \(K\), soit \(\underline{\mathrm{Nor}}(\varphi)\), exemple \(\mathfrak{Z}(K) = \underline{\mathrm{Nor}}(e)\).

Supposons que […] […], […] trouve une classe canonique […] \(H^2(X, \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi))\) […] l'image […] \(H^2(X, \Pi(K))\) […] […] \(c(K)\) : […] […] […] […] […] […] catégorie locale

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2-catégorie des faisceaux en groupes, munis d'un […] de noyaux avec \(K\), \(\pm\) d'un sous-faisceau en groupes […] […] […] indiqués par \(\varphi\).

Si \(c(K,\varphi) \in H^2(X, \underline{\mathrm{Nor}}(\varphi))'\), alors \(c(K) \in H^2(X, \Pi(K))'\) !

[Principe de réduction du […]]

Autre principe de réduction. Supposons que […] […] un homom. de noyaux [« injectif »] \(K \to K'\), et […] […] […] […] \(K' = \widetilde{F'}\), […] \(F'\) […] un faisceau en groupes.

Alors il existe […] Considérons la catégorie locale des faisceaux en groupes \(F\), munis d'un […] \(F \to F'\), et d'un isom. \(\widetilde{F} \simeq K\), compatibles […] \(K \to K'\) et \(K' \simeq \widetilde{F'}\). C'est une catégorie […], et correspond à un noyau \(K''\) […] […] lié […] […] suite exacte \[ e \to K'' \to \Pi(K) \to \Pi(K') \to e . \] Alors Considérons la classe \(c' \in H^2(X, K'')\). Son image dans \(\Pi(K)\) \(H^2(X, \Pi(K))\) est définie et est \(c(K)\), donc si \(c' \in H^2(X,K'')'\), alors \(c \in H^2(X, \Pi(K))'\). \(\Pi(K)\) est écrit avec un \(\Pi\) majuscule repassé, qu'on garde tel quel ; la lecture reste douteuse. De même le \(\mathcal{V}\) du faisceau des classes de sous-groupes

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\(K\) noyau algébrique sur \(k\) corps de Tsen. On veut prouver \(H^2(k,K) = H^2(k,K)' \simeq\) un élément [résultera formellement de \(\underline{\underline{H^2(k,K)' \neq \emptyset}}\), compte tenu que \(H^2(k, \mathfrak{Z}(K)) = 0\) !] […] […] […] […] \(K\), […] […] […]

a) \(\dim K = 0\). On raisonne par récurrence sur le degré de \(K\). Trivial si est égal à \(1\). S'il est \(>1\), par dévissage [(2e principe de réduction)], on est ramené aux cas suivants

\(K\) […] […] (trivial) \([K,K] = K\) en particulier \(K\) sans centre. accolade à droite du cas (i), en marge \(K\) radiciel de hauteur \(1\) et \([K,K] = 1\) en particulier \(K\) sans centre.

Le cas (i) correspond à une homom. de \(\pi\) [groupe de Galois top. de \(\bar k/k\)] dans \(\mathrm{Autext}(A)\), \(A\) groupe fini convenable. On sait qu'il se remonte à un homom. \(\pi \to \mathrm{Aut}(A)\), [Schreier, Serre] donc […] […] …

Dans le cas (ii), on considère les sections \(\varphi\) de \(\mathcal{V}(K)\) correspondant aux « s.-groupes de Cartan [infinitésimaux] » […] […] qui satisfont \(\mathrm{Nor}(\varphi) = \varphi\). […] Par le principe de réduction \(1\), on est

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ramené au cas où \(K\) correspond à des p-algèbres de Lie nilpotentes, puis, par le principe 2, au cas où \(K\) est commutatif, […] OK.

b) \(\dim K > 0\). Par le principe 1 […] on est ramené (grâce aux commutateurs) au cas où \(K\) est soit commutatif [alors OK], soit \(K = [K,K]\), qui implique \(K\) affine. […] Par le principe [divisant par un noyau de Frobenius, et utilisant le cas a)] on est ramené au cas où \(K\) est simple\(/k\).

Enfin, si […] […], on peut […] […] Prenant alors, la section \(\varphi\) de \(\mathcal{V}(K)\) correspondant aux tores maximaux, on […] […] ramené [par le principe 1] au cas où le tore maximal est […] invariant, donc par le principe 2 aux deux [trois] cas suivants : a) \(K\) fini, déjà traité b) \(K\) unipotent connexe […] […] […] […] […] […] […] […] […], […] […] […], […] Alors on est ramené par dévissage par commutateurs, au cas commutatif, qui est OK. deux lignes biffées, reliées par des traits de renvoi, précèdent « Alors on est ramené » ; un cadre vide dans la marge gauche les accompagne. Le troisième cas annoncé n'est pas lu

Cas non semi-simple

inscrit en haut à droite d'un feuillet par ailleurs blanc (page 15), de sa main, sous une ligne biffée (« Égalité […] […] ») ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. « semi- » est écrit avec le signe ½, son abréviation habituelle. Le texte continue : Question de rationalité du radical, définition de la « variété des drapeaux » etc.

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Soient \(a \in k\), et \(G\) le groupe \[ G = \left\lbrace \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & v \\ & & w & z \end{pmatrix} \;\middle|\; \begin{vmatrix} x & ay \\ y & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u & v \\ w & z \end{vmatrix} \neq 0 \right\rbrace . \] \[ \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & v \\ & & w & z \end{pmatrix} \rightsquigarrow \begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix} \big/ (\text{centre}) \] est un homom. sur \(GP(2)\) dont le noyau est \[ Z = \left\lbrace \begin{pmatrix} x & ay & & \\ y & x & & \\ & & u & 0 \\ & & 0 & u \end{pmatrix} \;\middle|\; x^2 - ay^2 = u^2 \neq 0 \right\rbrace = \text{centre de } G = \text{radical de } G . \] \(G\) est déf. sur \(k\), mais si caract. \(= 2\), \(a \notin k^2\), \(Z\) ne l'est pas.

\(\exists\) exemples analogues pour chaque caract. \(p \neq 0\). fiche blanche de petit format, écrite d'une main posée, plus ronde que celle des pages voisines ; les blancs des matrices sont des zéros sur la page. « \(GP(2)\) » est lu tel quel

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Borel est son propre normalisateur encadré en haut de la page

(i) \(B\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) (ii) \(\mathfrak{L}\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) (iii) \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) immersion la troisième équivalence est une flèche double tracée en biais de (i)–(ii) vers (iii). Sous \(\mathrm{Drap}(G)\), « \(= G/B\) » ; sous \(\mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\), « \(\supset G/\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})\) », relié par un trait à \(\mathrm{Drap}(G)\). \(\mathfrak{L}\) est l'algèbre de Lie de \(B\), écrite en ronde

(i) \(\Rightarrow\) (ii) trivial, car [pour grp. alg. \(B\)] \(\mathrm{Lie}\, N_G(B) = \mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}} \mathfrak{L}\).

(ii) \(\Rightarrow\) (i), on sait \(B'\) le normalisateur \(B' \supset B\), s'il a […] algèbre de Lie alors \(B = B'^0\), donc \(B'\) normalise \(B\) connexe, donc \(B = B'\) connexe, donc \(B = B'\).

(iii) \(\Leftarrow\) (ii) […] […] [trivial] […] définitions […] […] la suite est prise dans un cadre et barrée de deux longues diagonales ; elle se lit en partie […] tores maximaux localisés […] \(B\) […] \(\mathfrak{L}\), \[ \mathfrak{g}/\mathfrak{L} \longrightarrow \mathrm{Grass}(\mathfrak{g}) \ (\ill{}) , \qquad \check{H}\ldots(\mathfrak{L}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) \] […] \(X\) […] \(D_X(\mathfrak{L})\), […] […] […] est égal à \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L})/\mathfrak{L}\). Donc (iii) signifie que \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) est […] vérifiée, […] il en résulte que […] […], […] […] normalisateur […]

Ces conditions ne sont pas toujours vérifiées, par ex. \(SL(2)\) en car. \(2\) les met en défaut.

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pas […] fermé en haut à droite, relié par un trait à « \(K \subset G\) »

Corollaire. Dans le cas où \(K \subset G\), \(G\) de t. multiplicatif de t.f. sur \(S\), [\(\exists\) […] tel que \(K \subset {}_nG\), où \({}_nG\) est fini sur \(S\)] \(K\) est fini sur \(S\).

Donc si […] […] […] […] […] […] résidu […] […] kif kif […] […] […] Nakayama !

la page est barrée de deux longues diagonales

Reste : prouver le lemme […] […] […] […] sous-groupe […] […] […]. On utilise le

Lemme de Chevalley. Soit \(G\) groupe [de t.f.] affine sur \(k\), \(H\) ss-groupe de \(G\). Alors \(\exists\) repr. linéaire de \(G\) sur un espace \(V\), et un \(x \in V^{*}\), tel que \(H\) soit le stabilisateur de \(\bar x\) dans le proj. correspondant …

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1) \(B\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) \(\mathfrak{L}\) normalisateur de \(\mathfrak{L}\) \(\iff\) (\(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\)) monomorphisme [faux par ex. pour \(G\) semi-simple non […] (excepté \(Gl(2,k)\), \(k\) de car. \(2\))]

b) \(B\) […] […] […] \(\mathfrak{L}\)

1') \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) injectif ?? pas radiciel C'est vrai pour \(G = Sl(2)\) […], mais moins intéressant […] […] […] […] monomorphisme

2) \(T \subset G\) [tore maximal] donné, \(\mathrm{Drap}_T(G)\) schéma des Borels contenant \(T\), est-il vrai que \(\mathrm{Drap}_T(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) est un monomorphisme ? « tore maximal » est encerclé au-dessus de « donné » ; la question est entourée d'une longue boucle qui continue sur la ligne suivante Comme Il suffit […] […] […] […] \(k\)] que […] […] fini soit injectif. […] […], que \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) soit […] […]

[…], si \(B \supset T\) On est ramené au cas \(G\) semi-simple, et […] […] certain que \(B\) est […] \(T . \prod_{\alpha \in S} P_\alpha\), où [les] […] \(P_\alpha\) […] correspondant […] […] \(P_\alpha\) […] […] […] \(\mathfrak{g}_\alpha \subset \mathfrak{L}\), […] déterminés par \(B\).

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Théorème. \(G\) […] réductif, \(C\) un sous-groupe de Cartan, \(H\) un sous-schéma en groupes de \(G\), simple\(/S\), à fibres connexes, contenant \(C\), \(\mathfrak{h}\) [\(\subset \mathfrak{g}\)] […] sa sous-alg. de Lie. Alors \(H\) est déterminé de façon unique par \(C\) et \(\mathfrak{h}\) et les conditions précédentes, i.e. tout autre [ss-]groupe \(H_1\) satisfaisant aux conditions et tel que \(\mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}\), est égal à \(H\).

Lorsque les Soit \(T\) le tore maximal de \(C\). […] les conditions infinitésimales [[…] un \(\mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T)\)] de \(T\) opérant sur \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\) […] \(\neq 0\) sur chaque fibre, […] […] que […] chaque fibre \(\mathfrak{h}\) est son propre normalisateur, alors par Exposé […] Demazure, il s'ensuit que \(H = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{h})^0\), et […] rigide. Dans le cas général soit \(\mathfrak{Z}\) le centre réductif de \(G\), contenu dans \(T\), donc dans \(H\). Ceci […] : divisant par \(\mathfrak{Z}\), […] on est ramené à la situation où \(\mathfrak{Z} = 0\). Alors \(\mathfrak{t}\) opère fidèlement la page est barrée de deux longues diagonales ; la phrase s'arrête au bas du feuillet et continue dans le lot suivant