Cote n° 45 · pages 1–79 · Lecture modernisée · Groupes semi-simples : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (1961) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1961-[vers 1970]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier ne porte aucune pagination de sa main. Il se compose de liasses séparées par des feuillets titrés, dans l'ordre de reliure suivant, qu'on garde.

• Pages 1 à 14 : « Application des sous-algèbres de Cartan aux corps de dimension 1 » — surjectivité de \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\), liens sur un site, neutralité du \(H^2\) d'un lien sur un corps de Tsen.
• Pages 15 à 26 : « Cas non semi-simple. Question de rationalité du radical, définition de la variété des drapeaux, etc. » — l'exemple de la page 16, les sous-groupes de Borel et l'algèbre de Lie, les sous-groupes contenant un sous-groupe de Cartan, une remarque sur \(\mathbf{Pic}^{\tau}\).
• Pages 27 à 35 : « Groupes radiciels et hyperalgèbres des groupes diagonalisables » — hyperalgèbres de \(\mathbb{G}_a\), d'un fibré vectoriel, de \(\mathbb{G}_m\), et la dualité avec l'algèbre affine.
• Pages 36 à 41 : « Cohomologie de l'algèbre de Lie et cohomologie des groupes » — \(G \to \mathbf{Aut}(\mathfrak{g})\) sur une base artinienne, et les algèbres de Lie de rang 1 en caractéristique 2.
• Pages 43 à 58 : « \(H^1\) » — formes d'un groupe réductif, forme quasi-déployée, tores de Killing, et la table des conjugaisons.
• Pages 60 à 78 : « Formes quadratiques, bilinéaires symétriques, etc. » — notes sur les catégories de formes et les groupes orthogonaux (pages 61 à 69), la lettre dactylographiée à Delzant (pages 71 à 74), les exposés de Kneser (pages 75 à 77), une ébauche locale-globale (page 78).

Le fil. Le titre de la chemise ne dit pas tout : ce qui relie les liasses est la théorie des formes. Les pages 1 à 14 montrent que sur un corps de dimension 1 la cohomologie des groupes algébriques se laisse dévisser jusqu'au cas commutatif, où elle s'annule ; les pages 43 à 58 classent les formes d'un groupe réductif sur une base quelconque, là où cette annulation manque ; les pages 60 à 78 font la même chose pour le groupe orthogonal, c'est-à-dire pour les formes quadratiques, où les invariants cohomologiques sont explicites. Les liasses intermédiaires (pages 15 à 41) sont l'outillage infinitésimal : algèbres de Lie, normalisateurs, hyperalgèbres, déformations ; elles servent à la fois aux réductions des pages 1 à 14 (sous-algèbres de Cartan d'un noyau radiciel) et à la rigidité des sous-groupes de Borel.

Conventions. « Lisse » traduit ce que les pages appellent « simple » sur \(k\) ou sur \(S\)¹ . Pour un schéma en groupes \(G\) sur un corps \(k\), \(H^i(k,G)\) est la cohomologie plate (fppf) ; elle coïncide avec la cohomologie galoisienne \(H^i(\pi, G(\bar k))\) lorsque \(G\) est lisse, \(\pi\) désignant le groupe de Galois de la clôture séparable \(\bar k\). Ce que les pages appellent un noyau est un lien au sens de Giraud ; pour un lien \(L\), \(H^2(k,L)\) est l'ensemble des classes de gerbes liées par \(L\) et \(H^2(k,L)'\) (le prime est le sien) le sous-ensemble des classes neutres. Les foncteurs de points que la page souligne sont écrits en gras : \(\mathbf{Aut}\), \(\mathbf{Isom}\), \(\mathbf{Pic}\). Aux pages 44 à 58, \(G_0\) est un groupe réductif déployé sur \(\mathbb{Z}\) muni d'un couple \(T_0 \subset B_0\), \(\Gamma_0 = \mathbf{Aut}(G_0)\), \(\Pi_0 = \mathrm{ad}(G_0)\) le groupe adjoint, \(E_0 = \mathbf{Ext}(G_0)\) le groupe des automorphismes extérieurs, de sorte que \(\Gamma_0 = E_0 \ltimes \Pi_0\) ; l'indice \(1\) désigne le tordu par le type extérieur \(\rho\). Deux objets portent des noms voisins qu'on distingue : le sous-groupe de Cartan \(C\) d'un groupe (pages 20 et 24) et la sous-algèbre de Cartan \(\mathfrak{h}\) d'une algèbre de Lie (pages 8 et 13).

Ce qui est annoncé et non établi. L'étape « conjugaison des sous-algèbres de Cartan » du lemme 4 (page 8) et de la page 13 n'est pas justifiée ; le théorème sur les liens d'un corps de Tsen (pages 13 et 14) est une esquisse dont plusieurs étapes sont illisibles ; b) du théorème de la page 25 porte un point d'interrogation ; l'application à \(\mathbf{Pic}^{\tau}\) (page 26) est annoncée ; la proposition 2 (page 35) s'arrête sur un diagramme ; les énoncés (3) et l'interprétation de \(H^3\) (pages 37 à 39) sont affirmés sans démonstration ; les questions des pages 39, 54 et 76 restent ouvertes sur la page ; les suites de la page 78 sont écrites sans justification.

Pièces d'autres mains. Une vingtaine de feuillets sont des pages ronéotypées réemployées comme papier brouillon, au verso de ses notes : un texte sur les plans ordonnés (pages 30, 32), un texte sur les préschémas intègres (38, 40), une bibliographie sur la ramification (42), un texte sur les faisceaux fins (45, 47), un texte sur les formes hermitiennes (49 à 59), un texte sur l'algèbre extérieure (62 à 70, 79). Ils ne portent rien de sa main et on ne les lit pas. Le « tapuscrit annoté (1961) » du titre est, lui, de lui : ce sont les pages 71 à 74, lues plus bas.

1–14

Cohomologie galoisienne sur les corps de dimension 1 (pages 1 à 14)

La chemise porte seulement « Groupes semi-simples » ; un premier feuillet de garde, « Application des sous-algèbres de Cartan aux corps de dimension 1 »² , annonce la première liasse. Elle a deux parties : une suite de lemmes qui ramènent la surjectivité de \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) à l'annulation de \(H^2\) pour des groupes commutatifs (pages 3 à 10), puis la même stratégie appliquée aux liens (pages 11 à 14).

3–4

Le lemme 1 : se ramener au cas commutatif (pages 3 et 4)

Lemme 1. Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p \geq 0\). Supposons que \(H^2(k,K) = 0\) pour tout \(k\)-groupe commutatif \(K\) de l'un des types suivants :

• a)un tore ;
• b)un groupe fini étale ;
• c)une variété abélienne ;
• d)un groupe unipotent commutatif connexe annulé par \(p\).

Alors, pour toute suite exacte \(e \to K \to G \to G' \to e\) de groupes algébriques lisses sur \(k\), l'application \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) est surjective³ .

L'hypothèse porte sur tous les groupes de ces types, et c'est ce qui la rend utilisable : quand on relève une classe \(\xi' \in H^1(k,G')\) à travers une extension à noyau commutatif \(A\) normal dans \(G\), l'obstruction vit dans \(H^2(k, {}_{\xi'}A)\), où \({}_{\xi'}A\) est le tordu de \(A\) par \(\xi'\) (Serre, Cohomologie galoisienne, chap. I, § 5) ; ce tordu est encore un tore, un groupe fini étale, une variété abélienne ou un groupe unipotent du même type, et l'hypothèse le tue⁴ .

Démonstration. Soit \(T\) un tore maximal de la composante neutre \(K^0\), défini sur \(k\) (il en existe toujours). Les tores maximaux de \(K^0\) étant conjugués sous \(K^0(\bar k)\), l'argument de Frattini donne \(G = N_G(T) \cdot K^0\), donc une suite exacte \[ e \to N_K(T) \to N_G(T) \to G' \to e \] de groupes lisses⁵ . Une classe de \(H^1(k,G')\) qui se relève à \(N_G(T)\) se relève à \(G\) ; on peut donc remplacer \(G\) par \(N_G(T)\) et supposer \(T\) distingué dans \(G\). On dévisse alors \(K\) :

• le tore \(T\) lui-même, cas a) ;
• le quotient \(K^0/T\), qui ne contient plus de tore non trivial, est extension d'une variété abélienne par un groupe unipotent connexe ; par la suite des commutateurs successifs on se ramène au cas commutatif, puis, en séparant les cas \(pK = K\) et \(pK = 0\), aux cas c) et d) ;
• le groupe fini étale \(K/K^0\), pas nécessairement commutatif.

Ce dernier cas se traite directement sur les points : on a une suite exacte de \(\pi\)-groupes \(e \to K(\bar k) \to G(\bar k) \to G'(\bar k) \to e\), et un argument de Schreier et Serre montre que \(H^1(\pi,G(\bar k)) \to H^1(\pi,G'(\bar k))\) est surjectif dès que \(H^2(\pi,A) = 0\) pour tout \(\pi\)-module fini \(A\), c'est-à-dire dès que \(\mathrm{cd}(\pi) \leq 1\)⁶ . Cette condition est exactement b) pour tous les \(K\) finis étales, et, \(G\) étant lisse, \(H^i(k,G) = H^i(\pi,G(\bar k))\).

4–6

Frobenius et extensions radicielles : le lemme 2 (pages 4 à 6)

Corollaire. Supposons que \(H^2(k,K) = 0\) pour tout \(k\)-groupe commutatif fini \(K\), étale ou non. Alors les hypothèses du lemme 1 sont vérifiées, donc sa conclusion aussi.

En effet, si \(G\) est commutatif et lisse, \(H^i(k,G) = H^i(\pi,G(\bar k))\) est de torsion pour \(i > 0\), et la suite exacte de Kummer \(0 \to {}_nG \to G \xrightarrow{n} G \to 0\) montre qu'une classe de \(H^2(k,G)\) tuée par \(n\) provient de \(H^2(k,{}_nG)\). Pour un tore ou une variété abélienne, \({}_nG\) est fini sur \(k\) ; d'où a), b), c). Pour d), on utilise qu'un groupe unipotent commutatif connexe \(U\) annulé par \(p\) devient isomorphe à une puissance de \(\mathbb{G}_a\) sur une extension de la forme \(k^{p^{-n}}\), où \(H^2\) s'annule ; il reste à voir que le noyau de \(H^2(k,U) \to H^2(k^{p^{-n}},U)\) est nul. C'est l'objet du

Lemme 2. Pour tout schéma en groupes \(G\) sur \(k\) et tout \(n \geq 0\), le noyau de \(H^i(k,G) \to H^i(k^{p^{-n}},G)\) est celui de l'application \(F^n : H^i(k,G) \to H^i(k,G^{(p^n)})\) induite par le Frobenius relatif itéré \(F^n_G : G \to G^{(p^n)}\). Plus précisément, le triangle

\begin{tikzcd}
H^i(k,G) \arrow[r] \arrow[dr, "F^n"'] & H^i(k^{p^{-n}}, G) \arrow[d, "\wr"] \\
 & H^i(k, G^{(p^n)})
\end{tikzcd}

est commutatif, la flèche verticale venant de l'isomorphisme de corps \(k^{p^{-n}} \to k\), \(\lambda \mapsto \lambda^{p^n}\), qui transporte \(G \otimes_k k^{p^{-n}}\) sur \(G^{(p^n)} = G \otimes_{k,\varphi^n} k\).

La page en donne la raison en une ligne : on est ramené au cas des \(H^0\), où c'est trivial, et l'on n'a pas besoin que \(G\) soit représentable⁷ .

Corollaire. Si \(G\) est commutatif et lisse, ce noyau est l'image de \(H^i(k, \mathrm{Ker}\,F^n_G)\)⁸ .

Le noyau de \(F^n_G\) est un groupe fini radiciel (infinitésimal) ; par hypothèse son \(H^2\) est nul, ce qui achève la démonstration du corollaire du lemme 1.

6–8

Réduction au cas lisse et noyaux radiciels : lemmes 3 et 4 (pages 6 à 8)

Lemme 3. Pour que \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) soit surjectif pour tout épimorphisme \(G \to G'\) de schémas en groupes algébriques sur \(k\), il suffit qu'il en soit ainsi dans les deux cas suivants :

• a)\(G\), le noyau \(K\) et \(G'\) sont lisses ;
• b)le noyau \(K\) est radiciel (infinitésimal).

Démonstration. Il existe un sous-groupe infinitésimal \(I\) de \(G\) — le noyau d'un Frobenius itéré convenable — tel que \(G/I\) et \(K/(K \cap I)\) soient lisses. On compare les suites exactes \(e \to K \to G \to G/K \to e\) et \(e \to K/(K \cap I) \to G/I \to G/KI \to e\) par les flèches \(u : G \to G/I\) et \(v : G/K \to G/KI\). En cohomologie, \(u_1 : H^1(k,G) \to H^1(k,G/I)\) est surjectif par b), et \(d'_1 : H^1(k,G/I) \to H^1(k,G/KI)\) par a). Soit \(\xi' \in H^1(k,G/K)\) ; il existe \(\xi \in H^1(k,G)\) tel que \(d_1(\xi)\) et \(\xi'\) aient même image dans \(H^1(k,G/KI)\). Après torsion par \(\xi'\), la fibre de \(v_1\) qui les contient est l'image du \(H^1\) d'un tordu de \(KI/K \simeq I/(I \cap K)\), groupe infinitésimal ; par b) appliqué au tordu de \(I \to I/(I \cap K)\), cette classe se relève en une classe de \(H^1\) du tordu de \(I\), donc de \(G\), qui relève \(\xi'\)⁹ .

Lemme 4. Supposons que \(H^2(k,K) = 0\) pour tout \(k\)-groupe commutatif fini radiciel \(K\). Alors, pour toute suite exacte \(e \to K \to G \to G' \to e\) de groupes algébriques avec \(K\) radiciel — pas nécessairement commutatif —, \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) est surjectif.

Esquisse. Par dévissage, on peut supposer \(K\) de hauteur 1, donc déterminé par sa \(p\)-algèbre de Lie \(\mathfrak{k}\), sur laquelle \(G\) opère. Soit \(\mathfrak{h}\) une sous-algèbre de Cartan de \(\mathfrak{k}\). Si l'on sait que les transformés de \(\mathfrak{h}\) par \(G\) sont conjugués sous \(K\), l'argument de Frattini donne \(N_G(\mathfrak{h}) \cdot K = G\), d'où une suite exacte \(e \to N_K(\mathfrak{h}) \to N_G(\mathfrak{h}) \to G' \to e\), et l'on peut supposer que \(G\), donc \(K\), normalise \(\mathfrak{h}\). Alors \(\mathfrak{h}\) est un idéal de \(\mathfrak{k}\) ; une sous-algèbre de Cartan étant son propre normalisateur, \(\mathfrak{h} = \mathfrak{k}\), et \(\mathfrak{k}\) est nilpotente. Sa suite centrale descendante, stable par \(G\), fournit un dévissage de \(K\) en groupes commutatifs, et le cas commutatif est l'hypothèse¹⁰ .

9–10

Le lemme 5 et le théorème de surjectivité (pages 9 et 10)

Lemme 5. Supposons que \(\mathrm{Br}(k') = 0\) pour toute extension finie séparable \(k'\) de \(k\). Alors \(H^i(k,K) = 0\) pour \(i \geq 2\) et tout \(k\)-groupe commutatif fini \(K\)¹¹ .

Démonstration. Par dévissage, on traite trois cas. Si \(K\) est de type multiplicatif, on le plonge dans un tore : \(e \to K \to G \to G' \to e\) avec \(G\), \(G'\) des tores ; l'hypothèse et le théorème de Tate–Nakayama donnent \(H^i(k,G) = H^i(k,G') = 0\) pour \(i > 0\), donc \(H^i(k,K) = 0\) pour \(i \geq 2\). Si \(K\) est étale, l'hypothèse entraîne \(\mathrm{cd}(\pi) \leq 1\), d'où la même conclusion. Reste le cas unipotent infinitésimal, qui se dévisse en copies de \(\alpha_p\), et la suite exacte \(0 \to \alpha_p \to \mathbb{G}_a \xrightarrow{F} \mathbb{G}_a \to 0\) donne \(H^i(k,\alpha_p) = 0\) pour \(i \geq 2\)¹² .

Théorème. Soit \(k\) un corps de dimension \(\leq 1\) au sens ci-dessus. Pour tout épimorphisme \(G \to G'\) de groupes algébriques sur \(k\), \(H^1(k,G) \to H^1(k,G')\) est surjectif¹³ .

C'est l'assemblage des lemmes : le lemme 5 donne l'hypothèse du corollaire du lemme 1, donc le cas lisse a), et l'hypothèse du lemme 4, donc le cas radiciel b) ; le lemme 3 conclut. La démonstration hérite de la lacune du lemme 4. Pour les groupes linéaires connexes, l'annulation de \(H^1\) sur un corps parfait de dimension \(\leq 1\) est la conjecture I de Serre, démontrée par Steinberg (1965), puis étendue aux corps imparfaits par Borel et Springer (1968) ; le dossier, qui n'est pas daté ici, ne cite ni l'un ni l'autre¹⁴ .

Théorème (page 10). Soient \(K\) un groupe algébrique sur \(k\) et \(K'\) une forme de \(K\) sur \(k\). Alors \(H^2(k,\mathrm{lien}(K'))\) se réduit à la classe neutre, et cela reste vrai après toute extension algébrique de \(k\)¹⁵ .

En effet, les gerbes liées par le lien d'un groupe \(K'\) en contiennent une neutre, la gerbe des \(K'\)-torseurs ; et, lorsqu'il est non vide, \(H^2(k,L)\) est un espace principal homogène sous \(H^2(k,\mathfrak{Z})\), où \(\mathfrak{Z}\) est le centre du lien. Ce centre est un groupe algébrique commutatif, et le dévissage des pages 3 à 9 donne \(H^2(k,\mathfrak{Z}) = 0\) ; donc \(H^2(k,L)\) a un seul élément, la classe neutre. La page part de ce que \(K'\) provient d'une classe de \(H^1(k,\mathrm{Aut\,Ext}(K))\) qui se relève à \(H^1(k,\mathrm{Aut}(K))\).

11–12

Liens sur un site : deux principes de réduction (pages 11 et 12)

Soit \(K\) un lien sur un site \(X\). Question : \(K\) provient-il d'un faisceau en groupes ? Soit \(\mathcal{G}(K)\) la gerbe des réalisations de \(K\), dont les objets au-dessus de \(U\) sont les faisceaux en groupes \(F\) sur \(U\) munis d'un isomorphisme de liens \(\mathrm{lien}(F) \simeq K|_U\). Le lien \(K\) provient d'un faisceau en groupes si et seulement si \(\mathcal{G}(K)\) a un objet au-dessus de \(X\), c'est-à-dire si la classe \(c(K)\) de cette gerbe est neutre. La page écrit \(c(K) \in H^2(X,\Pi(K))\) et demande si elle est dans \(H^2(X,\Pi(K))'\)¹⁶ .

À un lien \(K\) est associé le faisceau \(\mathcal{V}(K)\) des classes de conjugaison de sous-groupes de \(K\). Un sous-lien de \(K\) en définit une section ; mais une section de \(\mathcal{V}(K)\) ne provient pas en général d'un sous-lien. Pour une section \(\varphi\), le normalisateur \(\mathrm{Nor}(\varphi)\) provient toujours d'un sous-lien, noté \(\mathbf{Nor}(\varphi)\) ; par exemple le centre \(\mathfrak{Z}(K) = \mathbf{Nor}(e)\)¹⁷ .

Premier principe (du normalisateur). Soit \(\varphi\) une section de \(\mathcal{V}(K)\). La catégorie fibrée \(\mathcal{G}(K,\varphi)\) des réalisations \(F\) de \(K\) munies d'un sous-faisceau en groupes dans la classe \(\varphi\) est une gerbe, liée par un lien construit sur \(\mathbf{Nor}(\varphi)\), et l'oubli du sous-groupe est un morphisme de gerbes \(\mathcal{G}(K,\varphi) \to \mathcal{G}(K)\). Donc si la classe \(c(K,\varphi) \in H^2(X,\mathbf{Nor}(\varphi))\) est neutre, \(c(K)\) l'est aussi : un objet global de la première gerbe en donne un de la seconde.

Second principe (du plongement). Soit \(K \to K'\) un homomorphisme « injectif » de liens, avec \(K' = \mathrm{lien}(F')\) pour un faisceau en groupes \(F'\). La catégorie des faisceaux en groupes \(F\) munis d'un morphisme \(F \to F'\) et d'un isomorphisme \(\mathrm{lien}(F) \simeq K\), compatibles avec \(K \to K'\) et \(K' \simeq \mathrm{lien}(F')\), est une gerbe, liée par un lien \(K''\) que la page place dans une suite exacte \(e \to K'' \to \Pi(K) \to \Pi(K') \to e\). Si sa classe \(c' \in H^2(X,K'')\) est neutre, alors \(c(K)\), qui en est l'image, est neutre.

Dans les deux cas l'énoncé utile est le même : pour montrer qu'un lien provient d'un groupe, il suffit de le montrer pour un lien « plus petit » — le normalisateur d'une classe de sous-groupes canonique, ou un lien qui se plonge dans un lien déjà réalisé.

13–14

Les liens algébriques sur un corps de Tsen (pages 13 et 14)

Énoncé. Soit \(K\) un lien algébrique sur un corps \(k\) de Tsen (corps \(C_1\)). Alors \(H^2(k,K) = H^2(k,K)'\) a exactement un élément.

Il suffit de prouver \(H^2(k,K)' \neq \emptyset\), c'est-à-dire que \(K\) provient d'un \(k\)-groupe ; le reste en résulte « formellement », comme à la page 10, puisque \(H^2(k,\mathfrak{Z}(K)) = 0\). Une extension finie d'un corps \(C_1\) est \(C_1\), et le groupe de Brauer d'un corps \(C_1\) est nul : les hypothèses des pages 3 à 9 sont remplies. La page esquisse ensuite la preuve en deux cas.

a) \(\dim K = 0\). Récurrence sur le degré de \(K\) ; trivial en degré 1. En degré \(> 1\), le dévissage — par le second principe — ramène à deux cas :

• (i)\(K\) étale. Le lien est un homomorphisme continu \(\pi \to \mathrm{Out}(A)\), \(A\) un groupe fini convenable ; il se relève en un homomorphisme \(\pi \to \mathrm{Aut}(A)\), c'est-à-dire en une \(k\)-forme de \(A\), qui réalise le lien¹⁸ ;
• (ii)\(K\) radiciel de hauteur 1 et indécomposable par dévissage, donc \([K,K] = K\) et \(K\) sans centre¹⁹ . On prend pour \(\varphi\) la classe des « sous-groupes de Cartan infinitésimaux », qui vérifie \(\mathrm{Nor}(\varphi) = \varphi\) ; par le premier principe on se ramène au cas où \(K\) correspond à une \(p\)-algèbre de Lie nilpotente, puis, par le second, au cas commutatif²⁰ .

b) \(\dim K > 0\). Par le premier principe et les commutateurs, on se ramène au cas où \(K\) est commutatif (alors c'est fini) ou bien \(K = [K,K]\), ce qui force \(K\) affine. En divisant par un noyau de Frobenius et en utilisant le cas a), on se ramène au cas où \(K\) est lisse. On prend alors pour \(\varphi\) la classe des tores maximaux : par le premier principe on se ramène au cas où le tore maximal est distingué, puis par le second à trois cas — \(K\) fini, déjà traité ; \(K\) unipotent connexe, qui se dévisse par commutateurs jusqu'au cas commutatif ; et un troisième que la page ne permet pas de lire²¹ .

C'est une esquisse, non une démonstration : elle repose sur la conjugaison des sous-groupes de Cartan infinitésimaux et sur des dévissages que la page ne détaille pas. Le cadre — gerbes, liens, classes neutres, action de \(H^2(\mathfrak{Z})\) — est celui que Giraud publiera dans Cohomologie non abélienne (1971) ; des énoncés de neutralité pour les corps de dimension \(\leq 1\) ont été étudiés ensuite, notamment par Douai, et l'on ne vérifie pas ici s'ils couvrent exactement celui-ci, qui admet des liens non lisses.

15–26

Le cas non semi-simple : radical, sous-groupes de Borel, algèbres de Lie (pages 15 à 26)

Le feuillet de la page 15 porte « Cas non semi-simple » et, en dessous, « Question de rationalité du radical, définition de la “variété des drapeaux” etc. »²² . La liasse est faite de feuillets séparés, plusieurs barrés ; on les lit dans l'ordre.

16–16

Un radical qui n'est pas défini sur \(k\) (page 16)

Soient \(k\) un corps et \(a \in k\). Soit \(G\) le groupe des matrices diagonales par blocs \((A,B)\), où \[ A = \begin{pmatrix} x & ay \\ y & x \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} u & v \\ w & z \end{pmatrix}, \qquad \det A = \det B \neq 0 . \] L'application \((A,B) \mapsto B \bmod (\text{centre})\) est un homomorphisme sur \(PGL_2\), de noyau \[ Z = \{ (A, uI) \ :\ x^2 - ay^2 = u^2 \neq 0 \}, \] qui est le centre de \(G\), et dont le sous-schéma réduit sur \(\bar k\) est le radical de \(G_{\bar k}\)²³ .

Le groupe \(G\) est défini sur \(k\). Mais si \(k\) est de caractéristique 2 et \(a \notin k^2\), le radical de \(G_{\bar k}\) ne l'est pas : l'équation de \(Z\) s'écrit \((x+u)^2 = ay^2\), irréductible sur \(k\) mais non réduite sur \(k(\sqrt a)\), où elle devient \(((x+u) + \sqrt a\, y)^2 = 0\) ; le schéma \(Z\) est défini sur \(k\) et n'est pas lisse, et son sous-schéma réduit sur \(\bar k\) ne descend pas à \(k\)²⁴ . Il existe des exemples analogues en toute caractéristique \(p > 0\).

C'est le phénomène qu'on étudie aujourd'hui sous le nom de groupes pseudo-réductifs (Borel–Tits ; Conrad, Gabber et Prasad, 2010) : sur un corps imparfait, le radical d'un groupe lisse connexe n'est pas toujours défini sur le corps de base, et la restriction de Weil de \(\mathbb{G}_m\) à travers une extension radicielle en est l'exemple premier.

17–19

Le sous-groupe de Borel et le normalisateur de son algèbre de Lie (pages 17 à 19)

Soient \(G\) un groupe affine lisse connexe sur un corps, \(B\) un sous-groupe de Borel, \(\mathfrak{g}\) et \(\mathfrak{L}\) leurs algèbres de Lie. On considère l'application \(\mathrm{Drap}(G) = G/B \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\), \(gB \mapsto \mathrm{Ad}(g)\mathfrak{L}\). Elle se factorise par \(G/\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})\), qui s'envoie par une immersion dans la grassmannienne. D'où l'équivalence des conditions

• (i)\(B = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})\), normalisateur schématique ;
• (ii)\(\mathfrak{L} = \mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L})\) ;
• (iii)\(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) est un monomorphisme.

L'en-tête de la page dit la clef : un sous-groupe de Borel est son propre normalisateur.

(i) \(\Rightarrow\) (ii) : l'algèbre de Lie du stabilisateur schématique d'un sous-espace est le stabilisateur de ce sous-espace dans l'algèbre de Lie, donc \(\mathrm{Lie}\,\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L}) = \mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L})\)²⁵ .

(ii) \(\Rightarrow\) (i) : soit \(B' = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L}) \supset B\). Son algèbre de Lie est \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L}) = \mathfrak{L}\), de dimension \(\dim B \leq \dim B'\) ; donc \(B'\) est lisse et \(B'^0 = B\). Alors \(B'\) normalise \(B\), et comme \(B\) est son propre normalisateur, \(B' = B\).

(i) \(\Leftrightarrow\) (iii) : l'application se factorise par \(G/B \to G/\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})\), qui est un isomorphisme si et seulement si \(B = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})\). Sur l'espace tangent à l'origine, elle induit \(\mathfrak{g}/\mathfrak{L} \to \mathrm{Hom}(\mathfrak{L}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L})\), \(X \mapsto \mathrm{ad}(X) \bmod \mathfrak{L}\), de noyau \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L})/\mathfrak{L}\) ; c'est le calcul que la page esquisse dans un passage encadré et barré²⁶ .

Ces conditions ne sont pas toujours vérifiées : \(SL_2\) en caractéristique 2 les met en défaut. En effet, avec la base habituelle \(X, H, Y\) de \(\mathfrak{sl}_2\), les relations deviennent \([H,X] = [H,Y] = 0\) et \([X,Y] = H\) (on refait le calcul à la page 41) ; pour \(\mathfrak{L} = kX + kH\), on a \([Y,X] = H \in \mathfrak{L}\) et \([Y,H] = 0\), donc \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L}) = \mathfrak{g}\). En revanche \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) reste injectif sur les points : \(H\) est la matrice identité en caractéristique 2, et \(kH + k\,\mathrm{Ad}(g)X\) détermine la droite nilpotente \(k\,\mathrm{Ad}(g)X\), donc \(gB\). La page 19 reprend la liste sous cette forme, (1) les trois conditions, (1') la seule injectivité, « moins intéressante », vraie pour \(SL_2\), et pose la question :

Question. Soit \(T \subset G\) un tore maximal et \(\mathrm{Drap}_T(G)\) le schéma des sous-groupes de Borel contenant \(T\). L'application \(\mathrm{Drap}_T(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) est-elle un monomorphisme ?

On se ramène au cas semi-simple ; un sous-groupe de Borel contenant \(T\) s'écrit \(T \cdot \prod_{\alpha} U_\alpha\) sur les racines positives d'un système, et les \(\mathfrak{g}_\alpha \subset \mathfrak{L}\) le déterminent²⁷ .

Au bas de la page 18, barrée, se trouvent deux énoncés indépendants. Un corollaire : si \(K \subset G\) avec \(G\) de type multiplicatif de type fini sur \(S\) et \(K\) quasi-fini de degré borné, il existe \(n\) tel que \(K \subset {}_nG\), et \({}_nG\) étant fini sur \(S\), \(K\) l'est aussi²⁸ . Et le lemme de Chevalley : pour \(H\) sous-groupe fermé d'un groupe affine \(G\) de type fini, il existe une représentation linéaire \(V\) de \(G\) et une droite de \(V\) dont \(H\) est le stabilisateur.

20–24

Sous-groupes contenant un sous-groupe de Cartan (pages 20 à 24)

Énoncé. Soient \(S\) un schéma, \(G\) un \(S\)-groupe réductif, \(C\) un sous-groupe de Cartan de \(G\) et \(T\) son tore maximal, \(\mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T)\). Soit \(H\) un sous-groupe lisse de \(G\), à fibres connexes, contenant \(C\), d'algèbre de Lie \(\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}\). Supposons que sur chaque fibre aucun poids de \(\mathfrak{t}\) dans \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\) ne soit nul. Alors \(H = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{h})^0\) ; en particulier \(H\) est déterminé par \(\mathfrak{h}\).

Démonstration. Si \(X \in \mathfrak{g}\) normalise \(\mathfrak{h}\), alors \([\mathfrak{t}, X] \subset \mathfrak{h}\), donc l'image de \(X\) dans \(\mathfrak{g}/\mathfrak{h}\) est tuée par \(\mathfrak{t}\), donc nulle par l'hypothèse sur les poids : \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}\) sur chaque fibre. Un résultat de Demazure ramène l'égalité \(H = \mathrm{Nor}_G(\mathfrak{h})^0\) à cette condition fibre à fibre²⁹ .

La page poursuit vers le cas général : le centre réductif \(\mathfrak{Z}\) de \(G\) est contenu dans \(T\), donc dans \(H\) ; en divisant par \(\mathfrak{Z}\) on se ramène à \(\mathfrak{Z} = 0\), et alors \(\mathfrak{t}\) opère fidèlement — la phrase s'arrête au bas de la page 20. La page 24 reprend l'énoncé sans l'hypothèse sur les poids (« \(H\) de rang réductif égal à celui de \(G\) »), en affirmant que, sur un corps algébriquement clos, \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}\) dès que \(H\) contient un tore maximal. Sous cette forme c'est faux : pour \(G = SL_2\) en caractéristique 2 et \(H = B\), on a vu que \(\mathrm{Nor}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{L}) = \mathfrak{g}\), et \(\mathrm{Nor}_G(\mathfrak{L})^0\) n'est pas lisse³⁰ .

Entre ces deux versions, la page 21 pose trois questions sur les sous-groupes de Borel en famille. Pour \(G\) réductif sur \(S\) et \(B\) un sous-groupe lisse dont les fibres sont des Borel, \(B\) est-il un sous-groupe de Borel ? Oui, on se ramène au cas semi-simple adjoint³¹ . Sans hypothèse de réductivité, la question se ramène aux fibres géométriques, et du point de vue infinitésimal à l'annulation \[ H^1(B, \mathfrak{g}/\mathfrak{L}) = 0 \ ? \] qui gouverne les déformations de \(B\) comme sous-groupe de \(G\).

La page 22, barrée, énonce un théorème avec un point d'interrogation : pour \(G\) lisse connexe sur \(k\), de radical \(\bar R\) sur \(\bar k\) et d'algèbre de Lie \(\bar{\mathfrak{r}}\), si les poids nuls d'un tore maximal \(\bar T\) dans \(\mathfrak{g}/\bar{\mathfrak{r}}\) sont contrôlés — par exemple si \(\bar T\) opère trivialement sur \(\bar{\mathfrak{r}}\) —, alors \(\bar R\) est défini sur \(k\)³² . La page 23 est un feuillet de croquis où se lit la chaîne d'implications que ces pages explorent : \[ \text{radical défini sur } k \ \Longleftarrow\ \text{la variété infinitésimale des Borel est triviale}, \] avec l'annulation \(H^1(\mathfrak{R}, \mathfrak{g}/\mathfrak{L})^{B/R} = 0\), \(R\) le radical unipotent, et la remarque que tout cela diffère pour \(SL_2\) en toute caractéristique³³ .

25–26

Le théorème des Borel, et une remarque sur \(\mathbf{Pic}^{\tau}\) (pages 25 et 26)

Théorème (page 25). Soient \(G\) un groupe affine connexe sur \(k\), \(B\) un sous-groupe de Borel, \(\mathfrak{L} \subset \mathfrak{g}\) son algèbre de Lie.

• a)\(B = \mathrm{Norm}_G(B)\) ;
• b)\(B \to \mathrm{Norm}_G(\mathfrak{L})\) est surjectif sur les points à valeurs dans un corps algébriquement clos, donc \(\mathrm{Drap}(G) \to \mathrm{Grass}(\mathfrak{g})\) est injectif sur ces points ;
• c)les conditions (i), (ii), (iii) des pages 17 à 19 sont équivalentes.

On se ramène au cas \(k\) algébriquement clos, puis au cas semi-simple. a) est le théorème de Chevalley sur les points ; c) a été démontré plus haut. b) porte un point d'interrogation dans la marge et n'est pas démontré³⁴ .

Une remarque de finitude (page 26). La page commence au milieu d'un argument, barrée de quatre traits. Soit \(K\) un \(S\)-groupe commutatif quasi-fini dont le degré des fibres \(K_s\), fonction constructible de \(s\), est constant et fini, disons \(n\) ; alors \(u_n = n \cdot \mathrm{id}_K\) est nul sur les fibres, \({}_nK = \mathrm{Ker}\,u_n\) est un sous-schéma ouvert et fermé de \(K\) contenant toutes les fibres, donc égal à \(K\)³⁵ .

Une application est annoncée, et encadrée : si \(X/S\) est plat et propre, si \(\mathbf{Pic}^{\tau}_{X/S}\) existe, et si en un point \(s\) le schéma \(\mathbf{Pic}^{0}_{X_s/k(s)}\) est lisse, alors \(\mathbf{Pic}^0_{X/S}\) existe au voisinage de \(s\), le quotient \(\mathbf{Pic}^{\tau}_{X/S}/\mathbf{Pic}^0_{X/S}\) existe et est fini sur \(S\) ; si de plus \(\mathbf{Pic}^{\tau}_{X/S}\) est propre, la torsion du groupe de Néron–Severi est constante³⁶ .

27–35

Hyperalgèbres (pages 27 à 35)

Le feuillet de la page 27 porte « Groupes radiciels et Hyperalgèbres des groupes diagonalisables », « radiciels » écrit au-dessus de « diagonalisables » biffé. L'hyperalgèbre \(\mathrm{Dist}(G)\) d'un \(A\)-schéma en groupes \(G\) — aujourd'hui son algèbre de distributions — est l'ensemble des formes \(A\)-linéaires sur l'algèbre affine qui s'annulent sur une puissance de l'idéal d'augmentation ; en caractéristique nulle, c'est l'algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie, et en caractéristique \(p\) elle contient en plus les « puissances divisées » des dérivations.

28–28

Le groupe additif et les fibrés vectoriels (page 28)

Pour \(G = \mathbb{G}_a\), l'hyperalgèbre est l'algèbre à puissances divisées \(A\{X\}\), de base les \(\gamma^n X\), avec \[ \gamma^p X \cdot \gamma^q X = \binom{p+q}{p} \gamma^{p+q} X, \qquad \Delta\, \gamma^n X = \sum_{p+q=n} \gamma^p X \otimes \gamma^q X . \] Autrement dit, dans le complété \(\widehat{\mathcal{U}}\), l'élément \(\exp X = \sum_n \gamma^n X\) est multiplicatif : \(\Delta \exp X = \exp X \otimes \exp X\)³⁷ , et \(\lambda \mapsto \exp \lambda X\) est une représentation de \(\mathbb{G}_a\) dans le groupe des éléments inversibles de \(\widehat{\mathcal{U}}\). La formule de multiplication, que la page n'écrit pas, est celle qu'on attend des puissances divisées.

Pour un fibré vectoriel \(V(E) = \mathrm{Spec}\,\mathrm{S}_{\mathcal{O}_S}(E)\), \(E\) localement libre, l'hyperalgèbre est l'algèbre à puissances divisées \(\mathcal{O}_S\{\check E\}\) sur le dual, avec le même coproduit, et \(X \mapsto \exp X\) est un homomorphisme de faisceaux en groupes de \(\check E\) dans les éléments multiplicatifs du complété³⁸ .

29–31

Le groupe multiplicatif (pages 29 et 31)

Soit \(G = \mathbb{G}_m = \mathrm{Spec}\,A[t,t^{-1}]\), et \(s = t - 1\), générateur de l'idéal d'augmentation. L'hyperalgèbre a pour base les \(X_n\) définis par \(\langle X_n, s^m \rangle = \delta_{nm}\). Comme \(\Delta t = t \otimes t\), \[ \Delta s = s \otimes 1 + 1 \otimes s + s \otimes s . \] Le coproduit de l'hyperalgèbre est dual du produit de l'algèbre affine, et \(s^p s^q = s^{p+q}\) donne \(\Delta X_n = \sum_{p+q=n} X_p \otimes X_q\). Le produit est dual du coproduit : \(\langle X_p X_q, s^n \rangle = \langle X_p \otimes X_q, (\Delta s)^n \rangle\), et \[ (\Delta s)^n = \sum_{\alpha+\beta+\gamma = n} \frac{n!}{\alpha!\,\beta!\,\gamma!}\, s^{\alpha+\gamma} \otimes s^{\beta+\gamma}. \] Le coefficient de \(s^p \otimes s^q\) correspond à \(\gamma = p+q-n\), \(\alpha = n-q\), \(\beta = n-p\), qui sont \(\geq 0\) si et seulement si \(\sup(p,q) \leq n \leq p+q\). D'où les formules que la page encadre : \[ \Delta X_n = \sum_{p+q=n} X_p \otimes X_q, \qquad X_p X_q = \sum_{\sup(p,q) \leq n \leq p+q} \frac{n!}{(n-p)!\,(n-q)!\,(p+q-n)!}\, X_n . \] Par exemple \(X_1^2 = 2X_2 + X_1\). Le coproduit réduit \(\delta X_n = \sum_{p+q=n,\ p,q>0} X_p \otimes X_q = X_{n-1} \otimes X_1 + \cdots + X_1 \otimes X_{n-1}\)³⁹ donne \(\delta X_2 = X_1 \otimes X_1\), et la page vérifie la cohérence : \(\delta(X_1^2 - X_1) = 2\,X_1 \otimes X_1 = 2\,\delta X_2\).

La page 31 identifie ces éléments. Vus comme opérateurs différentiels invariants, \(X_n = \binom{\theta}{n}\) avec \(\theta = t\,\frac{d}{dt}\), soit \(X_n = \frac{t^n}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\) : \[ X_n(t^m) = \binom{m}{n}\, t^m, \qquad \langle X_n, t^m \rangle = \binom{m}{n}, \] et l'on retrouve \(\langle X_n, (t-1)^m \rangle = \sum_k (-1)^k \binom{m}{k} \binom{m-k}{n} = \delta_{nm}\), que la page calcule pour \(n = 1, 2\)⁴⁰ . Ainsi \(X_n = \binom{X}{n}\) avec \(X = X_1\) : l'hyperalgèbre de \(\mathbb{G}_m\) est l'anneau des polynômes à valeurs entières en \(X\), et la formule encadrée est l'identité \(\binom{X}{p}\binom{X}{q} = \sum_n \frac{n!}{(n-p)!(n-q)!(p+q-n)!}\binom{X}{n}\).

33–35

Algèbre affine et hyperalgèbre en dualité (pages 33 à 35)

Soit \(G\) un schéma en groupes affine et lisse sur un anneau \(A\), d'algèbre affine \(\mathrm{Aff}_A(G)\) et d'hyperalgèbre \(\mathcal{U}_A(G)\). \(\mathrm{Aff}_A(G)\) est une \(A\)-algèbre commutative augmentée, munie d'un coproduit multiplicatif coassociatif compatible aux augmentations ; \(\mathcal{U}_A(G)\) est une \(A\)-algèbre en général non commutative, munie d'un coproduit multiplicatif, coassociatif et cocommutatif⁴¹ . Il y a un accouplement \(\langle f, X \rangle\) entre les deux, qui identifie \(\mathcal{U}_A(G)\) aux formes \(A\)-linéaires sur \(\mathrm{Aff}_A(G)\) nulles sur une puissance de l'idéal d'augmentation.

\(\mathcal{U}_A(G)\) opère à gauche et à droite sur \(\mathrm{Aff}_A(G)\), qui en devient un bimodule, par \(\langle Y, X * f \rangle = \langle Y * X, f \rangle\) et \(\langle f * Y, X \rangle = \langle f, Y * X \rangle\), avec \(\langle \varepsilon, X * f \rangle = \langle X, f \rangle\). Inversement \(\mathrm{Aff}_A(G)\) opère sur \(\mathcal{U}_A(G)\) par \(\langle g, f \lrcorner X \rangle = \langle gf, X \rangle\) ; en particulier \(\langle f, X \rangle = \varepsilon(f \lrcorner X)\).

Soit \(A \subset B\). Comme \(\mathrm{Aff}_A(G)\) est plat sur \(A\), \(\mathrm{Aff}_B(G) = \mathrm{Aff}_A(G) \otimes_A B\) contient \(\mathrm{Aff}_A(G)\) ; de même \(\mathcal{U}_B(G) = \mathcal{U}_A(G) \otimes_A B \supset \mathcal{U}_A(G)\), l'égalité venant de ce que \(G\) est lisse.

Proposition 1. Soit \(X \in \mathcal{U}_B(G)\). Conditions équivalentes : i) \(X \in \mathcal{U}_A(G)\) ; ii) \(X * \mathrm{Aff}_A(G) \subset \mathrm{Aff}_A(G)\) ; ii bis) \(\mathrm{Aff}_A(G) * X \subset \mathrm{Aff}_A(G)\) ; iii) \(\langle X, \mathrm{Aff}_A(G) \rangle \subset A\).

Les implications i) \(\Rightarrow\) ii) \(\Rightarrow\) iii) et i) \(\Rightarrow\) ii bis) \(\Rightarrow\) iii) sont triviales. Si iii), la restriction de \(X\) à \(\mathrm{Aff}_A(G)\) est une forme \(A\)-linéaire nulle sur une puissance de l'idéal d'augmentation, donc un élément \(X_0 \in \mathcal{U}_A(G)\), et \(X_0 \otimes 1 = X\) puisque \(\mathrm{Aff}_A(G)\) engendre \(\mathrm{Aff}_B(G)\).

Proposition 2. Supposons \(G\) à fibres connexes. Soit \(f \in \mathrm{Aff}_B(G)\). Conditions équivalentes : i) \(f \in \mathrm{Aff}_A(G)\) ; ii) \(f \lrcorner\, \mathcal{U}_A(G) \subset \mathcal{U}_A(G)\) ; iii) \(\langle f, \mathcal{U}_A(G) \rangle \subset A\).

i) \(\Rightarrow\) ii) \(\Rightarrow\) iii) est évident, et iii) \(\Rightarrow\) ii) se déduit de la proposition 1 : pour \(X \in \mathcal{U}_A(G)\) et \(g \in \mathrm{Aff}_A(G)\), \[ \langle g, f \lrcorner X \rangle = \langle gf, X \rangle = \langle f, g \lrcorner X \rangle \in \langle f, \mathcal{U}_A(G) \rangle \subset A . \] Pour iii) \(\Rightarrow\) i), on utilise la connexité. Soit \(C = \mathrm{Aff}_A(G)\) et \(\widehat{C} = \mathrm{Hom}_A(\mathcal{U}, A)\) son complété séparé pour l'idéal d'augmentation ; la page compare \(C \to C_B\) et \(\widehat{C} \to \widehat{C}_B\), et s'arrête là. Quand \(A\) est un corps, l'argument se termine ainsi : décomposons \(f = \sum_i f_i b_i\) sur une base \((b_i)\) de \(B\) sur \(A\) avec \(b_0 = 1\) ; iii) donne \(\langle f_i, X \rangle = 0\) pour \(i \neq 0\) et tout \(X\), et une fonction régulière sur un groupe lisse connexe qui s'annule à tout ordre en l'origine est nulle, donc \(f = f_0 \in C\)⁴² .

36–41

Cohomologie de l'algèbre de Lie et cohomologie des groupes (pages 36 à 41)

Le feuillet de la page 36 porte « Cohomologie de l'algèbre de Lie et cohom. des groupes … ».

37–39

Un groupe et son algèbre de Lie sur une base artinienne (pages 37 à 39)

Soit \(G\) un schéma en groupes lisse sur \(S = \mathrm{Spec}\,A\), \(A\) artinien local de corps résiduel \(k\), et \(\mathfrak{g} = \mathrm{Lie}_S(G)\) ; l'indice \(0\) désigne la fibre fermée. La représentation adjointe est un morphisme \(\mathrm{Ad} : G \to \mathbf{Aut}_S(\mathfrak{g})\). L'algèbre de Lie de \(\mathbf{Aut}(\mathfrak{g}_0)\) est l'algèbre \(\mathrm{Der}(\mathfrak{g}_0)\) des dérivations, et l'application tangente est \(\mathrm{ad} : \mathfrak{g}_0 \to \mathrm{Der}(\mathfrak{g}_0)\), de noyau le centre \(H^0(\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_0)\) et de conoyau les dérivations extérieures \(H^1(\mathfrak{g}_0,\mathfrak{g}_0)\).

(1) Si \(H^0(\mathfrak{g}_0,\mathfrak{g}_0) = 0\), le noyau de \(\mathrm{Ad}\) a une algèbre de Lie nulle : il est étale, et \(\mathrm{Ad}\) est non ramifié. Si de plus \(G_0\) n'a pas de sous-groupe distingué fini étale non trivial, ce noyau est trivial, \(\mathrm{Ad}\) est un monomorphisme, donc une immersion fermée⁴³ .

(2) (1) et \(H^1(\mathfrak{g}_0,\mathfrak{g}_0) = 0\) équivalent à ce que \(\mathrm{Ad}\) soit étale. Sous l'hypothèse supplémentaire de (1), c'est alors une immersion ouverte, et \[ G \simeq \mathbf{Aut}^0_S(\mathfrak{g}) \] si \(G\) est à fibres connexes⁴⁴ .

Partons maintenant d'une algèbre de Lie \(\mathfrak{g}\) seule, localement libre sur \(S\), et posons \(H = \mathbf{Aut}_S(\mathfrak{g})\). C'est un schéma en groupes, et \(\mathrm{Lie}(H_0) = \mathrm{Der}(\mathfrak{g}_0)\) ; \(\mathfrak{g}_0 \to \mathfrak{h}_0\) est un isomorphisme sous (1) et (2). On ne peut pas en déduire que \(H\) est lisse sur \(S\). Mais la condition \[ (3) \qquad H^2(\mathfrak{g}_0, \mathfrak{g}_0) = 0, \] qui signifie que \(\mathfrak{g}_0\) n'a pas de déformation infinitésimale non triviale de sa structure, entraîne, dit la page, que \(\mathbf{Aut}_S(\mathfrak{g})\) est lisse sur \(S\)⁴⁵ . Alors (1), (2) et (3) entraînent que \(\mathfrak{g}\) provient d'un groupe, à savoir \(\mathbf{Aut}^0_S(\mathfrak{g})\), et inversement, pour \(G\) connexe donnant \(\mathfrak{g}\), les variations infinitésimales non triviales de \(G\) et de \(\mathfrak{g}\) se correspondent ; la page nomme Gerstenhaber⁴⁶ . La question du relèvement de la structure de groupe est équivalente à celle de la structure d'algèbre de Lie, et l'on y trouve une interprétation de \(H^3(\mathfrak{g}, \mathfrak{g})\) : si \(H^3(\mathfrak{g},\mathfrak{g}) = 0\), on peut relever, de façon unique à équivalence près⁴⁷ .

Question. Définir \(H^*(G, \mathfrak{g}) \to H^*(\mathfrak{g}, \mathfrak{g})\), plus généralement pour toute représentation linéaire de \(G\), et une suite spectrale reliant \(H^*(G, -)\) et \(H^*(\mathfrak{g}, -)\), qui exprimerait la différence entre le global et l'infinitésimal. Pour \(G\) semi-simple adjoint, a-t-on \(H^*(G,\mathfrak{g}) = H^*(\mathfrak{g},\mathfrak{g}) = 0\) ?

En caractéristique nulle, oui : les représentations de \(G\) sont complètement réductibles, et \(H^*(\mathfrak{g}, M) = 0\) pour un \(\mathfrak{g}\)-module \(M\) de dimension finie sans invariants. En caractéristique \(p\), la cohomologie ordinaire de l'algèbre de Lie ne s'annule pas en général : pour \(\mathfrak{pgl}_2\) en caractéristique 2, la dérivation \(X \mapsto X\), \(Y \mapsto 0\), \(H' \mapsto 0\) (notations de la page 41) n'est pas intérieure, et \(H^1(\mathfrak{g},\mathfrak{g}) \neq 0\)⁴⁸ .

41–41

Les algèbres de Lie de rang 1 en caractéristique 2 (page 41)

Avec une base \(X, H, Y\) et les relations générales \([X,H] = \lambda(H) X\), \([Y,H] = -\lambda(H) Y\), \([X,Y] = H\), la page traite deux algèbres de Lie en caractéristique 2.

Pour \(\mathfrak{sl}_2\) : \([H,X] = [H,Y] = 0\), \([X,Y] = H\). Le normalisateur de \(kY\) est \(kY + kH = \mathfrak{L}\), algèbre de Lie d'un sous-groupe de Borel ; le normalisateur de \(\mathfrak{h} = kH\) est \(\mathfrak{g}\) tout entier, \(H\) étant central. C'est l'exemple des pages 17 à 24.

Pour la seconde, que la page appelle « \(Spl(2,k)\) » : \([H',X] = X\), \([H',Y] = -Y\), \([X,Y] = 0\) ; ce sont les relations de \(\mathfrak{pgl}_2\) en caractéristique 2⁴⁹ . Le normalisateur de \(kY\) y est \(\mathfrak{g}\) : la droite des éléments nilpotents d'un Borel y est un idéal. La page s'arrête sur un second normalisateur, inachevé.

43–58

Les formes d'un groupe réductif (pages 43 à 58)

Le feuillet de la page 43 porte seulement « \(H^1\) ». La liasse qu'il ouvre est d'un seul tenant, et son titre intérieur, « Forme … type », a un mot central illisible qui revient trois fois ; l'usage qu'en fait la page — une forme qui possède un sous-groupe de Borel contenant un tore maximal — est celui de forme quasi-déployée, qu'on adopte⁵⁰ .

44–46

Type extérieur et forme quasi-déployée (pages 44 et 46)

Soient \(G_0\) un groupe réductif déployé sur \(\mathbb{Z}\), muni d'un couple \(T_0 \subset B_0\) et d'un épinglage, \(\Gamma_0 = \mathbf{Aut}(G_0)\), \(\Pi_0 = \mathrm{ad}(G_0)\), \(E_0 = \mathbf{Ext}(G_0)\) ; l'épinglage fournit une section \(E_0 \to \Gamma_0\) et \(\Gamma_0 = E_0 \ltimes \Pi_0\). Soit \(S\) un schéma de base.

Une forme \(G\) de \(G_0\) sur \(S\) correspond à un torseur sous \(\Gamma_{0,S}\), et son image \(\rho_G \in H^1(S, E_0)\) est le type extérieur de \(G\). Pour \(\rho \in H^1(S,E_0)\), le tordu \(G_1 = G_0^{\rho}\) de \(G_0\) par \(\rho\), à travers la section \(E_0 \to \Gamma_0\), est la forme quasi-déployée de type \(\rho\) ; il contient le couple tordu \(T_1 \subset B_1\). On note \(\Pi_1\), \(\Gamma_1\), \(E_1\) les tordus correspondants.

Partant de \(\rho\) seul, la donnée d'une forme \(G\) munie d'un isomorphisme \(\varphi : \rho \xrightarrow{\sim} \rho_G\) équivaut à celle d'un torseur sous \(\Pi_1\). Les classes d'isomorphisme de couples \((G,\varphi)\) — les isomorphismes étant ceux qui respectent \(\varphi\), dits intérieurs — sont données par \(H^1(S,\Pi_1)\), et l'application \[ H^1(S, \Pi_1) \longrightarrow H^1(S, \Gamma_1) \simeq H^1(S, \Gamma_0) \] a pour image les classes de formes de type extérieur \(\rho\) : ce sont les formes intérieures relatives à \(\rho\)⁵¹ .

La suite exacte \(e \to \Pi_1 \to \Gamma_1 \to E_1 \to e\) donne \[ H^0(S, E_1) \to H^1(S, \Pi_1) \to H^1(S, \Gamma_1) \to H^1(S, E_1). \] L'application \(H^1(S,\Pi_1) \to H^1(S,\Gamma_1)\) n'est pas injective a priori. Sa fibre au-dessus de la classe neutre est \(H^0(S,E_1)/\mathrm{Im}\,H^0(S,\Gamma_1)\), qui est triviale puisque \(\Gamma_1\) est un produit semi-direct. Au-dessus d'une autre classe \(\xi\), on tord par \(\xi\) et l'on trouve la suite \(e \to \mathrm{Ad}(G) \to \mathbf{Aut}(G) \to \mathbf{Ext}(G) \to e\) : la fibre est triviale si et seulement si tout automorphisme extérieur de \(G\) provient d'un automorphisme. C'est vrai, évidemment, quand \(G\) est quasi-déployée, l'épinglage de \(G_1\) fournissant la section.

En général c'est faux⁵² .

48–50

Tores maximaux, sous-groupes de Borel, couples de Killing (pages 48 et 50)

Soit \(G\) une forme intérieure de \(G_1\), obtenue en tordant \(G_1\) par un torseur \(P\) de classe \(\xi\). Les schémas des tores maximaux, des sous-groupes de Borel et des couples de Killing \((T \subset B)\) de \(G\) sont \[ \mathcal{C}(G) = P/N_1, \qquad \mathcal{D}(G) = P/B_1, \qquad \mathcal{C}'(G) = P/T_1, \] le stabilisateur d'un couple de Killing \((T_1 \subset B_1)\) étant \(N_1 \cap B_1 = T_1\)⁵³ . Les couples de Killing s'identifient aussi aux immersions intérieures \(T_1 \to G\).

N.B. Soit \(T\) un tore maximal de \(G\). Il y a une bijection, fonctorielle en \(S'/S\), entre les sous-groupes de Borel contenant \(T\) et les isomorphismes intérieurs \(T_1 \to T\). Les conditions suivantes sont équivalentes : \(\alpha\)) \(T\) est contenu dans un Borel ; \(\beta\)) il existe un isomorphisme intérieur \(T_1 \to T\). On dit alors que \(T\) est un tore de Killing ; il en existe si et seulement si \(G\) est isomorphe à une forme quasi-déployée⁵⁴ .

Par la théorie de la torsion, la fibre de \(H^1(S,B_1) \to H^1(S,G_1)\) au-dessus de \(\xi\) est en bijection avec l'ensemble des sous-groupes de Borel de \(G\) modulo conjugaison par \(G(S)\) ; elle est non vide si et seulement si \(G\) possède un sous-groupe de Borel, et dans ce cas elle est réduite à un point si et seulement si deux sous-groupes de Borel de \(G\) sont toujours conjugués. De même, la fibre de \(H^1(S,N_1)\) correspond aux tores maximaux de \(G\) modulo conjugaison — qu'ils soient tous conjugués est exceptionnel, et faux pour des raisons arithmétiques —, et la fibre de \(H^1(S,T_1)\) aux couples de Killing modulo conjugaison⁵⁵ .

Pour \(S\) local, la page affirme que \(N_1\) est produit semi-direct de \(W_1 = W_0\) par \(T_1\) et que \(H^1(S,N_1) \to H^1(S,W_0)\) est surjectif, d'où des tores maximaux de tout type⁵⁶ .

52–52

Le théorème des couples de Killing (page 52)

Théorème. Soit \(G = G_1^{\xi}\). Conditions équivalentes :

• (i)\(\xi\) est dans l'image de \(H^1(S,T_1)\) ;
• (ii)\(G\) possède un couple de Killing, c'est-à-dire un sous-groupe de Borel contenant un tore maximal ;
• (iii')il existe une immersion intérieure \(T_1 \to G\).

La page y ajoute des variantes (i'), (i'') portant sur l'image de \(\xi\) dans \(H^1(S,\Gamma_1)\), et (iii), l'existence d'une immersion extensible \(T_1 \to G\), avec le schéma \((\mathrm{iii'}) \Leftrightarrow (\mathrm{i}) \Rightarrow (\mathrm{i'}) \Leftrightarrow (\mathrm{ii})\) et \((\mathrm{iii}) \Leftrightarrow (\mathrm{i''})\), plusieurs flèches barrées⁵⁷ . Le cœur est l'équivalence (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) \(\Leftrightarrow\) (iii'), qui résulte des descriptions de fibres ci-dessus.

N.B. Si \(T_1 \simeq \mathbb{G}_m^r\) est déployé, tout tore \(T \subset G\) contenu dans un Borel admet un isomorphisme intérieur \(T_1 \to T\). Le schéma \(\mathbf{Isom}_S(T_1,T)\) est un torseur sous \(GL_r(\mathbb{Z})_S\), et celui des isomorphismes intérieurs un torseur sous le groupe de Weyl \(W\), fini étale⁵⁸ . Corollaire : si de plus \(T\) est déployé et \(\mathrm{Pic}(S) = 0\), il existe un isomorphisme \(G_0 \to G\) transformant \(T_0\) en \(T\) — les espaces radiciels, inversibles, sont alors libres, \(G\) est déployé, et le théorème d'isomorphisme s'applique.

54–56

Trois questions, et la conjugaison des couples de Killing (pages 54 et 56)

Question 1. Si \(T \simeq T_1\) est un tore maximal de \(G\) contenu dans un Borel, existe-t-il un isomorphisme intérieur \(T_1 \to T\) ? « J'en doute. »

Question 2. Si tout tore maximal de \(G\) est contenu dans un Borel, a-t-on \(G \simeq G_1\) ? C'est le cas si \(\mathrm{Pic}(S) = 0\) et \(\rho\) trivial ; la page demande ce qu'il en est sur un corps avec \(\rho\) non trivial, note que c'est évident sur un corps où \(H^1(k,T) = 0\) pour tout tore, et hésite pour les groupes unitaires réels. Sur un corps, la réponse est oui : l'hypothèse fournit un sous-groupe de Borel défini sur \(k\), donc \(G\) est quasi-déployé, et la forme quasi-déployée d'un type extérieur donné est unique à isomorphisme près⁵⁹ .

Question 3. Si \(G\) possède un sous-groupe de Borel — si l'on peut restreindre le groupe structural de \(G_1\) à \(B_1\) —, peut-on le restreindre à \(T_1\) ? La page s'arrête. Pour \(S\) affine, oui : \(B_1 = T_1 \ltimes U_1\), et le radical unipotent \(U_1\) admet une filtration dont les quotients sont des fibrés vectoriels, de \(H^1\) nul sur une base affine ; donc \(H^1(S,B_1) = H^1(S,T_1)\), et tout sous-groupe de Borel contient un tore maximal⁶⁰ .

La page 56 classe les formes intérieures munies d'un couple de Killing : deux couples de Killing de \(G\) définissant le même élément de \(H^1(S,T_1)\) sont conjugués par un automorphisme intérieur, et la question de savoir si deux couples de Killing d'un même \(G\) sont toujours conjugués équivaut à l'injectivité de \(H^1(S,T_1) \to H^1(S,G_1)\). La page soupçonne un contre-exemple, propose d'étudier les éléments de \(H^1(S,N_1)\) conjugués par \(H^0(S,W_1)\), et prend pour cas d'essai \(G_0 = GL_2\), où \(E = W_0 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(E\) opérant trivialement sur \(W_0\) et \(W_0 = W_1\) par symétrie sur \(T_1\). Sur un corps, la réponse est positive (les sous-groupes de Borel sont conjugués, et les tores maximaux d'un Borel le sont sous son radical unipotent) ; sur une base générale elle est négative, par l'exemple donné plus bas.

58–58

La table des conjugaisons (page 58)

La page 58 est une colonne d'énoncés reliés par des doubles flèches, groupés en trois blocs, chacun suivi d'un verdict. On l'écrit avec \(\Pi_1 = \mathrm{ad}(G_1)\) partout où la page écrit \(G_1\) dans le premier bloc : ce sont les torseurs sous le groupe adjoint qui classent les formes intérieures, et les équivalences reposent sur la description des fibres par torsion⁶¹ .

Premier bloc. \(H^1(S,\Pi_1) \to H^1(S,\Gamma_1)\) est injectif \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{Aut}(G) \to \mathbf{Ext}(G)\) a toujours une section \(\Leftrightarrow\) \(\mathrm{Aut}(G) \to \mathrm{Ext}(G)\) est toujours surjectif, pour toute forme \(G\) de type extérieur \(\rho\). Verdict : faux en général sur un corps, vrai pour les formes quasi-déployées et, avec un point d'interrogation, pour les formes extérieures « de Tits »⁶² .

Deuxième bloc. \(H^1(S,B_1) \to H^1(S,G_1)\) est injectif \(\Leftrightarrow\) deux sous-groupes de Borel d'un même \(G\) sont toujours conjugués \(\Leftrightarrow\) pour tout \(G\) et tout Borel \(B\), \(H^1(S,B) \to H^1(S,G)\) est injectif⁶³ . Verdict de la page : vrai pour les formes intérieures et pour celles « de Tits ». C'est vrai sur un corps (Borel–Tits) et sur une base semi-locale, mais faux sur une base générale, même pour \(G = GL_2\) : sur un anneau de Dedekind \(A\) de groupe des classes non nul, un sous-groupe de Borel de \(GL_2\) est le stabilisateur d'un facteur direct inversible \(L \subset A^2\), tout \(L\) s'y prête puisque \(L \oplus L^{-1} \simeq A^2\), et deux tels Borel ne sont conjugués que si les \(L\) sont isomorphes.

Troisième bloc. \(H^1(S,N_1) \to H^1(S,G_1)\) est injectif \(\Leftrightarrow\) deux sous-groupes de Cartan (tores maximaux) d'un même \(G\) sont toujours conjugués \(\Leftrightarrow\) pour tout \(G\) et tout tore maximal \(T\), \(H^1(S,N(T)) \to H^1(S,G)\) est injectif. Verdict : semble faux même sur un corps non algébriquement clos, même pour les formes intérieures. C'est faux, en effet : sur \(\mathbb{R}\), les tores déployé et anisotrope de \(SL_2\) ne sont pas conjugués.

60–78

Formes quadratiques (pages 60 à 78)

Le feuillet de la page 60 porte, sur trois lignes, « Formes quadratiques, bilinéaires symétriques, etc »⁶⁴ . Sur un anneau commutatif \(A\), une forme bilinéaire symétrique, une forme alternée et une forme quadratique sont trois structures distinctes, que la caractéristique 2 sépare : une forme quadratique y détermine une forme bilinéaire alternée, sa polaire, sans être déterminée par elle.

61–63

Catégories de formes et groupes orthogonaux (pages 61 et 63)

La page 61 dessine deux fois un schéma de foncteurs entre les catégories de formes bilinéaires (« Bil »), quadratiques (« Quad ») et alternées (« Alt »), avec leurs variantes unimodulaires, « typiques » et « spéciales », toutes aboutissant aux modules (« Mod ») par oubli ; entre Bil et Quad, deux foncteurs en sens inverses, \(Q \mapsto\) polaire et \(b \mapsto (x \mapsto b(x,x))\). En haut, barré, le calcul du groupe orthogonal de \(x^2 + y^2\) : \((ax - by)^2 + (cx + dy)^2 = x^2 + y^2\) équivaut à \(a^2 + c^2 = 1\), \(b^2 + d^2 = 1\), \(2(cd - ab) = 0\)⁶⁵ .

La page 63 décrit les groupes orthogonaux sur \(\mathbb{Z}\) : en rang pair, \(e \to SO(2m) \to O(2m) \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to e\), produit semi-direct, le centre de \(SO(2m)\) étant \(\mu_2\) ; en rang impair, \(O(2m+1) = SO(2m+1) \times \mu_2\), la projection sur \(\mu_2\) étant le déterminant⁶⁶ . Pour tout \(m\), les groupes \(\mathrm{Pin}(m)\) et \(\mathrm{Spin}(m)\) sont des extensions centrales par \(\mu_2\) :

\begin{tikzcd}
e \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] & \mathrm{Pin}(m) \arrow[r] & O(m) \arrow[r] & e \\
e \arrow[r] & \mu_2 \arrow[r] \arrow[u, no head, "\Vert" description] & \mathrm{Spin}(m) \arrow[r] \arrow[u] & SO(m) \arrow[r] \arrow[u, hook] & e
\end{tikzcd}

Puis un calcul en caractéristique 2 et en rang impair. Pour la forme \(x^2 + Q_0(y)\), les transformations \((x,y) \mapsto (\lambda x + u(y), y)\), \(u\) linéaire, qui la préservent vérifient \((\lambda x + u(y))^2 + Q_0(y) = \lambda^2 x^2 + u(y)^2 + Q_0(y)\), le terme croisé disparaissant ; d'où \(\lambda^2 = 1\) et \(u(y)^2 = 0\), c'est-à-dire \(\lambda \in \mu_2\) et les coefficients de \(u\) dans \(\alpha_2\). La loi de composition est \[ (\lambda', u')(\lambda, u) = (\lambda'\lambda,\ \lambda' u + u'), \] et ce sous-groupe est le schéma en groupes infinitésimal \(\mu_2 \ltimes \alpha_2^n\), \(n\) le nombre des variables \(y\)⁶⁷ .

65–69

Anneaux de formes, caractéristique 2 et produits tensoriels (pages 65 à 69)

Les formes bilinéaires symétriques forment un anneau pour le produit tensoriel, et même un \(\lambda\)-anneau ; les formes alternées et les formes quadratiques sont des modules sur cet anneau. La somme Bil \(\oplus\) Alt est un \(\lambda\)-module gradué par \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)⁶⁸ . Pour une forme bilinéaire \(f\), la forme induite sur \(\Lambda^2\) est donnée par le déterminant de Gram : \[ f(x \wedge y, x \wedge y) = f(x,x)\, f(y,y) - f(x,y)^2 . \] Le tiers droit de la page, écrit en travers, calcule la forme \(\sum x_i x'_i\) dans la base \(e_1, e_1 - e_2, \ldots, e_1 - e_n\) : en caractéristique 2 les vecteurs \(e_1 - e_i\) y sont deux à deux de produit \(1\) et de carré nul, d'où une décomposition de la forme standard en une partie diagonale de rang 1 et une partie alternée⁶⁹ .

La page 67 écrit, en caractéristique 2, les suites exactes qui relient les quatre foncteurs d'un module libre \(E\) : le carré symétrique \(\mathrm{Symm}^2(\check E)\) (les formes quadratiques), les tenseurs symétriques \(\Sigma^2(\check E)\) (les formes bilinéaires symétriques), les tenseurs alternés \(\mathrm{Alt}^2(\check E)\) (les formes alternées) et le tordu de Frobenius \(\check E^{(2)}\) (les formes « diagonales » \(x \mapsto \sum a_i x_i^2\)). La polarisation \(\mathrm{Symm}^2 \to \Sigma^2\), \(Q \mapsto b_Q\), a pour noyau \(\check E^{(2)}\) et pour image \(\mathrm{Alt}^2\) ; la restriction à la diagonale \(\Sigma^2 \to \mathrm{Symm}^2\), \(b \mapsto (x \mapsto b(x,x))\), a pour noyau \(\mathrm{Alt}^2\) et pour image \(\check E^{(2)}\). D'où les deux suites exactes \[ 0 \to \mathrm{Alt}^2(\check E) \to \Sigma^2(\check E) \to \mathrm{Symm}^2(\check E) \to \mathrm{Alt}^2(\check E) \to 0, \] \[ 0 \to \check E^{(2)} \to \mathrm{Symm}^2(\check E) \to \Sigma^2(\check E) \to \check E^{(2)} \to 0, \] et le résumé encadré : image \(=\) noyau \(= \mathrm{Alt}^2(\check E)\) d'un côté, \(= \check E^{(2)}\) de l'autre⁷⁰ .

Suit la table des produits tensoriels : alternée \(\otimes\) alternée \(\to\) bilinéaire symétrique ; bilinéaire symétrique \(\otimes\) alternée \(\to\) alternée ; bilinéaire \(\otimes\) bilinéaire \(\to\) bilinéaire ; quadratique \(\otimes\) bilinéaire \(\to\) quadratique ; quadratique \(\otimes\) alternée \(\to\) alternée ; et quadratique \(\otimes\) quadratique « ?! » — il n'y a pas, en caractéristique 2, de forme quadratique canonique sur le produit tensoriel de deux formes quadratiques⁷¹ .

La page 69 introduit, sur une base \(S\), l'ensemble \(E^{n,m}(S)\) des classes d'isomorphisme de formes quadratiques régulières de type \((n,m)\), c'est-à-dire localement isomorphes à \[ x_1^2 + \cdots + x_n^2 + y_1 y_2 + y_3 y_4 + \cdots + y_{2m-1} y_{2m}, \] et le monoïde bigradué \(\bar E(S) = \coprod_{n,m \geq 0} E^{n,m}(S)\). Si \(2\) est inversible, \(E^{n,m} \simeq E^{n+2m,0}\) : le plan hyperbolique est localement diagonalisable. Si \(2 = 0\), la page écrit \(E^{n,m} \simeq E^{1,m}\)⁷² . Le groupe \(E(S)\) associé au monoïde s'envoie sur \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) par les deux rangs.

71–74

La lettre à Delzant (pages 71 à 74)

Les pages 71 à 74 sont dactylographiées, avec des corrections de sa main, et datées à l'encre du 22 juillet 1961⁷³ . Elles portent le titre « Commentaires sur l'article de A. Delzant sur les formes quadratiques ». C'est une lettre de rapporteur, à la deuxième personne, et c'est le « tapuscrit annoté » du titre du dossier. Le texte est de lui : il parle de « mon séminaire » pour le groupe fondamental de \(\mathrm{Spec}(A)\), ce qui renvoie à SGA 1 (1960–1961), et ses corrections sont de sa main. L'article dont il est question est vraisemblablement la note de Delzant aux Comptes rendus de 1962 qui définit les classes de Stiefel–Whitney d'un module quadratique sur un corps de caractéristique différente de 2⁷⁴ .

Sur la rédaction. Deux remarques. Il est très confusant de traiter en même temps la caractéristique 2 et les autres : les structures en jeu y sont d'espèce différente ; à défaut de théorie commune, laisser tomber la caractéristique 2 ou lui réserver un numéro à part. Et le rôle des \(\lambda\)-structures est pratiquement nul, parce que la filtration naturelle de l'anneau des classes de formes est celle des puissances de l'idéal d'augmentation ; on récupère la \(\lambda\)-structure à la fin.

Programme minimum, 1) : la structure de \(Q(A)\). Soit \(A\) un corps de caractéristique \(\neq 2\) et \(Q(A)\) l'anneau des classes de formes quadratiques non dégénérées — aujourd'hui l'anneau de Grothendieck–Witt. Pour \(a \in A^{*}\), soit \(\varphi_a\) la classe de \(a\xi^2\) ; elle ne dépend que de \(a\) modulo les carrés, d'où un homomorphisme de \(D = A^{*}/A^{*2} = H^1(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\) dans le groupe des unités de \(Q(A)\), et un homomorphisme d'anneaux \[ \varphi : \mathbb{Z}[D] \longrightarrow Q(A) \] depuis l'algèbre du groupe \(D\), de base les \(e_a\).

Théorème. \(\varphi\) est surjectif, et son noyau est engendré par les \(e_a + e_b - e_{a'} - e_{b'}\) pour \(\varphi_a + \varphi_b = \varphi_{a'} + \varphi_{b'}\). D'après un théorème de Witt, cette relation équivaut à l'égalité des invariants des deux formes binaires, soit, \(D\) étant écrit additivement, \[ a + b = a' + b', \qquad a \cdot b = a' \cdot b', \] où \(a \cdot b\) est le cup-produit à valeurs dans \(B = H^2(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\), le sous-groupe du groupe de Brauer annulé par 2⁷⁵ . La structure de \(Q(A)\) est donc connue dès qu'on connaît \(D\), \(B\) et le cup-produit \(D \times D \to B\). Le noyau est aussi engendré par les \[ e_{a+u+v} - e_{a+u} - e_{a+v} + e_a, \qquad u \cdot v = 0, \] ce qu'on vérifie en posant \(a' = a + u\), \(b' = a + v\) : alors \(b = a + u + v\), et la condition sur les cup-produits se réduit à \(u \cdot v = 0\).

La lettre en tire que l'algèbre graduée associée à \(Q(A)\) pour la filtration par les puissances de l'idéal d'augmentation est le quotient de l'algèbre symétrique de \(D\) par l'idéal engendré par les \(uv \in \mathrm{Symm}^2(D)\) tels que \(u \cdot v = 0\) dans \(B\), et demande d'éclaircir si \(\mathrm{grad}^2 Q(A) \to B\) est toujours injectif. Ce n'est pas une conséquence immédiate de la présentation. En degré 2, l'injectivité demandée est le théorème de Merkurjev (1981) ; en tout degré, l'énoncé équivaut, compte tenu de ce théorème, à la conjecture de Milnor sur l'anneau de Witt, démontrée par Orlov, Vishik et Voevodsky (2007)⁷⁶ .

De la présentation, la lettre déduit que, pour un anneau gradué \(H^{\cdot}\) à degrés positifs, se donner une « classe totale » sur \(Q(A)\) à valeurs dans \(1 + \hat H^{+}\) — additive au départ, multiplicative à l'arrivée, envoyant \(\varphi_a\) sur \(1 + W^1(a)\) — équivaut à se donner un homomorphisme \(W^1 : D \to H^1\) tel que \(W^1(u) W^1(v) = 0\) dès que \(u \cdot v = 0\) dans \(B\) ; et que \(\mathrm{grad}\,Q(A)\) joue un rôle universel pour ces propriétés⁷⁷ . Le choix le plus naturel est \(H^{\cdot} = H^{\cdot}(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\) avec le cup-produit et \(W^1\) l'identité, d'où les classes de Stiefel–Whitney \[ W^i : Q(A) \to H^i(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}). \] Serre suggère une définition plus fine, en remplaçant la clôture séparable par la réunion des sous-extensions finies de degré une puissance de 2, ce qui donne un \(H^2\) « plus fin », s'envoyant dans le \(H^2\) habituel⁷⁸ .

Enfin \(Q(A)\) est un \(\lambda\)-anneau, et sa \(\lambda\)-structure se lit sur la structure d'anneau, puisque \(\lambda_t(\varphi_a) = 1 + \varphi_a t\) ; un homomorphisme d'anneaux augmentés \(Q(A) \to \mathbb{Z} \times (1 + \hat H^{+})\) est automatiquement un \(\lambda\)-homomorphisme, et il n'y a pas lieu d'en dire plus.

2) Le cas d'un anneau local. Si \(A\) est local de corps résiduel de caractéristique \(\neq 2\), tout ce qui précède semble marcher, \(H^{\cdot}(A)\) désignant la cohomologie du groupe fondamental de \(\mathrm{Spec}(A)\) ; une forme y est non dégénérée si sa réduction l'est. Au-delà du programme minimum : des classes de Stiefel–Whitney pour les modules quadratiques sur un préschéma quelconque \(S\), les caractéristiques résiduelles étant au besoin supposées \(\neq 2\), avec pour test l'invariance de la définition triviale pour un module qui se décompose en modules de rang 1. Et, « comme prime au lecteur », la comparaison avec la topologie : si \(A\) est l'anneau local d'un point d'un schéma \(S\) de type fini sur \(\mathbb{C}\), un module quadratique sur \(A\) s'étend à un voisinage, définit un torseur sous le groupe orthogonal, donc par GAGA un fibré analytique puis topologique, et ses classes de Stiefel–Whitney topologiques, envoyées par l'homomorphisme canonique \(H^{\cdot}(S_{\mathrm{top}}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to H^{\cdot}(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\), sont les classes algébriques — il suffit de le vérifier en rang 1.

3) La caractéristique 2. Une théorie satisfaisante devrait valoir sur tout préschéma. Deux remarques, qu'il dit vagues. a) Sur un corps de caractéristique quelconque, il faut sans doute tenir compte des formes dégénérées et poser \(Q'(k)\) ; en caractéristique \(\neq 2\) ce serait \(Q(k) \oplus \mathbb{Z}\), le facteur \(\mathbb{Z}\) comptant les formes nulles, avec \((f,m)(g,n) = (fg,\ \deg(f)\,n + \deg(g)\,m + mn)\). b) Il faut distinguer \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S\) et \((\mu_2)_S\) : pour \(S\) local d'anneau \(A\), \[ H^1(S, \mu_2) = A^{*}/A^{*2}, \qquad H^2(S, \mu_2) = {}_2\mathrm{Br}(A), \qquad H^1(S, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = A/\wp A \ \ (2A = 0), \] \(\wp(x) = x^2 - x\). On doit donc s'attendre à des classes de Stiefel–Whitney de type mixte, faisant intervenir les deux groupes de coefficients. Le groupe orthogonal sur \(\mathbb{Z}\) le confirme : en dimension paire, extension de \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par le groupe spécial orthogonal, à fibres connexes (en dimension 2, \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \ltimes \mathbb{G}_m\)) ; en dimension impaire, extension de \(\mu_2\) (en dimension 1, \(\mu_2\)). Le premier invariant discret d'un torseur orthogonal est donc une classe de \(H^1\) à coefficients dans \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) ou dans \(\mu_2\), selon la parité — l'invariant d'Arf, ou de Dickson, et le discriminant.

Ce programme a été réalisé par d'autres : en caractéristique 2, la théorie de Kato (1982) relie les formes quadratiques et bilinéaires à la \(K\)-théorie de Milnor et aux groupes \(H^n_2\) de cohomologie à coefficients mixtes, et la remarque b) est au point de départ de l'étude des invariants cohomologiques des torseurs (Serre ; Garibaldi, Merkurjev et Serre, 2003).

75–77

Les exposés de Kneser à l'IHÉS (pages 75 à 77)

Les pages 75 à 77 sont titrées « Formes quadratiques (Exposés de Kneser à l'IHES) », et numérotées (1), (2), (3) de sa main.

(1) Généralités. Soit \(A\) un anneau commutatif ; \(E(A)\) est l'anneau des formes quadratiques non dégénérées (discriminant non diviseur de zéro) sur des modules projectifs de type fini, \(F(A)\) celui des formes unimodulaires (discriminant inversible) ; si \(A\) est un corps, \(E(A) = F(A)\). Invariants sur \(F(A)\) : le rang \(\varepsilon : F(A) \to \mathbb{Z}\), homomorphisme d'anneaux ; le discriminant \(d : F(A) \to A^{*}/A^{*2}\), homomorphisme de groupes ; la classe de Clifford \(c : F(A) \to {}_2\mathrm{Br}(A)\), simple application. Kneser définit \(c\) d'abord pour les modules quadratiques — par l'algèbre de Clifford en rang pair, la sous-algèbre paire en rang impair — et note que \(c(E \oplus E') = c(E) + c(E')\) quand les discriminants sont convenables ; \(c\) est donc additive sur le noyau \(F_2(A)\) de \((\varepsilon, d)\)⁷⁹ . Pour \(A\) local de caractéristique résiduelle \(\neq 2\), les classes de Stiefel–Whitney redonnent \(d\) et \(c\).

Les trois invariants définissent une filtration \(F \supset F_1 \supset F_2 \supset F_3\), et, pour un corps de caractéristique \(\neq 2\), \[ F/F_1 \simeq \mathbb{Z}, \qquad F_1/F_2 \simeq A^{*}/A^{*2}, \qquad F_2/F_3 \subset {}_2\mathrm{Br}(A), \] l'image étant le sous-groupe engendré par les classes décomposables (les algèbres de quaternions). La page demande si l'on a, en toute caractéristique, \(F_1/F_2 \simeq H^1(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\) et \(F_2/F_3 \simeq H^2(A, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\)⁸⁰ .

(2) Exemples (corps de caractéristique \(\neq 2\)).

• a)\(k\) algébriquement clos : \(F(k) \simeq \mathbb{Z}\), \(F_1(k) = 0\).
• b)\(k\) fini : \(F(k) \simeq \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(F_2(k) = 0\).
• c)\(k\) \(p\)-adique : \(F(k) \simeq \mathbb{Z} \oplus\) un 2-groupe fini annulé par 4, \(F_3(k) = 0\)⁸¹ .
• d)\(k = \mathbb{R}\) : \(F_1(k) \simeq \mathbb{Z}\), et, dans cette identification, \(F_2(k) = 2\mathbb{Z}\), \(F_3(k) = 4\mathbb{Z}\).
• e)\(k\) complet pour une valuation discrète à corps résiduel algébriquement clos de caractéristique \(\neq 2\) : \(F(k) \simeq \mathbb{Z} \oplus k^{*}/k^{*2} = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), \(F_2(k) = 0\)⁸² .

(3) Corps de nombres. Soit \(K\) un corps de nombres. Le théorème de Hasse(–Minkowski) dit que \(F(K) \to \prod_v F(K_v)\) est injectif, le produit portant sur toutes les places⁸³ . Sur les gradués : \(F_1(K)/F_2(K) \to \prod_v K_v^{*}/K_v^{*2}\) est injectif ; \(F_2(K)/F_3(K) \to \bigoplus_v \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) est injectif, parce que \(\mathrm{Br}(K) \to \bigoplus_v \mathrm{Br}(K_v)\) l'est, d'image contenue dans les familles de somme nulle ; et \(F_3(K) \subset \prod_v F_3(K_v) \subset \mathbb{Z}^r\), \(r\) le nombre de places réelles, les \(F_3\) locaux étant nuls aux autres places. Le sous-groupe de torsion de \(F(K)\) est le noyau de \(F_1(K) \to \mathbb{Z}^r\) (les signatures), et il est annulé par 4.

78–78

Une ébauche locale-globale (page 78)

La dernière page écrite esquisse la même étude sur un anneau de Dedekind \(A\) de corps des fractions \(K\) : deux diagrammes comparent \(E(A)\) et \(F(A)\) avec \(E(K)\), \(F(K)\) et leurs analogues sur les complétés \(\hat A_p\) et \(K_p\), en lignes que la page présente comme exactes, avec un sous-groupe \(E'(A)\), resp. \(F'(A)\), au noyau ; au-dessus, l'inclusion \(\mathrm{Pic}(A)/2\,\mathrm{Pic}(A) \subset H^2(A, \mu_2)\), qui vient de la suite de Kummer⁸⁴ . Suivent \(H^1(K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \to \prod_p H^1(K_p, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\), un bloc barré de suites d'idèles (\(0 \to L^{*} \to J_L \to C_L \to 0\) et ses produits tensoriels) qui prépare un calcul de cohomologie galoisienne, et, pour un anneau de valuation discrète complet \(V\), une description de \(E'(V)\) par les formes sur le corps résiduel, illisible pour l'essentiel.