sur ces trois feuillets il écrit P^{i}(X) pour la jacobienne intermédiaire ; la lettre, plus tardive, écrira J^{i}(X) pour le même objet

Th. 1 N(\xi) \subset \mathrm{Alb}(S) n'est autre des (ensemblistement) que le noyau de l'application naturelle

\varphi_{\xi} : \mathrm{Alb}(S) \longrightarrow \mathcal{Z}^{i}(X)/\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X)

la lettre des groupes de cycles est tantôt un Z anguleux, tantôt un \mathcal{Z} bouclé, sans qu'aucune distinction ne paraisse voulue ; elle est uniformisée en \mathcal{Z} ici. L'indice alb est entouré d'un cercle aux deux endroits où il paraît, sans doute pour marquer une notation encore provisoire

Th. 2 La dimension de \mathrm{Alb}(S)/N(\xi) = P_{\xi} est majorée par un nombre ne dépendant que de X [en fait, par \tfrac{1}{2}\,b^{2i-1}(X) !].

Ces deux th. s'expliquent

Th. 3 Z^{i}_{\mathrm{alg}}(X)/\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X) = P^{i}(X) a une structure naturelle de V.A., et P^{i}(X) et P^{n+1-i}(X) sont en dualité canonique.

« Hodge »

le mot est souligné puis barré d'un long trait ; il nomme le th. 4 comme « Néron », « Lefschetz » et « Matsusaka » nomment les th. 5, 6 et 7

Cancelé tel quel

cette note est entourée d'un cercle et une flèche la mène au th. 4 ; la même formule reparaît en marge de la page 7, contre l'énoncé de la lettre qui reprend ce théorème. La lecture du premier mot n'est pas sûre

Th. 4 Si n = 2m-1, alors l'autodualité canonique de P^{m}(X) [donc sur P^{m}(X)] est associée à une polarisation de P^{m}(X).

Soit A = \coprod_{i \geq 0} A^{i} un anneau gradué, degrés \geq 0, et soit

\hat{A} = \prod_{i \geq 0} A_{i}

le complété . Si noeth. [p. ex. A , A_{1} de type fini sur A_{0}], alors \hat{A} est plat sur A. Pour tout A-module M, nous posons \hat{M} = M \otimes_{A} \hat{A}.

Supposons que M soit gradué de type fini, alors

\hat{M} = \prod_{i \geq 0} M_{i}

Si M satisfait , alors une suite exacte

\cdots \longrightarrow M'' \longrightarrow M \longrightarrow M' \longrightarrow 0

[M' gradué, M'' de type fini], et la

\cdots \longrightarrow \hat{M}'' \longrightarrow \hat{M} \longrightarrow \hat{M}' \longrightarrow 0

\hat{M}'' = \prod_{i \geq 0} M''_{i} = \prod_{i \geq 0} M_{i} \qquad \hat{M}' \overset{\sim}{\longrightarrow} M'

comme on voit de suite [car M' des de définition]. de sommes \sum x_{i} toujours cas i \to \infty. exact et fidèle.

sa page 2

2i-1 + 2j-1 = 2(i+j-1) = n

« Néron »

Th. 5 Soient X variété projective n.s. de dim n, Z^{i}, Z'^{j} \in \mathcal{Z}^{*}(X) de codim i, j, avec codim i+j = n, que z = Z\cdot Y et z' = Z'\cdot Y soient alg. équiv. à 0 (sur Y) [Y section hyperplane générique d'un pinceau de telles ] ; de codim i, j, avec \dim Y = \dim X - 1 i+j = n = \dim Y + 1, donc définissent des de P^{i}(Y), P^{0}_{j}(Y), et par le foncteur de Néron–Tate [l'accouplement entre P^{i}(Y) et P^{j}(Y)] on définit \langle z, z'\rangle. Cela posé, on a au signe près ??

\langle z, z'\rangle = (-1)^{m}\, Z\cdot Z'

N.B. Si 2i = 2j les deux membres sont nuls,

Doit résulter d'un plus fin des , et un variant local

cette seconde note est écrite dans un triangle tracé au bas du feuillet, et n'est lisible qu'en partie

« Lefschetz »

barré d'un long trait, comme « Hodge » à la page 1

Th. 6 Sous les conditions du th. 5, si 2i \leq n+1 P^{i}(X) \to P^{i}(Y) est une isogénie ; et si 2i = n le de P^{i}(Y) est identique à l'image de P^{i}(X) ; c'est égale à P^{i}(X) sauf si 2i = n = 2i' le noyau de P^{i}(X) \to P^{i}(Y) est fini [si 2i 2i \geq n+1, P^{i}(X) \to P^{i}(Y) est ] 2i \leq n+1 surjectif

l'énoncé est d'abord annoncé « Cor. », le mot étant ensuite barré et remplacé par « Th. 6 ». Le mot isogénie est souligné

Considérons les objets suivants

N.B. Alors les S_{a} sont déterminées , en effet l'unique symétrie suivante : de la forme

(x, y) = \sum_{a \in \Delta} \langle x, a\rangle \langle y, a\rangle \qquad\text{sur } (P^{\mathbb{Q}})' = (P')^{\mathbb{Q}}

On aura alors

S_{\alpha}x = x - \langle \gamma_{\alpha}, x\rangle\, \alpha

pour un \gamma_{\alpha} \in P'^{\mathbb{Q}} bien . que l'on a en fait \gamma_{\alpha} \in P', i.e. les

c_{\alpha\beta} = \langle \gamma_{\alpha}, \beta\rangle \ \text{ sont } \in \mathbb{Z}

[provenant en fait chaque \alpha est dans P, et ceci du fait qu'il faire partie d'un « système fondamental de racines »]

Si \alpha' = \varphi(\alpha), on a \langle \alpha', \alpha\rangle = 2

sa page 3 ; le feuillet ne porte que cet énoncé

« Matsusaka »

Th. 7 L'équivalence numérique = \tau-équivalence [cycles algébriques sur X projective non singulière].

Bures le 12.8.1964

Mon cher Serre,

Je commence à avoir de faibles lumières sur la façon de faire les VA avec les cycles algébriquement équivalents à zéro d'une variété projective non singulière X (sur un corps alg clos k). Si X est connexe de dimension n, je sais associer à chaque entier i compris entre 1 et n une VA J^{i}(X), jouant le rôle d'une « jacobienne intermédiaire » au sens de Weil, correspondant à des classes de cycles de codimension i (pour une relation d'équivalence que je ne sais pas bien identifier pour l'instant, mais qui mérite certainement d'être appelée « équivalence d'Albanese »). Je suis moralement sûr que ce sont « les bonnes », bien que je n'ai pas prouvé grand-chose dessus pour l'instant ; par contre, j'ai dès conjectures en pagaille. Je te signale seulement que J^{1} = \mathrm{Pic}^{0} et J^{n} = \mathrm{Alb}^{0}, que J^{i} et J^{n+1-i} sont canoniquement duales l'une de l'autre, que \dim J^{i} \leq \tfrac{1}{2} b_{2i-1} (nombre de Betti) — de façon plus précise T_{\ell}(J^{i}) est un quotient d'un sous-module de H^{2i-1}(X, \underline{\mathbb{Z}}_{\ell}(i)) (et quand on sera plus savant, on saura prouver que c'est même un sous-module dudit), en caractéristique 0 on peut également remplacer la cohomologie de Weil par la cohomologie de Hodge H^{i}(X, \underline{\Omega}{}^{i-1}_{X})…

« dès » pour « des » : la coquille est de la machine et n'est pas corrigée

conjecturalement \mathcal{Z}^{i} \subset H^{i}(X, \Omega^{(i)}_{X})

cette seconde note marginale, de deux lignes, est barrée d'une croix et n'est plus lisible

Moyennant un certain nombre de choses non prouvées (qui risquent d'ailleurs d'être vaches) le théorème de positivité de Hodge se ramène à l'énoncé suivant, que je ne sais pas prouver, et que j'ai envie de te communiquer car il est bien terre à terre. Moralement, il s'agit de prouver que dans le cas où \dim X = 2m-1, l'autodualité de J^{m} (qui s'exprime par une classe de correspondance divisorielle sur J^{m}\times J^{m} symétrique, donc provenant — du moins modulo le facteur 2 —

Cancelé tel quel, il faut de la primitive…