Cote n° 44 · batch 1 · pages 1–8
· Transcription · Jacobiennes intermédiaires : notes manuscrites (s.d.), lettre (1964)
Datation de l’inventaire : 1964
Édition de démonstration
Programme de travail
titre de sa main, en tête du feuillet. Les feuillets 1, 3 et 5 portent sa pagination 1, 2, 3 en haut à droite, et la lettre dactylographiée qui les suit la continue en 4 et 5 : le dossier est numéroté d'un bout à l'autre par lui, et le programme et la lettre ne font qu'une seule suite
1
sur ces trois feuillets il écrit \(P^{i}(X)\) pour la jacobienne intermédiaire ; la lettre, plus tardive, écrira \(J^{i}(X)\) pour le même objet
Th. 1 \(N(\xi) \subset \mathrm{Alb}(S)\) n'est autr[e] des (ensemblistement) que le noyau de l'application naturelle
\[ \varphi_{\xi} : \mathrm{Alb}(S) \longrightarrow \mathcal{Z}^{i}(X)/\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X) \]
la lettre des groupes de cycles est tantôt un \(Z\) anguleux, tantôt un \(\mathcal{Z}\) bouclé, sans qu'aucune distinction ne paraisse voulue ; elle est uniformisée en \(\mathcal{Z}\) ici. L'indice alb est entouré d'un cercle aux deux endroits où il paraît, sans doute pour marquer une notation encore provisoire
Th. 2 La dimension de \(\mathrm{Alb}(S)/N(\xi) = P_{\xi}\) est majorée par un nombre ne dépendant que de \(X\) [en fait, par \(\tfrac{1}{2}\,b^{2i-1}(X)\) !].
Ces deux th. s'expliquent […]
Th. 3 \(Z^{i}_{\mathrm{alg}}(X)/\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X) = P^{i}(X)\) a une structure naturelle de V.A., et \(P^{i}(X)\) et \(P^{n+1-i}(X)\) sont en dualité canonique.
« Hodge »
le mot est souligné puis barré d'un long trait ; il nomme le th. 4 comme « Néron », « Lefschetz » et « Matsusaka » nomment les th. 5, 6 et 7
Cancelé tel quel
cette note est entourée d'un cercle et une flèche la mène au th. 4 ; la même formule reparaît en marge de la page 7, contre l'énoncé de la lettre qui reprend ce théorème. La lecture du premier mot n'est pas sûre
Th. 4 Si \(n = 2m-1\), alors l'autodualité canonique de \(P^{m}(X)\) [donc […] sur \(P^{m}(X)\)] est associée à une polarisation de \(P^{m}(X)\).
Feuillet d'un autre document : complétion d'un anneau gradué
feuillet sans rapport avec le programme qui l'entoure, entièrement barré de deux longues diagonales. Il est transcrit ici à son rang, sans qu'aucune continuité avec les jacobiennes intermédiaires ne soit affirmée. Sa prose est très rapide et ne se laisse lire qu'en partie ; les formules, elles, portent
2
Soit \(A = \coprod_{i \geq 0} A^{i}\) un anneau gradué, […] degrés \(\geq 0\), et soit
\[ \hat{A} = \prod_{i \geq 0} A_{i} \]
le complété […]. Si […] noeth. [p. ex. \(A\) […], \(A_{1}\) de type fini sur \(A_{0}\)], alors \(\hat{A}\) est plat sur \(A\). Pour tout \(A\)-module \(M\), nous posons \(\hat{M} = M \otimes_{A} \hat{A}\).
Supposons […] que \(M\) soit […] gradué de type fini, alors […]
\[ \hat{M} = \prod_{i \geq 0} M_{i} \]
Si \(M\) satisfait […], alors […] une suite exacte
\[ \cdots \longrightarrow M'' \longrightarrow M \longrightarrow M' \longrightarrow 0 \]
[\(M'\) […] gradué, \(M''\) de type fini], et la […]
\[ \cdots \longrightarrow \hat{M}'' \longrightarrow \hat{M} \longrightarrow \hat{M}' \longrightarrow 0 \]
\[ \hat{M}'' = \prod_{i \geq 0} M''_{i} = \prod_{i \geq 0} M_{i} \qquad \hat{M}' \overset{\sim}{\longrightarrow} M' \]
comme on voit de suite [car \(M'\) […] des […] de définition]. […] de sommes \(\sum x_{i}\) […] toujours cas […] \(i \to \infty\). […] exact et fidèle.
Programme de travail (suite)
3
sa page 2
\(2i-1 + 2j-1 = 2(i+j-1) = n\)
« Néron »
Th. 5 Soient \(X\) variété projective n.s. de dim \(n\), \(Z^{i}, Z'^{j} \in \mathcal{Z}^{*}(X)\) de codim \(i, j\), avec codim \(i+j = n\), […] que \(z = Z\cdot Y\) et \(z' = Z'\cdot Y\) soient alg. équiv. à \(0\) (sur \(Y\)) [\(Y\) section hyperplane générique d'un pinceau de telles […]] ; de codim […] \(i, j\), avec \(\dim Y = \dim X - 1\) \(i+j = n = \dim Y + 1\), donc définissent des […] de \(P^{i}(Y)\), \(P^{0}_{j}(Y)\), et par le foncteur de Néron–Tate […] [l'accouplement entre \(P^{i}(Y)\) et \(P^{j}(Y)\)] on […] définit \(\langle z, z'\rangle\). Cela posé, on a […] au signe près ??
\[ \langle z, z'\rangle = (-1)^{m}\, Z\cdot Z' \]
N.B. Si \(2i = 2j\) […] les deux membres sont nuls, […]
Doit résulter d'un […] plus fin […] des […], et […] un variant local […]
cette seconde note est écrite dans un triangle tracé au bas du feuillet, et n'est lisible qu'en partie
« Lefschetz »
barré d'un long trait, comme « Hodge » à la page 1
Th. 6 Sous les conditions du th. 5, si \(2i \leq n+1\) \(P^{i}(X) \to P^{i}(Y)\) est une isogénie ; et si \(2i = n\) le […] de \(P^{i}(Y)\) est identique à l'image de \(P^{i}(X)\) ; c'est égale à \(P^{i}(X)\) sauf si \(2i = n = 2i'\) […] le noyau de \(P^{i}(X) \to P^{i}(Y)\) est fini [si \(2i\) \(2i \geq n+1\), \(P^{i}(X) \to P^{i}(Y)\) est […]] \(2i \leq n+1\) surjectif
l'énoncé est d'abord annoncé « Cor. », le mot étant ensuite barré et remplacé par « Th. 6 ». Le mot isogénie est souligné
Feuillet d'un autre document : les axiomes d'une donnée radicielle
second feuillet sans rapport avec le programme, barré d'une longue diagonale, et transcrit ici à son rang aux mêmes conditions que la page 2. Le \(\Delta\) y est partout repassé à l'encre lourde par-dessus le crayon
4
Considérons les objets suivants
- \((P, \Delta)\), où \(P\) est un groupe abélien libre de rang fini, \(\Delta\) une partie finie de \(P\), satisfaisant […] conditions \begin{itemize}
- a)\(\Delta\) engendre \(P\)
- b)Si \(a \in \Delta\), \(-a \in \Delta\), mais \(na \notin \Delta\) si \(n \neq 1, -1\), \(n \in \mathbb{Q}\)
- c)Pour tout \(a \in \Delta\), il existe une « symétrie » \(S_{a}\) […] \(a\) […] \(-a\), et telle que \(S_{a}(\Delta) \subset \Delta\). \end{itemize} N.B. Alors les \(S_{a}\) sont […] déterminées […], en effet […] l'unique symétrie […] suivante : […] […] de la forme \[ (x, y) = \sum_{a \in \Delta} \langle x, a\rangle \langle y, a\rangle \qquad\text{sur } (P^{\mathbb{Q}})' = (P')^{\mathbb{Q}} \] On aura alors \[ S_{\alpha}x = x - \langle \gamma_{\alpha}, x\rangle\, \alpha \] pour un \(\gamma_{\alpha} \in P'^{\mathbb{Q}}\) bien […]. […] que l'on a en fait \(\gamma_{\alpha} \in P'\), i.e. les \[ c_{\alpha\beta} = \langle \gamma_{\alpha}, \beta\rangle \ \text{ sont } \in \mathbb{Z} \] [provenant en fait […] chaque \(\alpha\) est […] dans \(P\), et ceci du fait qu'il […] faire partie d'un « système fondamental de racines »]
- \((P, P', \Delta, \Delta', \varphi)\), où […] \(P, P'\) sont deux groupes abéliens libres de rang fini, […] \(\Delta \subset P\), \(\Delta' \subset P'\), \(\varphi\) une bijection de \(\Delta\) […] \(\Delta'\), […] les conditions […] étant vérifiées : \begin{itemize}
- a)\(P^{\mathbb{Q}}\) et \(P'^{\mathbb{Q}}\) sont en dualité, \(\Delta\) engendre \(P\), \(\Delta'\) engendre \(P'\) \(\alpha \in P'\) telle que \(\varphi(\alpha) = \alpha'\)
- b)Pour tout \(\alpha \in \Delta\) \(\alpha' \in \Delta'\), […] \[ S_{\alpha} : x \longmapsto x - \langle \alpha', x\rangle\, \alpha \] […] \(\Delta\) dans \(\Delta\)
- b')Pour tout \(\gamma \in \Delta'\), \(\alpha \in \Delta\) tel que \(\varphi(\alpha) = \gamma\), \[ S'_{\alpha} : x' \longmapsto x' - \langle x', \alpha\rangle\, \alpha' \] invarie \(\Delta'\) \end{itemize}
Si \(\alpha' = \varphi(\alpha)\), on a \(\langle \alpha', \alpha\rangle = 2\)
Programme de travail (fin)
5
sa page 3 ; le feuillet ne porte que cet énoncé
« Matsusaka »
Th. 7 L'équivalence numérique \(=\) \(\tau\)-équivalence [cycles algébriques sur \(X\) projective non singulière].
Lettre à Serre, Bures, 12 août 1964
sa page 4 : la lettre est dactylographiée et continue la pagination du programme. Les \(\ell\) et les lettres grecques manquaient à la machine et sont encrés à la main ; ils sont restitués sans autre mention
7
Bures le 12.8.1964
Mon cher Serre,
Je commence à avoir de faibles lumières sur la façon de faire les VA avec les cycles algébriquement équivalents à zéro d'une variété projective non singulière \(X\) (sur un corps alg clos \(k\)). Si \(X\) est connexe de dimension \(n\), je sais associer à chaque entier \(i\) compris entre \(1\) et \(n\) une VA \(J^{i}(X)\), jouant le rôle d'une « jacobienne intermédiaire » au sens de Weil, correspondant à des classes de cycles de codimension \(i\) (pour une relation d'équivalence que je ne sais pas bien identifier pour l'instant, mais qui mérite certainement d'être appelée « équivalence d'Albanese »). Je suis moralement sûr que ce sont « les bonnes », bien que je n'ai pas prouvé grand-chose dessus pour l'instant ; par contre, j'ai dès conjectures en pagaille. Je te signale seulement que \(J^{1} = \mathrm{Pic}^{0}\) et \(J^{n} = \mathrm{Alb}^{0}\), que \(J^{i}\) et \(J^{n+1-i}\) sont canoniquement duales l'une de l'autre, que \(\dim J^{i} \leq \tfrac{1}{2} b_{2i-1}\) (nombre de Betti) — de façon plus précise \(T_{\ell}(J^{i})\) est un quotient d'un sous-module de \(H^{2i-1}(X, \underline{\mathbb{Z}}_{\ell}(i))\) (et quand on sera plus savant, on saura prouver que c'est même un sous-module dudit), en caractéristique \(0\) on peut également remplacer la cohomologie de Weil par la cohomologie de Hodge \(H^{i}(X, \underline{\Omega}{}^{i-1}_{X})\)…
« dès » pour « des » : la coquille est de la machine et n'est pas corrigée
conjecturalement \(\mathcal{Z}^{i}\) \(\subset\) \(H^{i}(X, \Omega^{(i)}_{X})\)
[…]
cette seconde note marginale, de deux lignes, est barrée d'une croix et n'est plus lisible
Moyennant un certain nombre de choses non prouvées (qui risquent d'ailleurs d'être vaches) le théorème de positivité de Hodge se ramène à l'énoncé suivant, que je ne sais pas prouver, et que j'ai envie de te communiquer car il est bien terre à terre. Moralement, il s'agit de prouver que dans le cas où \(\dim X = 2m-1\), l'autodualité de \(J^{m}\) (qui s'exprime par une classe de correspondance divisorielle sur \(J^{m}\times J^{m}\) […] symétrique, donc provenant — du moins modulo le facteur \(2\) —
Cancelé tel quel, il faut […] de la primitive…
8
sa page 5
d'un élément du groupe de Néron Severi de \(J^{m}\)) est positive i.e. l'élément en question de Néron-Severi est ample, i.e. une polarisation.
Pratiquement, cela s'explicite ainsi : Soit \(T\) une variété de paramètres connexe non singulière munie d'un point marqué \(a\), \(z\) une classe de cycles de codimension \(m\) sur \(T\times X\) (à équivalence linéaire près, mettons), telle que \(z(a) = 0\) dans \(X\), soient \(p\) et \(q\) les deux projections de \(T\times T\times X\) sur \(T\times X\), \(r\) sa projection sur \(T\times T\), considérons
\[ D = r_{*}\!\left(p^{*}(z)\cdot q^{*}(z)\right) \]
qui est une classe de diviseurs sur \(T\times T\), que nous considérons comme une classe de correspondance divisorielle sur \(T\times T\). Si \(A = \mathrm{Alb}^{0}(T)\) (NB si tu veux, tu peux supposer \(T = A\) et \(a\) l'origine), elle provient donc d'une classe de correspondance sur \(A\times A\), évidemment symétrique. Soit \(N\) le « noyau » de cette classe (i.e. le noyau de \(A \longrightarrow\) (duale de \(A\)) qu'elle définit), on obtient alors une classe de correspondance symétrique sur \(J\times J\), où \(J = A/N\). À prouver que cette dernière est positive ! Je me demande si les spécialistes « abéliens » pourraient avoir une idée sur une telle question, peut-être Matsusaka ? Ou toi-même ? Notes d'ailleurs que cette question te dévoile pratiquement la méthode de construction des \(J^{i}\) généraux ; si tu veux, tu peux te borner aussi au cas où tu disposes d'une sous-variété de codimension \(m-1\) \(Y\) de \(X\), non singulière si tu y tiens, […] et où \(T = \mathrm{Pic}^{0}(Y)\), considéré comme paramétrant les diviseurs alg équiv à zéro de \(Y\), mais considérés comme classes de cycles […] de codimension \(m\) de \(X\).
« connexe » et « aussi » sont ajoutés en interligne à la machine
Merci pour la copie de la lettre à Ogg !
Bien à toi