Cote n° 44 · pages 1–8 · Lecture modernisée · Jacobiennes intermédiaires : notes manuscrites (s.d.), lettre (1964) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1964
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et l'ordre des feuillets

Le dossier est une seule liasse, paginée de \(1\) à \(5\) de sa main sur les feuillets qu'il a écrits. Trois d'entre eux — les pages 1, 3 et 5 de l'archiviste — portent un « Programme de travail » en sept théorèmes numérotés. Les deux derniers — pages 7 et 8 — portent le tapuscrit de sa lettre à Serre du 12 août 1964, qu'il a numérotée \(4\) et \(5\) pour qu'elle ferme la même suite. Le programme et la lettre disent la même chose deux fois, une fois en énoncés secs et une fois en prose, et la lettre est la plus explicite des deux.

La colonne vertébrale est celle-ci. Les théorèmes 1 et 2 construisent l'objet : le premier identifie ce qu'une famille de cycles apporte, le second borne uniformément ce que toutes les familles peuvent apporter, et cette borne uniforme est ce qui permet de prendre la plus grande. Les théorèmes 3 et 4 lui demandent la structure qu'on veut : une dualité entre codimensions complémentaires, et au milieu une polarisation. Les théorèmes 5 et 6 le comparent à ce qu'on obtient sur une section hyperplane. Le théorème 7 est d'un autre ordre : il ne parle plus de la jacobienne mais de la relation d'équivalence la plus grossière, et c'est le seul des sept dont on sait aujourd'hui qu'il est faux.

Deux feuillets n'appartiennent pas à cette liasse et n'ont rien à voir avec elle. Il a écrit son programme au dos de papier déjà servi : la page 2 est un feuillet à lui, barré, sur la complétion d'un anneau gradué, et la page 4 un feuillet à lui, barré lui aussi, sur les axiomes d'une donnée radicielle. Ils sont lus ici en appendice, dans les termes de leurs propres sujets, et rien n'est affirmé d'une continuité entre eux et les jacobiennes.

Notation. Les trois feuillets du programme écrivent \(P^{i}(X)\) ce que la lettre écrit \(J^{i}(X)\) : c'est le même objet, et \(J^{i}(X)\) est employé partout ici.¹ \(X\) est partout une variété projective lisse connexe de dimension \(n\) sur un corps algébriquement clos \(k\) ; \(\mathcal{Z}^{i}(X)\) le groupe des cycles de codimension \(i\), \(\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alg}}(X)\) ceux qui sont algébriquement équivalents à zéro, \(\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X)\) ceux que le dossier dit « albanesiennement » équivalents à zéro. \(b_{j}(X)\) est le \(j\)-ième nombre de Betti.

1–1

Ce que la jacobienne intermédiaire doit être (page 1)

Une famille de cycles, et ce qu'elle engendre

Soit \(S\) une variété de paramètres pointée et \(\xi\) une famille de cycles de codimension \(i\) de \(X\) paramétrée par \(S\) — concrètement, un cycle de codimension \(i\) sur \(S\times X\), dont la fibre au point marqué est nulle. La famille définit une application de \(S\) dans le groupe des classes de cycles, et comme le but est un groupe commutatif, cette application se factorise par la variété d'Albanese de \(S\) : c'est la propriété universelle d'Albanese, et c'est tout ce qu'on lui demande ici. On obtient

\[ \varphi_{\xi} : \mathrm{Alb}(S) \longrightarrow \mathcal{Z}^{i}(X)/\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X). \]

Le premier théorème dit que le noyau \(N(\xi)\) de ce morphisme est celui qu'on attend, et l'énoncé prend soin de préciser ensemblistement : c'est une égalité de sous-ensembles de points, pas encore de sous-schémas.² Le quotient \(\mathrm{Alb}(S)/N(\xi)\) est donc une variété abélienne, notée \(P_{\xi}\) : c'est la part de la jacobienne cherchée que la seule famille \(\xi\) donne à voir.

La borne uniforme, et l'existence

Le second théorème est celui qui fait tout le travail :

\[ \dim P_{\xi} \;\leq\; \tfrac{1}{2}\, b_{2i-1}(X), \]

et la borne ne dépend pas de \(\xi\). C'est ce qui permet de faire la somme de toutes les familles à la fois : une famille croissante de sous-variétés abéliennes d'un groupe, uniformément bornée en dimension, est stationnaire, et il existe donc un plus grand \(P_{\xi}\). Cet objet maximal est la jacobienne intermédiaire \(J^{i}(X)\), et l'équivalence d'Albanese est, par construction, ce qu'il ne sépare pas.³

La raison de la borne est donnée en une ligne, dans la lettre : le module de Tate de \(J^{i}(X)\) se plonge, à un quotient près, dans la cohomologie de degré \(2i-1\). Nous y venons.

Dualité, et positivité au milieu

Le troisième théorème demande que le quotient

\[ \mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alg}}(X)/\mathcal{Z}^{i}_{\mathrm{alb}}(X) \;=\; J^{i}(X) \]

porte une structure de variété abélienne, et que \(J^{i}(X)\) et \(J^{n+1-i}(X)\) soient canoniquement duales l'une de l'autre. Les deux extrémités de cette famille d'énoncés sont classiques : pour \(i=1\) on a \(J^{1}(X)=\mathrm{Pic}^{0}(X)\) et pour \(i=n\) on a \(J^{n}(X)=\mathrm{Alb}(X)\), et la dualité entre la variété de Picard et la variété d'Albanese est un théorème.⁴ Ce que demande le théorème 3 est la forme générale de ce fait.

Le quatrième théorème est le point difficile, et Grothendieck le sait : il l'annule d'un mot en marge, entouré et fléché vers l'énoncé — « Cancelé tel quel ». Quand \(n = 2m-1\) est impair, la dualité du théorème 3 devient une autodualité de \(J^{m}(X)\), laquelle équivaut à la donnée d'une classe de correspondance divisorielle symétrique sur \(J^{m}(X)\times J^{m}(X)\), c'est-à-dire d'un élément du groupe de Néron–Severi de \(J^{m}(X)\). La question est de savoir si cet élément est ample, autrement dit si l'autodualité provient d'une polarisation. Sous cette forme l'énoncé est faux, et la marge de la page 7 dit pourquoi : il faut prendre la classe primitive.⁵ Corrigé ainsi, l'énoncé est la forme algébrique du théorème de positivité de Hodge, et c'est lui que la lettre réduira à une question sur les variétés abéliennes.

Le feuillet nomme en marge, entre guillemets, la provenance de chaque énoncé : « Hodge » contre le théorème 4, « Néron » et « Lefschetz » contre les théorèmes 5 et 6, « Matsusaka » contre le théorème 7.⁶

3–3

Ce qu'une section hyperplane conserve (page 3)

L'accouplement, et les nombres d'intersection

Le cinquième théorème compare l'intersection dans \(X\) à la dualité dans une section hyperplane. Soit \(Y \subset X\) une section hyperplane générique, de dimension \(n-1\), et soient \(Z\), \(Z'\) deux cycles de \(X\) de codimensions \(i\) et \(j\) avec

\[ i + j \;=\; n \;=\; \dim Y + 1 . \]

Les restrictions \(z = Z\cdot Y\) et \(z' = Z'\cdot Y\) sont supposées algébriquement équivalentes à zéro sur \(Y\). Elles définissent alors des points de \(J^{i}(Y)\) et de \(J^{j}(Y)\), et la condition \(i+j = \dim Y + 1\) est exactement celle sous laquelle ces deux variétés abéliennes sont duales l'une de l'autre par le théorème 3. Il y a donc entre elles un accouplement canonique — celui que le feuillet attribue au « foncteur de Néron–Tate » — et le théorème affirme qu'il calcule le nombre d'intersection :

\[ \langle z, z'\rangle \;=\; (-1)^{m}\, Z\cdot Z' . \]

L'énoncé est le plus raturé du dossier, et deux choses n'en sont pas récupérables : le groupe dans lequel l'accouplement prend ses valeurs, et l'entier \(m\) qui gouverne le signe.⁷ Une note marginale ajoute la vérification de cohérence attendue : lorsque \(2i = 2j\), les deux membres sont nuls.⁸

Une seconde note, tracée dans un triangle au bas du feuillet et en grande partie illisible, dit que l'énoncé devrait résulter d'un invariant plus fin admettant un « variant local » ; la lecture ne la reconstitue pas.

Un théorème de type Lefschetz

Le sixième théorème demande, sous les mêmes hypothèses, que la restriction

\[ J^{i}(X) \longrightarrow J^{i}(Y) \]

soit une isogénie tant que \(2i \leq n-1\), et qu'au degré médian \(2i = n\) elle reste injective à noyau fini, son image étant tout ce que \(J^{i}(Y)\) retient de \(X\).⁹

C'est l'analogue, pour ces variétés abéliennes, du théorème de Lefschetz faible : une section hyperplane voit la même chose que l'ambiant en dessous du degré médian, et au degré médian elle en voit plus.

5–5

Équivalence numérique et \(\tau\)-équivalence (page 5)

Le septième et dernier théorème quitte les jacobiennes. Deux cycles sont numériquement équivalents lorsqu'ils ont les mêmes nombres d'intersection contre tout cycle complémentaire — c'est la relation la plus grossière qu'on puisse raisonnablement écrire. Ils sont \(\tau\)-équivalents lorsqu'un multiple non nul de leur différence est algébriquement équivalent à zéro — c'est l'équivalence algébrique, à la torsion près. Le feuillet affirme que les deux coïncident.

Pour les diviseurs, c'est un théorème : un diviseur numériquement équivalent à zéro sur une variété projective a un multiple algébriquement équivalent à zéro. C'est le résultat de Matsusaka (1957), et c'est ce que le nom porté en marge du feuillet enregistre.

Le feuillet, lui, écrit l'énoncé pour les « cycles algébriques sur \(X\) projective non singulière », sans restriction de codimension. Sous cette forme il est faux.¹⁰

7–8

La lettre à Serre, 12 août 1964 (pages 7 et 8)

Ce qu'elle annonce

La lettre reprend le programme en prose et lui ajoute deux choses : la raison de la borne du théorème 2, et une réduction complète du théorème 4 à un énoncé sur les variétés abéliennes.

La raison de la borne est cohomologique. Le module de Tate \(T_{\ell}(J^{i}(X))\) est, écrit-il, un quotient d'un sous-module de \(H^{2i-1}(X, \mathbb{Z}_{\ell}(i))\) — « et quand on sera plus savant, on saura prouver que c'est même un sous-module dudit ». Le rang de ce module est au plus \(b_{2i-1}(X)\), et comme le module de Tate d'une variété abélienne de dimension \(g\) est de rang \(2g\), on retrouve \(\dim J^{i}(X) \leq \tfrac{1}{2}b_{2i-1}(X)\).¹¹ Une note marginale de la page 7, d'une autre encre, ajoute une inclusion conjecturale des cycles dans la cohomologie de Hodge ; sa lecture n'est pas assurée et elle n'est pas utilisée ici.

La réduction de la positivité

Voici la construction, qui est le cœur de la lettre. Soit \(T\) une variété de paramètres connexe, lisse, munie d'un point marqué \(a\), et soit \(z\) une classe de cycles de codimension \(m\) sur \(T\times X\), nulle en \(a\). On considère sur \(T\times T\times X\) les deux projections \(p\) et \(q\) sur \(T\times X\) et la projection \(r\) sur \(T\times T\), et on pose

\[ D \;=\; r_{*}\!\left(p^{*}(z)\cdot q^{*}(z)\right), \]

qui est une classe de diviseurs sur \(T\times T\), c'est-à-dire une classe de correspondance divisorielle. Elle est symétrique par construction. Comme elle s'annule sur les fibres du point marqué, elle provient de la variété d'Albanese \(A = \mathrm{Alb}^{0}(T)\) — « si tu veux, tu peux supposer \(T = A\) et \(a\) l'origine », précise-t-il —, donc d'une classe de correspondance symétrique sur \(A\times A\). Une telle classe définit un morphisme \(A \to \hat{A}\) vers la variété duale ; soit \(N\) son noyau. Sur le quotient \(J = A/N\), la classe descend en une correspondance symétrique non dégénérée, et la question est celle-ci, la seule de la lettre :

cette correspondance est-elle positive, c'est-à-dire l'élément correspondant de \(\mathrm{NS}(J)\) est-il ample ?

Une réponse affirmative donnerait le théorème 4 : la variété \(J\) ainsi obtenue est la jacobienne intermédiaire \(J^{m}(X)\), et la classe est celle que son autodualité définit.¹²

Il ajoute que la question suffit à révéler la méthode de construction générale des \(J^{i}\), et qu'on peut si l'on veut se borner au cas où \(T\) est \(\mathrm{Pic}^{0}(Y)\) pour une sous-variété \(Y\) de \(X\) de codimension \(m-1\), les diviseurs de \(Y\) algébriquement équivalents à zéro étant regardés comme cycles de codimension \(m\) de \(X\) — ce qui est le mécanisme du théorème 5, vu depuis l'autre bout.

Ce que la lettre dit de sa manière de travailler

Deux phrases méritent d'être lues pour elles-mêmes. Sur la relation d'équivalence qu'il ne sait pas décrire : « je ne sais pas bien identifier pour l'instant, mais qui mérite certainement d'être appelée équivalence d'Albanese ». Et sur l'ensemble : « je suis moralement sûr que ce sont les bonnes, bien que je n'ai pas prouvé grand-chose dessus pour l'instant ; par contre, j'ai des conjectures en pagaille ».

La certitude n'attend pas la démonstration, et le nom n'attend pas la définition. Ce que le programme des sept théorèmes énonce n'est pas une liste de résultats mais la description de l'objet qui devrait exister ; l'existence, il la déduira de deux d'entre eux. Il demande enfin si « les spécialistes abéliens » sauraient répondre à sa question — « peut-être Matsusaka ? Ou toi-même ? » — et se justifie de la poser en disant qu'elle est « bien terre à terre ».

2–2

Appendice I : la complétion d'un anneau gradué (page 2)

Ce feuillet, barré de deux longues diagonales, appartient à un autre document et n'a aucun rapport avec les jacobiennes. Il énonce ce qu'il advient de la complétion sur un anneau gradué.

Soit \(A = \bigoplus_{i\geq 0} A^{i}\) un anneau gradué et \(\hat{A}\) son complété pour la filtration par les degrés \(\geq n\). Le feuillet écrit d'emblée

\[ \hat{A} \;=\; \prod_{i \geq 0} A_{i}, \]

ce qui est l'identification à retenir : compléter un anneau gradué, c'est remplacer la somme directe par le produit, c'est-à-dire autoriser les séries infinies là où l'anneau gradué n'admettait que les polynômes.¹³

Sous une hypothèse noethérienne, \(\hat{A}\) est plat sur \(A\), et l'on pose \(\hat{M} = M\otimes_{A}\hat{A}\) pour tout \(A\)-module \(M\). Le feuillet établit alors deux choses. D'abord, pour \(M\) gradué de type fini, la même description vaut :

\[ \hat{M} \;=\; \prod_{i\geq 0} M_{i}. \]

Ensuite, pour \(M\) seulement de type fini, on passe par une présentation \(\cdots \to M''\to M\to M'\to 0\) avec \(M''\) de type fini, on la complète — ce que la platitude autorise —, et l'on obtient

\[ \hat{M}'' \;=\; \prod_{i\geq 0} M''_{i} \;=\; \prod_{i\geq 0} M_{i}, \qquad \hat{M}' \;\overset{\sim}{\longrightarrow}\; M' . \]

Le second isomorphisme est ce qui rend l'argument concluant : la partie de \(M\) qui n'était pas graduée ne voit pas la complétion.¹⁴

4–4

Appendice II : les axiomes d'une donnée radicielle (page 4)

Ce second feuillet étranger, barré lui aussi, énumère deux structures axiomatiques. La première est celle d'un système de racines réduit ; la seconde est celle qu'on appelle aujourd'hui une donnée radicielle.

Un système de racines, et l'intégralité des nombres de Cartan

On se donne un couple \((P, \Delta)\) où \(P\) est un groupe abélien libre de rang fini et \(\Delta\) une partie finie de \(P\), soumis à trois conditions : \(\Delta\) engendre \(P\) ; si \(a \in \Delta\) alors \(-a\in\Delta\) mais \(na\notin\Delta\) pour \(n\neq \pm 1\) ; et pour tout \(a\in\Delta\) il existe une « symétrie » \(S_{a}\) envoyant \(a\) sur \(-a\) et préservant \(\Delta\).¹⁵

La note qui suit est le cœur du feuillet. Elle observe que les symétries sont alors uniquement déterminées, parce qu'on peut les réaliser toutes à la fois au moyen d'une seule forme quadratique invariante, écrite explicitement :

\[ (x,y) \;=\; \sum_{a\in\Delta} \langle x, a\rangle\,\langle y, a\rangle \qquad \text{sur } (P')^{\mathbb{Q}} . \]

De là, \(S_{\alpha}x = x - \langle\gamma_{\alpha}, x\rangle\,\alpha\) pour un \(\gamma_{\alpha}\in (P')^{\mathbb{Q}}\) bien déterminé — c'est la coracine \(\alpha^{\vee}\) — et le feuillet affirme qu'en fait \(\gamma_{\alpha}\) est entier, c'est-à-dire que les nombres

\[ c_{\alpha\beta} \;=\; \langle\gamma_{\alpha},\beta\rangle \]

sont dans \(\mathbb{Z}\) : ce sont les entiers de Cartan. La raison qu'il en donne tient à ce que \(\alpha\) soit indivisible dans \(P\), du fait de pouvoir faire partie d'un « système fondamental de racines ».¹⁶

La donnée radicielle

La seconde structure est un quintuplet \((P, P', \Delta, \Delta', \varphi)\) où \(P\) et \(P'\) sont deux groupes abéliens libres de rang fini en dualité, \(\Delta\subset P\), \(\Delta'\subset P'\), et \(\varphi\) une bijection de \(\Delta\) sur \(\Delta'\). Les conditions demandées sont que \(\Delta\) engendre \(P\) et \(\Delta'\) engendre \(P'\), et que les deux familles de symétries se correspondent : pour \(\alpha\in\Delta\) d'image \(\alpha' = \varphi(\alpha)\),

\[ S_{\alpha} : x \longmapsto x - \langle \alpha', x\rangle\,\alpha \quad\text{laisse } \Delta \text{ stable}, \qquad S'_{\alpha} : x' \longmapsto x' - \langle x', \alpha\rangle\,\alpha' \quad\text{laisse } \Delta' \text{ stable}, \]

la marge ajoutant la normalisation \(\langle \alpha', \alpha\rangle = 2\).

C'est, à la condition d'engendrement près, la définition d'une donnée radicielle.¹⁷