Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 181–200

\underline{A}_{\mathfrak{m}} ~~\underline{M}~~ en tête du feuillet, deux lettres soulignées d'un trait épais ; la seconde, un M, est biffée. Le petit « \mathfrak{m} » est écrit sous le A, comme les indices des H^0 qui suivent ; on le rend par \mathfrak{m}, l'idéal que la fin de la page nomme

X, Y deux modules sur A H^0_{\mathfrak{m}}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } D\,H^0_{\mathfrak{m}}(Y)

(X,Y) \to (X',Y') consiste en X \to X', \qquad Y \leftarrow Y' tel que le diagramme

\begin{tikzcd} H^0(X) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & H^0(X') \arrow[d, "\wr"] \\ D\,H^0(Y) \arrow[r] & D\,H^0(Y') \end{tikzcd}

soit commutatif. dans ce carré l'indice \mathfrak{m} n'est plus écrit ; la flèche du bas n'a pas de pointe visible et est rendue dans le sens de celle du haut

Si on veut inclure les groupes \mathbb{G}_m les algébriques (comme aussi \mu_p, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) et \mathbb{Z} parmi les groupes formels (comme aussi \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), alors , on prend topologique \mathbb{Z} \times A et le H^0 étant relatif aux idéaux \mathfrak{m} = (F,V) de A et les idéaux quelconques de \mathbb{Z}, la dualité la phrase se poursuit en haut de la page 182 ; le premier mot après « Si on veut » et les mots qui précèdent « les algébriques » sont très rapides et restent en grande partie illisibles

s'interprète deux facteurs. fin de la phrase commencée page 181 ; le premier mot est très incertain. Double trait en dessous, qui clôt le passage

Dans une catégorie de Cartier , la toujours par F^{-}, et la par V^{-}. Mais passons aux ind-objets de C_1 et aux pro-objets de C_2, les uns ni les autres ne sont caractérisés par F^{-} ou par V^{-}. Comment définir la nullité intrinsèquement ?? les exposants de F et V sont un petit trait horizontal, rendu F^{-}, V^{-} ; « nullité » peut aussi se lire « nilpotence »

Quelle est l'interprétation des modules du type fini sur \mathbb{W}_{\infty\,\sigma}[F,V]/(FV-p) \ ?? le \sigma en indice après \mathbb{W}_\infty est celui des pages 183, 196, 200 : l'anneau non commutatif tordu par le Frobenius

Je pense que c'est l'anneau des endomorphismes de \mathbb{W}_\infty qui laissent invariant le sous-groupe D(\mathbb{W}_\infty) [ groupe de Witt dont les composantes sont nilpotentes, et dont de type fini nulles …], ou les endomorphismes de D(\mathbb{W}_\infty) qui laissent invariant l'accouplement fondamental de avec lui-même.

la moitié supérieure de la page (jusqu'au cadre) est barrée de plusieurs longs traits obliques et d'une courbe ; deux autres traits obliques traversent le reste de la feuille. Ce qui se lit est donné ci-dessous

~~\mathbb{G}_m \mathrm{Ext}~~ 0 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{G}_m \to 0 le premier terme est surchargé et biffé par l'auteur ; « \mu_n » n'est qu'une lecture probable, l'indice n étant celui de la suite suivante 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{Z} \to \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, \mu_n) \to 0

\mathbb{W}_{\sigma}[F,V]/(V^n, FV-p) ~~\forall~~ ~~k[V]~~ k_{\sigma}[F] k[F] F k[F]

\widetilde{\mathbb{W}}_\infty noethérien, artinien, pro-artinien noethérien mots écrits sous \widetilde{\mathbb{W}}_\infty et soulignés, dans la partie barrée

\underline{\mathbb{G}_m,\ \mathbb{G}_a} \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} — \mu_p — \alpha_p — \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mu_p — \alpha_p — \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} — \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \underline{\mathbb{V}} \underline{\mathbb{Z}}

schéma encadré : à gauche \mathbb{G}_m, \mathbb{G}_a soulignés ; deux traits en éventail en partent. Sur le trait supérieur : \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, puis \mu_p, \alpha_p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ; sur le trait inférieur : \mu_p, \alpha_p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, puis \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} ; les deux convergent vers \mathbb{V} et \mathbb{Z} (lettres doublées) soulignés, à droite. Le schéma met face à face, dans l'ordre inverse, les groupes que la page 192 énumère

\mathbb{W}_{\sigma}\{F,V\}/(FV-p) \longrightarrow \mathbb{W}_{\sigma}[[F,V]]/(FV-p) (en dimension 2)

Anneau de Cartier Anneau de Gabriel-Dieudonné « Anneau de Cartier » est souligné deux fois ; « Anneau de Gabriel-Dieudonné » est souligné d'une flèche et d'un trait. Entre les deux, une insertion entourée : « (pas nécessairement ) »

Unifier les pro-groupes algébriques unipotents et les groupes (ind-finis)

complétion des précédents pour l'idéal maximal \mathfrak{T}(F,V) « maximal » est ajouté au-dessus de la ligne avec un renvoi. La lettre devant (F,V) est une grande lettre ronde, rendue \mathfrak{T} ; lecture incertaine

Classification des la page s'arrête sur ces mots

\mathbb{W}_\infty \to \mathbb{W}_\infty = \varinjlim \mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{W}_n) le premier membre est écrit sans nom de flèche ; on lit \mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{W}_\infty) comme limite inductive des \mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{W}_n), l'indice du second \mathbb{W} étant très abrégé D(\mathbb{W}_\infty) \subset \mathbb{W}_{\infty 1} le D est écrit au-dessus d'un « Hom » biffé ; en dessous, un D surchargé et biffé. L'indice « 1 » de \mathbb{W}_{\infty} est net

F D(\mathbb{W}_\infty), \qquad D(\mathbb{W}_\infty) \longrightarrow \mathbb{W}_\infty, \qquad \underline{D(\mathbb{W}_\infty)} \times \underline{D(\mathbb{W}_\infty)} \mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{G}_m), \qquad \mathbb{W}_\infty \times calculs épars dans la moitié droite du haut de la page ; le « \mathbb{W}_\infty \times » reste en suspens

groupes algébriques affines = algèbres de type fini sur k, avec \Delta commutative fonctorielle /

~~groupes~~ pro(algébriques affines) = Algèbres , type fini

Question : est-ce un pro(groupe alg. affine), i.e. l'algèbre est-elle limite inductive d'algèbres de type fini qui sont stables par \Delta ??

les trois énoncés sont réunis par une grande accolade à gauche ; les deux lignes de la Question par une seconde accolade. Après « avec \Delta », deux mots superposés entre accolades, le premier lu « fonctorielle », le second illisible

~~hyperalgèbres~~ ~~groupes~~ objet (ind(algébrique fini)) \simeq coalgèbres commutatives unitaires, engendrées par ses sous-coalgèbres de rang fini sur k sous « \simeq », une colonne de mots serrés : « en corps, et pas utiliser la dualité » ; lecture très incertaine. « objet » est écrit sous les deux mots biffés

[~~Toute telle coalgèbre est en effet~~ engendrée par des coalgèbres (cette dernière condition supplémentaires , i.e. une multiplication (continue sur k^I n'est pas ) projective d'algèbres de rang fini sur k) le crochet ouvrant et le début de la première ligne sont biffés d'un trait horizontal

U \cdot U \Delta(x) + U \otimes U) en marge gauche, un petit schéma : U, U en haut, U^{*}, U^{*} en bas, reliés par deux flèches croisées

groupe (ind(algébrique fini)) \simeq coalgèbres de type , munies d'une loi d'algèbre commutative, unitaire, compatible les suivantes « groupe (ind(algébrique fini)) » est souligné d'un long trait ; sous lui, entouré : « groupe formel »

Exemple : l'algèbre affine d'un groupe algébrique linéaire ou d'un pro(groupe algébrique linéaire) : d'après Cartier, (en car. 0) une telle algèbre serait limite inductive d'algèbres de type fini de type fini du associatif [du moins alg. , si la partie discrète réduite à la partie infinitésimale] la phrase de Cartier est écrite dans la colonne de droite, séparée de « Exemple » par un grand trait courbe ; « (en car. 0) » est inséré au-dessus avec un renvoi, et une ligne d'insertion entourée (« type, ») la précède

Donc il en résulte une dualité entre

pro(groupes algébriques linéaires) \sim gr(ind. alg. finis).

Le plus beau serait manifestement qu'on ait le résultat que cet anneau hyperalgèbres analogues. la page s'arrête ici ; le dernier mot est souligné

La catégorie des groupes formels sur un groupe pro-algébrique linéaire / définissons dans une ~~catégorie~~ hyperalgèbre topologique pure k, dont l'espace sous-jacent est linéairement compact. Il n'est pas exclu que les hyperalgèbres topologiques ayant cette propriété puissent être interprétées ainsi. « / définissons » est relié par un trait oblique à « hyperalgèbre topologique », ligne suivante ; le dernier mot du paragraphe est raturé en zigzag

(définis comme catégorie pro (ind(k-affines))) en marge gauche, écrit en oblique, un petit bloc serré dans un cadre partiellement raturé ; seuls les premiers mots se lisent

Le mécanisme de dualité de Cartier est alors immédiat, ainsi que son interprétation en termes d'accouplement dans \mathbb{G}_m. La définition de F et V en suit immédiatement, en car. p.

\begin{array}{ccc} \mathbb{G}_m & \mathbb{Z}/\ell & \mu_p \\[4pt] F(x) = x^p & F(x) = x^{?} & F = 0 \\ V(x) = x & V(x) = x^p & V = \mathrm{id} \end{array} tableau au bas de la page ; une longue courbe relie \mathbb{G}_m à \mathbb{Z}/\ell, une autre traverse la colonne du milieu. L'exposant de F(x) = x^{\cdot} sous \mathbb{Z}/\ell est noyé sous une surcharge (rendu ?) ; sous la colonne, « (F et V bijectifs) ». Au-dessus de F(x) = x^p dans la première colonne, un « F = x^p » biffé. Deux flèches mènent de \mathbb{G}_m et de \mathbb{Z}/\ell vers une note en oblique, en bas à gauche : « la réduction : \mathbb{F}_p identité \mathbb{G}_a = \mathbb{G}_a^{(p)} »

A algèbre affine d'un groupe affine G (pas nécessairement de type fini) sur l'anneau k

G \to \mathbb{G}_m homom. de k-groupes \approx G \to \mathbb{G}_a morphismes de k-schémas,

tels que (i) Addition transformée en multiplication, (ii) 0 s'envoie sur 1 « homom. de k-groupes » est écrit sous la première flèche, « morphismes de k-schémas, tels que (i) … (ii) … » en colonne à droite de la seconde. Le \mathbb{G}_a est tracé en capitale grasse

i.e. f \in A, telle que

a) \Delta f = f \otimes f

b) \varepsilon(f) = 1

Supposons que A soit libre, alors A est l'ensemble des formes k-linéaires continues sur \check{A} = \mathrm{Hom}(A,k), muni de la convergence simple. Alors, a) signifie que f est multiplicative [quand \check{A} est muni de la structure de k-algèbre déduite de \Delta] et b) que f est unitaire ; donc a) et b), que f est un homomorphisme d'algèbres topologiques. ~~D'où, si~~ Notons que rien ne garantit que \check{A} soit topologisé linéairement par idéaux, i.e. qu'il y ait un système fondamental de voisinages qui soient des idéaux ; or, ce qui revient au même si k est un corps [et ce qui semble ]. rien ne la phrase continue en haut de la page 188, « garantit que A … »

garantit que A, en tant que coalgèbre, soit réunion de « sous-coalgèbres » de type fini ~~l'est, de façon~~ en tant que modules sur k~~. S'il en est ainsi,~~ [et à fortiori plusieurs difficultés ne pas rencontrées k]. S'il en est cependant ainsi, alors \check{A} peut être regardé comme l'algèbre affine d'un ind-(schéma affine) sur k, [définissant un schéma formel] ~~groupe~~ et un ~~groupe~~ (ind-affine) sur k, D(G) et appelé groupe dual de G. La La construction précédente est une construction alors par un groupe ind. affine (au sens Cartier) de k-algèbres (représentable par un ) non précisément \underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr.}}(G, \mathbb{G}_m). moitié haute de la page très rapide, avec plusieurs ratures et insertions interlinéaires ; la marge gauche porte, en oblique : « Si, dans bien… », qui renvoie par des points au crochet « [et à fortiori » ; lecture très incertaine

Si G_k est ~~de type fini~~ un de G de type fini sur k, alors si k est de car. p > 0, d'après Cartier D(G) est bien un groupe (ind-fini), l'indice de G_k est surchargé ; le mot après « un » reste illisible \left.\begin{array}{l} D(\mathbb{G}_m) = \mathbb{Z} \\ D(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \\ D(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) \simeq \mu_{p^n} \\ D(\mu_{p^n}) \simeq \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \\ D(\mathbb{G}_a) = \ \cdots \end{array}\right. les cinq formules sont réunies par une accolade. Au-dessus, un mot raturé. En face de D(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) : « si \ell premier car., et si par de k » ; en face de D(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}), un mot biffé. Pour D(\mathbb{G}_a) : « = ~~algèbre~~ contenant de la p-algèbre de Lie libre engendrée par un élément (même un corps de car. p > 0) », avec en insertion au-dessus « définition » ; la phrase s'arrête au bas de la page

Soit \underline{C} une catégorie, d'où \mathrm{Pro}(\underline{C}) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{C}, (\mathrm{Ens}))

Un objet \mathfrak{X} de \mathrm{Pro}(\underline{C}) est considéré toujours comme (par abus) équivalent à foncteur Y \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\underline{C})}(Y, \mathfrak{X}) de \mathrm{Pro}(\underline{C})^{\circ} dans (\mathrm{Ens}), mais, \mathfrak{Y} = (Y_j)_{j\in J}, \qquad \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\underline{C})}(\mathfrak{Y}, \mathfrak{X}) = \varprojlim_{i} \mathrm{Hom}(\mathfrak{Y}, \mathfrak{X}_i) = cette ligne est en partie biffée d'un trait (« \mathfrak{Y} = (Y_j)_{j\in J}, les Y_i \in \underline{C}, ») et la formule est reliée par un trait à la ligne suivante, qu'elle remplace ; le second membre reste sans suite

identifions \underline{C} à une sous-catégorie de \mathrm{Pro}(\underline{C}), on notera que \mathfrak{X} est plus commode : il puis prendre restreint le foncteur Y \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\underline{C})}(Y, \mathfrak{X}) à \underline{C}^{\circ} dans (\mathrm{Ens}). [Ex : \underline{C} = (\mathrm{Ens}), alors (X_i) et X = \varprojlim_{(\mathrm{Ens})} X_i définissent le même foncteur \underline{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens}), mais qui ne sont pas isomorphes en \mathrm{Pro}(\underline{C})]. Le foncteur naturel \mathrm{Pro}(\underline{C}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{C}^{\circ}, (\mathrm{Ens})) n'est donc pas pleinement fidèle en général. Il importe de bien distinguer en particulier, si X = \varprojlim_{\underline{C}} \mathfrak{X} existe, entre \mathfrak{X} et X [on peut dire semble-t-il que naturel de \mathrm{Pro}\,\underline{C} X = \varprojlim_{\underline{C}} \mathfrak{X} \longrightarrow \mathfrak{X} « donc » est écrit au-dessus de la ligne, avec une accolade, sur un mot biffé et souligné. La page s'arrête sur cette flèche, le crochet n'étant pas refermé

universel par les morphismes \mathrm{Pro}(\underline{C}) de l'objet X dans \mathfrak{X} ; si \varprojlim_{\underline{C}} \mathfrak{X} existe pour tout \mathfrak{X}, cela signifie précisément que le foncteur \underline{C} \longrightarrow \mathrm{Pro}(\underline{C}) canonique pleinement fidèle admet un adjoint, « projection » de \mathrm{Pro}(\underline{C}) sur \underline{C}. « \mathrm{Pro}(\underline{C}) » est ajouté au-dessus de « morphismes » avec une flèche ; un mot est inséré au-dessus de « de K », à la troisième ligne. Lecture incertaine de toute cette phrase

Comme conditions pour cette situation la suivante : il existe pour toute limite projective de \underline{C}, mais sous-catégorie pleine de \underline{C}' telle que tout système projectif dans \underline{C} ait une limite projective dans \underline{C}' ; donc un foncteur naturel \mathrm{Pro}(\underline{C}) \longrightarrow \underline{C}' qui n'est ( triviaux) pas pleinement fidèle. [ p. ex. naturel de quels de , pris sous limite de \underline{C}, sont artiniens ??]

Exemple : les pro-schémas affines de type fini sur S ( ) préschéma loc. noethérien) s'identifient aux schémas ~~affines~~ affines sur S.

Question S Un schéma en groupes affine sur S est-il un pro(groupe affine de type fini), i.e. si S = \mathrm{Spec}(k) la page s'arrête sur cette hypothèse

N.B. \mathrm{Pro}(\underline{C}\text{-}\mathrm{Gr}.) \to (\mathrm{Pro}\,\underline{C})\text{-}\mathrm{Gr}. pleinement fidèle en marge gauche, en oblique, avec une flèche ; la flèche elle-même et le mot « pleinement » sont de lecture incertaine

(k anneau quelconque) est-il vrai que si A est une hyperalgèbre ( ?) sur k, alors A est limite inductive de sous-hyperalgèbres sous-algèbres de type fini en tant que module . Il suffit évidemment que A soit limite inductive de sous-k-modules de type fini V tels que \Delta V \subset \mathrm{Im}\, V \otimes V, et tels que [A_V étant la sous-k-algèbre engendrée par ] A_V \otimes A_V \to A \otimes A soit injectif. les deux insertions sont écrites au-dessus de la ligne, au-dessus de mots biffés ; « en tant que module » est de lecture très incertaine

Cela est facile si k est un corps [dans le deuxième cas ; pour le premier, ] ; et toujours possible si k est noethérien, condition plus générales, telles que : A libre]. passage très rapide ; les mots soulignés en tête sont peu lisibles. Au bord droit, un petit « k_y » sans rattachement

Donc toute hyperalgèbre sur k, ~~affine~~

\underline{\text{pro(groupe alg.\ affine)}} = \underline{\text{groupe alg.\ affine}} deux lignes soulignées en tête du paragraphe, suivies d'un signe raturé

Le « dual » d'un groupe affine commutatif sur k est ensuite , condition (1) est un groupe (ind-fini) \hat{D}(G), à Cartier sur S, dont l'hyperalgèbre est l'algèbre affine de G. La condition type fini sur un corps alg. clos, comme « commutatif sur k » est inséré au-dessus de la ligne. Le circonflexe de \hat{D}(G) est posé au-dessus de G seul ; la graphie de D est surchargée. En marge gauche, en oblique : « Voir aussi Cartier ». La page s'arrête en milieu de phrase

types ~~simples~~ « élémentaires », de groupes dual l'un de l'autre : « élémentaires » est écrit au-dessus d'un mot biffé \begin{array}{ll} \mathbb{G}_m,\ \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z},\ \mu_p\ \ \mathbb{G}_a,\ \alpha_p,\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \qquad \mu_p,\ \alpha_p,\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\[4pt] \mu_p,\ \alpha_p,\ \mathbb{V},\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\ \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z},\ \mathbb{Z} & \end{array} les deux listes sont l'une sous l'autre, la seconde renversant la première ; à droite de la première, « \mu_p, \alpha_p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} » avec en dessous « spéciaux : pro »

[Ceux-ci ; l'un les « éléments » , de composition complète , i.e. premiers, dans alg. clos = v-biais ] \mathbb{V} = D(\mathbb{G}_a) est le noyau ; , les seuls ensemble Cela considère les faisant des extensions, Produits , catégorie (pro-noethérienne artinienne) des groupes (ind-affines) ~~[Classification~~ [ind- des éléments dessus] une algèbre affine, définie qui directe ~~topologique~~ dimension (Borel ) ( ) d'une solution pour (dans le cas géométrique) moitié médiane de la page très rapide, surchargée d'insertions ; seuls les termes mathématiques se lisent avec quelque sûreté

~~Définition de F, V,~~

Multiplicatif [quasi-compl. communs] unipotent [sans l-torsion sur ] groupes discrets

~~Tore~~ groupe profini : \mu_p unipotent alg. profini () réduit \pi continu

bas de la page : une petite table en trois colonnes, reliées par des traits horizontaux à bornes, sous les en-têtes « Multiplicatif », « unipotent » (au-dessus d'un mot biffé) et « groupes discrets » ; les cases, en écriture minuscule et raturées, portent notamment « Tore », « groupe profini », \mu_p (avec une grande croix devant), et plusieurs fois la lettre \pi. Lecture très partielle

Sur universelle extension Dieudonné hyperalgèbre quelconque Cartier V-groupe hyperfini deux longues notes en oblique occupent toute la marge gauche, du haut au bas de la page ; elles restent presque entièrement illisibles

Catégories abéliennes

titre souligné, en tête de la page 194 ; la page change d'encre et de papier, et l'écriture devient posée jusqu'à la page 200

Soit \underline{C} une catégorie abélienne où tous les objets sont de longueur finie. Alors \mathrm{Ind}\,\underline{C} [catégorie des foncteurs contravariants exacts à gauche de \underline{C} dans (\mathrm{Ab})] est une catégorie abélienne à limites inductives exactes, à générateurs de longueur finie [nous dirons : loc. de longueur finie] dont \underline{C} est la sous-catégorie des objets de longueur finie. Il y a ainsi essentiellement correspondance biunivoque entre catégories abéliennes à objets de longueur finie, et catégories abéliennes à limites inductives exactes à générateurs de longueur finie.

Soit \underline{C} une catégorie abélienne (à limites inductives exactes), X \in \underline{C}, le socle de X est la somme des sous-objets simples de X, soit F_0(X). On désigne par F_1(X) l'image inverse du socle de X/X_0 etc., et on trouve ainsi une filtration croissante. « (à limites inductives exactes) » est écrit au-dessus de la ligne avec une accolade de renvoi. Dans « l'image inverse du socle de X/X_0 », X_0 désigne F_0(X)

Cette filtration est fonctorielle. \underline{C} loc. de longueur finie \Longleftrightarrow tout X est la sup des F_i(X). Soit en général \Phi_0(X) = \mathrm{Sup}\, F_i(X), c'est le plus grand sous-objet de X qui est « de dimension de Krull 0 ». C'est le noyau de X \to X_{\underline{C}_0} (localisé par \underline{C}_0) où X_{\underline{C}_0} est le localisé de X pour la sous-catégorie \underline{C}_0 de \underline{C} des objets introduite dans de dimension de Krull 0. \Phi_1(X) sera l'image inverse de \Phi_0(X_{\underline{C}_0}) [ou encore comme \mathrm{Ker}(X \to X_{\underline{C}_1})] etc. On trouve ainsi une filtration fonctorielle (\Phi_i(X))_i. Dire que \underline{C} est de dimension de Krull \leq n signifie que \Phi_n(X) = X pour tout X. la lettre notée \Phi est un \Phi de forme ronde, un peu gothique ; on la rend par \Phi. Le passage « où X_{\underline{C}_0} est le localisé de X pour la sous-catégorie \underline{C}_0 de \underline{C} des objets » est un ajout interlinéaire, relié par une accolade à « introduite dans » ; en marge gauche, à la même hauteur : « de dimension de Krull 0 ». Dans \Phi_0(X_{\underline{C}_0}) l'indice \underline{C}_0 est écrit sous un mot noirci. « [ou encore comme \mathrm{Ker}(X \to X_{\underline{C}_1})] » est inséré au-dessus de la ligne, avec un renvoi

ind(pro-(groupes alg. finis) unipotents ~~artiniens~~) = pro(Modules loc. de long. finie, ind artiniens) dual des Modules sur A. « unipotents » est écrit au-dessus d'un mot biffé, lu « artiniens »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}] \text{\emph{groupes formels raisonnables}} \arrow[r, leftrightarrow, "\text{contrav.}"] \arrow[d, leftrightarrow, "\text{contrav.}"] & \text{Modules \ldots\ sur } A \\ \text{\emph{pro-(groupes alg.\ finis) raisonnables}} \arrow[ur, leftrightarrow, "\text{cov.}"'] & \end{tikzcd}

schéma redessiné : « groupes formels raisonnables » (souligné) est relié par une double flèche marquée « contrav. » aux « Modules ~~de type~~ finis sur A tels que M/FM soit de longueur finie », et par une double flèche verticale, marquée d'un mot lu « contrav. », aux « pro-(groupes alg. finis) raisonnables » ; de ceux-ci une troisième double flèche, marquée « cov. », remonte vers la colonne de droite. Les étiquettes « contrav. » et « cov. » sont des lectures incertaines ; un signe raturé se trouve sous « de longueur finie »

~~F\ V~~ \sum_{-\infty}^{+\infty} w_i F^i + \sum_{j}^{\infty} w_j V^j devant la somme, un mot biffé ; au-dessus, un signe raturé et « F\ V » biffés

w_i = 0 si i \to \infty W_{\sigma}[F][F^{-1}] un grand trait oblique sépare ces deux inscriptions ; à droite, trois lignes biffées de traits obliques (« graduation ») sont barrées

\begin{aligned} F^{-1} w_i &= \sigma^{-1}(w_i)\, F^{-1} \\ F^{-1} w_j &= \sigma^{-1}(w_j)\, F^{-1} \\ w_i F &= F \sigma^{-1}(w_i) \end{aligned} \qquad\qquad \begin{aligned} FV &= p \\ V &= pF^{-1} \end{aligned} sous « V = pF^{-1} », une formule encadrée « F^{-1}V = » et une autre, « F^{-1}V » (avec un trait sur F), sont biffées de traits obliques. À droite, un signe raturé et « FV = p » répété. Dans la troisième ligne, la parenthèse ouvrante manque sur la page et le F de droite est écrit en minuscule

la page est écrite sur le recto d'une feuille à en-tête imprimé (en haut à gauche), dont la page 197 est le verso vierge. Les W de cette page sont écrits d'un seul trait, non doublés, sauf dans \mathbf{W}^{\xi} ; on les garde tels, sans les confondre avec les \mathbb{W} des pages 182–184 et 196

W_{n,k} = \mathrm{Ker}\bigl(W_n \xrightarrow{\ F^k\ } W_n\bigr)

\begin{tikzcd} W_{n,k} \arrow[r, "i"] \arrow[d, "V"'] & W_{n,k'} \arrow[d] \\ W_{n+1,k} \arrow[r, "i"] & W \end{tikzcd}

k' \geq k le coin inférieur droit porte W sans indices

\overline{W}_n = \bigcup_k W_{n,k} \qquad W_{1,k} \overset{V}{\hookrightarrow} W_{2,k} \hookrightarrow W_{3,k} \hookrightarrow \cdots \overline{W}_1 \to \overline{W}_2 \to \cdots \overline{W}_n \to \cdots \qquad \mathcal{U} = \varinjlim_i \overline{W}_i

est-ce une solution de A ?? inscription au crayon, en oblique, entourée d'un ovale, à gauche

F : \mathcal{U} \to \mathcal{U}, \qquad V

\begin{tikzcd} W_4 \arrow[r, no head, "V_{4,5}"] & W_5 \arrow[r, no head] & W_{?} \\ W \arrow[u] \arrow[r, "V"] & W \arrow[u] \arrow[r, no head] & W_1 \end{tikzcd}

l'indice du dernier W de la ligne du haut est illisible (rendu ?) ; les deux traits horizontaux de droite n'ont pas de pointe

w \in W_\infty \mathbf{W}^{\xi} devant le \mathbf{W} gras, un signe noirci ; l'exposant est une petite lettre ondulée, lue \xi

V(w)

V(wx) = \sigma^{-1}(w)\, V(x)

ces deux formules sont dans un cadre ouvert, tracé à gauche et en bas ; sous le trait du bas, un petit carré « W_3 \to W_4 », avec flèches verticales vers W_{?} et W_4 marquées \sigma^{-3}(w) et \sigma^{-3}(w) (le second exposant est surchargé), et à côté \overline{\mathbb{G}_a}

\overline{W}_1 \qquad \underline{\mathcal{U}} \subset V w_1 \quad \sigma^{-1}(w_2) \quad \sigma^{-2}(w_2) \quad \sigma^{-3}(w_3) \overline{W}_1 \subset \overline{W}_2 \subset \overline{W}_3 \subset \overline{W}_4 \subset \cdots \qquad \overleftarrow{R} cette colonne est séparée du reste par un double trait oblique ; les indices 2, 2, 3 de la deuxième ligne sont surchargés. La flèche \overleftarrow{R} est tracée sous la chaîne d'inclusions, dirigée vers la gauche

~~F\,R = RF = p~~

FV = VF = p

F^n \mathcal{U} = 0

p^n \mathcal{U} = 0

ces trois relations sont encadrées d'un parallélogramme au crayon au bas à droite ; la ligne biffée est au-dessus du cadre. Le \mathcal{U} est une grande lettre cursive U ; le « V » de « \mathcal{U} \subset V » est gras

A = W_\infty[[F, V]] \qquad \left\lbrace \begin{aligned} FV &= VF = p \\ Fw &= \sigma(w)\, F \\ wV &= V \sigma(w) \end{aligned} \right. en haut à droite, isolé du calcul par un grand trait courbe. Dans la troisième relation, un premier second membre est biffé avant « V\sigma(w) » ; la parenthèse fermante de \sigma(w) n'est pas ouverte sur la page

~~w + \sigma(w) F + \Sigma~~ w + \sum_{1}^{\infty} w'_i F^i + \sum_{1}^{\infty} w''_j V^j \sum_{0}^{\infty} \sigma(w'_i) F^{i+1} + \sum_{0}^{\infty} \sigma(w'_i) F^{i+1} V \sum_{0}^{\infty} \sigma^{-1}(w''_j)\, V F^i + \sum_{0}^{\infty} \sigma^{-1}(w''_j)\, V F^i V w + \sum_{1}^{\infty} w'_i F^i + \sum_{1}^{\infty} w''_j V^j \begin{aligned} &p\sigma(w''_1) + \Bigl(\sigma(w) F + \sum_{2}^{\infty} \sigma(w'_{i-1}) F^{i}\Bigr) + \Bigl(\sum_{1}^{\infty} p\,\sigma(w''_{j+1}) V^j\Bigr) \\ &p\sigma^{-1}(w'_1) + \Bigl(\sum_{1}^{\infty} p\,\sigma^{-1}(w'_{i+1}) F^i\Bigr) + \Bigl(\sigma^{-1}(w) V + \sum_{1}^{\infty} \sigma^{-1}(w''_j) V^{j+1}\Bigr) \end{aligned} calcul des produits à gauche et à droite par F et par V d'un élément de A. Plusieurs indices sont surchargés et de lecture incertaine : l'indice de w''_1 au début de la première des deux dernières lignes, l'exposant de F dans la première somme (un i corrigé), la borne inférieure de la somme en V^j (surchargée en 1) ; les deux premières lignes du calcul portent des bornes 0 ou 1 surchargées. Dans la deuxième ligne, la seconde somme est biffée d'un trait par l'auteur ; les indices w'_i, w''_j des lignes 3 et 4 sont lus d'après la ligne 5

C artiniens hyperalgèbres « hyperalgèbres » est écrit au-dessus de « artiniens » ; un mot biffé précède. Un trait horizontal traverse ensuite la page

pro(groupes formels artiniens sur k)

groupes formels artiniens sur k

« artiniens » est écrit au-dessus de la première ligne, entre parenthèses

groupes alg. commutatifs finis (d'hyperalgèbre U) \Longleftrightarrow Modules de longueur finie sur A (isomorphisme \mathrm{Hom}(M, I))

(groupes alg. finis) (noeth.) \Longleftrightarrow Modules loc. de longueur finie sur A (art.)

\Updownarrow par dualité

« groupes formels » (art.) \Longleftrightarrow Modules ~~(noeth.)~~ (noeth. i.e. mod. de type fini sur A)

bas de la page, écrit en partie par-dessus l'en-tête imprimé renversé de la feuille ; le signe biffé devant « (groupes alg. finis) » est sans doute un « pro » raturé

groupes formels raisonnables sans isogénie

\Updownarrow contrav.

pro-groupes alg. finis raisonnables sans ~~isogénie~~ alg. finie \Longleftrightarrow cov. Modules de torsion de type fini A_{\mathbf{F}} = modules de type fini sur A_{\mathbf{F}}

une flèche courbe, marquée « anti », descend du premier énoncé vers la colonne de droite. Les lectures « sans isogénie », « contrav. » et « cov. » sont incertaines ; les deux lignes du bas à droite sont écrites en colonne étroite, chaque mot souligné

\underline{\mathbf{W}} \to \underline{A}_{\mathbf{F}} = \mathcal{A} \qquad W_{\sigma}[F, \mathbf{V}] \qquad \mathbf{W}_n un double trait oblique sépare \mathcal{A} de W_{\sigma}[F, \mathbf{V}] et descend, par un trait brisé, vers \mathbf{W}_n, précédé d'un signe raturé. La lettre après « = » est une grande lettre ronde, rendue \mathcal{A}

\mathbf{F}\ \mathbf{V}

Modules de type fini M sur \mathbf{W}, munis d'une application additive bijective F : M \to M, et d'une application additive V : M \to M, telles que \left\lbrace \begin{aligned} F(wx) &= F(w)\, F(x) \\ V(wx) &= F^{-1}(w)\, V(x) \end{aligned} \right.

énoncé encadré. « additive bijective » est inséré au-dessus de la ligne, avec un renvoi. Au-dessous du cadre, au crayon, une lettre R, et un \mathbf{W} gras