Cote n° 43 · batch 10 · pages 181–200 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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\(\underline{A}_{\mathfrak{m}}\) \(\underline{M}\) en tête du feuillet, deux lettres soulignées d'un trait épais ; la seconde, un \(M\), est biffée. Le petit « \(\mathfrak{m}\) » est écrit sous le \(A\), comme les indices des \(H^0\) qui suivent ; on le rend par \(\mathfrak{m}\), l'idéal que la fin de la page nomme

\(X\), \(Y\) deux modules sur \(A\) \[ H^0_{\mathfrak{m}}(X) \xrightarrow{\ \sim\ } D\,H^0_{\mathfrak{m}}(Y) \]

\((X,Y) \to (X',Y')\) consiste en \[ X \to X', \qquad Y \leftarrow Y' \] tel que le diagramme

\begin{tikzcd}
H^0(X) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & H^0(X') \arrow[d, "\wr"] \\
D\,H^0(Y) \arrow[r] & D\,H^0(Y')
\end{tikzcd}

soit commutatif. dans ce carré l'indice \(\mathfrak{m}\) n'est plus écrit ; la flèche du bas n'a pas de pointe visible et est rendue dans le sens de celle du haut

Si on veut inclure les groupes \(\mathbb{G}_m\) […] […] […] les algébriques (comme aussi \(\mu_p\), \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\)) et \(\mathbb{Z}\) parmi les groupes formels (comme aussi \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\)), alors […] […] […], on prend […] […] […] topologique \[ \mathbb{Z} \times A \] et le \(H^0\) étant relatif aux idéaux \(\mathfrak{m} = (F,V)\) de \(A\) et les idéaux […] quelconques de \(\mathbb{Z}\), la dualité la phrase se poursuit en haut de la page 182 ; le premier mot après « Si on veut » et les mots qui précèdent « les algébriques » sont très rapides et restent en grande partie illisibles

182

s'interprète […] deux facteurs. fin de la phrase commencée page 181 ; le premier mot est très incertain. Double trait en dessous, qui clôt le passage

Dans une catégorie de Cartier […] […] […], la […] […] toujours […] par \(F^{-}\), et la […] […] […] par \(V^{-}\). Mais passons aux ind-objets de \(C_1\) et aux pro-objets de \(C_2\), les uns ni les autres ne sont caractérisés par \(F^{-}\) ou par \(V^{-}\). Comment définir la nullité intrinsèquement ?? les exposants de \(F\) et \(V\) sont un petit trait horizontal, rendu \(F^{-}\), \(V^{-}\) ; « nullité » peut aussi se lire « nilpotence »

Quelle est l'interprétation des modules du type fini sur \[ \mathbb{W}_{\infty\,\sigma}[F,V]/(FV-p) \ ?? \] le \(\sigma\) en indice après \(\mathbb{W}_\infty\) est celui des pages 183, 196, 200 : l'anneau non commutatif tordu par le Frobenius

Je pense que c'est l'anneau des endomorphismes de \(\mathbb{W}_\infty\) qui laissent invariant le sous-groupe \(D(\mathbb{W}_\infty)\) [[…] groupe […] de Witt dont […] les composantes sont nilpotentes, et dont […] […] de type fini […] nulles …], ou les endomorphismes de \(D(\mathbb{W}_\infty)\) qui laissent invariant l'accouplement fondamental de […] […] avec lui-même.

183la moitié supérieure de la page (jusqu'au cadre) est barrée de plusieurs longs traits obliques et d'une courbe ; deux autres traits obliques traversent le reste de la feuille. Ce qui se lit est donné ci-dessous

\(\mathbb{G}_m\) \(\mathrm{Ext}\) \[ 0 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{G}_m \to 0 \] le premier terme est surchargé et biffé par l'auteur ; « \(\mu_n\) » n'est qu'une lecture probable, l'indice \(n\) étant celui de la suite suivante \[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{Z} \to \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, \mu_n) \to 0 \]

\[ \mathbb{W}_{\sigma}[F,V]/(V^n, FV-p) \] \(\forall\) […] \(k[V]\) \(k_{\sigma}[F]\) \(k[F]\) \(F\) […] \(k[F]\)

\(\widetilde{\mathbb{W}}_\infty\) noethérien, artinien, pro-artinien […] noethérien mots écrits sous \(\widetilde{\mathbb{W}}_\infty\) et soulignés, dans la partie barrée

\(\underline{\mathbb{G}_m,\ \mathbb{G}_a}\) \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\) — \(\mu_p\) — \(\alpha_p\) — \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) \(\mu_p\) — \(\alpha_p\) — \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) — \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\) \(\underline{\mathbb{V}}\) \(\underline{\mathbb{Z}}\)

schéma encadré : à gauche \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{G}_a\) soulignés ; deux traits en éventail en partent. Sur le trait supérieur : \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), puis \(\mu_p\), \(\alpha_p\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) ; sur le trait inférieur : \(\mu_p\), \(\alpha_p\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), puis \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\) ; les deux convergent vers \(\mathbb{V}\) et \(\mathbb{Z}\) (lettres doublées) soulignés, à droite. Le schéma met face à face, dans l'ordre inverse, les groupes que la page 192 énumère

\[ \mathbb{W}_{\sigma}\{F,V\}/(FV-p) \longrightarrow \mathbb{W}_{\sigma}[[F,V]]/(FV-p) \] (en dimension 2)

Anneau de Cartier Anneau de Gabriel-Dieudonné « Anneau de Cartier » est souligné deux fois ; « Anneau de Gabriel-Dieudonné » est souligné d'une flèche et d'un trait. Entre les deux, une insertion entourée : « (pas nécessairement […]) »

Unifier les pro-groupes algébriques unipotents […] et les groupes […] (ind-finis)

complétion des précédents pour l'idéal [maximal] \(\mathfrak{T}(F,V)\) « maximal » est ajouté au-dessus de la ligne avec un renvoi. La lettre devant \((F,V)\) est une grande lettre ronde, rendue \(\mathfrak{T}\) ; lecture incertaine

Classification des la page s'arrête sur ces mots

184

\[ \mathbb{W}_\infty \to \mathbb{W}_\infty = \varinjlim \mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{W}_n) \] le premier membre est écrit sans nom de flèche ; on lit \(\mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{W}_\infty)\) comme limite inductive des \(\mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{W}_n)\), l'indice du second \(\mathbb{W}\) étant très abrégé \[ D(\mathbb{W}_\infty) \subset \mathbb{W}_{\infty 1} \] le \(D\) est écrit au-dessus d'un « Hom » biffé ; en dessous, un \(D\) surchargé et biffé. L'indice « 1 » de \(\mathbb{W}_{\infty}\) est net

\(F\) \[ D(\mathbb{W}_\infty), \qquad D(\mathbb{W}_\infty) \longrightarrow \mathbb{W}_\infty, \qquad \underline{D(\mathbb{W}_\infty)} \times \underline{D(\mathbb{W}_\infty)} \] \[ \mathrm{Hom}(\mathbb{W}_\infty, \mathbb{G}_m), \qquad \mathbb{W}_\infty \times \] calculs épars dans la moitié droite du haut de la page ; le « \(\mathbb{W}_\infty \times\) » reste en suspens

groupes algébriques affines \(=\) algèbres de type fini sur \(k\), avec \(\Delta\) commutative fonctorielle / […] groupes […] pro(algébriques affines) \(=\) Algèbres […], […] type fini Question : est-ce un […] pro(groupe alg. affine), i.e. l'algèbre est-elle limite inductive d'algèbres de type fini qui sont stables par \(\Delta\) ??

les trois énoncés sont réunis par une grande accolade à gauche ; les deux lignes de la Question par une seconde accolade. Après « avec \(\Delta\) », deux mots superposés entre accolades, le premier lu « fonctorielle », le second illisible

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hyperalgèbres groupes [objet] (ind(algébrique fini)) \(\simeq\) coalgèbres commutatives […] unitaires, […] engendrées par ses sous-coalgèbres de rang fini sur \(k\) sous « \(\simeq\) », une colonne de mots serrés : « […] […] […] en corps, et […] pas utiliser la dualité » ; lecture très incertaine. « objet » est écrit sous les deux mots biffés

[Toute telle coalgèbre est en effet engendrée par des coalgèbres (cette dernière condition […] […] supplémentaires […] […], i.e. une multiplication (continue sur \(k^I\) n'est pas […]) […] […] […] […] projective d'algèbres de rang fini sur \(k\)) le crochet ouvrant et le début de la première ligne sont biffés d'un trait horizontal

\(U \cdot U\) \(\Delta(x) + U \otimes U)\) en marge gauche, un petit schéma : \(U\), \(U\) en haut, \(U^{*}\), \(U^{*}\) en bas, reliés par deux flèches croisées

[…]

groupe (ind(algébrique fini)) \(\simeq\) coalgèbres de type […], munies d'une loi d'algèbre […] commutative, unitaire, compatible […] les suivantes « groupe (ind(algébrique fini)) » est souligné d'un long trait ; sous lui, entouré : « groupe formel »

Exemple : l'algèbre affine d'un groupe algébrique linéaire ou […] d'un pro(groupe algébrique linéaire) […] : d'après Cartier, [(en car. 0)] une telle algèbre serait limite inductive d'algèbres de type fini […] […] […] de type fini du […] […] associatif [du moins […] […] […] alg. […], si la partie discrète […] réduite à la partie infinitésimale] la phrase de Cartier est écrite dans la colonne de droite, séparée de « Exemple » par un grand trait courbe ; « (en car. 0) » est inséré au-dessus avec un renvoi, et une ligne d'insertion entourée (« […] type, […] […] ») la précède

Donc il en résulte une dualité entre

pro(groupes algébriques linéaires) \(\sim\) gr(ind. alg. finis).

Le plus beau serait manifestement qu'on ait le résultat que cet anneau […] […] hyperalgèbres analogues. la page s'arrête ici ; le dernier mot est souligné

186

La catégorie des […] groupes formels […] sur un groupe pro-algébrique linéaire / définissons dans une catégorie hyperalgèbre topologique pure […] \(k\), dont l'espace sous-jacent est linéairement compact. Il n'est pas exclu que les hyperalgèbres topologiques ayant cette propriété […] puissent être interprétées ainsi. […] « / définissons » est relié par un trait oblique à « hyperalgèbre topologique », ligne suivante ; le dernier mot du paragraphe est raturé en zigzag

(définis comme catégorie pro (ind(\(k\)-affines))) […] […] en marge gauche, écrit en oblique, un petit bloc serré dans un cadre partiellement raturé ; seuls les premiers mots se lisent

Le mécanisme de dualité de Cartier est alors immédiat, ainsi que son interprétation en termes d'accouplement dans \(\mathbb{G}_m\). La définition de \(F\) et \(V\) en suit immédiatement, en car. \(p\).

\[ \begin{array}{ccc} \mathbb{G}_m & \mathbb{Z}/\ell & \mu_p \\[4pt] F(x) = x^p & F(x) = x^{?} & F = 0 \\ V(x) = x & V(x) = x^p & V = \mathrm{id} \end{array} \] tableau au bas de la page ; une longue courbe relie \(\mathbb{G}_m\) à \(\mathbb{Z}/\ell\), une autre traverse la colonne du milieu. L'exposant de \(F(x) = x^{\cdot}\) sous \(\mathbb{Z}/\ell\) est noyé sous une surcharge (rendu \(?\)) ; sous la colonne, « (\(F\) et \(V\) bijectifs) ». Au-dessus de \(F(x) = x^p\) dans la première colonne, un « \(F = x^p\) » biffé. Deux flèches mènent de \(\mathbb{G}_m\) et de \(\mathbb{Z}/\ell\) vers une note en oblique, en bas à gauche : « […] la réduction […] […] : \(\mathbb{F}_p\) […] identité […] \(\mathbb{G}_a = \mathbb{G}_a^{(p)}\) »

187

\(A\) algèbre affine d'un groupe affine \(G\) (pas nécessairement de type fini) sur l'anneau \(k\)

\(G \to \mathbb{G}_m\) homom. de \(k\)-groupes \(\approx\) \(G \to \mathbb{G}_a\) morphismes de \(k\)-schémas,

tels que (i) Addition transformée en multiplication, (ii) \(0\) s'envoie sur \(1\) « homom. de \(k\)-groupes » est écrit sous la première flèche, « morphismes de \(k\)-schémas, tels que (i) … (ii) … » en colonne à droite de la seconde. Le \(\mathbb{G}_a\) est tracé en capitale grasse

i.e. \(f \in A\), telle que

a) \(\Delta f = f \otimes f\) b) \(\varepsilon(f) = 1\)

Supposons que \(A\) soit libre, alors \(A\) est l'ensemble des formes \(k\)-linéaires continues sur \(\check{A} = \mathrm{Hom}(A,k)\), muni de la convergence simple. Alors, a) signifie que \(f\) est multiplicative […] [quand \(\check{A}\) est muni de la structure de \(k\)-algèbre déduite de \(\Delta\)] et b) que \(f\) est unitaire ; donc a) et b), que \(f\) est un homomorphisme d'algèbres topologiques. D'où, si Notons que rien ne garantit que \(\check{A}\) soit topologisé linéairement par […] idéaux, i.e. qu'il y ait un système fondamental de voisinages qui soient des idéaux ; or, ce qui revient au même […] si \(k\) est un corps [et ce qui semble […] […] […]]. rien ne la phrase continue en haut de la page 188, « garantit que \(A\) … »

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garantit que \(A\), en tant que coalgèbre, soit réunion de « sous-coalgèbres » de type fini l'est, de façon en tant que modules sur \(k\). S'il en est ainsi, [et à fortiori plusieurs difficultés ne […] pas rencontrées […] \(k\)]. S'il en est cependant ainsi, alors \(\check{A}\) peut être regardé comme l'algèbre affine d'un ind-(schéma affine) sur \(k\), [définissant un schéma formel] […] […] groupe […] […] […] et […] […] […] un groupe (ind-affine) sur \(k\), \(D(G)\) et appelé groupe dual de \(G\). La […] […] La construction précédente […] est […] une construction alors par […] […] un groupe ind. affine (au sens Cartier) […] […] de \(k\)-algèbres (représentable par un […]) non précisément […] \(\underline{\mathrm{Hom}}_{k\text{-gr.}}(G, \mathbb{G}_m)\). moitié haute de la page très rapide, avec plusieurs ratures et insertions interlinéaires ; la marge gauche porte, en oblique : « Si, dans […] […] […] […] bien… », qui renvoie par des points au crochet « [et à fortiori » ; lecture très incertaine

Si \(G_k\) est de type fini un […] de \(G\) de type fini sur \(k\), alors si \(k\) est de car. \(p > 0\), d'après Cartier \(D(G)\) est bien un groupe (ind-fini), l'indice de \(G_k\) est surchargé ; le mot après « un » reste illisible \[ \left.\begin{array}{l} D(\mathbb{G}_m) = \mathbb{Z} \\ D(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \\ D(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) \simeq \mu_{p^n} \\ D(\mu_{p^n}) \simeq \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} \\ D(\mathbb{G}_a) = \ \cdots \end{array}\right. \] les cinq formules sont réunies par une accolade. Au-dessus, un mot raturé. En face de \(D(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})\) : « […] si \(\ell\) premier […] car., et si […] […] par […] […] […] de \(k\) » ; en face de \(D(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})\), un mot biffé. Pour \(D(\mathbb{G}_a)\) : « \(=\) algèbre […] […] contenant de la \(p\)-algèbre de Lie libre engendrée par un élément (même un corps de car. \(p > 0\)) », avec en insertion au-dessus « […] définition […] […] » ; la phrase s'arrête au bas de la page

189

Soit \(\underline{C}\) une catégorie, d'où \[ \mathrm{Pro}(\underline{C}) \subset \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{C}, (\mathrm{Ens})) \]

Un objet \(\mathfrak{X}\) de \(\mathrm{Pro}(\underline{C})\) est considéré toujours comme (par abus) équivalent à […] foncteur \[ Y \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\underline{C})}(Y, \mathfrak{X}) \] de \(\mathrm{Pro}(\underline{C})^{\circ}\) dans \((\mathrm{Ens})\), […] mais, \[ \mathfrak{Y} = (Y_j)_{j\in J}, \qquad \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\underline{C})}(\mathfrak{Y}, \mathfrak{X}) = \varprojlim_{i} \mathrm{Hom}(\mathfrak{Y}, \mathfrak{X}_i) = \] cette ligne est en partie biffée d'un trait (« \(\mathfrak{Y} = (Y_j)_{j\in J}\), les \(Y_i \in \underline{C}\), […] […] ») et la formule est reliée par un trait à la ligne suivante, qu'elle remplace ; le second membre reste sans suite

identifions \(\underline{C}\) à une sous-catégorie de \(\mathrm{Pro}(\underline{C})\), on notera que \(\mathfrak{X}\) est plus commode : il […] puis prendre […] restreint le foncteur \(Y \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathrm{Pro}(\underline{C})}(Y, \mathfrak{X})\) à \(\underline{C}^{\circ}\) dans \((\mathrm{Ens})\). [Ex : \(\underline{C} = (\mathrm{Ens})\), alors \((X_i)\) et \(X = \varprojlim_{(\mathrm{Ens})} X_i\) définissent le même foncteur \(\underline{C}^{\circ} \to (\mathrm{Ens})\), mais […] qui ne sont pas isomorphes en \(\mathrm{Pro}(\underline{C})\)]. Le foncteur naturel \[ \mathrm{Pro}(\underline{C}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{C}^{\circ}, (\mathrm{Ens})) \] n'est donc pas pleinement fidèle en général. Il importe de bien distinguer en particulier, si \(X = \varprojlim_{\underline{C}} \mathfrak{X}\) existe, entre \(\mathfrak{X}\) et \(X\) [on peut dire semble-t-il que […] […] […] naturel de \(\mathrm{Pro}\,\underline{C}\) \[ X = \varprojlim_{\underline{C}} \mathfrak{X} \longrightarrow \mathfrak{X} \] « donc » est écrit au-dessus de la ligne, avec une accolade, sur un mot biffé et souligné. La page s'arrête sur cette flèche, le crochet n'étant pas refermé

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universel par les morphismes [\(\mathrm{Pro}(\underline{C})\)] de l'objet \(X\) dans \(\mathfrak{X}\) ; si \(\varprojlim_{\underline{C}} \mathfrak{X}\) existe pour tout \(\mathfrak{X}\), cela signifie précisément que le foncteur […] \[ \underline{C} \longrightarrow \mathrm{Pro}(\underline{C}) \] canonique pleinement fidèle [admet] […] un adjoint, « projection » de \(\mathrm{Pro}(\underline{C})\) […] sur \(\underline{C}\). « \(\mathrm{Pro}(\underline{C})\) » est ajouté au-dessus de « morphismes » avec une flèche ; un mot est inséré au-dessus de « […] de \(K\) », à la troisième ligne. Lecture incertaine de toute cette phrase

Comme […] […] conditions pour cette situation […] la suivante : […] il […] existe pour toute limite projective de \(\underline{C}\), mais […] […] […] sous-catégorie pleine […] de \(\underline{C}'\) telle que […] tout système projectif dans \(\underline{C}\) ait une limite projective dans \(\underline{C}'\) ; donc […] […] un foncteur naturel \[ \mathrm{Pro}(\underline{C}) \longrightarrow \underline{C}' \] qui n'est […] ([…] […] […] triviaux) pas pleinement fidèle. [[…] […] […] p. ex. naturel de quels […] de […] […], pris sous […] limite de \(\underline{C}\), sont artiniens ??]

Exemple : les pro-schémas affines de type fini sur \(S\) […] ([…] […] […] […] […]) préschéma loc. noethérien) s'identifient aux schémas affines affines sur \(S\).

Question […] \(S\) […] […] Un schéma en groupes affine sur \(S\) est-il un pro(groupe affine de type fini), i.e. si \(S = \mathrm{Spec}(k)\) la page s'arrête sur cette hypothèse

N.B. \(\mathrm{Pro}(\underline{C}\text{-}\mathrm{Gr}.)\) […] \(\to (\mathrm{Pro}\,\underline{C})\text{-}\mathrm{Gr}.\) […] pleinement fidèle en marge gauche, en oblique, avec une flèche ; la flèche elle-même et le mot « pleinement » sont de lecture incertaine

191

(k anneau quelconque) est-il vrai que si \(A\) est une hyperalgèbre ([…] […] […] […] ?) sur \(k\), alors \(A\) […] est limite inductive de […] [sous-hyperalgèbres] sous-algèbres de type fini [en tant que module] […] […]. Il suffit évidemment que \(A\) soit limite inductive de sous-\(k\)-modules de type fini \(V\) tels que \(\Delta V \subset \mathrm{Im}\, V \otimes V\), et tels que [\(A_V\) étant la sous-\(k\)-algèbre engendrée par […]] […] \(A_V \otimes A_V \to A \otimes A\) soit injectif. […] les deux insertions sont écrites au-dessus de la ligne, au-dessus de mots biffés ; « en tant que module » est de lecture très incertaine

Cela est facile si […] […] […] […] \(k\) est un corps [dans le […] [deuxième] cas […] […] ; pour le premier, […] […] […] […] [[…]]] ; et toujours […] possible […] si \(k\) est noethérien, condition […] […] plus générales, telles que : \(A\) libre]. passage très rapide ; les mots soulignés en tête sont peu lisibles. Au bord droit, un petit « \(k_y\) » sans rattachement

Donc toute hyperalgèbre sur \(k\), […] […] affine

\(\underline{\text{pro(groupe alg.\ affine)}} = \underline{\text{groupe alg.\ affine}}\) deux lignes soulignées en tête du paragraphe, suivies d'un signe raturé

Le « dual » d'un […] groupe affine [commutatif sur \(k\)] est ensuite […], condition (1) est un groupe (ind-fini) \(\hat{D}(G)\), à Cartier sur \(S\), dont l'hyperalgèbre est l'algèbre affine de \(G\). La condition […] type fini sur un corps alg. clos, […] […] comme « commutatif sur \(k\) » est inséré au-dessus de la ligne. Le circonflexe de \(\hat{D}(G)\) est posé au-dessus de \(G\) seul ; la graphie de \(D\) est surchargée. En marge gauche, en oblique : « Voir aussi […] […] Cartier ». La page s'arrête en milieu de phrase

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types simples [« élémentaires »], de groupes dual l'un de l'autre : « élémentaires » est écrit au-dessus d'un mot biffé \[ \begin{array}{ll} \mathbb{G}_m,\ \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z},\ \mu_p\ \ \mathbb{G}_a,\ \alpha_p,\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \qquad \mu_p,\ \alpha_p,\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\[4pt] \mu_p,\ \alpha_p,\ \mathbb{V},\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\ \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z},\ \mathbb{Z} & \end{array} \] les deux listes sont l'une sous l'autre, la seconde renversant la première ; à droite de la première, « \(\mu_p, \alpha_p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) » avec en dessous « spéciaux : […] pro »

[Ceux-ci ; l'un […] […] les « éléments » […] […], […] de composition complète […] […], i.e. […] […] […] […] […] […] premiers, dans […] […] […] alg. clos […] \(=\) v-biais ] \[ \mathbb{V} = D(\mathbb{G}_a) \] est le noyau […] […] ; […] […] […], les seuls ensemble […] Cela […] considère […] les […] faisant des extensions, Produits […] […], […] catégorie (pro-noethérienne artinienne) des groupes (ind-affines) [Classification [ind-[…] […] […] […] des éléments dessus] […] […] une algèbre affine, [définie] qui […] […] directe […] […] […] […] […] topologique […] […] […] […] dimension (Borel […]) […] ([…] […] […]) […] d'une […] […] […] solution […] pour (dans le cas […] géométrique) moitié médiane de la page très rapide, surchargée d'insertions ; seuls les termes mathématiques se lisent avec quelque sûreté

Définition de \(F\), \(V\),

Multiplicatif [quasi-compl. […] communs] unipotent [sans l-torsion sur […]] groupes discrets Tore […] groupe profini : […] \(\mu_p\) […] […] unipotent […] […] alg. […] […] profini ([…]) réduit […] […] \(\pi\) […] continu

bas de la page : une petite table en trois colonnes, reliées par des traits horizontaux à bornes, sous les en-têtes « Multiplicatif », « unipotent » (au-dessus d'un mot biffé) et « groupes discrets » ; les cases, en écriture minuscule et raturées, portent notamment « Tore », « groupe profini », \(\mu_p\) (avec une grande croix devant), et plusieurs fois la lettre \(\pi\). Lecture très partielle

Sur […] […] universelle […] […] […] […] extension […] […] Dieudonné […] […] hyperalgèbre […] […] […] […] quelconque […] […] Cartier […] […] V-groupe hyperfini […] deux longues notes en oblique occupent toute la marge gauche, du haut au bas de la page ; elles restent presque entièrement illisibles

Catégories abéliennes

titre souligné, en tête de la page 194 ; la page change d'encre et de papier, et l'écriture devient posée jusqu'à la page 200

194

Soit \(\underline{C}\) une catégorie abélienne où tous les objets sont de longueur finie. Alors \(\mathrm{Ind}\,\underline{C}\) [catégorie des foncteurs contravariants exacts à gauche de \(\underline{C}\) dans […] \((\mathrm{Ab})\)] est une catégorie abélienne à limites inductives exactes, à générateurs de longueur finie [nous dirons : loc. de longueur finie] dont \(\underline{C}\) est la sous-catégorie des objets de longueur finie. Il y a ainsi essentiellement correspondance biunivoque entre catégories abéliennes à objets de longueur finie, et catégories abéliennes à limites inductives exactes à générateurs de longueur finie.

Soit \(\underline{C}\) une catégorie abélienne [(à limites inductives exactes)], \(X \in \underline{C}\), le socle de \(X\) est la somme des sous-objets simples de \(X\), soit \(F_0(X)\). On désigne par \(F_1(X)\) l'image inverse du socle de \(X/X_0\) etc., et on trouve ainsi une filtration croissante. […] « (à limites inductives exactes) » est écrit au-dessus de la ligne avec une accolade de renvoi. Dans « l'image inverse du socle de \(X/X_0\) », \(X_0\) désigne \(F_0(X)\)

195

Cette filtration est fonctorielle. \(\underline{C}\) loc. de longueur finie \(\Longleftrightarrow\) tout \(X\) est la sup des \(F_i(X)\). Soit en général \(\Phi_0(X) = \mathrm{Sup}\, F_i(X)\), c'est le plus grand sous-objet de \(X\) qui est « de dimension de Krull \(0\) ». C'est le noyau de \(X \to X_{\underline{C}_0}\) (localisé par \(\underline{C}_0\)) où \(X_{\underline{C}_0}\) est le localisé de \(X\) pour la sous-catégorie \(\underline{C}_0\) de \(\underline{C}\) des objets introduite dans de dimension de Krull \(0\). \(\Phi_1(X)\) sera l'image inverse de \(\Phi_0(X_{\underline{C}_0})\) […] [ou encore comme \(\mathrm{Ker}(X \to X_{\underline{C}_1})\)] etc. On trouve ainsi une filtration fonctorielle \((\Phi_i(X))_i\). Dire que \(\underline{C}\) est de dimension de Krull \(\leq n\) signifie que \(\Phi_n(X) = X\) pour tout \(X\). la lettre notée \(\Phi\) est un \(\Phi\) de forme ronde, un peu gothique ; on la rend par \(\Phi\). Le passage « où \(X_{\underline{C}_0}\) est le localisé de \(X\) pour la sous-catégorie \(\underline{C}_0\) de \(\underline{C}\) des objets » est un ajout interlinéaire, relié par une accolade à « introduite dans » ; en marge gauche, à la même hauteur : « de dimension de Krull \(0\) ». Dans \(\Phi_0(X_{\underline{C}_0})\) l'indice \(\underline{C}_0\) est écrit sous un mot noirci. « [ou encore comme \(\mathrm{Ker}(X \to X_{\underline{C}_1})\)] » est inséré au-dessus de la ligne, avec un renvoi

196

[…]

ind(pro-(groupes alg. finis) [unipotents] artiniens) \(=\) pro(Modules loc. de long. finie, ind artiniens) dual des Modules sur \(A\). « unipotents » est écrit au-dessus d'un mot biffé, lu « artiniens »

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=large, nodes={font=\scriptsize}]
\text{\emph{groupes formels raisonnables}} \arrow[r, leftrightarrow, "\text{contrav.}"] \arrow[d, leftrightarrow, "\text{contrav.}"] & \text{Modules \ldots\ sur } A \\
\text{\emph{pro-(groupes alg.\ finis) raisonnables}} \arrow[ur, leftrightarrow, "\text{cov.}"'] &
\end{tikzcd}

schéma redessiné : « groupes formels raisonnables » (souligné) est relié par une double flèche marquée « contrav. » aux « Modules de type finis sur \(A\) tels que \(M/FM\) soit de longueur finie », et par une double flèche verticale, marquée d'un mot lu « contrav. », aux « pro-(groupes alg. finis) raisonnables » ; de ceux-ci une troisième double flèche, marquée « cov. », remonte vers la colonne de droite. Les étiquettes « contrav. » et « cov. » sont des lectures incertaines ; un signe raturé se trouve sous « de longueur finie »

\(F\ V\) \[ \sum_{-\infty}^{+\infty} w_i F^i + \sum_{j}^{\infty} w_j V^j \] devant la somme, un mot biffé ; au-dessus, un signe raturé et « \(F\ V\) » biffés

\(w_i = 0\) si \(i \to \infty\) \(W_{\sigma}[F][F^{-1}]\) un grand trait oblique sépare ces deux inscriptions ; à droite, trois lignes biffées de traits obliques (« […] […] […] […] […] graduation […] ») sont barrées

\[ \begin{aligned} F^{-1} w_i &= \sigma^{-1}(w_i)\, F^{-1} \\ F^{-1} w_j &= \sigma^{-1}(w_j)\, F^{-1} \\ w_i F &= F \sigma^{-1}(w_i) \end{aligned} \qquad\qquad \begin{aligned} FV &= p \\ V &= pF^{-1} \end{aligned} \] sous « \(V = pF^{-1}\) », une formule encadrée « \(F^{-1}V = \) » et une autre, « \(F^{-1}V\) » (avec un trait sur \(F\)), sont biffées de traits obliques. À droite, un signe raturé et « \(FV = p\) » répété. Dans la troisième ligne, la parenthèse ouvrante manque sur la page et le \(F\) de droite est écrit en minuscule

198la page est écrite sur le recto d'une feuille à en-tête imprimé (en haut à gauche), dont la page 197 est le verso vierge. Les \(W\) de cette page sont écrits d'un seul trait, non doublés, sauf dans \(\mathbf{W}^{\xi}\) ; on les garde tels, sans les confondre avec les \(\mathbb{W}\) des pages 182–184 et 196

\[ W_{n,k} = \mathrm{Ker}\bigl(W_n \xrightarrow{\ F^k\ } W_n\bigr) \]

\begin{tikzcd}
W_{n,k} \arrow[r, "i"] \arrow[d, "V"'] & W_{n,k'} \arrow[d] \\
W_{n+1,k} \arrow[r, "i"] & W
\end{tikzcd}

\(k' \geq k\) le coin inférieur droit porte \(W\) sans indices

\[ \overline{W}_n = \bigcup_k W_{n,k} \qquad W_{1,k} \overset{V}{\hookrightarrow} W_{2,k} \hookrightarrow W_{3,k} \hookrightarrow \cdots \] \[ \overline{W}_1 \to \overline{W}_2 \to \cdots \overline{W}_n \to \cdots \qquad \mathcal{U} = \varinjlim_i \overline{W}_i \]

est-ce une solution de \(A\) ?? inscription au crayon, en oblique, entourée d'un ovale, à gauche

\[ F : \mathcal{U} \to \mathcal{U}, \qquad V \]

\begin{tikzcd}
W_4 \arrow[r, no head, "V_{4,5}"] & W_5 \arrow[r, no head] & W_{?} \\
W \arrow[u] \arrow[r, "V"] & W \arrow[u] \arrow[r, no head] & W_1
\end{tikzcd}

l'indice du dernier \(W\) de la ligne du haut est illisible (rendu \(?\)) ; les deux traits horizontaux de droite n'ont pas de pointe

\(w \in W_\infty\) \(\mathbf{W}^{\xi}\) devant le \(\mathbf{W}\) gras, un signe noirci ; l'exposant est une petite lettre ondulée, lue \(\xi\)

\(V(w)\) \(V(wx) = \sigma^{-1}(w)\, V(x)\)

ces deux formules sont dans un cadre ouvert, tracé à gauche et en bas ; sous le trait du bas, un petit carré « \(W_3 \to W_4\) », avec flèches verticales vers \(W_{?}\) et \(W_4\) marquées \(\sigma^{-3}(w)\) et \(\sigma^{-3}(w)\) (le second exposant est surchargé), et à côté \(\overline{\mathbb{G}_a}\)

\[ \overline{W}_1 \qquad \underline{\mathcal{U}} \subset V \] \[ w_1 \quad \sigma^{-1}(w_2) \quad \sigma^{-2}(w_2) \quad \sigma^{-3}(w_3) \] \[ \overline{W}_1 \subset \overline{W}_2 \subset \overline{W}_3 \subset \overline{W}_4 \subset \cdots \qquad \overleftarrow{R} \] cette colonne est séparée du reste par un double trait oblique ; les indices \(2\), \(2\), \(3\) de la deuxième ligne sont surchargés. La flèche \(\overleftarrow{R}\) est tracée sous la chaîne d'inclusions, dirigée vers la gauche

\(F\,R = RF = p\)

\(FV = VF = p\) \(F^n \mathcal{U} = 0\) \(p^n \mathcal{U} = 0\)

ces trois relations sont encadrées d'un parallélogramme au crayon au bas à droite ; la ligne biffée est au-dessus du cadre. Le \(\mathcal{U}\) est une grande lettre cursive \(U\) ; le « \(V\) » de « \(\mathcal{U} \subset V\) » est gras

199

\[ A = W_\infty[[F, V]] \qquad \left\lbrace \begin{aligned} FV &= VF = p \\ Fw &= \sigma(w)\, F \\ wV &= V \sigma(w) \end{aligned} \right. \] en haut à droite, isolé du calcul par un grand trait courbe. Dans la troisième relation, un premier second membre est biffé avant « \(V\sigma(w)\) » ; la parenthèse fermante de \(\sigma(w)\) n'est pas ouverte sur la page

\(w + \sigma(w) F + \Sigma\) \[ w + \sum_{1}^{\infty} w'_i F^i + \sum_{1}^{\infty} w''_j V^j \] \[ \sum_{0}^{\infty} \sigma(w'_i) F^{i+1} + \sum_{0}^{\infty} \sigma(w'_i) F^{i+1} V \] \[ \sum_{0}^{\infty} \sigma^{-1}(w''_j)\, V F^i + \sum_{0}^{\infty} \sigma^{-1}(w''_j)\, V F^i V \] \[ w + \sum_{1}^{\infty} w'_i F^i + \sum_{1}^{\infty} w''_j V^j \] \[ \begin{aligned} &p\sigma(w''_1) + \Bigl(\sigma(w) F + \sum_{2}^{\infty} \sigma(w'_{i-1}) F^{i}\Bigr) + \Bigl(\sum_{1}^{\infty} p\,\sigma(w''_{j+1}) V^j\Bigr) \\ &p\sigma^{-1}(w'_1) + \Bigl(\sum_{1}^{\infty} p\,\sigma^{-1}(w'_{i+1}) F^i\Bigr) + \Bigl(\sigma^{-1}(w) V + \sum_{1}^{\infty} \sigma^{-1}(w''_j) V^{j+1}\Bigr) \end{aligned} \] calcul des produits à gauche et à droite par \(F\) et par \(V\) d'un élément de \(A\). Plusieurs indices sont surchargés et de lecture incertaine : l'indice de \(w''_1\) au début de la première des deux dernières lignes, l'exposant de \(F\) dans la première somme (un \(i\) corrigé), la borne inférieure de la somme en \(V^j\) (surchargée en \(1\)) ; les deux premières lignes du calcul portent des bornes \(0\) ou \(1\) surchargées. Dans la deuxième ligne, la seconde somme est biffée d'un trait par l'auteur ; les indices \(w'_i\), \(w''_j\) des lignes 3 et 4 sont lus d'après la ligne 5

\(C\) […] artiniens [hyperalgèbres] « hyperalgèbres » est écrit au-dessus de « artiniens » ; un mot biffé précède. Un trait horizontal traverse ensuite la page

pro(groupes formels [artiniens] sur \(k\)) groupes formels artiniens sur \(k\)

« artiniens » est écrit au-dessus de la première ligne, entre parenthèses

groupes alg. commutatifs finis (d'hyperalgèbre \(U\)) \(\Longleftrightarrow\) Modules de longueur finie sur \(A\) (isomorphisme \(\mathrm{Hom}(M, I)\)) […](groupes alg. finis) (noeth.) \(\Longleftrightarrow\) Modules loc. de longueur finie sur \(A\) (art.) \(\Updownarrow\) par dualité « groupes formels » (art.) \(\Longleftrightarrow\) Modules […] (noeth.) (noeth. i.e. mod. de type fini sur \(A\))

bas de la page, écrit en partie par-dessus l'en-tête imprimé renversé de la feuille ; le signe biffé devant « (groupes alg. finis) » est sans doute un « pro » raturé

200

groupes formels raisonnables sans isogénie \(\Updownarrow\) contrav. pro-groupes alg. finis raisonnables sans isogénie alg. finie \(\Longleftrightarrow\) cov. Modules de torsion […] de type fini \(A_{\mathbf{F}}\) \(=\) modules de type fini sur \(A_{\mathbf{F}}\)

une flèche courbe, marquée « anti », descend du premier énoncé vers la colonne de droite. Les lectures « sans isogénie », « contrav. » et « cov. » sont incertaines ; les deux lignes du bas à droite sont écrites en colonne étroite, chaque mot souligné

\[ \underline{\mathbf{W}} \to \underline{A}_{\mathbf{F}} = \mathcal{A} \qquad W_{\sigma}[F, \mathbf{V}] \qquad \mathbf{W}_n \] un double trait oblique sépare \(\mathcal{A}\) de \(W_{\sigma}[F, \mathbf{V}]\) et descend, par un trait brisé, vers \(\mathbf{W}_n\), précédé d'un signe raturé. La lettre après « \(=\) » est une grande lettre ronde, rendue \(\mathcal{A}\)

\(\mathbf{F}\ \mathbf{V}\)

Modules de type fini \(M\) sur \(\mathbf{W}\), munis d'une application additive bijective \(F : M \to M\), et d'une application additive \(V : M \to M\), telles que \[ \left\lbrace \begin{aligned} F(wx) &= F(w)\, F(x) \\ V(wx) &= F^{-1}(w)\, V(x) \end{aligned} \right. \]

énoncé encadré. « additive bijective » est inséré au-dessus de la ligne, avec un renvoi. Au-dessous du cadre, au crayon, une lettre \(R\), et un \(\mathbf{W}\) gras