Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 161–180

le feuillet est écrit en travers (tourné d'un quart de tour) ; il semble être une photocopie. Dans la marge (au crayon, verticalement), des mots presque effacés : +\,\mathrm{Ext}^1 ,

~~Ind pro~~ Ext{}^1(F,G)

un premier tableau, biffé par de longues diagonales : \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \underline{\mathrm{Hom}}(F,G) & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/p & \mu_p & \alpha_p & \mathbb{G}_m & \mathbb{G}_a & \mathbb{V} & \mathbb{Z} & A \\ \hline \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & & 0 & 0 & \mu_\ell & 0 & 0 & 0 & {}_\ell A \\ \mu_p & 0 & & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & & & & & & \end{array} le \mathbb{Z} de l'avant-dernière colonne est lui-même biffé ; la colonne \mathbb{Z}/p est ajoutée, serrée, après \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}

Tableau des Hom

~~\mu_p \alpha_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} Tableau des Ext~~

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \alpha_p & \mu_p & \mathbb{G}_m & \mathbb{G}_a & \mathbb{Z} & \mathbb{V} & A \\ \hline \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & 0 & 0 & 0 & \mu_\ell & 0 & 0 & 0 & {}_\ell A \\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \alpha_p & \mu_p & \mu_p & \mathbb{G}_a & 0 & \mathbb{V} & {}_p A \\ \alpha_p & 0 & 0 & \mathbb{G}_a & \alpha_p & \alpha_p & \mathbb{G}_a & 0 & (\mathrm{gros}) & ? \\ \mu_p & 0 & 0 & 0 & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & 0 & 0 & 0 & ? \\ \mathbb{G}_m & 0 & 0 & 0 & 0 & \mathbb{Z} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \mathbb{G}_a & 0 & 0 & (\mathrm{gros}) & \mathbb{V} & \mathbb{V} & ? & 0 & (\mathbb{G}_a ?) & \mathrm{gros} \\ \mathbb{Z} & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \alpha_p & \mu_p & \mathbb{G}_m & \mathbb{G}_a & \mathbb{Z} & \mathbb{V} & A \\ \mathbb{V} & 0 & 0 & \mathbb{G}_a & \mathbb{G}_a & \mathbb{G}_a & \mathbb{G}_a ? & 0 & (\mathrm{Imm}) & \underline{V}(\omega_A) \\ A & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ? & \mathbb{Z}^n \end{array} les lignes sont le premier argument, les colonnes le second : la ligne \mathbb{Z} redonne l'en-tête. « gros », « Imm », « \mathbb{G}_a ? » sont entourés. Dans la colonne A, les cases des lignes \alpha_p et \mu_p sont couvertes de hachures, avec les restes lisibles « {}_{1-F}A ? » et « ({}_{F}A) ? » ; la case (\mathbb{G}_a,\mathbb{G}_a) porte un mot biffé et, en dessous, « Imm ? » ; la case (\mu_p,\mathbb{V}) porte un « 0 » surchargé. Une accolade, à gauche des lignes \alpha_p à \mathbb{G}_a, porte « conn »

\begin{pmatrix} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & 0 & 0 \\ \alpha_p & \mathbb{G}_a & 0 \\ \mu_p & \alpha_p & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{pmatrix}

Hom(\alpha_p, \mathbb{G}_m) ??? la dernière inscription, à droite, est entourée d'un ovale au crayon

\underline{\mathrm{Hom}}(G,H) = 0 si G à fibres géom. connexes, H non ramifié sur S. \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, G) \simeq {}_nG d'où lignes 1, 2 \underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{Z}, G) \simeq G d'où ligne 7 \underline{\mathrm{Hom}}(\alpha_p, G) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\underline{V}(\omega_G) \xrightarrow{\ \text{puiss. $p$-ième}\ } \underline{V}(\omega_G)\bigr) \;\simeq\; \underline{\mathrm{Hom}}(\alpha_p, \underline{\mathfrak{L}}^{(1)}_G) sous \underline{V}(\omega_G) est écrit « \underline{\mathfrak{L}}_G schéma de Lie de G » ; la lettre gothique est une lecture incertaine d'où ligne 3 moyennant l' —- \underline{\mathrm{Hom}}(\mu_p, G) \simeq \mathrm{Ker}\bigl(\underline{V}(\omega_G) \xrightarrow{\ \text{id $-$ puiss. $p$-ième}\ } \underline{V}(\omega_G)\bigr) d'où ligne 4

Hom(\mathbb{G}_m, G) est un foncteur « non ramifié », d'où ligne 5

Hom(A, G) est un foncteur « non ramifié », d'où (partiellement) ligne 6.

Hom(\mathbb{V}, G) \simeq \underline{V}(\omega_G) d'où ligne 8 les numéros de ligne renvoient au tableau des Hom de la page 161, lu dans l'ordre \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \alpha_p, \mu_p, \mathbb{G}_m, \mathbb{G}_a, \mathbb{Z}, \mathbb{V} ; la ligne 6 attribuée à A ne coïncide pas avec cet ordre

Cas difficiles

a) Hom(\mathbb{G}_a, G), G = \alpha_p, \mathbb{G}_a, \mathbb{V}, /\!/A

b) Hom(G, \mathbb{V}), G = \alpha_p, \mathbb{G}_a, \mathbb{V}, /\!/A

(indiqué par G = \mathbb{G}_a, \mathbb{V}, \alpha_p)

Il y a essentiellement ~~deux~~ quatre types « délicats » —– « quatre » est écrit au-dessus du mot biffé

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} & \mu_p & W_{11} & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \mathbb{G}_m & \mathbb{G}_a & Ab & \mathbb{Z} \\ \hline {}_p\mathbb{G}_m = \mu_p & \mathbb{Z}/p & 0 & 0\ \ast & \ast\ 0 & ? & 0 & [a] & 0\ \ast \\ {}_F\mathbb{G}_a = W_{11} & 0 & \mathbb{G}_a^2\ (?) & 0\ \ast & \ast\ 0 & 0 & (?) & [b] & 0\ \ast \\ \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & 0\ \times & 0\ \times & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & 0 & \emptyset\ 0 & \emptyset\ 0 & \emptyset\ 0 & \emptyset\ \mathbb{Z}/\ell \\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & 0\ \ast & 0\ \times & 0 & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \emptyset\ 0 & \mathbb{G}_a & \emptyset\ 0 & \emptyset\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\ \mathbb{G}_m & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & 0 & [c] & 0 & 0 & 0 & [d] & \\ \mathbb{G}_a & 0 & (?) & 0\ 0 & (?) & 0 & (?) & [e] & \\ Ab & [f] & \longleftarrow & \longrightarrow & & (Ab)' & H^1(Ab, \underline{O}) & & \\ \mathbb{Z} & 0\ \ast & 0\ \ast & 0\ \ast & 0\ \ast & 0\ \ast & 0\ \ast & 0\ \ast & 0\ \ast \end{array} tableau des \mathrm{Ext}^1 (lignes : premier argument). Les renvois [a] à [f] sont de l'éditeur, faute de place : [a] \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, {}_pA) ; [b] \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_a, {}_FA) ; [c] \mathrm{Hom}(T(\mathbb{G}_m), \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) ; [d] \varinjlim \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, {}_nA) (« lim » souligné deux fois) ; [e] \varinjlim \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_a, {}_nA) ; [f] \mathrm{Hom}(T(A), G). La case (\mu_p,\mu_p) porte en surcharge « dualité » ; la case (\mu_p,\mathbb{G}_m) est surchargée, illisible ; dans la case (\mathbb{G}_m,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), sous le Hom, un « \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} » partiellement biffé ; la case (Ab, Ab) porte un mot biffé ; une grande accolade occupe la colonne \mathbb{Z} en face des lignes \mathbb{G}_m à Ab ; dans la ligne Ab, « \mathrm{Hom}(T(A), G) » est écrit sur une flèche qui couvre les quatre premières colonnes. Les signes \emptyset, \times, \ast sont les siens et renvoient aux remarques ci-dessous. Deux crochets à gauche groupent les lignes {}_p\mathbb{G}_m à \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} et \mathbb{G}_m à \mathbb{Z}

\emptyset \mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, G) = {}^nG, \Gamma discret fini, G dualisable

\times \mathrm{Ext}^1(\Gamma, G) = 0 si dans [discret], l'un , l'autre infinitésimal, ext.

\mathrm{Ext}^1 dans la cat. géométrique dans un nuage tracé à droite des deux remarques précédentes

~~N.B. \mathrm{Ext}^2(\mathbb{G}_m, \mathbb{G}_m) \neq 0~~ encadré et biffé par des boucles

(?) Consulter travaux Serre pour déterminations explicites le « ? » est entouré

(Il le dit qu'il y a lieu de considérer des cat. de G, \mathbb{G}_m Ab \mathbb{Z} ; on trouve , dont 0

tableau à six colonnes \Gamma, U, \mathbb{G}_m, \mathbb{G}_a, Ab simple, \mathbb{Z} ; la case d'en-tête de la première colonne est un trait. Les lignes, repérées à gauche par des lettres, sont données ici une à une, case par case dans l'ordre des colonnes

b), b') \Gamma \in \lbrace \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \rbrace : groupe fini ordinaire \mathrm{Hom}(\Gamma, \Gamma') ; 0 ou groupe radiciel simple ; groupe simple (ext. ou radiciel) ; 0 ou \mathbb{G}_a ; gr. mixte ; 0. a), a') U \in \lbrace {}_p\mathbb{G}_m = D(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}),\ {}_F\mathbb{G}_a \rbrace : 0 ; \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, ~~\mathbb{Z}~~ ? pour {}_p\mathbb{G}_m, et {}_F\mathbb{G}_a, \mathbb{G}_a pour {}_F\mathbb{G}_a ; \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, {}_F\mathbb{G}_a ; 0, \mathbb{G}_a ; groupe (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n, {}_F\mathbb{G}_a^m \times \mathbb{G}_a^n ; 0. c) \mathbb{G}_m : 0 ; \times 0 ; \mathbb{Z} ; 0 ; 0 ; 0. c') \mathbb{G}_a : 0 ; C W_0 {}\times^{(\alpha)} (Hom conoyaux fini ) et {}^{(\beta)} vecteurs ; radiciel = \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_a, {}_p\mathbb{G}_m) ; \mathbb{V} \times ; radiciel = \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_a, U) ; 0. d) Ab simple : 0 ; \times 0 ; 0 ; 0 ; groupe discret de type fini sans torsion ; 0. e) \mathbb{Z} groupe ordinaire : \Gamma ; U ; \mathbb{G}_m ; \mathbb{G}_a ; Ab simple ; \mathbb{Z}.

dans la case (U, U) un petit tableau 2 \times 2 séparé par des pointillés ; les croix \times sont à l'encre rouge ; « 0 ou » est ajouté au-dessus de la case (\Gamma, U)

Tableau des Hom encadré

Hom(gr. connexe, gr. discret ordinaire) = 0

Hom(\mathbb{G}_m, gr. \mathbb{G}_m) ~~\neq~~ = 0

Hom(Ab, gr. linéaire) = 0

\mathbb{S}_\infty \longrightarrow \mathbb{G}_a hom. d'anneaux de \mathbb{S}_\infty dans \mathbb{G}_a la lettre ajourée est lue \mathbb{S} ; lecture incertaine

~~()()~~

\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbb{G}_a, {}_p\mathbb{G}_m) k[[t]] \longleftarrow k[t]/(1-t)^p éléments unipotents en k[[t]], i.e. de la forme \sum a_i t^i, les a_i^p = 0 ~~\Delta(\sum a_i t^i) =~~ 1 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots + a_n t^n \qquad a_i^p = 0 P(t+t') = P(t)\,P(t')

groupe ( algébrique) ; \alpha) L' D(\mathbb{G}_a) de Cartier —- un gr. radiciel infini ; \beta) un groupe k-simple infini sur k. colonne de droite, séparée par un trait ; elle se rapporte aux renvois (\alpha), (\beta) de la ligne c') du tableau

copie très pâle du feuillet suivant (page 166) : même lemme, même disposition (« Lemme. Soient G, \Gamma … », la formule (*), les accolades de la marge gauche) ; non retranscrite, voir page 166

1° Tout hom. G \times_S G \to \Gamma qui est nul sur e \times_S G et sur G \times_S e est nul ; 2° Si tout hom. (G/e)^n \to \Gamma S \to \Gamma ~~alors (**)~~ (pour n = 1, 2, 3) alors deux conditions écrites verticalement dans la marge gauche, reliées au texte par des accolades

Lemme. Soient G, \Gamma deux schémas en groupes commutatifs sur S, tels que ~~\underline{\mathrm{Hom}}_S(G,\Gamma) = 0~~ [par exemple G à fibres géométriquement connexes, et \Gamma non ramifié sur S], \Gamma fid. plat sur S pour simplifier. Alors la condition \underline{\mathrm{Hom}}_S(G,\Gamma) = 0 est barrée d'un trait ondulé ; au-dessus, « Hom » ; en dessous, « prédit » ; « commutatifs » est dans une bulle en marge (*)\qquad \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(G, \Gamma) \longrightarrow H^1(G, \Gamma_G) sous H^1(G,\Gamma_G), une accolade : « classes de fibrés principaux homogènes » est injectif, et a pour image l'ensemble des éléments primitifs de H^1(G, \Gamma_G) [i.e. ceux dont l'image dans H^1(S,\Gamma) sont nuls, et satisfaisant \mu^{*}(\xi) - \mathrm{pr}_1^{*}(\xi) - \mathrm{pr}_2^{*}(\xi) = 0] le premier terme de cette relation est de lecture incertaine

Dém. Soit 0 \to \Gamma \xrightarrow{\ \alpha\ } E \xrightarrow{\ \beta\ } G \to 0 une extension de S-groupes [E \to G fid. plat], supposons E comme fibré principal trivial sur G, i.e. qu'il existe une section \varphi : G \to E. Soit e_G : S \to G la section unité, d'où une section \varphi \circ e_G = \varphi(e_G) de E sur S, dont l'image par \beta est la section unité e_G, donc qui est de la forme \alpha(u), u \in \Gamma(S). Corrigeant

\varphi par u, on peut supposer que \varphi transforme section unité en section unité. Prouvons que \varphi est multiplicative. En effet, \pi' \circ (\varphi \times_S \varphi) - \varphi \circ \pi

\begin{tikzcd} G \times G \arrow[r, "\varphi \times \varphi"] \arrow[d, "\pi"'] & E \times E \arrow[d, "\pi'"] \\ G \arrow[r, "\varphi"] & E \end{tikzcd}

est un S-morphisme G \times G \to \Gamma, qui est nul sur G \times_S e et e \times_S G. le \Gamma de G \times G \to \Gamma est écrit en surcharge, très noirci

Donc ceci prouve l'injectivité —-.

Le fait que l'image de \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(G,\Gamma) \to H^1(G,\Gamma) soit les primitifs indiqués, est vrai sans hyp. sur G, \Gamma, compte tenu de la construction des fibrés associés. Pour la réciproque, sous les conditions dites 2° on note que E est fibré pr. homogène sur G de classe primitive, il existe une section e_E de E/S au dessus de celle de G/S.

\begin{tikzcd}[column sep=small] \Gamma \times \Gamma & E \times E \arrow[r] \arrow[d] & G \times G \arrow[d] \\ \Gamma & E \arrow[r] & G \end{tikzcd}

De plus, il existe un morphisme E \times E \to E \Gamma \times \Gamma \to \Gamma et rendant commutatif

\begin{tikzcd} E \times E \arrow[r] \arrow[d] & G \times G \arrow[d] \\ E \arrow[r] & G \end{tikzcd}

Il y a multiplications possibles dans E \underline{\mathrm{Hom}}(G\times G, \Gamma) \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(G,\Gamma) ? , la multiplication (unique) qui transforme (e_E, e_E) en e_E. l'ajout entre crochets, entouré d'une boucle, est de lecture incertaine

Précisément E une structure E note écrite en diagonale dans la marge gauche, en bas du feuillet ; presque entièrement illisible

Je dis que cette loi de composition fait de E un schéma en groupes. Il faut vérifier

(i) L'associativité, qui s'exprime par l'égalité de deux morphismes E \times E \times E \to E au dessus de G \times G \times G \to G, compatibles avec \Gamma \times \Gamma \times \Gamma \to \Gamma ; cela résulte du fait qu'il y a un seul tel morphisme, à translation près par un élément de \underline{\mathrm{Hom}}_S(G \times G \times G, \Gamma) \simeq \Gamma(S), donc un seul pour lequel l'unité va en l'unité

(ii) e est l'unité, même argument, appliqué deux sur l'identité

(iii) Existence d'une symétrie dans E.

Voir l'exposé du livre de Serre p. 183.

—-

N.B. Ce résultat est valable, de façon indépendante des prop. plus haut, si G à fibres connexes ... écrit en oblique dans la marge gauche

Application au cas où \Gamma étale, et G à fibres géom. connexes Alors \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(G, \Gamma) \simeq \mathrm{Ext}^1_{S_0\text{-gr}}(G_0, \Gamma_0) où S_0 = S_{\mathrm{réd}}, G_0 = G \times_S S_0, \Gamma_0 = \Gamma \times_S S_0. Ceci vaut plus gén. si S_0 \to S est un homéom. universel quelconque. ~~Ceci permet l'~~ « et G à fibres géom. connexes » est dans une bulle au-dessus de la ligne

~~multiplication , p.~~

D'ailleurs on une extension de G par \Gamma par la méthode , en appliquant à \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(G,\Gamma) les méthodes de descente [ainsi, pour S' sur S, on obtient une fonction en S' compatible avec la descente fid. plate ....]

Prenons, p. ex. G = \mathbb{G}_a, \Gamma = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, ( l'hypothèse noethérienne) \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(\mathbb{G}_a, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \simeq \Gamma(S, \mathcal{O}^{p^{-\infty}}) où \mathcal{O}^{p^{-\infty}} = \varinjlim_n (\mathcal{O}, n), \ldots l'hom. (\mathcal{O}, n) \to (\mathcal{O}, m) défini par x \mapsto x^{p^{m-n}}. On peut donc dire que le foncteur \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^1_{S\text{-gr}}(\mathbb{G}_a, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) est représentable ~~par~~ dans la catégorie des ~~les~~ pro-schémas parfaits sur S....

Pour la dim., cf exposé Groth. sur les isogénies (Exposé 7) écrit en oblique dans la marge gauche, en face de la formule

Dualité de Cartier des groupes affines et groupes formels

inscrit à l'encre sur un feuillet de garde orange (page 170), qui ne porte rien d'autre ; le feuillet ne reçoit pas de numéro de page. Ce titre est le sien

tableau à double entrée, V en lignes, F en colonnes (la case d'angle porte « V / F » séparés par une diagonale) ; chaque case contient des groupes entourés d'un ovale au crayon

V isom : F isom : (\mathbb{Z}/\ell) ; F épim : (\mathbb{G}_m, \mathbb{Z}/\ell) ; F nilpotent : (\mu_p). V mixte ? : F isom : discret sép. , (\mathbb{Z}/\ell, \mathbb{Z}/\ell~~\mathbb{Z}~~) ; F épim : ~~mult. discret~~ (\mathbb{G}_m, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) ; F nilpotent : (\mu_p, \mathbb{V}). V nilpotent : F isom : (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) ; F épim : (\mathbb{G}_a, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) ; F nilpotent : ~~radiciel~~ (\alpha_p).

les en-têtes des lignes et colonnes sont « isom », « épim », « nilpotent » ; l'en-tête de la deuxième ligne est un mot biffé suivi d'un mot court , que l'ordre des colonnes invite à lire « épim »

propriétés de F, V, caractérisation l'existence de , de composantes des propriétés données ....

\mathbb{G}_m : F épim, V isom \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} : F, V isom ~~\mu~~\mu_p : F = 0, V isom (\mathbb{G}_a,\ \alpha_p,\ \mathbb{V}) : F épim, V = 0 ; F = 0, V = 0 ; F = 0, V épim \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} : F isom, V = 0 \ast \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} : F, V isom \mathbb{Z} : F isom, V isom Ab : F épim, V n'importe quoi

une ligne d'en-têtes, les conditions sous chacun ; Ab est séparé des autres par un trait vertical ; les trois colonnes \mathbb{G}_a, \alpha_p, \mathbb{V} sont réunies par un crochet

F isom : groupe discret séparable F^n = 0 : groupe infinitésimal F épim : gr. séparable (peut avoir une partie \mathbb{Z}, mais pas de facteur de composition \mathbb{V}), \overset{?}{\Longrightarrow} i.e. pas de partie infinitésimale V isom : groupe multiplicatif () V^n = 0 : groupe unipotent V ~~épim~~ : ~~groupe infinit.~~ pas de partie unipotente \overset{?}{\Longrightarrow} en facteur de composition.

deux colonnes, F à gauche, V à droite

[Condition de finitude et symétrie un catalogue de groupe ]

[groupe infinitésimal \neq groupe radiciel ; \mathbb{V} n'est pas unipotent ? bien qu'il soit une extension d'unipotents.]

F \Rightarrow F isom ; V épim \Rightarrow V isom (?) les deux implications sont réunies par une accolade suivie d'un point d'interrogation

Il y a 8 types fondamentaux de groupes affines (satisfaisant la condition de finitude). Le groupe induction resp. unipotent types (les types de Dieudonné). Je pense que les tableaux ci-dessus seront utiles incessamment.

La première opposition types de dualité, : dualité des var. abéliennes, d'une part, des dualités une flèche relie ce dernier paragraphe (à gauche) au paragraphe précédent (à droite)

\mathbb{G}_m : F épim, non isom ; V isom ~~\mu_p~~ : F = 0 ; V isom \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} : F, V isom

le reste du feuillet est vierge

copie très pâle du feuillet suivant (page 175) : mêmes quatre schémas, même N.B., mêmes listes accolées ; non retranscrite, voir page 175

quatre schémas disposés en deux colonnes séparées par un double trait ; chacun a un titre en marge, des accolades nommant les parties, et des mentions en oblique

multiplicatif (k-simple connexe) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \\ \mathbb{G}_m \arrow[r] & G \arrow[ur] \arrow[dr] & \\ & & \mu_p \end{tikzcd}

accolade supérieure (\mathbb{G}_m à \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) : « séparable » ; inférieure (\mathbb{G}_m à \mu_p) : « connexe » ; à droite, « fini séparable » pour \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, « fini radiciel » pour \mu_p, et une accolade « fini » pour les deux

discret (ordinaire) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \arrow[dl] \\ \mathbb{Z} & G \arrow[l] & \\ & & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \arrow[ul] \end{tikzcd}

accolade supérieure : « sans p-torsion » ; inférieure : « sans \ell-torsion » ; devant \mathbb{Z} : « sans torsion » ; « fini multiplicatif » pour \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, « fini unipotent » pour \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, accolade « fini »

unipotent (k-simple connexe) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\ \mathbb{G}_a \arrow[r] & G \arrow[ur] \arrow[dr] & \\ & & \alpha_p \end{tikzcd}

accolade supérieure : « séparable » ; inférieure : « connexe » ; « fini séparable » pour \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, « fini radiciel » pour \alpha_p, accolade « fini »

connexe (= infinitésimal ?) :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & \mu_p \arrow[dl] \\ \mathbb{V} & G \arrow[l] & \\ & & \alpha_p \arrow[ul] \end{tikzcd}

accolade supérieure : « sans torsion unipotente » ; inférieure : « sans torsion multiplicative » ; devant \mathbb{V} : « sans torsion » ; « fini multiplicatif » pour \mu_p, « fini unipotent » pour \alpha_p, accolade « fini »

N.B. Dans le cadre des catégories, des groupes formels des groupes , les , le multiplicatif et l'additif se mélangent (dans le fini)

torsion = = sous-groupe fini à droite du N.B., un bloc encadré et barré de hachures, dont on ne lit que ces mots

multiplicatif — discret ordinaire unipotent — purement infinitésimal connexe séparable — ~~séparable~~ sans torsion fini séparable — fini multiplicatif fini radiciel — fini unipotent ~~fini séparable~~ connexe — sans torsion multiplicative séparable — sans torsion additive fini — fini multiplicatif connexe séparable — gr. discret sans torsion unipotent connexe séparable — groupe infinitésimal ~~séparable~~ sans torsion (= ) fini séparable mult. ~~connexe séparable~~ = fini sép. multiplicatif fini radiciel mult. = fini sép. unipotent fini radiciel unipotent = fini radiciel unipotent

chaque groupe de lignes est réuni à gauche par une accolade ; la note marginale, entourée de boucles, est presque entièrement biffée

\begin{array}{c|c|c|c} \text{multiplicatif} & \mathbb{G}_m & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} & \mu_p \\ \hline \text{unipotent} & \mathbb{G}_a & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & \alpha_p \end{array} deux accolades sous le tableau : « k-simples » sous les colonnes \mathbb{G}_m et \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, « finis » sous les colonnes \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} et \mu_p ; le reste du feuillet est vierge

en haut, deux figures d'ovales qui se chevauchent, séparées par un trait vertical ; les groupes sont inscrits dans les régions et des traits obliques (certains repassés, d'autres biffés) les séparent. On donne les étiquettes des ovales et les groupes lisibles

À gauche : ovales étiquetés « k-connexe », « multiplicatif », « fini séparable », « unipotent » (en bas à droite, souligné), « multiplicatif séparable », « multiplicatif » (en bas, souligné), « unipotent k-connexe » ; groupes : (\mathbb{G}_m), (\mu_p), (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), (\mathbb{G}_a, \alpha_p), (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), ~~(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})~~, (\mu_p), (\mathbb{G}_a, \alpha_p), et un groupe noirci . « » biffé dans l'ovale supérieur

À droite : ovales étiquetés « infinitésimal », « discret sép. », « sans torsion additive » (avec « ~~infinitésimal~~ »), « discret ~~(séparable)~~ sans torsion multiplicative » ; groupes : (\alpha_p, \mathbb{V}), (\mu_p), \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, ~~\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}~~, (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), (\mathbb{Z}), (\mu_p, \mathbb{V}), (\mu_p).

Supposons la partie ~~réduite~~ séparable unipotente connexe déf./k. Dans le diagramme complété :

un diagramme en losange : (\mathbb{G}_m), (\mu_p), (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), (\mathbb{G}_a), (\alpha_p), (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), (\alpha_p), (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), (\mu_p), séparés par des traits obliques, un ovale « fini » en haut

Si de plus la partie séparable de G_0 est définie sur k, de G_0 ) dans un diagramme plus complet :

\mu_p,\ (\mathbb{G}_a, \alpha_p),\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\ \mu_p,\ (\alpha_p, \mathbb{V}),\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} accolades : les trois premiers, les trois derniers, puis l'ensemble, avec la mention « ext. » \mathbb{G}_m \quad \bigl[\,(\mu_p),\ (\mathbb{G}_a, \alpha_p, \mathbb{V}),\ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\,\bigr] \quad (\mathbb{Z}) sous le crochet, une accolade « Ext. » réunit (\mathbb{G}_a, \alpha_p, \mathbb{V}) ; en dessous, séparés par des traits, (\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}), \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, (\mathbb{G}_m), et un crochet vide ; un \mu_p biffé à gauche

Multiplicatif connexe (produit) \bigl(non-p-primaire \times gr. \bigr) sans torsion

copie très pâle du feuillet suivant (page 179) : mêmes formules et même diagramme ; non retranscrite, voir page 179

\mu_p + (\mathbb{G}_a, \alpha_p) \qquad (\alpha_p, \mathbb{V}) + \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mu_p \quad \alpha_p \quad \mathbb{Z}/p \mathbb{G}_a \quad \alpha_p \quad \mathbb{V} sous cette ligne, une flèche vers la gauche \mu_p \times \mathrm{Unip.}, \quad \mathbb{V}

Multiplicative unipotents discret ordinaire

un diagramme de traits : « multiplicative connexe séparable », avec au-dessus « G_0 (réd.) » et au-dessous « G_0 réd », « G réd » ; puis, disposés en losange, « multiplicatif fini radiciel », « multiplicatif fini sép. », « mult. fini sép. », « multiplicatif radiciel fini » ; un trait biffé à droite

G réd est un sous-groupe si G est multiplicatif, mais pas s'il est unipotent.

G_0 est défini sur k ~~si G est multiplicatif~~ ~~mais pas~~ [faut-il prendre variétés , ???]

unipotent connexe ( sép.) fini unipotent séparable

(\mathbb{G}_m) (\mu_p)(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) Unip. conn. à droite, un diagramme de traits : « Unip. conn. », \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \mu_p, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, « Unip. », \mathbb{G}_m, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}, \mu_p ; en dessous, (\mu_p) d'où partent deux traits vers « mult. fini » et « connexe »

Modules discrets de type fini sur A = \varprojlim_n \mathbb{W}_n[F, \mathbb{V}]/(V^n, FV - p) un petit indice, peut-être \sigma, est accroché à \mathbb{W}_n ; le \mathbb{V} entre crochets est repassé ; entre « = » et \varprojlim, un mot biffé

(Catégorie C_1) on considère C_1^\circ = C_2.

Et la sous-catégorie pleine C_1' de C_1^{*} formée des modules localement annulés par une puissance de F, et la sous-catégorie C_2' [ C_1^\circ des types finis additifs unipotents].

La dualité de Cartier des groupes finis, définie par un de type cocyclique, définit une isomorphisme C_1' \simeq C_2' . D'ailleurs, objet G de C_2 objet tel que G/G' soit le dual d'un objet quelconque de C_2', et = objet à C, dual un objet de C_1'. Un objet de la catégorie C serait un ~~couple~~ triple formé de (X, Y, u), où X \in C_2, Y \in C_1, et u un isom. de \alpha(X) sur \beta(Y)

\begin{tikzcd}[row sep=small] C_1 \arrow[dr, "\alpha"] & \\ & C_0 \\ C_2 \arrow[ur, "\beta"'] & \end{tikzcd}

le diagramme donne \alpha sur C_1 et \beta sur C_2, alors que la phrase écrit \alpha(X) pour X \in C_2 et \beta(Y) pour Y \in C_1 ; transcrit tel quel. Dans la marge gauche, en face de « La dualité de Cartier », « C_1' \simeq C_2' » écrit verticalement, et les étiquettes C_1 ~~Modules de~~ et C_2