Cote n° 43 · batch 8 · pages 141–160 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

Dualité de Tate-Cassels

titre inscrit de sa main en haut à droite d'une chemise de papier kraft (page 141), sans autre contenu. Suivent trois feuillets d'une autre main (pages 142–144), puis sa page 145.

142feuillet manuscrit d'une autre main que la sienne, en anglais, encre bleu-violet, paginé « 1. » ; texte suivi et soigné, non recomposé ici. Son libellé coïncide, pour autant qu'il a été lu, avec l'exposé de J. Tate « Duality theorems in Galois cohomology over number fields » (identification non vérifiée sur l'imprimé). Contenu : « §1 Notation and terminology » — \(A\) anneau de Dedekind, \(\bar{A}\) son extension non ramifiée maximale, \(G_{A}\) le groupe de Galois (groupe fondamental de \(\mathrm{Spec}\,A\)), \(M\) un \(G_{A}\)-module fini d'ordre \(m\) inversible dans \(A\) ; \(H^{r}(A, M) = \varinjlim H^{r}(G_{B/A}, M)\) (cohomologie complète si \(G_{A}\) est fini) ; le dual de Cartier \(\tilde{M} = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(M, \bar{A}^{*})\) et le dual de Pontrjagin \(\hat{H}\). « §2 Local Results » — \(k\) localement compact, \(\mathrm{inv}_{k} : H^{2}(k, \bar{k}^{*}) \hookrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), les accouplements \(H^{r}(k, M) \times H^{2-r}(k, \tilde{M}) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) ; Theorem 2.1 (\(H^{r}(k, M)\) fini et \(H^{2-r}(k, \tilde{M}) \simeq \widehat{H^{r}(k, M)}\)), le cas \(k = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; Theorem 2.2 (caractéristique d'Euler-Poincaré \(\chi(k, M) = 1/(A : mA) = |m|_{k}\)). Aucune intervention de sa main.

143même main, paginé « 2. », non recomposé. Theorem 2.3 (si \(mA = A\), \(\mathrm{Card}\,H^{0}(A, M) = \mathrm{Card}\,H^{1}(A, M)\), \(H^{2}(A, M) = 0\), et \(H^{1}(A, M)\), \(H^{1}(A, \tilde{M})\) sont orthogonaux l'un de l'autre) ; une « Remark » : le théorème 2.1 généralisé par « S. Shatz (Harvard Thesis, June 1962) » au cas d'un schéma en groupes artinien commutatif, avec cohomologie relative aux extensions finies quelconques, groupes munis d'une topologie localement compacte, et les exemples \(\mu_{p}\), \(\alpha_{p}\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) en caractéristique \(p\) (un mot biffé dans le texte, de la même main) ; « §3 Global results » — \(k\) corps de nombres (cas (N)) ou de fonctions (cas (F)), \(S\) ensemble de places, \(A\) l'anneau des \(S\)-entiers ; Theorem 3.1 : la suite exacte à neuf termes \(0 \to H^{0}(A, \tilde{M}) \to \prod H^{0}(k_{\mathfrak{p}}, \tilde{M}) \to \widehat{H^{2}(A, M)} \to H^{1}(A, \tilde{M}) \to \cdots\), bouclée par \(\beta_{1}\), \(\delta\), \(\alpha_{2}\), \(\beta_{2}\), et les isomorphismes \(H^{r}(A, M) \simeq \prod H^{r}(k_{\mathfrak{p}}, M)\) pour \(r \geqslant 3\) ; le signe « \((\tilde{M})\) » en marge gauche est de la même main. Aucune intervention de sa main.

144même main, paginé « 3. », non recomposé. Suite des notations du théorème 3.1 (produit, somme directe, produit restreint ; les \(\alpha_{i}\), \(\beta_{i}\), \(\gamma\), \(\delta\)) ; Corollary 1 (\(S\) fini : \(H^{r}(A, M)\) fini, \(\chi(A, M)\) et la formule du produit \(\chi(A, M)\chi(A, \tilde{M})/\mathrm{Card}\,H^{3}(A, M)\) égale à \(1\) en cas (F), à \(m^{-[k:\mathbb{Q}]}\) en cas (N)) ; Corollary 2 (noyau de \(H^{2}(A, M) \to \coprod H^{2}(k_{\mathfrak{p}}, M)\) fini et dual du noyau de \(\alpha_{1}(\tilde{M})\)) ; la construction finie de ce noyau, et Proposition 3.2 (image par inflation du noyau de \(H^{1}(G, M) \to \prod H^{1}(G_{i}, M)\)), Corollary 1 (annulé par le quotient du degré global par le p.p.c.m. des degrés locaux). Aucune intervention de sa main.

145au crayon, sur papier kraft ; la suite occupe un grand cadre de trois lignes. Les exposants tracés en crochet, semblables à un « ? », sont lus \(2\) ; le symbole sous lequel est écrit \(p \in S\) est tantôt un II barré (rendu \(\coprod\)), tantôt un II gras (rendu \(\prod'\)). \[ 0 \to \widehat{\coprod_{p \in S} H^{2}(k_{p}, \tilde{M})} \to \widehat{H^{2}(O, \tilde{M})} \to \prod_{p \in S} \hat{H}^{0}(k_{p}, M) \to \widehat{H^{2}(O, \tilde{M})} \] au-dessus de la flèche entre le deuxième et le troisième terme, un renvoi en V insère « \(H^{0}(O, M)\) », surligné ; le chapeau du \(\hat{H}^{0}(k_{p}, M)\) est une petite ligne ondulée. La lecture « \(\coprod\) » du premier terme est incertaine. \[ \to H^{1}(O, M) \to \prod_{p \in S}{}' H^{1}(k_{p}, M) \to \widehat{H^{2}(O, \tilde{M})} \] l'exposant du dernier terme est de même forme que les précédents et lu \(2\) ; dans la suite de Tate (page 143) le terme à cette place est \(\widehat{H^{1}}\). \[ \to H^{2}(O, M) \to \coprod_{p \in S} H^{2}(k_{p}, M) \to 0 \] \[ \boxed{H^{r}(O, M) \simeq \prod_{p \in S}{}' H^{r}(k_{p}, M)} \qquad r > 2 \]

If \[ \underline{\mathrm{III}}(O, M) = \mathrm{Ker}\Bigl(H^{1}(O, M) \to \prod_{p \in S} H^{1}(k_{p}, M)\Bigr) \] is finite « If » et « is finite » sont en anglais ; \(\underline{\mathrm{III}}\) rend son III souligné (le groupe de Tate-Šafarevič). L'exposant de \(H^{1}\) est peu net.

\(M\) […] dualité sur un corps de nombres —

Groupes de Galois comme groupes analytiques sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\), d'après Serre

titre inscrit de sa main en haut à droite d'une chemise de papier kraft (page 146), sans autre contenu. Les pages 147–155 forment une rédaction suivie, à l'encre bleue ; la page 157 en porte les figures.

147Modules \(\ell\)-adiques sur \(S\).

Soit \(S\) un préschéma, \(\ell\) un premier, […] Ind […] \(\mathcal{G}(S)\) la catégorie des schémas en groupes (finis) étales sur \(S\). Un objet de \(\mathrm{Ind}(\mathcal{G}(S))\) est dit « de type \(\mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}\) » s'il est strict, et si ses fibres géométriques sont des limites inductives isomorphes à \((\mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})^{\nu}\) (\(\nu\) convenable). Si \(S\) est connexe, \(\xi\) un pt géométrique de \(S\), dans à \(\simeq\) près est indépendant du choix du pt géométrique de \(S\). Si \(\xi\) est un tel pt géométrique, la […] catégorie des \(G\) « de type \(\mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell}\) » est isomorphe équivalente à la catégorie des \(\pi_{1}(S, \xi)\)-modules discrets qui sont isomorphes comme groupes abéliens à \((\mathbb{Q}_{\ell}/\mathbb{Z}_{\ell})^{\nu}\), […] (\(\nu\) convenable) i.e. dont le dual au sens de Pontrjagin (à valeurs dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\)) est iso à un module libre de type fini sur \(\mathbb{Z}_{\ell}\). « (finis) » est ajouté en marge, entouré ; « à \(\simeq\) près est indépendant du » est écrit au-dessus de la partie biffée de la ligne, et la phrase n'a pas de sujet exprimé.

Par dualité (de Pontrjagin) on obtient les objets de \(\mathrm{Pro}\,\mathcal{G}(S)\) qui sont « de type \(\mathbb{Z}_{\ell}\) ». Un objet de \(\mathrm{Ind}\,\mathrm{Pro}\,\mathcal{G}(S)\) est dit

148« de type \(\mathbb{Q}_{\ell}\) » s'il est isomorphe à un […] système inductif \((G_{n})_{n \in \mathbb{N}}\), où pour tout \(n\), on a \(G_{n} = G_{0}\), \(G\) étant « de type \(\mathbb{Q}\) \(\mathbb{Z}_{\ell}\) », et que \(\varphi_{mn}\) (pour \(m \geqslant n\)) est la multiplication par \(\ell^{m-n}\). Si \(S\) est connexe, de pt géométrique \(\xi\), alors la catégorie des ces \(G\) est équivalente à la catégorie des espaces vectoriels \(V\) de dim finie sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\), munis d'un homom. continu de groupes topologiques \[ \pi_{1}(S, \xi) \longrightarrow \mathrm{Aut}(V). \] un mot biffé devant \(\mathrm{Aut}\). [Notons que \(\pi_{1}(S, \xi)\) étant compact, il y a […] un « réseau » invariant …]. Soit de façon générale \(\mathcal{V}_{\ell}(S)\) la catégorie des objets de \(\mathrm{Ind}\,\mathrm{Pro}\,\mathcal{G}(S)\) qui sont « de type \(\mathbb{Q}_{\ell}\) », \(\mathcal{M}_{\ell}(S)\) la catégorie des objets de \(\mathrm{Pro}\,\mathcal{G}(S)\) qui sont « de type \(\mathbb{Z}_{\ell}\) », […] […] changement de […] […] alors \[ M \rightsquigarrow M \otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}} \mathbb{Q}_{\ell} = \bigl(M_{n} = M,\ M_{m} \xrightarrow{\ \ell^{m-n}\ } M_{n}\bigr) \] est un foncteur \[ \mathcal{V}_{\ell}(S) \longrightarrow \mathcal{M}_{\ell}(S) \] qui est essentiellement surjectif, et fidèle, (pas pleinement fidèle en général). Les la flèche du foncteur est tracée de \(\mathcal{V}_{\ell}(S)\) vers \(\mathcal{M}_{\ell}(S)\), à l'inverse du sens de \(M \rightsquigarrow M \otimes \mathbb{Q}_{\ell}\) ; transcrite telle quelle. « et fidèle » est ajouté au-dessus de la ligne et souligné. Une ligne biffée après « de type \(\mathbb{Q}_{\ell}\) », et un mot biffé en début de ligne avant « alors ».

149[…] qui […] […] intéressants sont les \(\mathcal{V}_{\ell}(S)\), mais en pratique on travaille souvent avec des éléments de \(\mathcal{M}_{\ell}(S)\) [ou de façon équivalente par dualité de Pontrjagin, les \(\mathcal{I}_{\ell}(S)\)].

Soit \(S' \to S\), il s'en déduit un diagramme de foncteurs naturellement commutatif « diagramme de » est ajouté au-dessus de la ligne.

\begin{tikzcd}
\mathcal{I}_{\ell}(S)^{\circ} \arrow[r, "\approx"] \arrow[d] & \mathcal{M}_{\ell}(S) \arrow[r] \arrow[d] & \mathcal{V}_{\ell}(S) \arrow[d] \\
\mathcal{I}_{\ell}(S')^{\circ} \arrow[r, "\approx"] & \mathcal{M}_{\ell}(S') \arrow[r] & \mathcal{V}_{\ell}(S')
\end{tikzcd}

les flèches verticales étant des flèches de changement de base. Lorsque \(S\) et \(S'\) sont connexes, \(\xi'\) un pt géométrique de \(S'\), \(\xi\) son image sur \(S\), d'où \[ \pi' = \pi_{1}(S', \xi') \longrightarrow \pi = \pi_{1}(S, \xi) \] alors les foncteurs verticaux s'interprètent [en termes de […] Modules sur \(\pi\) et \(\pi'\)] par restriction des scalaires.

150Supposons que l'on ait un système projectif \(\mathcal{S} = (S_{i})_{i \in I}\), avec \(i_{0} \in I\) tel que pour \(i \geqslant i_{0}\), les \(\varphi_{i_{0}i} : S_{i} \to S_{i_{0}}\) soient affines. Soit \(S = \varprojlim S_{i}\). Soit \(G\) sur \(S\), [d'un des trois types envisagés]. Dans beaucoup de situations, on désire se ramener au cas d'un gpe sur \(S_{i}\), mais on dispose […] […] […] \[ \mathcal{V}_{\ell}(\mathcal{S}) = \text{Pseudo}\varinjlim \mathcal{V}_{\ell}(S_{i}) \] [resp. de \(\mathcal{V}_{\ell}\) remplacé par \(\mathcal{M}_{\ell}\), \(\mathcal{I}_{\ell}\)].

Exemple : Si quasi-compacts, on part d'un […] \(S\)-schéma abélien \(A\), d'où pour \(i\) grand un \(S_{i}\)-schéma abélien \(A_{i}\), d'où des \(T_{\ell}(A_{i}) \in \mathcal{M}_{\ell}(S_{i})\), qui définissent un élément de […] \(\mathcal{M}_{\ell}(\mathcal{S})\) [[…]]. Supposons pour simplifier les \(S_{i}\) connexes, donc \(S\) connexe, soit \(\xi\) un pt Autre exemple : \(X\) schéma lisse […] et propre sur \(S\), provenant […] […] de \(S_{i}\), on […] prend les faisceaux de Weil \(\varprojlim R^{i}f_{*}(\mathbb{Z}/\ell^{n}\mathbb{Z}) = R^{i}f_{*}(\mathbb{Z}_{\ell})\) […] torsion … la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de l'exemple ; le « \(A\) » de « schéma abélien \(A\) » est ajouté au-dessus de la ligne.

151géométrique de \(S\), \(\xi_{i}\) son image dans \(S_{i}\), donc \[ \pi = \pi_{1}(S, \xi) \xrightarrow{\ \sim\ } \varprojlim_{i} \pi_{i} \qquad \pi_{i} = \pi_{1}(S_{i}, \xi_{i}). \] Donc un élément (discret) de \(\mathcal{V}_{\ell}(\mathcal{S})\) s'identifie […] essentiellement […] est défini par un vectoriel \(V_{i}\) sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\) où \(\pi_{i}\) opère « continûment », avec la « proviso » que pour un \(W_{j}\) analogue sur \(\pi_{j}\), un « homomorphisme » de \(V\) dans \(W\) est un élément de \[ \varinjlim_{\substack{k \\ (k \geqslant i, j)}} \mathrm{Hom}_{S_{k}}\bigl(V_{i} \times_{S_{i}} S_{k},\ W_{j} \times_{S_{j}} S_{k}\bigr) \]

Supposons maintenant que [pour \(i\) grand] les \(\pi_{1}(S_{j}, \xi)\) \(\pi_{j} \to \pi_{i}\) aient des images d'indice fini. C'est le cas si les \(S_{i}\) sont normaux [intègres], et les \(\varphi_{ij} : S_{j} \to S_{i}\) dominants et de type fini [définissant des extensions de corps de type fini]. « pour \(i\) grand » est entouré au-dessus de la ligne ; « intègres » est écrit au-dessus de « normaux » ; « définissant des extensions de corps » est ajouté sous la ligne, rattaché à « de type fini » par une accolade. Un trait vertical en marge gauche longe le paragraphe.

[On est ramené au cas des corps, où on distingue le cas d'une extension transcendante

152pure — ou d'une […] séparable primaire, où \(\pi_{j} \to \pi_{i}\) est surjectif — et d'une extension finie séparable — où \(\pi_{j} \to \pi_{i}\) est un iso sur un sous-groupe d'indice fini — et d'une extension finie radicielle — où \(\pi_{j} \simeq \pi_{i}\) —. Alors les images \(G_{j}\) des \[ \pi_{j} \longrightarrow \mathrm{Aut}\,V_{\xi} \] (\(j \geqslant i_{0}\)) sont des sous-groupes fermés, […] d'indice fini les uns dans les autres. Le système projectif des sous-groupes de \(\mathrm{Aut}(V_{i_{0}})\) […] \(\mathcal{G}\) a un caractère intrinsèque, est remplacé par un équivalent si on remplace \((S_{i})\) par un système cofinal. Par Kossul, on sait que les sous-groupes analytiques \(\ell\)-adiques de \(\mathrm{Aut}(V_{i_{0}})\), dont il est un système, de Lie \[ \mathfrak{g} \subset \mathfrak{gl}(V_{\xi}) = \mathrm{End}_{\mathbb{Q}_{\ell}}(V_{\xi}) \] indépendante sous \(\mathrm{Aut}\,V_{\xi}\) un mot biffé ; le nom propre, commençant par un K, se lit « Kossul » ; il n'a pas été identifié. Le passage « on sait que les sous-groupes analytiques \(\ell\)-adiques » est souligné, comme le dernier mot de la page.

153de \(i\). D'[…] + C'est l'Algèbre de Lie de Serre la fin de ligne est soulignée deux fois ; le « Lie » n'est pas sûr, le mot pouvant se lire « l'Algèbre de Serre ».

Supposons \(S = \mathrm{Spec}(A)\), \(A\) normal intègre […] […] […] […]. Alors on a \[ A = \varinjlim_{i} A_{i} \] les \(A_{i}\) sous-anneaux de type fini ; […] normaux sur \(\mathbb{Z}\) normaux [lorsque \(A\) l'est] si on y tient. [N.B. Si] Si \(A\) contient un corps premier, si ce dernier est de car \(p > 0\), les \(A_{i}\) sont des algèbres de type fini sur \(\mathbb{F}_{p}\). Si \(A \supset \mathbb{Q}\), on peut aussi […] […], et écrire \[ A = \varinjlim_{\alpha} B_{\alpha} \] les \(B_{\alpha}\) les sous-\(\mathbb{Q}\)-algèbres de \(A\) qui sont de type fini ; Mais plus […] \(\mathcal{V}((A_{i}))\) est alors défini […] […] \(\mathcal{V}((B_{\alpha}))\), il semble d'ailleurs que les objets […] de \(\mathcal{V}((B_{\alpha}))\) qui […] […] fabriquer proviennent en fait de \(\mathcal{V}((A_{i}))\), (cf exemples plus haut). On dira N.B. Pour la question […], on […] des algèbres de […] des \(A_{i}\) […] […] \(B_{\alpha}\) […] […] « N.B. Si » est encadré en début de ligne, avec un trait courbe ; la ligne biffée « […] normaux sur \(\mathbb{Z}\) » commence par une lettre repassée. « lorsque \(A\) l'est » est ajouté au-dessus de la ligne, rattaché par une accolade ; « \(\mathbb{Q}/\) » est ajouté au-dessus de « sous-algèbres » ; au-dessus de « Mais … » biffé, deux mots illisibles. La note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche, en bas.

154qu'on a un Module « vectoriel \(\ell\)-adique » [ou « Module \(\ell\)-adique »] attaché à \(A\) si on a un élément de \[ \mathcal{V}((A_{i})) = \text{Pseudo}\varinjlim \mathcal{V}(A_{i}). \] Si \(A\) est normal (p.ex.), il lui est attaché […] canonique [pour tout pt géométrique \(\xi\) de \(S\)] une algèbre de Lie \(\mathfrak{g}_{\xi}\) de \(\mathfrak{gl}(V_{\xi})\). D'ailleurs, l'image de \(\pi_{1}(S, \xi) \to \mathrm{Aut}(V_{\xi})\) est un sous-groupe analytique, dont une algèbre de Lie \(\mathfrak{g}'_{\xi} \subset \mathfrak{g}_{\xi}\). La formation de \(\mathfrak{g}_{\xi}\) est compatible invariante par extension (dominante) de la base, contrairement à celle de \(\mathfrak{g}'_{\xi}\) [\(\mathfrak{g}'_{\xi}\) diminue quand \((S, \xi)\) est remplacé par \((S', \xi')\) convenable]. Si d'ailleurs \(S\) est de type fini sur […], on a évidemment \(\mathfrak{g}'_{\xi} = \mathfrak{g}_{\xi}\). On constate facilement que [dans le cas général d'un système \((S_{i})\) …] […] le choix de « classes de chemins » de \(\xi\) à \(\xi'\) […] (pts géom. de \(S\)) définit Plus commode : \(\mathfrak{g}_{\xi}\) qui […] extension de la base par […] dominantes « (p.ex.) » est écrit au-dessus de « normal », rattaché par une accolade ; « canonique » remplace au-dessus de la ligne un mot biffé ; « (dominante) » est ajouté au-dessus de « extension ». La note marginale, encadrée, est reliée par un signe ¶ à la fin du crochet « [\(\mathfrak{g}'_{\xi}\) diminue …] ».

155un iso \(V_{\xi} \to V_{\xi'}\) qui transporte \(\mathfrak{g}_{\xi}\) en \(\mathfrak{g}_{\xi'}\). En particulier, \(\mathfrak{g}_{\xi}\) est invariant sous \(\pi_{1}(S_{i}, \xi)\) ; [tous […] […] […] […] (formules isomorphismes)] — on a un foncteur qui à tout « vectoriel de type \(\mathbb{Q}_{\ell}\) attaché à \((S_{i})\) », [sur \(V\),] associe une « algèbre de Lie de type \(\mathbb{Q}_{\ell}\) attachée à \((S_{i})\) », dite [sur \(V\)] \(\mathfrak{g}\), qui […] « algèbre de [disons une Ind-Pro-schéma en algèbres de Lie sur \(S\) convenable] opérant sur \(V\) de façon évidente. le trait qui barre « En particulier … \(\pi_{1}(S_{i}, \xi)\) » peut n'être qu'un soulignement ; la parenthèse en dessous est rattachée par une accolade à « qui à tout ». « sur \(V\) » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne.

157feuillet de figures éparses, à l'encre bleue, relatif aux pages 147–155 ; donné bloc par bloc, de haut en bas. \[ \pi_{1}(S, \xi) = \varprojlim \pi_{1}(S_{i}, \xi_{i}) \longrightarrow \mathbf{G} \qquad \mathfrak{g} \] la flèche descend en oblique vers \(\mathbf{G}\) (son G ajouré) ; le \(\mathfrak{g}\) est isolé en haut à droite, avec un arc de cercle au-dessous. À gauche de \(\mathbf{G}\), isolé : « \(\pi_{1}(S, \xi)\) ».

\begin{tikzcd}
 & \bar{K}_{2} \arrow[d, no head] \\
\bar{K}_{1} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & (\bar{K}_{1}, K_{2}) \arrow[d, no head] \\
K_{1} \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & K_{2} \\
k_{1} &
\end{tikzcd}

sous le trait \(K_{1}\) — \(K_{2}\), un mot entre guillemets, illisible ; le \(k_{1}\) du bas est minuscule.

\(\exists\, g \in G\), \(U\) voisinage de \(e\), \((gu)^{n} \in H\) pour tout \(u\) à gauche du treillis. \[ A \to A_{i}, \quad A' \qquad S \qquad A \to B, \quad S \leftarrow T, \quad S_{i} \leftarrow T_{i}, \quad \pi_{1}(S_{i}) \leftarrow \pi_{1}(T) \] \(A'\) est au-dessus de \(A_{i}\), relié à \(A\) par un trait ; à droite, un \(S\) au-dessus d'un trait vertical double. Les trois flèches \(S \leftarrow T\), \(S_{i} \leftarrow T_{i}\), \(\pi_{1}(S_{i}) \leftarrow \pi_{1}(T)\) sont empilées sous \(A \to B\). \[ S \leftarrow S' \qquad \mathbf{G} \longleftrightarrow \mathbf{G}' \qquad \Gamma \subset G \times G' \qquad G \to G' \] de \(\Gamma\) partent deux flèches, vers \(G\) et vers \(G'\) ; un trait oblique épais précède \(\mathbf{G} \leftrightarrow \mathbf{G}'\). À droite, empilés : « \(\mathfrak{h}_{1} \subset \mathfrak{h}_{2}\) », « \(H_{1} \subset\) […] », « \(H_{1} \subset H_{2}\) », avec \(\cap\) et \(G\) sous \(H_{2}\).

\(\ell\)-gpes de type […] […] groupes finis \[ \Updownarrow \] systèmes projectifs d'algèbres de Lie de dim finie sur \(\mathbb{Q}_{\ell}\) la double flèche est tracée comme une flèche montante biffée à côté d'une flèche descendante ; à droite, dans une ellipse, « Fidèle […] ».

Lemme Le th. est vrai pour \(H_{1} \simeq \mathbb{Z}_{\ell}\)

que \(H_{1} \subset\) \(G\) \(H_{2} \Rightarrow \mathfrak{h}_{1} \subset \mathfrak{h}_{2} \overset{?}{\Longrightarrow}\) \(H\) […] engendré du ss-groupe où une puissance de \(H_{1}\) […] […] \(G\) […] \(H_{1}\) […] […] dans \(H_{2}\) \(\Rightarrow\) tout élément de \(H_{1}\) a une puissance dans \(H_{2}\) sous \(\mathfrak{h}_{1} \subset \mathfrak{h}_{2}\), à gauche : « i.e. \(H_{1} \cap H_{2}\) est ouvert dans \(H_{1}\), i.e. d'indice fini » ; un arc relie le « ? » au Lemme au-dessus. Un trait courbe au crayon sépare ce bloc des systèmes projectifs d'algèbres de Lie.

par Lemme : Si \(H \subset G\), et tout élément de \(G\) a une puissance dans \(H\), alors \(H\) d'indice fini dans \(G\). écrit au bas de la page, avec une longue flèche qui revient vers « i.e. d'indice fini ».

Tableau des Hom, \(\underline{\mathrm{Hom}}\), \(\mathrm{Ext}^{1}\), \(\underline{\mathrm{Ext}}^{1}\) pour des types simples de groupes alg. commut.

titre inscrit de sa main en haut à droite d'une chemise de papier orangé (page 159), sans autre contenu ; « Hom » et « Ext\(^{1}\) » soulignés la seconde fois. Il annonce les tableaux des pages 161–164 (lot 9) ; la page 160, qui s'intercale, porte sur les Ext à supports.

160Cas des préschémas loc. noeth.

Si \(F\) est cohérent, les \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{Z}(F, G)\) sont quasi-cohérents (cela se voit par exemple sur la suite spectrale de terme initial \(\underline{H}^{p}_{Z}(\underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{\mathcal{O}_{X}}(F, G))\), utilisant le fait que tout extension de quasi-cohérents est idem …

On a des homom. canoniques (\(Z\) fermé) \[\begin{align*} &1) \quad \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) \longleftarrow \varinjlim \mathrm{Ext}^{i}(X; F/\mathcal{J}^{n+1}F, G) \\ &2) \quad \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{Y}(F, G) \longleftarrow \varinjlim \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(F/\mathcal{J}^{n+1}F, G) \end{align*}\] les deux lignes sont réunies par une accolade à gauche ; dans 1), l'indice \(Y\) est écrit sur un \(Z\) biffé, et dans la parenthèse le \(Z\) est biffé sans lettre qui le remplace. L'idéal est son J cursif.

Th. [Supposons \(F\) cohérent.] L'homom 2) est un isom, si \(X\) […], et 1) est un isom si \(X\) est noethérien. « Supposons \(F\) cohérent. » est ajouté au-dessus de la ligne, rattaché par une accolade.

On déduit […] la deuxième assertion de la première comme d'habitude, par la suite spectrale \[ H^{p}(X, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{Y}(F, G)) \Longrightarrow \mathrm{Ext}^{*}_{Y}(X; F, G). \] L'énoncé est de nature locale, on peut supposer \(X\) affine. Pour \(i = 0\), c'est évident, il suffit de examiner prouver que si \(G\) provient d'un module injectif, on a \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{Y}(F, G) = 0\) pour \(i > 0\). Or on regarde \(\mathrm{Ext}^{p}_{A}(M, H^{q}_{J}(N))\) et on note que si \(N\) la phrase s'interrompt au bas de la page ; la page 161 (lot 9) commence le tableau des Hom.