Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 121–140

Corps de classes et dualité des Courbes Algébriques

titre inscrit de sa main en haut à droite d'une chemise de papier kraft (page 121), « Courbes Algébriques » souligné, sans autre contenu ; les notes sur les courbes suivent aux pages 127 et suivantes.

feuillet de formules éparses, écrit au dos d'une page dactylographiée qui transparaît. En haut à gauche, un encadré à deux colonnes, mises ici face à face. \begin{array}{ll} H^{i}_{Y}(X, M) & \mathrm{Ext}^{i}(X; M, A) \\ H^{i}(X, M) & \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; M, A) \\ H^{i}(U, M) & \mathrm{Ext}^{i}(U; M, A) \end{array} dans la colonne de droite, les indices et le premier argument sont surchargés : la première ligne semble porter un Y biffé sous le X, la seconde un Y repassé en indice. \mathrm{Ext}^{i}_{\mathfrak{m}}(M, A) \overset{?}{=} D(M) 0 \to M' \to M \to M'' \to 0 \ill{}\ (M, A) au-dessous de la suite exacte, une ligne courte dont le début est illisible, suivie de « (M, A) ». Un long trait double oblique sépare cette partie gauche du reste ; au milieu, un grand « A » isolé.

\begin{array}{ccc} \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; M, N) & \cdot & \mathrm{Ext}^{n-i}(X; N, M) \\ \downarrow & & \uparrow \\ \mathrm{Ext}^{i}(X; M, N) & & \mathrm{Ext}^{n-i}_{Y}(X; N, M) \\ \downarrow & & \uparrow \\ \mathrm{Ext}^{i}(U; M, N) & & \mathrm{Ext}^{n-i}(U; N, M) \end{array} un point entre les deux colonnes de la première ligne marque l'accouplement. L'exposant de droite est lu n-i ; au premier terme de gauche, le X est surchargé.

\mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X; F, G) \to \mathrm{Ext}^{i}_{Z}(X; F, G) \to \mathrm{Ext}^{i}_{Z-Y}(X; F, G) à gauche de cette ligne, un petit cercle avec un point au centre. \begin{split} \mathrm{Ext}^{r-i}(X_{/Y} - Y, G_{/Y}, F_{/Y}) &\overset{?}{\longleftarrow} \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X_{/Y}; \hat{G}_{/Y}, \hat{F}_{/Y}) \longleftarrow \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X_{/Z}; G_{/Z}, F_{/Z}) \\ &\overset{?}{\longleftarrow} \mathrm{Ext}^{r-i-1}(X_{/Z} - Y, G_{/Z}, F_{/Z}) \end{split} la ligne est écrite d'un seul tenant ; les indices « /Y », « /Z » sont des lectures de ses barres obliques. Au deuxième terme, les chapeaux sont surchargés et un « \approx ? » est écrit dessous ; au dernier terme, l'exposant est lu r-i-1. X_{/Y} \longrightarrow X_{/Z} \qquad Y \subset Z, \quad Z \supset Y \supset \lbrace a \rbrace sous X_{/Z}, la chaîne d'inclusions est écrite verticalement : Z \supset Y \supset \lbrace a \rbrace ; « Y \subset Z » est à gauche. \ldots \to H^{\cdot}_{a}(X_{/Z}; G_{/Z}, F_{/Z}) le symbole après la flèche est peu lisible ; il porte l'indice a.

au dos d'une page dactylographiée qui transparaît. \mathrm{Ext}^{i}_{Y}(X, F, G) = \varinjlim_{n} \mathrm{Ext}^{i}(F/J^{n}F, G) \simeq \varprojlim_{n} \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(X; G, F/J^{n}F) \Longleftarrow H^{p}_{a}\bigl(X, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{\mathcal{O}_{X}}(G, F_{n})\bigr) \begin{array}{c} \uparrow{\scriptstyle \wr} \\ \varprojlim_{n} \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F}_{n}) \Longleftarrow H^{p}_{a}\bigl(\hat{X}, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{\mathcal{O}_{\hat{X}}}(\hat{G}, \hat{F}_{n})\bigr) \\ \uparrow \\ \varprojlim \mathrm{Ext}^{r-i}_{a}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F}_{n}) \end{array} « dual » est écrit dans la marge gauche en face du premier \simeq. La dernière ligne reprend la précédente sans le \varprojlim indicé ; la flèche qui y monte est simple. \mathrm{Ext}^{i}_{Y-Z}(X, F, G) = \varinjlim_{n} \mathrm{Ext}^{i}(X - Z, F/J^{n}F, G) \simeq \varprojlim \ \ldots \qquad \varprojlim \mathrm{Ext}^{r-i}(\hat{X}, \hat{G}, \hat{F}) la seconde ligne est restée inachevée : un blanc entre le \varprojlim et le dernier terme. H^{i}(X - Z, F Z \subset Y

\mathfrak{X} schéma formel T \subset Z \subset \mathfrak{X} Z partie fermée … ; \mathfrak{X}_{/Z} complété formel le long de Z les deux gloses sont reliées à \mathfrak{X} et à \mathfrak{X}_{/Z} par des flèches. H^{i}_{T}(\mathfrak{X}, F) \to H^{i}_{T}(\mathfrak{X}, F_{/Z}) \overset{?}{\longrightarrow} H^{i}(\mathfrak{X} la ligne s'arrête au bord du texte.

~~Schémas~~

C courbe algébrique [complète sans singularités sur k]

On sait définir la notion de C-groupe [faisceaux de Weil pour préschémas de type fini sur C, par la descente fid. plate …]. Les C-groupes forment une catégorie abélienne avec assez d'injectifs, d'où des \mathrm{Ext} (globaux et locaux), des H^{i}(C, G) \simeq \mathrm{Ext}^{i}(C; \mathbb{Z}_{C}, G), etc. « \simeq \mathrm{Ext}^{i}(C; \mathbb{Z}_{C}, G) » est écrit au-dessus de la ligne, au-dessus de « etc. ».

Sur k, on a les k-groupes [définis comme les C-groupes ? ~~Cela~~ équivalent aux faisceaux de Weil définis les k-ensembles algébriques ?] le mot inséré au-dessus de la ligne, après « Weil », est peu lisible ; le mot biffé devant « k-ensembles » aussi.

On a un foncteur f_{*} f_{*} \colon \mathrm{Gr}_{C} \longrightarrow \mathrm{Gr}_{k} \longrightarrow \mathrm{QuGr}_{k} [image directe par f \colon C \to \mathrm{Spec}\, k] qui exact et transforme injectifs en injectifs, d'où des foncteurs dérivés \underline{H}^{i}_{f}(G) = \struck{\ill{}}\ H^{i}(Rf_{*})(G) [où G complexe … que f_{*} ] On définit de même \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{f}(F, G) = H^{i}\bigl(\underline{E}^{\cdot}_{f}(F, G)\bigr) = H^{i}\bigl(\bigl(R\,\underline{\mathrm{Hom}}_{f}(F, -)\bigr)(G)\bigr) D'où comme d'habitude des suites spectrales \mathrm{Ext}^{*}(C; F, G) \Longleftarrow H^{p}\bigl(k; \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{f}(F, G)\bigr) en particulier H^{*}(C, G) \Longleftarrow H^{p}\bigl(k; \underline{H}^{q}_{f}(G)\bigr) la suite spectrale des \mathrm{Ext} est précédée, à gauche, d'un H^{*}_{f} biffé.

page entière annulée par deux longs traits obliques ; lecture très incertaine de la prose, qui est rapide. passer N= ~~Proposition~~ la note de marge, en haut à gauche, est écrite en biais et reliée par une flèche au début du (i).

(i) Si A = k[t_{1}, \ldots, t_{n}]_{\mathfrak{m}}, , ~~A = A~~ A est régulier, de dimension \dim A = n ~~A[t_{1}, \ldots, t_{n}]~~

Dém. Par , au cas où k(\mathfrak{m}) = k, A- l'idéal maximal engendré .

Cor. B = A[t_{1}, \ldots, t_{n}] = \mathfrak{m}, idéal maximal \dim B_{\mathfrak{m}} = \dim A + n Cor. Si A , \dim A[t_{1}, \ldots, t_{n}] = \dim A + n

Cor. [ de type fini k caractéristique] , \dim B_{\mathfrak{m}} = \dim A + n - \deg \mathrm{tr}\, k(\mathfrak{m})/k(\mathfrak{m}') \nu = \dim \bigl[B_{\mathfrak{m}} \otimes k = k[t_{1}, \ldots, t_{n}]_{\mathfrak{m}}\bigr] le dernier indice \mathfrak{m}' est une lecture ; \nu est accroché par une accolade à « n - \deg \mathrm{tr} ».

~~Cor. A . Alors \dim A[t_{1}, \ldots, t_{n}] = \dim A + n.~~

~~(ii) Si A = k[t_{1}, \ldots, t_{n}]_{\mathfrak{m}}, , A~~ deux lignes barrées horizontalement, reliées par un cadre à une reprise en dessous. \mathrm{prof}\, B_{\mathfrak{m}} = \mathrm{prof}\, A + \nu \qquad \mathrm{coprof}\, B_{\mathfrak{m}} = \mathrm{coprof}\, A devant la première égalité, un « A » et un mot biffé (« Cor. ») ; les lectures « prof », « coprof » sont incertaines.

Cor. X = Y[t_{1}, \ldots, t_{n}], Y loc. noeth. Soit x \in X, y \in Y. Soit P propriétés … Alors X P sur Y y. propriétés).

un grand crochet et deux traits obliques barrent le haut de la page, jusqu'à la ligne de l'\mathrm{Ext}^{-2} ; lecture incertaine de la prose. Soit élément \xi \in \mathrm{Ext}^{i}(C; G, S\gamma), i.e. un homom. ~~de degré~~ G \to S\gamma, d'où un homom. Rf_{*}G \to Rf_{*}S\gamma, donc il reste à définir un homom. degré Rf_{*}S\gamma = Rf_{*}\bigl(\gamma \otimes \mu_{n}(1)\bigr) \longrightarrow \gamma sous « \otimes \mu_{n} », un petit « R^{\cdot} » avec une marque en exposant, peu lisible. i.e. un élément de ~~\mathrm{Ext}^{-2}\bigl(k, Rf_{*}(\gamma \otimes \mu_{n}), \gamma\bigr)~~ … , homom. évident \underline{E}_{f}(G, S\gamma) \longrightarrow \underline{E}_{f}(Rf_{*}G, Rf_{*}S\gamma) et on vient de définir élément \gamma \in H^{0}(Rf_{*}S\gamma, \gamma) le symbole devant la parenthèse est biffé et remplacé au-dessus par un H d'exposant 0, souligné par une vague. d'où définissons un homom. \underline{E}_{f}(Rf_{*}G, Rf_{*}S\gamma) \longrightarrow \underline{E}_{f}(Rf_{*}G, \gamma) composant, on trouve l'homom. voulu \underline{E}_{f}(G, S\gamma) \longrightarrow \underline{E}_{f}(Rf_{*}G, \gamma) Ceci dit, le th. de dualité s'énonce ~~faisceaux algébriques~~ faisceaux de Weil

Th. (i) Si G fini [ou plus généralement H^{i}(G) \neq 0 ], ~~alors~~ plus généralement affine, et composante abélienne, alors \underline{E}_{f}(G, S\gamma) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{E}(Rf_{*}G, \gamma) (ii) Si G est de type fini sans composante abélienne, alors \underline{E}_{f}(G, S\gamma) \longrightarrow \underline{E}(Rf_{*}G, \gamma) \ \ldots mod \Theta [i.e. les \underline{E} dans \mathbb{Q}/\mathbb{Z} …]. précisions « de type fini », en (ii), est inscrit dans une ellipse au-dessus de « sans composante » ; un trait vertical borde la fin du (i) ; le mot de marge, écrit en biais à gauche du (ii), n'est relié à rien.

feuillet vide, retourné ; en haut, à la plume, une en-tête annulée par trois traits obliques. \underline{\mathrm{V}}

~~Schémas de Hilbert, de Picard~~

~~(sans théorie des schémas abéliens )~~ « Schémas de Hilbert, de Picard » est souligné deux fois.

On a une suite exacte de C-groupes 0 \to \mu_{n} \to \mathbb{G}_{m} \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{G}_{m} \to 0 d'où H^{1}(C, \mathbb{G}_{m}) \xrightarrow{\ n\ } H^{1}(C, \mathbb{G}_{m}) \to H^{2}(C, \mu_{n}) \to H^{2}(C, \mathbb{G}_{m}) [N.B. On a \underline{H}^{0}_{f}(\mathbb{G}_{m}) \simeq \mathbb{G}_{m}, \underline{H}^{i}_{f}(\mathbb{G}_{m}) = 0 pour i \geqslant 2, d'où une suite exacte …] 0 \to H^{1}(k, \mathbb{G}_{m}) \to H^{1}(C, \mathbb{G}_{m}) \to H^{0}\bigl(k, \underline{H}^{1}_{f}(\mathbb{G}_{m})\bigr) \to H^{2}(k, \mathbb{G}_{m}) sous H^{1}(k, \mathbb{G}_{m}) : « = 0 », avec la glose « th. 90 » ; sous H^{0}(k, \underline{H}^{1}_{f}(\mathbb{G}_{m})) : « = \mathrm{Pic}(C/k) » ; sous H^{2}(k, \mathbb{G}_{m}) : « = \mathrm{Br}(k) ».

Ainsi, H^{1}(C, \mathbb{G}_{m}) \subset \mathrm{Pic}\, C

\gamma groupe fini ~~algébrique~~ sur k, définissons un groupe ~~\gamma \otimes \mu_{n} k,~~ = D(\Delta\gamma) de type multiplicatif [isomorphe à \gamma \otimes \mu_{n} si n\gamma = 0]. Posons S\gamma = (D\Delta\gamma)(1) la torsion finale est lue (1), comme en batch 5 (page 99) ; le chiffre pourrait être un 2. On va définir un accouplement

a)\mathrm{Ext}^{i}(C; G, S\gamma) \longrightarrow \mathrm{Ext}^{i\ldots}(k, Rf_{*}G, \gamma)

l'exposant du second \mathrm{Ext} est surchargé : un i suivi d'un trait épais illisible (peut-être i-2). associé à un homom.

b)(*) \underline{E}_{f}(G, S\gamma) \longrightarrow \underline{E}_{k}(Rf_{*}G, \gamma)

l'astérisque est entouré. [évidemment fonctoriel en G, \gamma …], on définit aussi un homom. \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{f}(G, S\gamma) \longrightarrow \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(Rf_{*}G, \gamma)

« c) » reste sans suite.

la page est un tableau à deux colonnes, séparées par un trait vertical, et quatre étages séparés par des traits horizontaux, avec une troisième colonne étroite à droite pour les deux premiers étages ; on le donne étage par étage.

Premier étage. À gauche : \mu_{n}, (n,p) = 1 ; puis \mu_{n}, {}_{n}J, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. À droite : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, (n,p) = 1 ; puis \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \mu_{n} \otimes \check{\mu}_{n}, {}_{n}J \otimes \check{\mu}_{n}, \check{\mu}_{n}. Dans la colonne étroite : « autodualité ens. des pts d'ordre n de la jacobienne », suivi d'un mot barré d'un trait épais. Deuxième étage. À gauche : \mu_{p} ; puis \mu_{p}, {}_{p}J, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. À droite : \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} ; puis \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, {}_{(1-F)}H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C})^{F}, H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C})_{(1-F)} = 0. Dans la colonne étroite : \Delta({}_{p}J) \simeq H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C})^{F} \quad \bigl(H^{1}(C, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\bigr) « i.e. » \pi_{1}(C) \otimes \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \simeq {}_{p}J [autodualité de la jacobienne V_{p} ?]. Troisième étage. À gauche : \alpha_{p} ; puis \alpha_{p}, {}_{F}H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C}), H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C})_{F} ; et [provient des complexes relatifs A par Frobenius ]. À droite : \alpha_{p} ; puis 0 (?). Dans un cadre à droite : « Dualité de H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C})_{F} et {}_{F}H^{1}(C, \underline{\mathcal{O}}_{C}) provient de l'autodualité d'une jacobienne, A {}_{p}A) : , {}_{p}A propriétés dualité dualité provenant d'une dualité correspondantes algèbres ». Quatrième étage. À gauche : \mathbb{G}_{m} ; puis \mathbb{G}_{m}, \underline{\mathrm{Pic}}^{\cdot}_{C/k}, 0. À droite : \mathbb{Z} ; puis \mathbb{Z},\ 0,\ H^{2}(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \mathrm{Hom}\bigl(T.(J), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr),\ H^{3}(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \varinjlim_{(n,p)=1} \check{\mu}_{n},\ 0

provient des complexes identiques ; J par note écrite verticalement dans la marge gauche, en face des deux premiers étages, reliée par une accolade à la colonne de gauche.

Pour G = \mathbb{G}_{m}, le th. de dualité s'écrit H^{*}(C, \gamma) \simeq \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}\bigl(Rf_{*}(\mathbb{G}_{m})(-1), \gamma\bigr) \Longleftarrow \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{p+q}\bigl(R^{-q}f_{*}(\mathbb{G}_{m}), \gamma\bigr) sous Rf_{*}(\mathbb{G}_{m}), une accolade et la glose « complexe idéal ] ». L'exposant de droite est lu p+q. et on se ramène au cas géométrique, \gamma = \mathbb{Q}/\mathbb{Z} : H^{*}(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}\bigl(Rf_{*}(\mathbb{G}_{m})(1), \gamma\bigr) \Longleftarrow \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{p-q}\bigl(R^{-q}f_{*}(\mathbb{G}_{m}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr). la torsion est ici (1), là-haut (-1) ; l'exposant de droite est lu p-q sans certitude. et on a évidemment : H^{0}(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \quad H^{1}(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Ext}^{1}(J, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \quad H^{2}(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \ill{} = \check{\mu} au-dessus de \mathrm{Ext}^{1}(J, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), reliée par « = » : « \mathrm{Ext}^{1}(J^{0}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) » ; au-dessous, sous une flèche : « autodualité de la jacobienne ».

feuillet presque vide ; en haut, une en-tête annulée par cinq traits obliques. \underline{\mathrm{V}}

~~Fidèle platitude~~

~~Descente fid. plate~~

~~Applications~~

Ci-dessus, on a négligé un coefficient affirmations provenant de la

Regardons le cas où F faisceau de Weil concentré en un point x \in C. Alors [on ] T(G) \simeq G_{x} « considéré comme groupe algébrique sur k » le G de gauche est surchargé ; au-dessus de « considéré », un petit signe d'insertion sans mot. On doit prouver \mathrm{Ext}^{i}(C; G, \gamma \otimes \mu_{n}) \simeq \mathrm{Ext}^{i-2}(k; G_{x}, \gamma) Je ne suis pas encore sûr que le \mathrm{Ext}^{i} écrit est aussi le \mathrm{Ext}^{i} ~~local~~ formé complété de \mathcal{O}_{C,x} … [si G = F_{Y} (où Y = \lbrace x \rbrace)], Y partie finie de C note de marge entourée, en face des deux lignes précédentes. Pour le cas général des \mathrm{Ext}, où i \colon U \to C l'immersion (U = C - Y) ~~\mathrm{Ext}^{*}(C; G, \gamma \otimes \mu_{n}) \Longleftarrow H^{p}\bigl(C, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}(G, \gamma \otimes \mu_{n})\bigr)~~ , C(F), [i.e. : prouver …] \mathrm{Ext}^{i}(U; F, S\gamma) \simeq \mathrm{Ext}^{i}_{\ill{}}\bigl(k; Rf_{U*}(i_{!}F), \gamma\bigr) au-dessus de i_{!}F : « F_{U} », relié par un arc ; l'indice de f est surchargé. où f_{U} \colon U \to \mathrm{Spec}(k), prouver … ~~(F faisceau plat U)~~ F . à prouver que \boxed{H^{i}(U; \hat{F}) \simeq \mathrm{Ext}^{i-2}\bigl(Rf_{*}(i_{!}F_{U}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)} l'exposant de H est surchargé ; l'argument de Rf_{*} aussi, lu i_{!}F_{U}. ~~N.B. distinguer~~ G On a défini suite exacte ( ~~\ill{}~~ F_{Y} \to \ldots) : \ldots \longleftarrow H^{i}(U; \hat{F}) \longleftarrow \mathrm{Ext}^{i-2}\bigl(Rf_{*}(F_{!}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \longleftarrow \mathrm{Ext}^{i-2}(Rf_{*}F_{Y}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \longleftarrow au-dessus du premier terme, un « \mathrm{Ext} » biffé. On le vérifie un calcul facile ~~Correctible~~ (en utilisant résultats de dualité vérifiés …) dans le cas F = \mu_{n}, d'où \hat{F} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [d'un ], ( premier à p … ), récurrence, .

au dos d'une page dactylographiée qui transparaît. F = i_{*}(G) \left\lbrace \begin{aligned} &H^{0}_{x}(F) = H^{1}_{x}(F) = 0 \\ &H^{2}_{x}(F) = H^{1}(K, F) \end{aligned} \right. \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}\bigl(H^{1}(K, F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \simeq \mathrm{Ext}^{i}\bigl(S, i_{*}(G), \ill{} \otimes \mathbb{G}_{m}\bigr) sous le membre de droite, un « \mathrm{Ext}^{i} » isolé. Le \mathbb{Q}/\mathbb{Z} de gauche est surchargé. H^{i}_{x}(F) \to H^{i}(X, F) \to H^{i}(U, F) \longleftarrow H^{3}(U, \hat{F}) au-dessus de H^{3}(U, \hat{F}), un \mathrm{Ext} biffé. \underline{H}_{x}(F) \to \underline{H}_{X}(F) \to \underline{H}_{U}(F) un arc revient de \underline{H}_{U}(F) vers \underline{H}_{x}(F) ; au-dessus de la ligne, un « F ». À droite : « triangle exact de complexes de k-groupes ». Prenons les duaux dans \mathbb{Q}/\mathbb{Z} E(X; F, \mu_{\infty}) \longleftarrow E_{x}(X; F, \mu_{\infty}) \longleftarrow E(U; F, \mu_{\infty}) un arc revient du premier terme vers le dernier. \left\lbrace \begin{aligned} E(U; F, \mu_{\infty})^{n} &\simeq E\bigl(k, \underline{H}_{U}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-1} \\ E(X; F, \mu_{\infty})^{n} &\simeq E\bigl(k, \underline{H}_{X}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-2} \\ E_{x}(X; F, \mu_{\infty})^{n} &\simeq E\bigl(k, \underline{H}_{x}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-2} \end{aligned} \right. dans un grand cadre, avec un grand « ? » à gauche. Entre les lignes, des flèches verticales marquées \partial et i, à gauche entre les E et à droite entre les \underline{H}. \begin{array}{ll} E_{U}(X; F, \mu_{\infty})^{i} & E\bigl(k, \underline{H}_{U}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{i-1} \\ E_{X}(X; F, \mu_{\infty}) & E\bigl(k, \underline{H}_{X}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \\ E_{x}(X; F, \mu_{\infty})^{i} & E\bigl(k, \underline{H}_{x}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{i-2} \end{array} deuxième tableau dans le même cadre, sans signe entre les colonnes. Colonne de droite de la page, séparée par un trait vertical : E(U; F, \mu_{\infty})^{n} \simeq E(X, F_{U}, \mu_{\infty})^{n} \overset{\wr}{\simeq} E\bigl(k, \underline{H}_{X}(F_{U}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-2} \overset{?}{\simeq} E\bigl(k, \underline{H}_{U}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-1} \left\lbrace \begin{aligned} &\underline{H}^{m}_{X}(F_{U})^{n} \simeq \underline{H}^{m}_{x}(F)^{n} \\ &\boxed{\underline{H}^{m}_{U}(F) \simeq \underline{H}^{m+1}_{x}(F_{U})} \end{aligned} \right. la seconde ligne est encadrée, avec un « ? » dans le cadre ; les exposants n de la première ligne sont peu sûrs. E_{x}(X; F, \mu_{\infty})^{n} \simeq E(X, F_{x}, \mu_{\infty})^{n} \overset{\wr}{\simeq} E\bigl(k, \underline{H}_{X}(F_{x}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-2} \overset{?}{\simeq} E\bigl(k, \underline{H}_{x}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-2} dans la colonne de droite, les isomorphismes sont écrits verticalement, « \wr » puis « \wr ? », les termes empilés.

feuillet dactylographié paginé « - 37 - », « n° 338 », non recomposé : la fin d'un énoncé sur un anneau B et un homomorphisme h \colon A \to B (conditions (iv) : B plat à droite et h^{-1}(B\mathfrak{a}) = \mathfrak{a} pour tout idéal à gauche \mathfrak{a} ; (v) : B plat et tout idéal à gauche maximal \mathfrak{m} de A est de la forme h^{-1}(\mathfrak{m}')), la démonstration (i) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (iv) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (i) de la caractérisation de la fidèle platitude, puis l'énoncé de la Proposition 9 commencé. Seule intervention à la main, au crayon dans la marge gauche, en biais, en face de (v) : « \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A) surjectif », avec un trait vertical.

au dos d'une page dactylographiée qui transparaît. Dans un grand cadre, deux colonnes de termes reliés par des flèches verticales, la gauche descendante, la droite montante sauf sa première flèche, qui descend ; on les redessine en grille.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] \underline{H}^{i-1}_{S/k}(G) \arrow[d, no head] & \underline{H}^{2-(i-1)}_{Y/k}(S, \hat{G}) \arrow[d] \\ \underline{H}^{i-1}_{U/k}(G) \arrow[d] & \underline{H}^{1-(i-1)}_{U/k}(\hat{G}) \\ \underline{H}^{i}_{Y/k}(S, G) \arrow[d] & \underline{H}^{2-i}_{S/k}(\hat{G}) \arrow[u, Rightarrow] \\ \underline{H}^{i}_{S/k}(G) \arrow[d] & \underline{H}^{2-i}_{Y/k}(\hat{G}) \arrow[u] \\ \underline{H}^{i}_{U/k}(G) & \underline{H}^{1-i}_{U/k}(\hat{G}) \arrow[u] \end{tikzcd}

la première flèche de gauche est un simple trait. Au-dessus de l'exposant 2-(i-1) est écrit « 3-i », au-dessus de 1-(i-1) « 2-i » ; aux deux termes du milieu de la colonne de droite, un « \mathrm{Ext} » est biffé devant le H. La flèche montante entre eux est grasse. En haut à droite, hors du cadre : « \underline{H}^{i}_{S/k}(F) » et un « H » isolé.

Sous le cadre : ~~\underline{H}^{i}_{U/k}(G)~~ \overset{?}{\simeq}\ \underline{H}^{i+1}_{S/k}(\tilde{G}) le second terme est surchargé ; son exposant est lu i+1 sans certitude. Plus bas, un « H » isolé.

au dos d'une page dactylographiée qui transparaît. ~~H^{i}(C,~~ \underline{H}^{i}_{U/k}(F) \qquad \mathrm{Ext}^{i} \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{U/k}(G, \tilde{\gamma}) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}\bigl(\mathcal{N}^{\cdot}(G), \gamma\bigr) devant (G), dans l'argument de droite, une lettre biffée. \begin{array}{cc} \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S/k}(G, \tilde{\gamma}) & \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}\bigl(\mathcal{N}^{\cdot}(G), \gamma\bigr) \\ \downarrow & \uparrow \\ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{U/k}(G, \tilde{\gamma}) & \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}\bigl(\mathcal{N}^{\cdot}(G_{U}), \gamma\bigr) \end{array} l'indice du premier terme est surchargé (U récrit en S ?). 0 \to G_{U} \to G \to G^{Y} \to 0 \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{U/k}(G, \tilde{\gamma}) = \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{S/k}(G_{U}, \tilde{\gamma}) = \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{k}\bigl(\mathcal{N}^{\cdot}(i_{!}(G)), \gamma\bigr) sous G_{U}, « = i_{!}(G_{U}) » écrit verticalement ; sous le dernier terme, une flèche vers la gauche. \underline{H}^{*}_{U/k}(\hat{G}) écrit sous le premier terme, relié par « = » vertical. \boxed{\underline{H}^{*}_{Y/k}\bigl(i_{!}(G)\bigr) \overset{?}{\simeq} \underline{H}^{*}_{U/k}(G)} \quad ??? \underline{H}^{*}_{Y/k}\bigl(i_{!}(G)\bigr) \simeq \ill{} le dernier signe ressemble à un \vdash.