Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 101–120

au crayon. La numérotation 9)–14) continue le plan de travail 1)–8) de la page 99 (batch 5).

Application 1 Le isom. H^{i}(K, \gamma_{K}) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{i}_{K\text{-}\mathrm{gr}}(J_{K/k}, \gamma)

~~et les corps de classes de Serre~~

(Idem aux corps de classes de Serre) à la fin de la ligne, l'indice de J et le second argument sont coupés par le bord du feuillet ; l'indice du \mathrm{Ext} se lit « K-gr » et non « k-gr », lecture incertaine.

10)Application 2 Autodualité des H W_{n}(K)/ ? le chiffre 10 est repassé ; en marge gauche, un « ? » et un double trait oblique. La fin de la ligne, serrée contre le bord, porte W_{n}(K) et, en dessous, peut-être « Witt » ; lecture très incertaine. 11)Application 3 Cohomologie des V.A. 12)L'isom de Lang ~~pour un~~ (dans un corps k fini) 13)Application 4 Dualité de Tate. 14)

Compléments aux égales caractéristiques

Théorèmes de Rosenlicht locaux la première ligne du point 14) est barrée d'un trait fin ; « Théorèmes de Rosenlicht locaux », souligné, est écrit dessous, sans doute en remplacement.

? H^{i}(K, \gamma_{K}) \simeq \mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(J_{K/k}, \gamma) pour i > 0, tt k-groupe \gamma, grâce à canonique de J(K)/J(V)'.

~~\mu_{p} \otimes \mu_{p} \mathrm{Hom}(\mu_{p} \otimes \mu_{p}, \mathbb{G}_{m}) = \mathrm{Hom}(\mu_{p}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})~~ deux lignes au crayon en bas à gauche, barrées d'un trait ondulé ; la lecture du second membre est incertaine.

Lang : géométrisation du corps de classes global par Rosenlicht + Lang

Serre : géométrisation des corps de classes local

Tate : Dualité de la cohomologie des V.A. sur les corps p-adiques.

les trois lignes sont réunies à gauche par un grand crochet repassé.

au crayon. En haut à gauche, sous k \leftarrow V \to K, un mot entouré suivi de « ? », barré de plusieurs traits (). k \longleftarrow V \longrightarrow K

\begin{tikzcd} K\,\mathrm{Gr}_{K} \arrow[d, "T"'] \\ K\,\mathrm{QuGr}_{k} \end{tikzcd}

à côté de la flèche T, un S très noirci, sans doute biffé. En face de K\,\mathrm{Gr}_{K} : « complexes finis de K-groupes » et, à droite, « [Coh. de K ne se calcule pas galoisiennement] » ; en face de K\,\mathrm{QuGr}_{k} : « complexes finis de k-quasi-groupes » et « [Coh. de k se calcule galoisiennement, on doit pouvoir remplacer k par une clôture parfaite…] ». T(G) = T^{\circ}\mathcal{C}(G) \Gamma^{*}_{K} G \simeq \Gamma^{\circ}_{K}\mathcal{C}(G) \simeq \Gamma^{\circ}_{k} T^{\circ}\mathcal{C}(G) \simeq \Gamma^{*}_{k} T(G) la lettre cursive \mathcal{C} est celle de la page 105 (« groupes top. abéliens loc. compacts ») ; dans le premier terme, l'indice de \Gamma est surchargé.

~~Question~~

(i)T^{\circ} transforme injectifs en \Gamma^{\circ}_{k}-acycliques ?? (ii)T^{\circ} de dim coh. \leqslant 2 [et même \leqslant 1 si on ~~excepte~~ exclut les composantes du type \mathbb{Z}] (iii)

T^{*} commute à « l'extension du corps résiduel k ».

i.e. est « de nature géométrique »,

\underline{\underline{H}}^{*}(K, G^{\cdot}) \Longleftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{\underline{T}}^{q}(G^{\cdot})\bigr) \qquad \underline{\underline{H}}^{*}(K, G^{\cdot}) \simeq \underline{\underline{H}}^{*}\bigl(k, T(G)\bigr) le \simeq est écrit verticalement sous \underline{\underline{H}}^{*}(K, G^{\cdot}). \Bigl[\ \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{\cdot}_{K\text{-}\mathrm{gr}}(F, G) \Longleftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{K/k}(F, G)\bigr) \Longleftarrow H^{p}\bigl(K, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{K}(F, G)\bigr) les deux \mathrm{Ext}^{q} de droite sont soulignés d'un trait droit et d'un trait ondulé ; on ne rend que le premier.

à l'encre bleu-noir, puis au crayon. Le diagramme est redessiné ; entre les colonnes, deux annotations obliques : « Théorie de dualité géom. » dans le carré du haut, « Frobenius-Lang » dans celui du bas, chacune accompagnée d'un « \approx » tourné vers la colonne de droite.

\begin{tikzcd}[column sep=large] K^{-}_{\mathrm{fini}}(K)^{\circ} \arrow[r, "D"] \arrow[d, "T"'] & K^{+}_{\mathrm{fini}}(K) \arrow[d, "T(-1)"] \\ K^{-}(k)'^{\circ} \arrow[r, "\Delta"] \arrow[d, "S"'] & K^{+}(k)' \arrow[d, "S(-1)"] \\ K^{-}\mathcal{C}^{\circ} \arrow[r, "\Theta"] & K^{+}\mathcal{C} \end{tikzcd}

D dualité de Cartier

\Delta dualité de Serre

\Theta dualité de Pontrjagin

\mathcal{C} groupes top. abéliens loc. compacts

(Le ' indique tot. discontinus qui n'ont pas de composante \mathbb{Z})

k corps fini

T foncteurs Greenberg--

S foncteurs \Gamma_{k}

« fini » est souligné trois fois. D, \Delta, \Theta sont réunis par une accolade, T et S par une autre ; le second nom de la légende de T, sur deux lignes, n'est pas lu.

Comment obtient-on le carré du bas ?

\mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(G, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Ext}^{i-1}_{\mathrm{gr.top.}}(SG, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \mathrm{Ext}^{i}\bigl(SG, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(-1)\bigr) le dernier membre est écrit sous l'avant-dernier, relié par un « = » vertical. G \xrightarrow{\ \deg i\ } \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \qquad SG \xrightarrow{\ \deg i\ } S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \deg 0\ } \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(-1) \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{1}_{\mathrm{gr.top}}\bigl(S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})(-1), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(-1)\bigr) = \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}\bigl(S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) = \mathrm{Hom}\bigl(H^{0}S(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \quad ! l'exposant du premier \mathrm{Ext} est un petit signe peu lisible, lu 1 sans certitude ; le « (-1) » du premier argument est surchargé. Au bas de la page, isolé derrière un trait vertical : « Th. ».

au crayon. \boxed{H^{i}(A) \times H^{2-i}(B) \longrightarrow H^{2}(K, \mathbb{G}_{m})} H^{1}({}_{n}A) \longrightarrow \qquad\qquad \underline{\underline{\varinjlim}}\ H^{1}(K, A) le « 1 » de H^{1}({}_{n}A) est écrit sur un autre chiffre ; le \varinjlim souligné deux fois est placé au-dessus de H^{1}(K, A). \mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(G, H) \simeq \mathrm{Ext}^{i-2}(\mathrm{R}\Gamma G, H) = \mathrm{Hom}(H^{2-i}\ldots le premier \mathrm{Ext} est précédé d'un signe biffé ; la ligne s'arrête sur « (H^{2-i}(\, ». Dessous, isolé : « H^{i}( ». ~~H^{i}~~ \mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(G, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(H^{1-i}(K, G), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) \mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(H^{1-i}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) dans la seconde ligne, \mathbb{Q}/\mathbb{Z} est écrit par-dessus \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, aux deux places ; l'exposant 1-i y est surchargé.

~~1) G gpe fini~~

1°) G gpe fini ordinaire \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}

~~H^{2-i} : H^{i}(K, G) \times H^{2-i}(K, \hat{G})~~ H^{i}(K, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \times H^{1-i}(K, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \longrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \qquad \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} l'exposant 1-i de l'accouplement est une lecture incertaine (peut-être 2-i). Les deux \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} de la dernière ligne sont écrits sous les deux facteurs de l'accouplement.

page écrite tête-bêche par rapport au numéro des archivistes, lue retournée ; au crayon, écriture rapide, très raturée. Tout le premier paragraphe est bordé à gauche d'un trait vertical ; un long trait oblique traverse la page de haut en bas ; une large tache d'encre couvre le milieu de la page. Les formules passent, la prose souvent pas.

Corollaire .9.10. Soit f \colon X \to Y un morphisme de type fini, propre avec Y loc. noeth., y \in Y, suppose f univ. ouvert en les pts de X_{y}, et X_{y} séparable. ~~fonction~~ Pour tout z \in Z, soit \pi(z) = composantes de X_{z}. Alors la fonction z \mapsto \pi(z) est continue au voisinage de y. [ continue en y]. la marque en haut à droite, au-dessus de « morphisme », est un mot biffé ; « \pi(z) = » est suivi d'une fin de ligne raturée où l'on devine \pi_{0}(\ldots) ; le mot après la seconde « fonction » est dans un cadre raturé.

~~dit \tfrac{1}{2} continue supérieurement « continuité ». Il supérieurement ( cont.)~~ passage encadré à gauche et barré de plusieurs traits obliques et d'une longue rature horizontale.

y' de y, on a \pi(y) \geqq \pi(y'). Le procédé habituel nous ramène alors au cas où Y est le spectre d'un anneau de valuation discrète, et où les composantes connexes de X_{y} (l'indice est une lecture incertaine) géométriquement . supposer X connexe, X_{1} connexe, ~~fini~~ donc ~~\pi_{0}(X_{1})~~ \pi(X_{1}) = 1, comme X_{0} \neq \emptyset, fini à droite, deux croquis : un secteur coupé de deux arcs, et une figure portant « X_{1} \neq \emptyset », « X = \emptyset » et une accolade marquée \alpha_{p} (?). Au bas, raturé et entrelacé de traits, un reste de suite « \ldots \to W \to W/N \to \ldots », et en marge droite, écrit en long, « cf. V.A. Lang ».

au crayon, sur un feuillet dont le verso est le dactylogramme de la page 109, visible par transparence.

2°) G = \mu_{p} \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \lbrace 0,\ 0,\ 0,\ 0 les valeurs sont écrites en colonne, à droite d'une accolade ; le second argument est écrit sur une autre lettre.

~~H^{0}(k, \mu)~~ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \mu_{p}

~~H^{1}~~ K^{*}/K^{*p} H^{1}(k, \mu_{p}) \qquad K^{*}/K^{*p} \boxed{H^{i}(k, \mathbb{G}_{m}) = \qquad k^{*} \xrightarrow{\ p\ } k^{*}} le cadre, arrondi, enferme ces deux termes ; le second membre de l'égalité n'est pas écrit.

3°) G = \alpha_{p} \times p le « \times p » est écrit sous \alpha_{p}.

3°) G = \mathbb{G}_{m} \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(\mathbb{G}_{m}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \lbrace 0,\ (\text{racines de l'unité})^{\vee},\ 0,\ 0 \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{m}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = H^{i-1}(k, \text{racines de l'unité}) \quad \lbrace \text{racines de l'unité},\ 0,\ 0,\ 0 les valeurs sont écrites en colonne à droite d'accolades ; « racines de l'unité » de la seconde colonne est plié sur trois lignes. Le « ; » entre les deux arguments est de lui. H^{i}(k, \mathbb{G}_{m}) = \lbrace k^{*},\ 0,\ 0,\ 0 ~~k^{*}~~ \mathrm{Ext}^{1}(\mathbb{G}_{m}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} dans cette ligne le second argument est surchargé (« \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} » sur un autre terme, peut-être {}_{n}\mu). \mathrm{Ext}^{1}(\mathbb{G}_{m}, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq {}_{n}\check{\mu} \qquad \mathrm{Ext}^{1}(\mathbb{G}_{m}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \varinjlim_{n}\ {}_{n}\check{\mu} \mathrm{Hom}\bigl(T_{\cdot}(\mathbb{G}_{m}), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \boxed{\mathrm{Ext}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{m}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \quad \ldots\ k^{*}} \qquad \simeq \mathrm{Hom}\bigl(\mathbb{G}_{m}(k), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) dans le cadre, entre \mathrm{Ext}^{1} et k^{*}, deux mots soulignés, illisibles ( ). le cadre, en bas à droite, est ouvert à droite ; le « \simeq \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_{m}(k), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) » est écrit dessous.

feuillet dactylographié, annoté à l'encre et au crayon, et barré de trois longs traits verticaux au crayon. Le texte tapé est donné tel quel ; ses corrections à la main sont rendues comme biffures et ajouts (au crayon ou à l'encre bleue), les mots barrés à la machine (« xxx ») ne sont pas relevés.

IV 7 Oubli au nº 7.6.

Proposition 6.7. Soient f \colon X \to Y un morphisme ~~de présentation finie~~ et propre, avec Y loc. noeth., F un Module ~~de présentation finie~~ cohérent sur X de support X. Pour tout y \in Y, soit \chi(y) la somme des multiplicités géométriques totales sur k(y) de F_{y} en les points maximaux de \operatorname{supp} F_{y}. Alors la fonction y \mapsto \chi(y) sur Y est semi-continue supérieurement en y. On suppose f univ. ouvert en les pts maximaux de X_{y}, et F_{y} sans cycles premiers ass. immergés la note marginale, à l'encre, est reliée par un trait au point final de l'énoncé ; « propre » tapé est gardé, le « et » qui le précédait biffé ; le \chi est une lettre tapée surchargée à la main.

Le procédé bréveté nous ramène au cas où Y est noethérien. On sait (réf) que la fonction \chi est constructible, il reste donc (réf) à prouver que y \in \overline{y'} implique \chi(y) \geqslant \chi(y'). Le procédé habituel nous permet alors de nous ramener au cas où Y est le spectre d'un anneau de valuation discrète, dont y (y') est le point fermé (générique), et à prouver dans ce cas l'inégalité correspondante sur les longueurs :

Lemme 6.8. Soit f \colon X \to Y un morphisme propre, avec Y spectre d'un anneau de valuation discrète, F un Module cohérent sur X de support X, F_{0} et F_{1} les Modules induits sur la fibre spéciale resp. la fibre générique, x_{i} (x'_{j}) les points maximaux de \operatorname{supp} F_{0} (\operatorname{supp} F_{1}). Alors on a \textstyle\sum_{i} \operatorname{long} F_{0\,x_{i}} \geqslant \sum_{j} \operatorname{long} F_{1\,x'_{j}} Si l'inégalité est vérifiée, alors F est plat sur Y aux points maximaux de \operatorname{supp} F_{0}~~, donc toute composante de supp F domine Y~~. au-dessus de « les points maximaux de supp F_{0} », une insertion à l'encre, barrée avec la ligne : « Supposons que tt comp. irr. de X domine Y, et F_{0} (S_{1}) ». Le signe tapé de l'inégalité et le premier \sum sont en partie repassés à la main ; le texte tapé porte « \sum » devant le second membre seulement.

Soit t une uniformisante pour V = \underline{O}_{Y,y'}, soit N le sous-Module de F réunion des annulateurs des t^{n}, donc on a une suite exacte 0 \to N \to F \to G \to 0 d'où une suite exacte (grâce au fait que t est G-régulier) : 0 \to N/tN \to F/tF \to G/tG \to 0 Cela montre que les deux sommes relatives à F qu'il s'agit de comparer, s'obtiennent en ajoutant les sommes analogues pour N, G. Comme N_{1} = 0, pour prouver notre inégalité, il suffit donc de prouver l'inégalité analogue pour G ; et on ne peut avoir égalité que si N/tN = N_{0} est nul aux points maximaux de \operatorname{supp} …

N.B. J'ignore si les conditions suffisent pour dire F plat/Y aux pts maximaux de X_{y}. Question liée : A anneau local, noeth., M module de type fini sur A, t \in \mathfrak{m}_{A} non , M = {}\,A, A/t_{0} = {}, m \in \operatorname{Ass} M/tM ! le N.B., à l'encre, occupe le bas de la page, en écriture très rapide ; seules les formules et quelques mots sont lus.

au crayon ; feuille partagée par un trait vertical et deux traits horizontaux en six cases. Dans chaque case, un groupe, une flèche ondulée vers une flèche de gerbes, et, dans une ellipse, deux valeurs repérées par les degrés 0 et 1 (au-dessus, entre crochets). \mathrm{Grbg} rend son abréviation, lue comme « gerbe(s) ».

\mu_{n} (n, p) = 1 \leadsto [\,\mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{m}) \xrightarrow{\ n\ } \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{m})\,] ; [\,0 \quad 1\,] : \mu_{n}(k), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}. \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} (n, p) = 1 \leadsto ; 0, 1 : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \check{\mu}_{n}. \mu_{p} \leadsto \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{m}) \xrightarrow{\ p\ } \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{m}) ; [\,0 \quad 1\,] : 0, K^{*}/K^{*p}. \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \leadsto \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{a}) \xrightarrow{\ \wp\ } \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{a}) ; \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, H^{1}(K, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \simeq K^{+}/\wp K^{+}. \alpha_{p} \leadsto \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{a}) \xrightarrow{\ \mathrm{Frob}\ } \mathrm{Grbg}(\mathbb{G}_{a}) ; 0, K^{+}/\wp K^{+p} (\wp incertain). \alpha_{p} \leadsto ; 0, K^{+}/\wp K^{+p} (\wp incertain). \mathbb{G}_{m} ?? : K^{*}, 0. \mathbb{Z} : \mathbb{Z}, 0 ?? H^{1}(K, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})

case \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : la flèche de gerbes est raturée (on devine \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}). Case \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} : sous H^{1}(K, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), la glose « cf. corps de classes local » ; plus bas, hors de l'ellipse, « \mathrm{Ext}^{0}(K^{*}/K^{*p}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) » et « \mathrm{Ext}^{1}(K^{*}/K^{*p}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) », le second marqué « \wr ». Le premier quotient de la case \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} est d'abord écrit K^{*}/pK^{*} ; dans les cases \alpha_{p}, le symbole devant K^{+p} est surchargé. En bas à gauche, un \mathbb{Z} et « ?? » hors des ellipses ; la case de droite du bas n'a pas de flèche de gerbes. Un trait ondulé ferme la page.

à l'encre bleue, écriture très rapide ; la page commence au milieu d'une phrase et est barrée de deux longs traits obliques au crayon. Beaucoup de passages sont soulignés ou barrés ; seules les formules et une partie des mots sont lus.

, ( \lambda_{x} \in \gamma(\xi, \mathfrak{X}) ( devant \xi) par tt x \in X,) = \operatorname{Is}_{K}\bigl(K(\mathcal{O}_{\xi}), K(\mathcal{O}_{x})\bigr) = \operatorname{Is}_{K}\bigl(K', K(\mathcal{O}_{x})\bigr), i.e. unifié K' x. une famille d'homomorphismes \varphi_{x} \colon \mathrm{Gal}(\overline{K}_{x}/K_{x}) \xrightarrow{\ \text{épim.}\ } \mathrm{Gal}(K'/K^{D}_{x}) \subset \mathrm{Gal}(K'/K) (homomorphismes de réciprocité)applications de réciprocité i.e. . (invariant par \mathrm{Gal}(K'/K)) \operatorname{Im} \varphi_{x} \mathrm{Gal}(K'/K^{D,\mathrm{par}}_{X}), K^{D,\mathrm{par}}_{X} le plus grand extension (galoisienne) K', complètement x \in X décomposée . le \xi et le \mathfrak{X} de la première ligne sont indicés d'un \xi minuscule ; les exposants D de K^{D}_{x} et de K^{D,\mathrm{par}} sont surchargés.

, les \mathrm{Gal}(\overline{K}_{x}/\overline{K}^{\,i}_{x}) \xrightarrow{\ \text{épim.}\ } \mathrm{Gal}(K'/K^{i}_{x}) \subset \mathrm{Gal}(K'/K) (invariant par ) \varphi_{x}\bigl(\mathrm{Gal}(\overline{K}_{x}/K^{I}_{x})\bigr) le groupe de Galois \mathrm{Gal}(K'/K^{I}_{X}), K^{I}_{X} la plus grande extension de K' non ramifiée X. les exposants I de K^{I}_{X} sont écrits sur un mot biffé (« »), de même, sous le second, un « ».

au crayon, puis à l'encre pour la dernière ligne. En haut, isolés : « \check{\mu}_{n} », « \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} », « \mathrm{Ext} ». \boxed{H^{i}\bigl(K, D(G)\bigr) \simeq \mathrm{Ext}^{1-i}\bigl(f_{*}(G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)} le premier K est écrit sur une autre lettre ; sous la ligne, isolé, « A(k) ». \underline{\mathrm{Ext}}^{i}( \qquad \mathrm{Ext}^{0}\bigl(A(k), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{1-i} \boxed{f_{*}D(G) \simeq \bigl(T f_{*}G\bigr)(1)} \qquad = \mathrm{Ext}^{i}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})(k)^{1-i} H^{i}\bigl(K, D(G)\bigr) \simeq \mathrm{Ext}^{i}\bigl(f_{*}(G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \qquad \mathrm{Ext}^{1+h-i}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{1+h-i} les deux formules de droite forment une colonne ; les exposants h sont une lecture incertaine. Un trait relie la dernière au cadre suivant. \boxed{H^{i}\bigl((T f_{*}G)(1)\bigr) = H^{i-1}(T f_{*}G) = \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i-1}(f_{*}G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})} ~~\boxed{H^{i}(K, D(G)) \ \ldots\ \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i-1}(f_{*}G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})}~~ dans ce cadre biffé, entre D(G)) et la flèche, un terme lui-même raturé (). \mathrm{Ext}^{i-1}\bigl(A(-1), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) = \mathrm{Ext}^{i}\bigl(M(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})(1)\bigr)^{i-1} = \mathrm{Ext}^{i-1}\bigl(H^{1-i}(f_{*}G)\bigr)\ \ \mathrm{Ext}\ (\ldots la dernière partie, « \mathrm{Ext}^{i-1}(H^{1-i}(f_{*}G)) » et dessous « \mathrm{Ext}\ ( », est écrite au-dessus de la ligne, à droite ; le M est une lecture incertaine. \boxed{H^{*}(K, DG) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^{p}\bigl(H^{-q}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)} 0 \to \mathrm{Ext}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}\bigl(H^{1-i}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) \to H^{i-1}(K, DG) \to \mathrm{Hom}_{k\text{-}\mathrm{gr}}\bigl(H^{-i}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) à l'encre ; les exposants 1-i, i-1 et -i sont lus tels quels, sans les accorder. Le cadre précédent porte à gauche un trait vertical.

feuillet dactylographié paginé « III-49 », scanné tête-bêche, verso de la page 113 et sans rapport direct avec elle ; texte d'une rédaction du chapitre III des Éléments, non recomposé. Il porte la fin d'une démonstration de finitude pour un morphisme propre (dévissage, lemme de Chow, X' \to X projectif birationnel, F = g_{*}(\mathcal{O}_{X'}(n)), suite spectrale de Leray) et le début du Corollaire 1 (« Soit Y un préschéma localement noethérien. Pour tout morphisme propre f \colon X \to Y, l'image directe par f de … »). Interventions à la main, de main non établie :

« projectif » inséré à l'encre bleue avant « surjectif », et « et » avant « birationnel » : « un morphisme projectif surjectif et birationnel g » ; le passage « et f séparé, on en déduit (II,4,6,th.3 (v)) que g est aussi un morphisme projectif ; comme X est noethérien » est raturé à l'encre bleue ; la référence « (FAC,I,2,12,prop.1) » est ajoutée à l'encre bleue après « le support de F contient un ouvert partout dense de X » ; « même raisonnement » est souligné d'un trait ondulé, avec une croix en marge ; « un » (« un \mathcal{O}_{X}-Module ») est souligné, « K' » souligné de rouge ; plusieurs lettres (\mathcal{O}_{X}, G, S, S_{1}, F) sont surlignées de jaune.

}

à l'encre bleue ; feuillet déchiré à gauche. H^{*}\bigl(\Delta^{2}T(A)\bigr) \Longleftarrow (H^{p}\Delta^{2})\bigl(H^{q}(K, A)\bigr) E^{pq}_{2} = \ \Bigl\lbrace\ 0 \text{ si } q \neq 0,\ p = 1 entre « = » et l'accolade, un terme raturé (). à gauche, un petit diagramme des E_{2}^{pq} : axes p, q, trois points marqués aux positions (-1,0), (0,0), (0,1), joints par un carré et une diagonale. \begin{cases} (H^{-1}\Delta^{2})\bigl(H^{0}(K, A)\bigr) \subset \pi_{1}(A) \\ (H^{0}\Delta^{2})\bigl(H^{0}(K, A)\bigr) \\ (H^{0}\Delta^{2})\bigl(H^{1}(K, A)\bigr) = H^{1}(K, A) \end{cases} à droite de la première ligne, la glose soulignée « composante » ; à droite de la deuxième, sur deux lignes et entourée, « est de torsion », qui remplace un mot biffé.

\Delta T(P_{\cdot}) et T(P'^{\cdot}) ont même \Delta. la fin de la phrase est soulignée deux fois ; P est un P cursif. \boxed{\underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{\circ}(P, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = 0} \mathrm{Ext}^{p}(H \Bigl|\ T(P') \Longleftrightarrow \Delta T(P_{\cdot})

~~Remarque 2.7. J'ignore si les conditions d'équidimensionnalité de 1.1 (iii) sont essentielles ; de même dans 2.6.~~

Prop. 2.8. Constructibilité des Cohen-Macaulay.} ces lignes, au bas de la page, sont écrites tête-bêche par rapport au reste et barrées de trois traits obliques ; elles n'appartiennent pas au calcul qui précède.

à l'encre bleue ; demi-feuillet.

A'_{0} = A' \pi_{0}(A) et \pi_{0}(B) duaux (3)\ \begin{cases} H^{1}(K, A) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(B, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(B'^{\circ}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \times \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(V, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \\ H^{1}(K, B) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(A'^{\circ}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \times \underline{\mathrm{Ext}}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(U, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \end{cases}

(2) \pi_{0}(A) et \pi_{0}(B) duaux (à valeurs dans \mathbb{Q}/\mathbb{Z})

(1) 0 \to \pi_{1}(A'_{0}) les trois lignes (3), (2), (1) sont encadrées ; en marge droite du cadre, un mot écrit en long, raturé (). 0 \to U \to A \to A' \to 0 sous U : « unipot. connexe » ; sous A' : « semi-ab. connexe ». \mu(A) = 2\alpha(A^{\circ}) + \mu(A^{\circ}) \qquad 0 \to \mathrm{Ext}^{1}(A'^{\circ}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to \mathrm{Ext}^{1}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to \underline{\mathrm{Ext}}^{1}(U, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to 0 (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mu(A)} \qquad \mathrm{Ext}^{1}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq H^{1}(K, B) sous \alpha(A^{\circ}) et \mu(A^{\circ}), soulignés, deux gloses serrées, l'une raturée : « » et « multiplicatif » ; (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mu(A)} est écrit sous le premier \mathrm{Ext}^{1} (le \mathbb{Q}/\mathbb{Z} surchargé), H^{1}(K, B) sous le second, relié par « \wr » ; sous \underline{\mathrm{Ext}}^{1}(U, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), une glose sur deux lignes : « groupe ».

à l'encre, liste numérotée 1.–15., coupée par trois longs traits verticaux au crayon. Une accolade ondulée réunit 4.–5. et 6.–7., un crochet 8.–10., une accolade 11.–12. ; un trait noir épais marque 13.

Morphismes plats etc.

1.Changement de base, ~~platitude~~ 2.\varprojlim de préschémas, propriétés constructibles 3.

(P.) Morphismes réguliers etc. Applications à l'algèbre locale.

Pourrait passer en Ch. 0 ?

4.Morphismes plats de présentation finie : critères de platitude 5.Immersions régulières etc 6.Dimension, morphismes équidimensionnels 7.Morphismes univt. ouverts. 8. diff.. Morphismes diff. simples. 9.Morphismes simples 10.Morphismes étales, morphismes non ramifiés 11.Fibres d'un morphisme plat de présentation finie. Morphismes séparables, normaux etc 12.Sections hyperplanes, multisections 13.Prolongements infinitésimaux 14.Préschémas en groupes. Espaces algébriques de Serre. 15.Formes différentielles et dualité

« Morphismes plats etc. », en tête, est encadré d'un arc qui descend vers 1. Au bas de la page, tête-bêche et barrée de grandes croix, une liste de choses à faire, en anglais et sans mathématique, qu'on ne transcrit pas ; elle porte « September 1963 ».

au crayon. \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(A, \mu_{\infty}) = \lbrace 0,\ {}_{\infty}B,\ 0,\ 0 \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}(A, \mu_{\infty}) \simeq H^{i-1}(K, {}_{\infty}B) = \lbrace H^{0}(K, {}_{\infty}B),\ H^{1}(K, {}_{\infty}B)^{\times},\ 0 H^{i}(K, A) = \lbrace A(K)^{\times},\ H^{1}(K, A),\ 0,\ 0,\ 0 ~~B \quad H^{1}(K, {}_{\infty}B) \to H^{1}(K, B) \to 0~~ les valeurs sont en colonne à droite d'accolades ; la première colonne de la deuxième ligne commence par un « 0 » écrit au-dessus. Le petit signe en exposant après H^{1}(K, {}_{\infty}B) et A(K) est un \times ou une marque de renvoi. Le troisième terme de la colonne de H^{i}(K, A) est surchargé. \to H^{0}(K, B) \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to H^{1}(K, {}_{\infty}B) \to H^{1}(K, B) \to 0 le premier terme est écrit sur un autre (H^{0}(K,B) surchargé).

~~H^{1}(K, A) \to~~

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] 0 \arrow[r] & H^{0}(K, {}_{\infty}B) \arrow[r] & DH^{1}(K, A) \arrow[d, no head, "\parallel"'] \arrow[dr, bend left=20] & & \\ & & H^{0}(K, B) & H^{0}(K, B) \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \arrow[d, bend left=20] & \\ & & & H^{1}(K, {}_{\infty}B) \arrow[r] & DH^{0}(K, A) \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

redessiné. La première ligne continuait par « ~~\to H^{1}(K, {}_{\infty}B)~~ » ; une flèche courbe part de DH^{1}(K, A) vers H^{0}(K, B) \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, une autre de là vers H^{1}(K, {}_{\infty}B). Sous DH^{0}(K, A) : « \parallel H^{1}(K, B) ». Le tout est entouré d'un trait qui l'isole. 0 \to H^{0}(K, {}_{\infty}B) \to DH^{1}(K, A) \to Q \to 0 0 \to N \to H^{1}(K, {}_{\infty}B) \to DH^{0}(K, A) \to 0 Q = ~~H^{1}(K, B)~~ ~~\operatorname{Ker} H^{0}(K, B) \to H^{0}(K, B) \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z})~~ Q \subset N \qquad H^{0}(K, B) \to H^{0}(K, B) \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z}

au crayon. En haut à droite, isolés : « \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} », « B ». \underline{\mathrm{Ext}}^{i}(A, {}_{n}\mu) = \lbrace 0,\ {}_{n}B,\ 0,\ 0 \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{i}(A, {}_{n}\mu) \simeq H^{i-1}(K, {}_{n}B) \simeq \mathrm{Ext}^{i-1}\bigl(T(A), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) le dernier \simeq est écrit verticalement. H^{i}(K, {}_{n}B) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}\bigl(T(A), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\bigr) H^{i}(K, {}_{\infty}B) \simeq \mathrm{Ext}^{i}_{k\text{-}\mathrm{gr}}\bigl(T(A), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr) sous T(A), une flèche double verticale descend vers « A », et à côté « H^{1}(K, A) » (le A repassé), sous une accolade horizontale : « V \times D – divisib. ».

{}_{n}B(K), H^{1}(K, {}_{n}B), 0 … [dual de H^{1}(K, {}_{n}A)] à gauche, un diagramme de suite spectrale : axes p, q, deux points sur la ligne q = 0 ; à la colonne p = 0, « \Delta_{n}(\pi_{0}(A)) » et « \Delta_{n}(H^{1}(K,A)') » ; dans une ellipse, « \mathrm{Ext}^{1}(A, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) ». \Delta\bigl(H^{1}(K, A)'\bigr)_{n} = \angle\bigl({}_{n}H^{1}(K, A)\bigr)

1°)la partie divisible de H^{1}(K, A) est divisible 2°)

« divisible », en fin de 1°), est souligné trois fois ; la lecture de toute la phrase est incertaine. 0 \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \xrightarrow{\ n\ } \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0

(i)H^{1}(K, A)' divisible, i.e. \angle H^{1}(K, A)' sans torsion ~~\mathbb{Z}~~ (ii)H^{1}(K, {}_{n}B) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{1}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(A, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) ? (iii)n

« sans torsion » est écrit au-dessus d'un \mathbb{Z} biffé ; le signe \angle est rendu tel qu'il est tracé.

feuillet dactylographié paginé « III-42 », verso de la page 119 et sans rapport direct avec elle ; texte d'une rédaction du chapitre III des Éléments, non recomposé : la caractéristique d'Euler-Poincaré \chi_{A}(F) = \sum (-1)^{i} \operatorname{long}(H^{i}(X, F)) (15), son additivité (Proposition 13, (16)), le genre arithmétique, et le Théorème 2 (i)–(iv) sur la fonction n \mapsto \chi_{A}(F(n)) (polynôme en n, égal à \operatorname{long}\Gamma(X, F(n)) pour n assez grand, coefficient dominant \geqslant 0, degré égal à la dimension du support), avec le début de la démonstration. Interventions à la main, de main non établie :

« nombre entier » : « entier » séparé de « nombre » par un trait ; un « o » au-dessus de « on l'appelle la », relié à une note en marge gauche, « si A est local » ; « Soit F un \mathcal{O}_{X}-Module cohérent. » inséré avant « Théorème 2 » par un crochet ; dans (i), « est égale à un polynôme en n » (« égale à » et « en n » ajoutés) ; en marge, un « > » en face de (iii), et, le long du dernier paragraphe, un trait vertical avec « lourde » ; une lettre ajoutée au-dessus de « exacte » ; plusieurs lettres surlignées de jaune.

}