Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 81–100

\mathrm{Hom}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(U_0, G) = \mathrm{Hom}_{\ill{}}\bigl(J^{0}_{L/k} \otimes E^{1}, G\bigr) la seule ligne du feuillet, en haut. L'indice du second \mathrm{Hom} est un empilement de petites lignes serrées : au-dessus d'un trait, « vu limite » ; au-dessous, « multiplicatif », puis « pour un pro- » « de groupes ». Le signe entre J^{0}_{L/k} et E^{1} est lu \otimes sans certitude ; le U_0 est une lecture de son \mathcal{U} bouclé.

la moitié supérieure du feuillet est un schéma d'inclusions entre catégories, tracé à l'encre avec, au crayon, de grands traits obliques qui délimitent des régions ; il est redessiné ici en grille, la disposition simplifiée. Les flèches sont celles de la page ; les libellés des nœuds sont abrégés comme il les abrège.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & \text{faisceaux fpqc} & \\ \text{$k$-schémas en groupes} \arrow[ur] & & \text{faisceaux fppf} \arrow[ul] \\ \text{$k$-gr.\ qu.-cpts} \arrow[u] \arrow[drr, dashed] & \text{$k$-préschémas loc.\ alg.} \arrow[ul] \arrow[ur] & \text{gr.\ pro-alg.} \arrow[u] \\ & \text{$k$-gr.\ alg.} \arrow[ul, "F"'] \arrow[u] \arrow[r] & \text{$k$-gr.\ qu.-cpts $F_s$} \arrow[u] \end{tikzcd}

sur la flèche de « faisceaux fppf » vers « faisceaux fpqc », une petite croix. Dans les nœuds, « qu.-cpts » (deux fois) et « préschémas » sont des lectures douteuses ; le nœud « k-préschémas loc. alg. » a un premier mot surchargé. Sur la flèche de « k-gr. qu.-cpts F_s » vers « gr. pro-alg. », un petit encadré : « définissable fl. fid. ? ». À gauche, entre parenthèses, « (ne sont pas abéliennes) », relié par des flèches pointillées à « k-schémas en groupes » et au nœud central.

À droite du schéma, encadré :

[faisceaux fppf] = faisceaux fpqc qui commutent aux \varinjlim d'anneaux (filtrantes) ?

et, en face de « gr. pro-alg. » : « surjectives (pas injectives !) » ; en face de « k-gr. qu.-cpts F_s », encadré : « \simeq gr. proalg. con. affines ? ».

(G_i)_{i \in I} système direct de faisceaux fpqc. \begin{align*} &(\mathrm{i}) \quad F(S) = \varinjlim_i G_i(S) \\ &(\mathrm{ii}) \quad F'(S) = \Bigl(\varprojlim G_i\Bigr)(S) \end{align*} sous la limite projective de (ii) : « (dans cat. des préschémas) ». Coïncident sur le petit site fppf \boxed{F' = u^{*} u_{*}(F)}

\begin{tikzcd} \text{site fpqc} \arrow[d, "u"] \\ \text{site fppf} \end{tikzcd}

u^{*} = restriction évidente des sites / u^{*} défini par image inverse usuelle pr. usuel

u_{*} = restriction des foncteurs un « u » isolé suit, sans suite. La fin de la ligne de u^{*}, serrée en bout de ligne sur deux étages, est très douteuse.

Calculer les \mathrm{Ext}^{i} des groupes « élémentaires » sur corps alg. clos k, en vérifiant que c'est pareil pour les catégories envisagées (pour autant que ça ait un sens…) \alpha_p \quad \mu_p \quad \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \quad \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \quad \mathbb{G}_a,\ \mathbb{G}_m,\ \mathbb{Z},\ \mathbf{A}

une accolade sous \mu_p, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} et une autre sous \mathbb{G}_m, \mathbb{Z} ; le \mathbb{Z} est surchargé ; \mathbf{A} en très grande capitale, sans doute la variété abélienne.

Faire le calcul dans les catégories correspondantes en se limitant à ce qui est annulé par un n fixé.

(QSch) Catégorie obtenue à partir de (Sch) en rendant inversibles les morphismes entiers radiciels surjectifs.

Parallèlement, fppf et fpqc définis ; on parle de faisceaux qfpqc et qfppf, ce sont les faisceaux fpqc et fppf qui transforment morphismes entiers-surj. rad. en isom.

au-dessous, un treillis de catégories aux traits sans pointe (sauf les deux flèches vers le nœud du haut), dans trois cadres au crayon ; il est redessiné en grille, la disposition simplifiée. Les libellés sont abrégés comme il les abrège.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & (1) & \\ (2) \arrow[urr] \arrow[d, no head] & & & \\ (3) \arrow[dr, no head] & (4) \arrow[uur] \arrow[ul, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & & (5) \arrow[d, no head] \\ & (6) \arrow[dr, no head] & (7) \arrow[ur, no head] \arrow[d, no head] & (8) \\ & & (9) \arrow[r, no head] & (10) \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

(1)faisceaux sur le site des k-schémas qu.-cpts parfaits (2)groupes de la cat. des k-schémas loc. qu.-cpts parfaits (3)groupes de la catégorie des k-schémas qu.-cpts parfaits (4)k-sch. en gr. / rad. (5)faisceaux sur le site des k-schémas loc. qu.-cpts parfaits essentiellement de t.f. sur k (6)k-gr. qu.-cpts, mod rad (7)k-gr. loc. alg. / radiciels (8)gr. pro-quasi-alg. (9)k-gr. alg. / radiciels \simeq groupes quasi-alg. pas de t.f. (10)k-gr. qu.-cpts / radiciels

les numéros (1)–(10) sont de l'éditeur : les libellés, trop longs pour tenir dans les nœuds, sont reportés dans la liste.

dans (2), « qu.-cpts » est surchargé en « loc. qu.-cpts » ; au-dessus de (4), un « groupes de la cat. » est biffé et récrit. Sous (7), une ligne biffée (« ~~préschémas loc.~~ ») ; dans (5), un premier « qfppf » est biffé. Sous (10), un « mod rad » biffé. Les deux traits qui aboutissent à (1) portent une pointe ; tous les autres n'en ont pas. Dans (9), le mot entre « quasi-alg. » et « de t.f. » est très incertain.

Formulations de la dualité locale (F^{\bullet} constr.) quatre énoncés numérotés (i)–(iv), reliés dans la marge gauche par des doubles flèches verticales : (i) \Downarrow (ii), (ii) \Updownarrow (iii), (iii) \Updownarrow (iv), et une longue flèche hachurée de (i) à (iii). En face, à droite, une colonne de croix et de conditions.

(i) F^{\bullet} \to D D F^{\bullet} est un isom. ~~pour F^{\bullet} constructible~~ — \times « bon »

(ii) a) H^{i}_{a}(X, F^{\bullet}) dual de H^{-i}(X, \hat{F}^{\bullet}) — \times strictement local et « bon »

~~b) H^{i}_{a}(X, F^{\bullet}) =~~ \Rightarrow ~~H^{i}(X, F^{\bullet}) = \mathcal{H}^{i}(F^{\bullet})_{x}~~ la ligne b) est barrée d'un grand trait ondulé ; ce qui suit « \Rightarrow » est surchargé et biffé à son tour.

(iii) H^{i}(X - a, F^{\bullet}) dual de H^{-i-1}(X - a, \hat{F}^{\bullet}) — id.

(iv) \mathrm{Ext}^{i}(X; F, \lambda(G)) \simeq \mathrm{Ext}^{i}(k; \mathbb{R}i^{!}(F), G) — \times hensélien « bon », corps résiduel k au-dessus de « hensélien », « local » entouré. Le a de (ii) et (iii) est le point fermé (« X - a ») ; le chapeau \hat{F}^{\bullet} désigne le dual. Le « \mathrm{Ext}^{i} » du second membre de (iv) est très cursif. sous un trait horizontal, le reste du feuillet est vide, à l'exception d'une paire de parenthèses vides.

H^{i}(U, F) = H^{i}\bigl(X, \mathbb{R}i_{*}(F|U)\bigr) \quad \text{dual de} U \xrightarrow{\ i\ } X, \qquad U \xrightarrow{\ i'\ } (X - a) \qquad H^{-i}_{a}\bigl(X, \mathbb{R}i_{!}(\hat{F}|U)\bigr) \simeq H^{-i-1}\bigl(X - a, \mathbb{R}i'_{!}(\hat{F}|U)\bigr) puis un « H^{-} » sans suite, et plus bas un « H^{i} » biffé.

a \in Z \subset Y \subset X Y - Z \xrightarrow{\ i'\ } X - Z, \qquad Y - Z \xrightarrow{\ k\ } Y - a, \qquad Y \xrightarrow{\ i\ } X, \qquad Z \xrightarrow{\ j\ } X \begin{cases} H^{i}_{Y-Z}(F) = H^{i}\bigl(Y - Z, \mathbb{R}i'^{!}(F|X - Z)\bigr) \\ \quad \text{dual de } H^{-i-1}\bigl(Y - a, \mathbb{R}k_{!}(\hat{F}|Y - Z)\bigr) \end{cases} dans le premier membre, un H^{i} est surchargé en H^{i}(Y-Z, \ldots) ; dans le dernier, un « \mathbb{R}k_{!} » est très surchargé, la lecture en est douteuse. \begin{cases} H^{i}_{Y}(F) = H^{i}\bigl(Y, \mathbb{R}i^{!}(F)\bigr) \quad \text{dual de} \\ H^{-i}_{a}\bigl(Y, \mathbb{L}i^{*}(\hat{F})\bigr) = H^{-i}_{a}(Y, \hat{F}|Y) \end{cases} dans les deux lignes, un X est biffé et remplacé par Y ; le second membre de la dernière ligne était d'abord précédé d'un signe biffé. H^{i}_{Z}(F) \quad \text{dual de} \quad H^{-i}_{a}(Z, \hat{F}|Z) \begin{array}{ccc} H^{i}_{Z}(F) & \times & H^{-i}_{a}(\hat{F}|Z) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i}_{Y}(F) & \times & H^{-i}_{a}(\hat{F}|Y) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i}_{Y-Z}(F) & \times & H^{-i-1}\bigl(Y - a, \mathbb{R}k_{!}(\hat{F}|Y - Z)\bigr) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i+1}_{Z}(F) & \times & H^{-i-1}_{a}(\hat{F}|Z) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i+1}_{Y}(F) & \times & H^{-i-1}_{a}(\hat{F}|Y) \end{array} sur la page, les deux suites exactes longues sont écrites en deux lignes horizontales mises en face, la seconde de droite à gauche, des croix marquant les accouplements terme à terme ; on les dispose ici en colonnes. L'indice a du premier terme de la seconde ligne est surchargé. Le dernier terme, serré au bord, est lu H^{-i-1}_{a}(\hat{F}|Y) sans certitude.

Corps de classe local géométrique et dualité

titre inscrit de sa main en haut à droite d'une chemise de papier kraft (page 90), « Corps de classe local » souligné, sans autre contenu ; il ouvre la suite, pages 91 et suivantes.

\mathbb{V} anneau de valuation discrète, complète, à corps résiduel k parfait, corps des fractions K, uniformisante \pi.

\mathbb{V} le schéma en anneaux sur k défini par \mathbb{V} les deux \mathbb{V} sont écrits à double trait, l'un gras, l'autre maigre ; de même \mathbb{K} et \mathbb{W} ci-dessous.

\mathbb{K} le ind-schéma en anneaux défini par A \rightsquigarrow \mathbb{W}(A)_{\pi} = \mathbb{K}(A) au-dessus de la ligne suivante, un \mathcal{C}_S isolé.

S = \operatorname{Spec}(\mathbb{V}), on munit S de la « topologie de Weil » définie par \left\lbrace \begin{array}{l} \text{catégorie des $S'$ plats de type fini sur $S$.} \\ \text{descente fid.\ plate [\uncertain{ou} fid.\ \uncertain{plate} \ill{} ???]} \end{array}\right.

N.B. y a-t-il lieu de prendre S' simple sur S ? Non, car on ne peut pas prendre un gr. si S_0' n'est pas réduit ?? Peut-être… note oblique dans la marge gauche, à l'encre plus pâle ; la lecture en est presque entièrement douteuse. Dans l'accolade, la fin de la seconde ligne est soulignée d'un trait ondulé.

\mathcal{C}(S) = catégorie des faisceaux de Weil abéliens sur S

Donc un G \in \mathcal{C}(S) est un foncteur S' \mapsto G(S'), soumis à des conditions d'exactitude connues.

On convient de prolonger G en \overline{G} aux préschémas plats S'-préschémas sur S, par les conditions suivantes

(i)\overline{G} de nature locale (ii)\overline{G} commute aux limites inductives d'anneaux

Alors aussi (iii)

(iii)\overline{G} compatible avec descente par morphismes fid. plats de présentation finie.

Exemple : tout préschéma en gr. ~~sur~~ commutatif G sur S définit un faisceau de Weil, désigné par la même lettre. Si G est loc. de type fini sur S, alors le prolongement canonique \overline{G} est encore « représenté » par le même G, i.e. \overline{G}(S') = \mathrm{Hom}_{S}(S', G). « commutatif G » est ajouté en interligne au-dessus d'un mot biffé.

Dans la catégorie \mathcal{C}(S), on a les foncteurs H^{i}(S, F) et \mathrm{Ext}^{i}(S; F, G), \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S}(F, G). Notations, à ce propos \begin{cases} H^{i}(S, F) = \mathrm{Ext}^{i}(S; \mathbb{Z}_{S}, F) \\[4pt] \mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(S; F, G) \Leftarrow H^{p}\bigl(S, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}(F, G)\bigr) \end{cases} le second \mathrm{Ext} de l'accolade est écrit avec un E à double trait ; la flèche \Leftarrow est celle d'une suite spectrale. L'indice de \mathrm{Ext}^{i}(S; F, G) à la première ligne est surchargé.

Soit U l'ouvert générique de S, d'où une catégorie de faisceaux \mathcal{C}(U). On a un foncteur image directe par i \colon U \to S i_{*} \colon \mathcal{C}(U) \to \mathcal{C}(S) Quels sont les foncteurs dérivés ??

Soit \mathcal{T}'_{k} la topologie de Weil suivante : on adopte sur les ~~quasi quasi-algébriques~~ préschémas fl. qu.-cpts, la descente est donnée par les morphismes finis surjectifs. Soit \mathcal{C}'(k) la catégorie des faisceaux de Weil sur \mathcal{T}'_{k}. on devrait de « finis » sans doute pour ce dessin d'avoir « application » entre \mathcal{T}_{S} et \mathcal{T}'_{k} ! note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait courbe ; lecture presque entièrement douteuse. Le mot biffé devant « finis » est long et surchargé ; « finis » est souligné deux fois.

On a dans \mathcal{C}'(k) les foncteurs H^{i}(k, G), \mathrm{Ext}^{i}(k; F, G), et \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(F, G) et les relations habituelles \begin{cases} H^{i}(k, F) \simeq \mathrm{Ext}^{i}(k; \mathbb{Z}_{k}, F) \\[4pt] \mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(k; F, G) \Leftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{k}(F, G)\bigr) \end{cases} « et \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(F, G) » est ajouté en interligne ; dans la seconde ligne, l'argument k est surchargé et les indices du dernier \underline{\mathrm{Ext}} sont serrés.

On montre que si k est alg. clos, alors H^{i}(k, F) = 0 pour i > 0. La formation des \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(F, G) commute : l'extension du corps de base….

Il y a lieu de ~~calculer~~ ~~donner~~ des règles de calcul pour des H^{i}(k, G), \mathrm{Ext}^{i}(k; F, G) si G provient d'un quasi-préschéma en groupes habituel sur k, [p. ex. d'un pro-groupe de Serre de type « spécial », i.e. à morphismes de transition affines pour l'indice grand…]. « quasi » est ajouté en interligne au-dessus de « préschéma ». Il faudrait prouver alors que (k.l. p. ex.)

a)si G est simple sur k, ses H^{i}(k, G) sont les H^{i}(k, \tilde{G}), où \tilde{G} est le faisceau de Weil associé… b)Kif-kif pour les \mathrm{Ext}^{i}(k; F, G)….

Il faudrait aussi, de façon générale [dans le contexte « quasi »] étudier si H^{i}(k, G) peut se calculer comme une cohomologie galoisienne…. trois traits verticaux dans la marge gauche, en face de ce paragraphe.

~~N.B. Il suffit par cohérence fid. plates Weil permutés~~ ligne biffée d'un double trait et encadrée ; lecture très douteuse. Le reste du feuillet est blanc.

(dit de Néron) On va définir un foncteur fondamental \mathcal{N} \colon \mathcal{C}(S) \to \mathcal{C}'(k) « (dit de Néron) », « Néron » souligné, est écrit en haut à droite dans une accolade qui pointe vers « fondamental ». Pour ceci, si F est un ~~faisceau~~ faisceau de Weil sur S, on définit un faisceau de Weil sur \mathcal{T}_{k} en prenant, pour A une algèbre réduite sur k… . \mathcal{N}(F)(A) = \varinjlim_{\mathcal{P}} F\Bigl(\operatorname{Spec}\bigl(\mathbb{V}\bigl(\textstyle\prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} A^{\mathcal{P}}_{i}\bigr)\bigr)\Bigr) = \varinjlim_{\mathcal{P}} \prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} F\bigl(\mathbb{V}(A^{\mathcal{P}}_{i})\bigr) au-dessus de la première égalité, une variante surchargée, qui s'écrit « = F\bigl(\varinjlim_{\mathcal{P}} \mathbb{V}(A^{\mathcal{P}})\bigr) = F\bigl(\varprojlim_{\mathcal{P}} \operatorname{Spec}(\mathbb{V}(A^{\mathcal{P}}))\bigr) », avec, en exposant, « \operatorname{Spec}(\varinjlim_{\mathcal{P}} \mathbb{V}(A^{\mathcal{P}})) » relié par un « = ». Sous le produit, une accolade donne « \prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} A^{\mathcal{P}}_{i} = A^{\mathcal{P}} ». Le \mathcal{P} transcrit ici est chez lui un P barré (une partition) ; le « Spec » est surchargé sur un S.

\mathcal{P} parcourant les « partitions constructibles finies » de A, et où pour une telle \mathcal{P}, I_{\mathcal{P}} est son ensemble d'indices, et A^{\mathcal{P}}_{i} les composantes correspondantes de A. En d'autres termes, on prend un préschéma fl. qu.-cpt réduit (cqch) , considéré comme un pro-(schéma affine) sur k, on le transforme par \mathbb{V} en un pro-(schéma affine) sur S, et on lui applique le foncteur F. ~~[N.B. \mathcal{N}(F) ne commute pas les limites … pratiquement, on pourrait se limiter~~ le « [N.B.… » du bas est biffé de grandes croix ; lecture très douteuse. « cqch » (quelque chose) est ajouté en interligne.

N.B. On a une « application » \mathcal{C}'_{k} \to \mathcal{C}_{S}, produits, dit le foncteur faisceaux formels … produits directs ! ? Non, car le foncteur \mathbb{V} \colon k\text{-alg.} \to \mathbb{V}\text{-alg.} ne commute pas aux limites inductives… la première note marginale est oblique, cernée d'un trait courbe dans la marge gauche ; la seconde, en bas à gauche, également oblique ; toutes deux sont d'une lecture presque entièrement douteuse. Le \mathcal{C}'_{k} de la première est surchargé.

~~dans la catégorie \mathcal{C}'(k) un foncteur commutant aux avec les limites inductives~~ ces deux lignes, suite de la note biffée du bas de la page 95, sont barrées de grandes croix.

On constate que le foncteur \mathcal{N} qu'on vient de définir est exact à gauche, donc transforme groupe injectif en groupe injectif…, d'où \mathcal{C}(S) \to \mathcal{C}'(k). On pose aussi \mathcal{N}(F) = \underline{H}^{0}_{S/k}(F) et par suite \mathrm{R}^{i}\mathcal{N}(F) = \underline{H}^{i}_{S/k}(F) Notons l'isomorphisme H^{0}_{S} \simeq H^{0}_{k} \circ \underline{H}^{0}_{S/k} et d'autre part que \underline{H}^{0}_{S/k} transforme injectifs en injectifs ~~car construit adjoint \mathcal{N} = \underline{H}^{0}_{S/k} par dernier est exact généralisé : \mathrm{Hom}(\Phi, \mathcal{N}(F)) \simeq \mathrm{Hom}(\mathcal{N}^{*}(\Phi), F)~~ à vérifier… « transforme injectifs en injectifs » est souligné ; « à vérifier… » est écrit dans la marge gauche en face. Les trois lignes qui suivent, avec la formule d'adjonction, sont encadrées et biffées de grands traits ; le \mathcal{N}^{*} de la formule est une lecture douteuse. D'où une suite spectrale de Leray H^{*}(S, F) \Leftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{H}^{q}_{S/k}(F)\bigr)

Plus généralement, définissons \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G) = \underline{H}^{0}_{S/k}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{S}(F, G)\bigr) ~~Alors~~ et notons les foncteurs dérivés de G \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G) par \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S/k}(F, G) On a alors, si on admet que pour G injectif, \underline{\mathrm{Hom}}_{S}(F, G) est acyclique pour \underline{H}^{0}_{S/k} ~~et pour H^{0}_{S}~~, la suite spectrale \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{S/k}(F, G) \Leftarrow \underline{H}^{p}_{S/k}\bigl(\underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{S}(F, G)\bigr) vérifier un trait vertical dans la marge gauche longe l'hypothèse, avec « vérifier » en face ; l'indice de \underline{\mathrm{Ext}}^{*} est surchargé d'une tache d'encre. et compte tenu de \mathrm{Hom}_{S}(F, G) \simeq H^{0}\bigl(k, \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G)\bigr) et admettant que pour G injectif, \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G) est acyclique pour H^{0}(k, -), on trouve \mathrm{Ext}^{*}(S; F, G) \Leftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{S/k}(F, G)\bigr) vérifier même trait vertical et même « vérifier » en marge. Signalons aussi \underline{H}^{i}_{S/k}(F) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S/k}(\mathbb{Z}_{S}, F)

Notations et remarques analogues en partant de faisceaux sur U \subset S, au lieu de S.

\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{K\text{-}\mathrm{gr}}(G, S\gamma) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Ext}}^{i+n}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(T^{*}G, \gamma) S\gamma = (D \Delta \gamma_{K})(1) la note encadrée en haut à gauche, reliée par une flèche au premier S\gamma, donne la définition de S\gamma ; le D en est une lecture douteuse. Ses \underline{\mathrm{Ext}} sont soulignés deux fois, d'un trait droit et d'un trait ondulé ; on ne rend que le premier. L'exposant i+n est surchargé, de même le second argument du membre de droite (un \gamma sur une autre lettre) ; sur T^{*} l'astérisque est surchargé. isom. si G affine sans composante \mathbb{G}_{a} \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{K/k}(G, S\gamma) \to \underline{\mathrm{Ext}}^{2i}(T^{*}G, \gamma) l'exposant « 2i » est surchargé ; la lecture n'en est pas sûre. isom. \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{K/k}(G, S\gamma) \to \underline{\mathrm{Ext}}^{i} la ligne s'arrête là. Plus bas, à gauche, un symbole biffé () indicé K/k, puis, seul, « \mathrm{R}^{*}\!\int_{K/k} ».

1)K-groupes algébriques. \mathrm{Ext}, \underline{\mathrm{Ext}}, H^{p} de K-groupes algébriques nuls pour i \geqslant 2 sous \mathrm{Ext}, \underline{\mathrm{Ext}} et H^{p}, trois traits descendent vers trois gloses serrées : « nature arithmétique i.e. globale », « nature géométrique », « nature arithmétique i.e. globale » ; « nuls pour i \geqslant 2 » est relié par un trait à \underline{\mathrm{Ext}}. 2)Dualité de Cartier. Extension aux \mathrm{gr}_{K} 3)Cohomologies algébriques, leurs \mathrm{Ext}, \underline{\mathrm{Ext}}, H^{p} 4)Dualité de Serre-Rosenlicht 5)Le foncteur \underline{\Gamma}_{K/k} (le Néron-) nul pour i > 3 6)Les foncteurs \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{K/k}(F, G), \underline{H}^{*}_{K/k}(G) E^{*}_{K/k}(F, G) \qquad \mathbf{E}_{K/k}(G) 7)L'hom. fondamental. 8)Le th. de dualité.

plan de travail numéroté 1)–8), au crayon ; les items 3), 5) et 8) portent un double trait oblique dans la marge gauche, sans doute une coche. Au point 2), le symbole devant \mathrm{gr}_{K} est une grande lettre surchargée (un \mathcal{K} ? un « Ind » ?). Au point 4), le titre est souligné d'un trait qui remonte encadrer la parenthèse de 5), « (le Néron-) », dont le second nom est surchargé ; le « nul pour i > 3 » y est relié. Au point 6), un mot est biffé avant \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{K/k}, et \underline{H}^{*}_{K/k} est souligné d'un trait ondulé ; E^{*}_{K/k}(F, G) et \mathbf{E}_{K/k}(G) sont écrits dessous comme notations abrégées.