Cote n° 43 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

81\[ \mathrm{Hom}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(U_0, G) = \mathrm{Hom}_{\ill{}}\bigl(J^{0}_{L/k} \otimes E^{1}, G\bigr) \] la seule ligne du feuillet, en haut. L'indice du second \(\mathrm{Hom}\) est un empilement de petites lignes serrées : au-dessus d'un trait, « vu limite » ; au-dessous, « multiplicatif », puis « pour un pro- » […] « de groupes ». Le signe entre \(J^{0}_{L/k}\) et \(E^{1}\) est lu \(\otimes\) sans certitude ; le \(U_0\) est une lecture de son \(\mathcal{U}\) bouclé.

83la moitié supérieure du feuillet est un schéma d'inclusions entre catégories, tracé à l'encre avec, au crayon, de grands traits obliques qui délimitent des régions ; il est redessiné ici en grille, la disposition simplifiée. Les flèches sont celles de la page ; les libellés des nœuds sont abrégés comme il les abrège.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & \text{faisceaux fpqc} & \\
\text{$k$-schémas en groupes} \arrow[ur] & & \text{faisceaux fppf} \arrow[ul] \\
\text{$k$-gr.\ qu.-cpts} \arrow[u] \arrow[drr, dashed] & \text{$k$-préschémas loc.\ alg.} \arrow[ul] \arrow[ur] & \text{gr.\ pro-alg.} \arrow[u] \\
 & \text{$k$-gr.\ alg.} \arrow[ul, "F"'] \arrow[u] \arrow[r] & \text{$k$-gr.\ qu.-cpts $F_s$} \arrow[u]
\end{tikzcd}

sur la flèche de « faisceaux fppf » vers « faisceaux fpqc », une petite croix. Dans les nœuds, « qu.-cpts » (deux fois) et « préschémas » sont des lectures douteuses ; le nœud « \(k\)-préschémas loc. alg. » a un premier mot surchargé. Sur la flèche de « \(k\)-gr. qu.-cpts \(F_s\) » vers « gr. pro-alg. », un petit encadré : « définissable fl. fid. ? ». À gauche, entre parenthèses, « (ne sont pas abéliennes) », relié par des flèches pointillées à « \(k\)-schémas en groupes » et au nœud central.

À droite du schéma, encadré :

[faisceaux fppf] \(=\) faisceaux fpqc qui commutent aux \(\varinjlim\) d'anneaux (filtrantes) ?

et, en face de « gr. pro-alg. » : « […] […] surjectives (pas injectives !) » ; en face de « \(k\)-gr. qu.-cpts \(F_s\) », encadré : « \(\simeq\) gr. proalg. con. affines ? ».

\((G_i)_{i \in I}\) système direct de faisceaux fpqc. \[\begin{align*} &(\mathrm{i}) \quad F(S) = \varinjlim_i G_i(S) \\ &(\mathrm{ii}) \quad F'(S) = \Bigl(\varprojlim G_i\Bigr)(S) \end{align*}\] sous la limite projective de (ii) : « (dans cat. des préschémas) ». Coïncident sur le petit site fppf \[ \boxed{F' = u^{*} u_{*}(F)} \]

\begin{tikzcd}
\text{site fpqc} \arrow[d, "u"] \\
\text{site fppf}
\end{tikzcd}

\(u^{*} = \) restriction évidente des sites / \(u^{*}\) défini par image inverse usuelle pr. usuel

\(u_{*} = \) restriction des foncteurs un « \(u\) » isolé suit, sans suite. La fin de la ligne de \(u^{*}\), serrée en bout de ligne sur deux étages, est très douteuse.

Calculer les \(\mathrm{Ext}^{i}\) des groupes « élémentaires » sur corps alg. clos \(k\), en vérifiant que c'est pareil pour les catégories envisagées (pour autant que ça ait un sens…) \[ \alpha_p \quad \mu_p \quad \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \quad \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \quad \mathbb{G}_a,\ \mathbb{G}_m,\ \mathbb{Z},\ \mathbf{A} \]

une accolade sous \(\mu_p\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) et une autre sous \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{Z}\) ; le \(\mathbb{Z}\) est surchargé ; \(\mathbf{A}\) en très grande capitale, sans doute la variété abélienne.

Faire le calcul dans les catégories correspondantes en se limitant à ce qui est annulé par un \(n\) fixé.

85(QSch) Catégorie obtenue à partir de (Sch) en rendant inversibles les morphismes entiers radiciels surjectifs.

Parallèlement, fppf et fpqc définis ; on parle de faisceaux qfpqc et qfppf, ce sont les faisceaux fpqc et fppf qui transforment morphismes entiers-surj. rad. en isom.

au-dessous, un treillis de catégories aux traits sans pointe (sauf les deux flèches vers le nœud du haut), dans trois cadres au crayon ; il est redessiné en grille, la disposition simplifiée. Les libellés sont abrégés comme il les abrège.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & (1) & \\
(2) \arrow[urr] \arrow[d, no head] & & & \\
(3) \arrow[dr, no head] & (4) \arrow[uur] \arrow[ul, no head] \arrow[d, no head] \arrow[dr, no head] & & (5) \arrow[d, no head] \\
 & (6) \arrow[dr, no head] & (7) \arrow[ur, no head] \arrow[d, no head] & (8) \\
 & & (9) \arrow[r, no head] & (10) \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

• (1)faisceaux sur le site des \(k\)-schémas qu.-cpts parfaits
• (2)groupes de la cat. des \(k\)-schémas loc. qu.-cpts parfaits
• (3)groupes de la catégorie des \(k\)-schémas qu.-cpts parfaits
• (4)\(k\)-sch. en gr. / rad.
• (5)faisceaux sur le site des \(k\)-schémas loc. qu.-cpts parfaits essentiellement de t.f. sur \(k\)
• (6)\(k\)-gr. qu.-cpts, mod rad
• (7)\(k\)-gr. loc. alg. / radiciels
• (8)gr. pro-quasi-alg.
• (9)\(k\)-gr. alg. / radiciels \(\simeq\) groupes quasi-alg. pas de t.f.
• (10)\(k\)-gr. qu.-cpts / radiciels

les numéros (1)–(10) sont de l'éditeur : les libellés, trop longs pour tenir dans les nœuds, sont reportés dans la liste.

dans (2), « qu.-cpts » est surchargé en « loc. qu.-cpts » ; au-dessus de (4), un « groupes de la cat. » est biffé et récrit. Sous (7), une ligne biffée (« […] préschémas loc. […] ») ; dans (5), un premier « qfppf » est biffé. Sous (10), un « mod rad » biffé. Les deux traits qui aboutissent à (1) portent une pointe ; tous les autres n'en ont pas. Dans (9), le mot entre « quasi-alg. » et « de t.f. » est très incertain.

88Formulations de la dualité locale (\(F^{\bullet}\) constr.) quatre énoncés numérotés (i)–(iv), reliés dans la marge gauche par des doubles flèches verticales : (i) \(\Downarrow\) (ii), (ii) \(\Updownarrow\) (iii), (iii) \(\Updownarrow\) (iv), et une longue flèche hachurée de (i) à (iii). En face, à droite, une colonne de croix et de conditions.

(i) \(F^{\bullet} \to D D F^{\bullet}\) est un isom. pour \(F^{\bullet}\) constructible […] — \(\times\) « bon »

(ii) a) \(H^{i}_{a}(X, F^{\bullet})\) dual de \(H^{-i}(X, \hat{F}^{\bullet})\) — \(\times\) strictement local et « bon »

b) \(H^{i}_{a}(X, F^{\bullet}) =\) […] […] […] \(\Rightarrow\) \(H^{i}(X, F^{\bullet}) = \mathcal{H}^{i}(F^{\bullet})_{x}\) […] la ligne b) est barrée d'un grand trait ondulé ; ce qui suit « \(\Rightarrow\) » est surchargé et biffé à son tour.

(iii) \(H^{i}(X - a, F^{\bullet})\) dual de \(H^{-i-1}(X - a, \hat{F}^{\bullet})\) — id.

(iv) \(\mathrm{Ext}^{i}(X; F, \lambda(G)) \simeq \mathrm{Ext}^{i}(k; \mathbb{R}i^{!}(F), G)\) — \(\times\) hensélien « bon », corps résiduel \(k\) au-dessus de « hensélien », « local » entouré. Le \(a\) de (ii) et (iii) est le point fermé (« \(X - a\) ») ; le chapeau \(\hat{F}^{\bullet}\) désigne le dual. Le « \(\mathrm{Ext}^{i}\) » du second membre de (iv) est très cursif. sous un trait horizontal, le reste du feuillet est vide, à l'exception d'une paire de parenthèses vides.

89\[ H^{i}(U, F) = H^{i}\bigl(X, \mathbb{R}i_{*}(F|U)\bigr) \quad \text{dual de} \] \[ U \xrightarrow{\ i\ } X, \qquad U \xrightarrow{\ i'\ } (X - a) \qquad H^{-i}_{a}\bigl(X, \mathbb{R}i_{!}(\hat{F}|U)\bigr) \simeq H^{-i-1}\bigl(X - a, \mathbb{R}i'_{!}(\hat{F}|U)\bigr) \] puis un « \(H^{-}\) » sans suite, et plus bas un « \(H^{i}\) » biffé.

\(a \in Z \subset Y \subset X\) \[ Y - Z \xrightarrow{\ i'\ } X - Z, \qquad Y - Z \xrightarrow{\ k\ } Y - a, \qquad Y \xrightarrow{\ i\ } X, \qquad Z \xrightarrow{\ j\ } X \] \[ \begin{cases} H^{i}_{Y-Z}(F) = H^{i}\bigl(Y - Z, \mathbb{R}i'^{!}(F|X - Z)\bigr) \\ \quad \text{dual de } H^{-i-1}\bigl(Y - a, \mathbb{R}k_{!}(\hat{F}|Y - Z)\bigr) \end{cases} \] dans le premier membre, un \(H^{i}\) est surchargé en \(H^{i}(Y-Z, \ldots)\) ; dans le dernier, un « \(\mathbb{R}k_{!}\) » est très surchargé, la lecture en est douteuse. \[ \begin{cases} H^{i}_{Y}(F) = H^{i}\bigl(Y, \mathbb{R}i^{!}(F)\bigr) \quad \text{dual de} \\ H^{-i}_{a}\bigl(Y, \mathbb{L}i^{*}(\hat{F})\bigr) = H^{-i}_{a}(Y, \hat{F}|Y) \end{cases} \] dans les deux lignes, un \(X\) est biffé et remplacé par \(Y\) ; le second membre de la dernière ligne était d'abord précédé d'un signe biffé. \[ H^{i}_{Z}(F) \quad \text{dual de} \quad H^{-i}_{a}(Z, \hat{F}|Z) \] \[ \begin{array}{ccc} H^{i}_{Z}(F) & \times & H^{-i}_{a}(\hat{F}|Z) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i}_{Y}(F) & \times & H^{-i}_{a}(\hat{F}|Y) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i}_{Y-Z}(F) & \times & H^{-i-1}\bigl(Y - a, \mathbb{R}k_{!}(\hat{F}|Y - Z)\bigr) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i+1}_{Z}(F) & \times & H^{-i-1}_{a}(\hat{F}|Z) \\ \downarrow & & \uparrow \\ H^{i+1}_{Y}(F) & \times & H^{-i-1}_{a}(\hat{F}|Y) \end{array} \] sur la page, les deux suites exactes longues sont écrites en deux lignes horizontales mises en face, la seconde de droite à gauche, des croix marquant les accouplements terme à terme ; on les dispose ici en colonnes. L'indice \(a\) du premier terme de la seconde ligne est surchargé. Le dernier terme, serré au bord, est lu \(H^{-i-1}_{a}(\hat{F}|Y)\) sans certitude.

Corps de classe local géométrique et dualité

titre inscrit de sa main en haut à droite d'une chemise de papier kraft (page 90), « Corps de classe local » souligné, sans autre contenu ; il ouvre la suite, pages 91 et suivantes.

91\(\mathbb{V}\) anneau de valuation discrète, complète, à corps résiduel \(k\) parfait, corps des fractions \(K\), uniformisante \(\pi\).

\(\mathbb{V}\) le schéma en anneaux sur \(k\) défini par \(\mathbb{V}\) les deux \(\mathbb{V}\) sont écrits à double trait, l'un gras, l'autre maigre ; de même \(\mathbb{K}\) et \(\mathbb{W}\) ci-dessous.

\(\mathbb{K}\) le ind-schéma en anneaux défini par \[ A \rightsquigarrow \mathbb{W}(A)_{\pi} = \mathbb{K}(A) \] au-dessus de la ligne suivante, un \(\mathcal{C}_S\) isolé.

\(S = \operatorname{Spec}(\mathbb{V})\), on munit \(S\) de la « topologie de Weil » définie par \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \text{catégorie des $S'$ plats de type fini sur $S$.} \\ \text{descente fid.\ plate [\uncertain{ou} fid.\ \uncertain{plate} \ill{} ???]} \end{array}\right. \]

N.B. y a-t-il lieu de prendre \(S'\) simple sur \(S\) ? Non, car on ne peut pas prendre un gr. […] si \(S_0'\) n'est pas […] réduit ?? Peut-être… note oblique dans la marge gauche, à l'encre plus pâle ; la lecture en est presque entièrement douteuse. Dans l'accolade, la fin de la seconde ligne est soulignée d'un trait ondulé.

\(\mathcal{C}(S) = \) catégorie des faisceaux de Weil abéliens sur \(S\)

Donc un \(G \in \mathcal{C}(S)\) est un foncteur \(S' \mapsto G(S')\), soumis à des conditions d'exactitude connues.

On convient de prolonger \(G\) en \(\overline{G}\) aux préschémas plats \(S'\)-préschémas sur \(S\), par les conditions suivantes

• (i)\(\overline{G}\) de nature locale
• (ii)\(\overline{G}\) commute aux limites inductives d'anneaux

Alors […] aussi (iii)

• (iii)\(\overline{G}\) compatible avec descente par morphismes fid. plats de présentation finie.

Exemple : tout préschéma en gr. sur commutatif \(G\) sur \(S\) définit un faisceau de Weil, désigné par la même lettre. Si \(G\) est loc. de type fini sur \(S\), alors le prolongement canonique \(\overline{G}\) est encore « représenté » par le même \(G\), i.e. \[ \overline{G}(S') = \mathrm{Hom}_{S}(S', G). \] « commutatif \(G\) » est ajouté en interligne au-dessus d'un mot biffé.

92Dans la catégorie \(\mathcal{C}(S)\), on a les foncteurs \(H^{i}(S, F)\) et \(\mathrm{Ext}^{i}(S; F, G)\), […] \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S}(F, G)\). Notations, à ce propos \[ \begin{cases} H^{i}(S, F) = \mathrm{Ext}^{i}(S; \mathbb{Z}_{S}, F) \\[4pt] \mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(S; F, G) \Leftarrow H^{p}\bigl(S, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}(F, G)\bigr) \end{cases} \] le second \(\mathrm{Ext}\) de l'accolade est écrit avec un E à double trait ; la flèche \(\Leftarrow\) est celle d'une suite spectrale. L'indice de \(\mathrm{Ext}^{i}(S; F, G)\) à la première ligne est surchargé.

Soit \(U\) l'ouvert générique de \(S\), d'où une catégorie de faisceaux \(\mathcal{C}(U)\). On a un foncteur image directe par \(i \colon U \to S\) \[ i_{*} \colon \mathcal{C}(U) \to \mathcal{C}(S) \] Quels sont les foncteurs dérivés ??

93Soit \(\mathcal{T}'_{k}\) la topologie de Weil suivante : on adopte sur les quasi quasi-algébriques […] préschémas fl. qu.-cpts, la descente est donnée par les morphismes […] finis surjectifs. Soit \(\mathcal{C}'(k)\) la catégorie des faisceaux de Weil sur \(\mathcal{T}'_{k}\). on devrait de « finis » sans doute pour ce dessin d'avoir « application » entre \(\mathcal{T}_{S}\) et \(\mathcal{T}'_{k}\) ! note oblique dans la marge gauche, cernée d'un trait courbe ; lecture presque entièrement douteuse. Le mot biffé devant « finis » est long et surchargé ; « finis » est souligné deux fois.

On a dans \(\mathcal{C}'(k)\) les foncteurs \(H^{i}(k, G)\), \(\mathrm{Ext}^{i}(k; F, G)\), et \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(F, G)\) et les relations habituelles \[ \begin{cases} H^{i}(k, F) \simeq \mathrm{Ext}^{i}(k; \mathbb{Z}_{k}, F) \\[4pt] \mathbb{E}\mathrm{xt}^{*}(k; F, G) \Leftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{k}(F, G)\bigr) \end{cases} \] « et \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(F, G)\) » est ajouté en interligne ; dans la seconde ligne, l'argument \(k\) est surchargé et les indices du dernier \(\underline{\mathrm{Ext}}\) sont serrés.

On montre que si \(k\) est alg. clos, alors \(H^{i}(k, F) = 0\) pour \(i > 0\). La formation des \(\underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{k}(F, G)\) commute : l'extension du corps de base….

Il y a lieu de calculer donner des règles de calcul pour des \(H^{i}(k, G)\), \(\mathrm{Ext}^{i}(k; F, G)\) si \(G\) provient d'un quasi-préschéma en groupes habituel sur \(k\), [p. ex. d'un pro-groupe de Serre de type « spécial », i.e. à morphismes de transition affines pour l'indice grand…]. « quasi » est ajouté en interligne au-dessus de « préschéma ». Il faudrait prouver alors que (k.l. […] p. ex.)

• a)si \(G\) est simple sur \(k\), ses \(H^{i}(k, G)\) sont les \(H^{i}(k, \tilde{G})\), où \(\tilde{G}\) est le faisceau de Weil associé…
• b)Kif-kif pour les \(\mathrm{Ext}^{i}(k; F, G)\)….

94Il faudrait aussi, de façon générale [dans le contexte « quasi »] étudier […] si \(H^{i}(k, G)\) peut se calculer comme une cohomologie galoisienne…. trois traits verticaux dans la marge gauche, en face de ce paragraphe.

N.B. Il suffit par cohérence fid. plates […] […] Weil permutés ligne biffée d'un double trait et encadrée ; lecture très douteuse. Le reste du feuillet est blanc.

95(dit de Néron) On va définir un foncteur fondamental \[ \mathcal{N} \colon \mathcal{C}(S) \to \mathcal{C}'(k) \] « (dit de Néron) », « Néron » souligné, est écrit en haut à droite dans une accolade qui pointe vers « fondamental ». Pour ceci, si \(F\) est un faisceau faisceau de Weil sur \(S\), on définit un faisceau de Weil sur \(\mathcal{T}_{k}\) en prenant, pour \(A\) une algèbre réduite sur \(k\)… […]. \[ \mathcal{N}(F)(A) = \varinjlim_{\mathcal{P}} F\Bigl(\operatorname{Spec}\bigl(\mathbb{V}\bigl(\textstyle\prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} A^{\mathcal{P}}_{i}\bigr)\bigr)\Bigr) = \varinjlim_{\mathcal{P}} \prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} F\bigl(\mathbb{V}(A^{\mathcal{P}}_{i})\bigr) \] au-dessus de la première égalité, une variante surchargée, qui s'écrit « \(= F\bigl(\varinjlim_{\mathcal{P}} \mathbb{V}(A^{\mathcal{P}})\bigr)\) \(= F\bigl(\varprojlim_{\mathcal{P}} \operatorname{Spec}(\mathbb{V}(A^{\mathcal{P}}))\bigr)\) », avec, en exposant, « \(\operatorname{Spec}(\varinjlim_{\mathcal{P}} \mathbb{V}(A^{\mathcal{P}}))\) » relié par un « \(=\) ». Sous le produit, une accolade donne « \(\prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} A^{\mathcal{P}}_{i} = A^{\mathcal{P}}\) ». Le \(\mathcal{P}\) transcrit ici est chez lui un P barré (une partition) ; le « Spec » est surchargé sur un S.

\(\mathcal{P}\) parcourant les « partitions constructibles finies » de \(A\), et où pour une telle \(\mathcal{P}\), \(I_{\mathcal{P}}\) est son ensemble d'indices, et \(A^{\mathcal{P}}_{i}\) les composantes correspondantes de \(A\). En d'autres termes, on prend un préschéma fl. qu.-cpt réduit (cqch) […], considéré comme un pro-(schéma affine) sur \(k\), on le transforme par \(\mathbb{V}\) en un pro-(schéma affine) sur \(S\), et on lui applique le foncteur \(F\). [N.B. \(\mathcal{N}(F)\) ne commute pas […] les limites […] […] […]… pratiquement, on pourrait se limiter le « [N.B.… » du bas est biffé de grandes croix ; lecture très douteuse. « cqch » (quelque chose) est ajouté en interligne.

N.B. On a une « application » […] […] […] \(\mathcal{C}'_{k} \to \mathcal{C}_{S}\), produits, dit le foncteur […] faisceaux formels […]… […] […] produits directs ! ? Non, car le foncteur \(\mathbb{V} \colon k\text{-alg.} \to \mathbb{V}\text{-alg.}\) ne commute pas aux limites inductives… la première note marginale est oblique, cernée d'un trait courbe dans la marge gauche ; la seconde, en bas à gauche, également oblique ; toutes deux sont d'une lecture presque entièrement douteuse. Le \(\mathcal{C}'_{k}\) de la première est surchargé.

96dans la catégorie \(\mathcal{C}'(k)\) un foncteur commutant aux […] avec les limites inductives ces deux lignes, suite de la note biffée du bas de la page 95, sont barrées de grandes croix.

On constate que le foncteur \(\mathcal{N}\) qu'on vient de définir est exact à gauche, donc transforme groupe injectif en groupe injectif…, d'où \(\mathcal{C}(S) \to \mathcal{C}'(k)\). On pose aussi \[ \mathcal{N}(F) = \underline{H}^{0}_{S/k}(F) \] et […] par suite \[ \mathrm{R}^{i}\mathcal{N}(F) = \underline{H}^{i}_{S/k}(F) \] Notons l'isomorphisme \[ H^{0}_{S} \simeq H^{0}_{k} \circ \underline{H}^{0}_{S/k} \] et d'autre part que \(\underline{H}^{0}_{S/k}\) transforme injectifs en injectifs car construit […] adjoint […] \(\mathcal{N} = \underline{H}^{0}_{S/k}\) […] par […] dernier est exact […] généralisé : \(\mathrm{Hom}(\Phi, \mathcal{N}(F)) \simeq \mathrm{Hom}(\mathcal{N}^{*}(\Phi), F)\) à vérifier… « transforme injectifs en injectifs » est souligné ; « à vérifier… » est écrit dans la marge gauche en face. Les trois lignes qui suivent, avec la formule d'adjonction, sont encadrées et biffées de grands traits ; le \(\mathcal{N}^{*}\) de la formule est une lecture douteuse. D'où une suite spectrale de Leray \[ H^{*}(S, F) \Leftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{H}^{q}_{S/k}(F)\bigr) \]

97Plus généralement, définissons \[ \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G) = \underline{H}^{0}_{S/k}\bigl(\underline{\mathrm{Hom}}_{S}(F, G)\bigr) \] Alors et notons les foncteurs dérivés de \(G \mapsto \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G)\) par \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S/k}(F, G) \] On a alors, si on admet que pour \(G\) injectif, \(\underline{\mathrm{Hom}}_{S}(F, G)\) est acyclique pour \(\underline{H}^{0}_{S/k}\) et pour \(H^{0}_{S}\), la suite spectrale \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{S/k}(F, G) \Leftarrow \underline{H}^{p}_{S/k}\bigl(\underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{S}(F, G)\bigr) \] vérifier un trait vertical dans la marge gauche longe l'hypothèse, avec « vérifier » en face ; l'indice de \(\underline{\mathrm{Ext}}^{*}\) est surchargé d'une tache d'encre. et compte tenu de \[ \mathrm{Hom}_{S}(F, G) \simeq H^{0}\bigl(k, \underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G)\bigr) \] et admettant que pour \(G\) injectif, \(\underline{\mathrm{Hom}}_{S/k}(F, G)\) est acyclique pour \(H^{0}(k, -)\), on trouve \[ \mathrm{Ext}^{*}(S; F, G) \Leftarrow H^{p}\bigl(k, \underline{\mathrm{Ext}}^{q}_{S/k}(F, G)\bigr) \] vérifier même trait vertical et même « vérifier » en marge. Signalons aussi \[ \underline{H}^{i}_{S/k}(F) \simeq \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{S/k}(\mathbb{Z}_{S}, F) \]

Notations et remarques analogues en partant de faisceaux sur \(U \subset S\), au lieu de \(S\).

99\[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{K\text{-}\mathrm{gr}}(G, S\gamma) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Ext}}^{i+n}_{k\text{-}\mathrm{gr}}(T^{*}G, \gamma) \] \(S\gamma = (D \Delta \gamma_{K})(1)\) la note encadrée en haut à gauche, reliée par une flèche au premier \(S\gamma\), donne la définition de \(S\gamma\) ; le \(D\) en est une lecture douteuse. Ses \(\underline{\mathrm{Ext}}\) sont soulignés deux fois, d'un trait droit et d'un trait ondulé ; on ne rend que le premier. L'exposant \(i+n\) est surchargé, de même le second argument du membre de droite (un \(\gamma\) sur une autre lettre) ; sur \(T^{*}\) l'astérisque est surchargé. isom. si \(G\) affine sans composante \(\mathbb{G}_{a}\) \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{K/k}(G, S\gamma) \to \underline{\mathrm{Ext}}^{2i}(T^{*}G, \gamma) \] l'exposant « \(2i\) » est surchargé ; la lecture n'en est pas sûre. isom. \[ \underline{\mathrm{Ext}}^{i}_{K/k}(G, S\gamma) \to \underline{\mathrm{Ext}}^{i} \] la ligne s'arrête là. Plus bas, à gauche, un symbole biffé ([…]) indicé \(K/k\), puis, seul, « \(\mathrm{R}^{*}\!\int_{K/k}\) ».

1. 1)\(K\)-groupes algébriques. \(\mathrm{Ext}\), \(\underline{\mathrm{Ext}}\), \(H^{p}\) de \(K\)-groupes algébriques nuls pour \(i \geqslant 2\) sous \(\mathrm{Ext}\), \(\underline{\mathrm{Ext}}\) et \(H^{p}\), trois traits descendent vers trois gloses serrées : « nature arithmétique i.e. globale », « nature géométrique », « nature arithmétique i.e. globale » ; « nuls pour \(i \geqslant 2\) » est relié par un trait à \(\underline{\mathrm{Ext}}\).
2. 2)Dualité de Cartier. Extension aux […]\(\mathrm{gr}_{K}\)
3. 3)Cohomologies algébriques, leurs \(\mathrm{Ext}\), \(\underline{\mathrm{Ext}}\), \(H^{p}\)
4. 4)Dualité de Serre-Rosenlicht
5. 5)Le foncteur \(\underline{\Gamma}_{K/k}\) […] (le Néron-[…]) nul pour \(i > 3\)
6. 6)Les foncteurs […] \(\underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{K/k}(F, G)\), \(\underline{H}^{*}_{K/k}(G)\) \[ E^{*}_{K/k}(F, G) \qquad \mathbf{E}_{K/k}(G) \]
7. 7)L'hom. fondamental.
8. 8)Le th. de dualité.

plan de travail numéroté 1)–8), au crayon ; les items 3), 5) et 8) portent un double trait oblique dans la marge gauche, sans doute une coche. Au point 2), le symbole devant \(\mathrm{gr}_{K}\) est une grande lettre surchargée (un \(\mathcal{K}\) ? un « Ind » ?). Au point 4), le titre est souligné d'un trait qui remonte encadrer la parenthèse de 5), « (le Néron-[…]) », dont le second nom est surchargé ; le « nul pour \(i > 3\) » y est relié. Au point 6), un mot est biffé avant \(\underline{\mathrm{Ext}}^{*}_{K/k}\), et \(\underline{H}^{*}_{K/k}\) est souligné d'un trait ondulé ; \(E^{*}_{K/k}(F, G)\) et \(\mathbf{E}_{K/k}(G)\) sont écrits dessous comme notations abrégées.