Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 61–80

feuille de schémas épars, sans prose suivie ; elle semble prolonger les pages 51–56 (anneaux A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} attachés aux chaînes d'idéaux premiers) et 59–60 (l'élément \Theta). En haut à gauche, un « 1 » isolé, peut-être un numéro de feuillet. Les schémas sont donnés dans l'ordre de la page

\begin{tikzcd} \hat{A}_{\mathfrak{p}} \arrow[r, "{\mathfrak{q}\hat{A}_{\mathfrak{p}}}"] & A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \\ A \arrow[u] \arrow[r] & \hat{A}_{\mathfrak{q}} \arrow[u] \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche horizontale, « l' » ; au centre du carré « commutatif » ; à droite de la flèche verticale, « local »

\begin{tikzcd}[column sep=small] & A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}, \mathfrak{r}]} & & \\ A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \arrow[ur] & & A_{[\mathfrak{q}, \mathfrak{r}]} \arrow[ul] & \\ A_{[\mathfrak{p}]} \arrow[u] & A_{[\mathfrak{q}]} \arrow[ul] \arrow[ur] & & A_{[\mathfrak{r}]} \arrow[ul] \\ & A_{\mathfrak{p}} \arrow[ul] \arrow[u] \arrow[urr] & & \end{tikzcd}

le treillis est redessiné en simplifiant sa disposition ; la flèche de A_{\mathfrak{p}} vers A_{[\mathfrak{r}]} est légendée, dans un ovale, « complétion par \mathfrak{r} » ; dessous : \mathfrak{p} \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{r}

À droite : \pi_{x_n} \Theta \cdots \Theta \pi_{x_2} \Theta \pi_{x_1} \qquad \mathfrak{p} \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{r} sous le produit, une flèche horizontale épaisse, de gauche à droite \begin{array}{ll} A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} & \\ \uparrow \text{\ill{} \uncertain{plat} \ill{} \ill{}} & \\ A_{\mathfrak{q}} & A_{\mathfrak{q}} / \mathfrak{q} A_{\mathfrak{q}} \end{array} il y a de dim. 1, A/\mathfrak{q}, A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \otimes_{A_{\mathfrak{q}}} A_{\mathfrak{r}} / \mathfrak{r}^{n} A_{\mathfrak{r}} \qquad A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} / \mathfrak{r}^{n} A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \otimes A_{\mathfrak{r}} sous le second terme, souligné : « dim. 1 », puis « complétion de A/ » ; au centre de la page, un petit carré vide marqué d'un point

Au bas de la page :

\begin{tikzcd}[column sep=small] A_{[\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_{n-1}]} \arrow[r] & A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \\ \hat{A}_{\mathfrak{p}_1} \cdots \hat{A}_{\mathfrak{p}_i} \cdots \arrow[ur] & \hat{A}_{\mathfrak{p}_n} \arrow[u] \end{tikzcd}

la flèche du haut porte une lettre biffée ; au-dessus des \hat{A}_{\mathfrak{p}_i}, « A_{[\mathfrak{p}_1} » biffé ; à droite, « A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots,} » inachevé. En bas, trois croquis sans légende lisible : un réseau de courbes autour d'un point ; une flèche verticale de \mathcal{C} vers « Ens. » ; et x_0 \longrightarrow x_n surmonté d'un arc, légendé « chaîne saturée »

feuille de formules éparses, dans la suite de la précédente et des pages 59–60 (anneaux A_c des chaînes saturées, élément \Theta) ; les blocs sont donnés de haut en bas A_{[x_n]} \Theta A_{[x_{n-1}]} \cdots \Theta A_{[x_1]} \Theta A_{[x_0]} sous la formule, une flèche vers la gauche ; à droite, trois petits segments gradués (chaînes dessinées), un signe et K_c \longrightarrow \prod_{c'} K_{c'} \qquad \mathrm{Hom}(K_{*}, K_{*}) \qquad H_{I}\bigl(DD(A)\bigr) = \underline{H}^{**}(A) \qquad A_x un trait horizontal traverse ensuite la page ; sur ce trait, un petit croquis de courbe marquée d'un point (u_1 - u_2)^{2} = u_1 u_1 - u_1 u_2 - u_2 u_1 \qquad \sum 1_{x_0, x_1} \qquad u_1 le développement est inachevé à droite du trait A_{c'} \times A_{c} \longrightarrow A_{c'c} \quad \text{si \emph{$c'$ et $c$ composables} (\uncertain{bout} à \uncertain{bout})} c = (x_0, \ldots, x_n), \qquad c' = (x_n, \ill{}, x_m) \text{\ill{}} \qquad \begin{array}{l} A_{c'} \longrightarrow A_{c'c} \\ A_{c} \longrightarrow A_{c'c} \end{array} suit une ligne soulignée : « produit »

\begin{tikzcd} A_{c''} \times A_{c'} \times A_{c} \arrow[r] \arrow[d] & A_{c''c'} \times A_{c} \arrow[d] \\ A_{c''} \times A_{c'c} \arrow[r] & A_{c''c'c} \end{tikzcd}

dans le coin inférieur gauche, un signe biffé entre A_{c''} et A_{c'c}, lu \times f, g, h \longmapsto \bigl(i_{c'', c''c'}(f)\, i_{c', c''c'}(g),\ h\bigr) \longmapsto i_{c''c', c''c'c}(\,\cdots\,)\, i_{c, c''c'c}(h) = i_{c'', c''c'c}(f)\, i_{c', c''c'c}(g)\, i_{c, c''c'c}(h) la formule est disposée en deux étages reliés par une flèche verticale et une accolade ; un signe biffé la précède. Au-dessous, à gauche, trois segments consécutifs légendés c, c', c'', et « A_c »

feuille de formules et de croquis ; un trait horizontal la partage en deux. Les blocs sont donnés de haut en bas \underbrace{\prod_{\mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n} A_{[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \ldots, \mathfrak{p}_n]}}_{\mathcal{A}^{n}} \longleftarrow \prod_{\mathfrak{q}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{q}_{n-1}} A_{[\mathfrak{q}_1, \ldots, \mathfrak{q}_{n-1}]} cosimplicial ?! \mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \qquad x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \qquad A_{\mathfrak{p}, \mathfrak{q}} \qquad \prod_{\mathfrak{q} \subset \mathfrak{p}} A_{[\mathfrak{q}, \mathfrak{p}]} \qquad \Theta^{2} = 0 sous les chaînes, deux croquis de segments gradués parcourus par des flèches vers la gauche, un petit parallélogramme marqué d'un point, et un « A » isolé \Sigma\, 1_{\mathfrak{q}, \mathfrak{p}} \qquad [\mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n] \qquad \coprod_{\mathfrak{q}} 1_{\mathfrak{q}, \mathfrak{p}_1} \qquad \downarrow 1_{\mathfrak{q}\, \mathfrak{p}} \prod_{\mathfrak{q}} [\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n] \qquad\qquad \prod_{\mathfrak{q}} [\mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \supset \mathfrak{q}] des lignes courbes et des flèches relient ces termes : la multiplication par \Theta = \Sigma\, 1_{\mathfrak{q}, \mathfrak{p}} à gauche allonge la chaîne par le haut, à droite par le bas ; le dessin est résumé ici

A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r]} anneau local muni de r topologies (non adiques en général) différentes, T_1, \ldots, T_r (pas nécessairement comparables) métrisables et complètes. à droite : \hat{A}_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{q}^{n} \hat{A}_{\mathfrak{q}} et \hat{A}_{\mathfrak{q}} ; à gauche, un croquis de quadrilatère marqué d'un point une suite filtrante tend vers 0 pour T_i, voisinage de 0 V_i, pour T_{i-1}, la page s'arrête sur cette virgule

feuille de formules ; en haut, un petit croquis de deux crochets chevauchants au-dessus de « \circ \mathfrak{r} \mathfrak{m} » \hat{A}_{\mathfrak{r}} \otimes_{A} K \qquad \widehat{\hat{A} \otimes A_{\mathfrak{r}}} \qquad \widehat{A/\mathfrak{r}^{n}A} \otimes A \qquad \underline{A}_{\mathfrak{r}} \qquad A/\mathfrak{r}^{n}A des courbes relient \underline{A}_{\mathfrak{r}} aux deux derniers termes \begin{array}{l} A/\mathfrak{m} = B_0 = L_0 \\ \widehat{A/\mathfrak{r}} = B_1 \subset L_1 = \text{\uncertain{anneau} \uncertain{local} \uncertain{des} \uncertain{fractions} \uncertain{de} } \widehat{A/\mathfrak{r}} = B_1 \\ \varprojlim L_1 \qquad = \hat{A}_{\mathfrak{r}} \otimes_{A} A_{\mathfrak{r}} / \mathfrak{r} A_{\mathfrak{r}} \end{array} dans la première ligne, un signe biffé avant B_0. À gauche, un croquis de deux courbes se coupant, l'une marquée d'un point A \qquad \mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \qquad A_{[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \ldots, \mathfrak{p}_n]} au-dessus de \mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 et de \supset \mathfrak{p}_n, deux petites marques en chapeau définition par récurrence sur n \geq 1. A \to \hat{A}_{\mathfrak{p}} \quad \text{\ill{} \uncertain{local} \uncertain{complété}} \qquad A_{[\mathfrak{p}]} = \hat{A}_{\mathfrak{p}} si n = 1 ; c'est un anneau A local noeth. et complet et une algèbre sur A. A_{[\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_n]} déjà défini, c'est local noethérien séparé et complet, et une algèbre sur A. A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} = \varprojlim_{n} \hat{A}_{\mathfrak{p}} \otimes_{A} A_{\mathfrak{q}} / \mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \qquad (\mathfrak{p} \supset \mathfrak{q}) \qquad \widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} \otimes complet dont le corps résiduel K(\mathfrak{p}, \mathfrak{q}) dans la formule précédente, un signe biffé avant \varprojlim est l'anneau total des fractions de \widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} = \hat{A}_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{q} \hat{A}_{\mathfrak{p}} (complété d'un anneau local intègre noeth. de dim. 1)

feuille de formules et de croquis, puis, au bas, une définition rédigée ; les blocs épars du haut sont donnés dans l'ordre de la page. En tête, à gauche, un \mathcal{A} cursif isolé ~~\Theta^{2} = 0~~ A \longrightarrow \mathcal{B} \qquad \Theta_{x x'} = \qquad \Theta \qquad \Theta^{2} = 0 après le second \Theta, un signe biffé ; sous \Theta^2 = 0, « A \otimes B » biffé \pi_{x'} \Theta \pi_{x} = \Theta_{x x'} \qquad x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots \geq x_n \geq x_{n+1} \geq x_{n+2} \qquad \Theta_{x_1, x_2}\ \Theta entre les deux, une ligne biffée : ~~x_1 \subset x_2 \subset X~~ à gauche, un croquis de parallélogramme ; à droite, deux segments gradués, dont l'un a un intervalle épaissi \pi_{x_m} \Theta \cdots \pi_{x_{n+2}} \Theta \pi_{x_{n+1}}\ \underbrace{\varphi_{x_n x_{n+1}}}\ \underbrace{\pi_{x_n} \Theta \cdots \pi_{x_3} \Theta \pi_{x_2} \Theta \pi_{x_1}} \varphi_{x} \quad \varphi_{x'} \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \Theta\ \text{\uncertain{$A$-linéaire}} \\ \Theta^{2} = 0 \\ \Theta\ \text{\uncertain{de} \uncertain{degré} 1} \end{array} \right. \qquad \Theta autour, trois croquis : un parallélogramme aux sommets marqués \mathfrak{m} et \mathfrak{p}, un carré en pointillé parcouru de flèches, et un segment gradué \circ, \mathfrak{r}, \mathfrak{m} avec une flèche oblique ; sous le premier, le mot « Hom »

\mathcal{A} ~~anneau gradué topologique,~~ \mathcal{A} surmonte cette ligne biffée ; la ligne suivante la remplace

\mathcal{A}^{*} algèbre topologique (séparée, complète) graduée sur A, à degrés \geq 0, avec « (séparée, complète) » est ajouté au-dessus de la ligne ; au lieu de « \geq 0 », un premier signe est surchargé \left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{A}^{0} = \prod_{x \in X} \hat{\mathcal{O}}_{x} \quad \text{\uncertain{d'où} \uncertain{des}}\ \pi_{x} \in \mathcal{A}_0 \quad (x \in X) \\ \qquad \text{(\uncertain{comme} \uncertain{A-algèbre} \uncertain{topologique})} \\[4pt] \Theta \in \mathcal{A}^{1}, \quad \text{avec}\ \underline{\Theta^{2} = 0}, \quad \underline{\pi_{x'} \Theta \pi_{x} = 0\ \text{si}\ x'\ \text{\uncertain{ne} \uncertain{précède} \uncertain{pas}}\ x} \end{array} \right. un signe biffé suit « \mathcal{A}^{0} = » ; dans (x \in X), le X est écrit sur un A ; un mot biffé précède « si »

\mathcal{A} libre pour ces propriétés … la page s'arrête sur ces points

feuille de formules ; en tête, deux lignes biffées : ~~Hom~~ et ~~H^{*}(A) = \varinjlim~~ \underbrace{\mathrm{Hom}(K_{*}, K_{*})}_{\substack{\text{\uncertain{$A$-algèbre} \uncertain{graduée}} \\ \text{\uncertain{par} \uncertain{la} \uncertain{composition} \uncertain{des} \uncertain{Hom}}}} = \prod_{x} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K\bigr) \supset \prod_{x} \coprod_{y} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(y)\bigr) dans le premier \mathrm{Hom}, un indice biffé après le premier K ; à droite : K(x) \to \coprod_{x'} K(x') \prod_{x} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(x)\bigr) \qquad \prod_{x} ligne biffée : ~~\mathrm{Hom}^{0}(K~~ \mathrm{Hom}^{0}(K, K)^{0} = \prod_{x} \hat{\mathcal{O}}_{x} \qquad \text{\ill{} \uncertain{composantes}} \quad (\pi_{x}) \pi_x est entouré \underset{\text{(\uncertain{l'application} \uncertain{nulle})}}{\Theta} \in \mathrm{Hom}(K, K)^{1} = \prod_{x} \mathrm{Hom}\Bigl(K(x), \coprod_{\underline{\underline{x'\ \text{précède}\ x}}} K_{x'}\Bigr) \simeq \prod_{\substack{\text{\uncertain{restreint}} \\ x'\ \text{\uncertain{précède}}\ x}} \hat{\mathcal{O}}_{x, x'} \pi_{x'} \Theta \pi_{x} \qquad \hat{\mathcal{O}}_{x, x'} avant \pi_{x'}, un signe biffé ; à droite, un groupe biffé et surchargé, où se lisent \Theta et \mathcal{O}_{x'} \begin{array}{cc} \mathcal{O}_{x'} & \longrightarrow \ \mathcal{O}_{x} \\ \| & \| \\ A & A_{\mathfrak{p}} \end{array} \qquad\qquad \Sigma\, \varphi_{x'} \Theta \varphi_{x} \qquad \pi_{x'} au centre, un croquis : deux cercles sécants et un point A_{\mathfrak{p}} \rightsquigarrow I_{A} \qquad \hat{A} \otimes_{A} A_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{p}^{n} A_{\mathfrak{p}} \qquad D(A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n}A_{\mathfrak{p}}) \to I_{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n}A_{\mathfrak{p}}} \qquad \hat{A} \otimes_{A} \hat{A}_{\mathfrak{p}} \qquad \widehat{A_{\mathfrak{p}}} \qquad A_{\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'} dans le deuxième terme, le signe \otimes est surchargé \Gamma(u\, v) = \qquad [\Theta, x] \qquad \mathrm{Hom}(K, K) \lbrace \Theta, u \rbrace = \Theta u + (-1)^{\deg \Theta \deg u} u \Theta = \Theta u + (-1)^{\deg u} u \Theta [si \deg u = 0, \deg \Theta = 1, \Theta u - u \Theta] le signe entre crochets semble contredire la formule qui précède (on attendrait \Theta u + u \Theta pour \deg u = 0) ; il est transcrit tel qu'on le lit

feuille de formules et de croquis, dans la suite de la précédente ; les blocs sont donnés de haut en bas K(x) \longrightarrow \coprod_{y} K(y) \qquad K(x) \longrightarrow \prod_{x'\ \text{\uncertain{précède}}\ x} \left\lbrace \begin{array}{c} x \\ \downarrow \\ x' \\ \mid \\ x'' \end{array} \right. \qquad \begin{array}{c} K(x) \longrightarrow \coprod_{x'\ \text{précède}\ x} K(x') \\ \downarrow \\ \coprod_{x''\ \text{biprécède}\ x} K(x'') \end{array} \underbrace{K(x) \longrightarrow \coprod_{\substack{x' \\ \text{\uncertain{pts} \uncertain{intermédiaires}} \\ \text{\uncertain{entre} } x \text{ et } x''}} K(x') \longrightarrow K(x'')}_{\text{\uncertain{nul}}} ligne biffée : ~~\mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(y)\bigr)~~ \mathrm{Hom}(K, K) = \prod_{x} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K\bigr) = \prod_{x} \prod_{y}^{\text{\uncertain{restreint}}} \underbrace{\mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(y)\bigr)}_{H(x, y)} H(x, x)\ \text{\uncertain{un} \uncertain{anneau}} \qquad H(x \qquad K \rightsquigarrow I \qquad \mathrm{Hom}(K, K(\mathfrak{p}) \longrightarrow I \qquad \mathrm{Hom}\bigl(K, D(A)\bigr)\ \text{(\uncertain{anneau} \uncertain{des} \uncertain{fractions})} \qquad \mathfrak{q} \supset \mathfrak{p} le bas de la page est occupé par des croquis : un segment épaissi relié par des flèches à K(x), K(x'), K(y), K(y') ; un segment gradué parcouru d'arcs ; deux graphes de points reliés par des flèches étiquetées d, d', d_s' et \Theta (entouré), le second portant les poids 1, 2, 3 ; de petits segments légendés « d gauche », « gauche d » ; un segment gradué sous \Theta\, \Theta\, \Theta \quad \Theta\, \Theta ; et un dernier croquis légendé « gauche \Theta »

\begin{tikzcd}[column sep=small] & K(x) \arrow[r] & K(y) \arrow[dr] & \\ K(x') \arrow[ur] \arrow[rrr] & & & K(y') \end{tikzcd}

au-dessus de la flèche du haut : x \geq y ; sous la flèche du bas : x' \geq x \geq y \geq y', le \geq central sous une accolade H(x, y) \longrightarrow H(x', y') chaque fois qu'on a donné une chaîne saturée joignant x à x' et une autre joignant y' à y. y' \rightsquigarrow y \longrightarrow x \rightsquigarrow x' Si : chaîne saturée s joignant x à y, on associe H_s = H(x, y), alors si s \leq s', alors H_s \to H_{s'} ; ~~d'ailleurs H_{s'} est engendré par les images des H_s, pour s' \leq s, s'identifie à s~~ le passage biffé est d'une lecture incertaine ; un « i » est écrit au-dessus de « H_{s'} » H_s \quad s\ \text{de longueur}\ 0 \qquad H_s \quad s\ \text{de longueur}\ 1 \Bigl(\coprod_{s \in C_2(x, y)} H_s\Bigr) \Bigl(\coprod_{t \in C_{1}(x, y)} H_t\Bigr) \qquad \uparrow \qquad \underset{s \in C_0(x, y)}{H} la flèche verticale monte de H, indexé par s \in C_0(x, y), vers le produit ; l'indice du second coproduit est d'une lecture incertaine. À gauche, des croquis de segments et de deux chaînes joignant deux points, entourées d'accolades K_n = \coprod H_s \qquad \prod_{x} H\bigl(x, \textstyle\coprod y\bigr) \qquad \prod_{x} \prod_{y\ \text{\uncertain{local}}} H(x, y) à droite, une suite de flèches doubles et simples, \rightrightarrows \rightrightarrows \to \to

I ensemble ordonné « discret » en

\tilde{I} catégorie des flèches composées

K foncteur de \tilde{I} dans \mathcal{C}

Jacobiennes locales

titre pris sur la page 69, une couverture de carton chamois inscrite de sa main, en haut à droite, « Jacobiennes locales » ; la page 70 répète ces mots, encadrés au crayon rouge, en tête de page

Tout dépend des quelles théories place : Jacobiennes locales, encadré au crayon rouge

I) Théorie Čechiste pour la topologie de Zariski. (celle où le H^1 classifie les fibrés principaux loc. triviaux). exacte 0 \to G' \to G \to G'' \to 0 est loc. triviale. deux lignes interlinéaires serrées, en partie biffées, et une addition au-dessus de la ligne (« à priori ») ; la fin de la phrase est très incertaine

Si X = \operatorname{Spec}(A) est le spectre d'un local, on aura : \begin{array}{ll} H^{i}(X, G) = 0 & \text{si } i > 0 \\ H^{i}(X - a, G) = 0 & \text{si } i \geq \dim A \end{array} après « \dim A », un groupe biffé où se lit (X - a) + 1 ; au-dessous, entre crochets : « [car dim. comb. (X - a) \leq \dim A - 1] » d'où 0 \to H^{0}(X/X - a, G) \to H^{0}(X, G) \to H^{0}(X - a, G) \to H^{1}(X/X - a, G) \to 0 H^{i}(X/X - a, G) \overset{\partial}{\longleftarrow} H^{i-1}(X - a, G) \qquad (i \geq 2) [c'est nul si i > \dim A] la flèche \partial est double, \leftleftarrows ou \simeq ; le dernier signe entre crochets est surchargé

On suppose A régulier.

a) H^{0}_{A}(G) = \left\lbrace \begin{array}{ll} G(A) = G(K) & \text{si } \dim A = 0 \\ 0 & \text{si } \dim A > 0 \end{array} \right. Le foncteur H^{0}_{A}(G) est exact pour les suites loc. triviales ~~( A )~~. au-dessus du mot biffé, un mot ajouté, peut-être « courtes »

b) H^{1}_{A}(G) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } \dim A \neq 1 \\ G(K)/G(A) & \text{si } \dim A = 1 \end{array} \right. à droite de la première ligne, une parenthèse biffée et surchargée, où se lisent « distinguer » et A Le foncteur H^{1}_{A}(G) est exact pour les suites loc. triviales. Prouver que si \dim A = 1, J_{A/k} est connexe, sans composante abélienne (car H^{1}_{A}(G) est nul pour G propre ou discret) la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche ; le J de J_{A/k} est surchargé

c) H^{2}_{A}(G) = H^{1}(X - a, G) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0 \quad \text{si } \dim A \neq 2 \\ \text{\ill{}} \end{array} \right. groupe composantes connexes de G. dans H^{1}(X - a, G), l'exposant 1 est écrit sur un 2 ; à droite de la première ligne, un passage lourdement biffé, où se lit « \mathrm{Ab} »

la page est presque blanche ; au bas, tête-bêche par rapport au numéro de l'archiviste, neuf lignes qui donnent une autre rédaction des points a)–c) de la page 70 (probablement une première version). Un long trait vertical, peut-être une annulation, traverse les formules

a) H^{0}_{A}(G) = \mathrm{Ker}\bigl[G(\operatorname{Spec}(A)) \to G(\operatorname{Spec}(A) - a)\bigr] = \left\lbrace \begin{array}{ll} G(A) & \text{si } \dim A = 0 \\ 0 & \text{si } \dim A \neq 0 \end{array} \right. Si \dim A \neq 0, le foncteur H^{0}_{A}(G) est exact pour les suites exactes qui sont loc. triviales. devant cette ligne, dans la marge, un « b » surchargé

b) H^{1}_{A}(G) = \mathrm{Coker}\bigl(G(\operatorname{Spec}(A)) \to G(\operatorname{Spec}(A) - a)\bigr) = \left\lbrace \begin{array}{ll} G(K)/G(A) & \text{si } \dim A = 1 \\ 0 & \text{si } \dim A \neq 1 \end{array} \right.

c) H^{2}_{A}(G) = H^{1}_{?}(\operatorname{Spec}(A) - a, G) il faut choisir sa théorie : (fibrés loc. triviaux, strictement isotriviaux, isotriviaux …). On trouve : l'exposant de H^{2}_{A} est d'une lecture incertaine ; l'indice de H^{1} est un « ? » ; la page s'arrête sur « On trouve : »

suite de la page 70 (point c)). Il écrit deux sortes de H : le H droit de la théorie de Zariski, et un H cursif, rendu ici \mathcal{H}, pour la théorie des fibrés principaux quelconques Si \dim A = 0 ou 1, il n'y a rien à prouver, on peut supposer \dim A \geq 2. Soit \mathcal{H}^{1} la théorie des classes de fibrés principaux homogènes (triviaux par extension fid. plate quasi-compacte de la base). On aura H^{1}(X - a, G) \subset \mathcal{H}^{1}(X - a, G), qui lui est égal produit G. On a si ~~\dim A =~~ G est au-dessus du passage biffé, « propre sur la » ; en tête de page, à droite, « \dim A = 2 » d'une autre encre H^{1}(X - a, G) = 0 \qquad (\text{\uncertain{loc.}\ \uncertain{trivial}} = \text{\uncertain{trivial}}), avant « = 0 », un groupe lourdement biffé donc tout H^{1}(X - a, G) provient de \mathcal{H}^{1}(X - a, L), L le sous-groupe linéaire [connexe] « [connexe] » est ajouté au-dessus de « linéaire », entre crochets On peut même prendre linéaire connexe, sans que ~~H^1 = \mathcal{H}^1 (~~ H^{1}(G) = \mathcal{H}^{1}(G), donc aura H^{1}(X - a, G) = \mathrm{Im}\bigl(H^{1}(X - a, L) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) \mathrm{Im}\bigl(\mathcal{H}^{1}(X - a, L) \to \mathcal{H}^{1}(X - a, G)\bigr) = H^{1}(X - a, L) / \mathrm{Im}\, H^{0}(X - a, G/L) dans la première ligne, le terme biffé est H^{1}(X - a, L) ; le « \mathrm{Im} » du début de la seconde est biffé d'un trait Or H^{0}(X - a, G/L) = H^{0}(X, G/L) puisque , H^{1}(X, L) = 0, donc \underline{H^{1}(X - a, G) = H^{1}(X - a, L)}. D'ailleurs, comme X est factoriel, H^{1}(X - a, \mathbb{G}_m) = 0, d'où H^{1}(X - a, L) = H^{1}(X - a, U), U le composant unipotent. Cette dernière se ramène à les H^{1}(X - a, \mathbb{G}_a), qui sont nuls si \dim A > 2, mais non pour \dim A = 2. « \mathbb{G}_m » et « \mathbb{G}_a » sont lus sur des G à indice peu net

d) H^{3}_{A}(G) = H^{2}(X - a, G) On fait généralement, ~~H^{i}(X - a, G) =~~ de faisceaux l'exposant de H_A est d'une lecture incertaine ; on attend 3 0 \to \underline{O}_{x}(G) \to \underline{R}_{x}(G) \to \underline{D}_{x}(G) \to 0 d'où, puisque \underline{R}_{x}(G) est flasque, H^{i}\bigl(\underline{O}_{x}(G)\bigr) = H^{i-1}\bigl(\underline{D}_{x}(G)\bigr) \quad \text{si } i \geq 2 la dernière ligne est écrite d'une autre encre, serrée au pied de la page

D'autre part, comme si L est la partie linéaire de G, on a \underline{D}_{x}(G) \simeq \underline{D}_{x}(L), d'où avant \underline{D}_x(G), un H biffé H^{i}(X - a, G) \simeq H^{i}(X - a, L) \qquad \Bigl(i \geq 2,\ \text{\uncertain{et}}\ = \text{\ill{} \ill{} \uncertain{pour}}\ i \geq 1\Bigr) On sait que l'on H^{i}(X - a, \mathbb{G}_m) = 0 puisque X est factoriel, donc on aura H^{i}(X - a, G) = H^{i}(X - a, U) \qquad (i \geq 1) D'ailleurs, on a H^{i}(X - a, \mathbb{G}_a) = 0 \quad \text{si } i \neq \dim A - 1 donc H^{i}(X - a, U) = 0 \quad \text{si } i \neq \dim A - 1 Cela achève de prouver . dans H^{i}(X - a, \mathbb{G}_a), le \mathbb{G}_a est écrit sur une autre lettre

Noter aussi H^{i}_{A}(G) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{\hat{A}}(G) : rien ne change en remplaçant A par \hat{A}.

Jacobienne locale [relative] d'une localité (régulière) A sur un corps k. « relative » et « régulière » sont ajoutés au-dessus de la ligne J_{A/k} est défini par le foncteur \mathrm{Hom}_{\text{\uncertain{k-gr.}}}(J_{A/k}, G) en G (groupe [loc.] de type fini sur k) on doit avoir \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(J_{A/k}, G) \simeq H^{i}_{A}(G) \qquad i = \dim A H^{i}_{A} est le foncteur cohomologique de localisation par l'anneau local A [de \operatorname{Spec}(A) à \operatorname{Spec}(A) - \mathfrak{m}_{A}] foncteur qui est défini à priori sur les faisceaux de Weil sur \operatorname{Spec}(A). On a \begin{array}{lll} H^{0}_{A}(G) = G(K) & & \text{si } A = K \text{ de dim.\ } 0 \\ H^{1}_{A}(G) = G(K)/G(A) & & \text{si } A \text{ de dim.\ } 1,\ \text{de corps des fractions } K \\ H^{i}_{A}(G) = H^{i-1}(\operatorname{Spec}(A) - \mathfrak{m}_{A}, G) & & \text{si } A \text{ de dim.\ } \geq 2 \end{array} Le foncteur en G est représentable, vrai fait pour H^{i}_{A}(G) = 0 si A est régulier, bon pour Tout le est des J_{A/k} proalgébriques commutatifs sur k. deux notes marginales en oblique dans la marge gauche, en haut

Je soupçonne :

a) J_{K/k} est une extension de \mathbb{Z}_{(k)} (qui correspond au foncteur G \mapsto G(k)) par un groupe connexe, qui a lui-même une partie abélienne (c'est la Albanese M de K/k), une partie multiplicative, et la partie unipotente U J_{K/k} mais son \mathrm{Ext}^{1} non nul en général . la fin de a) est serrée en interligne, avec des mots biffés et d'autres ajoutés ; « M » et « U » sont écrits au-dessus des mots qu'ils nomment. Une ligne courbe relie « \mathbb{Z}_{(k)} » à une note serrée, verticale, dans la marge droite, illisible

b) Si A est de dim. 1, J_{A/k} est connexe, linéaire (n'a pas de partie abélienne) mais elle a une partie multiplicative M \simeq \mathbb{G}_m. N.B. D(M) = \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(M, \mathbb{G}_m) = groupe des diviseurs \geq 0 (ou diviseurs K/k) \mathrm{Hom}(U, \mathbb{G}_a) la note marginale du bas de la marge gauche est écrite en oblique, très surchargée et en partie biffée ; seuls quelques termes se lisent

De plus, J_{A/k} est projectif relativement aux suites exactes loc. triviales, i.e. aux extensions par un groupe linéaire connexe 0. ces deux lignes, serrées, sont ajoutées en tête de page, au-dessus de c)

c) Si \dim A \geq 2, alors J_{A/k} est connexe, unipotent (i.e. plus de partie abélienne ni multiplicative) et de plus projectif (car le foncteur qu'il représente est exact), ~~comme pour \dim A = 1~~. sous le texte, un paraphe ; le reste de la page est blanc

la section II fait suite au « I) Théorie Čechiste » de la page 70

II Cohomologie de Weil … [semble marcher moins bien …]

Je crois que vrai en tout cas [pour A local hensélien] que H^{i}(A, G) = 0 \quad \text{si } i > 0. Si G est k-simple, alors H^{i}(A, G) = H^{i}(L, G) [si i > 0], L étant le corps résiduel, et H^{i}(L, G) = H^{i}(L, G/L_{0}) où L_{0} est le plus grand sous-groupe linéaire connexe de G. « [pour A local hensélien] » et « si i > 0 » sont ajoutés au-dessus des lignes et rattachés par des traits ; la lecture de L_{0} (un \mathcal{L} bouclé) est incertaine

~~H^{1}(X/X - a, G) \to H^{1}(X, G) isomorphisme~~ ~~si \dim A = 0,~~ ~~si \dim A = 1,~~ H^{1}(X, G), , tout ce bloc, jusqu'à la formule suivante, est encadré et barré d'une grande ligne ondulée ; sous H^{1}(X, G), « e.h. » H^{1}_{A}(G) = \mathrm{Coker}\bigl(H^{0}(X) \to H^{0}(X - a)\bigr)

Si \dim A = 0, rien à prouver.

Si \dim A \geq 1, alors H^{1}(X/X - a, G) est extension de \mathrm{Ker}\bigl(H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) \quad \text{\uncertain{par}} \quad G(K)/G(A). Or \mathrm{Ker}\bigl(H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) = 0 si G est simple, car car si G est extension d'un groupe discret par un groupe propre, mais dans un cas les d'un fibré principal est partout défini [en codim. au moins 1, donc partout]. en marge gauche, un petit diagramme : \begin{array}{ccc} 0 & & \\ \downarrow & & \\ H^{1}(X, G) & \longrightarrow & H^{1}(X - a, G) \\ \downarrow & & \downarrow \\ H^{1}(X, G/L) & \longrightarrow & H^{1}(X - a, G/L) \end{array} \qquad \text{\uncertain{si}} « Or » est écrit au-dessus d'un mot biffé, en face de ce diagramme

le signe entre A et K dans H^{i}(A \bmod K, G) est un mot bref, lu « mod » sans certitude : la cohomologie relative de A modulo son corps des fractions Utilisant H^{1}_{A}(G) = G(K)/G(A), vrai \dim A \geq 1,

[Supposons \dim A = 1. On H^{i}_{A}(G) = 0 … l'indice de ce H est d'une lecture incertaine \to H^{1}(A, G) \to H^{1}(K, G) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{2}(A \bmod K, G) \to H^{2}(A, G) \to H^{2}(K, G) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{3}(A \bmod K, G) la dernière flèche descend verticalement, au bout de la ligne donc on doit trouver les H^{i}(A \bmod K, G) = H^{i}_{A}(G) par extension d'un noyau par un conoyau de \begin{array}{ccc} H^{i}(A, G) & \longrightarrow & H^{i}(K, G) \\ \| & & \\ H^{i}(L, G) & & \end{array}

~~Si G est~~ Noter que si L_{0} est le plus grand sous-groupe linéaire connexe de G, alors \left. \begin{array}{l} H^{i}(A, G) = H^{i}(A, G/L_{0}) \\ H^{i}(K, G) = H^{i}(K, G/L_{0}) \end{array} \right| \ i \geq 1 donc on peut supposer L_{0} = 0.]

\begin{array}{ccc} \pi_{1}(L) = \pi_{1}(A) & \pi' & B_{\pi'} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \pi_{1}(K) & \pi & B_{\pi} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \pi_{1}(A \bmod K) & \pi'' & B_{\pi''} \\ \uparrow & & \uparrow \\ e & & \ill{} \end{array} au-dessus de \pi_{1}(L), une flèche montante vers « e » ; le tableau s'arrête au bas de la page

Supposons \dim A \geq 2, on a déjà H^{i}_{A}(G) = 0 si i = 0, 1.

~~Alors~~ H^{2}(X/X - a, G) est une extension de \mathrm{Coker}\bigl(H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) par \mathrm{Ker}\bigl(H^{2}(X) \to H^{2}(X - a, G)\bigr). Si G est extension d'un discret par un propre, [et est simple sur k], alors par le théorème de pureté H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G) est surjectif [et si G est ? …]. Quand H^{2}(X) \to H^{2}(X - a, G) « [et est simple sur k] » est ajouté au-dessus de la ligne ; la page s'arrête sur cette formule, le reste est blanc

Adèles et Jacobiennes généralisées des courbes la note marginale, en haut à gauche, est écrite en oblique et encadrée : elle sert de titre à la page \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(J_{*}, G) \Longleftarrow H^{p}\bigl(\mathrm{Ext}^{q}(J_{*}, G)\bigr) \qquad\qquad\qquad\ \Longleftarrow \mathrm{Ext}^{p}\bigl(H_{q}(J_{*}), G\bigr) sous \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(J_{*}, G), « \overset{?}{=} » et un H^{*}(X, G) barré d'une croix, avec, entouré, « à voir ». Les termes \mathrm{Ext}^{q}(J_{*}, G) et H_{q}(J_{*}) sont entourés de deux ovales sécants, le premier marqué « ? » ; une flèche mène à une note de la marge droite : cette suite spectrale exprime un lien de Weil et coh. Čechiste , localisant … sous les deux ovales, une ligne biffée ; au-dessus, ajouté : « i.e. inévitable ?? invrai »

X de dim. 1 (pas nécessairement complète, mais sans singularités) H_{0}(J_{*}) = J^{\bullet}_{X/k} la jacobienne de Rosenlicht de X, extension de \mathbb{Z} par l'Albanese birationnel, par le produit des groupes multiplicatifs des points qui manquent à X pour être complète, divisé par \mathbb{G}_m diagonal « des points » est ajouté au-dessus de la ligne H_{1}(J_{*}) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \mathbb{G}_m & \text{si } X \text{ complète} \\ 0 & \text{si } X \text{ non complète} \end{array} \right. Donc si X est non complète, on a H^{*}(X, G) = \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(J_{*}, G) = \mathrm{Ext}^{*}(J^{\bullet}_{X/k}, G) le premier terme est écrit sur un autre, lu H^{*}(X, G) Si X est complète, on a une suite exacte \cdots \to \mathrm{Ext}^{p}(J^{\bullet}_{X/k}, G) \to H^{p}(X, G) \to \mathrm{Ext}^{p-1}(\mathbb{G}_m, G) \to \mathrm{Ext}^{p+1}(J^{\bullet}_{X/k}, G) la dernière flèche porte, sous elle : « multiplication par une classe de \mathrm{Ext}^{2}(J^{\bullet}_{X/k}, \mathbb{G}_m) » ; dans H^{p}(X, G), le X est surchargé

Passant : la limite inductive sur les ouverts denses de X, on trouve une, si K = k(X) \boxed{\mathrm{Ext}^{*}(J^{\bullet}_{K/k}, G) \simeq H^{*}(K, G)}

Calcul de J^{\bullet}_{A/k} si A est un anneau de val. discrète dont le corps résiduel L est de degré de transcendance 1 en tête, un signe lourdement noirci ; dans J^{\bullet}_{A/k}, le A est écrit sur une autre lettre. \coprod rend son produit renversé, \mathbb{S} son S barré (comme au lot 2) \coprod_{L/k} \mathbb{S}^{*}_{L} = \underbrace{\coprod_{L/k} \mathbb{Z}_{L}}_{J^{*}_{L/k}} \times \underbrace{\coprod_{L/k} \mathbb{G}_{m\,L}}_{\mathbb{G}_{m\,k}} \times \coprod_{L/k} \mathbb{S}'_{L} \mathcal{U} = \coprod_{L/k} \mathbb{S}'_{L} \quad \text{\uncertain{est} \uncertain{un} \uncertain{groupe} \emph{\uncertain{unipotent}} \emph{\uncertain{connexe}}.} \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(\mathcal{U}, G) = \varinjlim_{n} \mathrm{Hom}_{\text{L-gr}}(\mathbb{S}'^{(n)}_{L}, G_{L}) = \varinjlim_{n} \varinjlim_{C'} \mathrm{Hom}_{\text{C'-gr}}(\mathbb{S}'^{(n)}_{C'}, G_{C'}) sous \varinjlim_{C'} : « ouverts de C » = \varinjlim_{C'} \varinjlim_{n} \mathrm{Hom}_{\text{C'-gr}}(\mathbb{S}'^{(n)}_{C'}, G_{C'}) sous cette ligne, une accolade vers le terme suivant : \mathrm{Hom}_{\substack{\text{C'-schémas} \\ \text{\uncertain{à} \uncertain{sections}} \\ \text{\uncertain{marquées}}}}\bigl(E^{1}_{C'}, G_{C'}\bigr) \quad \text{\uncertain{puis} \uncertain{à} Rosenlicht} \| \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{pointés}}}_{E^{1}\text{-schémas}}\bigl(C'_{E^{1}}, G_{E^{1}}\bigr) envoyant ceux qui la section 0 sur C'_{E^{1}} \times k(\alpha) [le point à l'infini de E^{1}] une flèche courbe relie le second \mathrm{Hom} à la note de la marge droite \| \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{pointés}}}_{E^{1}\text{-gr}}\bigl(\underbrace{J^{\bullet}_{C'_{E^1}/E^1}}_{J^{\bullet}_{C'/k} \times E^{1}}, G_{E^{1}}\bigr) \| \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{restreint}}}\bigl(J^{\bullet}_{C'/k} \times E^{1}, G\bigr) sous « restreint », un mot biffé, puis « multiplicatif en les facteurs k-gr. » ; à gauche, un petit schéma : E^{1}_{C'} = E^{1} \times C' = C'_{E^{1}}, une flèche vers E^{1}, G_{E^{1}} = E^{1} \times G, et E^{1} \times C' \to G \times C' \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(\mathcal{U}, G) = \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{restreint}}}\bigl(J^{\bullet}_{L/k} \times E^{1}, G\bigr) sous « restreint » : « multiplicatif par rapport » 0 \to \mathcal{U}_{0} \to \mathcal{U} \to \mathbb{S}'_{k} \to 0, \quad \text{\uncertain{donc}} (suite splittante) la page s'arrête sur « donc » la page 81 (lot suivant) semble continuer cette ligne : \mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathcal{U}_0, G) = \mathrm{Hom}(\ldots)