Cote n° 43, pages 61–80

Cote n° 43 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

61feuille de schémas épars, sans prose suivie ; elle semble prolonger les pages 51–56 (anneaux $A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]}$ attachés aux chaînes d'idéaux premiers) et 59–60 (l'élément $\Theta$). En haut à gauche, un « 1 » isolé, peut-être un numéro de feuillet. Les schémas sont donnés dans l'ordre de la page

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\begin{tikzcd}
\hat{A}_{\mathfrak{p}} \arrow[r, "{\mathfrak{q}\hat{A}_{\mathfrak{p}}}"] & A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \\
A \arrow[u] \arrow[r] & \hat{A}_{\mathfrak{q}} \arrow[u]
\end{tikzcd}

au-dessus de la flèche horizontale, « l'[…] […] […] » ; au centre du carré « commutatif » ; à droite de la flèche verticale, « […] local »

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}, \mathfrak{r}]} & & \\
A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \arrow[ur] & & A_{[\mathfrak{q}, \mathfrak{r}]} \arrow[ul] & \\
A_{[\mathfrak{p}]} \arrow[u] & A_{[\mathfrak{q}]} \arrow[ul] \arrow[ur] & & A_{[\mathfrak{r}]} \arrow[ul] \\
 & A_{\mathfrak{p}} \arrow[ul] \arrow[u] \arrow[urr] & &
\end{tikzcd}

le treillis est redessiné en simplifiant sa disposition ; la flèche de $A_{\mathfrak{p}}$ vers $A_{[\mathfrak{r}]}$ est légendée, dans un ovale, « complétion par $\mathfrak{r}$ » ; dessous : $\mathfrak{p} \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{r}$

À droite : \[ \pi_{x_n} \Theta \cdots \Theta \pi_{x_2} \Theta \pi_{x_1} \qquad \mathfrak{p} \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{r} \] sous le produit, une flèche horizontale épaisse, de gauche à droite \[ \begin{array}{ll} A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} & \\ \uparrow \text{\ill{} \uncertain{plat} \ill{} \ill{}} & \\ A_{\mathfrak{q}} & A_{\mathfrak{q}} / \mathfrak{q} A_{\mathfrak{q}} \end{array} \] il y a […] […] […] de dim. 1, […] $A/\mathfrak{q}$, […] […] […] […] […] […] \[ A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \otimes_{A_{\mathfrak{q}}} A_{\mathfrak{r}} / \mathfrak{r}^{n} A_{\mathfrak{r}} \qquad A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} / \mathfrak{r}^{n} A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} \otimes A_{\mathfrak{r}} \] sous le second terme, souligné : « dim. 1 », puis « complétion de $A/$ » ; au centre de la page, un petit carré vide marqué d'un point

Au bas de la page :

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
A_{[\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_{n-1}]} \arrow[r] & A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \\
\hat{A}_{\mathfrak{p}_1} \cdots \hat{A}_{\mathfrak{p}_i} \cdots \arrow[ur] & \hat{A}_{\mathfrak{p}_n} \arrow[u]
\end{tikzcd}

la flèche du haut porte une lettre biffée ; au-dessus des $\hat{A}_{\mathfrak{p}_i}$, « $A_{[\mathfrak{p}_1}$ » biffé ; à droite, « $A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots,}$ » inachevé. En bas, trois croquis sans légende lisible : un réseau de courbes autour d'un point ; une flèche verticale de $\mathcal{C}$ vers « Ens. […] » ; et $x_0 \longrightarrow x_n$ surmonté d'un arc, légendé « chaîne saturée »

62feuille de formules éparses, dans la suite de la précédente et des pages 59–60 (anneaux $A_c$ des chaînes saturées, élément $\Theta$) ; les blocs sont donnés de haut en bas \[ A_{[x_n]} \Theta A_{[x_{n-1}]} \cdots \Theta A_{[x_1]} \Theta A_{[x_0]} \] sous la formule, une flèche vers la gauche ; à droite, trois petits segments gradués (chaînes dessinées), un signe […] et \[ K_c \longrightarrow \prod_{c'} K_{c'} \qquad \mathrm{Hom}(K_{*}, K_{*}) \qquad H_{I}\bigl(DD(A)\bigr) = \underline{H}^{**}(A) \qquad A_x \] un trait horizontal traverse ensuite la page ; sur ce trait, un petit croquis de courbe marquée d'un point \[ (u_1 - u_2)^{2} = u_1 u_1 - u_1 u_2 - u_2 u_1 \qquad \sum 1_{x_0, x_1} \qquad u_1 \] le développement est inachevé à droite du trait \[ A_{c'} \times A_{c} \longrightarrow A_{c'c} \quad \text{si \emph{$c'$ et $c$ composables} (\uncertain{bout} à \uncertain{bout})} \] \[ c = (x_0, \ldots, x_n), \qquad c' = (x_n, \ill{}, x_m) \] \[ \text{\ill{}} \qquad \begin{array}{l} A_{c'} \longrightarrow A_{c'c} \\ A_{c} \longrightarrow A_{c'c} \end{array} \] suit une ligne soulignée : « […] […] […] produit […] »

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\begin{tikzcd}
A_{c''} \times A_{c'} \times A_{c} \arrow[r] \arrow[d] & A_{c''c'} \times A_{c} \arrow[d] \\
A_{c''} \times A_{c'c} \arrow[r] & A_{c''c'c}
\end{tikzcd}

dans le coin inférieur gauche, un signe biffé entre $A_{c''}$ et $A_{c'c}$, lu $\times$ \[ f, g, h \longmapsto \bigl(i_{c'', c''c'}(f)\, i_{c', c''c'}(g),\ h\bigr) \longmapsto i_{c''c', c''c'c}(\,\cdots\,)\, i_{c, c''c'c}(h) = i_{c'', c''c'c}(f)\, i_{c', c''c'c}(g)\, i_{c, c''c'c}(h) \] la formule est disposée en deux étages reliés par une flèche verticale et une accolade ; un signe biffé la précède. Au-dessous, à gauche, trois segments consécutifs légendés $c$, $c'$, $c''$, et « $A_c$ »

63feuille de formules et de croquis ; un trait horizontal la partage en deux. Les blocs sont donnés de haut en bas \[ \underbrace{\prod_{\mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n} A_{[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \ldots, \mathfrak{p}_n]}}_{\mathcal{A}^{n}} \longleftarrow \prod_{\mathfrak{q}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{q}_{n-1}} A_{[\mathfrak{q}_1, \ldots, \mathfrak{q}_{n-1}]} \] cosimplicial ?! \[ \mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \qquad x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \qquad A_{\mathfrak{p}, \mathfrak{q}} \qquad \prod_{\mathfrak{q} \subset \mathfrak{p}} A_{[\mathfrak{q}, \mathfrak{p}]} \qquad \Theta^{2} = 0 \] sous les chaînes, deux croquis de segments gradués parcourus par des flèches vers la gauche, un petit parallélogramme marqué d'un point, et un « $A$ » isolé \[ \Sigma\, 1_{\mathfrak{q}, \mathfrak{p}} \qquad [\mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n] \qquad \coprod_{\mathfrak{q}} 1_{\mathfrak{q}, \mathfrak{p}_1} \qquad \downarrow 1_{\mathfrak{q}\, \mathfrak{p}} \] \[ \prod_{\mathfrak{q}} [\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n] \qquad\qquad \prod_{\mathfrak{q}} [\mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \supset \mathfrak{q}] \] des lignes courbes et des flèches relient ces termes : la multiplication par $\Theta = \Sigma\, 1_{\mathfrak{q}, \mathfrak{p}}$ à gauche allonge la chaîne par le haut, à droite par le bas ; le dessin est résumé ici

$A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r]}$ anneau local muni de $r$ topologies (non adiques en général) différentes, $T_1, \ldots, T_r$ (pas nécessairement comparables) métrisables […] et complètes. à droite : $\hat{A}_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{q}^{n} \hat{A}_{\mathfrak{q}}$ et $\hat{A}_{\mathfrak{q}}$ ; à gauche, un croquis de quadrilatère marqué d'un point […] une suite filtrante tend vers $0$ pour $T_i$, […] […] […] […] […] […] voisinage de $0$ $V_i$, pour $T_{i-1}$, la page s'arrête sur cette virgule

64feuille de formules ; en haut, un petit croquis de deux crochets chevauchants au-dessus de « $\circ$ $\mathfrak{r}$ $\mathfrak{m}$ » \[ \hat{A}_{\mathfrak{r}} \otimes_{A} K \qquad \widehat{\hat{A} \otimes A_{\mathfrak{r}}} \qquad \widehat{A/\mathfrak{r}^{n}A} \otimes A \qquad \underline{A}_{\mathfrak{r}} \qquad A/\mathfrak{r}^{n}A \] des courbes relient $\underline{A}_{\mathfrak{r}}$ aux deux derniers termes \[ \begin{array}{l} A/\mathfrak{m} = B_0 = L_0 \\ \widehat{A/\mathfrak{r}} = B_1 \subset L_1 = \text{\uncertain{anneau} \uncertain{local} \uncertain{des} \uncertain{fractions} \uncertain{de} } \widehat{A/\mathfrak{r}} = B_1 \\ \varprojlim L_1 \qquad = \hat{A}_{\mathfrak{r}} \otimes_{A} A_{\mathfrak{r}} / \mathfrak{r} A_{\mathfrak{r}} \end{array} \] dans la première ligne, un signe biffé avant $B_0$. À gauche, un croquis de deux courbes se coupant, l'une marquée d'un point \[ A \qquad \mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \qquad A_{[\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \] au-dessus de $\mathfrak{p}_1 \supset \mathfrak{p}_2$ et de $\supset \mathfrak{p}_n$, deux petites marques en chapeau définition par récurrence sur $n \geq 1$. \[ A \to \hat{A}_{\mathfrak{p}} \quad \text{\ill{} \uncertain{local} \uncertain{complété}} \qquad A_{[\mathfrak{p}]} = \hat{A}_{\mathfrak{p}} \] si $n = 1$ ; c'est un […] anneau […] $A$ local noeth. et complet et une algèbre sur $A$. \[ A_{[\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_n]} \] déjà défini, c'est […] […] […] local noethérien séparé et complet, et une algèbre sur $A$. \[ A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} = \varprojlim_{n} \hat{A}_{\mathfrak{p}} \otimes_{A} A_{\mathfrak{q}} / \mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \qquad (\mathfrak{p} \supset \mathfrak{q}) \qquad \widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} \otimes \] […] […] complet dont le […] corps résiduel $K(\mathfrak{p}, \mathfrak{q})$ dans la formule précédente, un signe biffé avant $\varprojlim$ est l'anneau total des fractions de \[ \widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} = \hat{A}_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{q} \hat{A}_{\mathfrak{p}} \] (complété d'un anneau local intègre noeth. de dim. 1)

65feuille de formules et de croquis, puis, au bas, une définition rédigée ; les blocs épars du haut sont donnés dans l'ordre de la page. En tête, à gauche, un $\mathcal{A}$ cursif isolé $\Theta^{2} = 0$ \[ A \longrightarrow \mathcal{B} \qquad \Theta_{x x'} = \qquad \Theta \qquad \Theta^{2} = 0 \] après le second $\Theta$, un signe biffé ; sous $\Theta^2 = 0$, « $A \otimes B$ » biffé \[ \pi_{x'} \Theta \pi_{x} = \Theta_{x x'} \qquad x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq \cdots \geq x_n \geq x_{n+1} \geq x_{n+2} \qquad \Theta_{x_1, x_2}\ \Theta \] entre les deux, une ligne biffée : $x_1 \subset x_2 \subset X$ à gauche, un croquis de parallélogramme ; à droite, deux segments gradués, dont l'un a un intervalle épaissi \[ \pi_{x_m} \Theta \cdots \pi_{x_{n+2}} \Theta \pi_{x_{n+1}}\ \underbrace{\varphi_{x_n x_{n+1}}}\ \underbrace{\pi_{x_n} \Theta \cdots \pi_{x_3} \Theta \pi_{x_2} \Theta \pi_{x_1}} \] \[ \varphi_{x} \quad \varphi_{x'} \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} \Theta\ \text{\uncertain{$A$-linéaire}} \\ \Theta^{2} = 0 \\ \Theta\ \text{\uncertain{de} \uncertain{degré} 1} \end{array} \right. \qquad \Theta \] autour, trois croquis : un parallélogramme aux sommets marqués $\mathfrak{m}$ et $\mathfrak{p}$, un carré en pointillé parcouru de flèches, et un segment gradué $\circ$, $\mathfrak{r}$, $\mathfrak{m}$ avec une flèche oblique ; sous le premier, le mot « Hom »

$\mathcal{A}$ anneau gradué topologique, $\mathcal{A}$ surmonte cette ligne biffée ; la ligne suivante la remplace

$\mathcal{A}^{*}$ […] algèbre topologique (séparée, complète) graduée sur $A$, à degrés $\geq 0$, avec « (séparée, complète) » est ajouté au-dessus de la ligne ; au lieu de « $\geq 0$ », un premier signe est surchargé \[ \left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{A}^{0} = \prod_{x \in X} \hat{\mathcal{O}}_{x} \quad \text{\uncertain{d'où} \uncertain{des}}\ \pi_{x} \in \mathcal{A}_0 \quad (x \in X) \\ \qquad \text{(\uncertain{comme} \uncertain{A-algèbre} \uncertain{topologique})} \\[4pt] \Theta \in \mathcal{A}^{1}, \quad \text{avec}\ \underline{\Theta^{2} = 0}, \quad \underline{\pi_{x'} \Theta \pi_{x} = 0\ \text{si}\ x'\ \text{\uncertain{ne} \uncertain{précède} \uncertain{pas}}\ x} \end{array} \right. \] un signe biffé suit « $\mathcal{A}^{0} =$ » ; dans $(x \in X)$, le $X$ est écrit sur un $A$ ; un mot biffé précède « si »

$\mathcal{A}$ libre pour ces propriétés … la page s'arrête sur ces points

66feuille de formules ; en tête, deux lignes biffées : Hom et $H^{*}(A) = \varinjlim$ \[ \underbrace{\mathrm{Hom}(K_{*}, K_{*})}_{\substack{\text{\uncertain{$A$-algèbre} \uncertain{graduée}} \\ \text{\uncertain{par} \uncertain{la} \uncertain{composition} \uncertain{des} \uncertain{Hom}}}} = \prod_{x} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K\bigr) \supset \prod_{x} \coprod_{y} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(y)\bigr) \] dans le premier $\mathrm{Hom}$, un indice biffé après le premier $K$ ; à droite : $K(x) \to \coprod_{x'} K(x')$ \[ \prod_{x} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(x)\bigr) \qquad \prod_{x} \] ligne biffée : $\mathrm{Hom}^{0}(K$ \[ \mathrm{Hom}^{0}(K, K)^{0} = \prod_{x} \hat{\mathcal{O}}_{x} \qquad \text{\ill{} \uncertain{composantes}} \quad (\pi_{x}) \] $\pi_x$ est entouré \[ \underset{\text{(\uncertain{l'application} \uncertain{nulle})}}{\Theta} \in \mathrm{Hom}(K, K)^{1} = \prod_{x} \mathrm{Hom}\Bigl(K(x), \coprod_{\underline{\underline{x'\ \text{précède}\ x}}} K_{x'}\Bigr) \simeq \prod_{\substack{\text{\uncertain{restreint}} \\ x'\ \text{\uncertain{précède}}\ x}} \hat{\mathcal{O}}_{x, x'} \] \[ \pi_{x'} \Theta \pi_{x} \qquad \hat{\mathcal{O}}_{x, x'} \] avant $\pi_{x'}$, un signe biffé ; à droite, un groupe biffé et surchargé, où se lisent $\Theta$ et $\mathcal{O}_{x'}$ \[ \begin{array}{cc} \mathcal{O}_{x'} & \longrightarrow \ \mathcal{O}_{x} \\ \| & \| \\ A & A_{\mathfrak{p}} \end{array} \qquad\qquad \Sigma\, \varphi_{x'} \Theta \varphi_{x} \qquad \pi_{x'} \] au centre, un croquis : deux cercles sécants et un point \[ A_{\mathfrak{p}} \rightsquigarrow I_{A} \qquad \hat{A} \otimes_{A} A_{\mathfrak{p}} / \mathfrak{p}^{n} A_{\mathfrak{p}} \qquad D(A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n}A_{\mathfrak{p}}) \to I_{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n}A_{\mathfrak{p}}} \qquad \hat{A} \otimes_{A} \hat{A}_{\mathfrak{p}} \qquad \widehat{A_{\mathfrak{p}}} \qquad A_{\mathfrak{p}, \mathfrak{p}'} \] dans le deuxième terme, le signe $\otimes$ est surchargé \[ \Gamma(u\, v) = \qquad [\Theta, x] \qquad \mathrm{Hom}(K, K) \] \[ \lbrace \Theta, u \rbrace = \Theta u + (-1)^{\deg \Theta \deg u} u \Theta = \Theta u + (-1)^{\deg u} u \Theta \] [si $\deg u = 0$, $\deg \Theta = 1$, […] […] $\Theta u - u \Theta$] le signe entre crochets semble contredire la formule qui précède (on attendrait $\Theta u + u \Theta$ pour $\deg u = 0$) ; il est transcrit tel qu'on le lit

67feuille de formules et de croquis, dans la suite de la précédente ; les blocs sont donnés de haut en bas \[ K(x) \longrightarrow \coprod_{y} K(y) \qquad K(x) \longrightarrow \prod_{x'\ \text{\uncertain{précède}}\ x} \] \[ \left\lbrace \begin{array}{c} x \\ \downarrow \\ x' \\ \mid \\ x'' \end{array} \right. \qquad \begin{array}{c} K(x) \longrightarrow \coprod_{x'\ \text{précède}\ x} K(x') \\ \downarrow \\ \coprod_{x''\ \text{biprécède}\ x} K(x'') \end{array} \] \[ \underbrace{K(x) \longrightarrow \coprod_{\substack{x' \\ \text{\uncertain{pts} \uncertain{intermédiaires}} \\ \text{\uncertain{entre} } x \text{ et } x''}} K(x') \longrightarrow K(x'')}_{\text{\uncertain{nul}}} \] ligne biffée : $\mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(y)\bigr)$ \[ \mathrm{Hom}(K, K) = \prod_{x} \mathrm{Hom}\bigl(K(x), K\bigr) = \prod_{x} \prod_{y}^{\text{\uncertain{restreint}}} \underbrace{\mathrm{Hom}\bigl(K(x), K(y)\bigr)}_{H(x, y)} \] \[ H(x, x)\ \text{\uncertain{un} \uncertain{anneau}} \qquad H(x \qquad K \rightsquigarrow I \qquad \mathrm{Hom}(K, \] \[ K(\mathfrak{p}) \longrightarrow I \qquad \mathrm{Hom}\bigl(K, D(A)\bigr)\ \text{(\uncertain{anneau} \uncertain{des} \uncertain{fractions})} \qquad \mathfrak{q} \supset \mathfrak{p} \] le bas de la page est occupé par des croquis : un segment épaissi relié par des flèches à $K(x)$, $K(x')$, $K(y)$, $K(y')$ ; un segment gradué parcouru d'arcs ; deux graphes de points reliés par des flèches étiquetées $d$, $d'$, $d_s'$ et $\Theta$ (entouré), le second portant les poids 1, 2, 3 ; de petits segments légendés « $d$ gauche », « gauche $d$ » ; un segment gradué sous $\Theta\, \Theta\, \Theta \quad \Theta\, \Theta$ ; et un dernier croquis légendé « gauche $\Theta$ »

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & K(x) \arrow[r] & K(y) \arrow[dr] & \\
K(x') \arrow[ur] \arrow[rrr] & & & K(y')
\end{tikzcd}

au-dessus de la flèche du haut : $x \geq y$ ; sous la flèche du bas : $x' \geq x \geq y \geq y'$, le $\geq$ central sous une accolade \[ H(x, y) \longrightarrow H(x', y') \] chaque fois qu'on a donné une chaîne saturée joignant $x$ à $x'$ et une autre joignant $y'$ à $y$. \[ y' \rightsquigarrow y \longrightarrow x \rightsquigarrow x' \] Si : […] chaîne saturée $s$ joignant $x$ à $y$, on associe $H_s = H(x, y)$, alors si $s \leq s'$, alors $H_s \to H_{s'}$ ; d'ailleurs $H_{s'}$ est engendré par les images des $H_s$, pour $s' \leq s$, s'identifie à $s$ le passage biffé est d'une lecture incertaine ; un « $i$ » est écrit au-dessus de « $H_{s'}$ » \[ H_s \quad s\ \text{de longueur}\ 0 \qquad H_s \quad s\ \text{de longueur}\ 1 \] \[ \Bigl(\coprod_{s \in C_2(x, y)} H_s\Bigr) \Bigl(\coprod_{t \in C_{1}(x, y)} H_t\Bigr) \qquad \uparrow \qquad \underset{s \in C_0(x, y)}{H} \] la flèche verticale monte de $H$, indexé par $s \in C_0(x, y)$, vers le produit ; l'indice du second coproduit est d'une lecture incertaine. À gauche, des croquis de segments et de deux chaînes joignant deux points, entourées d'accolades \[ K_n = \coprod H_s \qquad \prod_{x} H\bigl(x, \textstyle\coprod y\bigr) \qquad \prod_{x} \prod_{y\ \text{\uncertain{local}}} H(x, y) \] à droite, une suite de flèches doubles et simples, $\rightrightarrows \rightrightarrows \to \to$

$I$ ensemble ordonné « discret » en […] […]

$\tilde{I}$ catégorie des flèches composées

$K$ […] foncteur de $\tilde{I}$ dans $\mathcal{C}$

Jacobiennes locales

titre pris sur la page 69, une couverture de carton chamois inscrite de sa main, en haut à droite, « Jacobiennes locales » ; la page 70 répète ces mots, encadrés au crayon rouge, en tête de page

70Tout dépend des quelles théories […] […] place : Jacobiennes locales, encadré au crayon rouge

I) Théorie Čechiste pour la topologie de Zariski. (celle où le $H^1$ classifie les […] fibrés principaux loc. triviaux). […] […] […] […] […] exacte […] […] $0 \to G' \to G \to G'' \to 0$ […] […] […] […] est loc. triviale. deux lignes interlinéaires serrées, en partie biffées, et une addition au-dessus de la ligne (« à priori ») ; la fin de la phrase est très incertaine

Si $X = \operatorname{Spec}(A)$ est le spectre d'un […] local, on aura : \[ \begin{array}{ll} H^{i}(X, G) = 0 & \text{si } i > 0 \\ H^{i}(X - a, G) = 0 & \text{si } i \geq \dim A \end{array} \] après « $\dim A$ », un groupe biffé où se lit $(X - a) + 1$ ; au-dessous, entre crochets : « [car dim. comb. $(X - a) \leq \dim A - 1$] » d'où \[ 0 \to H^{0}(X/X - a, G) \to H^{0}(X, G) \to H^{0}(X - a, G) \to H^{1}(X/X - a, G) \to 0 \] \[ H^{i}(X/X - a, G) \overset{\partial}{\longleftarrow} H^{i-1}(X - a, G) \qquad (i \geq 2) \] [c'est nul si $i > \dim A$] la flèche $\partial$ est double, $\leftleftarrows$ ou $\simeq$ ; le dernier signe entre crochets est surchargé

On suppose $A$ régulier.

a) \[ H^{0}_{A}(G) = \left\lbrace \begin{array}{ll} G(A) = G(K) & \text{si } \dim A = 0 \\ 0 & \text{si } \dim A > 0 \end{array} \right. \] Le foncteur $H^{0}_{A}(G)$ est exact pour les suites […] loc. triviales ([…] […] […] $A$ […]). au-dessus du mot biffé, un mot ajouté, peut-être « courtes »

b) \[ H^{1}_{A}(G) = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } \dim A \neq 1 \\ G(K)/G(A) & \text{si } \dim A = 1 \end{array} \right. \] à droite de la première ligne, une parenthèse biffée et surchargée, où se lisent « distinguer » et $A$ Le foncteur $H^{1}_{A}(G)$ est exact pour les suites loc. triviales. Prouver que si $\dim A = 1$, $J_{A/k}$ est connexe, sans composante abélienne (car $H^{1}_{A}(G)$ est nul pour $G$ propre ou discret) la note marginale est écrite en oblique dans la marge gauche ; le $J$ de $J_{A/k}$ est surchargé

c) \[ H^{2}_{A}(G) = H^{1}(X - a, G) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0 \quad \text{si } \dim A \neq 2 \\ \text{\ill{}} \end{array} \right. \] […] […] […] […] groupe […] […] composantes connexes […] de $G$. dans $H^{1}(X - a, G)$, l'exposant $1$ est écrit sur un $2$ ; à droite de la première ligne, un passage lourdement biffé, où se lit « $\mathrm{Ab}$ »

71la page est presque blanche ; au bas, tête-bêche par rapport au numéro de l'archiviste, neuf lignes qui donnent une autre rédaction des points a)–c) de la page 70 (probablement une première version). Un long trait vertical, peut-être une annulation, traverse les formules

a) \[ H^{0}_{A}(G) = \mathrm{Ker}\bigl[G(\operatorname{Spec}(A)) \to G(\operatorname{Spec}(A) - a)\bigr] = \left\lbrace \begin{array}{ll} G(A) & \text{si } \dim A = 0 \\ 0 & \text{si } \dim A \neq 0 \end{array} \right. \] Si $\dim A \neq 0$, le foncteur $H^{0}_{A}(G)$ est exact pour les suites exactes qui sont loc. triviales. devant cette ligne, dans la marge, un « b » surchargé

b) \[ H^{1}_{A}(G) = \mathrm{Coker}\bigl(G(\operatorname{Spec}(A)) \to G(\operatorname{Spec}(A) - a)\bigr) = \left\lbrace \begin{array}{ll} G(K)/G(A) & \text{si } \dim A = 1 \\ 0 & \text{si } \dim A \neq 1 \end{array} \right. \]

c) \[ H^{2}_{A}(G) = H^{1}_{?}(\operatorname{Spec}(A) - a, G) \] il faut choisir sa théorie : […] […] (fibrés loc. triviaux, strictement isotriviaux, isotriviaux …). On trouve : l'exposant de $H^{2}_{A}$ est d'une lecture incertaine ; l'indice de $H^{1}$ est un « ? » ; la page s'arrête sur « On trouve : »

72suite de la page 70 (point c)). Il écrit deux sortes de $H$ : le $H$ droit de la théorie de Zariski, et un $H$ cursif, rendu ici $\mathcal{H}$, pour la théorie des fibrés principaux quelconques Si $\dim A = 0$ ou $1$, il n'y a rien à prouver, on peut supposer $\dim A \geq 2$. Soit $\mathcal{H}^{1}$ la […] théorie des classes de fibrés principaux homogènes (triviaux par extension fid. plate quasi-compacte de la base). On aura $H^{1}(X - a, G) \subset \mathcal{H}^{1}(X - a, G)$, qui lui est égal […] […] produit […] […] $G$. On a si $\dim A =$ $G$ est […] […] […] […] […] au-dessus du passage biffé, « propre sur la » ; en tête de page, à droite, « $\dim A = 2$ » d'une autre encre \[ H^{1}(X - a, G) = 0 \qquad (\text{\uncertain{loc.}\ \uncertain{trivial}} = \text{\uncertain{trivial}}), \] avant « $= 0$ », un groupe lourdement biffé donc […] […] tout […] […] $H^{1}(X - a, G)$ provient de $\mathcal{H}^{1}(X - a, L)$, $L$ le sous-groupe linéaire [connexe] « [connexe] » est ajouté au-dessus de « linéaire », entre crochets On peut même prendre linéaire connexe, […] […] sans que $H^1 = \mathcal{H}^1$ ( $H^{1}(G) = \mathcal{H}^{1}(G)$, donc […] […] aura \[ H^{1}(X - a, G) = \mathrm{Im}\bigl(H^{1}(X - a, L) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) \] \[ \mathrm{Im}\bigl(\mathcal{H}^{1}(X - a, L) \to \mathcal{H}^{1}(X - a, G)\bigr) = H^{1}(X - a, L) / \mathrm{Im}\, H^{0}(X - a, G/L) \] dans la première ligne, le terme biffé est $H^{1}(X - a, L)$ ; le « $\mathrm{Im}$ » du début de la seconde est biffé d'un trait Or $H^{0}(X - a, G/L) = H^{0}(X, G/L)$ puisque […] […] […], $H^{1}(X, L) = 0$, donc $\underline{H^{1}(X - a, G) = H^{1}(X - a, L)}$. D'ailleurs, comme $X$ est factoriel, $H^{1}(X - a, \mathbb{G}_m) = 0$, d'où $H^{1}(X - a, L) = H^{1}(X - a, U)$, $U$ le composant unipotent. Cette dernière se ramène à les $H^{1}(X - a, \mathbb{G}_a)$, qui sont nuls si $\dim A > 2$, mais non pour […] $\dim A = 2$. « $\mathbb{G}_m$ » et « $\mathbb{G}_a$ » sont lus sur des $G$ à indice peu net

d) $H^{3}_{A}(G) = H^{2}(X - a, G)$ On fait généralement, […] $H^{i}(X - a, G) =$ […] […] […] […] de faisceaux l'exposant de $H_A$ est d'une lecture incertaine ; on attend 3 \[ 0 \to \underline{O}_{x}(G) \to \underline{R}_{x}(G) \to \underline{D}_{x}(G) \to 0 \] d'où, puisque $\underline{R}_{x}(G)$ est flasque, \[ H^{i}\bigl(\underline{O}_{x}(G)\bigr) = H^{i-1}\bigl(\underline{D}_{x}(G)\bigr) \quad \text{si } i \geq 2 \] la dernière ligne est écrite d'une autre encre, serrée au pied de la page

73D'autre part, comme si $L$ est la partie linéaire de $G$, on a $\underline{D}_{x}(G) \simeq \underline{D}_{x}(L)$, d'où avant $\underline{D}_x(G)$, un $H$ biffé \[ H^{i}(X - a, G) \simeq H^{i}(X - a, L) \qquad \Bigl(i \geq 2,\ \text{\uncertain{et}}\ = \text{\ill{} \ill{} \uncertain{pour}}\ i \geq 1\Bigr) \] On sait que l'on […] $H^{i}(X - a, \mathbb{G}_m) = 0$ puisque $X$ est factoriel, donc on aura \[ H^{i}(X - a, G) = H^{i}(X - a, U) \qquad (i \geq 1) \] […] D'ailleurs, on a \[ H^{i}(X - a, \mathbb{G}_a) = 0 \quad \text{si } i \neq \dim A - 1 \] donc \[ H^{i}(X - a, U) = 0 \quad \text{si } i \neq \dim A - 1 \] Cela achève de prouver […] […] […]. dans $H^{i}(X - a, \mathbb{G}_a)$, le $\mathbb{G}_a$ est écrit sur une autre lettre

Noter aussi $H^{i}_{A}(G) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{i}_{\hat{A}}(G)$ : rien ne change en remplaçant $A$ par $\hat{A}$.

74Jacobienne locale [relative] d'une localité (régulière) $A$ sur un corps $k$. « relative » et « régulière » sont ajoutés au-dessus de la ligne $J_{A/k}$ est défini par le foncteur $\mathrm{Hom}_{\text{\uncertain{k-gr.}}}(J_{A/k}, G)$ en $G$ (groupe [loc.] de type fini sur $k$) on doit avoir \[ \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(J_{A/k}, G) \simeq H^{i}_{A}(G) \qquad i = \dim A \] $H^{i}_{A}$ est le foncteur cohomologique de localisation par l'anneau local $A$ [de $\operatorname{Spec}(A)$ à $\operatorname{Spec}(A) - \mathfrak{m}_{A}$] foncteur qui est défini à priori sur les faisceaux de Weil sur $\operatorname{Spec}(A)$. On a \[ \begin{array}{lll} H^{0}_{A}(G) = G(K) & & \text{si } A = K \text{ de dim.\ } 0 \\ H^{1}_{A}(G) = G(K)/G(A) & & \text{si } A \text{ de dim.\ } 1,\ \text{de corps des fractions } K \\ H^{i}_{A}(G) = H^{i-1}(\operatorname{Spec}(A) - \mathfrak{m}_{A}, G) & & \text{si } A \text{ de dim.\ } \geq 2 \end{array} \] Le foncteur en $G$ est représentable, vrai […] fait pour $H^{i}_{A}(G) = 0$ si $A$ est régulier, bon pour […] Tout le […] est des $J_{A/k}$ proalgébriques commutatifs sur $k$. deux notes marginales en oblique dans la marge gauche, en haut

Je soupçonne :

a) $J_{K/k}$ est une extension de $\mathbb{Z}_{(k)}$ (qui correspond au foncteur $G \mapsto G(k)$) par un groupe connexe, qui a lui-même une partie abélienne (c'est la Albanese $M$ de $K/k$), une partie multiplicative, et la partie unipotente $U$ […] $J_{K/k}$ […] mais son $\mathrm{Ext}^{1}$ […] […] […] non nul en général […] […] […]. la fin de a) est serrée en interligne, avec des mots biffés et d'autres ajoutés ; « $M$ » et « $U$ » sont écrits au-dessus des mots qu'ils nomment. Une ligne courbe relie « $\mathbb{Z}_{(k)}$ » à une note serrée, verticale, dans la marge droite, illisible

b) Si $A$ est de dim. 1, $J_{A/k}$ est connexe, linéaire (n'a pas de partie abélienne) mais elle […] […] a […] une partie multiplicative $M \simeq \mathbb{G}_m$. N.B. $D(M) = \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(M, \mathbb{G}_m)$ = groupe des diviseurs […] […] $\geq 0$ […] (ou […] diviseurs […] $K/k$) […] $\mathrm{Hom}(U, \mathbb{G}_a)$ […] […] […] […] […] la note marginale du bas de la marge gauche est écrite en oblique, très surchargée et en partie biffée ; seuls quelques termes se lisent

75De plus, $J_{A/k}$ est projectif relativement aux suites exactes loc. triviales, i.e. aux extensions par un groupe linéaire connexe […] $0$. ces deux lignes, serrées, sont ajoutées en tête de page, au-dessus de c)

c) Si $\dim A \geq 2$, alors $J_{A/k}$ est connexe, unipotent (i.e. plus de partie abélienne ni multiplicative) et de plus projectif (car le foncteur qu'il représente est exact), comme pour $\dim A = 1$. sous le texte, un paraphe ; le reste de la page est blanc

76la section II fait suite au « I) Théorie Čechiste » de la page 70

II Cohomologie de Weil … [semble marcher moins bien …]

Je crois que vrai en tout cas [pour $A$ local hensélien] que \[ H^{i}(A, G) = 0 \quad \text{si } i > 0. \] […] Si $G$ est $k$-simple, alors $H^{i}(A, G) = H^{i}(L, G)$ [si $i > 0$], $L$ étant le corps résiduel, et […] […] […] […] \[ H^{i}(L, G) = H^{i}(L, G/L_{0}) \] où $L_{0}$ est le plus grand sous-groupe linéaire connexe de $G$. « [pour $A$ local hensélien] » et « si $i > 0$ » sont ajoutés au-dessus des lignes et rattachés par des traits ; la lecture de $L_{0}$ (un $\mathcal{L}$ bouclé) est incertaine

[…] […] […] […] […] $H^{1}(X/X - a, G) \to H^{1}(X, G)$ […] […] isomorphisme si $\dim A = 0$, […] […] […] si $\dim A = 1$, […] $H^{1}(X, G)$, […] […] […], […] […] […] tout ce bloc, jusqu'à la formule suivante, est encadré et barré d'une grande ligne ondulée ; sous $H^{1}(X, G)$, « e.h. » \[ H^{1}_{A}(G) = \mathrm{Coker}\bigl(H^{0}(X) \to H^{0}(X - a)\bigr) \]

Si $\dim A = 0$, rien à prouver.

Si $\dim A \geq 1$, alors $H^{1}(X/X - a, G)$ est extension de \[ \mathrm{Ker}\bigl(H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) \quad \text{\uncertain{par}} \quad G(K)/G(A). \] Or \[ \mathrm{Ker}\bigl(H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)\bigr) = 0 \] si $G$ est simple, car […] […] […] […] car si $G$ est extension d'un groupe discret par un groupe propre, mais dans un cas […] les […] d'un fibré principal est partout défini [en codim. au moins 1, donc partout]. en marge gauche, un petit diagramme : \[ \begin{array}{ccc} 0 & & \\ \downarrow & & \\ H^{1}(X, G) & \longrightarrow & H^{1}(X - a, G) \\ \downarrow & & \downarrow \\ H^{1}(X, G/L) & \longrightarrow & H^{1}(X - a, G/L) \end{array} \qquad \text{\uncertain{si}} \] « Or » est écrit au-dessus d'un mot biffé, en face de ce diagramme

77le signe entre $A$ et $K$ dans $H^{i}(A \bmod K, G)$ est un mot bref, lu « mod » sans certitude : la cohomologie relative de $A$ modulo son corps des fractions Utilisant […] […] $H^{1}_{A}(G) = G(K)/G(A)$, vrai […] […] […] $\dim A \geq 1$, […]

[Supposons $\dim A = 1$. On […] […] $H^{i}_{A}(G) = 0$ … l'indice de ce $H$ est d'une lecture incertaine \[ \to H^{1}(A, G) \to H^{1}(K, G) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{2}(A \bmod K, G) \to H^{2}(A, G) \] \[ \to H^{2}(K, G) \xrightarrow{\ \partial\ } H^{3}(A \bmod K, G) \] la dernière flèche descend verticalement, au bout de la ligne donc on doit trouver les $H^{i}(A \bmod K, G) = H^{i}_{A}(G)$ par extension d'un noyau par un conoyau de \[ \begin{array}{ccc} H^{i}(A, G) & \longrightarrow & H^{i}(K, G) \\ \| & & \\ H^{i}(L, G) & & \end{array} \]

Si $G$ est Noter que si $L_{0}$ est le plus grand sous-groupe linéaire connexe de $G$, alors \[ \left. \begin{array}{l} H^{i}(A, G) = H^{i}(A, G/L_{0}) \\ H^{i}(K, G) = H^{i}(K, G/L_{0}) \end{array} \right| \ i \geq 1 \] donc on peut supposer $L_{0} = 0$.]

\[ \begin{array}{ccc} \pi_{1}(L) = \pi_{1}(A) & \pi' & B_{\pi'} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \pi_{1}(K) & \pi & B_{\pi} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \pi_{1}(A \bmod K) & \pi'' & B_{\pi''} \\ \uparrow & & \uparrow \\ e & & \ill{} \end{array} \] au-dessus de $\pi_{1}(L)$, une flèche montante vers « $e$ » ; le tableau s'arrête au bas de la page

78Supposons $\dim A \geq 2$, on a déjà $H^{i}_{A}(G) = 0$ si $i = 0, 1$.

Alors $H^{2}(X/X - a, G)$ est une extension de $\mathrm{Coker}\bigl(H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)\bigr)$ par $\mathrm{Ker}\bigl(H^{2}(X) \to H^{2}(X - a, G)\bigr)$. Si $G$ est extension d'un discret par un propre, [et est simple sur $k$], alors par le théorème de pureté $H^{1}(X, G) \to H^{1}(X - a, G)$ est surjectif [et si $G$ est […] ? …]. Quand […] $H^{2}(X) \to H^{2}(X - a, G)$ « [et est simple sur $k$] » est ajouté au-dessus de la ligne ; la page s'arrête sur cette formule, le reste est blanc

79Adèles et Jacobiennes généralisées des courbes la note marginale, en haut à gauche, est écrite en oblique et encadrée : elle sert de titre à la page \[ \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(J_{*}, G) \Longleftarrow H^{p}\bigl(\mathrm{Ext}^{q}(J_{*}, G)\bigr) \] \[ \qquad\qquad\qquad\ \Longleftarrow \mathrm{Ext}^{p}\bigl(H_{q}(J_{*}), G\bigr) \] sous $\underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(J_{*}, G)$, « $\overset{?}{=}$ » et un $H^{*}(X, G)$ barré d'une croix, avec, entouré, « à voir ». Les termes $\mathrm{Ext}^{q}(J_{*}, G)$ et $H_{q}(J_{*})$ sont entourés de deux ovales sécants, le premier marqué « ? » ; une flèche mène à une note de la marge droite : cette suite spectrale exprime un lien […] […] de Weil et coh. Čechiste […], […] localisant … sous les deux ovales, une ligne biffée ; au-dessus, ajouté : « i.e. […] […] inévitable […] […] […] ?? invrai »

$X$ de dim. 1 (pas nécessairement complète, mais sans singularités) \[ H_{0}(J_{*}) = J^{\bullet}_{X/k} \] la jacobienne de Rosenlicht de $X$, extension de $\mathbb{Z}$ par l'Albanese birationnel, par le produit des groupes multiplicatifs des points […] qui manquent à $X$ pour être complète, […] divisé par $\mathbb{G}_m$ diagonal « des points » est ajouté au-dessus de la ligne \[ H_{1}(J_{*}) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \mathbb{G}_m & \text{si } X \text{ complète} \\ 0 & \text{si } X \text{ non complète} \end{array} \right. \] Donc si $X$ est non complète, on a \[ H^{*}(X, G) = \underline{\underline{\mathrm{Ext}}}^{*}(J_{*}, G) = \mathrm{Ext}^{*}(J^{\bullet}_{X/k}, G) \] le premier terme est écrit sur un autre, lu $H^{*}(X, G)$ Si $X$ est complète, on a une suite exacte \[ \cdots \to \mathrm{Ext}^{p}(J^{\bullet}_{X/k}, G) \to H^{p}(X, G) \to \mathrm{Ext}^{p-1}(\mathbb{G}_m, G) \to \mathrm{Ext}^{p+1}(J^{\bullet}_{X/k}, G) \] la dernière flèche porte, sous elle : « multiplication par une classe de $\mathrm{Ext}^{2}(J^{\bullet}_{X/k}, \mathbb{G}_m)$ » ; dans $H^{p}(X, G)$, le $X$ est surchargé

Passant : la limite inductive sur les ouverts denses de $X$, on trouve une, si $K = k(X)$ \[ \boxed{\mathrm{Ext}^{*}(J^{\bullet}_{K/k}, G) \simeq H^{*}(K, G)} \]

80Calcul de $J^{\bullet}_{A/k}$ si $A$ est un anneau de val. discrète dont le corps résiduel $L$ est de degré de transcendance 1 en tête, un signe lourdement noirci ; dans $J^{\bullet}_{A/k}$, le $A$ est écrit sur une autre lettre. $\coprod$ rend son produit renversé, $\mathbb{S}$ son $S$ barré (comme au lot 2) \[ \coprod_{L/k} \mathbb{S}^{*}_{L} = \underbrace{\coprod_{L/k} \mathbb{Z}_{L}}_{J^{*}_{L/k}} \times \underbrace{\coprod_{L/k} \mathbb{G}_{m\,L}}_{\mathbb{G}_{m\,k}} \times \coprod_{L/k} \mathbb{S}'_{L} \] \[ \mathcal{U} = \coprod_{L/k} \mathbb{S}'_{L} \quad \text{\uncertain{est} \uncertain{un} \uncertain{groupe} \emph{\uncertain{unipotent}} \emph{\uncertain{connexe}}.} \] \[ \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(\mathcal{U}, G) = \varinjlim_{n} \mathrm{Hom}_{\text{L-gr}}(\mathbb{S}'^{(n)}_{L}, G_{L}) = \varinjlim_{n} \varinjlim_{C'} \mathrm{Hom}_{\text{C'-gr}}(\mathbb{S}'^{(n)}_{C'}, G_{C'}) \] sous $\varinjlim_{C'}$ : « […] […] ouverts de $C$ » \[ = \varinjlim_{C'} \varinjlim_{n} \mathrm{Hom}_{\text{C'-gr}}(\mathbb{S}'^{(n)}_{C'}, G_{C'}) \] sous cette ligne, une accolade vers le terme suivant : \[ \mathrm{Hom}_{\substack{\text{C'-schémas} \\ \text{\uncertain{à} \uncertain{sections}} \\ \text{\uncertain{marquées}}}}\bigl(E^{1}_{C'}, G_{C'}\bigr) \quad \text{\uncertain{puis} \uncertain{à} Rosenlicht} \] \[ \| \] \[ \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{pointés}}}_{E^{1}\text{-schémas}}\bigl(C'_{E^{1}}, G_{E^{1}}\bigr) \] envoyant ceux qui […] […] la section $0$ sur $C'_{E^{1}} \times k(\alpha)$ [le point à l'infini de $E^{1}$] une flèche courbe relie le second $\mathrm{Hom}$ à la note de la marge droite \[ \| \] \[ \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{pointés}}}_{E^{1}\text{-gr}}\bigl(\underbrace{J^{\bullet}_{C'_{E^1}/E^1}}_{J^{\bullet}_{C'/k} \times E^{1}}, G_{E^{1}}\bigr) \] \[ \| \] \[ \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{restreint}}}\bigl(J^{\bullet}_{C'/k} \times E^{1}, G\bigr) \] sous « restreint », un mot biffé, puis « multiplicatif en les facteurs k-gr. » ; à gauche, un petit schéma : $E^{1}_{C'} = E^{1} \times C' = C'_{E^{1}}$, une flèche vers $E^{1}$, $G_{E^{1}} = E^{1} \times G$, et $E^{1} \times C' \to G \times C'$ \[ \mathrm{Hom}_{\text{k-gr}}(\mathcal{U}, G) = \mathrm{Hom}^{\text{\uncertain{restreint}}}\bigl(J^{\bullet}_{L/k} \times E^{1}, G\bigr) \] sous « restreint » : « multiplicatif par rapport […] […] » \[ 0 \to \mathcal{U}_{0} \to \mathcal{U} \to \mathbb{S}'_{k} \to 0, \quad \text{\uncertain{donc}} \] (suite splittante) la page s'arrête sur « donc » la page 81 (lot suivant) semble continuer cette ligne : $\mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathcal{U}_0, G) = \mathrm{Hom}(\ldots)$