Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 41–60 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)43
Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Pages 41 à 60 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 3 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.https://grothendieck.umontpellier.fr/43.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
la page semble continuer les pages 39–40 (descente galoisienne pour le groupe
des classes d'idèles J_C d'une courbe) ; comme au lot précédent, J
note son J à double trait, ici et page 42\text{\struck{$C^{*}(\Gamma$}}\ \ \varprojlim H^{*}(\pi, J_{C',\alpha}(\bar{k})) \;=\; J_{C'}(k)sous le premier membre, une accolade renvoie aux deux lignes suivantes\begin{array}{ll}
= H^{i}(\pi, \mathbb{Z}) = 0 & \text{si } i > 0 \\
= H^{0}(\pi, J_{C',\alpha}(\bar{k})) = J_{C',\alpha}(k) & \text{\uncertain{si} \ill{} M.L.}
\end{array}« M.L. » : sans doute Mittag-Leffler ; le mot qui précède est
illisibleH^{p}\bigl(\varprojlim_{\alpha} H^{q}(\pi, C^{*}(\Gamma, J_{C,\alpha}(\bar{k})))\bigr)\begin{array}{ll}
\text{\struck{$q > 0$}}\ = H^{q}(\pi, C^{*}(\Gamma, \mathbb{Z})) = 0 & \text{si } q > 0 \\
= H^{0}(\pi, C^{*}(\Gamma, J_{C,\alpha}(\bar{k}))) = C^{*}(\Gamma, J_{C,\alpha}(k)) &
\end{array}une grande accolade réunit ces lignes enC^{*}(\Gamma, J_{C}(k)).
\text{\struck{$\ill{}$}}\ \ltimes E^{1} \to G \qquad \mathrm{Ext}^{1}(J^{0}_{\text{\uncertain{$K$}}}, G)colonne verticale de flèches descendantes au centre de la page :\begin{array}{c}
H^{1}(k, G) \qquad H^{p}(\Gamma, J_{C}(k)) \\
\downarrow \\
H^{1}(K, G) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{1}(J_{K}, G) \\
\downarrow \\
\mathrm{Ext}^{1}(J^{0}_{K}, G) \\
\downarrow \\
H^{2}(k, G) = 0
\end{array}
\qquad\qquad \hat{\mathbb{Z}} \to 0isolés dans la marge gauche : « GC^{i}(G) » et
« H^{p}(\mathcal{H} », inachevé\cdots \to H^{0}(k, \Gamma) \to \mathrm{Hom}(J_{K}, \Gamma) \to \mathrm{Hom}(J^{0}_{K}, \Gamma)sous H^{0}(k,\Gamma) et \mathrm{Hom}(J_K,\Gamma), il
écrit « \Gamma », « \Gamma »\boxed{\mathrm{Ext}^{1}(J^{0}, \Gamma) = \mathrm{Hom}}
\mathrm{Ext}^{1}(J, G) \Rightarrow \mathrm{Hom}(J(k), G(k))le signe entre les deux membres est une flèche double courte ; sous
\mathrm{Ext}^{1}(J,G), une petite flèche descend vers un mot
illisible ()J(k) \times \mathrm{Ext}^{1}(J, G) \longrightarrow
\boxed{H^{1}(k, G) \simeq G(k)}sous l'encadré, entre parenthèses : « (corps fini) » ;
sous J(k), un signe d'égalité vertical renvoie à
H^{0}(k,J) ; plus bas, à droite,
\mathrm{Hom}(J(k), G(k)), et à gauche
\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}, J)0 \to G \to E \to J \to 0, \qquad \mathbb{Z} \to J, \qquad J'la flèche \mathbb{Z} \to J monte verticalement sous
J ; un double trait en marche d'escalier sépare cette suite de
« J' », écrit en haut à droite\pi_{1}(J) - \pi_{1}(\mathbb{Z})
les deux flèches verticales extrêmes portent un signe que nous
lisons comme \wr (isomorphisme) ; il pourrait aussi s'agir d'un « 2 »
Adèles pour plusieurs dimensionsencadré de sa main, en haut à droite de la page ; la page est une
suite de formules sans phrase\prod_{x \in X} \hat{\mathcal{O}}_{x}\prod^{\mathrm{local}}_{x_1 \in X_1} \hat{\mathcal{O}}_{x_1} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{x_1}} K
\;=\; \prod_{\mathrm{local}} K_{D}\prod_{x_1} \text{\struck{$\ill{}$}} \prod^{\mathrm{local}}_{x_0 \in \overline{x_1}} \mathcal{O}_{[x_0, x_1]}\prod_{x_0 x_1 (x_2)} \mathcal{O}_{[x_0 x_1 x_2]}
\;\longrightarrow\;
\mathcal{O}_{[x_0 x_1]} \otimes_{\mathcal{O}_{x_1}} K,
\qquad
\mathcal{O}_{[x_0 x_\nu]} = \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_0} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{x_0}} Ksur la page la flèche est verticale ; à côté, un croquis : deux
courbes qui se coupent en un point x_0, l'une allant vers x_1K \longrightarrow I_{x_1} \longrightarrow I_{x_0}sous K, un signe d'égalité vertical ; sous la première flèche,
une accolade renvoie à \hat{\mathcal{O}}_{x_1} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{x_1}} K,
sous la seconde à \mathcal{O}_{[x_0, x_1]} ; en dessous, alignés :
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_{\uncertain{2}}},
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_{\uncertain{1}}},
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_{0}} ; les indices sont mal formés\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_0} \quad \hat{\mathcal{O}}_{x_1} \quad \hat{\mathcal{O}}_{x_2}
\qquad\qquad
\mathfrak{m}_{0} \quad \mathfrak{m}_{1} \quad \mathfrak{m}_{2}\prod_{x \in X} \mathcal{O}_{[x]}, \qquad
\prod^{\mathrm{local}}_{x_1 \in X_1} \mathcal{O}_{[x_1, x_2]}, \qquad \mathcal{O}.l'indice [x_1, x_2] est bien écrit ainsi
diagramme redessiné : sur la page, les trois étages sont décalés en
escalier et les indices x_0, x_1 des produits sont soulignés ; à gauche
de ce diagramme, séparé par un trait oblique, il répète
\prod_{x_1} \prod^{\mathrm{local}}_{x_0} \mathcal{O}_{[x_0, x_1]} ; « vert. »
se lit peut-être « vertical »\underline{\mathcal{O}}_{[x_1, x_2]}, \qquad \hat{\mathcal{O}}_{x_0}à côté de \hat{\mathcal{O}}_{x_0}, un croquis : une courbe passant
par x_0 et entourée d'un ovale ; plus bas, une ligne biffée
« \struck{\ill{} \in K_i, c} »\mathcal{O}_{[x_0 x_1]} \longrightarrow \prod_{x_0 x_1} \mathcal{O}_{[x_0 x_1 x_2]}\text{\struck{$\mathcal{A}_{i_0 \cdots i_{p-1}}$}}\quad
\mathcal{A}_{i_0 \cdots i_p} \qquad \mathcal{A}_{i_1 \cdots i_{p-1}}x_{i_0}\ x_{i_1} \cdots x_{i_p}, \qquad i_0 < i_1 < \cdots < i_p
\mathcal{A}^{*} = \prod_{x \in X} \mathcal{A}^{*}\pi_{x}\mathcal{A}^{*}\pi_{x} = \varprojlim_{n} (\mathcal{A}^{*}\pi_{x}) /la formule s'interrompt après la barre de quotient ; le reste de
la page est blanc
\varprojlim_{i}\ \mathcal{A}^{0} \otimes_{A} \mathcal{A}^{0}/\mathfrak{m}_{i}
\qquad\qquad
\prod \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{A} K\mathcal{A}^{0} \otimes_{A} \mathcal{A}^{0}/\mathfrak{m}_{i}
\;\subset\; \prod_{x \in X} \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{A} \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}
\;=\; \prod_{x \leq a} \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}sous le second produit, un indice biffé et illisible, remplacé par
x \leq a\prod_{a} \varprojlim_{n} \Bigl(\prod_{x \leq a} \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\Bigr)= \text{\struck{$a \in X_{\ill{}}$}}\ \prod_{a} \varprojlim_{n} \Bigl[\bigl(\hat{\mathcal{O}}_{a} \otimes \underline{\mathcal{O}}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\bigr) \times \Bigl(\bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\Bigr)\Bigr]= \prod_{a} \hat{\mathcal{O}}_{a} \times \prod_{i} \prod_{a \in X_i} \varprojlim_{n} \Bigl(\bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes \underline{\mathcal{O}}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\Bigr)une accolade sous le dernier facteur renvoie à trois cas, écrits en
colonne ; à gauche, deux lignes biffées et illisibles\begin{array}{ll}
i = 0 & \text{\ill{}} \\
i = 1 & \bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n} \\
i = 2 & \bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes K
\end{array}\mathcal{A}^{n} = \text{\struck{$\mathcal{A}$}}\ \varprojlim_{\alpha} \mathcal{A}^{n-1} \otimes_{A} \mathcal{A}^{0}/\mathfrak{m}_{\alpha}
= \prod_{a \in X} \varprojlim_{k} \mathcal{A}^{n-1} \otimes_{A} \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{k}\cap \qquad \prod_{x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0, \ldots, x_n]}le signe \cap est écrit sous la limite, comme une inclusion
verticale ; à droite, souligné : « l'inclusion étant fidèlement plate »\mathcal{A}^{n+1} = \prod_{a \in X} \varprojlim_{k} \mathcal{A}^{n} \otimes_{A} \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{k}
\;\subset\; \prod_{a \in X} \varprojlim_{k} \Bigl(\prod_{x_0 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0 \ldots x_n]}\Bigr) \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{k}\subset \prod_{x_0 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0 \ldots x_n]} \otimes \underline{\mathcal{O}}_{\text{\uncertain{$a$}}}\ \ill{}
\qquad \mathcal{A}_{[x_0, \ldots, x_n, a]}une flèche double horizontale relie le produit entre parenthèses à
la dernière ligne ; celle-ci sort de la page à droite
page de calculs épars, sans phrase suivie hormis une glose ; nous
les donnons colonne par colonne, de gauche à droite ; en haut à gauche, un
croquis : une courbe et, en un point marqué, deux petits cercles\begin{array}{c}
\mathcal{A}_{i_0 \cdots i_{p-1}} \\
\downarrow \\
\mathcal{A}_{i_0 \cdots i_p} \longleftarrow \mathcal{A}_{i_p}
\end{array}\mathcal{A}_{\ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_p} \qquad \mathcal{A}_{\ell_{p+1}} \qquad \mathcal{A}_{\ell}
\qquad \mathcal{A}_{1} \qquad \text{\struck{$\mathcal{O}_{[}$}}\ \mathcal{A}_{0} \otimesla colonne centrale :\prod \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_x} K,
\qquad
\hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} \text{\struck{$\ill{}$}}\ L_{n}\hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} (\mathfrak{p}^{n}/\mathfrak{p}^{n+1})
\to \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes L_{n+1} \to \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes L_{n}\hat{\mathcal{O}}_{x}/\mathfrak{p}^{n+1} \longrightarrow \hat{\mathcal{O}}_{x}/\mathfrak{p}^{n}des flèches montantes relient ces deux lignes ; elles sont marquées
d'astérisques, ainsi que les termes de la seconde ligne (groupes des
unités ?)\hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}} \mathfrak{p}^{n}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n+1}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}
\to \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}} \mathcal{O}_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}
\to \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}} Ldans le premier terme, un symbole est biffé après le produit
tensoriel\hat{\mathcal{O}}_{x} \to \hat{\mathcal{O}}_{x}\, S^{-1} \qquad \mathfrak{p} \quad \mathfrak{p}^{2}\mathcal{A}_{[\mathfrak{p}_0, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \otimes_{A} A_{\mathfrak{p}_{n+1}}/\mathfrak{p}_{n+1}^{\text{\uncertain{$n$}}} A_{\mathfrak{p}_{n+1}}
\qquad
A_{[\mathfrak{p}_0]} \mathbin{\hat{\otimes}_{A}} A_{[\mathfrak{p}_1]}
\qquad
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes KA_{[x]} \otimes \qquad \varprojlim \hat{A} \otimes_{A} A/\mathfrak{m}_{i} \qquad \varprojlim Ala colonne de droite : un calcul local en deux variables, avec un
croquis (une courbe coupée par une autre en un point, « s = 0 »)\begin{array}{c}
k[[s,t]] \\
\uparrow \\
k[s,t]_{\mathfrak{m}} \longrightarrow k[s,t]_{(s)} \\
\uparrow \\
k[t]
\end{array}les flèches sont annotées verticalement « x_0 x_1 », « x_1 x_2 »,
« x_0 x_2 » ; à côté, écrit en travers et en partie biffé :
(\hat{\mathcal{O}}_{x}^{*} \otimes K^{*})k[[t]][s]\,(s^{-1}) \qquad k[[s]][t^{-1}]
Localisé en les polynômes en s, t qui ne sont pas multiples de sa_{0}(t) + a_{1}(t)\,s + \cdots + a_{n-1}(t)\,s^{n-1}a_{0}(t)\,[1 + a_{0}(t)^{-1} a_{1}(t)\,s + \cdots\text{\struck{$a_0$}}\ k((t))[s]/(s^{n}) \longleftarrow k[[s,t]]la flèche est verticale et monte vers k((t))[s]/(s^{n})\underline{\underline{a_{0}(t)}} + \underline{\underline{a_{1}(t)}}\,s + \cdots + \underline{\underline{a_{n-1}(t)}}\,s^{n-1}k((t))[[s]] \qquad k[[t]][[s]] \qquad k((t))/k[[t]]\ \ [[s]]
feuillet écrit dans le sens de la largeur ; calculs épars, sans
phrase ; nous les donnons par blocs, de gauche à droite et de haut en bas\prod_{x \in X_0} G(\hat{\mathcal{O}}_{x}), \qquad
\prod_{D} \prod^{\mathrm{local}}_{x \in |D|} G(\hat{\mathcal{O}}_{D,x}), \qquad
\prod_{\text{\struck{$\ill{}$}}\ D \in X_1} G(\hat{\mathcal{O}}_{D}), \qquad
\prod_{\mathrm{local}} G(\hat{K}_{D})
diagramme redessiné ; la dernière colonne est tracée en pointillé
depuis le « 0 » ; à gauche de la dernière ligne, séparé par un trait
oblique, « G(K) » ; sous le second produit, « D » est surchargé\mathrm{Hom}\bigl(K, \textstyle\coprod_{x} \text{\struck{$\ill{}$}}\, I_{x}\bigr)K \to I_{D} \to I_{x}sous la première flèche, \hat{K}_{D}^{*} ; sous la seconde,
barré d'un trait, \hat{\mathcal{O}}_{D,x}^{*}\prod_{D} \hat{\mathcal{O}}_{D}^{*} \longleftarrow \Sigma\, \underline{\mathcal{O}}_{D}, \qquad K^{*}, \qquad \mathcal{O}_{D}
colonne de droite, avec un croquis en haut (une courbe, et une
autre traversant un disque hachuré) :\begin{array}{c}
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \leftarrow \mathcal{O}_{x} \\
\downarrow \\
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} \underline{\mathcal{O}}_{D} \leftarrow \mathcal{O}_{D} \\
\downarrow \\
\underline{\mathcal{O}}_{\text{\uncertain{$\mathfrak{q}$}}}
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{ccc}
\hat{\mathcal{O}}_{D} & \leftarrow & \mathcal{O}_{D} \\
\downarrow & & \downarrow \\
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{D,0} & \leftarrow & \mathcal{O}_{0}
\end{array}le premier membre de la seconde ligne de la colonne gauche porte un
chapeau commun et un trait biffé
colonne de gauche, en bas :\begin{array}{l}
A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \\
\uparrow \ \text{hom.\ local} \\
A_{[\mathfrak{p}_n]}\ \ \text{\struck{$\leftarrow A_{[\mathfrak{p}_{n-1}]}/\mathfrak{p}_{n-1}^{k} A_{[\mathfrak{p}_{n-1}]}$}} \\
\uparrow \ \text{hom.\ local} \\
A_{\mathfrak{p}_n} \longrightarrow A_{\mathfrak{p}_{n+1}}/\mathfrak{p}_{n+1}^{k} A_{\mathfrak{p}_{n+1}}
\end{array}\text{\struck{$A_{[\mathfrak{p}_1]} \leftarrow A_{[\mathfrak{p}_2]} \to A_{[\mathfrak{p}_1]}$}}
\qquad
A_{[\mathfrak{p}_1]}, \qquad
A_{\mathfrak{p}_1} \longrightarrow \text{\struck{$A$}}\,A_{\mathfrak{p}_2}/\mathfrak{p}_2^{k} A_{\mathfrak{p}_2}, \qquad
\underline{A}les deux premières lignes de ce dernier groupe, où la flèche
A_{[\mathfrak{p}_2]} \to A_{[\mathfrak{p}_1]} monte, sont biffées de
traits obliques
Détermination des\lbrace D_{\mathfrak{p}}(M) \longrightarrow K_{\mathfrak{q}} \rbrace(\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p})le mot après « des » est une abréviation soulignée que nous ne
lisons pas avec sûreté (« hom. » ?) ; l'accolade ouvrante qui la suit peut
aussi être une parenthèse
On peut supposer A local d'idéal maximal \mathfrak{m} = \mathfrak{q},
\mathfrak{p} sera un idéal premier quelconque. On a\mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K_{\mathfrak{q}}) est un foncteur
exact en M,covariant donc de la
forme M \otimes K_{\mathfrak{p},\mathfrak{q}}, où
\mathbf{K}_{\mathfrak{p},\mathfrak{q}} est un A-module
plat, savoir
\mathrm{Hom}(K_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}}). Si
\mathfrak{q} = \mathfrak{p}, on obtient
\hat{A}_{\mathfrak{p}} = \widehat{A_{\mathfrak{q}}}.
la seconde occurrence de K_{\mathfrak{p},\mathfrak{q}} est
écrite en gras (repassée) ; la dernière égalité est lue telle quelle,
malgré \mathfrak{q} = \mathfrak{p}
A anneau régulier, de dim. finie, \text{\struck{$D(A) = \coprod_{\mathfrak{p}} D_{\mathfrak{p}}(A)$}}
\qquad
\text{\struck{$DD(A) = \prod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(I_{\mathfrak{p}},$}}ces deux lignes sont barrées d'une croix ; sous D_{\mathfrak{p}}(A),
une accolade renvoie à I_{\mathfrak{p}}D(M) = \mathrm{Hom}(M, K_{*}) = \coprod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(M, K_{\mathfrak{p}})sous le dernier terme, une accolade : « \mathfrak{p}-primaire »,
« D_{\mathfrak{p}}(M) »DD(M) = \prod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K)D_{\mathfrak{p}}(M) est surchargé sur une première lettreD_{\mathfrak{p}}(M) = \varinjlim_{i} U_{i}
les U_isont de longueur finie sur A_{\mathfrak{p}}\mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K) = \varprojlim_{i} \mathrm{Hom}(U_{i}, K)\mathrm{Hom}(U_{i}, K_{*}) = \coprod_{\mathfrak{q}} \mathrm{Hom}(U_{i}, K_{\mathfrak{q}})\mathrm{Hom}(U_{i}, K_{\mathfrak{q}}) = \varinjlim_{j} \mathrm{Hom}(U_{i}, K_{\mathfrak{q},j})sous K_{\mathfrak{q},j}, une accolade : « V_j de longueur finie
sur A_{\mathfrak{q}} » ; dans la marge gauche, un croquis : deux courbes
qui se coupent en un point marqué
Or \mathrm{Hom}(U_i, V_j) = 0 si \mathfrak{q} \not\supset \mathfrak{p} ;
donc \mathrm{Hom}(U_i, K_{\mathfrak{q}}) = 0 si
\mathfrak{q} \not\supset \mathfrak{p}, d'où
\mathrm{Hom}(U_i, K_{*}) = \coprod_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(U_i, K_{\mathfrak{q}})sous le coproduit, l'indice \mathfrak{q} \supset \mathfrak{p} est
écrit au-dessus d'un indice raturé ; de même dans les deux formules
suivantesDD(M) = \prod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}\Bigl(D_{\mathfrak{p}}(M), \coprod_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} K_{\mathfrak{q}}\Bigr)
= \prod_{\mathfrak{p}} \prod^{\mathrm{local}}_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K_{\mathfrak{q}})
au milieu du carré, le signe \otimes ; en haut, au centre, un
croquis (deux arcs issus d'un point x) et, à droite, un segment à trois
points marqués ; plus bas : « x\supsetfinis »
et, entouré d'un ovale, \hat{\underline{\mathcal{O}}}^{*}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} KA_{[\mathfrak{p} \supset \mathfrak{q}]}\begin{array}{c}
A_{[\mathfrak{p}]} = \widehat{A_{\mathfrak{p}}} \\
\uparrow \\
A_{\mathfrak{p}} \longrightarrow A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}}
\end{array}A_{[\mathfrak{p}]} = \widehat{A_{\mathfrak{p}}} \longleftarrow A_{\mathfrak{p}}\begin{aligned}
A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} &= \varprojlim_{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\
&= A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\
&= A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{\text{\struck{$A_{\mathfrak{q}}$}}\, A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\
&= \text{\struck{$(A/\mathfrak{q}^{n} A$}} \\
&= A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}} \\
&= A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A} A_{\mathfrak{q}}
\end{aligned}les égalités sont écrites verticalement ; une accolade sous la
limite projective mène à la deuxième ligne, qui ne porte plus de limite ;
la dernière ligne est soulignée et une flèche en part vers la formule
suivante\widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{p}}} = (A/\mathfrak{q}^{n} A)_{[\mathfrak{p}]}
\qquad\qquad
\text{\struck{$\ill{}\ (A/\mathfrak{q}^{n} A)_{[\mathfrak{p}]}$}}on peut y remplacer\mathfrak{q}^{n} par \mathfrak{q}^{(n)}note dans une bulle à gauche, reliée par un trait sinueux à la
formule précédente, de
\widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}}1six lignes serrées dans la marge droite, séparées du calcul par une
grande parenthèse ; seule la formule finale se lit
\mathfrak{p} \longrightarrow \mathfrak{m}, \qquad \mathfrak{p}' \quad \mathfrak{m}'en haut de page, deux schémas raturés : \mathfrak{p} et
\mathfrak{m} reliés par une flèche, surmontés de \mathfrak{p}' et
\mathfrak{m}' surchargés, le tout souligné d'un crochet ; à droite, un
croquis en escalier (des cases empilées dans l'angle d'un cadre, une flèche
descendante et une flèche vers la gauche)\mathrm{Hom}(U_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{m}}) = A_{\mathfrak{m},\mathfrak{p}}\mathfrak{p} \subset \mathfrak{p}' \qquad \mathfrak{q}' \subset \mathfrak{q} = \mathfrak{m}
\qquad\qquad
A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{p}^{n} A_{\mathfrak{m}} = \mathbf{A}
dans les termes de gauche, l'indice est surchargé (« \mathfrak{q} »
écrit sur une autre lettre)\mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{p}' \subsetneq \mathfrak{p}'' \subset \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q},
\qquad
\mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q},
\qquad
\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}'' \subsetneq \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q}ce ne sont pas des formules linéaires : les idéaux sont disposés en
losange, reliés par des traits d'inclusion ; nous en donnons les trois
chaînes\mathrm{Hom}(A_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}}), \qquad
\mathrm{Hom}(K_{*}, K_{*})sous \mathrm{Hom}(K_*,K_*), une flèche à deux pointes ; entre ses
arguments, un petit indice illisibleA_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}} = \Bigl(\coprod_{\mathfrak{p}'} A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}'}\Bigr) \amalg \Bigl(\coprod_{\mathfrak{q}'} A_{\mathfrak{q}',\mathfrak{p}}\Bigr) \Big/la formule s'arrête sur la barre de quotient ; le second coproduit
est surchargé
I ensemble ordonné, tel que
(i) deuxobjetsx, y tels que
x \leq ypeuvent être joints par une
chaînesaturée ;
(ii) Deux chaînessaturées ont mêmelongueur.
Si x, yOnsupposedéfiniA_{x,y} \in \mathcal{C} si x \leq y et d(x,y) \leq 1, , : ,
avant « x \leq y », un « d(x,y) » biffé ; les deux dernières
lignes ne se lisent pas au-delà de quelques lettres
\begin{aligned}
A_{[\mathfrak{p},\mathfrak{q}]} &= \varprojlim A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\
&= \varprojlim A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}}
\end{aligned}dans la seconde ligne, l'indice du second A_{[\mathfrak{p}]} est
surchargé
A_{[\mathfrak{p},\mathfrak{q},\mathfrak{r}]} etc.
Xensemble ordonné
S_X ensemble simplicial associé, ayant les n-simplexes sur
les chaînes
x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_nsous la chaîne, une flèche vers la gauche
[i.e. les applications croissantes de [0,n] = \Delta_n dans
X]
À tout \sigma \in S_X est associé un A_\sigma.
À toute opération face simpliciale
« simpliciale » est écrit au-dessus de « face » bifféu : \Delta_m \to \Delta_n (croissante) est associé un hom.
\text{\struck{Ah}}\quad S_X^{n} \xrightarrow{\ u^{*}\ } S_X^{m}le mot biffé devant S_X^n n'est pas sûr
et si \sigma \in S_X^n, d'où u^{*}(\sigma) \in S_X^m, on a un
morphisme
\varphi(\sigma, u) : A_\sigma \longleftarrow A_{u^{*}(\sigma)},Defaçontransitive.
Ainsi, les A_\sigma forment un faisceau sur l'ensemble
simplicial S_X. On rappelleles faisceaux le
mot biffé après « faisceaux », souligné, se lit peut-être
« cohérents » [les un
objet simplicial dans la catégorie des ensembles
ordonnés« ordonnés » est écrit au-dessus de deux mots
biffés et illisibles].
Ici, de
dégénérescences compliquéesactuel, il y a lieu de négliger qui
proviennent des simplexes de la forme
\partial_i \sigma, simplexesdégénérés[i.e. des chaînes\partial_i \sigma, \partial_i opération
face une opération
« de coin », \sigmadégénéré
[celarevient à neretenirque les chaînes strictes, et
introduireéquivalences).
prose très rapide, surchargée de ratures et d'interlignes ; une
flèche venue de la marge gauche renvoie à l'interligne du cinquième
paragraphe ; nous ne donnons que ce qui se lit
à gauche, des croquis de segments subdivisés, avec les légendes :(x_0 - \cdots - x_n), \qquad
(x_0 - \overset{\downarrow}{x_p} - x_n), \qquad
x_0\ x_1\ x_2, \qquad x_0 - x_2
[sans vérif. des opérations de dégénérescence)en haut à droite, entre un crochet ouvrant et une parenthèse
fermante
K^{*} objet cosimplicial dans une catégorie abélienne
\mathcal{C}.
« \mathcal{C} » est ajouté au-dessus de la fin de la ligne
C'est donc un objet\mathcal{C}-module graduémuni(0 \leq i \leq n+1)gradués de degréun les
\partial_i^n, avec les relations qu'on sait.
On On y introduire les
relations\partial_i^n = 0 \quad \text{pour} \quad 1 \leq i \leq n\partial_i^n : \Delta^n \to \Delta^{n+1}, 0 \leq i \leq n+1
de conditions de K^n,
K^i \to K^n, K^ii < n ;
K^i \to K^n\begin{array}{ll}
\partial_i^n K^{n-1} & 1 \leq i \leq n \\
u_2\, \partial_i^{n-1} K^{n-2} & 1 \leq i \leq n \\
\cdots & \\
u\ K^{0} &
\end{array}ces lignes sont réunies par une accolade et entourées d'un ovale ;
un trait sinueux mène de la deuxième ligne vers l'intérieur de l'ovale, et
un trait oblique barre la première
opération simplicialecorrespondant : croissante\Delta^{i} dans \Delta^{n}quisur le dernier. Le K'^{n} \subset K^{n},
et objetsimplicialK^{*}.
la fin de la page, sous un trait, est une ligne en partie
soulignée dont seuls « objet simplicial » et « K^{*} » se lisent
diagramme redessiné : sur la page les sommes sont écrites en ligne,
\Sigma A_{[x_0 x_1]}\ \Sigma A_{[x_1,x_2]}\ \Sigma A_{[x_0,x_1,x_2]},
les A_{[x_i]} en dessous avec de petites flèches montantes, dont une arche
courbe de A_{[x_0]} vers la droite ; à côté, un croquis : trois droites
concourantes en un point, et deux points isolés ; les flèches exactes
entre A_{[x_i]} et les sommes ne se laissent pas toutes attribuerA_{[x_0 \ x_1}\ \cdots \qquad x_0, x_2 \qquad
A_{[x_0, x_2]} \qquad \partial^{1}_{1} A_{[x_0, x_2]}\cdots \to K'' \to K' \to K \to 0
- \quad A_{[x_1 x_2, \ldots, x_n]} \longrightarrow
\prod_{\substack{x_0 \\ \text{précède} \\ x_1}} A_{[x_0, x_1, \ldots, x_n]}
\xrightarrow{\ d_0^{n}\ }
\prod_{\substack{x'_0, x_0 \\ (x'_0 \text{ précède } x_0)}} A_{[x'_0, x_0, x_1, \ldots, x_n]}sous la première flèche, une flèche de retour marquée
d_0^{n-1} ; « précède » est une lecture probable de l'abréviation ; dans
le premier indice, x_1 est surchargé ; à gauche, un segment à trois
points marqués\left\lbrace
\begin{array}{l}
d'^{2} = 0 \\
d''^{2} = 0 \\
d'd'' = d''d'
\end{array}
\right.ces relations sont entourées d'un cercle, sous un trait horizontal ;
à droite, un petit croquisA_{[x_0, x_n]} \longrightarrow \text{\struck{$\prod$}}\ \prod A_{[x_0 x_i x_n]}le premier produit est biffé avec son indice\begin{array}{ccc}
A_{[x_0 x_{n-1}]} & & A_{[x_1, x_n]} \\
\swarrow \ \searrow & & \swarrow \ \searrow \\
A_{[x_0, x_{n-1}, x_n]} & & A_{[x_0, x_1, x_n]}
\end{array}à droite de ce schéma, séparé par un trait vertical : « x_0min | x_nmaximal », et dessous
« non » ; un trait courbe sépare le tout du bas de
la page\begin{array}{llll}
X & \prod \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} & & \prod G(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x}) \longleftarrow \cdot \\
C & \prod_{\mathrm{loc}} \hat{K}_{x} & K & \prod_{\mathrm{loc}} G(\hat{K}_{x}) \longleftarrow G(K)
\end{array}de \prod G(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_x) et du point à sa droite
descendent deux petites flèches vers la seconde ligne\begin{array}{c}
G(\hat{A}) \\
\downarrow \\
G(\hat{K}) \longleftarrow G(K)
\end{array}
\qquad\qquad HK \to K/A, \qquad G(K) \qquad G(K)/G(A)
en haut, un treillis des A_{[\ldots]} pour la chaîne
x_0 < x_1 < x_2 < x_3, dessiné en étages avec de petites flèches
montantes ; nous en donnons les étages, de haut en bas ; trois longues
flèches au crayon rouge renvoient des termes de droite vers ceux de
gauche\begin{array}{l}
A_{[x_0 x_1 x_2 x_3]} \\
A_{[x_0 x_1 x_2]} \quad A_{[x_1 x_2 x_3]} \quad \text{\struck{$A_{[x_1 x_2 x_3]}$}} \quad A_{[x_0 x_2 x_3]} \quad A_{[x_0 x_1 x_3]} \\
A_{[x_0 x_1]} \quad A_{[x_1 x_2]} \quad A_{[x_2 x_3]} \quad \text{\struck{$A_{[x_2 x_3]}$}} \quad A_{[x_0 x_2]} \quad A_{[x_0 x_1]} \quad \text{\struck{$A_{[x_2 x_3]}$}} \quad A_{[x_1 x_3]} \quad \text{\struck{$A_{[x_1 x_3]}$}} \quad \text{\struck{$A_{[x_2 x_3]}$}} \\
A_{[x_0]} \quad A_{[x_1]} \quad A_{[x_2]} \quad A_{[x_3]}
\end{array}les termes biffés le sont sur la page ; plusieurs indices sont
surchargés et leur lecture reste incertaine\overline{A_{[x_0 x_2 x_3]}} \cap \overline{A_{[x_0 x_1 x_3]}}\overline{\overline{A_{[x_0, x_3]}}}la seconde ligne est écrite sous la première, sans signe entre
elles0 \qquad (A_{[x_0 x_2 x_3]} + A_{[x_0 x_1 x_3]})A_{[x_0 x_2]} \times A_{[x_1, x_3]} \times \bigl(A_{[x_0 x_2 x_3]} \times A_{[x_0 x_1 x_3]}\bigr)0 \qquad A_{[x_0 x_2]} \qquad A_{[x_{\text{\uncertain{$2$}}} x_3]} \qquad A_{[x_{\text{\uncertain{$0$}}} x_3]}des flèches croisées relient chaque terme de la dernière ligne à
deux facteurs du produit ; le produit entre parenthèses est entouré, et une
flèche en part vers la formule :\mathrm{Im}\, A_{[x_0 x_3]} + \mathrm{Im}\, A_{[x_1, x_3]}
\qquad
\alpha \quad \beta \quad -\bar{\alpha} \quad -\bar{\beta},
\qquad \alpha \circ \beta\begin{array}{llllll}
S_0 & S_1 & S_2 & S_{n+1} \xleftarrow{\ d_i^{n}\ } S_n & & \\
& & & d_i^{n}\sigma \quad \ \sigma & & \\
& & & A_{d_i^{n}\sigma} \quad A_\sigma & &
\end{array}sous S_n, le signe \in couché ; un trait horizontal traverse
ensuite la pageK \qquad d_i^{n} \quad 0 \leq i \leq n+1 \qquad\qquad d' \pm d''\bigcap_{1 \leq i \leq n+1} \mathrm{Ker}\, d_i^{n}
\qquad
\text{\struck{$\ill{}$}}\ \mathrm{Coker}\, d_i^{n} \quad \underline{1 \leq i \leq n}d_i^{n+1} d_0^{n} x = 0 \quad \text{si} \quad 1 \leq i \leq n+2à droite, des croquis de segments subdivisés, légendés \Delta^n,
\Delta^{n+1}, \Delta^{n+2} et « x_0\ x_1\ x_2 - x_n »A_{[x_0, x_2]} \xleftarrow{\ d\ } A_{[x_0, x_1, x_2]}le « d » est écrit sous la flèche
1°) \bigcap \mathrm{Ker}des dégénérescencesla ligne s'arrête là, au bas de la page
feuillet écrit dans le sens de la largeur ; un quadrillage au crayon
(trois colonnes, trois lignes, étiquetées d'abréviations illisibles, en
haut « » et « », à gauche « ») porte le diagramme
ci-dessous ; une diagonale au crayon le traverse ; dans les cases vides,
des « 0 » ; nous notons \mathfrak{r} l'idéal premier écrit d'une lettre
gothique que nous ne lisons pas sûrement
sous le terme de gauche, une accolade :
\hat{A} \otimes_{A} A_{\mathfrak{r}}/\mathfrak{r}^{n} \hat{A}_{\mathfrak{r}},
puis « A_{[\mathfrak{m},\mathfrak{r}]} » ; sous
\widehat{K_{\mathfrak{r}}}, « A_{[\mathfrak{r}, 0]} » ; sous le
quadrillage : « \supset \mathfrak{r} \supset 0 »\mathrm{Hom}(M, A), \quad \mathrm{Ext}^{1}(M, A) \cdots
\qquad\qquad
\mathrm{Hom}(K_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}}) = A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}} \quad (\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p})la première formule est soulignée d'une accolade\begin{array}{l}
S_{A}(M) \\
\mathrm{Hom}_{A}(M, \mathcal{A}) \\
\mathrm{Ext}^{*}(M, A) \\
\Uparrow \\
H^{*}\, \mathrm{Ext}^{*}(M, \mathcal{A}) \\
\mathrm{Ext}(\hat{M}, A) \qquad \hat{A}\ \hat{K}\ K
\end{array}en bas, un second quadrillage au crayon porte le même diagramme
pour les groupes multiplicatifs :
A \ \ill{} \ill{}
\qquad
0 \to A \to \mathcal{A} \to \mathcal{A}_1 \to 0\mathrm{Ext}^{1}(M, A) \to \mathrm{Ext}^{\text{\uncertain{$1$}}}(M, \mathcal{A}) \to \ill{}la dernière formule est doublement soulignée ; à droite, dans un
cadre, des \mathfrak{p} surchargés et une ligne raturée
la page commence au milieu d'une phrase ; elle semble continuer la
page 60, dont la dernière ligne annonce des accouplements
A_{c'} \times A_c \to A_{c'c} (les deux feuillets seraient intervertis)
[dans(c_i)x_0 \geq \cdots \geq x_n(c_i),
chaînesaturéex_0 \geq \cdots \geq x_n\in A_c]
interligne serré, surchargé et en partie biffé ; au-dessus,
« X est une catégorie » et « A_c » biffé
une multiplication. L'élément unité de\struck{A_c}compatibles, la somme des A_c devient un
anneauA^{*} [graduégradué par la longueur des
chaînes, noncommutatif],
la somme des A_x devient un
sous-anneau (commutatif), notéA^{0}. A^{1} est la somme des A_{[x_0, x_1]}, soit\Theta l'élément de A^{1} dont les composantes sont
1_{[x_0, x_1]}. Combien est \Theta^2 ? On a
\Theta^{2} = \sum_{\substack{(x_0, x_1) \\ (y_0, y_1) \\ \text{chaînes saturées}}} 1_{[x_0, x_1]} \cdot 1_{[y_0, y_1]}
= \sum_{\substack{[x_0, x_1, x_2] \\ \text{chaînes saturées}}} 1_{[x_0, x_1, x_2]}
On va maintenant diviser par l'idéal bilatère« bilatère » est ajouté au-dessus de la ligneengendré par \Theta^{2},
[], .
En d'autres termes, , u_1 \pm u_2 il négliger les
\sum_{x_1} \varphi \qquad \Bigl(\ill{}\ \delta(a, b) = 2\Bigr)sous la somme, deux lignes biffées et illisiblesà droite, un croquis : un segment de a à b, coupé entre \alpha
et \beta par un trait oblique légendé « fenêtre » ;
dessous :\begin{array}{ccc}
A_{[a - \alpha, \delta, \beta, \ldots, b]} & A_{[a - \alpha]} & A_{[\beta, \ldots, b]} \\
\uparrow \varphi_{\sigma} & \uparrow & \uparrow \\
A_{[\alpha - a]} \otimes A_{[\beta \ldots \beta]} & A_{[\alpha]} & A_{[\beta]}
\end{array}
\qquad
[A_{\alpha \ \ill{} \ b}]
\qquad
x_0 \longrightarrow x_nsous le \otimes, « A_{\ill{}} » et « b - \beta » ; les indices
de ce groupe sont d'une lecture très incertaine
I ensemble ordonné satisfaisant à la « condition des chaînes »
[a) La longueur des chaînes joignant x \geq y est bornée
b) Deux chaînes saturées joignant x à y ont même longueur
d(x, y)].
les conditions a) et b) sont écrites en interligne, au-dessus de la
ligne suivante ; le « I » initial est surchargé
Pour toute chaîne saturéec = (x_0 \geq x_1 \geq \cdots \geq x_n),
on suppose donné un anneauA_c = A_{[x_0, \ldots, x_n]}
et pour une chaîne de longueur maximum (supposéen \geq 1) des hom. d'anneaux\begin{array}{ll}
u_1 : A_{[x_0, \ldots, x_{n-1}]} \longrightarrow A_{[x_0, \ldots, x_n]} & [\text{i.e.\ } (1_{x_n}\Theta)_0] \\
u_2 : A_{[x_1, \ldots, x_n]} \longrightarrow A_{[x_0, \ldots, x_n]} & [\text{i.e.\ } d(\Theta 1_{x_0})]
\end{array}les gloses entre crochets, à droite, sont d'une autre encre ;
leur lecture est incertaine
[on note que
u_1, u_2 : A_{c'} \longrightarrow \prod_{\substack{c \supset c' \\ \lg c = \lg c' + 1}} A_c
]
suit une ligne biffée et illisible
de sorte que cela permet de définir sans ambiguïté des
hom. d'anneaux
u_{c,c'} : A_{c'} \longrightarrow A_{c} \quad \text{si} \quad c \supset c'
[ et une condition de
transitivité, qui exprime que (A_c) est un système
inductif sur l'ens. des chaînes ordonnées. De
plus, multiplication
dans les A_c, on se donne des
accouplementsbi-additifsA_{c'} \times A_{c} \longrightarrow A_{c'c}
si c', c sont compatibles dans un certain sens, et
satisfont les
la page s'arrête sur ce mot ; la suite semble être en tête de la
page 59