Cote n° 43 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

41la page semble continuer les pages 39–40 (descente galoisienne pour le groupe des classes d'idèles \(J_C\) d'une courbe) ; comme au lot précédent, \(J\) note son \(J\) à double trait, ici et page 42 \[ \text{\struck{$C^{*}(\Gamma$}}\ \ \varprojlim H^{*}(\pi, J_{C',\alpha}(\bar{k})) \;=\; J_{C'}(k) \] sous le premier membre, une accolade renvoie aux deux lignes suivantes \[ \begin{array}{ll} = H^{i}(\pi, \mathbb{Z}) = 0 & \text{si } i > 0 \\ = H^{0}(\pi, J_{C',\alpha}(\bar{k})) = J_{C',\alpha}(k) & \text{\uncertain{si} \ill{} M.L.} \end{array} \] « M.L. » : sans doute Mittag-Leffler ; le mot qui précède est illisible \[ H^{p}\bigl(\varprojlim_{\alpha} H^{q}(\pi, C^{*}(\Gamma, J_{C,\alpha}(\bar{k})))\bigr) \] \[ \begin{array}{ll} \text{\struck{$q > 0$}}\ = H^{q}(\pi, C^{*}(\Gamma, \mathbb{Z})) = 0 & \text{si } q > 0 \\ = H^{0}(\pi, C^{*}(\Gamma, J_{C,\alpha}(\bar{k}))) = C^{*}(\Gamma, J_{C,\alpha}(k)) & \end{array} \] une grande accolade réunit ces lignes en \[ C^{*}(\Gamma, J_{C}(k)). \]

\[ \text{\struck{$\ill{}$}}\ \ltimes E^{1} \to G \qquad \mathrm{Ext}^{1}(J^{0}_{\text{\uncertain{$K$}}}, G) \] colonne verticale de flèches descendantes au centre de la page : \[ \begin{array}{c} H^{1}(k, G) \qquad H^{p}(\Gamma, J_{C}(k)) \\ \downarrow \\ H^{1}(K, G) \xleftarrow{\ \sim\ } \mathrm{Ext}^{1}(J_{K}, G) \\ \downarrow \\ \mathrm{Ext}^{1}(J^{0}_{K}, G) \\ \downarrow \\ H^{2}(k, G) = 0 \end{array} \qquad\qquad \hat{\mathbb{Z}} \to 0 \] isolés dans la marge gauche : « \(G\) \(C^{i}(G)\) » et « \(H^{p}(\mathcal{H}\) », inachevé \[ \cdots \to H^{0}(k, \Gamma) \to \mathrm{Hom}(J_{K}, \Gamma) \to \mathrm{Hom}(J^{0}_{K}, \Gamma) \] sous \(H^{0}(k,\Gamma)\) et \(\mathrm{Hom}(J_K,\Gamma)\), il écrit « \(\Gamma\) », « \(\Gamma\) » \[ \boxed{\mathrm{Ext}^{1}(J^{0}, \Gamma) = \mathrm{Hom}} \]

42\[ \mathrm{Ext}^{1}(J, G) \Rightarrow \mathrm{Hom}(J(k), G(k)) \] le signe entre les deux membres est une flèche double courte ; sous \(\mathrm{Ext}^{1}(J,G)\), une petite flèche descend vers un mot illisible ([…]) \[ J(k) \times \mathrm{Ext}^{1}(J, G) \longrightarrow \boxed{H^{1}(k, G) \simeq G(k)} \] sous l'encadré, entre parenthèses : « (corps fini) » ; sous \(J(k)\), un signe d'égalité vertical renvoie à \(H^{0}(k,J)\) ; plus bas, à droite, \(\mathrm{Hom}(J(k), G(k))\), et à gauche \(\mathrm{Hom}(\mathbb{Z}, J)\) \[ 0 \to G \to E \to J \to 0, \qquad \mathbb{Z} \to J, \qquad J' \] la flèche \(\mathbb{Z} \to J\) monte verticalement sous \(J\) ; un double trait en marche d'escalier sépare cette suite de « \(J'\) », écrit en haut à droite \[ \pi_{1}(J) - \pi_{1}(\mathbb{Z}) \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
0 \arrow[r] & \mathrm{Ext}^{1}(\mathbb{Z}, G) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \mathrm{Ext}^{1}(J, G) \arrow[r] \arrow[d] & \mathrm{Ext}^{1}(J^{0}, G) \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}, H^{1}(G)) \arrow[r] & \mathrm{Hom}(J(k), H^{1}(G)) \arrow[r] & \mathrm{Hom}(J^{0}(k), H^{1}(G)) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales extrêmes portent un signe que nous lisons comme \(\wr\) (isomorphisme) ; il pourrait aussi s'agir d'un « 2 »

44Adèles pour plusieurs dimensions encadré de sa main, en haut à droite de la page ; la page est une suite de formules sans phrase \[ \prod_{x \in X} \hat{\mathcal{O}}_{x} \] \[ \prod^{\mathrm{local}}_{x_1 \in X_1} \hat{\mathcal{O}}_{x_1} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{x_1}} K \;=\; \prod_{\mathrm{local}} K_{D} \] \[ \prod_{x_1} \text{\struck{$\ill{}$}} \prod^{\mathrm{local}}_{x_0 \in \overline{x_1}} \mathcal{O}_{[x_0, x_1]} \] \[ \prod_{x_0 x_1 (x_2)} \mathcal{O}_{[x_0 x_1 x_2]} \;\longrightarrow\; \mathcal{O}_{[x_0 x_1]} \otimes_{\mathcal{O}_{x_1}} K, \qquad \mathcal{O}_{[x_0 x_\nu]} = \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_0} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{x_0}} K \] sur la page la flèche est verticale ; à côté, un croquis : deux courbes qui se coupent en un point \(x_0\), l'une allant vers \(x_1\) \[ K \longrightarrow I_{x_1} \longrightarrow I_{x_0} \] sous \(K\), un signe d'égalité vertical ; sous la première flèche, une accolade renvoie à \(\hat{\mathcal{O}}_{x_1} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{x_1}} K\), sous la seconde à \(\mathcal{O}_{[x_0, x_1]}\) ; en dessous, alignés : \(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_{\uncertain{2}}}\), \(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_{\uncertain{1}}}\), \(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_{0}}\) ; les indices sont mal formés \[ \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x_0} \quad \hat{\mathcal{O}}_{x_1} \quad \hat{\mathcal{O}}_{x_2} \qquad\qquad \mathfrak{m}_{0} \quad \mathfrak{m}_{1} \quad \mathfrak{m}_{2} \] \[ \prod_{x \in X} \mathcal{O}_{[x]}, \qquad \prod^{\mathrm{local}}_{x_1 \in X_1} \mathcal{O}_{[x_1, x_2]}, \qquad \mathcal{O}. \] l'indice \([x_1, x_2]\) est bien écrit ainsi

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\prod_{x_0} \mathcal{O}_{[x_0]} \arrow[d, "\mathrm{localisant}"] & & \\
\prod_{x_1} \prod^{\mathrm{local}}_{x_0} \mathcal{O}_{[x_0, x_1]} \arrow[d, "\mathrm{localisant}"] & \prod_{x_1} \mathcal{O}_{[x_1]} \arrow[l] \arrow[d, "\mathrm{localisant}"] & \\
\prod^{\mathrm{vert.}}_{x_0} \prod^{\mathrm{vert.}}_{x_1} \mathcal{O}_{[x_0, x_1, x_2]} & \prod^{\mathrm{local}}_{(x_1, x_2)} \mathcal{O}_{[x_1 x_2]} \arrow[l] & \prod_{x_2} \mathcal{O}_{[x_2]} = K \arrow[l]
\end{tikzcd}

diagramme redessiné : sur la page, les trois étages sont décalés en escalier et les indices \(x_0\), \(x_1\) des produits sont soulignés ; à gauche de ce diagramme, séparé par un trait oblique, il répète \(\prod_{x_1} \prod^{\mathrm{local}}_{x_0} \mathcal{O}_{[x_0, x_1]}\) ; « vert. » se lit peut-être « vertical » \[ \underline{\mathcal{O}}_{[x_1, x_2]}, \qquad \hat{\mathcal{O}}_{x_0} \] à côté de \(\hat{\mathcal{O}}_{x_0}\), un croquis : une courbe passant par \(x_0\) et entourée d'un ovale ; plus bas, une ligne biffée « \(\struck{\ill{} \in K_i, c}\) » \[ \mathcal{O}_{[x_0 x_1]} \longrightarrow \prod_{x_0 x_1} \mathcal{O}_{[x_0 x_1 x_2]} \] \[ \text{\struck{$\mathcal{A}_{i_0 \cdots i_{p-1}}$}}\quad \mathcal{A}_{i_0 \cdots i_p} \qquad \mathcal{A}_{i_1 \cdots i_{p-1}} \] \[ x_{i_0}\ x_{i_1} \cdots x_{i_p}, \qquad i_0 < i_1 < \cdots < i_p \]

45\[ \mathcal{A}^{*} = \prod_{x \in X} \mathcal{A}^{*}\pi_{x} \] \[ \mathcal{A}^{*}\pi_{x} = \varprojlim_{n} (\mathcal{A}^{*}\pi_{x}) / \] la formule s'interrompt après la barre de quotient ; le reste de la page est blanc

46\[ \varprojlim_{i}\ \mathcal{A}^{0} \otimes_{A} \mathcal{A}^{0}/\mathfrak{m}_{i} \qquad\qquad \prod \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{A} K \] \[ \mathcal{A}^{0} \otimes_{A} \mathcal{A}^{0}/\mathfrak{m}_{i} \;\subset\; \prod_{x \in X} \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{A} \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n} \;=\; \prod_{x \leq a} \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n} \] sous le second produit, un indice biffé et illisible, remplacé par \(x \leq a\) \[ \prod_{a} \varprojlim_{n} \Bigl(\prod_{x \leq a} \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\Bigr) \] \[ = \text{\struck{$a \in X_{\ill{}}$}}\ \prod_{a} \varprojlim_{n} \Bigl[\bigl(\hat{\mathcal{O}}_{a} \otimes \underline{\mathcal{O}}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\bigr) \times \Bigl(\bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\Bigr)\Bigr] \] \[ = \prod_{a} \hat{\mathcal{O}}_{a} \times \prod_{i} \prod_{a \in X_i} \varprojlim_{n} \Bigl(\bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes \underline{\mathcal{O}}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n}\Bigr) \] une accolade sous le dernier facteur renvoie à trois cas, écrits en colonne ; à gauche, deux lignes biffées et illisibles \[ \begin{array}{ll} i = 0 & \text{\ill{}} \\ i = 1 & \bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{n} \\ i = 2 & \bigl(\prod_{x < a} \hat{\mathcal{O}}_{x}\bigr) \otimes K \end{array} \] \[ \mathcal{A}^{n} = \text{\struck{$\mathcal{A}$}}\ \varprojlim_{\alpha} \mathcal{A}^{n-1} \otimes_{A} \mathcal{A}^{0}/\mathfrak{m}_{\alpha} = \prod_{a \in X} \varprojlim_{k} \mathcal{A}^{n-1} \otimes_{A} \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{k} \] \[ \cap \qquad \prod_{x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0, \ldots, x_n]} \] le signe \(\cap\) est écrit sous la limite, comme une inclusion verticale ; à droite, souligné : « l'inclusion étant fidèlement plate » \[ \mathcal{A}^{n+1} = \prod_{a \in X} \varprojlim_{k} \mathcal{A}^{n} \otimes_{A} \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{k} \;\subset\; \prod_{a \in X} \varprojlim_{k} \Bigl(\prod_{x_0 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0 \ldots x_n]}\Bigr) \otimes \mathcal{O}_{a}/\mathfrak{m}_{a}^{k} \] \[ \subset \prod_{x_0 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0 \ldots x_n]} \otimes \underline{\mathcal{O}}_{\text{\uncertain{$a$}}}\ \ill{} \qquad \mathcal{A}_{[x_0, \ldots, x_n, a]} \] une flèche double horizontale relie le produit entre parenthèses à la dernière ligne ; celle-ci sort de la page à droite

47page de calculs épars, sans phrase suivie hormis une glose ; nous les donnons colonne par colonne, de gauche à droite ; en haut à gauche, un croquis : une courbe et, en un point marqué, deux petits cercles \[ \begin{array}{c} \mathcal{A}_{i_0 \cdots i_{p-1}} \\ \downarrow \\ \mathcal{A}_{i_0 \cdots i_p} \longleftarrow \mathcal{A}_{i_p} \end{array} \] \[ \mathcal{A}_{\ell_1, \ell_2, \ldots, \ell_p} \qquad \mathcal{A}_{\ell_{p+1}} \qquad \mathcal{A}_{\ell} \qquad \mathcal{A}_{1} \qquad \text{\struck{$\mathcal{O}_{[}$}}\ \mathcal{A}_{0} \otimes \] la colonne centrale : \[ \prod \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_x} K, \qquad \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} \text{\struck{$\ill{}$}}\ L_{n} \] \[ \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} (\mathfrak{p}^{n}/\mathfrak{p}^{n+1}) \to \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes L_{n+1} \to \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes L_{n} \] \[ \hat{\mathcal{O}}_{x}/\mathfrak{p}^{n+1} \longrightarrow \hat{\mathcal{O}}_{x}/\mathfrak{p}^{n} \] des flèches montantes relient ces deux lignes ; elles sont marquées d'astérisques, ainsi que les termes de la seconde ligne (groupes des unités ?) \[ \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}} \mathfrak{p}^{n}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n+1}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}} \to \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}} \mathcal{O}_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}^{n}\mathcal{O}_{\mathfrak{p}} \to \hat{\mathcal{O}}_{x} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}} L \] dans le premier terme, un symbole est biffé après le produit tensoriel \[ \hat{\mathcal{O}}_{x} \to \hat{\mathcal{O}}_{x}\, S^{-1} \qquad \mathfrak{p} \quad \mathfrak{p}^{2} \] \[ \mathcal{A}_{[\mathfrak{p}_0, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \otimes_{A} A_{\mathfrak{p}_{n+1}}/\mathfrak{p}_{n+1}^{\text{\uncertain{$n$}}} A_{\mathfrak{p}_{n+1}} \qquad A_{[\mathfrak{p}_0]} \mathbin{\hat{\otimes}_{A}} A_{[\mathfrak{p}_1]} \qquad \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes K \] \[ A_{[x]} \otimes \qquad \varprojlim \hat{A} \otimes_{A} A/\mathfrak{m}_{i} \qquad \varprojlim A \] la colonne de droite : un calcul local en deux variables, avec un croquis (une courbe coupée par une autre en un point, « \(s = 0\) ») \[ \begin{array}{c} k[[s,t]] \\ \uparrow \\ k[s,t]_{\mathfrak{m}} \longrightarrow k[s,t]_{(s)} \\ \uparrow \\ k[t] \end{array} \] les flèches sont annotées verticalement « \(x_0 x_1\) », « \(x_1 x_2\) », « \(x_0 x_2\) » ; à côté, écrit en travers et en partie biffé : \((\hat{\mathcal{O}}_{x}^{*} \otimes K^{*})\) \[ k[[t]][s]\,(s^{-1}) \qquad k[[s]][t^{-1}] \] Localisé en les polynômes en \(s, t\) qui ne sont pas multiples de \(s\) \[ a_{0}(t) + a_{1}(t)\,s + \cdots + a_{n-1}(t)\,s^{n-1} \] \[ a_{0}(t)\,[1 + a_{0}(t)^{-1} a_{1}(t)\,s + \cdots \] \[ \text{\struck{$a_0$}}\ k((t))[s]/(s^{n}) \longleftarrow k[[s,t]] \] la flèche est verticale et monte vers \(k((t))[s]/(s^{n})\) \[ \underline{\underline{a_{0}(t)}} + \underline{\underline{a_{1}(t)}}\,s + \cdots + \underline{\underline{a_{n-1}(t)}}\,s^{n-1} \] \[ k((t))[[s]] \qquad k[[t]][[s]] \qquad k((t))/k[[t]]\ \ [[s]] \]

48feuillet écrit dans le sens de la largeur ; calculs épars, sans phrase ; nous les donnons par blocs, de gauche à droite et de haut en bas \[ \prod_{x \in X_0} G(\hat{\mathcal{O}}_{x}), \qquad \prod_{D} \prod^{\mathrm{local}}_{x \in |D|} G(\hat{\mathcal{O}}_{D,x}), \qquad \prod_{\text{\struck{$\ill{}$}}\ D \in X_1} G(\hat{\mathcal{O}}_{D}), \qquad \prod_{\mathrm{local}} G(\hat{K}_{D}) \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\prod_{x} \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x}^{*} \arrow[d] & & \\
\prod_{D} \prod^{\mathrm{local}}_{x \in |D|} \hat{\mathcal{O}}_{D,x}^{*} \arrow[d] & \prod_{D} \hat{\mathcal{O}}_{D}^{*} \arrow[l] \arrow[d] & 0 \arrow[l, dashed] \arrow[d, dashed] \\
\prod_{x} \prod_{|D| \ni x} (\hat{\mathcal{O}}_{D,x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_{D}} K)^{*} & \prod_{\mathrm{local}} \hat{K}_{D}^{*} \arrow[l] & K^{*} \arrow[l]
\end{tikzcd}

diagramme redessiné ; la dernière colonne est tracée en pointillé depuis le « \(0\) » ; à gauche de la dernière ligne, séparé par un trait oblique, « \(G(K)\) » ; sous le second produit, « \(D\) » est surchargé \[ \mathrm{Hom}\bigl(K, \textstyle\coprod_{x} \text{\struck{$\ill{}$}}\, I_{x}\bigr) \] \[ K \to I_{D} \to I_{x} \] sous la première flèche, \(\hat{K}_{D}^{*}\) ; sous la seconde, barré d'un trait, \(\hat{\mathcal{O}}_{D,x}^{*}\) \[ \prod_{D} \hat{\mathcal{O}}_{D}^{*} \longleftarrow \Sigma\, \underline{\mathcal{O}}_{D}, \qquad K^{*}, \qquad \mathcal{O}_{D} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{D_x} & \hat{\mathcal{O}}_{D} \arrow[l] \arrow[d] & \underline{\mathcal{O}}_{D} \arrow[l] \arrow[d] \\
 & \hat{K}_{D} & K^{*} \arrow[l]
\end{tikzcd}

sous ce carré, à gauche, une rature pleine

colonne de droite, avec un croquis en haut (une courbe, et une autre traversant un disque hachuré) : \[ \begin{array}{c} \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \leftarrow \mathcal{O}_{x} \\ \downarrow \\ \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} \underline{\mathcal{O}}_{D} \leftarrow \mathcal{O}_{D} \\ \downarrow \\ \underline{\mathcal{O}}_{\text{\uncertain{$\mathfrak{q}$}}} \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{ccc} \hat{\mathcal{O}}_{D} & \leftarrow & \mathcal{O}_{D} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{D,0} & \leftarrow & \mathcal{O}_{0} \end{array} \] le premier membre de la seconde ligne de la colonne gauche porte un chapeau commun et un trait biffé

colonne de gauche, en bas : \[ \begin{array}{l} A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \\ \uparrow \ \text{hom.\ local} \\ A_{[\mathfrak{p}_n]}\ \ \text{\struck{$\leftarrow A_{[\mathfrak{p}_{n-1}]}/\mathfrak{p}_{n-1}^{k} A_{[\mathfrak{p}_{n-1}]}$}} \\ \uparrow \ \text{hom.\ local} \\ A_{\mathfrak{p}_n} \longrightarrow A_{\mathfrak{p}_{n+1}}/\mathfrak{p}_{n+1}^{k} A_{\mathfrak{p}_{n+1}} \end{array} \] \[ \text{\struck{$A_{[\mathfrak{p}_1]} \leftarrow A_{[\mathfrak{p}_2]} \to A_{[\mathfrak{p}_1]}$}} \qquad A_{[\mathfrak{p}_1]}, \qquad A_{\mathfrak{p}_1} \longrightarrow \text{\struck{$A$}}\,A_{\mathfrak{p}_2}/\mathfrak{p}_2^{k} A_{\mathfrak{p}_2}, \qquad \underline{A} \] les deux premières lignes de ce dernier groupe, où la flèche \(A_{[\mathfrak{p}_2]} \to A_{[\mathfrak{p}_1]}\) monte, sont biffées de traits obliques

49Détermination des \(\lbrace D_{\mathfrak{p}}(M) \longrightarrow K_{\mathfrak{q}} \rbrace\) \((\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p})\) le mot après « des » est une abréviation soulignée que nous ne lisons pas avec sûreté (« hom. » ?) ; l'accolade ouvrante qui la suit peut aussi être une parenthèse

On peut supposer \(A\) local d'idéal maximal \(\mathfrak{m} = \mathfrak{q}\), \(\mathfrak{p}\) sera un idéal premier quelconque. On a \(\mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K_{\mathfrak{q}})\) est un foncteur exact en \(M\),covariant donc de la forme \(M \otimes K_{\mathfrak{p},\mathfrak{q}}\), où \(\mathbf{K}_{\mathfrak{p},\mathfrak{q}}\) est un \(A\)-module […] plat, savoir \(\mathrm{Hom}(K_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}})\). Si \(\mathfrak{q} = \mathfrak{p}\), on obtient \(\hat{A}_{\mathfrak{p}} = \widehat{A_{\mathfrak{q}}}\). la seconde occurrence de \(K_{\mathfrak{p},\mathfrak{q}}\) est écrite en gras (repassée) ; la dernière égalité est lue telle quelle, malgré \(\mathfrak{q} = \mathfrak{p}\)

50\(A\) anneau régulier, de dim. finie, […] \[ \text{\struck{$D(A) = \coprod_{\mathfrak{p}} D_{\mathfrak{p}}(A)$}} \qquad \text{\struck{$DD(A) = \prod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(I_{\mathfrak{p}},$}} \] ces deux lignes sont barrées d'une croix ; sous \(D_{\mathfrak{p}}(A)\), une accolade renvoie à \(I_{\mathfrak{p}}\) \[ D(M) = \mathrm{Hom}(M, K_{*}) = \coprod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(M, K_{\mathfrak{p}}) \] sous le dernier terme, une accolade : « \(\mathfrak{p}\)-primaire », « \(D_{\mathfrak{p}}(M)\) » \[ DD(M) = \prod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K) \] \(D_{\mathfrak{p}}(M)\) est surchargé sur une première lettre \[ D_{\mathfrak{p}}(M) = \varinjlim_{i} U_{i} \] les \(U_i\) sont de longueur finie sur \(A_{\mathfrak{p}}\) \[ \mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K) = \varprojlim_{i} \mathrm{Hom}(U_{i}, K) \] \[ \mathrm{Hom}(U_{i}, K_{*}) = \coprod_{\mathfrak{q}} \mathrm{Hom}(U_{i}, K_{\mathfrak{q}}) \] \[ \mathrm{Hom}(U_{i}, K_{\mathfrak{q}}) = \varinjlim_{j} \mathrm{Hom}(U_{i}, K_{\mathfrak{q},j}) \] sous \(K_{\mathfrak{q},j}\), une accolade : « \(V_j\) de longueur finie sur \(A_{\mathfrak{q}}\) » ; dans la marge gauche, un croquis : deux courbes qui se coupent en un point marqué

Or \(\mathrm{Hom}(U_i, V_j) = 0\) si \(\mathfrak{q} \not\supset \mathfrak{p}\) ; donc […] […] \(\mathrm{Hom}(U_i, K_{\mathfrak{q}}) = 0\) si \(\mathfrak{q} \not\supset \mathfrak{p}\), d'où \[ \mathrm{Hom}(U_i, K_{*}) = \coprod_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(U_i, K_{\mathfrak{q}}) \] sous le coproduit, l'indice \(\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}\) est écrit au-dessus d'un indice raturé ; de même dans les deux formules suivantes \[ DD(M) = \prod_{\mathfrak{p}} \mathrm{Hom}\Bigl(D_{\mathfrak{p}}(M), \coprod_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} K_{\mathfrak{q}}\Bigr) = \prod_{\mathfrak{p}} \prod^{\mathrm{local}}_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} \mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K_{\mathfrak{q}}) \]

51

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
0 & \hat{\mathcal{O}}_{\mathfrak{q}_1} \arrow[l] \arrow[d] & \mathcal{O}_{\mathfrak{q}_1} \arrow[l] \arrow[d] \\
 & \hat{\mathcal{O}}_{\mathfrak{q}_1 \mathfrak{q}_0} & \mathcal{O}_{\mathfrak{q}_0} \arrow[l]
\end{tikzcd}

au milieu du carré, le signe \(\otimes\) ; en haut, au centre, un croquis (deux arcs issus d'un point \(x\)) et, à droite, un segment à trois points marqués ; plus bas : « \(x\) \(\supset\) finis » et, entouré d'un ovale, \(\hat{\underline{\mathcal{O}}}^{*}_{x} \otimes_{\underline{\mathcal{O}}_x} K\) \[ A_{[\mathfrak{p} \supset \mathfrak{q}]} \] \[ \begin{array}{c} A_{[\mathfrak{p}]} = \widehat{A_{\mathfrak{p}}} \\ \uparrow \\ A_{\mathfrak{p}} \longrightarrow A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \end{array} \] \[ A_{[\mathfrak{p}]} = \widehat{A_{\mathfrak{p}}} \longleftarrow A_{\mathfrak{p}} \] \[ \begin{aligned} A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}]} &= \varprojlim_{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\ &= A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\ &= A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{\text{\struck{$A_{\mathfrak{q}}$}}\, A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\ &= \text{\struck{$(A/\mathfrak{q}^{n} A$}} \\ &= A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}} \\ &= A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A} A_{\mathfrak{q}} \end{aligned} \] les égalités sont écrites verticalement ; une accolade sous la limite projective mène à la deuxième ligne, qui ne porte plus de limite ; la dernière ligne est soulignée et une flèche en part vers la formule suivante \[ \widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{p}}} = (A/\mathfrak{q}^{n} A)_{[\mathfrak{p}]} \qquad\qquad \text{\struck{$\ill{}\ (A/\mathfrak{q}^{n} A)_{[\mathfrak{p}]}$}} \] on peut y remplacer \(\mathfrak{q}^{n}\) par \(\mathfrak{q}^{(n)}\) note dans une bulle à gauche, reliée par un trait sinueux à la formule précédente […] […] […], […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] de \(\widehat{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}}\) \(1\) six lignes serrées dans la marge droite, séparées du calcul par une grande parenthèse ; seule la formule finale se lit

52\[ \mathfrak{p} \longrightarrow \mathfrak{m}, \qquad \mathfrak{p}' \quad \mathfrak{m}' \] en haut de page, deux schémas raturés : \(\mathfrak{p}\) et \(\mathfrak{m}\) reliés par une flèche, surmontés de \(\mathfrak{p}'\) et \(\mathfrak{m}'\) surchargés, le tout souligné d'un crochet ; à droite, un croquis en escalier (des cases empilées dans l'angle d'un cadre, une flèche descendante et une flèche vers la gauche) \[ \mathrm{Hom}(U_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{m}}) = A_{\mathfrak{m},\mathfrak{p}} \] \[ \mathfrak{p} \subset \mathfrak{p}' \qquad \mathfrak{q}' \subset \mathfrak{q} = \mathfrak{m} \qquad\qquad A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{p}^{n} A_{\mathfrak{m}} = \mathbf{A} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}''} \arrow[d] & & \\
A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}'} \arrow[d] & A_{\mathfrak{q}',\mathfrak{p}'} \arrow[l] \arrow[d] & \\
A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}} & A_{\mathfrak{q}',\mathfrak{p}} \arrow[l] & A_{\mathfrak{q}'',\mathfrak{p}} \arrow[l]
\end{tikzcd}

dans les termes de gauche, l'indice est surchargé (« \(\mathfrak{q}\) » écrit sur une autre lettre) \[ \mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{p}' \subsetneq \mathfrak{p}'' \subset \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q}, \qquad \mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q}, \qquad \mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}'' \subsetneq \mathfrak{q}' \subsetneq \mathfrak{q} \] ce ne sont pas des formules linéaires : les idéaux sont disposés en losange, reliés par des traits d'inclusion ; nous en donnons les trois chaînes \[ \mathrm{Hom}(A_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}}), \qquad \mathrm{Hom}(K_{*}, K_{*}) \] sous \(\mathrm{Hom}(K_*,K_*)\), une flèche à deux pointes ; entre ses arguments, un petit indice illisible \[ A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}} = \Bigl(\coprod_{\mathfrak{p}'} A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}'}\Bigr) \amalg \Bigl(\coprod_{\mathfrak{q}'} A_{\mathfrak{q}',\mathfrak{p}}\Bigr) \Big/ \] la formule s'arrête sur la barre de quotient ; le second coproduit est surchargé

\(I\) ensemble ordonné, tel que (i) deux objets […] \(x, y\) tels que \(x \leq y\) peuvent être joints par une chaîne saturée ; (ii) Deux chaînes saturées ont même longueur. Si \(x, y\) On suppose défini \(A_{x,y} \in \mathcal{C}\) si \(x \leq y\) et \(d(x,y) \leq 1\), […] […] […] […], […] […] : […] […] […], avant « \(x \leq y\) », un « \(d(x,y)\) » biffé ; les deux dernières lignes ne se lisent pas au-delà de quelques lettres

53\[ \begin{aligned} A_{[\mathfrak{p},\mathfrak{q}]} &= \varprojlim A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \\ &= \varprojlim A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^{n} A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} \end{aligned} \] dans la seconde ligne, l'indice du second \(A_{[\mathfrak{p}]}\) est surchargé

\(A_{[\mathfrak{p},\mathfrak{q},\mathfrak{r}]}\) etc.

\(X\) ensemble ordonné

\(S_X\) ensemble simplicial associé, ayant les \(n\)-simplexes sur les chaînes \[ x_0 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_n \] sous la chaîne, une flèche vers la gauche [i.e. les applications croissantes de \([0,n] = \Delta_n\) dans \(X\)]

À tout \(\sigma \in S_X\) est associé un \(A_\sigma\).

À toute opération face simpliciale « simpliciale » est écrit au-dessus de « face » biffé \(u : \Delta_m \to \Delta_n\) (croissante) est associé un hom. \[ \text{\struck{Ah}}\quad S_X^{n} \xrightarrow{\ u^{*}\ } S_X^{m} \] le mot biffé devant \(S_X^n\) n'est pas sûr et si \(\sigma \in S_X^n\), d'où \(u^{*}(\sigma) \in S_X^m\), on a un morphisme \[ \varphi(\sigma, u) : A_\sigma \longleftarrow A_{u^{*}(\sigma)}, \] De façon transitive.

54Ainsi, les \(A_\sigma\) forment un faisceau sur l'ensemble simplicial \(S_X\). On rappelle les faisceaux […]le mot biffé après « faisceaux », souligné, se lit peut-être « cohérents » [les […] […] […] […] un objet simplicial dans la catégorie des ensembles ordonnés« ordonnés » est écrit au-dessus de deux mots biffés et illisibles]. […] […] […] Ici, […] […] […] de dégénérescences compliquées […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] […] actuel, il y a lieu de négliger […] […] qui proviennent des simplexes de la forme \(\partial_i \sigma\), […] […] […] […] simplexes […] dégénérés [i.e. des chaînes \(\partial_i \sigma\), […] \(\partial_i\) […] […] opération face […] […] […] […] […] une opération « de coin », \(\sigma\) […] dégénéré [cela revient à ne retenir que les chaînes strictes […], et […] […] […] […] […] introduire […] […] […] équivalences). prose très rapide, surchargée de ratures et d'interlignes ; une flèche venue de la marge gauche renvoie à l'interligne du cinquième paragraphe ; nous ne donnons que ce qui se lit

à gauche, des croquis de segments subdivisés, avec les légendes : \[ (x_0 - \cdots - x_n), \qquad (x_0 - \overset{\downarrow}{x_p} - x_n), \qquad x_0\ x_1\ x_2, \qquad x_0 - x_2 \]

55[sans vérif. des opérations de dégénérescence) en haut à droite, entre un crochet ouvrant et une parenthèse fermante

\(K^{*}\) […] objet cosimplicial dans une catégorie abélienne \(\mathcal{C}\). « \(\mathcal{C}\) » est ajouté au-dessus de la fin de la ligne C'est donc un objet \(\mathcal{C}\)-module gradué muni […] […] […] \((0 \leq i \leq n+1)\) gradués de degré un les \(\partial_i^n\), […] avec les relations qu'on sait. On On […] […] y introduire […] […] les relations \[ \partial_i^n = 0 \quad \text{pour} \quad 1 \leq i \leq n \] \(\partial_i^n : \Delta^n \to \Delta^{n+1}\), \(0 \leq i \leq n+1\)

de conditions de […] […] \(K^n\) […] […], […] […] \(K^i \to K^n\), […] \(K^i\) \(i < n\) ; \(K^i \to K^n\) […] \[ \begin{array}{ll} \partial_i^n K^{n-1} & 1 \leq i \leq n \\ u_2\, \partial_i^{n-1} K^{n-2} & 1 \leq i \leq n \\ \cdots & \\ u\ K^{0} & \end{array} \] ces lignes sont réunies par une accolade et entourées d'un ovale ; un trait sinueux mène de la deuxième ligne vers l'intérieur de l'ovale, et un trait oblique barre la première

[…] opération simpliciale […] correspondant : […] […] croissante […] \(\Delta^{i}\) dans \(\Delta^{n}\) qui […] […] sur le dernier. Le […] […] \[ K'^{n} \subset K^{n}, \] et […] […] […] […] […] […] […] […] […] objet simplicial […] \(K^{*}\). la fin de la page, sous un trait, est une ligne en partie soulignée dont seuls « objet simplicial » et « \(K^{*}\) » se lisent

\[ \text{\struck{$x_0 \leq x_1 \cdots \leq x_n$}} \qquad (x_0, x_1, x_2) \longrightarrow (x_0, x_2) \] la flèche descend ; au-dessus, un segment à points marqués

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & A_{[x_0 x_1 x_2]} & \\
 & & A_{[x_0, x_2]} \arrow[u] & \\
\Sigma A_{[x_0 x_1]} & \Sigma A_{[x_1, x_2]} & \Sigma A_{[x_0, x_1, x_2]} & A_{[x_0, x_2]} \arrow[l] \\
A_{[x_0]} \arrow[u] \arrow[ru] & A_{[x_1]} \arrow[u] & A_{[x_2]} \arrow[ru] &
\end{tikzcd}

diagramme redessiné : sur la page les sommes sont écrites en ligne, \(\Sigma A_{[x_0 x_1]}\ \Sigma A_{[x_1,x_2]}\ \Sigma A_{[x_0,x_1,x_2]}\), les \(A_{[x_i]}\) en dessous avec de petites flèches montantes, dont une arche courbe de \(A_{[x_0]}\) vers la droite ; à côté, un croquis : trois droites concourantes en un point, et deux points isolés ; les flèches exactes entre \(A_{[x_i]}\) et les sommes ne se laissent pas toutes attribuer \[ A_{[x_0 \ x_1}\ \cdots \qquad x_0, x_2 \qquad A_{[x_0, x_2]} \qquad \partial^{1}_{1} A_{[x_0, x_2]} \] \[ \cdots \to K'' \to K' \to K \to 0 \]

56\[ - \quad A_{[x_1 x_2, \ldots, x_n]} \longrightarrow \prod_{\substack{x_0 \\ \text{précède} \\ x_1}} A_{[x_0, x_1, \ldots, x_n]} \xrightarrow{\ d_0^{n}\ } \prod_{\substack{x'_0, x_0 \\ (x'_0 \text{ précède } x_0)}} A_{[x'_0, x_0, x_1, \ldots, x_n]} \] sous la première flèche, une flèche de retour marquée \(d_0^{n-1}\) ; « précède » est une lecture probable de l'abréviation ; dans le premier indice, \(x_1\) est surchargé ; à gauche, un segment à trois points marqués \[ \left\lbrace \begin{array}{l} d'^{2} = 0 \\ d''^{2} = 0 \\ d'd'' = d''d' \end{array} \right. \] ces relations sont entourées d'un cercle, sous un trait horizontal ; à droite, un petit croquis \[ A_{[x_0, x_n]} \longrightarrow \text{\struck{$\prod$}}\ \prod A_{[x_0 x_i x_n]} \] le premier produit est biffé avec son indice \[ \begin{array}{ccc} A_{[x_0 x_{n-1}]} & & A_{[x_1, x_n]} \\ \swarrow \ \searrow & & \swarrow \ \searrow \\ A_{[x_0, x_{n-1}, x_n]} & & A_{[x_0, x_1, x_n]} \end{array} \] à droite de ce schéma, séparé par un trait vertical : « \(x_0\) min | \(x_n\) maximal », et dessous « non […] » ; un trait courbe sépare le tout du bas de la page \[ \begin{array}{llll} X & \prod \hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x} & & \prod G(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_{x}) \longleftarrow \cdot \\ C & \prod_{\mathrm{loc}} \hat{K}_{x} & K & \prod_{\mathrm{loc}} G(\hat{K}_{x}) \longleftarrow G(K) \end{array} \] de \(\prod G(\hat{\underline{\mathcal{O}}}_x)\) et du point à sa droite descendent deux petites flèches vers la seconde ligne \[ \begin{array}{c} G(\hat{A}) \\ \downarrow \\ G(\hat{K}) \longleftarrow G(K) \end{array} \qquad\qquad H \] \[ K \to K/A, \qquad G(K) \qquad G(K)/G(A) \]

57en haut, un treillis des \(A_{[\ldots]}\) pour la chaîne \(x_0 < x_1 < x_2 < x_3\), dessiné en étages avec de petites flèches montantes ; nous en donnons les étages, de haut en bas ; trois longues flèches au crayon rouge renvoient des termes de droite vers ceux de gauche \[ \begin{array}{l} A_{[x_0 x_1 x_2 x_3]} \\ A_{[x_0 x_1 x_2]} \quad A_{[x_1 x_2 x_3]} \quad \text{\struck{$A_{[x_1 x_2 x_3]}$}} \quad A_{[x_0 x_2 x_3]} \quad A_{[x_0 x_1 x_3]} \\ A_{[x_0 x_1]} \quad A_{[x_1 x_2]} \quad A_{[x_2 x_3]} \quad \text{\struck{$A_{[x_2 x_3]}$}} \quad A_{[x_0 x_2]} \quad A_{[x_0 x_1]} \quad \text{\struck{$A_{[x_2 x_3]}$}} \quad A_{[x_1 x_3]} \quad \text{\struck{$A_{[x_1 x_3]}$}} \quad \text{\struck{$A_{[x_2 x_3]}$}} \\ A_{[x_0]} \quad A_{[x_1]} \quad A_{[x_2]} \quad A_{[x_3]} \end{array} \] les termes biffés le sont sur la page ; plusieurs indices sont surchargés et leur lecture reste incertaine \[ \overline{A_{[x_0 x_2 x_3]}} \cap \overline{A_{[x_0 x_1 x_3]}} \] \[ \overline{\overline{A_{[x_0, x_3]}}} \] la seconde ligne est écrite sous la première, sans signe entre elles \[ 0 \qquad (A_{[x_0 x_2 x_3]} + A_{[x_0 x_1 x_3]}) \] \[ A_{[x_0 x_2]} \times A_{[x_1, x_3]} \times \bigl(A_{[x_0 x_2 x_3]} \times A_{[x_0 x_1 x_3]}\bigr) \] \[ 0 \qquad A_{[x_0 x_2]} \qquad A_{[x_{\text{\uncertain{$2$}}} x_3]} \qquad A_{[x_{\text{\uncertain{$0$}}} x_3]} \] des flèches croisées relient chaque terme de la dernière ligne à deux facteurs du produit ; le produit entre parenthèses est entouré, et une flèche en part vers la formule : \[ \mathrm{Im}\, A_{[x_0 x_3]} + \mathrm{Im}\, A_{[x_1, x_3]} \qquad \alpha \quad \beta \quad -\bar{\alpha} \quad -\bar{\beta}, \qquad \alpha \circ \beta \] \[ \begin{array}{llllll} S_0 & S_1 & S_2 & S_{n+1} \xleftarrow{\ d_i^{n}\ } S_n & & \\ & & & d_i^{n}\sigma \quad \ \sigma & & \\ & & & A_{d_i^{n}\sigma} \quad A_\sigma & & \end{array} \] sous \(S_n\), le signe \(\in\) couché ; un trait horizontal traverse ensuite la page \[ K \qquad d_i^{n} \quad 0 \leq i \leq n+1 \qquad\qquad d' \pm d'' \] \[ \bigcap_{1 \leq i \leq n+1} \mathrm{Ker}\, d_i^{n} \qquad \text{\struck{$\ill{}$}}\ \mathrm{Coker}\, d_i^{n} \quad \underline{1 \leq i \leq n} \] \[ d_i^{n+1} d_0^{n} x = 0 \quad \text{si} \quad 1 \leq i \leq n+2 \] à droite, des croquis de segments subdivisés, légendés \(\Delta^n\), \(\Delta^{n+1}\), \(\Delta^{n+2}\) et « \(x_0\ x_1\ x_2 - x_n\) » \[ A_{[x_0, x_2]} \xleftarrow{\ d\ } A_{[x_0, x_1, x_2]} \] le « \(d\) » est écrit sous la flèche

1°) \(\bigcap \mathrm{Ker}\) des dégénérescences la ligne s'arrête là, au bas de la page

58feuillet écrit dans le sens de la largeur ; un quadrillage au crayon (trois colonnes, trois lignes, étiquetées d'abréviations illisibles, en haut « […] » et « […] », à gauche « […] ») porte le diagramme ci-dessous ; une diagonale au crayon le traverse ; dans les cases vides, des « \(0\) » ; nous notons \(\mathfrak{r}\) l'idéal premier écrit d'une lettre gothique que nous ne lisons pas sûrement

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\hat{A} \arrow[d] & & \\
\varprojlim \hat{A}/\mathfrak{r}^{n}\hat{A} \otimes_{A} A_{\mathfrak{r}}/\mathfrak{r}^{n} A_{\mathfrak{r}} \arrow[d] & \widehat{A_{\mathfrak{r}}} \arrow[l] \arrow[d] & \\
\prod_{\mathfrak{r}} A_{[\mathfrak{m}, \mathfrak{r}, 0]} & \hat{A}_{\mathfrak{r}} \otimes_{A} K = \widehat{K_{\mathfrak{r}}} \arrow[l] & K \arrow[l]
\end{tikzcd}

sous le terme de gauche, une accolade : \(\hat{A} \otimes_{A} A_{\mathfrak{r}}/\mathfrak{r}^{n} \hat{A}_{\mathfrak{r}}\), puis « \(A_{[\mathfrak{m},\mathfrak{r}]}\) » ; sous \(\widehat{K_{\mathfrak{r}}}\), « \(A_{[\mathfrak{r}, 0]}\) » ; sous le quadrillage : « […] \(\supset \mathfrak{r} \supset 0\) » \[ \mathrm{Hom}(M, A), \quad \mathrm{Ext}^{1}(M, A) \cdots \qquad\qquad \mathrm{Hom}(K_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}}) = A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}} \quad (\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}) \] la première formule est soulignée d'une accolade \[ \begin{array}{l} S_{A}(M) \\ \mathrm{Hom}_{A}(M, \mathcal{A}) \\ \mathrm{Ext}^{*}(M, A) \\ \Uparrow \\ H^{*}\, \mathrm{Ext}^{*}(M, \mathcal{A}) \\ \mathrm{Ext}(\hat{M}, A) \qquad \hat{A}\ \hat{K}\ K \end{array} \] en bas, un second quadrillage au crayon porte le même diagramme pour les groupes multiplicatifs :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\hat{A}^{*} \arrow[d] & & \\
\varprojlim (\hat{A} \otimes_{A} A_{\mathfrak{r}}/\mathfrak{r}^{n} A_{\mathfrak{r}})^{*} \arrow[d] & \widehat{A_{\mathfrak{r}}}^{*} \arrow[l] \arrow[d] & \\
\cdot & \widehat{K_{\mathfrak{r}}}^{*} \arrow[l] & K^{*} \arrow[l]
\end{tikzcd}

\[ A \ \ill{} \ill{} \qquad 0 \to A \to \mathcal{A} \to \mathcal{A}_1 \to 0 \] \[ \mathrm{Ext}^{1}(M, A) \to \mathrm{Ext}^{\text{\uncertain{$1$}}}(M, \mathcal{A}) \to \ill{} \] la dernière formule est doublement soulignée ; à droite, dans un cadre, des \(\mathfrak{p}\) surchargés et une ligne raturée

59la page commence au milieu d'une phrase ; elle semble continuer la page 60, dont la dernière ligne annonce des accouplements \(A_{c'} \times A_c \to A_{c'c}\) (les deux feuillets seraient intervertis) [dans […] […] […] […] […] \((c_i)\) […] […] […] \(x_0 \geq \cdots \geq x_n\) […] […] […] \((c_i)\), […] […] chaîne saturée […] \(x_0 \geq \cdots \geq x_n\) […] \(\in A_c\)] interligne serré, surchargé et en partie biffé ; au-dessus, « \(X\) est une catégorie […] » et « \(A_c\) » biffé une multiplication. L'élément unité […] […] […] […] de \(\struck{A_c}\) […] […] […] […] compatibles, la somme des \(A_c\) devient un anneau \(A^{*}\) [[…] gradué […] gradué par la longueur des chaînes, non commutatif], […] la somme des \(A_x\) devient un sous-anneau (commutatif), noté \(A^{0}\). \(A^{1}\) est la somme des \(A_{[x_0, x_1]}\), soit \(\Theta\) l'élément de \(A^{1}\) dont les composantes sont \(1_{[x_0, x_1]}\). Combien est \(\Theta^2\) ? On a \[ \Theta^{2} = \sum_{\substack{(x_0, x_1) \\ (y_0, y_1) \\ \text{chaînes saturées}}} 1_{[x_0, x_1]} \cdot 1_{[y_0, y_1]} = \sum_{\substack{[x_0, x_1, x_2] \\ \text{chaînes saturées}}} 1_{[x_0, x_1, x_2]} \] On va maintenant diviser par l'idéal bilatère « bilatère » est ajouté au-dessus de la ligne engendré par \(\Theta^{2}\), [[…] […] […] […] […]] […] […], […] […] […] […] […]. En d'autres termes, […] […] […] […], […] \(u_1 \pm u_2\) […] […] […] il […] négliger les \[ \sum_{x_1} \varphi \qquad \Bigl(\ill{}\ \delta(a, b) = 2\Bigr) \] sous la somme, deux lignes biffées et illisibles à droite, un croquis : un segment de \(a\) à \(b\), coupé entre \(\alpha\) et \(\beta\) par un trait oblique légendé « fenêtre » ; dessous : \[ \begin{array}{ccc} A_{[a - \alpha, \delta, \beta, \ldots, b]} & A_{[a - \alpha]} & A_{[\beta, \ldots, b]} \\ \uparrow \varphi_{\sigma} & \uparrow & \uparrow \\ A_{[\alpha - a]} \otimes A_{[\beta \ldots \beta]} & A_{[\alpha]} & A_{[\beta]} \end{array} \qquad [A_{\alpha \ \ill{} \ b}] \qquad x_0 \longrightarrow x_n \] sous le \(\otimes\), « \(A_{\ill{}}\) » et « \(b - \beta\) » ; les indices de ce groupe sont d'une lecture très incertaine

60\(I\) ensemble ordonné satisfaisant à la « condition des chaînes » [a) La longueur des chaînes joignant \(x \geq y\) est bornée b) Deux chaînes saturées joignant \(x\) à \(y\) ont même longueur \(d(x, y)\)]. les conditions a) et b) sont écrites en interligne, au-dessus de la ligne suivante ; le « \(I\) » initial est surchargé

Pour toute chaîne saturée \[ c = (x_0 \geq x_1 \geq \cdots \geq x_n), \] on suppose donné un anneau \[ A_c = A_{[x_0, \ldots, x_n]} \] et pour une chaîne de longueur maximum (supposée \(n \geq 1\)) des hom. d'anneaux \[ \begin{array}{ll} u_1 : A_{[x_0, \ldots, x_{n-1}]} \longrightarrow A_{[x_0, \ldots, x_n]} & [\text{i.e.\ } (1_{x_n}\Theta)_0] \\ u_2 : A_{[x_1, \ldots, x_n]} \longrightarrow A_{[x_0, \ldots, x_n]} & [\text{i.e.\ } d(\Theta 1_{x_0})] \end{array} \] les gloses entre crochets, à droite, sont d'une autre encre ; leur lecture est incertaine [on note que \[ u_1, u_2 : A_{c'} \longrightarrow \prod_{\substack{c \supset c' \\ \lg c = \lg c' + 1}} A_c \] ] suit une ligne biffée et illisible

on suppose que \(u_1\) et \(u_2\) commutent : si \(n \geq 2\)

\begin{tikzcd}
A_{[x_1, \ldots, x_{n-1}]} \arrow[r, "u_2"] \arrow[d, "u_1"'] & A_{[x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}]} \arrow[d, "u_1"] \\
A_{[x_1, \ldots, x_n]} \arrow[r] & A_{[x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n]}
\end{tikzcd}

de sorte que cela permet de définir sans ambiguïté des hom. d'anneaux \[ u_{c,c'} : A_{c'} \longrightarrow A_{c} \quad \text{si} \quad c \supset c' \] [[…] et […] […] […] une condition de transitivité, qui exprime que \((A_c)\) est un système inductif sur l'ens. des chaînes ordonnées. De plus, […] […] […] multiplication dans les \(A_c\), on se donne des […] accouplements bi-additifs \[ A_{c'} \times A_{c} \longrightarrow A_{c'c} \] si \(c', c\) sont compatibles dans un certain sens, et satisfont les la page s'arrête sur ce mot ; la suite semble être en tête de la page 59