Fonds Grothendieck, cote n° 43, pages 1–20 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-26)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-09-26
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https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)43
Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Pages 1 à 20 de la cote, dans la
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le seul enregistrement.https://grothendieck.umontpellier.fr/43.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
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pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
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unclear ; \add devient
supplied ; \struck devient
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faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurPremière passe de transcription.Export TEI depuis la source LaTeX.
Cohomologie des galoisienne etc.
titre inscrit de sa main en haut à droite de la chemise (page 1),
sans autre contenu ; un mot, après « des », est biffé et surchargé
Corps de classes global arithmétique (énoncé des théorèmes…)
titre inscrit de sa main en haut à droite du feuillet orange (page 2),
sans autre contenu ; il recouvre deux lignes antérieures au crayon,
effacées et illisibles
La Théorie du corps de classes
K corps de nbs algébriques, J_K groupe des idèles, U_Kunitéssous-groupe des idèles unités (à
l'infini, elles sont> 0 aux places réelles),
\mathcal{D}^{a}_{K} les diviseurs absolus, \mathcal{D}_K les diviseurs
(\mathcal{D}^{a}_{K} \approx \mathcal{D}_K \times \mathbb{Z}_2^{r_1}).
Soit \underline{m} un diviseur absolu, positif aux places finies
(i.e.\underline{m}_0est un idéalentier), \mathcal{D}^{\underline{m}}_{K} les diviseurs
premiers à \underline{m} (ne dépend que de lapartie finie\underline{m}_0 de l'idéal absolu \underline{m}),
P^{\underline{m}}_{K} \subset \mathcal{D}^{\underline{m}}_{K} formé des
(x) où x \in K^{*} est \equiv 1\ (\underline{m}), i.e.
v_{\mathfrak{p}}(x-1) \geqslant v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) aux places
finies où v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) > 0, et x \in K_{\mathfrak{p}}^{*+} aux places infinies où
v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) \neq 0. Les x en question forment
K^{*(\underline{m})}.
\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} = \mathcal{D}^{\underline{m}}_{K} / P^{\underline{m}}_{K}.
(N.B. K^{*\underline{m}}est aussi formé des quotients x/y,
où x et ysontentiers tels que
v_{\mathfrak{p}}(x-1) \geqslant v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) si
\mathfrak{p} est finie, et x \in K_{\mathfrak{p}}^{*+} si \mathfrak{p}est infinie et v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) \neq 0.) On a une
suite exacte
(1) \qquad 0 \to N^{\underline{m}}_{K} \to \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \to \mathcal{P}_K \to 0au-dessus de \mathcal{P}_K, une flèche renvoie à « classes
d'idéaux »où le noyau N^{\underline{m}}_{K} se décrit ainsi
(2) \qquad 0 \to \mathbb{Z}_2^{S_\infty}/\mathrm{Im}\,E^{\underline{m}_0}_{K} \to N^{\underline{m}}_{K} \to (A_K/\underline{m}_0)^{*}/\mathrm{Im}\,E_K \to 0
(A_Kentiers de K, E_K unités, E^{\underline{m}_0}_{K}
unités qui sont \equiv 1\ (\underline{m}_0)), Sens. des
places qui figurent dans \underline{m}, S_\infty sa partie infinie.
N.B. Si \underline{m}_0 est grand, alors E^{\underline{m}_0}_{K} est
contenu dans le sous-groupe de E_Kfini, donc \mathrm{Im}\,E^{\underline{m}_0}_{K} dans
\mathbb{Z}_2^{\infty}est nul, donc
\mathbb{Z}_2^{\infty} \subset N^{\underline{m}}_{K} !). Si \underline{m}
est fini, i.e. S_\infty = \emptyset, alors on a la suite exacte
0 \to (A_K/\underline{m}_0)^{*}/\mathrm{Im}\,E_K \to \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \to \mathcal{P}_K \to 0
Soit C_K = J_K/K^{*},
U^{\underline{m}}_{K} = \prod_{\mathfrak{p} \notin S} K^{*}_{\mathfrak{p}} \times \prod_{\mathfrak{p} \in S_0} \bigl(1 + \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\underline{m})}\bigr) \times \prod_{\mathfrak{p} \in S_\infty} K_{\mathfrak{p}}^{*+}le premier facteur est lu \prod_{\mathfrak{p}\notin S} K^{*}_{\mathfrak{p}}
sous réserve (sans doute les unités de K_{\mathfrak{p}}) ; dans le deuxième,
la lettre devant \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\underline{m})} est
surchargée
i.e. l'ensemble des idèles qui sont \equiv 1\ (\underline{m}).
Alors U^{\underline{m}}_{K} est un voisinage ouvert de 0 dans
J_K\underline{m} varie, fondamental de tels voisinages, et on a
C_K/\mathrm{Im}\,U^{\underline{m}}_{K} \approx \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}
Par suite, on a
\varprojlim_{\underline{m}} \mathcal{P}^{(\underline{m})}_{K} = C_K/(\text{\uncertain{composante connexe} de l'unité})\,\ill{}_K = C'_K
Si L est une extension galoisiennefinie de
K, on a
\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}/N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L} \approx C_K/N_{L/K}C_L
pourvu que N_{L/K}J_L \supset U^{\underline{m}} (ce qui a lieu
si \underline{m} est assez grand, il suffit finies places
ramifiées en L) et , \underline{m}'
(idéal absolu en L) est pris assez grand pour que
N_{L/K}L^{*\underline{m}'} \subset K^{*\underline{m}}.
les deux lignes suivantes sont soulignées ou encadrées ; la première
est lue « Supposons Lgaloisienne », la seconde « un
hom. canonique »SupposonsLgaloisienne. canonique (oùS_0 désigne l'ens. des
places non ramifiées finies en L)
\mathcal{D}^{S_0} \to G(L/K)par la condition que si \mathfrak{p} \notin S_0,
\mathfrak{p} \mapsto (\mathfrak{p}, L/K) (substitution de Frobenius). Le
noyau contient lesN_{L/K}\mathcal{D}^{S_0}_{L} (trivial). Le
théorème du corps de classes
(a) affirme qu'on peut trouver \underline{m} (premier avecS) tel que (x)P^{\underline{m}}_{K}soit
dans le noyau ; cela implique qu'on a un hom. canonique
\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \to G(L/K), i.e. un hom. canonique
C_K/\mathrm{Im}\,U^{\underline{m}}_{K} \to G(L/K)un signe \simeq vertical relie \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} au
membre de la ligne suivante
(et en fait un hom.
\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}/N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L} \to G(L/K),d'oùC_K/N_{L/K}C_L \to G(L/K) ).
ici encore un signe \simeq vertical, et une flèche oblique de
C_K/N_{L/K}C_L vers G(L/K) ; il écrit N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{K},
avec l'indice K, lu ici comme L d'après la ligne précédente
hom. de réciprocitéOn peut donc définir, pour idéal\underline{a}, l'élément(\underline{a}, L/K) \in G(L/K), et
(\underline{a}, L/K)_{\mathfrak{p}} = (\underline{a}_{\mathfrak{p}}, L/K)
(« Normenrestsymbol » de Hilbert), c'est un hom. continu,
défini par les conditions : (\underline{a}_{\mathfrak{p}}, L/K) =
(\mathfrak{p}, L/K) si \mathfrak{p}fini non ramifié
etv_{\mathfrak{p}}(\underline{a}_{\mathfrak{p}}) = 1, et
(x, L/K) = 1 si x \in K^{*\underline{m}}
(\underline{m} grand). De plus
(b) L'hom. \mathcal{D}^{S_0}_{K} \to G(L/K) est surjectif (et même
« th. de la progression arithmétique ») et
(c) Son noyau est exactementP^{\underline{m}}_{K} N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L},
i.e. on a un isomorphisme\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}/N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L} = C_K/N_{L/K}C_L \to G(L/K)les lettres (a), (b), (c) sont entourées
Soit K un corps de nombres fini sur \mathbb{Q}.
Pour toute place \mathfrak{p} de K (finie ou infinie) on considère
\left\lbrace
\begin{array}{l}
K_{\mathfrak{p}} \ \text{corps local de } \mathfrak{p} \ (\simeq \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C} \text{ si } \mathfrak{p} \text{ est infinie}) \\
U_{\mathfrak{p}} \ \text{ens.\ des éléments de } K_{\mathfrak{p}} \text{ tels que } |x|_{\mathfrak{p}} = 1 \ (\text{unités de } \mathfrak{p}) \ (\pm 1 \text{ ou } \mathbb{T} \text{ à l'infini}) \\
W_{\mathfrak{p}} = K^{*}_{\mathfrak{p}}/U_{\mathfrak{p}} \ \text{groupe de la place} \ (\mathbb{Z} \text{ à distance finie, } \mathbb{R}^{*+} \text{ à l'infini})
\end{array}\right.au-dessus de « tels que », une glose entourée, « can. »
\bigl(J(K) \subset \prod K^{*}_{\mathfrak{p}} (idèles), défini comme
l'image inverse de \coprod W_{\mathfrak{p}} par \prod K_{\mathfrak{p}} \to
\prod W_{\mathfrak{p}}. Topologie\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) = \struck{\prod_{\mathfrak{p}}}\ \coprod_{\mathfrak{p}} W_{\mathfrak{p}}le signe \coprod est écrit sur un \prod
\bigl(U(K) = racines de l'unité de K= torsion de K^{*}=
P \cap V = unités absolues de K
\bigl(\mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) = \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K)/\mathrm{Im}\,K^{*} d'où
0 \to U(K) \to K^{*} \to \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \to \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) \to 0une ligne commencée « \mathcal{E}(K) = » est biffée ; sous le signe
= qui suit K^{*} dans la ligne de U(K), une flèche verticale porte
« th. »
sur la flèche K^{*}V(K) \to J_0(K), un mot biffé au-dessus du trait
(), et \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K) au-dessous ;
\mathbb{R}^{*+} est écrit sous J(K) sans flèche visible
Th. de DirichletC_0(K) est compact.
La démonstration se fait par Minkowski. Comme K^{*}V(K)/K^{*}compact, au fait
que le groupe \mathcal{D}_{\mathrm{abs},0}(K)/\mathrm{Im}\,K^{*} des classes
de diviseurs absolus (de valeur absolue) est compact.
\bigl(E(K) \simeq unités de K i.e. de K^{*} l'image \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) est dans \mathcal{D}_\infty(K).
une ligne biffée d'un long trait ; au-dessus, « Dirichlet » remplace
« Minkowski » biffé
Ceci dit, le th. de MinkowskiDirichletprécédent ;
contiennent
Cor. 1\mathcal{P}(K) est fini.
Cor. 2E_0(K) est de rang r_1 + r_2 - 1
(i.e. la dimension de \mathcal{D}_{\infty,0}(K)).
Cor. 3\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K) est une extension de
\mathcal{P}(K) ; fini, par un tore de dim. r_1 + r_2 - 1.
On s'intéresse aux sous-groupes ouverts de C(K) i.e. aux sous-groupes
ouverts de J(K) contenant K^{*}. Un tel sous-groupe
contient un sous-groupe ouvertMV_{\underline{m}} [où
J_\infty^{\mathrm{conn}} \ \struck{=}\ \prod J^{\mathrm{conn}}, \quad \struck{\ill{}}le haut de la page est très raturé ; ces deux lignes sont données
telles qu'on les lit
\bigl(V_{\underline{m}} = \prod_{\mathfrak{p} \nmid \underline{m}} V_{\underline{m},\mathfrak{p}} \subset \struck{\ill{}}\ \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}
(\underline{m} désigne un diviseur absolu entier,
places ('\infty)
V_{\underline{m},\mathfrak{p}} \longrightarrow \ \struck{\underline{m}}\ \text{unités, à distance \uncertain{infinie}}la flèche part de V_{\underline{m},\mathfrak{p}} vers une glose
serrée : « unités ; à distance infinie, cela J_\infty^{\mathrm{conn}} ; si \mathfrak{p} \nmid \underline{m},
V_{\mathfrak{p}} » ; sous le produit, « \mathfrak{p}\nmid
\underline{m} » est corrigé en « \mathfrak{p} fini »
\bigl(\mathcal{D}_{\underline{m}} = J_{\underline{m}}/V_{\underline{m}}\tilde J_{\underline{m}} \simeq \coprod_{\mathfrak{p} \nmid \underline{m}} W_{\mathfrak{p}} = \mathbb{Z}^{\pi(\underline{m})}\pi(\underline{m})ens. des diviseurs premiers \nmid \underline{m} ]
(diviseurs premiers à \underline{m})
\prod_{\mathfrak{p}\ \text{fini},\ \mathfrak{p} \mid \underline{m}} A_{\mathfrak{p}} \ \struck{\ill{}}la ligne porte ensuite « A_{\mathfrak{p}} \simeq A', \mathfrak{p} \mid \underline{m}, A_{\mathfrak{p}}K_{\mathfrak{p}}. », le tout encadré
et en partie biffé
DoncM \supset \struck{\ill{}}V_{\underline{m}} K^{*}, et
réciproquement
Je dis qu'on a K^{*} V_{\underline{m}} \tilde J_{\underline{m}} = Jau-dessus, interlinéaire : « V_{\underline{m}} \cap \prod_{\mathfrak{p}\mid\underline{m}} K_{\mathfrak{p}} », le reste biffé
\struck{J/K^{*}V_{\underline{m}}}\ \simeq\ J_{\underline{m}}/(K^{*}V_{\underline{m}}) \cap J_{\underline{m}} \quad \ill{} \ \text{et} \ \ill{}
d'autre part, commeJ/H_{\underline{m}} \supset V_{\underline{m}} \cap J_{\underline{m}}, \ \ill{} \ \ill{}oùP_{\underline{m}}(K) = \ \struck{\ill{}}\ \text{\ill{} des diviseurs \struck{\ill{}} \add{premiers} à } \underline{m}
\qquad \ \simeq \mathcal{D}_{\underline{m}}(K)/P_{\underline{m}}(K)les deux derniers membres sont écrits l'un à droite de l'autre,
sur deux lignes ; l'assemblage est incertaindiviseurs non absolusle\mathrm{div}(\vec{y}), où\vec{y} = a . \struck{\vec{x}\ \ill{}}
a \in K^{*}, \vec{x}_{\underline{m}} \times \vec{x}'_{\underline{m}} \times \vec{x}_0 \in (J_{\underline{m}} \cap V_{\underline{m}}) \times \ill{} :
a \in K^{*}, \vec{x} \in V_{\underline{m}}, x_{\mathfrak{p}} = 1 si \mathfrak{p} \mid \underline{m}
Or \mathrm{div}(\vec{y}) \equiv \mathrm{div}(a) (car
\mathrm{div}(\vec{x}) = 1) et il faut prendre les
\mathrm{div}(a), oùa \in K^{*} tel que
a_{\mathfrak{p}} \in V_{\mathfrak{p},\underline{m}} si \mathfrak{p} \mid
\underline{m}, quia \equiv 1 \quad (\underline{m}).Doncque
C / \ill{} / V_{\underline{m}} K^{*}C_{\underline{m}}(K) = C(K)/H_{\underline{m}}(K) \simeq J(K)/V_{\underline{m}}(K)\,K^{*} \simeq \mathcal{D}_{\underline{m}}(K)/P_{\underline{m}}(K)
avec
P_{\underline{m}}(K) = \text{classes de diviseurs de la forme } (a), \ \text{avec } a \equiv 1 \ (\underline{m})
(ce quiqueapositif aux : réelles).
H_{\underline{m}}(K) = V_{\underline{m}}(K) K^{*}/K^{*}.On a0 \to
\begin{array}{c}
\text{s.-groupe de } \struck{\ill{}}\ E(K) \\
\text{des éléments qui sont} \\
\equiv 1\ (\underline{m})
\end{array}
\longrightarrow K^{*} \longrightarrow \underbrace{\struck{\ill{}}\ \mathcal{D}_{\underline{m}}(K) \times \prod_{\mathfrak{p}\mid\underline{m}} \struck{\ill{}}}\ \underbrace{K_{\mathfrak{p}}/V_{\mathfrak{p},\underline{m}}}_{(*)} \longrightarrow C_{\underline{m}}(K) \to 0sous le premier terme, entre crochets : « [en particulier\geqslant 0 réelles] » ; « E(K) » est
écrit au-dessus d'un mot noirci(*) : sous l'accolade, « \mathbb{Z}/2 réelles,
0 complexes, extension\mathbb{Z}\mathbb{Z} … »
Soit x \in K_{\mathfrak{p}}, où\mathfrak{p}quelconque.
Alors x définit de J(K) de C(K)C_{\underline{m}}(K), \mathcal{D}_{\underline{m}}(K)/P_{\underline{m}}(K).
Pourcalculer,
\mathrm{div}(x)P_{\underline{m}}(K) si \mathfrak{p}
\nmid \underline{m}. Si\mathfrak{p} \mid \underline{m},
considèrea \in K^{*}tel que
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
a \equiv 1 \ (\underline{m}) & \text{\ill{} \uncertain{places} } \mathfrak{q} \mid \underline{m},\ \mathfrak{q} \neq \mathfrak{p} \\
a \equiv x \ (\underline{m}) & \text{en } \mathfrak{p}
\end{array}\right.
[, dansa a'^{-1}\equiv 1 \ (\underline{m})]
On prend\mathrm{div}_{\mathcal{C}\underline{m}}(a) \bmod P_{\underline{m}}(K).
l'indice de \mathrm{div} est une petite lettre suivie de
\underline{m} souligné, lue ici \mathcal{C}\underline{m} sous
réserve
Énoncé des théorèmes de Artin–Takagi. Soit L une extension
galoisienne finie de K. Soit
\mathfrak{S} l'ens. des places de K. Lramifié. Pour \mathfrak{p} \in \mathfrak{S}(substitution de Frobenius) définit \sigma(\mathfrak{P}) \in \mathrm{Gal}(L/K) = G (,
) la décomposition d'un
\mathfrak{P}\mathfrak{p} (\mathfrak{p}, \sigma(\mathfrak{P})aut. intérieur), et =élément de G/G'. A I linéaritéhom.\mathcal{D}_{\underline{m}}(K) \longrightarrow G/G' \qquad (\text{\uncertain{hom.\ de réciprocité}})
(1°) On peut trouver un module\underline{m}, de
support\mathfrak{S}, t.q. l'hom. de réciprocité
s'annule sur P_{\underline{m}}(K).
le numéro est entouré ; l'énoncé est souligné de deux traits
On peut donc le considérer comme un hom.
C_{\underline{m}}(K) \to G/G', \quad \text{d'où } \underline{C(K) \to G/G'}
(cetpas
[ni de sens que dans G/G' !] plus du choix de
\underline{m}])
(2°) Cet hom. est surjectif [façonplus
précise, pour d' de G, il existe de places \mathfrak{p} pour lesquels \sigma(\bar{\mathfrak{p}})
soit dans ]. Ainsi, G/G' de C_{\underline{m}}(K)les numéros (1°), (2°), (3°), (4°) sont entourés
(3°) Le noyau de l'hom. de réciprocité
(contenant trivialement)des classesN_{L/K}C(L). En
en \mathcal{D}_{\underline{m}}(K) \to G/G'(contient trivialement)est exactementP_{\underline{m}}(K) . N_{L/K}(\mathcal{D}_{\underline{m}'}(L)).
Cela montre déjà que les extensions abéliennes certains s.-groupes ouvertsC(K). Il y a de plus un
(4°) Théorème d'existence : Tout sous-groupe
de C(K) correspond à une extension abélienne, i.e.
pour\underline{m}, il existe une
extension abélienne L de K admettant le module \underline{m} et
telle que N_{L/K}(\mathcal{D}_{\underline{m}}(L)) = \struck{\ill{}}\ P_{\underline{m}}(K).
[Ou s.-groupe U de
C(K), existe une extension abélienne L de K, t.q.
N_{L/K}\,C(L) = U].
N.B. L'intersectioncorrespond extensions abéliennes
(en fait, extension abélienne maximale
L_0 de KL). Les assertionséquivalentesplus fait que
N_{L/K}C(L) = N_{L_0/K}C(L_0).
La grandeconséquence de 1°la possibilité de définir C(K) \to G/G', essentiellementsavoir définir des
homs
\boxed{K_{\mathfrak{p}}^{*} \to G/G'}
(notation\bigl(\frac{x,\, L/K}{\mathfrak{p}}\bigr)) de telle
façon qu'on ait
\boxed{\prod_{\mathfrak{p}} \Bigl(\frac{x,\, L/K}{\mathfrak{p}}\Bigr) = 1 \quad \text{si } x \in K^{*}}
[si\mathfrak{p}ramifié, le
symbole de Artinétant défini par
l'hom. de Frobenius]. Le lien théorèmes
du corps de classes locauxest le suivant :
On a pour tout \mathfrak{p}, des homs naturels
A(K_{\mathfrak{p}}) \xrightarrow{\ \text{surj.}\ } \text{groupe de décomposition } G^{d}_{\mathfrak{p}} \text{ de } G \text{ relatif à } \mathfrak{p}
(supposantL/K abélien simplifier)
où A(K_{\mathfrak{p}}) désigne le groupe de Galois de l'extension
abélienne maximale de K_{\mathfrak{p}}. D'autre part, d'après le
théorème du corps de classes local, isomorphismes canoniques
A(K_{\mathfrak{p}}) \simeq K_{\mathfrak{p}}^{*\,\wedge}le chapeau (complété) sur K_{\mathfrak{p}}^{*} est une lecture
incertainehomomorphismes\varphi_{\mathfrak{p}} \colon K_{\mathfrak{p}}^{*} \longrightarrow G^{d}_{\mathfrak{p}}
(5°) Les applications précisément les homs de
réciprocité, données par les symboles
deArtinrestesnormiquesle numéro est entouré ; la phrase est soulignée
Comme les deux applications coïncident manifestement
places non ramifiées, l'assertion (5) équivaut fait que homs \varphi_{\mathfrak{p}}proviennent bien
d'un hom. unique C(K) \to G^{d}_{\mathfrak{p}}, i.e.
ils satisfontensembleformule\boxed{\prod_{\mathfrak{p}} \varphi_{\mathfrak{p}}(x_{\mathfrak{p}}) = 1 \quad \text{si } x \in K^{*}}
(Formule qui équivaut à
partie difficile de la théorie actuelle des corps de
classes pour les corps de nbs).
deux schémas de suites exactes, redessinés ; la page est manifestement
le pendant, pour une courbe C sur k et un groupe algébrique commutatif
G, des pages 5–6. La lettre V barrée d'un trait horizontal est rendue
\mathbf{V}
sur la page, J_G(k) et \mathcal{D}_G(k) envoient tous deux une
flèche oblique sur J_{G,C} ; la dernière flèche, vers
\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G), est ondulée (rendue en tirets) ; la
disposition est simplifiée
G(C) (= G(k) si G est linéaire)
au crayon, dans une région délimitée par une courbe :
\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G) \longleftarrow H^1(C, G) = J_{G/C}(k)
le noyau est formé des classes sur C qui proviennent de
\mathrm{Ext}^1(J_C, G)
\mathbf{V}_G(k) \times \mathbf{V}(k) \to G(k) \qquad \text{grâce aux symboles locaux}\left\lbrace
\begin{array}{ll}
U_G(k) \times \mathbf{V}(k) \to 0 & \text{théorème local des symboles locaux} \\
G(K) \times K^{*} \to 0 & \text{théorème global (Rosenlicht)} \\
\mathbf{V}_G(k)^{0} \times k^{*} \to 0 & \text{par définition de } \mathbf{V}_G(k)^{0}
\end{array}\right.entre les deux dernières lignes, un « \mathcal{D}_G(k) » biffé ;
le second facteur de la deuxième ligne est surchargéG(C) \times \mathbf{V}(k)^{0}
G(K) \times J(k) \to G(k) \qquad (\text{définition de } J \text{ comme \uncertain{Albanese} \uncertain{généralisée}})J_G(k) \times K^{*} \to G(k) \qquad \text{\uncertain{application} \uncertain{spéciale}}U_G(k) \times \mathcal{D}(k) \to G(k) \qquad \text{\uncertain{triviale}, à l'aide des \uncertain{conjugaisons}}\mathcal{D}_G(k) \times U(k) \to G(k) \qquad \text{théorème des symboles locaux}« triviale » est écrit au-dessus de « à l'aide » et
rattaché par un traitJ_{G,C} \times k^{*} \to G(k)Provenant de J_{G,C} \to \mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G),
noyau J^{0}_{G,C}G(C) \times J_C(k) \to G(k)provient de l'application
\struck{\ill{}}\ \mathrm{Hom}(C, G) \to \mathrm{Hom}(J_C, G)
[définition de J_C] ; si G est linéaire, G(C) \simeq G(k)cette application provient de
l'augmentationJ_C(k) \to \mathbb{Z}
Soit J'_C(k) \subset J^{0}_C(k) l'intersection des noyaux des homs de
groupes algébriques J^{0}_C \to G (c'est doncJ^{0}_C(k) si G est linéaire)
\boxed{\xi \in \mathrm{Ext}^1\bigl(\underbrace{J^{0}_{G,C}(k)}_{\text{(a)}},\ \underbrace{J'_C(k)}_{\text{(b)}};\ G(k)\bigr)}
\qquad \text{\uncertain{accouplement} de Lang.}sous l'accolade (a), un signe = vertical renvoie à
\mathrm{Ext}^1(J^{0}_C, \mathbb{G}_m) ; sous (b), un signe \subset
vertical renvoie à \mathrm{Ext}^1(J^{0}_C, \mathbb{G}_m)
en tête, une frise de cinq cases séparées par des traits obliques :
« C \times C' \supset D », « C \times C \supset \Delta_C », « C \to
\mathrm{Alb} » avec « Pic » au-dessous, « 0-cycles / \mathbb{G}_m-répartitions »,
la dernière case vide
sous G(K_\xi) : « pts rationnels, resp. principaux » ;
sous H^{0}_{\xi}(G) : « pts rationnels de G »
bicomplexesDD(G)
Cohomologie H^{0}(C, G) et H^{1}(C, G)H_{\mathrm{I}}(DD(G)) = E_1^{**}(G) \Longrightarrow H^{*}(C, G)
en l'occurrence H^{0}_x(G) = 0, d'où H^{*}(C, G) = cohomologie du
complexe
\underbrace{H^{0}_{\xi}(G)}_{G\text{-diviseurs principaux}} \longrightarrow \underbrace{\coprod_x H^{1}_x(G)}_{G\text{-diviseurs}}
en bas à gauche, dans un cadre, deux petits tableaux :\begin{array}{ccc}
\text{idèles entiers} & & \\
\prod G(\hat{\mathcal{O}}_x) \longleftarrow 0 & \qquad & G(C) = H^{0}(C, G) \qquad 0 \\
\downarrow \qquad\quad \downarrow & & \\
\bigl(\prod_{\text{local}} G(\hat{K}_x)\bigr)/G(K_\xi) \longleftarrow 0 & & H^{1}(C, G) \qquad 0 \\
\text{classes d'idèles} & & \\
H_{\mathrm{II}}\,DD(G) & & H_{\mathrm{I}} H_{\mathrm{II}}\,DD(G)
\end{array}
qui peuvents'exprimer : l'idéeproblèmes locaux ……
\prod J^{(0)}_x \longrightarrow J^{*}_{\xi} \qquad \ill{}sous le premier membre, « = J_1 » (signe = vertical) ; sous le
second, « J_0 = J_{K/k} »\struck{\ill{}}\ J^{*}_{C/k} \quad \text{jacobienne de } C
le paragraphe suivant est encadré et barré de quatre grands traits
obliques ; sa première ligne est en outre bifféeLa chose précède et surpasse, que aussi J^{*}_{C/k} \simeq
\underline{H}^1(C, \mathbb{G}_m), [\mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\ill{}\,J_{*}, \mathbb{G}_m),
K^{*} \longrightarrow \text{diviseurs ordinaires} \qquad J \ \text{\ill{}} \ J^{\ill{}}_{x}(k) = \mathbb{G}_m(\hat{\mathcal{O}}_x)
Il faut aussi expliquer J^{*}_{x}
précisément : préciser
que le complexe J_1 \to J_0 (ou plutôt J_1(k) \to J_0(k)) H_{\mathrm{II}}\,DD(\mathbb{G}_m),
marquant un notation), écrire
H_{\mathrm{I}}\,DD(G) = \mathrm{Hom}\bigl(\underline{H}_{\mathrm{II}}\,\underline{DD}(\mathbb{G}_m), G\bigr)suggère
dans le second carré, les deux flèches verticales sont remplacées par
des traits ondulés, sans pointe ; au-dessous, sans flèche,
« H^1(X, G) » et « H^0(X, G) »
i.e. on écritnoyauG-diviseur visible sur X [dans le
complexe intermédiaire …]
sous un trait ondulé tiré sur toute la largeur, la moitié inférieure
de la page est barrée de trois grands traits obliques\left\lbrace
\begin{array}{ll}
(f_x)_{x \in X} & G\text{-répartition} \\
(\xi_D)_{D \in \mathcal{D}iv\ \text{\uncertain{premiers}}} & \xi_D \in J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}
\end{array}\right.sous x \in X, un mot souligné, x \in D \qquad f_x \in G(K_x) \to \text{\uncertain{classe} de } G(K_D)\ \struck{\ill{}} = G(K_D)/G(\mathcal{O}_D)^{(1)} \simeq \mathrm{Hom}(J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}, G(k))le dernier terme est écrit sous le précédent, relié par un signe
\simeq vertical
Donc (f_x, \xi_D)_x \in G(k)est défini.
Je dis que \sum_{x \in |D|} (f_x, \xi_D) existe. En effet fonctionlocale, (f_x) soit formé d'unités,
page de schémas, séparés par des traits horizontaux ; les formules
sont données dans l'ordre de la page, les flèches obliques décrites en note0 \to N \to Z^{0} \to \mathrm{Alb}^{0} \to 0au-dessous, une croix de deux traits obliques, avec « ? »0 \to \prod G(\mathcal{O}_x)/G(C) \to R_G/G(K) \to H^1(X, G)^{0} \to 0X \to \prod_D J^{\ill{}}_{\mathcal{O}_D/k} \to J^{0}_{K/k}\ \Big|\ \struck{\ill{}}\ J^{0}_{X/k} \to 0? \to \Bigl(\prod_D J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}\Bigr)^{0} \to J^{0}_{X/k} \to 0un trait vertical coupe ces deux lignes avant J^{0}_{X/k} ; la
seconde est soulignée(?) \to \prod J^{*}_{k(D)/k} \to J^{*}_{X/k}le « ? » est entouré ; sous J^{*}_{k(D)/k}, un mot souligné et biffé
les deux flèches verticales sont des inclusions ; la flèche du bas
est un simple trait
schéma suivant, entre deux traits horizontaux et en partie
entouré : G(C) envoie une flèche vers \prod G(\mathcal{O}_x) et une
vers G(K) ; ces deux groupes s'envoient sur R^{0}_G ; de R^{0}_G
partent une flèche vers J^{0}_G et une vers \mathcal{D}iv^{0}_G, qui
aboutissent toutes deux, par des traits, à H^1(X, G)^{0}