Cote n° 43 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

Cohomologie des […] galoisienne etc.

titre inscrit de sa main en haut à droite de la chemise (page 1), sans autre contenu ; un mot, après « des », est biffé et surchargé

Corps de classes global arithmétique (énoncé des théorèmes…)

titre inscrit de sa main en haut à droite du feuillet orange (page 2), sans autre contenu ; il recouvre deux lignes antérieures au crayon, effacées et illisibles

3La Théorie du corps de classes

\(K\) corps de nbs algébriques, \(J_K\) groupe des idèles, \(U_K\) unités [sous-groupe des] idèles unités (à l'infini, elles sont \(> 0\) aux places réelles),

\(\mathcal{D}^{a}_{K}\) les diviseurs absolus, \(\mathcal{D}_K\) les diviseurs \((\mathcal{D}^{a}_{K} \approx \mathcal{D}_K \times \mathbb{Z}_2^{r_1})\). Soit \(\underline{m}\) un diviseur absolu, positif aux places finies (i.e. \(\underline{m}_0\) est un idéal entier), \(\mathcal{D}^{\underline{m}}_{K}\) les diviseurs premiers à \(\underline{m}\) (ne dépend que de la partie finie \(\underline{m}_0\) de l'idéal absolu \(\underline{m}\)), \(P^{\underline{m}}_{K} \subset \mathcal{D}^{\underline{m}}_{K}\) formé des \((x)\) où \(x \in K^{*}\) est \(\equiv 1\ (\underline{m})\), i.e. \(v_{\mathfrak{p}}(x-1) \geqslant v_{\mathfrak{p}}(\underline{m})\) aux places finies où \(v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) > 0\), et […] \(x \in K_{\mathfrak{p}}^{*+}\) aux places infinies où \(v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) \neq 0\). Les \(x\) en question forment \(K^{*(\underline{m})}\). \[ \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} = \mathcal{D}^{\underline{m}}_{K} / P^{\underline{m}}_{K}. \] (N.B. \(K^{*\underline{m}}\) est aussi formé des quotients \(x/y\), où \(x\) et \(y\) sont entiers tels que \(v_{\mathfrak{p}}(x-1) \geqslant v_{\mathfrak{p}}(\underline{m})\) si \(\mathfrak{p}\) est finie, et \(x \in K_{\mathfrak{p}}^{*+}\) si \(\mathfrak{p}\) est infinie et \(v_{\mathfrak{p}}(\underline{m}) \neq 0\).) On a une suite exacte \[ (1) \qquad 0 \to N^{\underline{m}}_{K} \to \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \to \mathcal{P}_K \to 0 \] au-dessus de \(\mathcal{P}_K\), une flèche renvoie à « classes d'idéaux » où le noyau \(N^{\underline{m}}_{K}\) se décrit ainsi \[ (2) \qquad 0 \to \mathbb{Z}_2^{S_\infty}/\mathrm{Im}\,E^{\underline{m}_0}_{K} \to N^{\underline{m}}_{K} \to (A_K/\underline{m}_0)^{*}/\mathrm{Im}\,E_K \to 0 \] (\(A_K\) entiers de \(K\), \(E_K\) unités, \(E^{\underline{m}_0}_{K}\) unités qui sont \(\equiv 1\ (\underline{m}_0)\)), \(S\) ens. des places qui figurent dans \(\underline{m}\), \(S_\infty\) sa partie infinie. N.B. Si \(\underline{m}_0\) est grand, alors \(E^{\underline{m}_0}_{K}\) est contenu dans le sous-groupe […] […] [de \(E_K\)] fini, donc \(\mathrm{Im}\,E^{\underline{m}_0}_{K}\) dans \(\mathbb{Z}_2^{\infty}\) est nul, donc \(\mathbb{Z}_2^{\infty} \subset N^{\underline{m}}_{K}\) !). Si \(\underline{m}\) est fini, i.e. \(S_\infty = \emptyset\), alors on a la suite exacte \[ 0 \to (A_K/\underline{m}_0)^{*}/\mathrm{Im}\,E_K \to \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \to \mathcal{P}_K \to 0 \] Soit \(C_K = J_K/K^{*}\), \[ U^{\underline{m}}_{K} = \prod_{\mathfrak{p} \notin S} K^{*}_{\mathfrak{p}} \times \prod_{\mathfrak{p} \in S_0} \bigl(1 + \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\underline{m})}\bigr) \times \prod_{\mathfrak{p} \in S_\infty} K_{\mathfrak{p}}^{*+} \] le premier facteur est lu \(\prod_{\mathfrak{p}\notin S} K^{*}_{\mathfrak{p}}\) sous réserve (sans doute les unités de \(K_{\mathfrak{p}}\)) ; dans le deuxième, la lettre devant \(\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\underline{m})}\) est surchargée i.e. l'ensemble des idèles qui sont \(\equiv 1\ (\underline{m})\). Alors \(U^{\underline{m}}_{K}\) est un voisinage ouvert de \(0\) dans \(J_K\) […] […] […] \(\underline{m}\) varie, […] […] […] fondamental de tels voisinages, et […] […] on a \[ C_K/\mathrm{Im}\,U^{\underline{m}}_{K} \approx \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \]

4Par suite, on a \[ \varprojlim_{\underline{m}} \mathcal{P}^{(\underline{m})}_{K} = C_K/(\text{\uncertain{composante connexe} de l'unité})\,\ill{}_K = C'_K \] Si \(L\) est une extension galoisienne [finie] de \(K\), on a \[ \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}/N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L} \approx C_K/N_{L/K}C_L \] pourvu que \(N_{L/K}J_L \supset U^{\underline{m}}\) (ce qui a lieu si \(\underline{m}\) est assez grand, […] il suffit […] […] […] […] […] […] finies […] […] places ramifiées en \(L\)) et […] […] […], \(\underline{m}'\) (idéal absolu en \(L\)) est pris assez grand pour que \(N_{L/K}L^{*\underline{m}'} \subset K^{*\underline{m}}\).

les deux lignes suivantes sont soulignées ou encadrées ; la première est lue « Supposons \(L\) galoisienne », la seconde « […] un hom. canonique » Supposons \(L\) galoisienne. […] […] […] canonique (où \(S_0\) désigne l'ens. des places [non] ramifiées finies en \(L\)) \[ \mathcal{D}^{S_0} \to G(L/K) \] par la condition que si \(\mathfrak{p} \notin S_0\), \(\mathfrak{p} \mapsto (\mathfrak{p}, L/K)\) (substitution de Frobenius). Le noyau contient les \(N_{L/K}\mathcal{D}^{S_0}_{L}\) (trivial). Le théorème du corps de classes

(a) affirme qu'on peut trouver \(\underline{m}\) (premier avec \(S\)) tel que […] \((x)\) \(P^{\underline{m}}_{K}\) soit dans le noyau ; cela implique qu'on a un hom. canonique \(\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K} \to G(L/K)\), i.e. un hom. canonique \(C_K/\mathrm{Im}\,U^{\underline{m}}_{K} \to G(L/K)\) un signe \(\simeq\) vertical relie \(\mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}\) au membre de la ligne suivante (et en fait un hom. \[ \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}/N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L} \to G(L/K), \] d'où \(C_K/N_{L/K}C_L \to G(L/K)\) ). ici encore un signe \(\simeq\) vertical, et une flèche oblique de \(C_K/N_{L/K}C_L\) vers \(G(L/K)\) ; il écrit \(N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{K}\), avec l'indice \(K\), lu ici comme \(L\) d'après la ligne précédente

hom. de réciprocité On peut donc […] définir, pour […] idéal \(\underline{a}\), l'élément \((\underline{a}, L/K) \in G(L/K)\), et \((\underline{a}, L/K)_{\mathfrak{p}} = (\underline{a}_{\mathfrak{p}}, L/K)\) (« Normenrestsymbol » de Hilbert), c'est un hom. continu, défini par les conditions : \((\underline{a}_{\mathfrak{p}}, L/K) = (\mathfrak{p}, L/K)\) si \(\mathfrak{p}\) fini non ramifié et \(v_{\mathfrak{p}}(\underline{a}_{\mathfrak{p}}) = 1\), et \((x, L/K) = 1\) si […] \(x \in K^{*\underline{m}}\) (\(\underline{m}\) grand). De plus

(b) L'hom. \(\mathcal{D}^{S_0}_{K} \to G(L/K)\) est surjectif (et même […] […] « th. de la progression arithmétique ») et

(c) Son noyau est exactement \(P^{\underline{m}}_{K} N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L}\), i.e. on a un isomorphisme \[ \mathcal{P}^{\underline{m}}_{K}/N_{L/K}\mathcal{P}^{\underline{m}'}_{L} = C_K/N_{L/K}C_L \to G(L/K) \] les lettres (a), (b), (c) sont entourées

5Soit \(K\) un corps de nombres fini sur \(\mathbb{Q}\).

Pour toute place \(\mathfrak{p}\) de \(K\) (finie ou infinie) on considère

\(\left\lbrace \begin{array}{l} K_{\mathfrak{p}} \ \text{corps local de } \mathfrak{p} \ (\simeq \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C} \text{ si } \mathfrak{p} \text{ est infinie}) \\ U_{\mathfrak{p}} \ \text{ens.\ des éléments de } K_{\mathfrak{p}} \text{ tels que } |x|_{\mathfrak{p}} = 1 \ (\text{unités de } \mathfrak{p}) \ (\pm 1 \text{ ou } \mathbb{T} \text{ à l'infini}) \\ W_{\mathfrak{p}} = K^{*}_{\mathfrak{p}}/U_{\mathfrak{p}} \ \text{groupe de la place} \ (\mathbb{Z} \text{ à distance finie, } \mathbb{R}^{*+} \text{ à l'infini}) \end{array}\right.\) au-dessus de « tels que », une glose entourée, « […] can. »

\(\bigl(\) \(J(K) \subset \prod K^{*}_{\mathfrak{p}}\) (idèles), défini comme l'image inverse de \(\coprod W_{\mathfrak{p}}\) par \(\prod K_{\mathfrak{p}} \to \prod W_{\mathfrak{p}}\). Topologie […] \[ \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) = \struck{\prod_{\mathfrak{p}}}\ \coprod_{\mathfrak{p}} W_{\mathfrak{p}} \] le signe \(\coprod\) est écrit sur un \(\prod\)

\(\bigl(\) \(V(K)\) (idèles unités) \(= \prod U_{\mathfrak{p}}\), […] […] […] […] […]

\(\bigl(\) \(C(K) = J(K)/\struck{P}\,K^{*}\) \(K^{*}\) idèles principaux, discret dans \(J(K)\) (comme […] […] […] […] […] \(K^{*} \to J(K)\)) \[ 0 \to V(K) \to J(K) \to \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \to 0 \] \[ 0 \to K^{*} \to J(K) \to C(K) \to 0 \]

\(\bigl(\) \(U(K) =\) racines de l'unité de \(K\) \(=\) torsion de \(K^{*}\) \(= P \cap V =\) unités absolues de \(K\)

\(\bigl(\) \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) = \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K)/\mathrm{Im}\,K^{*}\) d'où \[ 0 \to U(K) \to K^{*} \to \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \to \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) \to 0 \] une ligne commencée « \(\mathcal{E}(K) =\) » est biffée ; sous le signe \(=\) qui suit \(K^{*}\) dans la ligne de \(U(K)\), une flèche verticale porte « th. […] »

\(\bigl(\) \(J(K) \to \mathbb{R}^{*+}\) l'homom. norme, d'où \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \to \mathbb{R}^{*+}\), \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) \to \mathbb{R}^{*+}\) et \(C(K) \to \mathbb{R}^{*+}\), d'où \(\left\lbrace \begin{array}{l} \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) \to \mathbb{R}^{*+} \ \text{et} \ \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K) \\ C(K) \to \mathbb{R}^{*+} \ \text{et} \ C_0(K) \end{array}\right.\)

\(\bigl(\) \(J_0(K)\) et \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs},0}(K)\) les idèles et diviseurs abs. de norme \(1\)).

On a \(K^{*} \subset J_0(K)\)

le schéma suivant est redessiné ; chaque flèche porte, écrit le long du trait, le quotient correspondant

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & & V(K) \arrow[dr, "\text{diviseurs abs. principaux}"'] \arrow[drr, "{\mathcal{D}_{\mathrm{abs},0}(K)}"] \arrow[drrr, bend left=20, "{\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K)}"] & & & \\
e \arrow[r] & U(K) \arrow[ur] \arrow[dr] & & K^{*}V(K) \arrow[r, "{\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K)}"'] & J_0(K) \arrow[r] & J(K) \\
 & & K^{*} \arrow[ur, "\text{\uncertain{multiplication}}"] \arrow[urr, "C_0(K)"'] \arrow[urrr, bend right=20, "C(K)"'] & & & \mathbb{R}^{*+}
\end{tikzcd}

sur la flèche \(K^{*}V(K) \to J_0(K)\), un mot biffé au-dessus du trait ([…]), et \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K)\) au-dessous ; \(\mathbb{R}^{*+}\) est écrit sous \(J(K)\) sans flèche visible

Th. de Dirichlet \(C_0(K)\) est compact.

La démonstration se fait par Minkowski. Comme \(K^{*}V(K)/K^{*}\) […] compact, […] […] […] […] […] au fait que le groupe \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs},0}(K)/\mathrm{Im}\,K^{*}\) des classes

6de diviseurs absolus (de […] valeur absolue) […] est compact. […] […] […]

\[ \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \simeq \mathcal{D}(K) \times \mathcal{D}_\infty(K) \]

[…] \(\mathcal{D}(K)\) […] […]

\(\bigl(\) \(\mathcal{D}(K)\) groupe des diviseurs usuels de \(K\)

\(\bigl(\) \(\mathcal{D}_\infty(K) = \coprod_{\mathfrak{p}\ \text{infini}} W_{\mathfrak{p}}\) groupe des diviseurs à l'infini.

On a […] […] \[ 0 \to \mathcal{D}_{\infty,0}(K) \to \mathcal{D}_{\mathrm{abs},0}(K) \to \mathcal{D}(K) \to 0 \]

[…] […] […] \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs},0}(K)\) l'image de \(K^{*}\), soit […] diviseurs absolus principaux. \[ P \simeq K^{*}/U(K) \]

On a \[ 0 \to \mathcal{D}_{\infty,0}(K)/E_0(K) \to \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K) \to \mathcal{P}(K) \to 0 \]

[…] […] pose

\(\bigl(\) \(\mathcal{P}(K) = \mathcal{D}(K)/\mathrm{Im}\,K^{*} = \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K)/P + \mathcal{D}_\infty(K)\)

\(\bigl(\) \(E_0(K) \simeq P \cap \mathcal{D}_\infty(K) \simeq (P + \mathcal{D}_\infty(K))/P \simeq E(K)/U(K)\),

\(\bigl(\) \(E(K) \simeq\) unités de \(K\) i.e. […] de \(K^{*}\) […] […] l'image […] \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K)\) est dans \(\mathcal{D}_\infty(K)\).

une ligne biffée d'un long trait ; au-dessus, « Dirichlet » remplace « Minkowski » biffé Ceci dit, le th. de Minkowski [Dirichlet] précédent ; […] […] […]

[…] […] contiennent

Cor. 1 \(\mathcal{P}(K)\) est fini.

Cor. 2 \(E_0(K)\) est de rang \(r_1 + r_2 - 1\)

(i.e. la dimension de \(\mathcal{D}_{\infty,0}(K)\)). […]

Cor. 3 \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K)\) est une extension de \(\mathcal{P}(K)\) ; fini, par un tore de dim. \(r_1 + r_2 - 1\).

7On s'intéresse aux sous-groupes [ouverts] de \(C(K)\) […] […] […] […] i.e. aux sous-groupes [ouverts] de \(J(K)\) contenant \(K^{*}\). Un tel sous-groupe contient un sous-groupe ouvert [\(M\)] […] \(V_{\underline{m}}\) [où \[ J_\infty^{\mathrm{conn}} \ \struck{=}\ \prod J^{\mathrm{conn}}, \quad \struck{\ill{}} \] le haut de la page est très raturé ; ces deux lignes sont données telles qu'on les lit

\(\bigl(\) \(V_{\underline{m}} = \prod_{\mathfrak{p} \nmid \underline{m}} V_{\underline{m},\mathfrak{p}} \subset \struck{\ill{}}\ \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}\) (\(\underline{m}\) désigne un diviseur absolu entier, […] […] places […] (\('\infty\)) \[ V_{\underline{m},\mathfrak{p}} \longrightarrow \ \struck{\underline{m}}\ \text{unités, à distance \uncertain{infinie}} \] la flèche part de \(V_{\underline{m},\mathfrak{p}}\) vers une glose serrée : « […] unités ; à distance infinie, cela […] \(J_\infty^{\mathrm{conn}}\) ; si \(\mathfrak{p} \nmid \underline{m}\), […] \(V_{\mathfrak{p}}\) » ; sous le produit, « \(\mathfrak{p}\nmid \underline{m}\) » est corrigé en « \(\mathfrak{p}\) fini »

\(\bigl(\) \(\tilde J_{\underline{m}} = \struck{\ill{}} \prod_{\mathfrak{p} \mid \underline{m}} K_{\mathfrak{p}}\)

\(\bigl(\) \(\mathcal{D}_{\underline{m}} = J_{\underline{m}}/V_{\underline{m}}\tilde J_{\underline{m}} \simeq \coprod_{\mathfrak{p} \nmid \underline{m}} W_{\mathfrak{p}} = \mathbb{Z}^{\pi(\underline{m})}\) \(\pi(\underline{m})\) ens. des diviseurs premiers \(\nmid \underline{m}\) ]

(diviseurs premiers à \(\underline{m}\))

[…] […] […] \[ \prod_{\mathfrak{p}\ \text{fini},\ \mathfrak{p} \mid \underline{m}} A_{\mathfrak{p}} \ \struck{\ill{}} \] la ligne porte ensuite « \(A_{\mathfrak{p}} \simeq A'\) […] […] […] […], \(\mathfrak{p} \mid \underline{m}\), \(A_{\mathfrak{p}}\) […] […] […] […] […] \(K_{\mathfrak{p}}\). », le tout encadré et en partie biffé

Donc \(M \supset \struck{\ill{}}\) \(V_{\underline{m}} K^{*}\), et réciproquement […] […] […] […]

Je dis qu'on a […] \(K^{*} V_{\underline{m}} \tilde J_{\underline{m}} = J\) […] […] au-dessus, interlinéaire : « \(V_{\underline{m}} \cap \prod_{\mathfrak{p}\mid\underline{m}} K_{\mathfrak{p}}\) », le reste biffé

résulte […] fait […], […] […] […] \[ \struck{\ill{}}\ \prod_{\mathfrak{p} \mid \underline{m}} K_{\mathfrak{p}}, \ \text{il} \] […] […] […] […] \[ \vec{x}_{\mathfrak{p}} \in \prod_{\mathfrak{p}\mid\underline{m}} K_{\mathfrak{p}} \quad \ill{} \] existe pour […] […] \[ a \vec{x} \in V_{\underline{m}} \ \struck{\ill{}}\ ; \quad \text{Ainsi,} \] \(a \in K^{*}\) tel que […]

[…] […] \[ \struck{J/K^{*}V_{\underline{m}}}\ \simeq\ J_{\underline{m}}/(K^{*}V_{\underline{m}}) \cap J_{\underline{m}} \quad \ill{} \ \text{et} \ \ill{} \] d'autre part, comme \[ J/H_{\underline{m}} \supset V_{\underline{m}} \cap J_{\underline{m}}, \ \ill{} \ \ill{} \] où \[ P_{\underline{m}}(K) = \ \struck{\ill{}}\ \text{\ill{} des diviseurs \struck{\ill{}} \add{premiers} à } \underline{m} \qquad \ \simeq \mathcal{D}_{\underline{m}}(K)/P_{\underline{m}}(K) \] les deux derniers membres sont écrits l'un à droite de l'autre, sur deux lignes ; l'assemblage est incertain diviseurs non absolus le […] \(\mathrm{div}(\vec{y})\), où \(\vec{y} = a . \struck{\vec{x}\ \ill{}}\) […]

\(a \in K^{*}\), \(\vec{x}_{\underline{m}} \times \vec{x}'_{\underline{m}} \times \vec{x}_0 \in (J_{\underline{m}} \cap V_{\underline{m}}) \times \ill{}\) : \(a \in K^{*}\), \(\vec{x} \in V_{\underline{m}}\), […] \(x_{\mathfrak{p}} = 1\) si \(\mathfrak{p} \mid \underline{m}\)

8Or […] […] \(\mathrm{div}(\vec{y}) \equiv \mathrm{div}(a)\) (car \(\mathrm{div}(\vec{x}) = 1\)) et il faut […] prendre les \(\mathrm{div}(a)\), où \(a \in K^{*}\) […] tel que \(a_{\mathfrak{p}} \in V_{\mathfrak{p},\underline{m}}\) si \(\mathfrak{p} \mid \underline{m}\), […] qui […] \[ a \equiv 1 \quad (\underline{m}). \] Donc […] que […]

\(C / \ill{} / V_{\underline{m}} K^{*}\) \[ C_{\underline{m}}(K) = C(K)/H_{\underline{m}}(K) \simeq J(K)/V_{\underline{m}}(K)\,K^{*} \simeq \mathcal{D}_{\underline{m}}(K)/P_{\underline{m}}(K) \] avec \[ P_{\underline{m}}(K) = \text{classes de diviseurs de la forme } (a), \ \text{avec } a \equiv 1 \ (\underline{m}) \] (ce qui […] […] que \(a\) […] positif aux […] […] : […] […] réelles). \[ H_{\underline{m}}(K) = V_{\underline{m}}(K) K^{*}/K^{*}. \] On a […] […] \[ 0 \to \begin{array}{c} \text{s.-groupe de } \struck{\ill{}}\ E(K) \\ \text{des éléments qui sont} \\ \equiv 1\ (\underline{m}) \end{array} \longrightarrow K^{*} \longrightarrow \underbrace{\struck{\ill{}}\ \mathcal{D}_{\underline{m}}(K) \times \prod_{\mathfrak{p}\mid\underline{m}} \struck{\ill{}}}\ \underbrace{K_{\mathfrak{p}}/V_{\mathfrak{p},\underline{m}}}_{(*)} \longrightarrow C_{\underline{m}}(K) \to 0 \] sous le premier terme, entre crochets : « [en particulier […] […] \(\geqslant 0\) […] […] réelles] » ; « \(E(K)\) » est écrit au-dessus d'un mot noirci \((*)\) : sous l'accolade, « \(\mathbb{Z}/2\) […] […] réelles, \(0\) […] […] complexes, […] […] extension […] \(\mathbb{Z}\) […] […] […] […] \(\mathbb{Z}\) … »

Soit \(x \in K_{\mathfrak{p}}\), où \(\mathfrak{p}\) […] […] […] quelconque.

Alors \(x\) définit […] […] […] de \(J(K)\) […] […] de \(C(K)\) […] […] \(C_{\underline{m}}(K)\), […] […] […] \(\mathcal{D}_{\underline{m}}(K)/P_{\underline{m}}(K)\).

Pour […] calculer, […] […] […] […] […] […] […]

\(\mathrm{div}(x)\) […] […] \(P_{\underline{m}}(K)\) si \(\mathfrak{p} \nmid \underline{m}\). Si \(\mathfrak{p} \mid \underline{m}\), […]

9[…] considère […] \(a \in K^{*}\) tel que \(\left\lbrace \begin{array}{ll} a \equiv 1 \ (\underline{m}) & \text{\ill{} \uncertain{places} } \mathfrak{q} \mid \underline{m},\ \mathfrak{q} \neq \mathfrak{p} \\ a \equiv x \ (\underline{m}) & \text{en } \mathfrak{p} \end{array}\right.\)

[[…] […] […] […], dans \(a a'^{-1}\) […] \(\equiv 1 \ (\underline{m})\)]

On prend […] \(\mathrm{div}_{\mathcal{C}\underline{m}}(a) \bmod P_{\underline{m}}(K)\). l'indice de \(\mathrm{div}\) est une petite lettre suivie de \(\underline{m}\) souligné, lue ici \(\mathcal{C}\underline{m}\) sous réserve

Énoncé des théorèmes de Artin–Takagi. Soit \(L\) une extension galoisienne [finie] de \(K\). […] […] Soit \(\mathfrak{S}\) l'ens. des places de \(K\) […]. \(L\) […] […] ramifié. Pour \(\mathfrak{p} \in \mathfrak{S}\) […] (substitution de Frobenius) […] définit \(\sigma(\mathfrak{P}) \in \mathrm{Gal}(L/K) = G\) ([…], […] […] […]) […] […] […] la décomposition d'un \(\mathfrak{P}\) […] […] […] \(\mathfrak{p}\) ([…] […] […] \(\mathfrak{p}\), \(\sigma(\mathfrak{P})\) […] […] […] […] […] […] aut. intérieur), et […] […] […] […] \(=\) élément de \(G/G'\). A I […] […] […] […] linéarité […] […] hom. \[ \mathcal{D}_{\underline{m}}(K) \longrightarrow G/G' \qquad (\text{\uncertain{hom.\ de réciprocité}}) \]

(1°) On peut trouver un module \(\underline{m}\), de support \(\mathfrak{S}\), t.q. l'hom. de réciprocité s'annule sur \(P_{\underline{m}}(K)\). le numéro est entouré ; l'énoncé est souligné de deux traits

On peut donc le considérer comme un hom. \[ C_{\underline{m}}(K) \to G/G', \quad \text{d'où } \underline{C(K) \to G/G'} \] (cet […] […] […] […] pas [ni de sens que dans \(G/G'\) !] […] plus du choix de \(\underline{m}\)])

(2°) Cet hom. est surjectif [[…] façon plus précise, pour […] […] d'[…] de \(G\), il existe […] […] […] de places \(\mathfrak{p}\) pour lesquels \(\sigma(\bar{\mathfrak{p}})\) soit dans […] […] […] […] […] […]]. Ainsi, \(G/G'\) […] […] […] de \(C_{\underline{m}}(K)\) les numéros (1°), (2°), (3°), (4°) sont entourés

(3°) Le noyau de l'hom. de réciprocité

10[…] […] (contenant trivialement) […] […] des classes \(N_{L/K}C(L)\). En […] […] […] […] […] en \(\mathcal{D}_{\underline{m}}(K) \to G/G'\) (contient trivialement) est exactement \(P_{\underline{m}}(K) . N_{L/K}(\mathcal{D}_{\underline{m}'}(L))\)[[…]].

Cela montre déjà que les extensions abéliennes […] […] […] certains s.-groupes […] […] ouverts […] \(C(K)\). Il y a de plus un

(4°) Théorème d'existence : […] Tout sous-groupe […] […] de \(C(K)\) correspond à une extension abélienne, i.e. pour […] […] […] \(\underline{m}\), il existe une extension abélienne \(L\) de \(K\) admettant le module \(\underline{m}\) et telle que \(N_{L/K}(\mathcal{D}_{\underline{m}}(L)) = \struck{\ill{}}\ P_{\underline{m}}(K)\). [Ou […] […] […] s.-groupe […] […] \(U\) de \(C(K)\), existe une extension abélienne \(L\) de \(K\), t.q. \(N_{L/K}\,C(L) = U\)].

N.B. L'intersection […] […] […] […] […] correspond […] […] extensions abéliennes […] (en fait, […] […] […] extension abélienne maximale \(L_0\) de \(K\) […] \(L\)). Les assertions […] […] équivalentes […] […] […] […] […] […] […] plus […] fait que \[ N_{L/K}C(L) = N_{L_0/K}C(L_0). \]

11La grande conséquence de 1° […] la possibilité de définir \(C(K) \to G/G'\), […] essentiellement […] […] savoir définir des homs \[ \boxed{K_{\mathfrak{p}}^{*} \to G/G'} \] (notation \(\bigl(\frac{x,\, L/K}{\mathfrak{p}}\bigr)\)) de telle façon qu'on ait \[ \boxed{\prod_{\mathfrak{p}} \Bigl(\frac{x,\, L/K}{\mathfrak{p}}\Bigr) = 1 \quad \text{si } x \in K^{*}} \] [si \(\mathfrak{p}\) […] […] ramifié, le symbole de Artin […] […] étant défini par l'hom. de Frobenius]. Le lien […] […] théorèmes du corps de classes locaux est le suivant :

On a […] pour tout \(\mathfrak{p}\), des homs naturels \[ A(K_{\mathfrak{p}}) \xrightarrow{\ \text{surj.}\ } \text{groupe de décomposition } G^{d}_{\mathfrak{p}} \text{ de } G \text{ relatif à } \mathfrak{p} \] ([…] supposant \(L/K\) abélien […] simplifier) où \(A(K_{\mathfrak{p}})\) désigne le groupe de Galois de l'extension abélienne maximale de \(K_{\mathfrak{p}}\). D'autre part, d'après le théorème du corps de classes local, […] […] isomorphismes canoniques

12\[ A(K_{\mathfrak{p}}) \simeq K_{\mathfrak{p}}^{*\,\wedge} \] le chapeau (complété) sur \(K_{\mathfrak{p}}^{*}\) est une lecture incertaine […] […] […] […] […] homomorphismes \[ \varphi_{\mathfrak{p}} \colon K_{\mathfrak{p}}^{*} \longrightarrow G^{d}_{\mathfrak{p}} \]

(5°) Les applications […] précisément les homs de réciprocité, données par les symboles de Artin [restes] normiques le numéro est entouré ; la phrase est soulignée

Comme les deux applications coïncident manifestement […] places non ramifiées, l'assertion (5) équivaut […] fait que […] homs \(\varphi_{\mathfrak{p}}\) proviennent bien d'un [[…]] hom. unique \(C(K) \to G^{d}_{\mathfrak{p}}\), i.e. ils satisfont ensemble […] […] formule \[ \boxed{\prod_{\mathfrak{p}} \varphi_{\mathfrak{p}}(x_{\mathfrak{p}}) = 1 \quad \text{si } x \in K^{*}} \] (Formule qui […] […] […] équivaut à […] partie difficile de la théorie actuelle des corps de classes pour les corps de nbs).

14deux schémas de suites exactes, redessinés ; la page est manifestement le pendant, pour une courbe \(C\) sur \(k\) et un groupe algébrique commutatif \(G\), des pages 5–6. La lettre \(V\) barrée d'un trait horizontal est rendue \(\mathbf{V}\)

\(\mathbf{V}_G\) \(\longrightarrow\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 0 \arrow[d] & & & \\
G(C) \arrow[r] \arrow[dr] & U_G(k) \arrow[dr] & & & \\
0 \arrow[r] & G(K) \arrow[r] & \mathbf{V}_G(k) \arrow[r] \arrow[dr] & J_G(k) \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
 & & & \mathcal{D}_G(k) \arrow[r] \arrow[d] & J_{G,C} \arrow[r, dashed] & \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G) \\
 & & & 0 & &
\end{tikzcd}

sur la page, \(J_G(k)\) et \(\mathcal{D}_G(k)\) envoient tous deux une flèche oblique sur \(J_{G,C}\) ; la dernière flèche, vers \(\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G)\), est ondulée (rendue en tirets) ; la disposition est simplifiée

\(G(C)\) (\(= G(k)\) si \(G\) est linéaire)

au crayon, dans une région délimitée par une courbe : \[ \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G) \longleftarrow H^1(C, G) = J_{G/C}(k) \] le noyau est formé des classes sur \(C\) qui proviennent de \(\mathrm{Ext}^1(J_C, G)\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
 & 0 \arrow[d] & & & \\
k^{*} \arrow[r] \arrow[dr] & U(k) \arrow[dr] & & & \\
0 \arrow[r] & K^{*} \arrow[r] & \mathbf{V}(k) \arrow[r] \arrow[dr] & J(k) \arrow[r] \arrow[d] & 0 \\
 & & & \mathcal{D}(k) \arrow[r] \arrow[d] & J_C(k) \arrow[r] & \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, \mathbb{G}_m) = \mathbb{Z} \\
 & & & 0 & &
\end{tikzcd}

\[ H^1(C, \mathbb{G}_m) = J_C(k) \] \[ \mathbb{G}_m(C) = k^{*} \]

\[ \mathbf{V}_G(k) \times \mathbf{V}(k) \to G(k) \qquad \text{grâce aux symboles locaux} \] \(\left\lbrace \begin{array}{ll} U_G(k) \times \mathbf{V}(k) \to 0 & \text{théorème local des symboles locaux} \\ G(K) \times K^{*} \to 0 & \text{théorème global (Rosenlicht)} \\ \mathbf{V}_G(k)^{0} \times k^{*} \to 0 & \text{par définition de } \mathbf{V}_G(k)^{0} \end{array}\right.\) entre les deux dernières lignes, un « […] \(\mathcal{D}_G(k)\) » biffé ; le second facteur de la deuxième ligne est surchargé \[ G(C) \times \mathbf{V}(k)^{0} \]

15\[ G(K) \times J(k) \to G(k) \qquad (\text{définition de } J \text{ comme \uncertain{Albanese} \uncertain{généralisée}}) \] \[ J_G(k) \times K^{*} \to G(k) \qquad \text{\uncertain{application} \uncertain{spéciale}} \] \[ U_G(k) \times \mathcal{D}(k) \to G(k) \qquad \text{\uncertain{triviale}, à l'aide des \uncertain{conjugaisons}} \] \[ \mathcal{D}_G(k) \times U(k) \to G(k) \qquad \text{théorème des symboles locaux} \] « triviale » est écrit au-dessus de « à l'aide » et rattaché par un trait \[ J_{G,C} \times k^{*} \to G(k) \] Provenant de \(J_{G,C} \to \mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G)\), noyau \(J^{0}_{G,C}\) \[ G(C) \times J_C(k) \to G(k) \] provient de l'application \(\struck{\ill{}}\ \mathrm{Hom}(C, G) \to \mathrm{Hom}(J_C, G)\) [définition de \(J_C\)] ; si \(G\) est linéaire, […] \(G(C) \simeq G(k)\) cette application provient de l'augmentation \(J_C(k) \to \mathbb{Z}\)

Soit \(J'_C(k) \subset J^{0}_C(k)\) l'intersection des noyaux des homs de groupes algébriques \(J^{0}_C \to G\) (c'est donc \(J^{0}_C(k)\) si \(G\) est linéaire) \[ \boxed{\xi \in \mathrm{Ext}^1\bigl(\underbrace{J^{0}_{G,C}(k)}_{\text{(a)}},\ \underbrace{J'_C(k)}_{\text{(b)}};\ G(k)\bigr)} \qquad \text{\uncertain{accouplement} de Lang.} \] sous l'accolade (a), un signe \(=\) vertical renvoie à \(\mathrm{Ext}^1(J^{0}_C, \mathbb{G}_m)\) ; sous (b), un signe \(\subset\) vertical renvoie à \(\mathrm{Ext}^1(J^{0}_C, \mathbb{G}_m)\)

16en tête, une frise de cinq cases séparées par des traits obliques : « \(C \times C' \supset D\) », « \(C \times C \supset \Delta_C\) », « \(C \to \mathrm{Alb}\) » avec « Pic » au-dessous, « \(0\)-cycles / \(\mathbb{G}_m\)-répartitions », la dernière case vide

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\text{pts adéliques \uncertain{entiers}}\ \prod_{\text{\uncertain{locaux}}} G(\hat{\mathcal{O}}_x) \arrow[d] & 0 \arrow[l] \arrow[d] \\
\text{pts adéliques \uncertain{ordinaires}}\ \prod_{\text{local}} G(\hat{K}_x) & G(K_\xi) \arrow[l] \\
\text{« \uncertain{torsion} »}\ \coprod_x H^{0}_x(G) \arrow[d] & 0 \arrow[l] \arrow[d] \\
\text{diviseurs}\ \coprod_x H^{1}_x(G) & H^{0}_{\xi}(G) \arrow[l]
\end{tikzcd}

sous \(G(K_\xi)\) : « pts rationnels, resp. principaux » ; sous \(H^{0}_{\xi}(G)\) : « pts rationnels de \(G\) »

bicomplexes \(DD(G)\)

Cohomologie \(H^{0}(C, G)\) et \(H^{1}(C, G)\) \[ H_{\mathrm{I}}(DD(G)) = E_1^{**}(G) \Longrightarrow H^{*}(C, G) \] en l'occurrence \(H^{0}_x(G) = 0\), d'où \(H^{*}(C, G) =\) cohomologie du complexe \[ \underbrace{H^{0}_{\xi}(G)}_{G\text{-diviseurs principaux}} \longrightarrow \underbrace{\coprod_x H^{1}_x(G)}_{G\text{-diviseurs}} \]

en bas à gauche, dans un cadre, deux petits tableaux : \[ \begin{array}{ccc} \text{idèles entiers} & & \\ \prod G(\hat{\mathcal{O}}_x) \longleftarrow 0 & \qquad & G(C) = H^{0}(C, G) \qquad 0 \\ \downarrow \qquad\quad \downarrow & & \\ \bigl(\prod_{\text{local}} G(\hat{K}_x)\bigr)/G(K_\xi) \longleftarrow 0 & & H^{1}(C, G) \qquad 0 \\ \text{classes d'idèles} & & \\ H_{\mathrm{II}}\,DD(G) & & H_{\mathrm{I}} H_{\mathrm{II}}\,DD(G) \end{array} \] qui peuvent […] […] s'exprimer : l'idée […] problèmes locaux ……

17\[ \prod J^{(0)}_x \longrightarrow J^{*}_{\xi} \qquad \ill{} \] sous le premier membre, « \(= J_1\) » (signe \(=\) vertical) ; sous le second, « \(J_0 = J_{K/k}\) » \[ \struck{\ill{}}\ J^{*}_{C/k} \quad \text{jacobienne de } C \]

le paragraphe suivant est encadré et barré de quatre grands traits obliques ; sa première ligne est en outre biffée La chose précède et surpasse […], […] que […] […] aussi \(J^{*}_{C/k} \simeq \underline{H}^1(C, \mathbb{G}_m)\), […] [[…] […] […] […] […] […] \(\mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\ill{}\,J_{*}, \mathbb{G}_m)\), […] […] \[ K^{*} \longrightarrow \text{diviseurs ordinaires} \qquad J \ \text{\ill{}} \ J^{\ill{}}_{x}(k) = \mathbb{G}_m(\hat{\mathcal{O}}_x) \] Il faut aussi expliquer […] […] […] \(J^{*}_{x}\)

[…] […] […] précisément : préciser […] que le complexe \(J_1 \to J_0\) (ou plutôt \(J_1(k) \to J_0(k)\)) […] […] […] \(H_{\mathrm{II}}\,DD(\mathbb{G}_m)\) […] […] […], marquant un […] […] notation), écrire \[ H_{\mathrm{I}}\,DD(G) = \mathrm{Hom}\bigl(\underline{H}_{\mathrm{II}}\,\underline{DD}(\mathbb{G}_m), G\bigr) \] […] […] suggère […] […]

18

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\prod_x G(\hat{\mathcal{O}}_x) \arrow[d] & 0 \arrow[l] \arrow[d] & & 0 & 0 \arrow[l] \\
\prod_{\text{local}} G(\hat{K}_x) & G(K) \arrow[l] & & G\text{-diviseurs sur } X & G(K) \arrow[l]
\end{tikzcd}

dans le second carré, les deux flèches verticales sont remplacées par des traits ondulés, sans pointe ; au-dessous, sans flèche, « \(H^1(X, G)\) » et « \(H^0(X, G)\) »

i.e. on écrit […] noyau […] […] \(G\)-diviseur visible sur \(X\) [[…] dans le complexe intermédiaire …]

sous un trait ondulé tiré sur toute la largeur, la moitié inférieure de la page est barrée de trois grands traits obliques […] \[ \left\lbrace \begin{array}{ll} (f_x)_{x \in X} & G\text{-répartition} \\ (\xi_D)_{D \in \mathcal{D}iv\ \text{\uncertain{premiers}}} & \xi_D \in J^{*}_{\mathcal{O}_D/k} \end{array}\right. \] sous \(x \in X\), un mot souligné, […] \[ x \in D \qquad f_x \in G(K_x) \to \text{\uncertain{classe} de } G(K_D)\ \struck{\ill{}} = G(K_D)/G(\mathcal{O}_D)^{(1)} \simeq \mathrm{Hom}(J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}, G(k)) \] le dernier terme est écrit sous le précédent, relié par un signe \(\simeq\) vertical Donc \((f_x, \xi_D)_x \in G(k)\) est défini.

Je dis que \(\sum_{x \in |D|} (f_x, \xi_D)\) existe. En effet […] fonction […] locale, […] […] […] […] […] […] \((f_x)\) […] soit formé d'unités,

19page de schémas, séparés par des traits horizontaux ; les formules sont données dans l'ordre de la page, les flèches obliques décrites en note \[ 0 \to N \to Z^{0} \to \mathrm{Alb}^{0} \to 0 \] au-dessous, une croix de deux traits obliques, avec « ? » \[ 0 \to \prod G(\mathcal{O}_x)/G(C) \to R_G/G(K) \to H^1(X, G)^{0} \to 0 \] \[ X \to \prod_D J^{\ill{}}_{\mathcal{O}_D/k} \to J^{0}_{K/k}\ \Big|\ \struck{\ill{}}\ J^{0}_{X/k} \to 0 \] \[ ? \to \Bigl(\prod_D J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}\Bigr)^{0} \to J^{0}_{X/k} \to 0 \] un trait vertical coupe ces deux lignes avant \(J^{0}_{X/k}\) ; la seconde est soulignée \[ (?) \to \prod J^{*}_{k(D)/k} \to J^{*}_{X/k} \] le « ? » est entouré ; sous \(J^{*}_{k(D)/k}\), un mot souligné et biffé

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
\prod_{\text{local}} J^{*}_{\mathcal{O}_D/k} \arrow[r] & J^{*}_{K/k} \\
\prod_{\text{local}} J^{0}_{\mathcal{O}_D/k} \arrow[u] \arrow[r, no head] & \prod J^{0}_{\mathcal{O}_D/k} \arrow[u]
\end{tikzcd}

les deux flèches verticales sont des inclusions ; la flèche du bas est un simple trait

schéma suivant, entre deux traits horizontaux et en partie entouré : \(G(C)\) envoie une flèche vers \(\prod G(\mathcal{O}_x)\) et une vers \(G(K)\) ; ces deux groupes s'envoient sur \(R^{0}_G\) ; de \(R^{0}_G\) partent une flèche vers \(J^{0}_G\) et une vers \(\mathcal{D}iv^{0}_G\), qui aboutissent toutes deux, par des traits, à \(H^1(X, G)^{0}\)

\[ J_1 = \prod J^{0}_{\mathcal{O}_D/k} \]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
? \arrow[r] & \Bigl(\prod_{D\ \text{local}} J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}\Bigr)^{0} \arrow[r] \arrow[dr] & J^{0}_{K/k} \arrow[dr] & \\
0 \arrow[r] & ? \arrow[u] & \Bigl(\coprod_D J^{*}_{k(D)/k}\Bigr)^{0} \arrow[r] & J^{0}_{X/k}
\end{tikzcd}

disposition simplifiée ; sur la page, \(J_1\) envoie une flèche vers le « ? » de gauche, et le signe \(\coprod\) du dernier terme est écrit sur un mot biffé

20page de formules éparses, en deux colonnes ; elles sont données de haut en bas, colonne de gauche puis colonne de droite

\(A\) \(A'\) \(k \ \struck{\ill{}}\ L\), […] \(\Gamma\) \(L\) est écrit au-dessus d'un trait, \(\Gamma\) au-dessous : \(L/k\) galoisienne de groupe \(\Gamma\), semble-t-il

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
A & A' \\
A_1 \arrow[u] & A'_1 \arrow[u] \\
A_2 \arrow[u] & A'_2 \arrow[u] \\
\cdots \arrow[u] & 0 \arrow[u]
\end{tikzcd}

les deux colonnes sont reliées par une croix entre \(A_1, A_2\) et \(A'_1, A'_2\), et l'ensemble est fermé par un trait courbe

\(\mathcal{L}_{*}\), \(\mathcal{L}'_{*}\) \[ H^1\bigl(\mathrm{Hom}(\mathcal{L}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{L}'_{*}, G)^{\Gamma}\bigr) \] \[ H^1\bigl(\mathrm{Hom}(\mathcal{M}_{*}, \mathcal{L}_{*})^{\Gamma}\bigr), \qquad H^1\bigl(\mathrm{Hom}(\mathcal{M}_{*}, \mathcal{L}'_{*})^{\Gamma}\bigr) \] \[ \mathcal{M}_{*} \xrightarrow{\ \Gamma\text{-hom}\ } \mathcal{L}_{*}, \qquad \mathcal{M}_{*} \xrightarrow{\ \Gamma\text{-hom}\ } \mathcal{L}'_{*} \] \[ \mathcal{M}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{M}_{*} \xrightarrow{\ \Gamma\text{-hom}\ } \mathcal{L}_{*} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathcal{L}'_{*} \xrightarrow{\ \Gamma\text{-hom}\ } G \] sous \(\mathcal{M}_{*} \otimes \mathcal{M}_{*}\), une flèche montante depuis \(\mathcal{M}_{*}\), marquée « […] \(2\) »

\[ H^0(\Gamma, A_L) \times H^1(\Gamma, A'_L) \longrightarrow H^2(\Gamma, \struck{\ill{}}\,L^{*}) \] sous \(H^0(\Gamma, A_L)\), un signe \(=\) vertical et « \(A_K\) » \[ \mathrm{Ext}^1(A_L, A'_L; L^{*}), \qquad \mathbb{Z}(\Gamma)/\mathbb{Z} \] \[ \mathrm{Ext}^1_{\Gamma}(\mathbb{Z}; A_L), \qquad \mathrm{Ext}^1_{\Gamma}(\mathbb{Z}, A'_L) \] \[ \downarrow \] \[ \mathrm{Ext}^{2}_{\Gamma}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}; A_L, A'_L) \times \mathrm{Ext}^1_{\Gamma}(A_L, A'_L; L^{*}) \longrightarrow \mathrm{Ext}^2_{\Gamma}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}; L^{*}) \xrightarrow{\ \ill{}\ } \mathrm{Ext}^2_{\Gamma}(\mathbb{Z}, L^{*}) \] l'exposant du premier \(\mathrm{Ext}\) est surchargé ; sur la page, les flèches sont verticales \[ \mathrm{Hom}(\mathcal{L}_{*}, \mathcal{L}'_{*}; L^{*}) \] \[ i + j + 1 = 2, \qquad i + j = 1 \qquad (i) \quad (1-j) \qquad 2 \quad -1 \] \(i\) et \(1-j\) sont entourés ; « \(2\) » et « \(-1\) » sont écrits en dessous \[ \begin{array}{ll} \text{\uncertain{produit}} & \mathcal{L}^{p}_{*} \otimes \mathcal{L}^{q}_{*} \to P \otimes Q \\ & \qquad \downarrow \\ \text{\uncertain{substitution}} & \mathcal{L}^{p \otimes q}_{*} \to P \otimes Q \end{array} \] au-dessus de \(\mathcal{L}^{p}_{*}\), « \(p, q\) » biffé \[ A_K/N_{L/k}A_L \ \big/\ \text{s.-groupe de } H^1(\Gamma, A'_L) \] cette formule est isolée par un trait oblique et un trait horizontal

\[ K,\ \mathcal{L} \qquad \mathbb{Z} \qquad \underline{A} \qquad P \ \text{fibré principal sur } A \] \[ \struck{H^1}\ \ \underline{\mathrm{Pic}}_{P/S} \]