Cote n° 43 · pages 1–207 · Lecture modernisée · Dualité des groupes. Jacobiennes généralisées etc : notes et copies de notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1961-vers 1968]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Le fil du dossier, et les conventions

Le dossier ne porte aucune pagination continue de sa main. Il se compose de liasses séparées par des chemises titrées, dans l'ordre de reliure suivant, qu'on garde.

• Pages 1 à 12 : « Corps de classes global arithmétique (énoncé des théorèmes …) » — deux rédactions des théorèmes de Takagi–Artin pour un corps de nombres.
• Pages 14 à 22 : l'analogue géométrique sur une courbe : \(G\)-idèles, symboles locaux, complexe de Cousin, jacobiennes généralisées.
• Pages 23 à 34 : « Théorème de Rosenlicht » — le schéma de Picard d'une courbe pincée le long d'un sous-schéma fini, sa propriété universelle, et \(H^1(X - S, G) \simeq \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_S, G)\).
• Pages 35 à 37 : « Adèles des préschémas » — le schéma en anneaux des vecteurs de Witt, présenté par les séries formelles.
• Pages 39 à 42 : descente galoisienne pour les classes d'idèles d'une courbe sur un corps fini.
• Pages 44 à 68 : « Adèles pour plusieurs dimensions » — anneaux attachés aux chaînes de points, dualité de Matlis, l'algèbre graduée et l'élément \(\Theta\).
• Pages 69 à 80 : « Jacobiennes locales » — cohomologie locale d'un anneau local régulier à coefficients dans \(G\), jacobienne locale, conjectures, et le retour aux courbes.
• Pages 81 à 89 : catégories de groupes (fppf, fpqc, « modulo radiciels ») et quatre formulations de la dualité locale.
• Pages 90 à 120 : « Corps de classe local géométrique et dualité » — topologie de Weil sur un trait complet, foncteur de Néron, plan de travail en quatorze points, carré des dualités, calculs pour les groupes finis et les variétés abéliennes ; quelques feuillets dactylographiés des Éléments intercalés.
• Pages 121 à 139 : « Corps de classes et dualité des Courbes Algébriques » — le théorème de dualité pour une courbe et sa table.
• Pages 141 à 145 : « Dualité de Tate-Cassels ».
• Pages 146 à 157 : « Groupes de Galois comme groupes analytiques sur \(\mathbb{Q}_\ell\), d'après Serre ».
• Pages 159 à 169 : \(\mathrm{Ext}\) à supports, puis les tables des \(\mathrm{Hom}\) et des \(\mathrm{Ext}^1\) entre groupes élémentaires.
• Pages 170 à 201 : « Dualité de Cartier des groupes affines et groupes formels » — Frobenius et Verschiebung, les huit types, l'anneau de Dieudonné, pro-objets, catégories abéliennes localement de longueur finie.
• Pages 202 à 207 : « Accouplements de Tate – Lang » — l'accouplement de Tate par le groupe de Brauer, le symbole modéré, l'accouplement de Lang sur le noyau d'Albanese.

Le fil. Sous la diversité des liasses, une construction revient : pour un schéma \(X\) sur un corps \(k\), on cherche un complexe \(J_*\) de groupes (pro-)algébriques commutatifs, fait de jacobiennes locales indexées par les points de \(X\), tel que la cohomologie de \(X\) à coefficients dans tout \(k\)-groupe commutatif \(G\) se calcule comme \[ H^*(X, G) \simeq \mathrm{Ext}^*(J_*, G). \] Les pages 16 à 21 en donnent la forme pour une courbe et une surface ; les pages 70 à 75 prouvent l'ingrédient local — la cohomologie locale \(H^i_x(G)\) est concentrée en degré \(\dim \mathcal{O}_{X,x}\), si bien que \(H^{\dim}_x(G) = \mathrm{Hom}(J_{\mathcal{O}_{X,x}/k}, G)\) définit une jacobienne locale ; les pages 79 et 80 en tirent la formule pour les courbes. Le corps de classes arithmétique des pages 1 à 12, et local géométrique des pages 90 à 120, en sont les deux modèles ; Rosenlicht (pages 23 à 34) en est le cas \(H^1\) ; les dualités de Cartier, de Serre, de Tate et la théorie de Dieudonné (pages 81 à 207) sont l'outillage qui permet de calculer les \(\mathrm{Ext}\).

Conventions. \(G\) désigne un groupe algébrique commutatif, puis un schéma en groupes commutatif ou un faisceau abélien selon la liasse ; \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{G}_a\), \(\mu_n\), \(\alpha_p\), \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\) (\(\ell\) premier à la caractéristique \(p\)) ont leur sens habituel. Les groupes de rayons sont notés \(\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)\). Pour une courbe ouverte, \(J^{\bullet}_{X/k}\) désigne la jacobienne généralisée comme pro-objet (limite sur les modules portés par les points à l'infini). La lettre \(\Theta\) a trois emplois sur les pages — un élément de degré 1 d'une algèbre d'adèles (pages 59 à 66), la dualité de Pontrjagin (page 105), un diviseur de Poincaré (page 206) ; on les garde, en le disant à chaque fois. La lettre \(S\) aussi : un sous-schéma fini (pages 25 à 34), le spectre d'un trait (pages 91 à 139), un foncteur « points rationnels » (page 105), et dans \(S\gamma\) une torsion (pages 99 et 131). Le groupe que les tables des pages 161 à 192 notent \(\mathbb{V}\) est le dual de Cartier de \(\mathbb{G}_a\), comme l'écrit la page 192.

Ce qui est annoncé et non établi. Le théorème de Rosenlicht en famille (page 27) est énoncé sans démonstration ; la bijectivité du corollaire 3 (page 29) est « il semble » ; les suites exactes des pages 32 et 34 sont « plausibles » ; les propriétés des jacobiennes locales (pages 74 et 75) sont « Je soupçonne » ; l'isomorphisme \(\mathrm{Ext}^*(J^{\bullet}_{K/k}, G) \simeq H^*(K, G)\) (page 79) est encadré et non prouvé ; les quatre formes de la dualité locale (page 88) sont énoncées ; l'exactitude du foncteur de Néron et ses suites spectrales (pages 96 et 97) portent « à vérifier » ; le théorème de dualité annoncé aux plans des pages 99 et 101, et à la page 129, n'est pas écrit ; la page 207 s'arrête au milieu d'une démonstration.

Pièces d'autres mains. Le dossier, qui se dit « notes et copies de notes manuscrites », contient aussi : deux feuillets d'une bibliographie dactylographiée d'un mémoire d'un autre auteur (pages 84 et 86, références de 1964) ; quatre feuillets d'un article anglais sur les complexes de Thom (pages 100, 102, 104) ; quatre feuillets d'un texte dactylographié sur les faisceaux mous et fins (pages 123, 125, 138, 140) et un sur la fidèle platitude (page 136, une note de sa main en marge) ; des feuillets dactylographiés des Éléments (pages 109, 114, 120) ; trois feuillets d'un manuscrit de Tate (pages 142 à 144). On les signale à leur place, sans les recomposer. Les pages 165, 174 et 178 sont des copies pâles des pages 166, 175 et 179.

1–12

Le corps de classes global arithmétique (pages 1 à 12)

La chemise porte « Cohomologie des … galoisienne etc. », un mot biffé et illisible, puis le feuillet de la page 2 « Corps de classes global arithmétique (énoncé des théorèmes …) ». Suivent deux rédactions de l'énoncé des théorèmes du corps de classes pour un corps de nombres \(K\) : une première, rapide (pages 3 et 4), une seconde plus soignée (pages 5 à 12).

3–4

Idèles, modules, groupes de rayons (pages 3 et 4)

Soit \(K\) un corps de nombres, \(J_K\) son groupe des idèles, \(C_K = J_K/K^{*}\) celui des classes d'idèles. Un module \(\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_0 \mathfrak{m}_\infty\) est un idéal entier \(\mathfrak{m}_0\) et un ensemble \(\mathfrak{m}_\infty\) de places réelles¹ . Notons \(S\) l'ensemble des places qui divisent \(\mathfrak{m}\), \(S_0\) et \(S_\infty\) ses parties finie et infinie, \(I^{\mathfrak{m}}\) le groupe des idéaux fractionnaires premiers à \(\mathfrak{m}_0\), et \(P^{\mathfrak{m}}\) le sous-groupe des idéaux principaux \((x)\) avec \(x \equiv 1 \bmod^{\times} \mathfrak{m}\), c'est-à-dire \(v_{\mathfrak{p}}(x-1) \geq v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{m}_0)\) pour \(\mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}_0\) et \(x > 0\) aux places de \(\mathfrak{m}_\infty\). Le groupe des rayons est \(\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) = I^{\mathfrak{m}}/P^{\mathfrak{m}}\). Il s'insère dans la suite exacte \[ 0 \to N^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) \to \mathrm{Cl}(K) \to 0, \] dont le noyau est lui-même extension : \[ 0 \to \{\pm 1\}^{S_\infty}/\mathrm{Im}\,E^{\mathfrak{m}_0}_K \to N^{\mathfrak{m}} \to (\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_0)^{*}/\mathrm{Im}\,E_K \to 0, \] où \(E_K\) est le groupe des unités et \(E^{\mathfrak{m}_0}_K\) celui des unités congrues à \(1\) modulo \(\mathfrak{m}_0\). Si \(\mathfrak{m}_0\) est assez divisible, toute unité congrue à \(1\) modulo \(\mathfrak{m}_0\) est totalement positive, si bien que \(\{\pm 1\}^{S_\infty}\) s'injecte dans \(N^{\mathfrak{m}}\)² . Si \(\mathfrak{m}\) est fini (\(S_\infty = \emptyset\)), on a simplement \(0 \to (\mathcal{O}_K/\mathfrak{m}_0)^{*}/\mathrm{Im}\,E_K \to \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) \to \mathrm{Cl}(K) \to 0\).

Du côté des idèles, posons \[ U^{\mathfrak{m}} = \prod_{\mathfrak{p} \notin S \text{ finie}} \mathcal{O}_{\mathfrak{p}}^{*} \times \prod_{\mathfrak{p} \notin S \text{ infinie}} K_{\mathfrak{p}}^{*} \times \prod_{\mathfrak{p} \in S_0} \bigl(1 + \mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{m})}\bigr) \times \prod_{\mathfrak{p} \in S_\infty} K_{\mathfrak{p}}^{*+}, \] le groupe des idèles « congrus à \(1\) modulo \(\mathfrak{m}\) »³ . C'est un sous-groupe ouvert de \(J_K\), les images des \(U^{\mathfrak{m}}\) sont cofinales parmi les sous-groupes ouverts d'indice fini de \(C_K\)⁴ , et \[ C_K/\mathrm{Im}\,U^{\mathfrak{m}} \simeq \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K), \qquad \varprojlim_{\mathfrak{m}} \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) \simeq C_K/D_K, \] où \(D_K\) est la composante connexe de l'unité de \(C_K\). Si \(L/K\) est finie et si \(N_{L/K} J_L \supset U^{\mathfrak{m}}\) (ce qui a lieu pour \(\mathfrak{m}\) assez grand, divisible par les places ramifiées), alors, pour \(\mathfrak{m}'\) assez grand sur \(L\) avec \(N_{L/K}(L^{*\mathfrak{m}'}) \subset K^{*\mathfrak{m}}\), \[ \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K)/N_{L/K}\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}'}(L) \simeq C_K/N_{L/K} C_L. \]

Supposons \(L/K\) abélienne⁵ , et soit \(T\) l'ensemble des places finies ramifiées dans \(L\). L'homomorphisme d'Artin \(I^{T} \to G(L/K)\) envoie un premier \(\mathfrak{p} \notin T\) sur sa substitution de Frobenius \((\mathfrak{p}, L/K)\)⁶ ; son noyau contient trivialement \(N_{L/K} I^{T}_L\). Le théorème du corps de classes affirme :

1. (a)il existe un module \(\mathfrak{m}\), de support \(T\) et des places réelles ramifiées, tel que \(P^{\mathfrak{m}}\) soit dans le noyau — d'où un homomorphisme \(\mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K) \to G(L/K)\), c'est-à-dire \(C_K/\mathrm{Im}\,U^{\mathfrak{m}} \to G(L/K)\), puis \(C_K/N_{L/K}C_L \to G(L/K)\) ;
2. (b)cet homomorphisme est surjectif (et même : tout élément de \(G(L/K)\) est le Frobenius d'une infinité de premiers, forme du « théorème de la progression arithmétique ») ;
3. (c)son noyau est exactement \(P^{\mathfrak{m}} N_{L/K} I^{\mathfrak{m}'}_L\), d'où un isomorphisme \(C_K/N_{L/K} C_L \simeq G(L/K)\).

Le symbole de reste normique de Hilbert \((a_{\mathfrak{p}}, L/K)_{\mathfrak{p}}\) en est la composante locale : c'est un homomorphisme continu sur \(K^{*}_{\mathfrak{p}}\), égal au Frobenius sur une uniformisante aux places non ramifiées, et le symbole global est trivial sur \(K^{*\mathfrak{m}}\).

5–6

Idèles, diviseurs d'Arakelov, théorème de Dirichlet (pages 5 et 6)

La seconde rédaction reprend les données place par place. Pour toute place \(\mathfrak{p}\), finie ou infinie, \(K_{\mathfrak{p}}\) est le complété, \(U_{\mathfrak{p}} = \{|x|_{\mathfrak{p}} = 1\}\) (les unités aux places finies, \(\{\pm 1\}\) ou le cercle \(\mathbb{T}\) à l'infini), et \(W_{\mathfrak{p}} = K^{*}_{\mathfrak{p}}/U_{\mathfrak{p}}\), qui vaut \(\mathbb{Z}\) à distance finie et \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) à l'infini. Le groupe des idèles \(J(K)\) est l'image inverse de \(\bigoplus_{\mathfrak{p}} W_{\mathfrak{p}}\) dans \(\prod_{\mathfrak{p}} K^{*}_{\mathfrak{p}}\) ; le groupe des diviseurs d'Arakelov est \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) = \bigoplus_{\mathfrak{p}} W_{\mathfrak{p}}\), celui des idèles unités \(V(K) = \prod U_{\mathfrak{p}}\), et l'on a \[ 0 \to V(K) \to J(K) \to \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \to 0, \qquad 0 \to K^{*} \to J(K) \to C(K) \to 0, \] \(K^{*}\) étant discret dans \(J(K)\). Le groupe \(K^{*} \cap V(K)\) est celui des racines de l'unité \(\mu(K)\), torsion de \(K^{*}\), et le groupe de classes d'Arakelov \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) = \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K)/\mathrm{Im}\,K^{*}\) s'insère dans \[ 0 \to \mu(K) \to K^{*} \to \mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) \to \mathcal{P}_{\mathrm{abs}}(K) \to 0. \] La norme \(J(K) \to \mathbb{R}^{*}_{+}\) passe à \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}\), \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs}}\) et \(C(K)\) ; l'indice \(0\) désigne les noyaux, et \(K^{*} \subset J_0(K)\) par la formule du produit.

Théorème de Dirichlet. \(C_0(K)\) est compact⁷ . Écrivons \(\mathcal{D}_{\mathrm{abs}}(K) = \mathcal{D}(K) \times \mathcal{D}_\infty(K)\), avec \(\mathcal{D}(K)\) les diviseurs usuels et \(\mathcal{D}_\infty(K) \simeq (\mathbb{R}^{*}_{+})^{r_1 + r_2}\) ; alors \[ 0 \to \mathcal{D}_{\infty,0}(K)/E_0(K) \to \mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K) \to \mathrm{Cl}(K) \to 0, \qquad E_0(K) \simeq E(K)/\mu(K), \] \(E_0(K)\) étant l'image des unités dans l'hyperplan \(\mathcal{D}_{\infty,0}(K)\), de dimension \(r_1 + r_2 - 1\). D'où trois corollaires : le groupe des classes \(\mathrm{Cl}(K)\) est fini ; \(E_0(K)\) est un réseau de rang \(r_1 + r_2 - 1\) ; \(\mathcal{P}_{\mathrm{abs},0}(K)\) est extension du groupe fini \(\mathrm{Cl}(K)\) par un tore réel compact de dimension \(r_1 + r_2 - 1\)⁸ .

7–12

Sous-groupes ouverts et théorèmes d'Artin–Takagi (pages 7 à 12)

Les sous-groupes ouverts de \(C(K)\) sont les sous-groupes ouverts de \(J(K)\) contenant \(K^{*}\) ; un tel sous-groupe contient \(V_{\mathfrak{m}}K^{*}\) pour un module \(\mathfrak{m}\), où \(V_{\mathfrak{m}}\) est le \(U^{\mathfrak{m}}\) des pages 3 et 4. Par approximation faible, tout idèle se ramène modulo \(K^{*}\) à un idèle dont les composantes aux places de \(\mathfrak{m}\) sont dans \(V_{\mathfrak{p},\mathfrak{m}}\)⁹ ; on en tire \[ C_{\mathfrak{m}}(K) := C(K)/H_{\mathfrak{m}}(K) \simeq J(K)/V_{\mathfrak{m}}K^{*} \simeq \mathcal{D}_{\mathfrak{m}}(K)/P_{\mathfrak{m}}(K) = \mathrm{Cl}_{\mathfrak{m}}(K), \] avec \(H_{\mathfrak{m}} = V_{\mathfrak{m}}K^{*}/K^{*}\), et la suite exacte \[ 0 \to E_{\mathfrak{m}}(K) \to K^{*} \to \mathcal{D}_{\mathfrak{m}}(K) \times \prod_{\mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}} K^{*}_{\mathfrak{p}}/V_{\mathfrak{p},\mathfrak{m}} \to C_{\mathfrak{m}}(K) \to 0, \] où \(E_{\mathfrak{m}}(K)\) est le groupe des unités congrues à \(1\) modulo \(\mathfrak{m}\) (positives aux places réelles de \(\mathfrak{m}\)), et où le facteur \(K^{*}_{\mathfrak{p}}/V_{\mathfrak{p},\mathfrak{m}}\) vaut \(\mathbb{Z}/2\) à une place réelle et est extension de \(\mathbb{Z}\) par \((\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}/ \mathfrak{p}^{v})^{*}\) à une place finie.

L'image dans \(C_{\mathfrak{m}}(K)\) d'un \(x \in K^{*}_{\mathfrak{p}}\) se calcule ainsi : si \(\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{m}\), c'est la classe de \(\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(x)}\) ; si \(\mathfrak{p} \mid \mathfrak{m}\), on choisit \(a \in K^{*}\) congru à \(1\) aux autres places de \(\mathfrak{m}\) et à \(x\) en \(\mathfrak{p}\), et l'image est la classe de la partie première à \(\mathfrak{m}\) de l'idéal \((a)^{-1}\)¹⁰ .

Énoncé des théorèmes d'Artin–Takagi. Soit \(L/K\) galoisienne finie de groupe \(G\), \(\mathfrak{S}\) l'ensemble des places ramifiées. Les Frobenius des places non ramifiées, définis dans \(G\) à conjugaison près, ont une image bien définie dans \(G/G'\), d'où l'homomorphisme de réciprocité \(\mathcal{D}_{\mathfrak{m}}(K) \to G/G'\) pour \(\mathfrak{m}\) de support \(\mathfrak{S}\).

1. 1°)Il existe un module \(\mathfrak{m}\) de support \(\mathfrak{S}\) tel que l'homomorphisme de réciprocité s'annule sur \(P_{\mathfrak{m}}(K)\) ; d'où \(C_{\mathfrak{m}}(K) \to G/G'\), puis \(C(K) \to G/G'\), indépendant de \(\mathfrak{m}\).
2. 2°)Cet homomorphisme est surjectif ; plus précisément, chaque classe de conjugaison de \(G\) contient le Frobenius d'une infinité de places.
3. 3°)Son noyau, qui contient trivialement \(N_{L/K}C(L)\), lui est égal : dans \(\mathcal{D}_{\mathfrak{m}}(K)\), le noyau est exactement \(P_{\mathfrak{m}}(K) \cdot N_{L/K}\mathcal{D}_{\mathfrak{m}'}(L)\).
4. 4°)(Théorème d'existence.) Tout sous-groupe ouvert \(U\) de \(C(K)\) est un groupe de normes : il existe \(L/K\) abélienne avec \(N_{L/K}C(L) = U\)¹¹ .
5. 5°)Les homomorphismes locaux \(\varphi_{\mathfrak{p}} : K^{*}_{\mathfrak{p}} \to G^{d}_{\mathfrak{p}}\) dans les groupes de décomposition, déduits du corps de classes local \(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{ab}}_{\mathfrak{p}}/K_{\mathfrak{p}}) \simeq \widehat{K^{*}_{\mathfrak{p}}}\) (complété profini)¹² , sont les composantes locales du symbole de réciprocité.

Le N.B. de la page 10 note que \(N_{L/K}C(L) = N_{L_0/K}C(L_0)\), où \(L_0\) est la sous-extension abélienne maximale de \(L\) : c'est le théorème de limitation des normes. La « grande conséquence » de 1°), dit la page 11, est qu'on sait définir des homomorphismes \(x \mapsto \bigl(\frac{x,\,L/K}{\mathfrak{p}}\bigr)\) de \(K^{*}_{\mathfrak{p}}\) vers \(G/G'\) satisfaisant la formule du produit \[ \prod_{\mathfrak{p}} \Bigl(\frac{x,\,L/K}{\mathfrak{p}}\Bigr) = 1 \qquad (x \in K^{*}). \] Comme les \(\varphi_{\mathfrak{p}}\) et les symboles coïncident aux places non ramifiées, 5°) équivaut à ce que les \(\varphi_{\mathfrak{p}}\) satisfassent ensemble la formule du produit — « la partie difficile de la théorie actuelle des corps de classes pour les corps de nombres ».

14–22

L'analogue géométrique : \(G\)-idèles d'une courbe (pages 14 à 22)

La page 14 est le pendant, pour une courbe, des pages 5 et 6. Soit \(C\) une courbe complète non singulière sur un corps \(k\) algébriquement clos, \(K\) son corps des fonctions, et \(G\) un groupe algébrique commutatif. Pour chaque point fermé \(x\), \(\hat{\mathcal{O}}_x\) et \(\hat K_x\) sont le complété et son corps des fractions.

\(G\)-idèles, \(G\)-diviseurs, symboles locaux

On pose : \(V_G = \prod'_x G(\hat K_x)\) le groupe des \(G\)-idèles (produit restreint relativement aux \(G(\hat{\mathcal{O}}_x)\)), \(U_G = \prod_x G(\hat{\mathcal{O}}_x)\) celui des idèles entiers, \(J_G = V_G/G(K)\) celui des classes d'idèles, \(\mathcal{D}_G = V_G/U_G = \bigoplus_x G(\hat K_x)/G(\hat{\mathcal{O}}_x)\) celui des \(G\)-diviseurs, et \[ J_{G,C} = V_G/U_G\,G(K) \simeq H^1(C, G), \] la cohomologie étant celle de Zariski. Pour \(G = \mathbb{G}_m\) on retrouve les idèles de \(K\), le groupe \(\mathrm{Div}(C)\) et \(\mathrm{Pic}(C)\), avec \(\mathbb{G}_m(C) = k^{*}\). On a \(G(C) = G(K) \cap U_G\), qui vaut \(G(k)\) si \(G\) est linéaire. Un degré \(J_{G,C} \to \mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, G)\) généralise le degré des fibrés en droites ; une note au crayon dit que son noyau est formé des classes qui proviennent de \(\mathrm{Ext}^1(J_C, G)\).

Les symboles locaux de Rosenlicht et Serre, prolongés aux complétés, donnent un accouplement \(V_G \times V \to G(k)\), \(V\) désignant les idèles de \(K\). Il s'annule : sur \(U_G \times U\), où \(U = \prod \hat{\mathcal{O}}_x^{*}\) (si \(f\) est entier en \(x\), \((f, g)_x = v_x(g) f(x)\)) ; sur \(G(K) \times K^{*}\) (loi de réciprocité de Rosenlicht) ; sur \(V^0_G \times k^{*}\) par définition de \(V^0_G\)¹³ . On en déduit les accouplements de la page 15 : \[ G(K) \times J \to G(k),\quad J_G \times K^{*} \to G(k),\quad U_G \times \mathcal{D} \to G(k), \] \[ \mathcal{D}_G \times U \to G(k), \quad J_{G,C} \times k^{*} \to G(k),\quad G(C) \times J_C \to G(k). \] Le premier exprime que \(J\) est une « Albanese généralisée » ; le dernier provient de \(\mathrm{Hom}(C, G) \to \mathrm{Hom}(J_C, G)\), propriété universelle de la jacobienne. Avec \(J'_C \subset J^0_C\) l'intersection des noyaux des homomorphismes \(J^0_C \to G\), la page encadre une classe \[ \xi \in \mathrm{Ext}^1\bigl(J^0_{G,C}(k), J'_C(k); G(k)\bigr), \] « accouplement de Lang »¹⁴ .

16–17

Le bicomplexe adélique et le complexe de Cousin (pages 16 et 17)

Pour chaque \(x\), on dispose des points entiers \(G(\hat{\mathcal{O}}_x)\), des points \(G(\hat K_x)\), et de la cohomologie locale \(H^0_x(G) = 0\), \(H^1_x(G) = G(\hat K_x)/G(\hat{\mathcal{O}}_x)\) ; au point générique \(\xi\), \(H^0_\xi(G) = G(K)\). Ces données forment un bicomplexe \(DD(G)\) dont la première suite spectrale converge vers \(H^{*}(C, G)\) ; comme \(H^0_x(G) = 0\), la cohomologie de \(C\) est celle du complexe \[ G(K) \longrightarrow \bigoplus_x H^1_x(G), \] des \(G\)-diviseurs principaux vers les \(G\)-diviseurs : son noyau est \(G(C)\), son conoyau \(H^1(C, G)\). C'est le complexe de Cousin de \(G\)¹⁵ .

La page 17 formule l'idée qui organise tout le dossier. Les termes de ce complexe devraient être des \(\mathrm{Hom}\) vers \(G\) : \(G(K) = \mathrm{Hom}(J_{K/k}, G)\) et \(H^1_x(G) = \mathrm{Hom}(J_x, G)\) pour des groupes \(J_{K/k}\) et \(J_x\) convenables, de sorte que le complexe de Cousin serait \(\mathrm{Hom}(J_*, G)\) pour un complexe \[ J_1 = \prod_x J_x \longrightarrow J_0 = J_{K/k}, \] et qu'on écrirait \(H_{\mathrm{I}}\,DD(G) = \mathrm{Hom}\bigl(H_{\mathrm{II}}\, DD(\mathbb{G}_m), G\bigr)\). Les pages 70 à 80 construiront ces \(J_x\) : ce sont les jacobiennes locales. Un paragraphe de la page 17, qui disait déjà \(J^{*}_{C/k} \simeq \mathcal{H}^1(C, \mathbb{G}_m)\), est encadré et barré.

18–22

\(G\)-répartitions et jacobiennes généralisées (pages 18 à 22)

Les pages 18 à 22 essaient le même schéma en dimension supérieure. Une \(G\)-répartition \((f_x)_x\) et, pour chaque diviseur premier \(D\), un élément \(\xi_D\) de la jacobienne locale \(J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}\) s'accouplent en \((f_x, \xi_D) \in G(k)\), via \(G(K_D)/G(\mathcal{O}_D)^{(1)} \simeq \mathrm{Hom} (J^{*}_{\mathcal{O}_D/k}, G(k))\) ; la page commence à montrer que la somme sur les points de \(D\) a un sens, et s'arrête (la moitié inférieure de la page 18 est barrée). Les pages 19 à 21 écrivent, pour \(X\) complète, les suites \[ 0 \to G(K)/G(C) \to \mathrm{Div}^0_G \to H^1(X, G)^0 \to 0, \] \[ \prod_{Z \text{ de codim. } 2} J_{\mathcal{O}_Z/k} \to \prod_D J^0_{\mathcal{O}_D/k} \xrightarrow{u} J^0_{K/k} \to \mathcal{J}^0_{X/k} \to 0, \] c'est-à-dire le complexe \(J_*\) d'une surface, de longueur \(2\), et proposent \[ (G\text{-}\mathrm{Div}) = \mathrm{Hom}\Bigl(\bigl(\textstyle\prod J^0_{\mathcal{O}_D/k}\bigr)/ \mathrm{Im} \textstyle\prod_Z J_{\mathcal{O}_Z/k},\ G\Bigr), \qquad (G\text{-}\mathrm{Div})^0 \overset{?}{=} \mathrm{Hom}\bigl(\textstyle\prod J^0_{\mathcal{O}_D/k}/ \mathrm{Ker}\,u,\ G\bigr) \] (« plausible »), et \((G\text{-}\mathrm{Div})/(G\text{-}\mathrm{Div})^0 \subset \mathrm{Hom}(H_1(J_*), G)\) — pour \(G = \mathbb{G}_m\), le groupe de Néron–Severi s'injecte dans \(\mathrm{Hom}(H_1(J_*), \mathbb{G}_m)\) : « A-t-on égalité ?? » ¹⁶ . La page 22 traite un \(G\)-diviseur sur \(X \times Y\) comme une correspondance : il transforme les \(0\)-cycles de \(X\) en \(G\)-diviseurs sur \(Y\), d'où \(J^{*}_{X/k} \to \mathrm{Pic}^{*}_G(Y)\) et un morphisme de la suite d'Albanese \(0 \to N_{\mathrm{Alb}} \to Z^0_X \to J^0_{X/k} \to 0\) vers \(0 \to G(K)/G(Y) \to \mathrm{Div}^0(Y, G) \to \mathrm{Pic}^0(Y, G) \to 0\).

23–34

Le théorème de Rosenlicht (pages 23 à 34)

Existence du schéma de Picard d'une courbe (page 24)

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme avec a) \(Y\) localement noethérien, b) \(X\) propre sur \(Y\) (« faut-il même : loc. projectif ? »), c) \(X\) plat sur \(Y\), d) les fibres des courbes géométriquement connexes et réduites, e) le nombre de composantes irréductibles géométriques des fibres localement constant (sans quoi « on tombe sur des phénomènes à la Néron »). La page affirme que le schéma de Picard relatif \(\mathrm{Pic}_{X/Y}\) existe et est lisse sur \(Y\)¹⁷ . Si les fibres ont \(n\) composantes, il existe un revêtement étale \(Y' \to Y\) de degré \(n\), et une augmentation fidèlement plate \(\mathrm{Pic}_{X/Y} \to \mathbb{Z}_{Y'/Y}\) (le multidegré), où \(\mathbb{Z}_{Y'/Y} = \mathbf{N}_{Y'/Y}(\mathbb{Z}_{Y'})\) devient \(\mathbb{Z}^n\) sur \(Y'\) ; son noyau est \(\mathrm{Pic}^0_{X/Y}\), à fibres connexes. La trace \(\mathbb{Z}_{Y'/Y} \to \mathbb{Z}_Y\) donne le degré total \(\mathrm{Pic}_{X/Y} \to \mathbb{Z}_Y\). Une section de la partie lisse de \(X\) sur \(Y\) définit un diviseur relatif de degré \(1\), d'où un morphisme de la partie lisse vers \(\mathrm{Pic}^1_{X/Y}\), fonctoriel en \(Y\).

25–29

La courbe pincée et le théorème (pages 25 à 29)

Soit maintenant \(X\) propre et lisse sur \(Y\), à fibres de dimension \(1\) géométriquement connexes, et \(S \subset X\) un sous-schéma fermé ne contenant aucune fibre, donc fini sur \(Y\), et supposé plat sur \(Y\)¹⁸ . Le faisceau d'idéaux \(\mathfrak{J}\) de \(S\) est alors inversible (\(S\) est un diviseur de Cartier relatif), et les \(\mathcal{O}_X/\mathfrak{J}^n\) sont plats sur \(Y\). Soit \(S_n\) défini par \(\mathfrak{J}^n\) (\(n \geq 1\)), et \(X_n = X \amalg_{S_n} Y\) le \(Y\)-schéma obtenu en contractant \(S_n\) sur \(Y\) — la courbe pincée de Rosenlicht, de module \(nS\). On a \(X \to X_1 \to X_2 \to \cdots\), système inductif¹⁹ , donc un système projectif des \(\mathrm{Pic}_{X_n/Y}\) et un pro-schéma en groupes \(\mathrm{Pic}_{S,X/Y}\) — la jacobienne généralisée à module porté par \(S\). Les morphismes \(X - S \to \mathrm{Pic}^1_{X_n/Y}\) donnent à la limite \[ \varphi_S : X - S \longrightarrow \mathrm{Pic}^1_{S,X/Y} \subset \mathrm{Pic}_{S,X/Y}. \]

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=normal]
S_n \arrow[r, "i_n"] \arrow[d, "f_n"'] & X \arrow[d, "p_n"] \\
Y \arrow[r, "\varepsilon_n"] & X_n
\end{tikzcd}

Théorème (de Rosenlicht). Soit \(G\) un \(Y\)-schéma en groupes commutatif de type fini, \(P^1\) un fibré principal homogène sous \(G\) (trivialisé par une extension fidèlement plate quasi-compacte), et \(P\) le schéma en groupes \(\mathbb{Z}\)-augmenté qu'il définit (\(P^{(0)} = G\), \(P^{(1)} = P^1\)). Alors \(u \mapsto u \circ \varphi_S\) est une bijection \[ \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}\text{-aug.}}\bigl(\mathrm{Pic}_{S,X/Y}, P\bigr) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Hom}_Y(X - S, P^1), \] les homomorphismes d'un pro-objet étant la limite inductive des homomorphismes des \(\mathrm{Pic}_{X_n/Y}\)²⁰ .

Corollaire 1. \(\mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}_{S,X/Y}, G) \simeq \mathrm{Hom}_Y(X - S, G)\) — c'est le théorème pour le fibré trivial \(P = G \times \mathbb{Z}\).

Corollaire 2. Le foncteur \(\varphi_S^{*}\), des extensions de \(\mathrm{Pic}_{S,X/Y}\) par des \(Y\)-groupes commutatifs de type fini vers les fibrés principaux homogènes sur \(X - S\), est pleinement fidèle.

Un homomorphisme d'une extension \(Q'\) (de groupe \(G'\)) vers \(Q\) (de groupe \(G\)) est la donnée de \(u : G' \to G\) et d'un isomorphisme \(u_*Q' \simeq Q\), où \(u_*Q'\) est l'extension poussée par \(u\)²¹ . Comme \(\mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_S, G) \to H^1(X - S, G)\) est un homomorphisme de groupes, son injectivité revient à : si \(\varphi^{*}Q\) est trivial, \(Q\) l'est, ce qui résulte aussitôt du théorème ; et la pleine fidélité se ramène à la bijectivité de \(\mathrm{End}(Q) \to \mathrm{End}(\varphi^{*}Q)\), c'est-à-dire de \(\mathrm{Hom}_{\text{gr}}(\mathrm{Pic}_S, G) \to \mathrm{Hom}_Y(X - S, G)\), qui est le corollaire 1.

Corollaire 3. L'homomorphisme \(\mathrm{Ext}^1_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}_{S,X/Y}, G) \to H^1(X - S, G)\) est injectif. « Il semble » qu'il soit bijectif chaque fois que \(S \to Y\) est surjectif, c'est-à-dire que les fibres de \(X - S\) ne sont pas propres ; pour \(S = \emptyset\) et \(G = \mathbb{G}_m\), il ne l'est pas — le degré y fait obstacle, comme le précise la page 31.

30–34

Vers \(H^*(X, G) = \mathrm{Ext}^*(\mathrm{Pic}, G)\) (pages 30 à 34)

La page 30 esquisse la surjectivité : par descente, on se ramène aux complétés des anneaux locaux de \(S\), puis, de proche en proche, à leurs corps résiduels et à leurs clôtures algébriques. Pour \(S = \emptyset\), une technique « de degré » donne un homomorphisme \(d : H^1(X, G) \to \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G)\) et une suite exacte \[ 0 \to \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G) \to H^1(X, G) \xrightarrow{\ d\ } \mathrm{Hom}_{Y\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, G), \] que la page voudrait prolonger en \(\to \mathrm{Ext}^2(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G) \to H^2(X, G) \to \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, G) \to \cdots\), la flèche \(\mathrm{Ext}^{i-1}(\mathbb{G}_m, G) \to \mathrm{Ext}^{i+1}(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G)\) étant le produit par une classe fondamentale \(\zeta \in \mathrm{Ext}^2(\mathrm{Pic}_{X/Y}, \mathbb{G}_m)\). Elle la construit ainsi : l'extension \(0 \to N_S \to \mathrm{Pic}_{S,X/Y} \to \mathrm{Pic}_{X/Y} \to 0\) donne une classe \(\xi \in \mathrm{Ext}^1(\mathrm{Pic}_{X/Y}, N_S)\), une extension \(0 \to \mathbb{G}_{m,Y} \to \mathcal{E}_{X/Y/S} \to N_S \to 0\) une classe \(\eta \in \mathrm{Ext}^1(N_S, \mathbb{G}_m)\), et \(\zeta = \eta \circ \xi\) (produit de Yoneda)²² . Lorsque \(\zeta = 0\) — par exemple si \(X\) a une section sur \(Y\) — on aurait les suites « plausibles » \[ 0 \to \mathrm{Ext}^i(\mathrm{Pic}_{X/Y}, G) \to H^i(X, G) \to \mathrm{Ext}^{i-1}(\mathbb{G}_m, G) \to 0. \] En passant à la limite sur des \(S\) de plus en plus grands, la page 33 obtient un pro-groupe \(\mathrm{Pic}_{\infty, X/Y}\) et un pro-morphisme \(\varphi_\infty\), solution d'un problème universel, avec \(H^i(R_{X/Y}, G) \simeq \mathrm{Ext}^i_{Y\text{-gr}}(\mathrm{Pic}_\infty, G)\), où \(R_{X/Y}\) est, semble-t-il, la courbe générique au-dessus de \(Y\), limite des ouverts²³ . Elle relie les \(\mathrm{Ext}^i(\mathrm{Pic}_S, G)\) et \(\mathrm{Ext}^i(\mathrm{Pic}^0_S, G)\) par la suite longue des \(\mathrm{Ext}^{\cdot}(-, G)\) de \(0 \to \mathrm{Pic}^0_S \to \mathrm{Pic}_S \to \mathbb{Z} \to 0\), où \(\mathrm{Ext}^i(\mathbb{Z}, G) = H^i(Y, G)\)²⁴ , et remarque que cette théorie se passe entièrement des jacobiennes locales. La page 34, intitulée « Détailler », note l'autodualité des jacobiennes — \(\mathrm{Pic}^0_{X/Y}\) comme faisceau \(\mathcal{E}xt^1(\mathrm{Pic}^0_{X/Y}, \mathbb{G}_m)\), forme de la formule de Weil–Barsotti —, les suites spectrales local-global des deux côtés, et le « résultat plausible » \[ H^{*}(X_S/Y, G) \simeq \mathrm{Ext}^{*}(\mathrm{Pic}_S, G). \]

35–37

Adèles des préschémas : séries formelles et vecteurs de Witt (pages 35 à 37)

Sous la chemise « Adèles des préschémas », une note rouge en marge dit le sujet : « Relations entre séries formelles et vecteurs de Witt ». Soit \(\mathbb{S}_\infty\) le schéma en anneaux affine sur \(\mathbb{Z}\) tel que \(\mathbb{S}_\infty(A) = 1 + tA[[t]]\), l'addition étant la multiplication des séries et le produit la convolution \(*\) définie par \((1 + at) * (1 + bt) = 1 + abt\) ; on a \((1 + at) * f(t) = f(at)\). C'est l'anneau des grands vecteurs de Witt²⁵ . En caractéristique \(p\), le Frobenius des coefficients \(F(\sum a_i t^i) = \sum a_i^p t^i\) est un endomorphisme d'anneau, avec \(f(t)^p = F(f)(t^p)\) ; le décalage \(V(f)(t) = f(t^p)\) est additif, et \[ FV = VF = p. \] Pour \(x = a^{p^i}\), on a \((1 + x t^{p^i}) * f = F^i(f)(x t^{p^i})\) et \((1 + at)^{p^i} * f = f(at)^{p^i}\)²⁶ . Sans restriction de caractéristique, il existe un morphisme d'anneaux \(\psi : \mathbb{S}_\infty \to \mathbb{W}_\infty\) vers les vecteurs de Witt \(p\)-typiques, additif et déterminé par \(\psi(1 + at) = (a, 0, 0, \ldots)\) — ce qui montre que les représentants de Teichmüller proviennent d'un morphisme de \(\mathbb{Z}\)-schémas du schéma multiplicatif vers \(\mathbb{W}_\infty\) (multiplicatif, et non additif).

39–42

Descente galoisienne pour les classes d'idèles (pages 39 à 42)

Soit \(C' \to C\) un revêtement galoisien de groupe \(\Gamma\) de courbes, \(K'/K\) l'extension de corps de fonctions sur \(\bar k\), et \(J_{C'}(\bar k)\) défini par \(0 \to K'^{*} \to \prod'_x K'^{*}_x \to J_{C'}(\bar k) \to 0\). Comme \(K'^{*}\) et les \(K'^{*}_x\) sont cohomologiquement triviaux sous \(\Gamma\) — par le théorème de Tsen pour le corps de fonctions d'une courbe sur un corps algébriquement clos, et parce que \(\bar k((t))\) est de même \(C_1\) —, \(\hat H^{*}(\Gamma, J_{C'}(\bar k)) = 0\), et le complexe des cochaînes \(C^{*}(\Gamma, J_{C'}(\bar k))\) est une résolution de \[ H^0(\Gamma, J_{C'}(\bar k)) = \Bigl(\prod'_{x} K^{*}_x\Bigr)\Big/ K^{*} = J_C(\bar k) \] par des \(\pi\)-modules, \(\pi = \mathrm{Gal}(\bar k/k)\)²⁷ . On en tire une suite spectrale \(H^p\bigl(H^q(\pi, C^{*}(\Gamma, J_{C'}(\bar k)))\bigr) \Rightarrow H^{*}(\pi, J_C(\bar k))\). Pour \(k\) fini, la page écrit que les termes \(q > 0\) s'annulent, par le théorème de Lang, et que la suite dégénère sur \(C^{*}(\Gamma, J_{C'}(k))\) ; la page 41 passe à la limite sur les modules, par Mittag-Leffler²⁸ .

La page 42 en vient à l'énoncé de corps de classes : pour \(K\) le corps des fonctions sur un corps fini \(k\), \[ H^1(K, G) \simeq \mathrm{Ext}^1(J_K, G), \] puis \(\mathrm{Ext}^1(J^0_K, G)\), \(H^2(k, G) = 0\), et l'accouplement \(J(k) \times \mathrm{Ext}^1(J, G) \to H^1(k, G)\) obtenu en tirant une extension en arrière par un point rationnel. Elle encadre « \(H^1(k, G) \simeq G(k)\) (corps fini) »²⁹ , et compare, pour \(0 \to J^0 \to J \to \mathbb{Z} \to 0\), la suite des \(\mathrm{Ext}^1(-, G)\) à celle des \(\mathrm{Hom}(-(k), H^1(G))\), les deux flèches extrêmes étant des isomorphismes.

44–68

Adèles pour plusieurs dimensions (pages 44 à 68)

La liasse s'ouvre sur un titre encadré, « Adèles pour plusieurs dimensions ». Le but est de faire pour un schéma de dimension quelconque ce que les idèles font pour une courbe : remplacer le couple « points entiers / points du complété » par une famille d'anneaux attachés aux chaînes de points.

44–48

Anneaux attachés aux chaînes (pages 44 à 48)

Soit \(X\) un schéma noethérien. Les points sont ordonnés par spécialisation ; une chaîne \(x_0 < x_1 < \cdots < x_n\) est une suite où chaque point est une spécialisation stricte du suivant (\(x_0\) le plus spécial). À une chaîne on attache un anneau \(\mathcal{O}_{[x_0 \cdots x_n]}\) : pour un point, \(\mathcal{O}_{[x]} = \hat{\mathcal{O}}_x\) ; pour le point générique d'une variété intègre, \(\mathcal{O}_{[x]} = K\) ; pour une courbe sur une surface, \(\mathcal{O}_{[x_0 x_1]} = \hat{\mathcal{O}}_{x_0} \otimes K\) localisé et complété le long de \(x_1\). Les flèches « localisantes » relient les produits restreints \(\prod_{x_0}\mathcal{O}_{[x_0]}\), \(\prod_{x_1}\prod'_{x_0}\mathcal{O}_{[x_0 x_1]}\), \(\prod\mathcal{O}_{[x_0 x_1 x_2]}\) dans un diagramme en escalier.

En termes d'idéaux premiers d'un anneau noethérien \(A\), la définition est récursive (pages 46, 51, 61, 64) : \[ A_{[\mathfrak{p}]} = \hat A_{\mathfrak{p}}, \qquad A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n, \mathfrak{q}]} = \varprojlim_k A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n]} \otimes_A A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^k A_{\mathfrak{q}} \qquad (\mathfrak{p}_1 \supset \cdots \supset \mathfrak{p}_n \supset \mathfrak{q}), \] et l'anneau global de degré \(n\) est \[ \mathcal{A}^n = \prod_{a \in X} \varprojlim_k \mathcal{A}^{n-1} \otimes_A \mathcal{O}_a/\mathfrak{m}_a^k \ \subset\ \prod_{x_0 \leq \cdots \leq x_n} \mathcal{A}_{[x_0, \ldots, x_n]}, \] « l'inclusion étant fidèlement plate »³⁰ . Le calcul local de la page 47, pour \(A = k[s,t]\) localisé à l'origine, la courbe \(s = 0\) et le point générique, donne les anneaux \(k[[s,t]]\), \(k((t))[[s]]\), et \(k((t))((s))\) pour la chaîne complète : un élément de \(k((t))[s]/(s^n)\) s'écrit \(a_0(t) + a_1(t)s + \cdots + a_{n-1}(t)s^{n-1}\), et l'on factorise \(a_0(t)\) dès qu'il n'est pas nul. La page 48 écrit, pour une surface, le diagramme des groupes d'unités \(\hat{\mathcal{O}}^{*}_x\), \(\hat{\mathcal{O}}^{*}_{D,x}\), \(\hat{\mathcal{O}}^{*}_D\), \(\hat K^{*}_D\), \(K^{*}\), et celui des points \(G(\hat{\mathcal{O}}_x)\), \(G(\hat{\mathcal{O}}_{D,x})\), \(G(\hat K_D)\), \(G(K)\) : le bicomplexe \(DD(G)\) des pages 16 et 17, à trois étages.

49–52

Dualité de Matlis et anneaux \(A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}}\) (pages 49 à 52)

Soit \(A\) régulier de dimension finie, et \(K_* = \bigoplus_{\mathfrak{p}} K_{\mathfrak{p}}\), où \(K_{\mathfrak{p}}\) est l'enveloppe injective de \(k(\mathfrak{p})\) : c'est la somme des termes de la résolution injective minimale de \(A\), le complexe résiduel³¹ . Pour \(M\) de type fini, posons \[ D(M) = \mathrm{Hom}(M, K_*) = \bigoplus_{\mathfrak{p}} D_{\mathfrak{p}}(M), \qquad D_{\mathfrak{p}}(M) = \mathrm{Hom}(M, K_{\mathfrak{p}}), \] \(D_{\mathfrak{p}}(M)\) étant \(\mathfrak{p}\)-primaire, réunion de sous-modules \(U_i\) de longueur finie sur \(A_{\mathfrak{p}}\). Comme \(\mathrm{Hom}(U_i, K_{\mathfrak{q}}) = 0\) si \(\mathfrak{q} \not\supset \mathfrak{p}\), on trouve \[ DD(M) = \prod_{\mathfrak{p}} \prod'_{\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}} \mathrm{Hom}\bigl(D_{\mathfrak{p}}(M), K_{\mathfrak{q}}\bigr). \] Pour \(A\) local d'idéal maximal \(\mathfrak{q}\), le foncteur \(M \mapsto \mathrm{Hom}(D_{\mathfrak{p}}(M), K_{\mathfrak{q}})\) est covariant et exact, donc, sur les modules de type fini, de la forme \(M \otimes A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}}\) avec \(A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}} = \mathrm{Hom}(K_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}})\) plat³² . Ces anneaux sont ceux des chaînes : la page 58 écrit \(\mathrm{Hom}(K_{\mathfrak{p}}, K_{\mathfrak{q}}) = A_{\mathfrak{q},\mathfrak{p}}\) pour \(\mathfrak{q} \supset \mathfrak{p}\), et l'exemple de la dimension \(1\) le confirme : \(\mathrm{Hom}(K, E(k)) = \hat A \otimes K\). Ils se composent le long des chaînes de premiers (le treillis de la page 52).

Les pages 51 et 53 calculent l'anneau d'une chaîne de longueur \(1\) : \[ A_{[\mathfrak{p},\mathfrak{q}]} = \varprojlim_n A_{[\mathfrak{p}]} \otimes_A A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}^n A_{\mathfrak{q}} = \varprojlim_n \bigl(A_{[\mathfrak{p}]}/\mathfrak{q}^n A_{[\mathfrak{p}]}\bigr) \otimes_A A_{\mathfrak{q}}, \] et l'on peut y remplacer \(\mathfrak{q}^n\) par la puissance symbolique \(\mathfrak{q}^{(n)}\)³³ .

52–60

Ensembles ordonnés, chaînes saturées, l'élément \(\Theta\) (pages 52 à 60)

La construction est ensuite rendue abstraite. Soit \(I\) un ensemble ordonné satisfaisant à la « condition des chaînes » : a) la longueur des chaînes joignant \(x \geq y\) est bornée ; b) deux chaînes saturées joignant \(x\) à \(y\) ont même longueur \(d(x, y)\) — c'est la caténarité. Soit \(S_X\) l'ensemble simplicial dont les \(n\)-simplexes sont les chaînes \(x_0 \leq \cdots \leq x_n\), c'est-à-dire les applications croissantes de \(\Delta_n\) dans \(X\). Les \(A_\sigma\), avec pour toute opération simpliciale \(u\) un morphisme \(\varphi(\sigma, u) : A_{u^{*}(\sigma)} \to A_\sigma\), forment un faisceau sur \(S_X\) ; la page juge qu'il y a lieu de négliger les simplexes dégénérés, c'est-à-dire de ne retenir que les chaînes strictes³⁴ . La page 55 traite de même un objet cosimplicial \(K^{*}\) d'une catégorie abélienne comme un module gradué muni des \(\partial^n_i\), et y impose les relations \(\partial^n_i = 0\) pour \(1 \leq i \leq n\) : ne restent que les faces extrêmes, et le complexe obtenu est \[ A_{[x_1 \cdots x_n]} \longrightarrow \prod_{x_0 \text{ précède } x_1} A_{[x_0, x_1, \ldots, x_n]} \xrightarrow{\ d_0\ } \prod A_{[x'_0, x_0, \ldots, x_n]}, \] avec deux différentielles \(d'\), \(d''\) (ajout d'un point en tête, en queue) qui vérifient \(d'^2 = d''^2 = 0\), \(d'd'' = d''d'\) (page 56).

Les pages 60 et 59 — les feuillets sont intervertis — en donnent la forme multiplicative³⁵ . Pour toute chaîne saturée \(c = (x_0 \geq \cdots \geq x_n)\) on se donne un anneau \(A_c\), et des homomorphismes \(u_1 : A_{[x_0 \cdots x_{n-1}]} \to A_c\), \(u_2 : A_{[x_1 \cdots x_n]} \to A_c\) qui commutent ; d'où des \(u_{c,c'} : A_{c'} \to A_c\) pour \(c \supset c'\), un système inductif sur les chaînes, et des accouplements \(A_{c'} \times A_c \to A_{c'c}\) pour des chaînes composables bout à bout, associatifs (page 62). La somme des \(A_c\) devient un anneau \(A^{*}\) gradué par la longueur, non commutatif, dont la partie de degré \(0\), \(A^0 = \bigoplus A_x\), est commutative. Soit \(\Theta \in A^1\) l'élément dont les composantes sont les \(1_{[x_0, x_1]}\) ; alors \[ \Theta^2 = \sum_{[x_0, x_1, x_2] \text{ saturées}} 1_{[x_0, x_1, x_2]}, \] et l'on passe au quotient par l'idéal bilatère engendré par \(\Theta^2\). La page s'arrête là, sur des croquis.

61–68

L'algèbre graduée des endomorphismes du complexe résiduel (pages 61 à 68)

Les pages 61 à 64 reprennent les anneaux \(A_{[\mathfrak{p}, \mathfrak{q}, \mathfrak{r}]}\) (treillis de la page 61) et notent qu'un \(A_{[\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r]}\) est un anneau muni de \(r\) topologies, métrisables, complètes, en général non adiques et non comparables. L'anneau d'une chaîne \(\mathfrak{p} \supset \mathfrak{q}\) est complet, de corps résiduel l'anneau total des fractions de \(\hat A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{q}\hat A_{\mathfrak{p}}\), complété d'un anneau local intègre de dimension \(1\).

La page 65 dégage la structure : une \(A\)-algèbre topologique (séparée, complète) graduée \(\mathcal{A}^{*}\), de degrés \(\geq 0\), avec \[ \mathcal{A}^0 = \prod_{x \in X} \hat{\mathcal{O}}_x,\ \text{d'où des projecteurs } \pi_x ; \] \[ \Theta \in \mathcal{A}^1,\quad \Theta^2 = 0,\quad \pi_{x'}\Theta\pi_x = 0 \ \text{si } x' \text{ ne précède pas } x, \] « \(\mathcal{A}\) libre pour ces propriétés ». La page 66 en donne le modèle : \(\mathrm{Hom}(K_*, K_*)\), gradué par la composition, avec \(\mathrm{Hom}^0 = \prod_x \hat{\mathcal{O}}_x\) (Matlis) et \(\Theta \in \mathrm{Hom}^1 = \prod_x \mathrm{Hom}(K(x), \bigoplus_{x' \text{ précède } x} K(x'))\), de composantes dans les \(\hat{\mathcal{O}}_{x,x'}\) : \(\Theta\) est la différentielle du complexe résiduel, et \(\Theta^2 = 0\) est \(d^2 = 0\)³⁶ . Le commutateur gradué est \[ [\Theta, u] = \Theta u - (-1)^{\deg u}\, u\Theta, \] qui vaut \(\Theta u - u\Theta\) pour \(\deg u = 0\)³⁷ . Les pages 67 et 68 décomposent \(\mathrm{Hom}(K, K) = \prod_x \prod'_y H(x,y)\), \(H(x,y) = \mathrm{Hom}(K(x), K(y))\), avec \(H(x,y) \to H(x',y')\) pour des chaînes saturées joignant \(x\) à \(x'\) et \(y'\) à \(y\), et introduisent, pour un ensemble ordonné \(I\), la catégorie \(\tilde I\) des flèches composées et un foncteur \(K : \tilde I \to \mathcal{C}\). La liasse s'arrête sur ces définitions.

69–80

Jacobiennes locales (pages 69 à 80)

70–73

Cohomologie locale à coefficients dans \(G\) (pages 70 à 73)

Soit \(A\) un anneau local régulier, \(X = \mathrm{Spec}\,A\), \(a\) son point fermé, \(K\) son corps des fractions, et \(G\) un groupe algébrique commutatif sur un corps \(k \subset A\) algébriquement clos³⁸ . On travaille dans la « théorie čechiste » pour la topologie de Zariski, où \(H^1\) classe les fibrés principaux localement triviaux. La cohomologie locale \(H^i_A(G) = H^i(X, X - a; G)\) s'insère dans \[ 0 \to H^0_A(G) \to G(X) \to G(X - a) \to H^1_A(G) \to 0, \qquad H^i_A(G) \simeq H^{i-1}(X - a, G)\ \ (i \geq 2), \] puisque \(H^i(X, G) = 0\) pour \(i > 0\), \(X\) étant local. On trouve :

1. a)\(H^0_A(G) = G(K)\) si \(\dim A = 0\), et \(0\) sinon ;
2. b)\(H^1_A(G) = G(K)/G(A)\) si \(\dim A = 1\), et \(0\) sinon ;
3. c)pour \(\dim A \geq 2\), \(H^i(X - a, G) \simeq H^i(X - a, U)\) pour \(i \geq 1\), où \(U\) est la partie unipotente de \(G\), et ce groupe est nul pour \(i \neq \dim A - 1\).

L'argument de c) : si \(L\) est la partie linéaire de \(G\), le quotient \(G/L\) est une variété abélienne, dont les morphismes depuis un ouvert d'un schéma régulier se prolongent, si bien que le faisceau correspondant est constant sur \(X - a\), donc flasque ; \(H^i(X - a, G) = H^i(X - a, L)\) pour \(i \geq 1\). Comme \(A\) est factoriel, \(H^1(X - a, \mathbb{G}_m) = \mathrm{Pic}(X - a) = 0\), et plus généralement les \(H^i(X - a, \mathbb{G}_m)\) s'annulent pour \(i \geq 1\) ; reste la partie unipotente, dévissée par des \(\mathbb{G}_a\), et \(H^i(X - a, \mathbb{G}_a) = H^{i+1}_{\mathfrak{m}}(A)\) (\(i \geq 1\)), nul pour \(i + 1 \neq \dim A\), \(A\) étant de Cohen–Macaulay. Ainsi : \[ H^i_A(G) = 0 \quad (i \neq \dim A), \qquad H^{\dim A}_A(G) = \begin{cases} G(K) & \dim A = 0, \\ G(K)/G(A) & \dim A = 1, \\ H^{\dim A - 1}(X - a, U) & \dim A \geq 2. \end{cases} \] Le foncteur \(G \mapsto H^{\dim A}_A(G)\) est exact pour les suites exactes localement triviales. La page note enfin que rien ne change si l'on remplace \(A\) par son complété³⁹ .

74–75

La jacobienne locale et trois conjectures (pages 74 et 75)

La jacobienne locale \(J_{A/k}\) d'une localité régulière \(A\) sur \(k\) est le pro-groupe algébrique commutatif qui représente ce foncteur : \[ \mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(J_{A/k}, G) \simeq H^{\dim A}_A(G). \] La représentabilité découle, dit la marge, de l'exactitude du foncteur. La page écrit alors « Je soupçonne » :

1. a)\(J_{K/k}\) (dimension \(0\)) est extension de \(\mathbb{Z}\) par un groupe connexe, qui a une partie abélienne (l'Albanese de \(K/k\)), une partie multiplicative et une partie unipotente ;
2. b)pour \(\dim A = 1\), \(J_{A/k}\) est connexe et linéaire, de partie multiplicative \(\mathbb{G}_m\), et projectif relativement aux extensions par des groupes linéaires connexes ;
3. c)pour \(\dim A \geq 2\), \(J_{A/k}\) est connexe, unipotent et projectif.

Ces énoncés sont des conjectures, et le dossier ne les prouve pas⁴⁰ .

76–78

Cohomologie de Weil (pages 76 à 78)

La section II passe à une cohomologie plate, « de Weil », qui « semble marcher moins bien ». Pour \(A\) local hensélien, de corps résiduel \(L\), et \(G\) lisse, \(H^i(A, G) = H^i(L, G)\) pour \(i > 0\)⁴¹ , et la page écrit \(H^i(L, G) = H^i(L, G/L_0)\) pour \(i \geq 1\), \(L_0\) le plus grand sous-groupe linéaire connexe de \(G\)⁴² . En dimension \(1\), la cohomologie relative \(H^i(A \bmod K, G) = H^i_A(G)\) s'insère dans la suite longue \[ \cdots \to H^1(A, G) \to H^1(K, G) \xrightarrow{\ \partial\ } H^2(A \bmod K, G) \to H^2(A, G) \to H^2(K, G) \to \cdots, \] et doit donc s'obtenir comme extension d'un noyau par un conoyau de \(H^i(L, G) = H^i(A, G) \to H^i(K, G)\) ; la page dessine en regard la suite des groupes fondamentaux \(1 \to \pi_1(A \bmod K) \to \pi_1(K) \to \pi_1(A) = \pi_1(L) \to 1\), c'est-à-dire l'inertie. En dimension \(\geq 2\), \(H^2_A(G)\) est extension de \(\mathrm{Coker}(H^1(X, G) \to H^1(X - a, G))\) par \(\mathrm{Ker}(H^2(X) \to H^2(X - a, G))\), et, pour \(G\) extension d'un groupe discret par un groupe propre, le théorème de pureté rend \(H^1(X, G) \to H^1(X - a, G)\) surjectif⁴³ .

79–80

Adèles et jacobiennes généralisées des courbes (pages 79 et 80)

La page 79 revient au programme des pages 16 et 17, avec un titre encadré en marge. Pour le complexe \(J_*\) de jacobiennes locales, deux suites spectrales \[ \mathcal{E}xt^{*}(J_*, G) \Longleftarrow H^p\bigl(\mathrm{Ext}^q(J_*, G)\bigr), \qquad \mathcal{E}xt^{*}(J_*, G) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^p\bigl(H_q(J_*), G\bigr) \] relient, dit la marge, la cohomologie de Weil et la cohomologie čechiste. Pour \(X\) une courbe non singulière, \(H_0(J_*) = J^{\bullet}_{X/k}\) est la jacobienne de Rosenlicht, et \(H_1(J_*) = \mathbb{G}_m\) si \(X\) est complète, \(0\) sinon. D'où, pour \(X\) non complète, \[ H^{*}(X, G) = \mathrm{Ext}^{*}(J^{\bullet}_{X/k}, G), \] et pour \(X\) complète la suite exacte \[ \cdots \to \mathrm{Ext}^p(J^{\bullet}_{X/k}, G) \to H^p(X, G) \to \mathrm{Ext}^{p-1}(\mathbb{G}_m, G) \to \mathrm{Ext}^{p+1}(J^{\bullet}_{X/k}, G) \to \cdots, \] la dernière flèche étant le produit par une classe de \(\mathrm{Ext}^2(J^{\bullet}_{X/k}, \mathbb{G}_m)\) — la classe \(\zeta\) de la page 32. Ici \(J^{\bullet}_{X/k}\) doit être la jacobienne généralisée comme pro-objet, limite des jacobiennes de module \(nS\) où \(S\) est l'ensemble des points à l'infini⁴⁴ . En passant à la limite sur les ouverts denses, la page encadre, pour \(K = k(X)\), \[ \mathrm{Ext}^{*}(J^{\bullet}_{K/k}, G) \simeq H^{*}(K, G), \] sans démonstration.

La page 80 calcule \(J^{\bullet}_{A/k}\) pour un anneau de valuation discrète \(A\) dont le corps résiduel \(L\) est de degré de transcendance \(1\) sur \(k\), à partir de la décomposition du groupe multiplicatif d'un anneau de séries \(L[[t]]\) en \(L^{*} \times (1 + tL[[t]])\), ce dernier facteur étant le groupe additif des grands vecteurs de Witt \(\mathbb{S}'_L\) des pages 35 à 37 : \[ \coprod_{L/k} \mathbb{S}^{*}_L = \coprod_{L/k} \mathbb{Z}_L \times \coprod_{L/k} \mathbb{G}_{m,L} \times \coprod_{L/k} \mathbb{S}'_L, \] où \(\coprod_{L/k}\) est la restriction des scalaires ; \(\mathcal{U} = \coprod_{L/k} \mathbb{S}'_L\) est unipotent connexe, et, par le théorème de Rosenlicht appliqué aux modèles \(C'\) de \(L\), \(\mathrm{Hom}_{k\text{-gr}}(\mathcal{U}, G)\) s'identifie aux homomorphismes « restreints » de \(J^{\bullet}_{L/k} \times E^1\) vers \(G\)⁴⁵ .

81–89

Catégories de groupes et dualité locale (pages 81 à 89)

La page 83 dessine les catégories en jeu et leurs inclusions : \(k\)-schémas en groupes, \(k\)-groupes quasi-compacts, \(k\)-préschémas localement algébriques, groupes algébriques, groupes pro-algébriques, faisceaux fppf et fpqc (« ne sont pas abéliennes » pour les premières). Elle demande si les faisceaux fppf sont les faisceaux fpqc qui commutent aux limites inductives filtrantes d'anneaux, et compare, pour un système \((G_i)\), \(F(S) = \varinjlim G_i(S)\) et \(F'(S) = (\varprojlim G_i)(S)\), qui coïncident sur le petit site fppf : \(F' = u^{*}u_{*}F\) pour le morphisme de sites \(u\). Puis un programme : « Calculer les \(\mathrm{Ext}^i\) des groupes élémentaires » \(\alpha_p\), \(\mu_p\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), \(\mathbb{G}_a\), \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{Z}\), \(A\) (variété abélienne) sur un corps algébriquement clos, en vérifiant que le résultat ne dépend pas de la catégorie⁴⁶ .

La page 85 rend inversibles les morphismes entiers, radiciels et surjectifs — les homéomorphismes universels —, d'où une catégorie \((\mathrm{QSch})\), des faisceaux qfpqc et qfppf, et un treillis de catégories de groupes « modulo radiciels », où « \(k\)-gr. alg. / radiciels \(\simeq\) groupes quasi-algébriques ». Ce sont les groupes quasi-algébriques de Serre (Groupes proalgébriques, 1960), qu'on décrit aujourd'hui comme les schémas en groupes parfaits.

La page 88 donne quatre formulations de la dualité locale pour un complexe constructible \(F^{\bullet}\) sur un schéma local \(X\) de point fermé \(a\), chacune avec l'hypothèse qu'elle demande :

1. (i)\(F^{\bullet} \to DDF^{\bullet}\) est un isomorphisme (\(X\) « bon ») ;
2. (ii)\(H^i_a(X, F^{\bullet})\) est dual de \(H^{-i}(X, \hat F^{\bullet})\) (\(X\) strictement local et « bon ») ;
3. (iii)\(H^i(X - a, F^{\bullet})\) est dual de \(H^{-i-1}(X - a, \hat F^{\bullet})\) ;
4. (iv)\(\mathrm{Ext}^i(X; F, \lambda(G)) \simeq \mathrm{Ext}^i(k; \mathrm{R}i^{!}F, G)\) (\(X\) local hensélien « bon », de corps résiduel \(k\)),

avec (i) \(\Rightarrow\) (ii) \(\Leftrightarrow\) (iii) \(\Leftrightarrow\) (iv), où \(\hat F\) désigne le dual⁴⁷ . La page 89 en déduit, pour \(U \subset X\) ouvert et \(a \in Z \subset Y \subset X\), les accouplements de deux suites exactes longues de cohomologie locale, mises face à face, la seconde lue à rebours : \[ \begin{array}{ccc} H^i_Z(F) & \times & H^{-i}_a(\hat F|Z) \\ H^i_Y(F) & \times & H^{-i}_a(\hat F|Y) \\ H^i_{Y-Z}(F) & \times & H^{-i-1}\bigl(Y - a, \mathrm{R}k_{!}(\hat F|Y - Z)\bigr) \end{array} \]

90–120

Corps de classes local géométrique et dualité (pages 90 à 120)

91–97

Topologie de Weil sur un trait et foncteur de Néron (pages 91 à 97)

Soit \(\mathbb{V}\) un anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel parfait \(k\), de corps des fractions \(K\), d'uniformisante \(\pi\). On regarde \(\mathbb{V}\) comme schéma en anneaux sur \(k\), et \(K\) comme ind-schéma en anneaux, \(A \mapsto \mathbb{W}(A)_\pi\)⁴⁸ . Sur \(S = \mathrm{Spec}\,\mathbb{V}\) on met la « topologie de Weil » : la catégorie des \(S'\) plats de type fini sur \(S\), avec la descente fidèlement plate. Soit \(\mathcal{C}(S)\) la catégorie des faisceaux de Weil abéliens ; un tel faisceau se prolonge canoniquement aux préschémas plats sur \(S\) par les conditions (i) de nature locale, (ii) commutation aux limites inductives d'anneaux, d'où (iii) compatibilité à la descente par morphismes fidèlement plats de présentation finie. Tout préschéma en groupes commutatif \(G\) sur \(S\) définit un faisceau, et si \(G\) est localement de type fini son prolongement est encore représenté par \(G\) : \(\overline{G}(S') = \mathrm{Hom}_S(S', G)\). Dans \(\mathcal{C}(S)\) on a \(H^i(S, F) = \mathrm{Ext}^i(S; \mathbb{Z}_S, F)\) et la suite spectrale \(\mathrm{Ext}^{*}(S; F, G) \Leftarrow H^p(S, \mathcal{E}xt^q(F, G))\) ; pour l'ouvert générique \(i : U \to S\), « quels sont les foncteurs dérivés » de \(i_*\) ?

Sur \(k\), on prend la topologie \(\mathcal{T}'_k\) dont les recouvrements sont les morphismes finis surjectifs, et la catégorie \(\mathcal{C}'(k)\) de ses faisceaux ; pour \(k\) algébriquement clos, \(H^i(k, F) = 0\) pour \(i > 0\). Il faudrait prouver que, pour \(G\) lisse, ses \(H^i(k, G)\) sont ceux du faisceau de Weil associé, de même pour les \(\mathrm{Ext}\), et étudier si \(H^i(k, G)\) se calcule comme une cohomologie galoisienne.

Le foncteur fondamental, « dit de Néron », est \[ \mathcal{N} : \mathcal{C}(S) \to \mathcal{C}'(k), \qquad \mathcal{N}(F)(A) = \varinjlim_{\mathcal{P}} \prod_{i \in I_{\mathcal{P}}} F\bigl(\mathbb{V}(A^{\mathcal{P}}_i)\bigr), \] où \(A\) est une \(k\)-algèbre réduite et \(\mathcal{P}\) parcourt ses partitions constructibles finies : on regarde un \(k\)-schéma réduit comme un pro-schéma affine, on le transforme par \(\mathbb{V}\) en un pro-schéma sur \(S\), et l'on applique \(F\). Le foncteur \(\mathcal{N}\) est exact à gauche ; on pose \(\mathcal{N} = \mathcal{H}^0_{S/k}\) et \(\mathrm{R}^i\mathcal{N} = \mathcal{H}^i_{S/k}\), avec \(H^0_S = H^0_k \circ \mathcal{H}^0_{S/k}\). Si \(\mathcal{N}\) transforme injectifs en injectifs (« à vérifier »), on a la suite spectrale de Leray \[ H^{*}(S, F) \Longleftarrow H^p\bigl(k, \mathcal{H}^q_{S/k}(F)\bigr), \] et, avec \(\mathcal{H}om_{S/k}(F, G) = \mathcal{H}^0_{S/k}(\mathcal{H}om_S(F, G))\) et ses dérivés \(\mathcal{E}xt^i_{S/k}\), deux autres suites spectrales \[ \mathcal{E}xt^{*}_{S/k}(F, G) \Longleftarrow \mathcal{H}^p_{S/k}\bigl(\mathcal{E}xt^q_S(F, G)\bigr), \qquad \mathrm{Ext}^{*}(S; F, G) \Longleftarrow H^p\bigl(k, \mathcal{E}xt^q_{S/k}(F, G)\bigr), \] chacune sous une hypothèse d'acyclicité marquée « vérifier »⁴⁹ .

99–105

Le plan de travail et le carré des dualités (pages 99 à 105)

La page 99, au crayon, ouvre par une formule de dualité \[ \mathcal{E}xt^i_{K\text{-gr}}(G, S\gamma) \simeq \mathcal{E}xt^{i+n}_{k\text{-gr}}(T^{*}G, \gamma), \qquad S\gamma = (D\Delta\gamma_K)(1), \] « isomorphisme si \(G\) est affine sans composante \(\mathbb{G}_a\) », où \(T\) est le foncteur des \(K\)-groupes vers les \(k\)-quasi-groupes, \(D\) la dualité de Cartier et \(\Delta\) celle de Serre⁵⁰ . Suit un plan, continué page 101 :

1. 1)\(K\)-groupes algébriques : \(\mathrm{Ext}\), \(\mathcal{E}xt\), \(H^p\) (nature arithmétique, géométrique) ;
2. 2)dualité de Cartier ;
3. 3)cohomologies algébriques ;
4. 4)dualité de Serre–Rosenlicht ;
5. 5)le foncteur \(\Gamma_{K/k}\) (« le Néron-… ») ;
6. 6)les foncteurs \(\mathcal{E}xt^{*}_{K/k}(F, G)\), \(\mathcal{H}^{*}_{K/k}(G)\) ;
7. 7)l'homomorphisme fondamental ;
8. 8)le théorème de dualité ;
9. 9)application 1 : l'isomorphisme \(H^i(K, \gamma_K) \simeq \mathrm{Ext}^i_{k\text{-gr}}(J_{K/k}, \gamma)\) pour \(i > 0\), « idem aux corps de classes de Serre » ;
10. 10)application 2 : autodualité (des vecteurs de Witt ?) ;
11. 11)application 3 : cohomologie des variétés abéliennes ;
12. 12)l'isomorphisme de Lang (corps \(k\) fini) ;
13. 13)application 4 : dualité de Tate ;
14. 14)compléments aux égales caractéristiques ; théorèmes de Rosenlicht locaux.

Les points 3), 5) et 8) sont cochés. La généalogie est notée en marge de la page 101 : Lang, géométrisation du corps de classes global (avec Rosenlicht) ; Serre, géométrisation du corps de classes local ; Tate, dualité de la cohomologie des variétés abéliennes sur les corps \(p\)-adiques⁵¹ .

La page 103 pose \(T : K\mathrm{Gr}_K \to K\mathrm{QuGr}_k\), des complexes finis de \(K\)-groupes vers les complexes finis de \(k\)-quasi-groupes, avec \(\Gamma^{*}_K \simeq \Gamma^{*}_k \circ T\) — « la cohomologie de \(K\) ne se calcule pas galoisiennement, celle de \(k\) si » —, et trois questions : \(T^{\circ}\) transforme-t-il injectifs en \(\Gamma^{\circ}_k\)-acycliques ? est-il de dimension cohomologique \(\leq 2\) (et \(\leq 1\) hors des composantes de type \(\mathbb{Z}\)) ? commute-t-il à l'extension du corps résiduel ? La page 105, pour \(k\) fini, dessine le carré des dualités :

\begin{tikzcd}[column sep=large, row sep=normal]
K^{-}_{\mathrm{fini}}(K)^{\circ} \arrow[r, "D"] \arrow[d, "T"'] & K^{+}_{\mathrm{fini}}(K) \arrow[d, "T(-1)"] \\
K^{-}(k)'^{\circ} \arrow[r, "\Delta"] \arrow[d, "S"'] & K^{+}(k)' \arrow[d, "S(-1)"] \\
K^{-}\mathcal{C}^{\circ} \arrow[r, "\Theta"] & K^{+}\mathcal{C}
\end{tikzcd}

où \(D\) est la dualité de Cartier, \(\Delta\) celle de Serre, \(\Theta\) celle de Pontrjagin sur les groupes abéliens localement compacts \(\mathcal{C}\), \(T\) les foncteurs de Greenberg et \(S\) les points rationnels \(\Gamma_k\) ; le carré du haut est la « théorie de dualité géométrique », celui du bas « Frobenius–Lang ». « Comment obtient-on le carré du bas ? » La page le vérifie sur \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) : \(\mathrm{Ext}^i_{k\text{-gr}}(G, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Ext}^{i-1}_{\mathrm{gr.top}}(SG, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\), avec au bout \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) « ! ».

106–108

Groupes finis, \(\mu_p\), \(\alpha_p\), \(\mathbb{G}_m\) (pages 106 à 108)

La page 106 encadre l'accouplement de Tate \(H^i(A) \times H^{2-i}(B) \to H^2(K, \mathbb{G}_m)\) et écrit, pour un \(K\)-groupe \(G\) fini, \[ \mathrm{Ext}^i_{k\text{-gr}}(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(H^{1-i}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr), \] \(G\) désignant à gauche son image par \(T\)⁵² . La page 108 calcule : pour \(G = \mu_p\), les \(\mathcal{E}xt^i_{k\text{-gr}}(\mu_p, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) sont nuls et \(H^1(K, \mu_p) = K^{*}/K^{*p}\) (Kummer plat) ; pour \(G = \mathbb{G}_m\), \(\mathcal{E}xt^i(\mathbb{G}_m, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = 0\) sauf pour \(i = 1\), où l'on trouve le dual des racines de l'unité, et \(\mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \simeq {}_n\check\mu\) (\(n\) premier à \(p\)) ; \(H^i(k, \mathbb{G}_m) = k^{*}, 0, 0, \ldots\) sur \(k\) algébriquement clos ; et, pour \(k\) fini, \[ \mathrm{Ext}^1_{k\text{-gr}}(\mathbb{G}_m, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Hom}\bigl(\mathbb{G}_m(k), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr), \] par l'isogénie de Lang⁵³ .

La page 107, tête-bêche, est le brouillon d'un corollaire des Éléments (numéroté « .9.10 », le premier chiffre illisible) : pour \(f : X \to Y\) propre de type fini, \(Y\) localement noethérien, \(f\) universellement ouvert aux points de \(X_y\) et \(X_y\) séparable, le nombre \(\pi(z)\) de composantes connexes géométriques de \(X_z\) est continu au voisinage de \(y\) — par réduction au cas d'un trait. La page 109 est un feuillet dactylographié d'une rédaction du chapitre IV des Éléments (« IV 7 Oubli au n° 7.6 »), annoté de sa main : la semi-continuité supérieure de la somme des multiplicités géométriques totales (Proposition 6.7) et, sur un trait, l'inégalité des longueurs \(\sum_i \mathrm{long}\,F_{0,x_i} \geq \sum_j \mathrm{long}\,F_{1,x'_j}\) entre fibre spéciale et fibre générique (Lemme 6.8), avec un N.B. où il doute que les conditions suffisent à la platitude aux points maximaux⁵⁴ .

111–113

Présentations par Greenberg et dualité (pages 111 à 113)

La page 111 range en six cases les groupes finis \(\mu_n\) et \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (\(n\) premier à \(p\)), \(\mu_p\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\alpha_p\), puis \(\mathbb{G}_m\) et \(\mathbb{Z}\), chacun présenté comme noyau d'une isogénie de groupes lisses dont on prend la transformée de Greenberg⁵⁵ : \(\mu_n = \mathrm{Ker}(n : \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m)\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathrm{Ker}(\wp : \mathbb{G}_a \to \mathbb{G}_a)\), \(\alpha_p = \mathrm{Ker}(F : \mathbb{G}_a \to \mathbb{G}_a)\), et leurs \(H^0\), \(H^1\) sur \(K\) : \[ \begin{array}{lll} \mu_n : & \mu_n(K), & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, & \check\mu_n \\ \mu_p : & 0, & K^{*}/K^{*p} \\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} : & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, & K/\wp K \\ \alpha_p : & 0, & K/K^{p} \\ \mathbb{G}_m : & K^{*}, & 0 \end{array} \] (Artin–Schreier, « cf. corps de classes local », pour \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), et Hilbert 90 pour \(\mathbb{G}_m\))⁵⁶ . La page 112, barrée, définit pour un revêtement des homomorphismes de réciprocité \(\mathrm{Gal}(\bar K_x/K_x) \to \mathrm{Gal}(K'/K^{D}_x)\) et les plus grandes sous-extensions complètement décomposées ou non ramifiées. La page 113 encadre \[ H^i\bigl(K, D(G)\bigr) \simeq \mathrm{Ext}^{1-i}\bigl(f_*G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr), \qquad f_* D(G) \simeq (T f_*G)(1), \] \[ H^{*}(K, DG) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^p\bigl(H^{-q}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr), \] d'où une suite courte \(0 \to \mathrm{Ext}^1(H^{\cdot}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \to H^{\cdot}(K, DG) \to \mathrm{Hom}(H^{\cdot}(K, G), \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), qui est la forme d'une dualité « à la Breen–Serre », avec une partie \(\mathrm{Hom}\) et une partie \(\mathrm{Ext}^1\)⁵⁷ . La page 114, au verso, est un feuillet dactylographié du chapitre III des Éléments (« III-49 »), corrigé à la main.

115–119

Variétés abéliennes sur un corps local (pages 115 à 119)

Soient \(A\) et \(B\) des variétés abéliennes duales sur \(K\). La page 115 écrit la suite spectrale de bidualité \(H^{*}(\Delta^2 T(A)) \Leftarrow (H^p\Delta^2)(H^q(K, A))\) et note que \(H^1(K, A)\) est de torsion⁵⁸ . La page 116 encadre \[ H^1(K, A) \simeq \mathcal{E}xt^1_{k\text{-gr}}(B, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \qquad H^1(K, B) \simeq \mathcal{E}xt^1_{k\text{-gr}}(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}), \] \[ \pi_0(A),\ \pi_0(B)\ \text{duaux dans } \mathbb{Q}/\mathbb{Z}, \] \(A\) et \(B\) étant lus, à droite, sur les fibres spéciales de leurs modèles, avec \(0 \to U \to A \to A' \to 0\) (\(U\) unipotent connexe, \(A'\) semi-abélien connexe) et \(\mathrm{Ext}^1(A, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) extension de \(\mathcal{E}xt^1(U, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) par \(\mathrm{Ext}^1(A'^{\circ}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^{\mu(A)}\), où \(\mu(A) = 2\alpha(A^{\circ}) + \mu(A^{\circ})\) — deux fois la dimension de la partie abélienne plus celle de la partie torique⁵⁹ . Les pages 118 et 119 calculent \(\mathcal{E}xt^i(A, \mu_\infty)\) et \(\mathcal{E}xt^i(A, {}_n\mu)\), nuls sauf en degré \(1\) où ils valent \({}_\infty B\), \({}_n B\) ; d'où \(H^{i-1}(K, {}_nB) \simeq \mathrm{Ext}^{i-1}(T(A), \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\), et deux suites exactes reliant \(DH^1(K, A)\), \(H^0(K, {}_\infty B)\), \(H^0(K, B) \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) et \(H^1(K, {}_\infty B) \to H^1(K, B) \to 0\) ; la question finale est la divisibilité de la partie divisible de \(H^1(K, A)\), laissée ouverte.

La page 117 est un plan des Éléments, chapitre IV, en quinze points (changement de base ; limites projectives et propriétés constructibles ; morphismes réguliers ; critères de platitude ; immersions régulières ; dimension ; morphismes universellement ouverts ; morphismes lisses et étales ; fibres d'un morphisme plat ; sections hyperplanes ; prolongements infinitésimaux ; préschémas en groupes ; formes différentielles et dualité). Au bas, tête-bêche et barrée, une liste de choses à faire en anglais porte « September 1963 ». La page 120 est un autre feuillet du chapitre III (« III-42 », caractéristique d'Euler–Poincaré).

121–139

Corps de classes et dualité des courbes algébriques (pages 121 à 139)

122–124

\(\mathrm{Ext}\) à supports et complétés formels (pages 122 et 124)

Les pages 122 et 124 alignent, pour un fermé \(Y\) d'un schéma \(X\) et un ouvert \(U = X - Y\), les suites de cohomologie locale \(H^i_Y(X, M) \to H^i(X, M) \to H^i(U, M)\) et leurs analogues \(\mathrm{Ext}^i_Y(X; M, A) \to \mathrm{Ext}^i(X; M, A) \to \mathrm{Ext}^i(U; M, A)\), demandent si \(\mathrm{Ext}^i_{\mathfrak{m}}(M, A) = D(M)\), et mettent en regard, par un accouplement, \(\mathrm{Ext}^i_Y(X; M, N)\) et \(\mathrm{Ext}^{n-i}(X; N, M)\) le long des deux suites. Pour \(F\) cohérent, \(\mathrm{Ext}^i_Y(X, F, G) = \varinjlim_n \mathrm{Ext}^i(F/J^nF, G)\), dual de \(\varprojlim_n \mathrm{Ext}^{r-i}_a(X; G, F/J^nF)\) (la page écrit « dual » en marge), et l'on passe au complété formel \(\hat X\), puis à un schéma formel \(\mathfrak{X}\) et un fermé \(T \subset Z \subset \mathfrak{X}\), avec \(H^i_T(\mathfrak{X}, F) \to H^i_T(\mathfrak{X}, F_{/Z})\) ; la ligne s'arrête au bord.

127–131

L'homomorphisme de dualité pour une courbe (pages 127 à 131)

Soit \(C\) une courbe complète non singulière sur \(k\), \(f : C \to \mathrm{Spec}\,k\). Les \(C\)-groupes (faisceaux de Weil sur les préschémas de type fini sur \(C\), pour la descente fidèlement plate) forment une catégorie abélienne avec assez d'injectifs, d'où des \(\mathrm{Ext}\) globaux et locaux et \(H^i(C, G) \simeq \mathrm{Ext}^i(C; \mathbb{Z}_C, G)\). L'image directe \(f_* : \mathrm{Gr}_C \to \mathrm{Gr}_k \to \mathrm{QuGr}_k\) transforme injectifs en injectifs ; on note \(\mathcal{H}^i_f(G) = H^i(\mathrm{R}f_*G)\) et \(\mathcal{E}xt^i_f(F, G) = H^i(\mathrm{R} \mathcal{H}om_f(F, G))\), avec les suites spectrales \[ \mathrm{Ext}^{*}(C; F, G) \Longleftarrow H^p\bigl(k; \mathcal{E}xt^q_f(F, G)\bigr), \qquad H^{*}(C, G) \Longleftarrow H^p\bigl(k; \mathcal{H}^q_f(G)\bigr). \] Pour \(\gamma\) un \(k\)-groupe fini, soit \(S\gamma = (D\Delta\gamma)(1)\), groupe de type multiplicatif, isomorphe à \(\gamma \otimes \mu_n\) si \(n\gamma = 0\)⁶⁰ . Un élément de \(\mathrm{Ext}^i(C; G, S\gamma)\) donne \(\mathrm{R}f_*G \to \mathrm{R}f_*S\gamma\), et une trace \(\mathrm{R}f_*S\gamma = \mathrm{R}f_*(\gamma \otimes \mu_n)(1) \to \gamma\) de degré \(-2\) — celle de \(H^2(C, \mu_n) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) — fournit, par composition, l'homomorphisme de dualité \[ E_f(G, S\gamma) \longrightarrow E_k(\mathrm{R}f_*G, \gamma). \] Théorème (annoncé, page 129) : (i) si \(G\) est fini, ou plus généralement affine sans composante abélienne, c'est un isomorphisme ; (ii) si \(G\) est de type fini sans composante abélienne, c'en est un « mod \(\Theta\) », les \(E\) étant pris dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\)⁶¹ . La page 131 part de la suite de Kummer \(0 \to \mu_n \to \mathbb{G}_m \xrightarrow{n} \mathbb{G}_m \to 0\) ; comme \(\mathcal{H}^0_f(\mathbb{G}_m) = \mathbb{G}_m\) et \(\mathcal{H}^i_f(\mathbb{G}_m) = 0\) pour \(i \geq 2\), la suite de Leray donne \[ 0 \to H^1(k, \mathbb{G}_m) = 0 \to H^1(C, \mathbb{G}_m) \to \mathrm{Pic}_{C/k}(k) \to \mathrm{Br}(k), \] d'où \(\mathrm{Pic}(C) = H^1(C, \mathbb{G}_m) \subset \mathrm{Pic}_{C/k}(k)\). Les pages 130 et 133 portent deux en-têtes de chapitre annulés, « V Schémas de Hilbert, de Picard » et « V Fidèle platitude, Descente fid. plate, Applications ». La page 128, barrée, contient un calcul d'algèbre commutative sur la dimension des anneaux de polynômes localisés : \(\dim B_{\mathfrak{m}} = \dim A + n - \deg\mathrm{tr}\, k(\mathfrak{m})/k(\mathfrak{m}')\) pour \(B = A[t_1, \ldots, t_n]\).

132–132

La table de dualité d'une courbe (page 132)

Sur \(k\) algébriquement clos, avec \(J\) la jacobienne de \(C\) et \(F\) le Frobenius sur \(H^1(C, \mathcal{O}_C)\), la page dresse pour chaque groupe élémentaire \(G\) la suite \(H^0, H^1, H^2\) de \(C\) à valeurs dans \(G\) : \[ \begin{array}{ll} \mu_n\ ((n,p)=1) : & \mu_n,\ {}_nJ,\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} : & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ {}_nJ \otimes \check\mu_n,\ \check\mu_n \\ \mu_p : & \mu_p,\ {}_pJ,\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} : & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},\ H^1(C, \mathcal{O}_C)^{F},\ H^1(C, \mathcal{O}_C)/(1-F) = 0 \\ \alpha_p : & \alpha_p,\ \mathrm{Ker}\,F \mid H^1(C, \mathcal{O}_C),\ \mathrm{Coker}\,F \mid H^1(C, \mathcal{O}_C) \\ \mathbb{G}_m : & \mathbb{G}_m,\ \mathrm{Pic}^{\bullet}_{C/k},\ 0 \end{array} \] et, en colonne, la dualité qui échange \(\mu_n\) et \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(\mu_p\) et \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\alpha_p\) et lui-même, \(\mathbb{G}_m\) et \(\mathbb{Z}\), chaque fois par l'autodualité de la jacobienne (« \(\Delta({}_pJ) \simeq H^1(C, \mathcal{O}_C)^F\) »). Pour \(\mathbb{Z}\), les groupes \(H^i(C, \mathbb{Z})\) sont \(\mathbb{Z}\), \(0\), \(H^1(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) = \mathrm{Hom}(T(J), \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\), \(H^2(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \varinjlim_{(n,p)=1} \check\mu_n\), \(0\)⁶² . Pour \(G = \mathbb{G}_m\), le théorème de dualité s'écrit \[ H^{*}(C, \gamma) \simeq \mathrm{Ext}^{*}\bigl(\mathrm{R}f_*(\mathbb{G}_m)(1), \gamma\bigr) \Longleftarrow \mathrm{Ext}^{p+q}\bigl(\mathrm{R}^{-q}f_*\mathbb{G}_m, \gamma\bigr), \] et, pour \(\gamma = \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) : \(H^0(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), \(H^1(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \mathrm{Ext}^1(J, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})\) (autodualité de la jacobienne), \(H^2(C, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \check\mu\)⁶³ .

134–139

Réduction à un point, et le cas d'un trait (pages 134 à 139)

Pour \(F\) concentré en un point \(x\), \(T(F) \simeq F_x\) « considéré comme groupe algébrique sur \(k\) », et il faut prouver \(\mathrm{Ext}^i(C; F, \gamma \otimes \mu_n) \simeq \mathrm{Ext}^{i-2}(k; F_x, \gamma)\) — la pureté en un point d'une courbe. Pour le cas général, avec \(U = C - Y\) (\(Y\) fini) et \(i : U \to C\), on est ramené à \[ H^i(U; \hat F) \simeq \mathrm{Ext}^{i-2}\bigl(\mathrm{R}f_*(i_!F_U), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr), \] la dualité de Poincaré pour une courbe ouverte, où \(\mathrm{R}f_* i_! = \mathrm{R}f_!\) ; la page le vérifie « par un calcul facile » pour \(F = \mu_n\), \(\hat F = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(n\) premier à \(p\).

La page 135 passe à un trait : \(S\) le spectre d'un anneau de valuation discrète complet à corps résiduel algébriquement clos, \(x\) son point fermé, \(i : U \to S\) le point générique, \(F = i_*(G)\). Alors \(H^0_x(F) = H^1_x(F) = 0\) et \(H^2_x(F) = H^1(K, F)\)⁶⁴ . Le triangle \(\mathcal{H}_x(F) \to \mathcal{H}_X(F) \to \mathcal{H}_U(F)\) de complexes de \(k\)-groupes, dualisé dans \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\), devrait donner trois isomorphismes encadrés, avec un grand « ? » : \[ E(U; F, \mu_\infty)^n \simeq E\bigl(k, \mathcal{H}_U(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-1}, \] \[ E_{\ast}(X; F, \mu_\infty)^n \simeq E\bigl(k, \mathcal{H}_{\ast}(F), \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\bigr)^{n-2} \ \ (\ast = X, x). \] La page 137 met face à face les deux suites longues des \(\mathcal{H}_{Y/k}\), \(\mathcal{H}_{S/k}\), \(\mathcal{H}_{U/k}\) pour \(G\) et son dual \(\hat G\), et la page 139, avec le foncteur de Néron des pages 95 à 97, écrit \(\mathcal{E}xt^i_{U/k}(G, \tilde\gamma) \simeq \mathcal{E}xt^i_k(\mathcal{N}(G), \gamma)\), puis encadre la question « \(\mathcal{H}^{*}_{Y/k}(i_!G) \simeq \mathcal{H}^{*}_{U/k}(G)\) ??? », laissée ouverte. La page 136 est un feuillet dactylographié sur la fidèle platitude, où il a noté en marge « \(\mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)\) surjectif ».

141–145

Dualité de Tate–Cassels (pages 141 à 145)

Sous la chemise « Dualité de Tate-Cassels » viennent trois feuillets d'une autre main, en anglais, dont le texte coïncide, pour ce qui en a été lu, avec l'exposé de Tate « Duality theorems in Galois cohomology over number fields » : notations, théorèmes locaux (finitude, dualité, caractéristique d'Euler–Poincaré), une remarque citant la thèse de Shatz (juin 1962), et les théorèmes globaux, dont la suite exacte à neuf termes⁶⁵ . Sa page 145, au crayon, la récrit pour \(O\) l'anneau des \(S\)-entiers d'un corps global \(k\) et \(M\) un module galoisien fini d'ordre inversible sur \(O\), de dual de Cartier \(\tilde M\) : \[ \begin{array}{l} 0 \to H^0(O, M) \to \prod_{\mathfrak{p} \in S} \hat H^0(k_{\mathfrak{p}}, M) \to H^2(O, \tilde M)^{\vee} \to H^1(O, M) \to \prod'_{\mathfrak{p} \in S} H^1(k_{\mathfrak{p}}, M) \\ \qquad \to H^1(O, \tilde M)^{\vee} \to H^2(O, M) \to \bigoplus_{\mathfrak{p} \in S} H^2(k_{\mathfrak{p}}, M) \to H^0(O, \tilde M)^{\vee} \to 0, \end{array} \] et \(H^r(O, M) \simeq \prod_{\mathfrak{p} \in S} H^r(k_{\mathfrak{p}}, M)\) pour \(r \geq 3\) (les places réelles seules contribuant)⁶⁶ . Puis, en anglais : « If \(\mathrm{III}(O, M) = \mathrm{Ker}(H^1(O, M) \to \prod H^1(k_{\mathfrak{p}}, M))\) is finite » — le groupe de Tate–Šafarevič —, et la page s'arrête sur une ligne illisible où se lit « dualité sur un corps de nombres ».

146–157

Groupes de Galois comme groupes analytiques \(\ell\)-adiques, d'après Serre (pages 146 à 157)

Soit \(S\) un préschéma, \(\ell\) un nombre premier, et \(\mathcal{G}(S)\) la catégorie des schémas en groupes finis étales sur \(S\). Un objet de \(\mathrm{Ind}\,\mathcal{G}(S)\) est « de type \(\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell\) » s'il est strict et si ses fibres géométriques sont isomorphes à \((\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^{\nu}\) ; par dualité de Pontrjagin on obtient les objets de \(\mathrm{Pro}\,\mathcal{G}(S)\) « de type \(\mathbb{Z}_\ell\) », et un objet de \(\mathrm{Ind}\,\mathrm{Pro}\,\mathcal{G}(S)\) est « de type \(\mathbb{Q}_\ell\) » s'il est isomorphe à un système \((G_n = G_0)\) de transitions la multiplication par \(\ell^{m-n}\). Notons \(\mathcal{I}_\ell(S)\), \(\mathcal{M}_\ell(S)\), \(\mathcal{V}_\ell(S)\) ces trois catégories. Si \(S\) est connexe, de point géométrique \(\xi\), elles s'identifient aux \(\pi_1(S, \xi)\)-modules discrets isomorphes à \((\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell)^{\nu}\), aux \(\mathbb{Z}_\ell\)-modules libres de type fini, et aux \(\mathbb{Q}_\ell\)-espaces vectoriels de dimension finie munis d'une action continue de \(\pi_1(S, \xi)\) — les systèmes locaux \(\ell\)-adiques. Le foncteur \[ \mathcal{M}_\ell(S) \longrightarrow \mathcal{V}_\ell(S), \qquad M \mapsto M \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{Q}_\ell, \] est essentiellement surjectif (\(\pi_1\) étant compact, il y a un réseau invariant) et fidèle, non pleinement fidèle⁶⁷ . Un morphisme \(S' \to S\) donne des foncteurs de changement de base, qui s'interprètent comme restriction des scalaires le long de \(\pi_1(S', \xi') \to \pi_1(S, \xi)\).

Pour un système projectif \((S_i)\) à transitions affines et \(S = \varprojlim S_i\), on a \(\mathcal{V}_\ell(S) = \text{pseudo-}\varinjlim \mathcal{V}_\ell(S_i)\), et de même pour \(\mathcal{M}_\ell\), \(\mathcal{I}_\ell\) — exemples : le module de Tate \(T_\ell(A)\) d'un schéma abélien, et les \(\mathrm{R}^if_*\mathbb{Z}_\ell\) d'un morphisme propre et lisse. Avec \(\pi = \pi_1(S, \xi) \simeq \varprojlim \pi_i\), supposons que les \(\pi_j \to \pi_i\) aient des images d'indice fini, ce qui a lieu si les \(S_i\) sont normaux intègres et les transitions dominantes de type fini. Alors les images \(G_j\) des \(\pi_j\) dans \(\mathrm{Aut}(V_\xi)\) sont des sous-groupes fermés, d'indice fini les uns dans les autres ; ce sont des groupes de Lie \(\ell\)-adiques, et ils ont donc tous la même algèbre de Lie \[ \mathfrak{g} \subset \mathfrak{gl}(V_\xi) = \mathrm{End}_{\mathbb{Q}_\ell}(V_\xi), \] indépendante de \(i\) : « l'algèbre de Lie de Serre »⁶⁸ . Pour \(S = \mathrm{Spec}\,A\), \(A\) normal, limite de sous-anneaux de type fini \(A_i\), on obtient une algèbre de Lie \(\mathfrak{g}_\xi\), invariante par extension dominante de la base, contrairement à l'algèbre de Lie \(\mathfrak{g}'_\xi \subset \mathfrak{g}_\xi\) de l'image de \(\pi_1(S, \xi)\), qui diminue ; si \(S\) est de type fini, elles coïncident. Un chemin de \(\xi\) à \(\xi'\) transporte \(\mathfrak{g}_\xi\) sur \(\mathfrak{g}_{\xi'}\), d'où un foncteur des « vectoriels de type \(\mathbb{Q}_\ell\) attachés à \((S_i)\) » vers les algèbres de Lie de même type, à réaliser comme Ind-Pro-schéma en algèbres de Lie sur \(S\) opérant sur \(V\).

La page 157 en porte les figures et un lemme : si \(H \subset G\) et que tout élément de \(G\) a une puissance dans \(H\), alors \(H\) est d'indice fini dans \(G\)⁶⁹ .

159–169

\(\mathrm{Ext}\) à supports ; tables des \(\mathrm{Hom}\) et des \(\mathrm{Ext}^1\) (pages 159 à 169)

La chemise de la page 159 annonce un « Tableau des Hom, \(\mathcal{H}om\), \(\mathrm{Ext}^1\), \(\mathcal{E}xt^1\) pour des types simples de groupes alg. commut. » ; la page 160, qui s'intercale, traite des \(\mathrm{Ext}\) à supports.

160–160

\(\mathrm{Ext}\) à supports dans le cas localement noethérien (page 160)

Soit \(X\) localement noethérien, \(Y\) fermé d'idéal \(\mathcal{J}\). On a des homomorphismes canoniques \[ \mathrm{Ext}^i_Y(X; F, G) \longleftarrow \varinjlim_n \mathrm{Ext}^i(X; F/\mathcal{J}^{n+1}F, G), \qquad \mathcal{E}xt^i_Y(F, G) \longleftarrow \varinjlim_n \mathcal{E}xt^i(F/\mathcal{J}^{n+1}F, G). \] Théorème. Si \(F\) est cohérent, le second est un isomorphisme, et le premier aussi si \(X\) est noethérien. Le global se déduit du local par la suite spectrale \(H^p(X, \mathcal{E}xt^q_Y(F, G)) \Rightarrow \mathrm{Ext}^{*}_Y(X; F, G)\) ; l'énoncé local étant local, on suppose \(X\) affine, et il suffit de voir que \(\mathcal{E}xt^i_Y(F, G) = 0\) pour \(i > 0\) si \(G\) provient d'un module injectif, en regardant \(\mathrm{Ext}^p_A(M, H^q_J(N))\). La démonstration s'interrompt au bas de la page⁷⁰ .

161–164

Les tables (pages 161 à 164)

Sur une base \(S\) de caractéristique \(p\), la page 161 dresse le tableau des \(\mathcal{H}om(F, G)\) pour \(F, G\) parmi \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\alpha_p\), \(\mu_p\), \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{G}_a\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{V}\) et un schéma abélien \(A\), avec des « gros », des « ? », et la matrice \[ \begin{pmatrix} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} & 0 & 0 \\ \alpha_p & \mathbb{G}_a & 0 \\ \mu_p & \alpha_p & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{pmatrix} \] des \(\mathcal{H}om\) entre \(\mu_p\), \(\alpha_p\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\). Ici \(\mathbb{V} = D(\mathbb{G}_a)\) est le dual de Cartier de \(\mathbb{G}_a\), groupe formel unipotent, dont les points sur une algèbre sont les homomorphismes de \(\mathbb{G}_a\) vers \(\mathbb{G}_m\) — des exponentielles à coefficients nilpotents, ce que la page 164 calcule : \(P(t + t') = P(t)P(t')\), \(P(t) = 1 + a_1 t + \cdots\), \(a_i^p = 0\)⁷¹ . La page 162 donne les règles qui produisent les lignes : \[ \mathcal{H}om(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, G) = {}_nG,\qquad \mathcal{H}om(\mathbb{Z}, G) = G, \] \[ \mathcal{H}om(\alpha_p, G) = \mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Lie}(G) \xrightarrow{x \mapsto x^{[p]}} \mathrm{Lie}(G)\bigr), \qquad \mathcal{H}om(\mu_p, G) = \mathrm{Ker}\bigl(\mathrm{Lie}(G) \xrightarrow{x \mapsto x - x^{[p]}} \mathrm{Lie}(G)\bigr), \] où \(\mathrm{Lie}(G) = \mathbb{V}(\omega_G)\) est le fibré vectoriel de Lie et \(x^{[p]}\) la puissance \(p\)-ième restreinte ; \(\mathcal{H}om(\mathbb{G}_m, G)\) et \(\mathcal{H}om(A, G)\) sont des foncteurs non ramifiés ; \(\mathcal{H}om(G, H) = 0\) si \(G\) est à fibres géométriquement connexes et \(H\) non ramifié. Les cas difficiles sont \(\mathcal{H}om(\mathbb{G}_a, G)\) et \(\mathcal{H}om(G, \mathbb{V})\) pour \(G = \alpha_p, \mathbb{G}_a, \mathbb{V}\) (« quatre types délicats »). La page 163 dresse le tableau des \(\mathrm{Ext}^1\), avec des cases \(\mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, {}_pA)\), \(\varinjlim \mathrm{Ext}^1(\mathbb{G}_m, {}_nA)\), \(\mathrm{Hom}(T(A), G)\), \(H^1(Ab, \mathcal{O})\), et « Consulter travaux Serre » ; la page 164 le reprend par types (groupe fini ordinaire \(\Gamma\), groupe infinitésimal \(U\), \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{G}_a\), variété abélienne simple, \(\mathbb{Z}\)), avec trois règles : \(\mathrm{Hom}\)(connexe, discret ordinaire) \(= 0\) ; \(\mathrm{Hom}(\mathbb{G}_m, \cdot) = 0\) vers les groupes unipotents ; \(\mathrm{Hom}(Ab, \text{linéaire}) = 0\).

165–169

\(\mathrm{Ext}^1\) et classes primitives (pages 165 à 169)

Lemme. Soient \(G\), \(\Gamma\) deux \(S\)-schémas en groupes commutatifs, \(\Gamma\) fidèlement plat, tels que tout morphisme \(G \times_S G \to \Gamma\) nul sur \(e \times G\) et sur \(G \times e\) soit nul — par exemple \(G\) à fibres géométriquement connexes et \(\Gamma\) non ramifié. Alors \[ \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(G, \Gamma) \longrightarrow H^1(G, \Gamma_G) \] est injectif, et son image est l'ensemble des classes primitives \(\xi\), nulles le long de la section unité, avec \(\mu^{*}\xi = \mathrm{pr}_1^{*}\xi + \mathrm{pr}_2^{*}\xi\) ; pour la surjectivité, il faut de plus que les morphismes \(G^n \to \Gamma\) (\(n = 1, 2, 3\)) soient constants⁷² .

Démonstration. Si l'extension \(0 \to \Gamma \to E \to G \to 0\) est triviale comme fibré, soit \(\varphi : G \to E\) une section ; quitte à la corriger par \(u \in \Gamma(S)\), elle respecte les sections unité. La différence \(\pi' \circ (\varphi \times \varphi) - \varphi \circ \pi\) est un morphisme \(G \times G \to \Gamma\) nul sur les axes, donc nul : \(\varphi\) est multiplicative, et l'extension est scindée. Inversement, si \(E\) est un fibré de classe primitive, il a une section unité au-dessus de celle de \(G\), et une loi \(E \times E \to E\) relevant celle de \(G\) et compatible à celle de \(\Gamma\), unique si l'on impose \((e_E, e_E) \mapsto e_E\) ; l'associativité, l'unité et l'existence d'un symétrique résultent de ce que deux tels morphismes \(E^3 \to E\) diffèrent d'un élément de \(\mathcal{H}om(G^3, \Gamma) \simeq \Gamma(S)\) — « voir l'exposé du livre de Serre, p. 183 ».

Application. Pour \(\Gamma\) étale et \(G\) à fibres géométriquement connexes, \(\mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(G, \Gamma) \simeq \mathrm{Ext}^1_{S_0\text{-gr}}(G_0, \Gamma_0)\) pour \(S_0 = S_{\text{réd}}\), et plus généralement pour tout homéomorphisme universel \(S_0 \to S\) (invariance topologique du site étale). Par exemple \[ \mathrm{Ext}^1_{S\text{-gr}}(\mathbb{G}_a, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \simeq \Gamma(S, \mathcal{O}^{p^{-\infty}}), \qquad \mathcal{O}^{p^{-\infty}} = \varinjlim\bigl(\mathcal{O} \xrightarrow{x \mapsto x^p} \mathcal{O} \xrightarrow{x \mapsto x^p} \cdots\bigr), \] la perfection de \(\mathcal{O}_S\) : le foncteur \(\mathcal{E}xt^1(\mathbb{G}_a, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\) est représentable dans la catégorie des pro-schémas parfaits sur \(S\).

170–201

Dualité de Cartier des groupes affines et des groupes formels (pages 170 à 201)

171–180

Frobenius, Verschiebung, et les huit types (pages 171 à 180)

Sur un corps parfait de caractéristique \(p\), les groupes commutatifs élémentaires se classent selon le comportement du Frobenius \(F\) et du Verschiebung \(V\) (isomorphisme, épimorphisme, nilpotent) : \[ \begin{array}{lll} \mathbb{G}_m : F \text{ épi},\ V \text{ iso} & \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} : F, V \text{ iso} & \mu_p : F = 0,\ V \text{ iso} \\ \mathbb{G}_a : F \text{ épi},\ V = 0 & \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} : F \text{ iso},\ V = 0 & \alpha_p : F = 0,\ V = 0 \\ \mathbb{Z} : F \text{ iso},\ V = p & \mathbb{V} : F = 0 & \text{var.\ ab.} : F, V \text{ isogénies} \end{array} \] avec la traduction : \(F\) iso pour un groupe discret séparable, \(F\) nilpotent pour un groupe infinitésimal, \(V\) iso pour un groupe multiplicatif, \(V\) nilpotent pour un groupe unipotent⁷³ . Il y a « 8 types fondamentaux de groupes affines » : \(\mathbb{G}_m\), \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), \(\mu_p\), \(\mathbb{G}_a\), \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\alpha_p\), \(\mathbb{V}\), \(\mathbb{Z}\), échangés deux à deux par la dualité de Cartier (page 175) :

• multiplicatif \(\leftrightarrow\) discret ordinaire ; unipotent \(\leftrightarrow\) purement infinitésimal ;
• connexe séparable \(\leftrightarrow\) sans torsion ; fini séparable \(\leftrightarrow\) fini multiplicatif ; fini radiciel \(\leftrightarrow\) fini unipotent ;
• \(\mathbb{G}_m \leftrightarrow \mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z} \leftrightarrow \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}\), \(\mu_p \leftrightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(\alpha_p \leftrightarrow \alpha_p\), \(\mathbb{G}_a \leftrightarrow \mathbb{V}\).

Les pages 176 à 179 dessinent ces classes en ovales qui se chevauchent, et posent la question de la définition sur \(k\) de la partie réduite et de la partie séparable : \(G_{\text{réd}}\) est un sous-groupe si \(G\) est multiplicatif, pas s'il est unipotent. La remarque de la page 172 — « \(\mathbb{V}\) n'est pas unipotent ? bien qu'il soit une extension d'unipotents » — reste une question.

La page 180 introduit l'anneau de Dieudonné \[ A = \varprojlim_n \mathbb{W}_n[F, V]/(V^n, FV - p), \] la catégorie \(C_1\) des \(A\)-modules discrets de type fini, \(C_2 = C_1^{\circ}\), et leurs sous-catégories pleines \(C'_1\) (modules localement annulés par une puissance de \(F\)) et \(C'_2\), que la dualité de Cartier des groupes finis identifie : \(C'_1 \simeq C'_2\). Une catégorie recollée \(C\) aurait pour objets les triples \((X, Y, u)\), \(X \in C_2\), \(Y \in C_1\), \(u\) un isomorphisme de leurs images dans une catégorie commune \(C_0\)⁷⁴ . La page 181 précise : un objet est un couple de \(A\)-modules \((X, Y)\) avec \(H^0_{\mathfrak{m}}(X) \simeq D\,H^0_{\mathfrak{m}}(Y)\), \(\mathfrak{m} = (F, V)\), et pour inclure \(\mathbb{G}_m\) et \(\mathbb{Z}\) on prend l'anneau topologique \(\mathbb{Z} \times A\).

182–192

Anneaux de Cartier, coalgèbres, pro-objets (pages 182 à 192)

Sur les ind-objets de \(C_1\) et les pro-objets de \(C_2\), ni \(F\) ni \(V\) ne caractérisent plus rien : « Comment définir la nullité intrinsèquement ?? ». La page 182 propose de voir les modules de type fini sur \(\mathbb{W}_{\infty,\sigma}[F, V]/(FV - p)\) comme les endomorphismes de \(\mathbb{W}_\infty\) qui laissent stable le sous-groupe \(D(\mathbb{W}_\infty)\) des vecteurs de Witt à composantes nilpotentes. La page 183, en partie barrée, met face à face l'« anneau de Cartier » \(\mathbb{W}_\sigma\{F, V\}/(FV - p)\) et son complété pour l'idéal maximal, l'« anneau de Gabriel–Dieudonné » \(\mathbb{W}_\sigma[[F, V]]/(FV - p)\), avec en marge : « Unifier les pro-groupes algébriques unipotents et les groupes ind-finis ».

Les pages 184 à 188 passent par les coalgèbres. Un groupe algébrique affine est une algèbre de type fini munie d'une comultiplication ; un objet ind-(algébrique fini) est une coalgèbre commutative unitaire engendrée par ses sous-coalgèbres de rang fini, et un groupe de ce type est une telle coalgèbre munie d'une loi d'algèbre compatible. D'où, d'après Cartier, une dualité \[ \text{pro(groupes algébriques linéaires)} \sim \text{gr(ind.\ alg.\ finis)}. \] Pour \(A\) l'algèbre affine d'un groupe \(G\), un homomorphisme \(G \to \mathbb{G}_m\) est un \(f \in A\) avec \(\Delta f = f \otimes f\) et \(\varepsilon(f) = 1\) ; si \(A\) est libre, c'est un homomorphisme d'algèbres topologiques \(\check A \to k\), où \(\check A = \mathrm{Hom}(A, k)\). Si \(A\) est réunion de sous-coalgèbres de type fini — ce que rien ne garantit en général, et qui vaut sur un corps —, \(\check A\) est l'algèbre d'un ind-schéma affine, le groupe dual \(D(G)\), qui représente \(\mathcal{H}om_{k\text{-gr}}(G, \mathbb{G}_m)\). Sur un corps de caractéristique \(p > 0\) : \[ D(\mathbb{G}_m) = \mathbb{Z},\quad D(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) = \mu_\ell \simeq \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z},\quad D(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}) = \mu_{p^n},\quad D(\mu_{p^n}) = \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}, \] et \(D(\mathbb{G}_a)\) a pour algèbre l'enveloppe de la \(p\)-algèbre de Lie libre sur un générateur⁷⁵ . Le mécanisme de la dualité de Cartier est l'accouplement dans \(\mathbb{G}_m\), et \(F\), \(V\) s'en déduisent : sur \(\mathbb{G}_m\), \(F(x) = x^p\) et \(V = \mathrm{id}\) ; sur \(\mu_p\), \(F = 0\), \(V = \mathrm{id}\).

Les pages 189 et 190 traitent des pro-objets. Pour une catégorie \(C\), \(\mathrm{Pro}(C)\) se plonge dans les foncteurs sur \(C\), mais le foncteur naturel \(\mathrm{Pro}(C) \to \mathrm{Hom}(C^{\circ}, \mathrm{Ens})\), \(\mathfrak{X} \mapsto (Y \mapsto \mathrm{Hom}(Y, \mathfrak{X}))\), n'est pas pleinement fidèle : pour \(C = \mathrm{Ens}\), un système \((X_i)\) et sa limite définissent le même foncteur sans être isomorphes dans \(\mathrm{Pro}(C)\). Si les limites projectives existent dans \(C\), cela revient à ce que \(C \to \mathrm{Pro}(C)\) ait un adjoint, la « projection » \(\mathfrak{X} \mapsto \varprojlim \mathfrak{X}\). Exemple : sur \(S\) localement noethérien, les pro-schémas affines de type fini s'identifient aux schémas affines sur \(S\). « Question : un schéma en groupes affine sur \(S\) est-il un pro(groupe affine de type fini) ? »⁷⁶ . La page 191 en fait une question sur les hyperalgèbres, facile sur un corps, et définit le dual \(\hat D(G)\) d'un groupe affine commutatif comme le groupe ind-fini dont l'hyperalgèbre est l'algèbre affine de \(G\). La page 192 récapitule les types élémentaires, duaux l'un de l'autre, \(\mathbb{V} = D(\mathbb{G}_a)\), et une petite table : multiplicatif (tores, groupes profinis), unipotent, groupes discrets.

194–195

Catégories abéliennes localement de longueur finie (pages 194 et 195)

Soit \(\mathsf{C}\) une catégorie abélienne dont tous les objets sont de longueur finie. Alors \(\mathrm{Ind}\,\mathsf{C}\) — la catégorie des foncteurs contravariants exacts à gauche de \(\mathsf{C}\) dans \((\mathrm{Ab})\) — est une catégorie abélienne à limites inductives exactes, à générateurs de longueur finie (« localement de longueur finie »), dont \(\mathsf{C}\) est la sous-catégorie des objets de longueur finie ; d'où une correspondance biunivoque entre les deux sortes de catégories. Dans une catégorie abélienne à limites inductives exactes, le socle \(F_0(X)\) de \(X\) est la somme de ses sous-objets simples ; \(F_1(X)\) l'image inverse du socle de \(X/F_0(X)\), et ainsi de suite : filtration croissante et fonctorielle, et la catégorie est localement de longueur finie si et seulement si tout \(X\) est réunion des \(F_i(X)\). En général \(\Phi_0(X) = \sup F_i(X)\) est le plus grand sous-objet de dimension de Krull \(0\), noyau de \(X \to X_{\mathsf{C}_0}\) (localisé par la sous-catégorie \(\mathsf{C}_0\) des objets de dimension \(0\)) ; \(\Phi_1(X)\) est l'image inverse de \(\Phi_0(X_{\mathsf{C}_0})\), etc., et \(\mathsf{C}\) est de dimension de Krull \(\leq n\) si \(\Phi_n(X) = X\) pour tout \(X\)⁷⁷ .

196–201

Modules de Dieudonné (pages 196 à 201)

La page 199 fixe l'anneau de Dieudonné \[ A = W_\infty[[F, V]],\qquad FV = VF = p,\qquad Fw = \sigma(w)F,\qquad wV = V\sigma(w), \] \(\sigma\) le Frobenius de \(W_\infty = W(k)\) ; elle calcule les produits à gauche et à droite par \(F\) et \(V\) d'un élément \(w + \sum w'_i F^i + \sum w''_j V^j\), et dresse le dictionnaire :

• groupes algébriques commutatifs finis \(\leftrightarrow\) \(A\)-modules de longueur finie ;
• pro-(groupes algébriques finis) \(\leftrightarrow\) \(A\)-modules localement de longueur finie ;
• « groupes formels » \(\leftrightarrow\) \(A\)-modules de type fini.

La page 196 en donne le triangle — groupes formels raisonnables, pro-(groupes algébriques finis) raisonnables, modules sur \(A\) —, les flèches marquées « contrav. » et « cov. », et passe à \(W_\sigma[F][F^{-1}]\), avec \(F^{-1}w = \sigma^{-1}(w)F^{-1}\), \(wF = F\sigma^{-1}(w)\) et \(V = pF^{-1}\). La page 200 encadre la version « sans isogénie » : les modules de type fini \(M\) sur \(W\) munis d'un \(F\) additif bijectif et d'un \(V\) additif avec \[ F(wx) = \sigma(w)F(x),\qquad V(wx) = \sigma^{-1}(w)V(x) \] — des modules sur \(A_F = A[F^{-1}]\)⁷⁸ . La page 198 construit, à partir de \(W_{n,k} = \mathrm{Ker}(F^k : W_n \to W_n)\), de \(\overline{W}_n = \bigcup_k W_{n,k}\) et de \(\mathcal{U} = \varinjlim_n \overline{W}_n\) (transitions \(V\)), un objet muni de \(F\) et \(V\) avec \(FV = VF = p\), et note en marge « est-ce une solution de \(A\) ?? »⁷⁹ . La page 201, rapide et en grande partie illisible, décompose une catégorie de modules \(C_1\) en \(C_1/C_0 \simeq C_F/C_0 \times C'_F/C_0\) — partie où \(F\) est bijectif, partie où il est nilpotent — engendrées par \(A/FA\) et \(A/VA\), et finit sur « limite projective / inductive d'objets artiniens ».

202–207

Accouplements de Tate et de Lang (pages 202 à 207)

203–204

L'accouplement de Tate par le groupe de Brauer (pages 203 et 204)

Soit \(A\) un schéma abélien sur \(S\), \(A' = \mathrm{Pic}^0_{A/S}\) son dual, et \(P\) un fibré principal homogène sous \(A\). Le groupe \(A\) opère sur lui-même par translations, donc sur \(\mathrm{Pic}^{*}_{A/S}\), et trivialement sur \(A'\) et sur \(\mathrm{NS}_{A/S} = \mathrm{Pic}^{*}_{A/S}/\mathrm{Pic}^0_{A/S}\), d'où \(A \times \mathrm{NS}_{A/S} \to A'\), \((\lambda, \bar x) \mapsto x + \lambda\cdot\bar x - x\). Par suite la composante neutre de \(\mathrm{Pic}^{*}_{P/S}\) est canoniquement \(A'\), et \(\mathrm{Pic}^{*}_{P/S}\) est extension de \(\mathrm{NS}_{A/S}\) par \(A'\), d'où une classe de \(\mathcal{E}xt^1_S(\mathrm{NS}_{A/S}, A')\) et un homomorphisme de \(\mathrm{NS}_{A/S}\) vers \(H^1(S, A')\). Une section de \(A' = \mathrm{Pic}^0_{P/S}\) ne provient pas forcément d'un faisceau inversible sur \(P\) : l'obstruction est dans le groupe de Brauer \(H^2(S, \mathbb{G}_m)\), par la suite spectrale de Leray de \(P \to S\). D'où l'accouplement de Tate \[ H^1(S, A) \times H^0(S, A') \longrightarrow H^2(S, \mathbb{G}_m), \] qui se précise, pour \(S' \to S\) fidèlement plat, en \(H^1(S'/S, A) \times H^0(S, A') \to H^2(S'/S, \mathbb{G}_m)\), et, pour \(S'\) fini sur \(S\), devrait s'étendre aux groupes de Tate \(\hat H^i(S'/S, A) \times \hat H^{1-i}(S'/S, A') \to H^2(S'/S, \mathbb{G}_m)\), « qu'il faudrait comprendre »⁸⁰ .

205–205

Le symbole modéré (page 205)

Soit \(X\) une courbe projective non singulière connexe sur \(k\) algébriquement clos, \(K = k(X)\). Pour \(f, g \in K^{*}\) et \(x \in X\), \[ (f, g)_x = (-1)^{v_x(f)v_x(g)}\,\frac{f^{v_x(g)}}{g^{v_x(f)}}(x) \in k^{*}. \] Ce symbole est bimultiplicatif \(K^{*} \times K^{*} \to k^{*}\)⁸¹ ; il vaut \(f(x)^{v_x(g)}\) si \(f\) est défini et inversible en \(x\), \(1\) si \(g(x) = 1\) ; il satisfait \((f, g)_x (g, f)_x = 1\) et la loi de réciprocité de Weil \(\prod_x (f,g)_x = 1\). Sur les idèles, \((\vec f, \vec g) = \prod_x (f_x, g_x)_x\) est trivial si \(\vec f\) et \(\vec g\) sont principaux, ou si l'un est une unité stricte ; d'où les accouplements \[ K^{*} \times \mathcal{C}(X) \to k^{*}, \qquad K^{*}/k^{*} \times C_0(X) \to k^{*}, \] où \(\mathcal{C}(X) = \mathrm{I}(X)/UK^{*}\) est le groupe des classes d'idèles modulo les unités strictes, et \(C_0(X)\) celui des classes de degré \(0\).

206–207

L'accouplement de Lang sur le noyau d'Albanese (pages 206 et 207)

« Voici la généralisation » : soit \(X\) une variété non singulière sur \(k\) algébriquement clos, \(\varphi : X \to A\) son application d'Albanese, \(\hat A\) la variété de Picard, \(N = \mathrm{Ker}(\mathfrak{Z}_0(X) \to A)\) le noyau d'Albanese dans les \(0\)-cycles de degré \(0\). Soit \(\mathrm{I}\) le groupe des répartitions \(\vec f = (f_x)\) localement égales à des équations d'un diviseur \(D\), \(C = \mathrm{I}/K^{*} \to \mathrm{Pic}(X)\), et \(C_0\) l'image inverse de \(\hat A\), d'où \(C_0 \to \hat A\) surjectif. On veut un accouplement \(N \times C_0 \to k^{*}\), et pour cela un accouplement \(N \times \mathrm{I}_0 \to k^{*}\) nul sur \(N \times K^{*}\). Soient \(\mathfrak{z} = \sum a_i x_i \in N\) et \(\vec f \in \mathrm{I}_0\) représentant \(\bar{\mathfrak{z}} \in C_0\), de diviseur \(D\) ne rencontrant pas \(\mathfrak{z}\), de classe \(\dot D \in \hat A\) ; soit \(\mathfrak{z}' \in \mathfrak{Z}_0(\hat A)\) de degré \(0\) et de somme \(\dot D\), et \(\Theta\) un diviseur de Poincaré sur \(A \times \hat A\) ne rencontrant pas \(\varphi(\mathfrak{z}) \times \mathfrak{z}'\)⁸² . Le diviseur \(\Theta\langle \varphi(\mathfrak{z}) \rangle\) sur \(\hat A\) est linéairement équivalent à \(0\), sa classe étant donnée par la somme de \(\varphi(\mathfrak{z})\), nulle puisque \(\mathfrak{z} \in N\) ; c'est donc \((g)\) pour une fonction \(g\), et \[ \lambda = g\langle \mathfrak{z}' \rangle \] ne dépend pas du choix de \(g\) puisque \(\deg \mathfrak{z}' = 0\). Avec \(\mu = \prod_i f_{x_i}(x_i)^{a_i}\), on pose \[ \langle \mathfrak{z}, \bar{\mathfrak{z}} \rangle = \lambda/\mu. \] La page 207 commence à montrer que \(\lambda\) ne dépend que de \(\dot D\) et de \(\mathfrak{z}\) — en remplaçant \(\Theta\) par \(\Theta + (h)\) — et s'arrête au premier tiers, sur « on obtient »⁸³ .