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Réseau d'anneaux locaux.
est formé d'un ensemble ordonné X, et pour tout x \in X,
et d'un système inductif d'anneaux locaux (O_x)_{x \in X}, [donc si
x \leq y, O_x \to O_y) tel que pour x \leq y, O_x \to O_y
induise un isomorphisme
(O_x)_{p_{xy}} \longrightarrow O_y,
(où p_{xy} est l'image de \mathfrak{m}(O_y)))
et que p_{xy} \supset p_{xy'} \Rightarrow y \geq y'.
On obtient ainsi une correspondance bijective
entre les y \geq x et les idéaux premiers de O_x.
Notation X, Y base du réseau.
Un homom. d'un réseau X dans un autre Y : des systèmes inductifs
d'anneaux locaux, i.e. formé d'une application
X \xrightarrow{\ f\ } Y,
et pour tout x \in X d'un homom. local O_{f(x)} \to O_x,
compatible avec les applications de spécialisation généralisation.
Soit \underline{R} la catégorie des réseaux, \underline{S} la catégorie
des préschémas. On a un foncteur canonique
\underline{S} \xrightarrow{\ p\ } \underline{R}.
Réseau sur un anneau, sur un préschéma.
Soit S un préschéma loc. noethérien,
soient \underline{S}_{/S} et \underline{R}_{/S} les catégories des
préschémas (resp. réseaux) sur S, \underline{S}_{0/S} la sous-catégorie
de \underline{S}_{/S} formée des préschémas loc. de type fini. Alors
p
p : \underline{S}_{0/S} \longrightarrow \underline{R}_{/S}
est pleinement fidèle.
Tout ce qui suit sur cette page — la justification, depuis « En effet »
jusqu'à « V de y » — est barré de deux grandes croix. La démonstration
reprend à neuf page 3, par la proposition sur les faisceaux. Ce qui reste
lisible sous les croix est transcrit ci-dessous.
[En effet, un homom. de réseaux p(X) \to p(Y) est
certainement pour les applications de , car
on peut, ici X est affine donc noethérien, les pts de
X par spécialisation, d'un ens. fini , donc en pts de = les
pts de f(X)
Plus généralement, si X est loc. de type fini sur S,
, alors
\mathrm{Hom}_S(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{H}_S(p(X), p(Y))
[bijectif]. En effet, soit x \in X, y = f(x), un homom. local
O_y \to O_x ; il définit un homom. d'un voisinage U de x dans un
voisinage V de y.
Proposition. Soit X un espace loc. noeth. dont toute partie fermée
irréductible a exactement un point générique. Soit F un faisceau
sur X, satisfaisant la condition suivante : pour tt x \in X, il existe un
injective.
Le mot est écrit d'un seul trait, la première syllabe réduite à un
crochet ; isolé, il se lirait aussi bien « surjective ». C'est l'usage qui en
est fait qui tranche : le lemme 2 de la page 4 fournit l'injectivité de
A_q \to A_p, et la page 5 en conclut que « F_q \to F_p est injectif »
vérifie « la condition de la prop. ». Il est donc lu « injective » ici et
partout ailleurs.
Alors Soit Ordonnons X par y \leq x \Leftrightarrow
\bar y \ni x, soit \widetilde{F} le faisceau système
inductif projectif sur X défini par F, considérons
l'application naturelle
\Gamma(X, F) \longrightarrow \varprojlim \widetilde{F}
Cette application est bijective.
La question est locale. On peut donc supposer X noethérien.
Soit
Lemme 1. Soit s une section de F sur U. Alors l'ens. des pts
x \in U tels que s_x = \xi_x est ouvert.
S'il contient x, il contient les y \leq x i.e. les
\bar y \ni x ; il suffit de montrer qu'il est constructible, donc que
s'il contient x, il contient les pts d'un ouvert non vide de
\bar x. Or il existe un ouvert non vide U de \bar x tel que
pour y \in U \Rightarrow F_y \to F_x injectif, d'où s_x = \xi_y. O.K.
La démonstration est
Corollaire 1. Soit X un préschéma loc. noeth. Alors
\Gamma(X, \mathcal{O}_X) s'identifie à l'ens. des
(\xi_x)_{x \in X} \in \prod_{x \in X} O_x tels que x \in \bar y implique
que \xi_y soit l'image par généralisation de x
\xi_x.
Il reste à vérifier que les conditions de la prop. sont vérifiées, i.e.
pour le
Lemme 2. Soient A un anneau noethérien, p un idéal premier de A.
Alors il existe f \in A - p tel que A_f \to A_p soit injectif ; si
provenant d'un idéal q' \supset p ne rencontrant pas f],
\Rightarrow l'homom. (A_f)_q \to A_p est aussi injectif.
Modulo
Démonstration du lemme 2. Soit J le noyau de A \to A_p
[i.e. l'annulateur de A - p], il et alors, A_f \to A_p est injectif.
Le bas de la page est écrit dans la marge et par-dessus lui-même, les
lignes serrées les unes dans les autres ; il porte la vérification de cette
injectivité. Seuls des fragments s'en laissent lire, et ils sont donnés
ci-dessous dans l'ordre où ils viennent.
En effet, soit x/f^n A_p, x \in A - p, n \geq 0,
i.e. A_p, donc x A_f - p A_f, y/f^m
A_f, y \in A - p y x f^N = 0 pour N grand,
soit x/s \in A (A_f)_q
Pour la dernière assertion, on peut supposer f = 1
Prouvons A_q \to A_p injectif si q \supset p. Soit x/s
(x \in A, s \in A - q) dans le noyau, il reste
on est dans A_p, et injectivité
A_p il s'ensuit que x est nul, donc x/s est nul dans
A_q.
Corollaire 2. Soit X un préschéma loc. noethérien,
de type fini sur S, soit Y un S-préschéma, soit F le
f_x \in F_x \qquad (x \in X).
Il suffit de prouver le
Lemme 3. Avec les notations précédentes, le faisceau F satisfait la
condition de la prop.
Pour ceci, on peut S.
De Plus précisément, si X = \mathrm{Spec}(A), x = p, et si
A \to A_p est injectif, alors pour les q générisant
x p, F_q \to F_p est injectif.
si f, g : \mathrm{Spec}(A) \longrightarrow Y sont deux morphismes,
qui dont les composés avec \mathrm{Spec}(A_p) \to \mathrm{Spec}(A)
sont identiques, ils sont identiques.
Corollaire 3. Supposons que X soit loc. noeth., Y
est-il nécessaire ?). La donnée d'un S-morphisme
X \to Y équivaut alors à la donnée d'un de p(X) dans
p(Y).
Remarque. Dans la proposition (et le cor. 1 seulement), la
condition : sinon pas surj. de
Ex. X = \mathrm{Spec}\, k[T] (k alg. clos), toute
F = \coprod_{x \in X} E_x.
les F_\varphi (\varphi généralisation ). Soit
\xi_x \in \Gamma(E_x) l'élément « unité » de \Gamma(E_x), et \xi_a = 0 ;
les \xi_x (x \neq x_i) forment un syst. cohérent d'éléments