Cote n° 42 · batch 1 · pages 1–6 · Transcription · Réseaux d'anneaux locaux : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [années 1960-1970]
Édition de démonstration

« Réseau d'anneaux locaux » (pages 1 à 6)

1Réseau d'anneaux locaux.

[…] est formé d'un ensemble ordonné \(X\), et pour tout \(x \in X\), et d'un système inductif d'anneaux locaux \((O_x)_{x \in X}\), [donc si \(x \leq y\), […] \(O_x \to O_y\)) tel que pour \(x \leq y\), \(O_x \to O_y\) induise un isomorphisme

\[ (O_x)_{p_{xy}} \longrightarrow O_y, \]

(où \(p_{xy}\) est l'image […] de \(\mathfrak{m}(O_y)\))) et que \(p_{xy} \supset p_{xy'} \Rightarrow y \geq y'\).

On obtient ainsi une correspondance […] bijective entre les \(y \geq x\) et les idéaux premiers de \(O_x\).

Notation \(X\), \(Y\) […] base du réseau.

Un homom. d'un réseau \(X\) dans un autre \(Y\) : […] des systèmes inductifs d'anneaux locaux, i.e. formé d'une application […] croissante

\[ X \xrightarrow{\ f\ } Y, \]

et pour tout \(x \in X\) d'un homom. local \(O_{f(x)} \to O_x\), compatible avec les applications de spécialisation généralisation.

Soit \(\underline{R}\) la catégorie des réseaux, \(\underline{S}\) la catégorie des préschémas. On a un foncteur canonique

\[ \underline{S} \xrightarrow{\ p\ } \underline{R}. \]

Réseau sur un anneau, sur un préschéma.

Soit \(S\) un préschéma loc. noethérien,

2soient \(\underline{S}_{/S}\) et \(\underline{R}_{/S}\) les catégories des préschémas (resp. réseaux) sur \(S\), \(\underline{S}_{0/S}\) la sous-catégorie de \(\underline{S}_{/S}\) formée des préschémas loc. de type fini. Alors \(p\)

\[ p : \underline{S}_{0/S} \longrightarrow \underline{R}_{/S} \]

est pleinement fidèle.

Tout ce qui suit sur cette page — la justification, depuis « En effet » jusqu'à « \(V\) de \(y\) » — est barré de deux grandes croix. La démonstration reprend à neuf page 3, par la proposition sur les faisceaux. Ce qui reste lisible sous les croix est transcrit ci-dessous.

[En effet, un homom. de réseaux \(p(X) \to p(Y)\) est certainement […] pour les applications de […] […], car […] […] on peut, ici \(X\) est affine donc noethérien, […] les pts de \(X\) par spécialisation, d'un ens. fini […], donc […] en pts de \(=\) les pts de \(f(X)\) […]

Plus généralement, si \(X\) est loc. de type fini sur \(S\), […], alors

\(\mathrm{Hom}_S(X, Y) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{H}_S(p(X), p(Y))\)

[bijectif]. En effet, soit \(x \in X\), \(y = f(x)\), un homom. local \(O_y \to O_x\) ; il définit un homom. d'un voisinage \(U\) de \(x\) dans un voisinage \(V\) de \(y\).

3Proposition. Soit \(X\) un espace loc. noeth. dont toute partie fermée irréductible a exactement un point générique. Soit \(F\) un faisceau sur \(X\), satisfaisant la condition suivante : pour tt \(x \in X\), il existe un […] voisinage […] \(U\) de \(\bar x\) tel que pour tt \(y \in \bar x \cap U\), l'application naturelle \(F_y \to F_x\) soit injective.

Le mot est écrit d'un seul trait, la première syllabe réduite à un crochet ; isolé, il se lirait aussi bien « surjective ». C'est l'usage qui en est fait qui tranche : le lemme 2 de la page 4 fournit l'injectivité de \(A_q \to A_p\), et la page 5 en conclut que « \(F_q \to F_p\) est injectif » vérifie « la condition de la prop. ». Il est donc lu « injective » ici et partout ailleurs.

Alors Soit Ordonnons \(X\) par \(y \leq x \Leftrightarrow \bar y \ni x\), soit \(\widetilde{F}\) le faisceau système inductif projectif sur \(X\) défini par \(F\), considérons l'application naturelle

\[ \Gamma(X, F) \longrightarrow \varprojlim \widetilde{F} \]

Cette application est bijective.

La question est locale. On peut donc supposer \(X\) noethérien. Soit […] […] pour […] \(\to\) […] est surjective, soit \((\xi_x)_{x \in X} \in \varprojlim F\).

Lemme 1. Soit \(s\) une section de \(F\) sur \(U\). Alors l'ens. des pts \(x \in U\) tels que \(s_x = \xi_x\) est ouvert.

S'il contient \(x\), il contient les \(y \leq x\) i.e. les […] \(\bar y \ni x\) ; il suffit de montrer qu'il est constructible, donc que s'il contient \(x\), il contient les pts d'un ouvert non vide de \(\bar x\). Or il existe un ouvert non vide \(U\) de \(\bar x\) tel que pour \(y \in U \Rightarrow F_y \to F_x\) injectif, d'où \(s_x = \xi_y\). O.K.

La démonstration est […] […] finie.

4Corollaire 1. Soit \(X\) un préschéma loc. noeth. Alors \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) s'identifie à l'ens. des \((\xi_x)_{x \in X} \in \prod_{x \in X} O_x\) tels que \(x \in \bar y\) implique que \(\xi_y\) soit l'image par généralisation de \(x\) \(\xi_x\).

Il reste à vérifier que les conditions de la prop. sont vérifiées, i.e. pour le

Lemme 2. Soient \(A\) un anneau noethérien, \(p\) un idéal premier de \(A\). Alors il existe \(f \in A - p\) tel que \(A_f \to A_p\) soit injectif ; si […] dans \(q\) est un idéal premier de \(A_f\) [i.e. provenant d'un idéal \(q' \supset p\) ne rencontrant pas \(f\)], \(\Rightarrow\) l'homom. \((A_f)_q \to A_p\) est aussi injectif.

Modulo

Démonstration du lemme 2. Soit \(J\) le noyau de \(A \to A_p\) [i.e. l'annulateur de \(A - p\)], il […] […] fini de générateurs \(x_i\), donc il existe un \(f \in A - p\) annulant \(J\), […] et alors, \(A_f \to A_p\) est injectif.

Le bas de la page est écrit dans la marge et par-dessus lui-même, les lignes serrées les unes dans les autres ; il porte la vérification de cette injectivité. Seuls des fragments s'en laissent lire, et ils sont donnés ci-dessous dans l'ordre où ils viennent.

En effet, soit […] \(x/f^n\) […] \(A_p\), \(x \in A - p\), […] \(n \geq 0\), i.e. […] \(A_p\), donc \(x\) […] \(A_f - p A_f\), […] \(y/f^m\) […] \(A_f\), \(y \in A - p\) […] \(y x f^N = 0\) pour \(N\) grand, […]

5[…] soit \(x/s \in A\) […] \((A_f)_q\) […]

Pour la dernière assertion, on peut supposer \(f = 1\) […] i.e. \(A_f = A\) […] [car \(A_p = (A_f)_{p A_f}\)], i.e. on […] suppose \(A \to A_p\) injectif.

Prouvons \(A_q \to A_p\) injectif si \(q \supset p\). Soit \(x/s\) (\(x \in A\), \(s \in A - q\)) dans le noyau, il reste […] […] on est […] dans \(A_p\), et […] injectivité […] […] \(A_p\) il s'ensuit que \(x\) est nul, donc \(x/s\) est nul […] dans \(A_q\).

Corollaire 2. Soit \(X\) un préschéma loc. noethérien, de type fini sur \(S\), soit \(Y\) un \(S\)-préschéma, soit \(F\) le […] faisceau sur \(X\) des germes de \(S\)-homomorphismes \(X \to Y\). Alors la donnée d'un \(S\)-morphisme \(X \to Y\) équivaut à la donnée d'un système cohérent d'éléments

\[ f_x \in F_x \qquad (x \in X). \]

Il suffit de prouver le

Lemme 3. Avec les notations précédentes, le faisceau \(F\) satisfait la condition de la prop.

Pour ceci, on peut […] \(S\).

De Plus précisément, si \(X = \mathrm{Spec}(A)\), \(x = p\), et si \(A \to A_p\) est injectif, alors pour les \(q\) générisant \(x\) \(p\), \(F_q \to F_p\) est injectif.

6[…] On peut […] énoncer : pour […] le résultat un peu (compliqué) \(A\) […] l'[…] \(A_q\) d'un voisinage de \(y\), pour lequel la condition d'injectivité […] soit satisfaite) :

si \(f, g : \mathrm{Spec}(A) \longrightarrow Y\) sont deux morphismes, qui dont les composés avec \(\mathrm{Spec}(A_p) \to \mathrm{Spec}(A)\) sont identiques, ils sont identiques.

Corollaire 3. Supposons que \(X\) soit loc. noeth., \(Y\) […] de type fini sur \(S\), \(S\) loc. noeth. (ce dernier est-il nécessaire ?). La donnée d'un \(S\)-morphisme \(X \to Y\) équivaut alors à la donnée d'un […] de \(p(X)\) dans \(p(Y)\).

Remarque. Dans la proposition (et le cor. 1 seulement), la condition […] : sinon […] pas surj. de […]

Ex. \(X = \mathrm{Spec}\, k[T]\) (\(k\) alg. clos), toute […] […] les pts fermés \(x = a\) (\(a \in k\)), […] on considère […]

\[ F = \coprod_{x \in X} E_x. \]

[…] les \(F_\varphi\) […] (\(\varphi\) […] généralisation […]). Soit \(\xi_x \in \Gamma(E_x)\) l'élément « unité » de \(\Gamma(E_x)\), et \(\xi_a = 0\) ; les \(\xi_x\) (\(x \neq x_i\)) forment un syst. cohérent d'éléments […]